Biểu thức, phương trình và hệ phương trình
với số phức

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các thao tác điển hình với số phức, cũng như nắm vững kỹ thuật giải biểu thức, phương trình và hệ phương trình chứa các số này. Hội thảo này là phần tiếp theo của bài học, vì vậy nếu bạn không quen thuộc với chủ đề này, vui lòng theo liên kết ở trên. Chà, tôi đề nghị những độc giả chuẩn bị kỹ càng hơn hãy khởi động ngay lập tức:

ví dụ 1

Đơn giản hóa biểu thức , Nếu như . Trình bày kết quả dưới dạng lượng giác và biểu diễn nó trên mặt phẳng phức.

Giải pháp: vì vậy, bạn cần thay thế phần "khủng khiếp", tiến hành đơn giản hóa và dịch kết quả số phức V dạng lượng giác. Thêm nữa chết tiệt.

Cách tốt nhất để đưa ra quyết định là gì? Với sự "sang chảnh" biểu thức đại số Tốt hơn là nên thực hiện từng bước một. Thứ nhất, sự chú ý ít bị phân tán hơn và thứ hai, nếu nhiệm vụ không được ghi có, việc tìm ra lỗi sẽ dễ dàng hơn nhiều.

1) Trước tiên hãy đơn giản hóa tử số. Thay giá trị vào đó, mở ngoặc và sửa kiểu tóc:

... Vâng, một Quasimodo như vậy từ những con số phức tạp hóa ra ...

Tôi xin nhắc lại với bạn rằng trong quá trình biến đổi, những thứ hoàn toàn ngây thơ được sử dụng - quy tắc nhân đa thức và đẳng thức vốn đã tầm thường. Điều chính là phải cẩn thận và không bị nhầm lẫn trong các dấu hiệu.

2) Bây giờ mẫu số là tiếp theo. Nếu , thì:

Lưu ý trong những gì một giải thích bất thường được sử dụng công thức tổng bình phương. Ngoài ra, bạn có thể thay đổi tại đây công thức con . Tất nhiên, kết quả sẽ phù hợp.

3) Và cuối cùng, toàn bộ biểu thức. Nếu , thì:

Để loại bỏ phân số, chúng ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp với mẫu số. Tuy nhiên, với mục đích áp dụng sự khác biệt của công thức hình vuông nên sơ bộ (và chắc chắn!)đặt phần thực âm ở vị trí thứ 2:

Và bây giờ là quy tắc chính:

KHÔNG CÓ SỰ KIỆN NÀO CHÚNG TÔI KHÔNG NHANH! Tốt hơn là chơi an toàn và quy định thêm một bước.
Trong các biểu thức, phương trình và hệ thống với các số phức tính toán bằng miệng đầy rẫy hơn bao giờ hết!

Có một sự co lại tốt đẹp trong bước cuối cùng và đó chỉ là một dấu hiệu tuyệt vời.

Ghi chú : nói đúng ra, phép chia số phức cho số phức 50 đã diễn ra ở đây (hãy nhớ lại điều đó ). Tôi đã giữ im lặng về sắc thái này cho đến bây giờ và chúng ta sẽ nói về nó sau.

Hãy biểu thị thành tích của chúng ta bằng chữ cái

Hãy biểu diễn kết quả dưới dạng lượng giác. Nói chung, ở đây bạn có thể làm mà không cần bản vẽ, nhưng ngay khi cần thiết, việc hoàn thành nó ngay bây giờ sẽ hợp lý hơn một chút:

Tính mô đun của một số phức:

Nếu bạn thực hiện một bản vẽ theo tỷ lệ 1 đơn vị. \u003d 1 cm (2 ô tứ giác), thì giá trị kết quả có thể dễ dàng kiểm tra bằng thước thông thường.

Hãy tìm một đối số. Vì số đó ở vị trí thứ 2 tọa độ quý, Cái đó:

Góc được kiểm tra đơn giản bằng thước đo góc. Đây là điểm cộng chắc chắn của bản vẽ.

Do đó: - số mong muốn ở dạng lượng giác.

