Cách nhân giống của người Ấn Độ

Đóng góp có giá trị nhất cho kho tàng kiến ​​thức toán học được thực hiện ở Ấn Độ. Những người theo đạo Hindu đã đề xuất cách chúng ta sử dụng để viết số bằng cách sử dụng mười dấu hiệu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Cơ sở của phương pháp này là ý tưởng rằng cùng một chữ số là viết tắt của đơn vị, hàng chục, hàng trăm hoặc hàng nghìn, tùy thuộc vào vị trí của hình này. Vị trí bị chiếm đóng, trong trường hợp không có bất kỳ chữ số nào, được xác định bằng các số không được gán cho các số.

Người da đỏ nghĩ tốt. Họ đã nghĩ ra một cách rất đơn giản để nhân lên. Họ thực hiện phép nhân, bắt đầu với bậc cao nhất, và viết ra các sản phẩm chưa hoàn chỉnh ngay trên phép nhân và từng chút một. Đồng thời, chữ số cao cấp của sản phẩm hoàn chỉnh ngay lập tức được nhìn thấy và ngoài ra, việc bỏ sót bất kỳ chữ số nào cũng được loại trừ. Dấu nhân chưa được biết đến, vì vậy chúng để lại một khoảng cách nhỏ giữa các thừa số. Ví dụ, hãy nhân chúng theo cách 537 với 6:

Phép nhân bằng phương pháp "LITTLE CASTLE"

Phép nhân các số hiện đã được học ở lớp 1 của trường. Nhưng vào thời Trung cổ, rất ít người nắm vững nghệ thuật nhân. Một quý tộc hiếm hoi có thể tự hào về việc biết bảng cửu chương, ngay cả khi anh ta tốt nghiệp từ một trường đại học châu Âu.

Trải qua hàng thiên niên kỷ phát triển của toán học, nhiều cách nhân các số đã được phát minh. Nhà toán học người Ý Luca Pacioli, trong chuyên luận Tổng tri thức trong số học, quan hệ và tỷ lệ (1494), đã liệt kê tám phương pháp nhân khác nhau. Đầu tiên trong số đó có tên "Lâu đài nhỏ", và tác phẩm thứ hai cũng không kém phần lãng mạn mang tên "Ghen hay lưới nhân gian".

Ưu điểm của phương pháp nhân “Little Castle” là các chữ số của các chữ số cao nhất được xác định ngay từ đầu, và điều này có thể quan trọng nếu bạn cần nhanh chóng ước tính giá trị.

Các chữ số của số trên, bắt đầu từ chữ số có nghĩa nhất, được lần lượt nhân với số dưới và được viết trong một cột có thêm số lượng không cần thiết. Sau đó, kết quả được cộng lại.

Ở Ấn Độ cổ đại, hai phương pháp nhân giống được sử dụng: lưới và galleys.
Thoạt nhìn, chúng có vẻ rất phức tạp, nhưng nếu bạn làm theo từng bước các bài tập, bạn sẽ thấy nó khá đơn giản.
Ví dụ, chúng tôi nhân các số 6827 và 345:
1. Chúng tôi vẽ một lưới hình vuông và viết một trong các số phía trên các cột, và số thứ hai theo chiều cao. Trong ví dụ được đề xuất, một trong các lưới này có thể được sử dụng.

2. Sau khi chọn lưới, chúng tôi nhân số của mỗi hàng liên tiếp với số của mỗi cột. Trong trường hợp này, chúng ta lần lượt nhân 3 với 6, 8, 2 và 7. Nhìn vào biểu đồ này, tích được viết như thế nào trong ô tương ứng.

3. Xem lưới trông như thế nào với tất cả các ô được lấp đầy.

4. Cuối cùng, cộng các số lên, theo các sọc chéo. Nếu tổng của một đường chéo chứa hàng chục, thì chúng ta cộng chúng vào đường chéo tiếp theo.

Xem kết quả của phép cộng các số dọc theo các đường chéo (chúng được tô màu vàng) tạo thành số 2355315, là tích của các số 6827 và 345.

Mục đích của công việc: Khám phá và chỉ ra những cách nhân khác thường Nhiệm vụ: Tìm ra những cách nhân khác thường. Học cách áp dụng chúng. Hãy chọn cho mình những câu thú vị nhất hoặc dễ hơn những câu được cung cấp ở trường và sử dụng chúng khi đếm. Hướng dẫn các bạn cùng lớp sử dụng một cách nhân mới

Phương pháp: phương pháp tìm kiếm sử dụng các tài liệu khoa học và giáo dục, cũng như tìm kiếm các thông tin cần thiết trên Internet; một phương pháp thực tế để thực hiện các phép tính sử dụng các thuật toán đếm phi tiêu chuẩn; Phân tích dữ liệu thu được trong quá trình nghiên cứu Tính phù hợp của chủ đề này nằm ở chỗ, việc sử dụng các phương pháp phi tiêu chuẩn trong việc hình thành kỹ năng tính toán giúp nâng cao hứng thú học toán của học sinh và góp phần phát triển năng lực toán học.

Trong lớp học toán, chúng tôi đã học một cách khác thường của phép nhân với một cột. Chúng tôi thích nó và quyết định tìm hiểu những cách khác để nhân các số tự nhiên. Chúng tôi hỏi các bạn cùng lớp xem họ có biết các cách đếm khác không? Mọi người chỉ nói về những phương pháp được học ở trường. Nó chỉ ra rằng tất cả bạn bè của chúng tôi không biết bất cứ điều gì về các phương pháp khác. Trong lịch sử toán học, khoảng 30 phương pháp nhân đã được biết đến, khác nhau về sơ đồ ghi hoặc trong chính quá trình tính toán. Phương pháp nhân "trong một cột", mà chúng tôi học ở trường, là một trong những cách. Nhưng nó có phải là cách hiệu quả nhất? Hãy xem nào! Giới thiệu

Đây là một trong những phương pháp phổ biến nhất mà các thương gia Nga đã sử dụng thành công trong nhiều thế kỷ. Nguyên tắc của phương pháp này: phép nhân trên các ngón tay các số có một chữ số từ 6 đến 9. Các ngón tay ở đây đóng vai trò như một thiết bị tính toán phụ trợ. Để thực hiện điều này, một mặt họ mở rộng nhiều ngón tay khi thừa số thứ nhất vượt quá số 5 và vào mặt thứ hai, họ cũng làm như vậy đối với yếu tố thứ hai. Phần còn lại của các ngón tay đã bị uốn cong. Sau đó, số (tổng số) các ngón tay duỗi ra được lấy và nhân với 10, sau đó nhân các số cho biết có bao nhiêu ngón tay bị cong trên bàn tay và kết quả được cộng lại. Ví dụ, hãy nhân 7 với 8. Trong ví dụ được xem xét, các ngón tay 2 và 3 sẽ bị cong. Nếu chúng ta cộng số ngón tay cong (2 + 3 = 5) và nhân với số ngón tay không cong (23 = 6) thì ta được số hàng chục và hàng đơn vị tương ứng là 56. Vì vậy, bạn có thể tính tích của bất kỳ số có một chữ số nào lớn hơn 5.

Phép nhân cho số 9 rất dễ sinh ra “trên ngón tay”, bạn hãy giang rộng các ngón tay trên cả hai bàn tay và quay bàn tay của mình với lòng bàn tay ra xa bạn. Nhẩm gán các số từ 1 đến 10 cho các ngón tay theo thứ tự, bắt đầu bằng ngón út của bàn tay trái và kết thúc bằng ngón út của bàn tay phải. Giả sử chúng ta muốn nhân 9 với 6. Chúng ta bẻ ngón tay với một số bằng số mà chúng ta sẽ nhân chín. Trong ví dụ của chúng tôi, bạn cần uốn cong ngón tay với số 6. Số ngón tay bên trái của ngón tay cong cho chúng ta biết số hàng chục trong câu trả lời, số ngón tay ở bên phải - số đơn vị. Ở bên trái, chúng ta có 5 ngón tay không bị cong, ở bên phải - 4 ngón tay. Như vậy, 9 6 = 54.

Phương pháp nhân "Lâu đài nhỏ" Ưu điểm của phương pháp nhân "Lâu đài nhỏ" là các chữ số bậc cao được xác định ngay từ đầu, điều này rất quan trọng nếu bạn cần nhanh chóng ước lượng giá trị. Các chữ số của số trên, bắt đầu từ chữ số có nghĩa nhất, được lần lượt nhân với số dưới và được viết trong một cột có thêm số lượng không cần thiết. Sau đó, kết quả được cộng lại.

"Ghen" hoặc "phép nhân mạng" Đầu tiên, một hình chữ nhật được vẽ, chia thành các hình vuông và kích thước các cạnh của hình chữ nhật tương ứng với số chữ số thập phân của cấp số nhân và cấp số nhân. Sau đó, các ô vuông được chia theo đường chéo, và Pacioli viết: “... một bức tranh trông giống như cửa chớp dạng lưới, - Pacioli viết. - Những cửa chớp như vậy đã được treo trên cửa sổ của những ngôi nhà ở Venice ... "

Phép nhân mạng = +1 +2

Phương pháp nông dân Đây là phương pháp của những người nông dân Nga vĩ đại, bản chất của nó nằm ở chỗ: phép nhân một số bất kỳ được rút gọn thành một chuỗi các phép chia liên tiếp của một số trong khi nhân đôi một số khác ……… .32 74 …… … ……… .8 296 ……… .4 592 ……… ……… 1 3732 = 1184

Đường lối nông dân (số lẻ) 47 x = 1645

Bước 1. Số đầu tiên 15: Vẽ số đầu tiên - trên một dòng. Chúng tôi vẽ hình thứ hai - năm dòng. Bước 2. số thứ hai 23: Vẽ số thứ nhất - hai dòng. Chúng tôi vẽ hình thứ hai - ba dòng. Bước 3. Đếm số điểm theo nhóm. Bước 4. Kết quả là 345. Hãy nhân hai số có hai chữ số: 15 * 23

Phương pháp nhân Ấn Độ (chéo) 24 và X 3 2 1) 4x2 = 8 - chữ số cuối cùng của kết quả; 2) 2x2 = 4; 4x3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 - chữ số áp chót của kết quả, có nhớ hàng đơn vị; 3) 2x3 = 6 và số chẵn được ghi nhớ, chúng ta có 7 - đây là chữ số đầu tiên của kết quả. Ta nhận được tất cả các chữ số của tích: 7,6,8. Trả lời: 768.

Phương pháp nhân của Ấn Độ = = = = 3822 Cơ sở của phương pháp này là ý tưởng rằng cùng một chữ số là viết tắt của đơn vị, hàng chục, hàng trăm hoặc hàng nghìn, tùy thuộc vào vị trí mà hình này chiếm giữ. Vị trí bị chiếm đóng, trong trường hợp không có bất kỳ chữ số nào, được xác định bằng các số không được gán cho các số. chúng ta bắt đầu phép nhân từ bậc cao nhất và viết ra các tích chưa hoàn thành ngay phía trên phép nhân và từng chút một. Trong trường hợp này, chữ số quan trọng nhất của sản phẩm hoàn chỉnh được nhìn thấy ngay lập tức và ngoài ra, việc bỏ sót bất kỳ chữ số nào cũng được loại trừ. Dấu nhân chưa được biết đến, vì vậy một khoảng cách nhỏ giữa các thừa số

Cơ số Nhân 18 * 19 20 (cơ số) * 2 1 (18-1) * 20 = Đáp số: 342 Ghi chú ngắn: 18 * 19 = 20 * 17 + 2 = 342

Phương pháp nhân mới X =, 5 + 2, 5 + 3, 0 + 2, 0 + 3, 5

Kết luận: Sau khi học đếm theo tất cả các cách đã trình bày, chúng tôi đi đến kết luận rằng các phương pháp đơn giản nhất là những phương pháp chúng tôi học ở trường, hoặc có thể chúng tôi chỉ mới làm quen với tất cả các phương pháp đếm được coi là bất thường, phương pháp nhân bằng đồ thị có vẻ thú vị hơn. Chúng tôi đã cho các bạn cùng lớp xem và họ cũng rất thích. Phương pháp “nhân đôi và nhân đôi” mà nông dân Nga sử dụng dường như là phương pháp đơn giản nhất.