Hãy kiểm tra:
, đã được xác minh.

Thật thuận tiện để tìm các giá trị không quen thuộc của sin và cosin bằng cách bảng lượng giác.

Trả lời:

Ví dụ tương tự cho quyết định độc lập:

ví dụ 2

Đơn giản hóa biểu thức , Ở đâu . Vẽ số kết quả trên mặt phẳng phức và viết nó dưới dạng số mũ.

Cố gắng đừng bỏ lỡ nghiên cứu trường hợp. Chúng có vẻ đơn giản, nhưng nếu không được đào tạo, việc “đi vào vũng nước” không chỉ dễ dàng mà còn rất dễ dàng. Vì vậy, chúng ta hãy bắt tay vào nó.

Thường thì vấn đề cho phép nhiều hơn một giải pháp:

ví dụ 3

Tính nếu ,

Giải pháp: trước hết, hãy chú ý đến điều kiện ban đầu - một số được biểu thị ở dạng đại số, số còn lại ở dạng lượng giác và thậm chí có độ. Hãy ngay lập tức viết lại nó dưới dạng quen thuộc hơn: .

Các tính toán nên được thực hiện dưới hình thức nào? Biểu thức , rõ ràng, liên quan đến phép nhân đầu tiên và tiếp tục nâng lên lũy thừa 10 trong Công thức Moivre, được lập công thức cho dạng lượng giác của một số phức. Do đó, có vẻ hợp lý hơn khi chuyển đổi số đầu tiên. Tìm mô-đun và đối số của nó:

Ta sử dụng quy tắc nhân các số phức dưới dạng lượng giác:
nếu thì

Làm cho phân số chính xác, chúng tôi đi đến kết luận rằng có thể "xoắn" 4 lượt ( vui mừng.):

Cách giải thứ hai là dịch số thứ 2 về dạng đại số , thực hiện phép nhân trong dạng đại số, dịch kết quả sang dạng lượng giác và sử dụng công thức De Moivre.

Như bạn có thể thấy, một hành động "thêm". Những người muốn có thể làm theo giải pháp đến cùng và đảm bảo rằng kết quả phù hợp.

Điều kiện không nói gì về dạng của số phức kết quả, vì vậy:

Trả lời:

Nhưng “vì vẻ đẹp” hoặc theo yêu cầu, kết quả có thể dễ dàng được biểu diễn dưới dạng đại số:

Riêng mình:

Ví dụ 4

Đơn giản hóa biểu thức

Ở đây cần phải nhớ hành động với quyền lực, mặc dù một quy tắc hữu ích không có trong sách hướng dẫn, đây là: .

Một điều nữa lưu ý quan trọng: Ví dụ này có thể được giải theo hai kiểu. Tùy chọn đầu tiên là làm việc với hai số và quy về phân số. Tùy chọn thứ hai là đại diện cho từng số ở dạng thương của hai số: Và thoát khỏi bốn tầng. Từ quan điểm chính thức, việc quyết định như thế nào không có gì khác biệt, nhưng có một sự khác biệt có ý nghĩa! Hãy xem xét kỹ:
là số phức;
là thương của hai số phức ( và ), tuy nhiên, tùy thuộc vào ngữ cảnh, người ta cũng có thể nói thế này: một số được biểu diễn dưới dạng thương của hai số phức.

Giải pháp nhanh và đáp án ở cuối bài.

Biểu thức là tốt, nhưng phương trình là tốt hơn:

Phương trình với hệ số phức tạp

Chúng khác với phương trình "thông thường" như thế nào? Hệ số =)

Theo nhận xét trên, hãy bắt đầu với ví dụ này:

Ví dụ 5

giải phương trình

Và một lời mở đầu ngay lập tức trong việc theo đuổi nóng bỏng: ban đầu phần bên phải phương trình được định vị là một thương số của hai số phức ( và 13), và do đó sẽ là một dạng xấu nếu viết lại điều kiện bằng số (mặc dù nó sẽ không gây ra lỗi). Nhân tiện, sự khác biệt này được thấy rõ hơn trong các phân số - nếu, nói một cách tương đối, , thì giá trị này chủ yếu được hiểu là nghiệm phức "đầy đủ" của phương trình, và không phải là ước số của số , và thậm chí còn hơn thế nữa - không phải là một phần của số !