Kết luận Mô tả các phương pháp tính toán cổ xưa và các phương pháp đếm nhanh hiện đại, chúng tôi đã cố gắng chỉ ra rằng, cả trong quá khứ và tương lai, người ta không thể làm được nếu không có toán học, một môn khoa học được tạo ra bởi trí óc con người. rằng phép toán số học này rất khó và phức tạp do nhiều phương pháp và cách thực hiện rườm rà. Phương pháp nhân hiện đại rất đơn giản và dễ tiếp cận đối với tất cả mọi người. Tuy nhiên, chúng tôi nghĩ rằng phương pháp nhân trong một cột của chúng tôi không hoàn hảo và bạn có thể nghĩ ra các phương pháp nhanh hơn và đáng tin cậy hơn. Có thể lần đầu tiên nhiều người sẽ không thể nhanh chóng thực hiện các phương pháp này hoặc các tính toán khác. Nó không quan trọng. Cần phải đào tạo liên tục về tính toán. Nó sẽ giúp bạn phát triển các kỹ năng đếm tinh thần hữu ích!

Tài liệu sử dụng: html Encyclopedia for children. "Toán học". - M.: Avanta +, - 688 tr. Bách khoa toàn thư “Tôi biết thế giới. Toán học". - M .: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. Tài khoản nhanh chóng. Ba mươi phương pháp đếm nhẩm đơn giản. L., s.

Lùi về phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

"Đếm và tính toán là cơ sở của trật tự trong đầu."
Pestalozzi

Mục tiêu:

• Làm quen với các phương pháp nhân cũ.
• Mở rộng kiến ​​thức của bạn về các kỹ thuật nhân khác nhau.
• Học cách thực hiện các phép toán với các số tự nhiên bằng các phương pháp nhân cũ.

1. Cách cũ để nhân với 9 trên ngón tay của bạn
2. Nhân bằng phương pháp Ferrol.
3. Cách nhân của Nhật Bản.
4. Cách nhân kiểu Ý (“Grid”)
5. Cách nhân của Nga.
6. Cách nhân giống của người Ấn Độ.

Tiến trình bài học

Mức độ phù hợp của việc sử dụng các kỹ thuật đếm nhanh.

Trong cuộc sống hiện đại, mỗi người thường phải thực hiện một khối lượng công việc tính toán, tính toán rất lớn. Vì vậy, mục đích của công việc của tôi là chỉ ra các phương pháp đếm dễ dàng, nhanh chóng và chính xác không chỉ giúp ích cho bạn trong bất kỳ phép tính nào mà còn gây bất ngờ đáng kể cho bạn bè và đồng đội của bạn, bởi vì việc thực hiện miễn phí các phép tính phần lớn có thể cho thấy tính độc đáo trí tuệ của bạn. Yếu tố cơ bản của văn hóa máy tính là có ý thức và kỹ năng tính toán mạnh. Vấn đề hình thành văn hóa tính toán có liên quan đến toàn bộ khóa học toán học ở trường, bắt đầu từ các lớp tiểu học, và không chỉ yêu cầu thành thạo các kỹ năng tính toán mà còn phải sử dụng chúng trong các tình huống khác nhau. Việc sở hữu các kỹ năng và khả năng tính toán có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc tổng hợp các tài liệu đang được nghiên cứu, nó cho phép người ta trau dồi những phẩm chất lao động có giá trị: thái độ có trách nhiệm với công việc, khả năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm trong công việc, thực hiện chính xác. nhiệm vụ và một thái độ làm việc sáng tạo. Tuy nhiên, thời gian gần đây trình độ kỹ năng tính toán, biến đổi biểu thức có chiều hướng đi xuống rõ rệt, học sinh mắc nhiều lỗi khi tính toán, ngày càng sử dụng máy tính bỏ túi, suy nghĩ chưa thấu đáo, ảnh hưởng không tốt đến chất lượng giáo dục và trình độ kiến ​​thức toán học. của sinh viên nói chung. Một trong những thành phần của văn hóa máy tính là đếm bằng lời nói có tầm quan trọng lớn. Khả năng thực hiện các phép tính đơn giản một cách nhanh chóng và chính xác “trong tâm trí” là cần thiết cho mỗi người.

Các cách nhân số cổ xưa.

1. Cách nhân 9 trên ngón tay cũ

Nó đơn giản. Để nhân bất kỳ số nào từ 1 đến 9 với 9, hãy nhìn vào các bàn tay. Gập ngón tay tương ứng với số đang được nhân (ví dụ: 9 x 3 - uốn cong ngón thứ ba), đếm số ngón tay cho đến ngón tay bị cong (trong trường hợp 9 x 3 - đây là 2), sau đó đếm sau ngón tay bị cong (trong trường hợp của chúng tôi - 7). Câu trả lời là 27.

2. Nhân theo phương pháp Ferrol.

Nhân đơn vị của tích nhân, nhân đơn vị của thừa số để được hàng chục, nhân hàng chục của một người với đơn vị của người kia và ngược lại và cộng kết quả, để được hàng trăm, nhân hàng chục. Sử dụng phương pháp Ferrol, có thể dễ dàng nhân các số có hai chữ số từ 10 đến 20 bằng lời nói.

Ví dụ: 12x14 = 168

a) 2x4 = 8, viết 8

b) 1x4 + 2x1 = 6, viết 6

c) 1x1 = 1, viết 1.

3. Phương pháp nhân của Nhật Bản

Kỹ thuật này tương tự như phép nhân với một cột, nhưng nó mất khá nhiều thời gian.

Sử dụng lễ tân. Giả sử chúng ta cần nhân 13 với 24. Hãy vẽ hình sau:

Bản vẽ này bao gồm 10 dòng (số có thể là bất kỳ)

• Những dòng này đại diện cho số 24 (2 dòng, thụt lề, 4 dòng)
• Và những dòng này đại diện cho số 13 (1 dòng, thụt lề, 3 dòng)

(các giao lộ trong hình được biểu thị bằng dấu chấm)

Số lần giao nhau:

• Cạnh trên bên trái: 2
• Cạnh dưới bên trái: 6
• Trên cùng bên phải: 4
• Dưới cùng bên phải: 12

1) Các dấu gạch chéo ở mép trên bên trái (2) - số đầu tiên của câu trả lời

2) Tổng các giao điểm của cạnh dưới bên trái và cạnh trên bên phải (6 + 4) - số thứ hai của câu trả lời

3) Các giao điểm ở cạnh dưới bên phải (12) - số thứ ba của câu trả lời.

Hóa ra: 2; 10; 12.

Tại vì hai số cuối có hai chữ số mà ta không viết được thì ta viết ra chỉ đơn vị, rồi cộng hàng chục vào trước.

4. Cách nhân của Ý. (“Lưới”)

Ở Ý, cũng như ở nhiều nước phương Đông, phương pháp này đã trở nên rất nổi tiếng.

Sử dụng lễ tân:

Ví dụ, hãy nhân 6827 với 345.

1. Chúng tôi vẽ một lưới ô vuông và viết một trong các số phía trên các cột và số thứ hai theo chiều cao.

2. Nhân số từng hàng liên tiếp với số của từng cột.

• 6 * 3 = 18. Viết ra 1 và 8
• 8 * 3 = 24. Viết ra 2 và 4

Nếu phép nhân tạo ra một số có một chữ số, chúng ta viết 0 ở trên cùng và số này ở dưới cùng.

(Như trong ví dụ của chúng tôi, khi nhân 2 với 3, chúng tôi nhận được 6. Ở trên cùng, chúng tôi viết 0 và ở dưới là 6)

3. Điền vào toàn bộ lưới và cộng các số theo các sọc chéo. Chúng tôi bắt đầu gấp từ phải sang trái. Nếu tổng của một đường chéo chứa hàng chục, thì chúng ta cộng chúng với các đơn vị của đường chéo tiếp theo.

Trả lời: 2355315.

5. Cách nhân của Nga.

Kỹ thuật nhân giống này đã được nông dân Nga sử dụng khoảng 2-4 thế kỷ trước, và được phát triển từ thời cổ đại. Bản chất của phương pháp này là: “Chúng ta chia thừa số thứ nhất bao nhiêu thì chúng ta nhân thừa số thứ hai bấy nhiêu.” Đây là một ví dụ: Chúng ta cần nhân 32 với 13. Đây là cách tổ tiên của chúng ta đã giải ví dụ này 3 -4 thế kỷ trước:

• 32 * 13 (32 chia cho 2 và 13 nhân với 2)
• 16 * 26 (16 chia cho 2 và 26 nhân với 2)
• 8 * 52 (v.v.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Quá trình tách tiếp tục cho đến khi thương là 1, đồng thời nhân đôi một số khác song song. Số nhân đôi cuối cùng cho kết quả mong muốn. Không khó để hiểu phương pháp này dựa trên điều gì: sản phẩm không thay đổi nếu một nhân tố giảm đi một nửa, nhân tố kia nhân đôi. Do đó, rõ ràng là do kết quả của việc lặp đi lặp lại thao tác này, sản phẩm mong muốn sẽ thu được.

Tuy nhiên, phải làm gì nếu bạn phải chia một số lẻ làm đôi? Cách phổ biến dễ dàng thoát khỏi khó khăn này. - Quy tắc nói là cần thiết, - trong trường hợp là số lẻ, hãy loại bỏ đơn vị và chia phần còn lại làm đôi; nhưng mặt khác, đến số cuối cùng của cột bên phải, cần phải cộng tất cả các số của cột này đứng với các số lẻ của cột bên trái: tổng sẽ là tích mong muốn. Trong thực tế, điều này được thực hiện theo cách mà tất cả các dòng có số chẵn bên trái đều bị gạch bỏ; chỉ những cái có chứa một số lẻ ở bên trái là còn lại. Đây là một ví dụ (dấu hoa thị cho biết dòng này nên được gạch bỏ):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Thêm các số chưa được gộp, chúng tôi nhận được kết quả hoàn toàn chính xác:

• 17 + 34 + 272 = 323.

Trả lời: 323.

6. Cách nhân giống của người Ấn Độ.

Phương pháp nhân giống này đã được sử dụng ở Ấn Độ cổ đại.

Ví dụ, để nhân 793 với 92, chúng ta viết một số dưới dạng cấp số nhân và dưới nó là một thừa số. Để điều hướng dễ dàng hơn, bạn có thể sử dụng lưới (A) làm tham chiếu.

Bây giờ chúng ta nhân chữ số bên trái của cấp số nhân với từng chữ số của cấp số nhân, nghĩa là 9x7, 9x9 và 9x3. Chúng tôi viết các sản phẩm kết quả trong lưới (B), ghi nhớ các quy tắc sau:

• Quy tắc 1. Các đơn vị của sản phẩm đầu tiên phải được viết trong cùng một cột với số nhân, nghĩa là trong trường hợp này là dưới 9.
• Quy tắc 2. Tác phẩm tiếp theo phải được viết sao cho các đơn vị được đặt vào cột ngay bên phải tác phẩm trước.

Lặp lại toàn bộ quá trình với các cấp số nhân khác, tuân theo các quy tắc tương tự (C).

Sau đó, chúng tôi cộng các số trong các cột và nhận được câu trả lời: 72956.

Như bạn có thể thấy, chúng tôi nhận được một danh sách lớn các tác phẩm. Người da đỏ, những người có thông lệ tuyệt vời, đã viết mỗi con số không phải ở cột tương ứng, mà ở trên cùng, càng xa càng tốt. Sau đó, họ cộng các số trong các cột và nhận được kết quả.