Giải pháp về nguyên tắc, cũng có thể được soạn thảo từng bước, nhưng trong trường hợp này trò chơi không đáng giá nến. Nhiệm vụ ban đầu là đơn giản hóa mọi thứ không chứa chữ "Z" không xác định, do đó phương trình sẽ được rút gọn về dạng:

Tự tin rút gọn phân số trung bình cộng:

Chúng tôi chuyển kết quả sang phía bên phải và tìm sự khác biệt:

Ghi chú : và một lần nữa tôi thu hút sự chú ý của bạn đến điểm có ý nghĩa - ở đây chúng tôi đã không trừ số khỏi số, mà tổng các phân số thành mẫu số chung! Cần lưu ý rằng trong quá trình giải quyết, không bị cấm làm việc với các số: , tuy nhiên, trong ví dụ đang xem xét, phong cách như vậy có hại nhiều hơn là hữu ích =)

Theo quy tắc tỷ lệ, chúng tôi biểu thị "z":

Giờ đây, bạn có thể lại chia và nhân cho biểu thức liền kề, nhưng các số giống nhau một cách đáng ngờ của tử số và mẫu số gợi ý bước sau:

Trả lời:

Đối với mục đích xác minh, chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào phía bên trái của phương trình ban đầu và thực hiện đơn giản hóa:

- vế phải của phương trình ban đầu thu được, do đó tìm được nghiệm đúng.

…Ngay bây giờ…Tôi sẽ chọn thứ gì đó thú vị hơn cho bạn…chờ đã:

Ví dụ 6

giải phương trình

phương trình này rút gọn về dạng , và do đó là tuyến tính. Gợi ý, tôi nghĩ, rất rõ ràng - cứ làm đi!

Tất nhiên ... làm thế nào bạn có thể sống mà không có nó:

Phương trình bậc hai với hệ số phức

tại buổi học Số phức cho người giả chúng tôi đã học được điều đó phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có nghiệm phức liên hợp, sau đó một câu hỏi logic được đặt ra: trên thực tế, tại sao bản thân các hệ số không thể phức tạp? tôi sẽ xây dựng trường hợp chung:

Phương trình bậc hai với hệ số phức tùy ý (1 hoặc 2 trong số đó hoặc cả ba có thể đặc biệt hợp lệ) Nó có hai và chỉ hai rễ phức tạp (có thể một trong số đó hoặc cả hai đều hợp lệ). Trong khi rễ (cả phần thực và phần ảo khác 0) có thể trùng nhau (là nhiều).

Một phương trình bậc hai với các hệ số phức tạp được giải theo cách tương tự như phương trình "trường học", với một số khác biệt trong kỹ thuật tính toán:

Ví dụ 7

Tìm nghiệm của phương trình bậc hai

Giải pháp: đơn vị tưởng tượng ở vị trí đầu tiên và về nguyên tắc, bạn có thể loại bỏ nó (nhân cả hai vế với ), tuy nhiên, không có nhu cầu đặc biệt cho việc này.

Để thuận tiện, chúng tôi viết các hệ số:

Chúng tôi không mất "điểm trừ" của thành viên miễn phí! ... Mọi người có thể không rõ - Tôi sẽ viết lại phương trình trong mẫu :

Hãy tính toán biệt thức:

Đây là rào cản chính:

Ứng dụng công thức chung nhổ tận gốc (xem đoạn cuối bài viết Số phức cho người giả) phức tạp bởi những khó khăn nghiêm trọng liên quan đến đối số của số phức căn (xem cho chính mình). Nhưng có một cách khác, "đại số"! Chúng tôi sẽ tìm kiếm gốc ở dạng:

Hãy bình phương cả hai bên:

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau. Như vậy, chúng tôi nhận được hệ thống tiếp theo:

Hệ thống dễ dàng hơn để giải quyết bằng cách chọn (cách triệt để hơn là biểu diễn từ phương trình thứ 2 - thế vào phương trình thứ nhất, nhận và giải phương trình bậc hai) . Giả sử rằng tác giả của vấn đề không phải là một con quái vật, chúng tôi đưa ra giả thuyết rằng và là các số nguyên. Từ phương trình thứ nhất suy ra "x" modulo nhiều hơn "y". Ngoài ra, tích dương cho ta biết các ẩn số cùng dấu. Dựa trên những điều đã nói ở trên và tập trung vào phương trình thứ 2, chúng tôi viết ra tất cả các cặp khớp với nó:

Rõ ràng, hai cặp cuối cùng thỏa mãn phương trình thứ nhất của hệ thống, do đó:

Một kiểm tra trung gian sẽ không làm tổn thương:

mà đã được kiểm tra.

Là một root "đang hoạt động", bạn có thể chọn bất kì nghĩa. Rõ ràng là tốt hơn nên dùng phiên bản không có "khuyết điểm":

Nhân tiện, chúng tôi tìm ra gốc rễ, không quên rằng:

Trả lời:

Hãy kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn phương trình không :

1) Thay thế:

đẳng thức đúng.

2) Thay thế:

đẳng thức đúng.

Do đó, giải pháp được tìm thấy chính xác.

Lấy cảm hứng từ vấn đề vừa được thảo luận:

Ví dụ 8

Tìm nghiệm của phương trình

Cần lưu ý rằng Căn bậc hai từ hoàn toàn phức tạp các số được trích xuất hoàn hảo và sử dụng công thức chung , Ở đâu , vì vậy cả hai phương pháp đều được hiển thị trong mẫu. Nhận xét hữu ích thứ hai liên quan đến thực tế là việc rút sơ bộ nghiệm từ hằng số không đơn giản hóa lời giải chút nào.

Và bây giờ bạn có thể thư giãn - trong ví dụ này, bạn sẽ thoát ra với một chút sợ hãi :)

Ví dụ 9

Giải phương trình và kiểm tra

Lời giải và đáp án cuối bài.

Đoạn cuối của bài viết được dành cho

hệ phương trình với số phức

Chúng tôi thư giãn và ... chúng tôi không căng thẳng =) Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất- một hệ thống hai Các phương trình tuyến tính với hai ẩn số:

Ví dụ 10

Giải hệ phương trình. Trình bày đáp số ở dạng đại số và hàm mũ, vẽ hình vẽ nguyên hàm.

Giải pháp: chính điều kiện cho rằng hệ có nghiệm duy nhất, tức là ta cần tìm 2 số thỏa mãn cho mỗi phương trình hệ thống.

Hệ thống thực sự có thể được giải theo cách “trẻ con” (thể hiện một biến theo một biến khác) , nhưng nó thuận tiện hơn nhiều để sử dụng Công thức Cramer. tính toán yếu tố quyết định chính hệ thống:

, nên hệ có nghiệm duy nhất.

Tôi nhắc lại rằng tốt hơn hết là đừng vội vàng và hãy quy định các bước càng chi tiết càng tốt:

Chúng tôi nhân tử số và mẫu số với một đơn vị ảo và lấy căn bậc 1:

Tương tự:

Các vế phải tương ứng, p.t.p.

Hãy thực hiện bản vẽ:

Chúng tôi đại diện cho các gốc ở dạng số mũ. Để làm điều này, bạn cần tìm các mô-đun và đối số của chúng:

1) - tiếp tuyến cung của "hai" được tính "kém", vì vậy chúng tôi để nó như thế này:

Để giải các bài toán về số phức, bạn cần nắm được các định nghĩa cơ bản. nhiệm vụ chinh của bài tổng quan này - nhằm giải thích số phức là gì và trình bày các phương pháp giải các bài toán cơ bản với số phức. Như vậy số phức là số có dạng z = a + bi, Ở đâu một, b- số thực, lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của số phức, và biểu thị a = Re(z), b=Im(z).
Tôiđược gọi là đơn vị ảo. tôi 2 \u003d -1. Đặc biệt, bất kỳ số thực nào cũng có thể được coi là số phức: a = a + 0i, trong đó a là số thực. Nếu như một = 0 Và b ≠ 0, thì số được gọi là thuần ảo.