Sự kết luận

Chúng ta đã bước vào thiên niên kỷ mới! Những khám phá và thành tựu vĩ đại của nhân loại. Chúng tôi biết rất nhiều, chúng tôi có thể làm rất nhiều. Có vẻ như một điều gì đó siêu nhiên khi với sự trợ giúp của các con số và công thức, người ta có thể tính toán chuyến bay của một con tàu vũ trụ, “tình hình kinh tế” trong nước, thời tiết cho “ngày mai”, mô tả âm thanh của các nốt trong một giai điệu. Chúng ta biết đến câu nói của nhà toán học, triết học Hy Lạp cổ đại sống vào thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên - Pythagoras - “Mọi thứ đều là một con số!”.

Theo quan điểm triết học của nhà khoa học này và những người theo ông, các con số không chỉ chi phối thước đo và trọng lượng, mà còn tất cả các hiện tượng xảy ra trong tự nhiên, và là bản chất của sự hài hòa ngự trị trong thế giới, linh hồn của vũ trụ.

Mô tả các phương pháp tính toán cổ xưa và các phương pháp đếm nhanh hiện đại, tôi cố gắng chỉ ra rằng cả trong quá khứ và tương lai, người ta không thể làm được nếu không có toán học, một môn khoa học do trí óc con người tạo ra.

“Ai đã tham gia vào toán học từ khi còn nhỏ sẽ phát triển sự chú ý, rèn luyện trí não, ý chí, rèn luyện tính kiên trì và bền bỉ để đạt được mục tiêu.”(A.Markushevich)

Văn chương.

1. Bách khoa toàn thư cho trẻ em. "T.23". Từ điển Bách khoa Toàn thư \ ed. trường đại học: M. Aksyonova, E. Zhuravleva, D. Lury và những người khác - M .: Thế giới bách khoa toàn thư Avanta +, Astrel, 2008. - 688 tr.
2. Từ điển tiếng Nga của Ozhegov S.I. 57000 từ / Ed. thành viên - nút chai. ANSIR N.Yu. Shvedova. - Xuất bản lần thứ 20. - M .: Giáo dục, 2000. - 1012 tr.
3. Tôi muốn biết tất cả mọi thứ! The Great Illustrated Encyclopedia of Intelligence / Per. từ tiếng Anh. A. Zykova, K. Malkov, O. Ozerova. - M.: Nhà xuất bản EKMO, 2006. - 440 tr.
4. Sheinina O.S., Solovieva G.M. Toán học. Các lớp trong vòng trường 5-6 ô / O.S. Sheinina, G.M. Solovieva - M .: NXB NTsENAS, 2007. - 208 tr.
5. Kordemsky B. A., Akhadov A. A. Thế giới tuyệt vời của những con số: Một cuốn sách của học sinh, - M. Education, 1986.
6. Minskykh E. M. “Từ trò chơi đến kiến ​​thức”, M., “Khai sáng”, 1982
7. Svechnikov A. A. Những con số, những con số, những nhiệm vụ M., Khai sáng, 1977.
8. http://matsievsky.ru thư điện tử mới. ru / sys-schi / file15.htm
9. http: //sch69.narod. vi / mod / 1/6506 / history. html

Nghiên cứu toán học ở trường tiểu học

Tóm tắt ngắn gọn về công trình nghiên cứu
Mỗi học sinh biết cách nhân các số có nhiều chữ số với một “cột”. Trong bài báo này, tác giả chú ý đến sự tồn tại của các phương pháp nhân thay thế có sẵn cho học sinh nhỏ tuổi, có thể biến các phép tính "tẻ nhạt" thành một trò chơi thú vị.
Bài báo thảo luận về sáu cách phi truyền thống của phép nhân các số có nhiều chữ số được sử dụng trong các thời đại lịch sử khác nhau: nông dân Nga, mạng lưới, lâu đài nhỏ, Trung Quốc, Nhật Bản, theo bảng của V. Okoneshnikov.
Dự án được thiết kế để phát triển hứng thú nhận thức đối với chủ đề đang học, khắc sâu kiến ​​thức trong lĩnh vực toán học.
Mục lục
Giới thiệu 3
Chương 1. Các cách thay thế của phép nhân 4
1.1. Một chút lịch sử 4
1.2. Cách nhân 4 của nông dân Nga
1.3. Phép nhân bằng phương pháp "Little Castle" 5
1.4. Nhân các số theo phương pháp "ghen tuông" hoặc "phép nhân mạng tinh thể" 5
1.5. Phương pháp nhân 5 tiếng Trung
1.6. Phương pháp nhân 6 tiếng Nhật
1.7. Bảng Okoneshnikov 6
1.8. Phép nhân với một cột. 7
Chương 2. Phần thực hành 7
2.1. Cách nông dân 7
2.2. Lâu đài nhỏ 7
2.3. Phép nhân các số theo phương pháp "ghen tuông" hoặc "phép nhân mạng tinh thể" 7
2.4. Cách Trung Quốc 8
2.5. Nhật Bản cách 8
2.6. Bảng Okoneshnikov 8
2.7. Bảng câu hỏi 8
Kết luận 9
PHỤ LỤC 10

"Môn toán học rất nghiêm túc nên nhân cơ hội giải trí một chút sẽ rất hữu ích."
B. Pascal
Giới thiệu
Một người không thể làm mà không tính toán trong cuộc sống hàng ngày. Vì vậy, trong các giờ học toán, trước hết chúng ta được dạy để thực hiện các phép toán trên các con số, tức là đếm. Chúng tôi nhân, chia, cộng và trừ theo những cách thông thường cho tất cả mọi người được học ở trường. Một câu hỏi đặt ra: có những cách tính toán thay thế nào khác không? Tôi muốn nghiên cứu chúng chi tiết hơn. Để trả lời những câu hỏi này, nghiên cứu này đã được thực hiện.
Mục đích của nghiên cứu: xác định các phương pháp nhân giống phi truyền thống để nghiên cứu khả năng ứng dụng của chúng.
Để phù hợp với mục tiêu, chúng tôi đã xây dựng các nhiệm vụ sau:
- Tìm càng nhiều cách nhân khác thường càng tốt.
- Học cách áp dụng chúng.
- Chọn cho mình những cái thú vị nhất hoặc dễ hơn những cái được cung cấp ở trường, và sử dụng chúng khi đếm.
- Kiểm tra thực hành phép nhân số có nhiều chữ số.
- Thực hiện khảo sát học sinh khối 4
Đối tượng nghiên cứu: các thuật toán nhân nhiều chữ số không chuẩn khác nhau
Đối tượng nghiên cứu: hành động toán học "phép nhân"
Giả thuyết: Nếu có những cách tiêu chuẩn để nhân các số có nhiều chữ số, thì có lẽ có những cách khác.
Sự liên quan: phổ biến kiến ​​thức về các phương pháp nhân thay thế.
Ý nghĩa thực tiễn. Trong quá trình làm việc, nhiều ví dụ đã được giải quyết và một album được tạo ra, bao gồm các ví dụ với các thuật toán khác nhau để nhân các số có nhiều giá trị theo một số cách thay thế. Điều này có thể khiến các bạn cùng lớp quan tâm đến việc mở rộng tầm nhìn toán học của họ và phục vụ như là sự khởi đầu của các thí nghiệm mới.