Bây giờ chúng ta giới thiệu các phép toán trên số phức.
Xét hai số phức z 1 = a 1 + b 1 i Và z 2 = a 2 + b 2 i.

Coi như z = a + bi.

Tập hợp các số phức mở rộng tập hợp các số thực, từ đó mở rộng tập hợp số hữu tỉ vân vân. Chuỗi đầu tư này có thể được nhìn thấy trong hình: N - số nguyên, Z là số nguyên, Q là số hữu tỉ, R là số thực, C là số phức.

Biểu diễn số phức

Kí hiệu đại số.

Xét một số phức z = a + bi, dạng viết số phức này được gọi là đại số. Chúng ta đã thảo luận chi tiết về hình thức viết này trong phần trước. Khá thường xuyên sử dụng bản vẽ minh họa sau đây

dạng lượng giác.

Có thể thấy từ hình vẽ rằng số z = a + bi có thể được viết khác nhau. Hiển nhiên là a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, kể từ đây z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) được gọi là đối số của một số phức. Biểu diễn này của một số phức được gọi là dạng lượng giác. Dạng ký hiệu lượng giác đôi khi rất thuận tiện. Ví dụ, thật thuận tiện khi sử dụng nó để nâng một số phức lên một lũy thừa nguyên, cụ thể là, nếu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Cái đó z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, công thức này được gọi là Công thức De Moivre.

Hình thức biểu tình.

Coi như z = rcos(φ) + rsin(φ)i là số phức ở dạng lượng giác, ta viết nó ở dạng khác z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, đẳng thức cuối cùng xuất phát từ công thức Euler, vì vậy chúng tôi nhận được hình thức mới mục số phức: z = lại iφ, được gọi là Biểu tình. Dạng ký hiệu này cũng rất thuận tiện cho việc nâng một số phức lên lũy thừa: z n = r n e inφ, Đây N không nhất thiết là một số nguyên, nhưng có thể tùy ý số thực. Hình thức viết này khá thường được sử dụng để giải quyết vấn đề.

Định lý cơ bản của đại số cao hơn

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một phương trình bậc hai x 2 + x + 1 = 0 . Rõ ràng, biệt thức của phương trình này là âm và nó không có nghiệm thực, nhưng hóa ra phương trình này có hai nghiệm phức khác nhau. Vì vậy, định lý chính của đại số cao hơn nói rằng bất kỳ đa thức bậc n nào cũng có ít nhất một nghiệm phức. Từ đó suy ra rằng bất kỳ đa thức bậc n nào cũng có đúng n nghiệm phức, có tính đến bội số của chúng. Định lý này rất kết quả quan trọng trong toán học và được sử dụng rộng rãi. Một hệ quả đơn giản của định lý này là kết quả sau: có đúng n rễ khác nhau quyền hạn n ra khỏi sự thống nhất.

Các loại nhiệm vụ chính

Phần này sẽ bao gồm các loại chính nhiệm vụ đơn giản sang số phức. Thông thường, các bài toán về số phức có thể được chia thành các loại sau.

• Thực hiện các phép tính số học đơn giản trên số phức.
• Tìm nghiệm của đa thức trong tập số phức.
• Nâng số phức lên lũy thừa.
• Khai thác gốc từ các số phức.
• Ứng dụng của số phức để giải các bài toán khác.

Bây giờ xem xét phương pháp chung giải pháp cho những vấn đề này.

Việc thực hiện các phép toán số học đơn giản nhất với các số phức xảy ra theo các quy tắc được mô tả trong phần đầu tiên, nhưng nếu các số phức được biểu diễn dưới dạng lượng giác hoặc hàm mũ, thì trong trường hợp này, chúng có thể được chuyển đổi thành dạng đại số và thực hiện các phép toán theo các quy tắc đã biết.

Tìm nghiệm của đa thức thường bắt nguồn từ việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Giả sử chúng ta có một phương trình bậc hai, nếu biệt thức của nó không âm, thì nghiệm của nó sẽ là số thực và được tìm theo một công thức đã biết. Nếu phân biệt là tiêu cực, sau đó D = -1∙a2, Ở đâu Một là một số nhất định, thì chúng ta có thể biểu diễn biệt thức dưới dạng D = (ia)2, kể từ đây √D = i|a|, và sau đó bạn có thể sử dụng công thức nổi tiếngđối với nghiệm của phương trình bậc hai.

Ví dụ. Hãy trở lại phương trình bậc hai đã đề cập ở trên x 2 + x + 1 = 0.
phân biệt đối xử - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy gốc rễ:

Việc nâng số phức lên lũy thừa có thể được thực hiện theo nhiều cách. Nếu bạn muốn nâng một số phức ở dạng đại số lên lũy thừa nhỏ (2 hoặc 3), thì bạn có thể thực hiện bằng cách nhân trực tiếp, nhưng nếu bậc lớn hơn (trong các bài toán thường lớn hơn nhiều), thì bạn cần phải viết số này ở dạng lượng giác hoặc hàm mũ và sử dụng các phương pháp đã biết.

Ví dụ. Xem xét z = 1 + i và nâng lên lũy thừa phần mười.
Chúng ta viết z ở dạng hàm mũ: z = √2 e iπ/4 .
Sau đó z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Hãy trở về dạng đại số: z 10 = -32i.

Rút nghiệm từ số phức là phép toán nghịch đảo của phép lũy thừa, vì vậy nó được thực hiện theo cách tương tự. Để rút gốc, dạng viết số mũ thường được sử dụng.

Ví dụ. Tìm tất cả các nghiệm bậc 3 của đơn vị. Để làm được điều này, chúng ta tìm tất cả các nghiệm của phương trình z 3 = 1, chúng ta sẽ tìm nghiệm ở dạng hàm mũ.
Thay thế vào phương trình: r 3 e 3iφ = 1 hoặc r 3 e 3iφ = e 0 .
Do đó: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, do đó φ = 2πk/3.
Các gốc khác nhau thu được tại φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Do đó 1 , e i2π/3 , e i4π/3 là các nghiệm.
Hoặc ở dạng đại số:

Loại nhiệm vụ cuối cùng bao gồm vô số vấn đề và không có phương pháp chung để giải quyết chúng. Đây là một ví dụ đơn giản về một nhiệm vụ như vậy:

Tìm số tiền sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Mặc dù việc xây dựng bài toán này không trong câu hỏi về số phức, nhưng với sự giúp đỡ của chúng, nó có thể được giải quyết dễ dàng. Để giải quyết nó, các đại diện sau đây được sử dụng:


Nếu bây giờ chúng ta thay thế biểu diễn này thành tổng, thì vấn đề được rút gọn thành tổng của cấp số nhân thông thường.

Phần kết luận

Số phức được sử dụng rộng rãi trong toán học, trong bài tổng quan này các phép toán cơ bản trên số phức đã được xem xét, một số loại bài toán tiêu chuẩn đã được mô tả và mô tả ngắn gọn phương pháp phổ biến giải pháp của họ, để nghiên cứu chi tiết hơn về khả năng của số phức, nên sử dụng tài liệu chuyên ngành.