Chương 1

1.1. Một chút về lịch sử
Các phương pháp tính toán mà chúng ta sử dụng bây giờ không phải lúc nào cũng đơn giản và thuận tiện. Ngày xưa, các phương pháp rườm rà hơn và chậm hơn được sử dụng. Và nếu một nam sinh hiện đại có thể quay ngược trở lại năm trăm năm, anh ta sẽ khiến mọi người kinh ngạc với tốc độ và độ chính xác trong các phép tính của mình. Tin đồn về ông sẽ lan truyền khắp các trường học và tu viện xung quanh, làm lu mờ ánh hào quang của những người thợ giỏi nhất thời đại đó, và mọi người sẽ đến từ khắp nơi để học với vị đại sư mới.
Các phép toán nhân và chia ngày xưa đặc biệt khó.
Trong cuốn sách của V. Bellyustin “Làm thế nào con người dần đạt đến số học thực sự”, 27 phương pháp nhân được nêu ra, và tác giả lưu ý: “rất có thể có nhiều phương pháp hơn ẩn trong hốc của kho lưu trữ sách, rải rác trong vô số, chủ yếu là các bộ sưu tập viết tay ”. Và tất cả các phương pháp nhân này đã cạnh tranh với nhau và bị đồng hóa với nhau rất khó khăn.
Hãy xem xét các cách nhân đơn giản và thú vị nhất.
1.2. Cách nhân giống nông dân Nga
Ở Nga, cách đây 2-3 thế kỷ, một phương pháp đã được phổ biến trong nông dân một số tỉnh mà không cần phải biết toàn bộ bảng cửu chương. Nó chỉ cần thiết để có thể nhân và chia cho 2. Phương pháp này được gọi là phương pháp nông dân.
Để nhân hai số, người ta viết chúng cạnh nhau, sau đó số bên trái được chia cho 2 và số bên phải được nhân với 2. Ghi kết quả vào một cột cho đến khi bên trái còn lại 1. Phần còn lại thì bỏ đi. Chúng tôi gạch bỏ những dòng có số chẵn ở bên trái. Các số còn lại trong cột bên phải được thêm vào.
1.3. Phép nhân bằng phương pháp "Little Castle"
Nhà toán học người Ý Luca Pacioli trong chuyên luận "Tổng kiến ​​thức về số học, tỉ lệ và tỉ lệ" (1494) đã đưa ra tám phương pháp nhân khác nhau. Công trình đầu tiên được gọi là "Little Castle".
Ưu điểm của phương pháp nhân “Little Castle” là các chữ số của các chữ số cao nhất được xác định ngay từ đầu, và điều này có thể quan trọng nếu bạn cần nhanh chóng ước tính giá trị.
Các chữ số của số trên, bắt đầu từ chữ số có nghĩa nhất, được lần lượt nhân với số dưới và được viết trong một cột có thêm số lượng không cần thiết. Sau đó, kết quả được cộng lại.
1.4. Nhân các số bằng phương pháp "ghen tuông" hoặc "phép nhân mạng tinh thể"
Phương pháp thứ hai của Luca Pacioli được gọi là "ghen tuông" hay "phép nhân mạng tinh thể".
Đầu tiên, một hình chữ nhật được vẽ, chia thành các hình vuông. Sau đó, các ô vuông được chia theo đường chéo và "... nó tạo ra một bức tranh trông giống như cửa chớp, mành", Pacioli viết. “Những cửa chớp như vậy được treo trên cửa sổ của các ngôi nhà ở Venice, ngăn người qua đường nhìn thấy các quý bà và nữ tu ngồi bên cửa sổ.”
Nhân từng chữ số của thừa số thứ nhất với từng chữ số của thừa số thứ hai, các tích được viết vào các ô tương ứng, đặt hàng chục ở trên đường chéo và đơn vị ở dưới nó. Các chữ số của sản phẩm có được bằng cách thêm các chữ số trong các sọc xiên. Kết quả của các lần bổ sung được ghi dưới bảng, cũng như bên phải của nó.
1.5. Phương pháp nhân Trung Quốc
Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng một phương pháp nhân, được thảo luận sôi nổi trên Internet, được gọi là Trung Quốc. Khi nhân các số, các giao điểm của các đường được xem xét, tương ứng với số chữ số của mỗi chữ số của cả hai thừa số.
1.6. Phương pháp nhân Nhật Bản
Phương pháp nhân Nhật Bản là một phương pháp đồ họa sử dụng các đường tròn và đường thẳng. Hài hước và thú vị không kém gì tiếng Trung. Ngay cả một cái gì đó giống như anh ta.
1.7. Bàn của Okoneshnikov
Tiến sĩ Triết học Vasily Okoneshnikov, người cũng là người phát minh ra hệ thống đếm nhẩm mới, tin rằng học sinh sẽ có thể học cách cộng và nhân hàng triệu, hàng tỷ và thậm chí hàng triệu giới tính với bốn tỷ bằng miệng. Theo bản thân nhà khoa học, hệ thống chín thập phân có lợi nhất về mặt này - tất cả dữ liệu chỉ đơn giản được đặt trong chín ô được sắp xếp giống như các nút trên máy tính.
Theo nhà khoa học này, trước khi trở thành "máy tính" tin học, cần phải học thuộc bảng do mình tạo ra.
Bàn được chia thành 9 phần. Chúng được sắp xếp theo nguyên tắc của một máy tính mini: bên trái ở góc dưới "1", bên phải ở góc trên "9". Mỗi phần là một bảng cửu chương các số từ 1 đến 9 (theo cùng một hệ thống "nút bấm"). Để nhân một số bất kỳ, chẳng hạn với 8, ta tìm một hình vuông lớn tương ứng với số 8 và viết ra từ hình vuông này các số tương ứng với các chữ số của cấp nhân nhiều trị. Chúng tôi đặc biệt thêm vào các số kết quả: chữ số đầu tiên không thay đổi, và tất cả các số còn lại được cộng theo cặp. Số kết quả sẽ là kết quả của phép nhân.
Nếu phép cộng hai chữ số tạo ra một số lớn hơn chín, thì chữ số đầu tiên của nó được thêm vào chữ số trước của kết quả, và chữ số thứ hai được viết vào vị trí “riêng” của nó.
Phương pháp luận mới đã được thử nghiệm tại một số trường học và đại học của Nga. Bộ Giáo dục Liên bang Nga cho phép xuất bản một bảng cửu chương mới trong sổ tay bình phương cùng với bảng Pitago thông thường - cho đến nay chỉ là để làm quen.
1.8. Phép nhân cột.
Không nhiều người biết rằng tác giả của phương pháp thông thường của chúng ta để nhân một số có nhiều chữ số với một số có nhiều chữ số theo một cột nên được coi là Adam Rize (Phụ lục 7). Thuật toán này được coi là thuận tiện nhất.
Chương 2. Phần thực hành
Nắm vững các phương pháp nhân được liệt kê, nhiều ví dụ đã được giải, một album với các mẫu của các thuật toán tính toán khác nhau đã được thiết kế. (Đăng kí). Hãy xem xét thuật toán tính toán với các ví dụ.
2.1. cách nông dân
Nhân 47 với 35 (Phụ lục 1),
-Viết các số trên một dòng, kẻ một đường thẳng đứng giữa chúng;
-chúng ta sẽ chia số bên trái cho 2, nhân số bên phải với 2 (nếu một phần dư xảy ra trong quá trình chia, thì chúng tôi loại bỏ phần còn lại);
- phép chia kết thúc khi một đơn vị xuất hiện ở bên trái;
- gạch bỏ những dòng có số chẵn ở bên trái;
Chúng tôi thêm các số còn lại ở bên phải - đây là kết quả.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Sự kết luận. Phương pháp thuận tiện vì chỉ cần biết bảng là đủ bằng 2. Tuy nhiên khi làm việc với số lượng lớn thì rất cồng kềnh. Thuận tiện cho việc làm việc với các số có hai chữ số.
2.2. lâu đài nhỏ
(Phụ lục 2). Sự kết luận. Phương pháp này rất giống với "cột" hiện đại của chúng tôi. Hơn nữa, con số của các cấp bậc cao nhất được xác định ngay lập tức. Điều này rất quan trọng nếu bạn cần nhanh chóng ước tính giá trị.