Văn học

Dịch vụ giải phương trình online sẽ giúp bạn giải bất phương trình nào. Sử dụng trang web của chúng tôi, bạn sẽ không chỉ nhận được câu trả lời cho phương trình mà còn thấy giải chi tiết, tức là hiển thị từng bước quá trình thu được kết quả. Dịch vụ của chúng tôi sẽ hữu ích cho học sinh trung học trường giáo dục phổ thông và cha mẹ của họ. Học sinh sẽ có thể chuẩn bị cho các bài kiểm tra, bài kiểm tra, kiểm tra kiến ​​​​thức của mình và phụ huynh sẽ có thể kiểm soát quyết định phương trình toán học với con cái của họ. Năng lực giải phương trình là yêu cầu bắt buộc đối với học sinh. Dịch vụ sẽ giúp bạn tự học và nâng cao kiến ​​thức trong lĩnh vực phương trình toán học. Với nó, bạn có thể giải bất kỳ phương trình nào: bậc hai, bậc ba, vô tỷ, lượng giác, v.v. dịch vụ trực tuyến nhưng vô giá, bởi vì ngoài câu trả lời đúng, bạn còn nhận được lời giải chi tiết cho từng phương trình. Lợi ích của việc giải phương trình trực tuyến. Bạn có thể giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào trên trang web của chúng tôi hoàn toàn miễn phí. Dịch vụ hoàn toàn tự động, bạn không phải cài đặt bất cứ thứ gì vào máy tính, chỉ cần nhập dữ liệu và chương trình sẽ đưa ra giải pháp. Bất kỳ lỗi tính toán hoặc lỗi đánh máy nào đều bị loại trừ. Rất dễ dàng để giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào với chúng tôi, vì vậy hãy đảm bảo sử dụng trang web của chúng tôi để giải bất kỳ loại phương trình nào. Bạn chỉ cần nhập dữ liệu và phép tính sẽ được hoàn thành sau vài giây. Chương trình hoạt động độc lập, không có sự can thiệp của con người và bạn sẽ nhận được câu trả lời chính xác và chi tiết. Giải phương trình trong nhìn chung. Trong một phương trình như vậy, các hệ số biến và nghiệm mong muốn được liên kết với nhau. Công suất cao nhất của một biến xác định thứ tự của một phương trình như vậy. Dựa trên điều này, đối với các phương trình sử dụng Các phương pháp khác nhau và các định lý để tìm nghiệm. Giải phương trình loại này có nghĩa là tìm các gốc mong muốn theo thuật ngữ chung. Dịch vụ của chúng tôi cho phép bạn giải phương trình đại số phức tạp nhất trực tuyến. Bạn có thể nhận được cả nghiệm chung của phương trình và nghiệm riêng cho những nghiệm bạn đã chỉ định. Giá trị kiểu số hệ số. Để giải một phương trình đại số trên trang web, chỉ cần điền chính xác vào hai trường: phần bên trái và bên phải phương trình đã cho. Tại phương trình đại số với các hệ số thay đổi, vô số giải pháp và bằng cách đặt các điều kiện nhất định, các giải pháp riêng tư được chọn từ tập hợp các giải pháp. Phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng ax^2+bx+c=0 với a>0. Giải phương trình xem vuông hàm ý tìm các giá trị x thỏa mãn đẳng thức ax^2+bx+c=0. Để làm điều này, giá trị của phân biệt được tìm theo công thức D=b^2-4ac. Nếu biệt thức nhỏ hơn 0 thì phương trình không có nghiệm thực (gốc từ trường số phức), nếu nó bằng 0 thì phương trình có một nghiệm thực và nếu biệt thức Hơn không, thì phương trình có hai nghiệm thực, được tìm theo công thức: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Để giải phương trình bậc hai trực tuyến, bạn chỉ cần nhập các hệ số của phương trình đó (số nguyên, phân số hoặc giá trị thập phân). Nếu có dấu trừ trong phương trình, bạn phải đặt dấu trừ trước các số hạng tương ứng của phương trình. Bạn cũng có thể giải phương trình bậc hai trực tuyến tùy thuộc vào tham số, tức là các biến trong các hệ số của phương trình. Dịch vụ trực tuyến của chúng tôi để tìm kiếm giải pháp chung. Các phương trình tuyến tính. Để giải phương trình tuyến tính (hoặc hệ phương trình), bốn phương pháp chính được sử dụng trong thực tế. Hãy mô tả chi tiết từng phương pháp. Phương pháp thay thế. Giải phương trình bằng phương pháp thay thế yêu cầu biểu thị một biến theo các biến khác. Sau đó, biểu thức được thay thế thành các phương trình khác của hệ thống. Do đó, tên của phương pháp giải pháp, nghĩa là thay vì một biến, biểu thức của nó thông qua phần còn lại của các biến được thay thế. Trong thực tế, phương pháp này yêu cầu các phép tính phức tạp, mặc dù nó dễ hiểu, vì vậy việc giải một phương trình như vậy trực tuyến sẽ tiết kiệm thời gian và thực hiện các phép tính dễ dàng hơn. Bạn chỉ cần chỉ định số ẩn số trong phương trình và điền dữ liệu từ các phương trình tuyến tính, sau đó dịch vụ sẽ thực hiện phép tính. phương pháp Gauss. Phương pháp này dựa trên các phép biến đổi đơn giản nhất của hệ để đi đến hệ thống tương đương hình tam giác. Những ẩn số được xác định từng cái một từ nó. Trong thực tế, cần phải giải trực tuyến một phương trình như vậy với miêu tả cụ thể, nhờ đó bạn sẽ nắm vững phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính. Viết hệ phương trình tuyến tính theo đúng định dạng và tính đến số ẩn số để giải hệ chính xác. phương pháp Cramer. Phương pháp này giải hệ phương trình trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất. Hoạt động toán học chính ở đây là tính toán định thức ma trận. Việc giải phương trình theo phương pháp Cramer được thực hiện trực tuyến, bạn sẽ nhận được kết quả ngay lập tức với mô tả đầy đủ và chi tiết. Chỉ cần điền vào hệ thống các hệ số và chọn số lượng biến chưa biết là đủ. phương pháp ma trận. Phương pháp này bao gồm việc thu thập các hệ số của ẩn số trong ma trận A, ẩn số trong cột X và các số hạng tự do trong cột B. Do đó, hệ phương trình tuyến tính được rút gọn thành phương trình ma trận có dạng AxX=B. Phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất nếu định thức của ma trận A khác 0, nếu không thì hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Giải phương trình phương pháp ma trận là tìm ma trận nghịch đảo MỘT.

Việc sử dụng các phương trình là phổ biến trong cuộc sống của chúng tôi. Chúng được sử dụng nhiều trong tính toán, xây dựng các công trình và thậm chí cả trong thể thao. Các phương trình đã được con người sử dụng từ thời cổ đại và kể từ đó việc sử dụng chúng chỉ ngày càng tăng. Để rõ ràng, hãy giải quyết vấn đề sau:

Tính \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] nếu \

Trước hết, hãy chú ý đến thực tế là một số được biểu diễn ở dạng đại số, số còn lại ở dạng lượng giác. Nó cần phải được đơn giản hóa và loại tiếp theo

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Biểu thức \ nói rằng, trước hết, chúng ta thực hiện phép nhân và nâng lên lũy thừa 10 theo công thức Moivre. Công thức này được xây dựng cho dạng lượng giác của một số phức. Chúng tôi nhận được:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Tuân thủ quy tắc nhân số phức dưới dạng lượng giác, ta sẽ thực hiện như sau:

Trong trường hợp của chúng ta:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Làm cho phân số \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] đúng, ta kết luận rằng có thể "xoắn" 4 lượt \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Trả lời: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Phương trình này có thể được giải theo một cách khác, đó là đưa số thứ 2 về dạng đại số, sau đó thực hiện phép nhân ở dạng đại số, chuyển kết quả sang dạng lượng giác và áp dụng công thức Moivre:

Tôi có thể giải một hệ phương trình với các số phức trực tuyến ở đâu?

Bạn có thể giải hệ phương trình trên trang web https://site của chúng tôi. Trình giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải một phương trình trực tuyến với bất kỳ độ phức tạp nào trong vài giây. Tất cả những gì bạn phải làm chỉ là nhập dữ liệu của mình vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem hướng dẫn bằng video và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, bạn có thể hỏi họ trong nhóm Vkontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng giúp đỡ bạn.