2.3. Nhân các số bằng phương pháp "ghen tuông" hoặc "phép nhân mạng tinh thể"
Ví dụ, hãy nhân các số 6827 và 345 (Phụ lục 3):
1. Chúng tôi vẽ một lưới hình vuông và viết một trong các số nhân phía trên các cột và số thứ hai - theo chiều cao.
2. Nhân số từng hàng liên tiếp với số của từng cột. Chúng ta lần lượt nhân 3 với 6, 8, 2 và 7, v.v.
4. Cộng các số theo các sọc chéo. Nếu tổng của một đường chéo chứa hàng chục, thì chúng ta cộng chúng vào đường chéo tiếp theo.
Từ kết quả của phép cộng các số theo đường chéo, ta được số 2355315, là tích của hai số 6827 và 345, tức là 6827 ∙ 345 = 2355315.
Sự kết luận. Phương pháp "nhân mạng tinh thể" không tệ hơn phương pháp thông thường. Nó thậm chí còn đơn giản hơn, vì các số được nhập vào các ô của bảng trực tiếp từ bảng cửu chương mà không cần cộng đồng thời, có trong phương pháp chuẩn.
2.4. Cách Trung Quốc
Giả sử bạn cần nhân 12 với 321 (Phụ lục 4). Trên một tờ giấy, hãy vẽ xen kẽ các đường kẻ, số lượng đường được xác định từ ví dụ này.
Chúng tôi vẽ số đầu tiên - 12. Để làm điều này, từ trên xuống dưới, từ trái sang phải, chúng tôi vẽ:
một cây gậy xanh (1)
và hai quả cam (2).
Chúng tôi vẽ số thứ hai - 321, từ dưới lên trên, từ trái sang phải:
ba que huong xanh (3);
hai đỏ (2);
một hoa cà (1).
Bây giờ chúng ta tách các điểm giao nhau bằng bút chì đơn giản và tiến hành đếm chúng. Chúng ta di chuyển từ phải sang trái (theo chiều kim đồng hồ): 2, 5, 8, 3.
Đọc kết quả từ trái sang phải - 3852
Sự kết luận. Một cách thú vị, nhưng để vẽ 9 đoạn thẳng khi nhân với 9 thì dài và không thú vị thế nào đó, rồi tính thêm các điểm giao nhau. Nếu không có kỹ năng, rất khó để hiểu được phép chia một số thành các chữ số. Nói chung, bạn không thể làm gì nếu không có bảng cửu chương!
2.5. Cách Nhật Bản
Nhân 12 với 34 (Phụ lục 5). Vì thừa số thứ hai là một số có hai chữ số và chữ số đầu tiên của thừa số thứ nhất là 1, chúng tôi xây dựng hai vòng tròn đơn ở hàng trên cùng và hai vòng tròn nhị phân ở hàng dưới, vì chữ số thứ hai của thừa số thứ nhất là 2 .
Vì chữ số đầu tiên của thừa số thứ hai là 3 và của thừa số thứ hai là 4, chúng ta chia các hình tròn của cột thứ nhất thành ba phần, cột thứ hai thành bốn phần.
Số phần mà các hình tròn được chia là đáp số, tức là 12 x 34 = 408.
Sự kết luận. Phương pháp này rất giống với đồ họa của Trung Quốc. Chỉ các đường thẳng được thay thế bằng các đường tròn. Việc xác định các chữ số của một số dễ dàng hơn, nhưng việc vẽ các đường tròn kém thuận tiện hơn.
2.6. Bàn của Okoneshnikov
Yêu cầu phải nhân 15647 x 5. Chúng tôi ngay lập tức nhớ lại “nút” 5 lớn (nó nằm ở giữa) và trên đó, chúng tôi nhẩm tìm các nút nhỏ 1, 5, 6, 4, 7 (chúng cũng nằm ở vị trí trên một máy tính bỏ túi). Chúng tương ứng với các số 05, 25, 30, 20, 35. Ta cộng các số được kết quả: chữ số đầu tiên là 0 (không đổi), 5 nhẩm với 2 ta được 7 - đây là chữ số thứ hai của kết quả , 5 được thêm vào 3, ta được chữ số thứ ba - 8, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3 và chữ số cuối cùng của tích còn lại - 5. Kết quả là 78,235.
Sự kết luận. Phương pháp rất tiện lợi, nhưng bạn cần phải học thuộc lòng hoặc luôn có sẵn bàn trong tay.
2.7. Khảo sát sinh viên
Một cuộc khảo sát đã được thực hiện giữa các học sinh lớp bốn. 26 người đã tham gia (Phụ lục 8). Dựa trên cuộc khảo sát cho thấy rằng tất cả những người được hỏi đều biết cách nhân giống theo cách truyền thống. Nhưng hầu hết mọi người không biết về các phương pháp nhân phi truyền thống. Và có những người muốn làm quen với họ.
Sau buổi khảo sát ban đầu, một hoạt động ngoại khóa “Nhân với đam mê” đã được tổ chức, tại đây các em được làm quen với các thuật toán nhân thay thế. Sau đó, một cuộc khảo sát đã được thực hiện để xác định các phương pháp được yêu thích nhất. Lãnh đạo không thể tranh cãi là phương pháp hiện đại nhất của Vasily Okoneshnikov. (Phụ lục 9)
Sự kết luận
Sau khi học đếm theo tất cả các cách đã trình bày, tôi tin rằng phương pháp nhân tiện lợi nhất là phương pháp "Little Castle" - bởi vì nó rất giống với phương pháp hiện tại của chúng ta!
Trong số tất cả các phương pháp đếm khác thường mà tôi tìm thấy, phương pháp "Nhật Bản" có vẻ thú vị hơn. Phương pháp đơn giản nhất đối với tôi là phương pháp "nhân đôi và chia nhỏ" được nông dân Nga sử dụng. Tôi sử dụng nó khi nhân các số không quá lớn. Nó rất thuận tiện để sử dụng nó khi nhân các số có hai chữ số.
Vì vậy, tôi đã đạt được mục tiêu nghiên cứu của mình - Tôi đã nghiên cứu và học cách áp dụng các cách nhân các số có nhiều chữ số phi truyền thống. Giả thuyết của tôi đã được xác nhận - tôi đã thành thạo sáu phương pháp thay thế và phát hiện ra rằng đây không phải là tất cả các thuật toán khả thi.
Các phương pháp nhân bất thường mà tôi đã nghiên cứu rất thú vị và có quyền tồn tại. Và trong một số trường hợp, chúng thậm chí còn dễ sử dụng hơn. Tôi nghĩ rằng bạn có thể nói về sự tồn tại của những phương pháp này ở trường, ở nhà và gây ngạc nhiên cho bạn bè và người quen của bạn.
Từ trước đến nay, chúng ta chỉ mới nghiên cứu và phân tích các phương pháp nhân đã biết. Nhưng ai biết được, có lẽ trong tương lai chính chúng ta sẽ có thể khám phá ra những cách nhân giống mới. Ngoài ra, tôi không muốn dừng lại ở đó và tiếp tục nghiên cứu các phương pháp nhân giống phi truyền thống.
Danh sách các nguồn thông tin
1. Danh sách tài liệu tham khảo
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Toán học giải trí. - M.: AST - PRESS, 1999. - 368 tr.
1.2. Belyustina V. Làm thế nào mọi người dần dần đến với số học thực sự. - LKI, 2012.-208 tr.
1.3. Depman I. Những câu chuyện về toán học. - Leningrad: Giáo dục, 1954. - 140 tr.
1.4. Likum A. Mọi thứ về mọi thứ. T. 2. - M .: Philological Society "Word", 1993. - 512 tr.
1.5. Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. Những vấn đề giải trí cổ xưa. - M.: Khoa học. Ấn bản chính của tài liệu vật lý và toán học, 1985. - 160 tr.
1.6. Perelman Ya.I. Giải trí số học. - M.: Rusanova, 1994 - 205.
1.7. Perelman Ya.I. Tài khoản nhanh chóng. Ba mươi phương pháp đếm nhẩm đơn giản. L.: Lenizdat, 1941 - 12 tr.
1.8. Savin A.P. Hình thu nhỏ toán học. Toán học giải trí cho trẻ em. - M.: Văn học thiếu nhi, 1998 - 175 tr.
1.9. Bách khoa toàn thư cho trẻ em. Toán học. - M.: Avanta +, 2003. - 688 tr.
1.10. Tôi biết thế giới: Bách khoa toàn thư dành cho trẻ em: Toán học / comp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 tr.
2. Các nguồn thông tin khác
Tài nguyên Internet:
2.1. Korneev A.A. Hiện tượng nhân hoá của Nga. Câu chuyện. [Nguồn điện tử]