Šta su stacionarne tačke funkcije. Kritične tačke funkcije

Stacionarne tačke funkcije. Neophodan uslov lokalni ekstremum funkcije

Prvo dovoljno stanje lokalni ekstrem

Drugi i treći dovoljni uslovi za lokalni ekstrem

Najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu

Konveksne funkcije i točke pregiba

1. Stacionarne tačke funkcije. Neophodan uslov za lokalni ekstremum funkcije

Definicija 1 . Neka je funkcija definirana na
. Dot naziva se stacionarna tačka funkcije
, ako
diferencirano u jednom trenutku i
.

Teorema 1 (neophodan uslov za lokalni ekstremum funkcije) . Neka funkcija
odlučan na
i ima u točki
lokalni ekstrem. Tada je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

Dakle, da bi se pronašle tačke koje su sumnjive za ekstrem, potrebno je pronaći stacionarne tačke funkcije i tačke u kojima derivacija funkcije ne postoji, ali koje pripadaju domenu funkcije.

Primjer . Neka bude
. Pronađite za njega tačke koje su sumnjive za ekstrem. Da bismo riješili problem, prije svega, nalazimo domenu funkcije:
. Sada nalazimo derivaciju funkcije:

Tačke u kojima izvod ne postoji:
. Stacionarne funkcionalne tačke:

Jer i
, i
pripadaju domeni definicije funkcije, tada će oba biti sumnjiva za ekstrem. Ali da bi se zaključilo da li će ekstremuma zaista postojati, potrebno je primijeniti dovoljne ekstremne uslove.

2. Prvi dovoljan uslov za lokalni ekstrem

Teorema 1 (prvi dovoljan uslov za lokalni ekstrem) . Neka funkcija
odlučan na
i svuda se diferencira na ovom intervalu, osim eventualno u tački
, ali u ovom trenutku funkcija
je kontinuirano. Ako postoje takve desne i lijeve polususjedstva tačke , u svakom od kojih
onda zadržava određeni znak

1) funkcija
ima lokalni ekstrem u tački , ako
uzima vrijednosti različitih znakova u odgovarajućim polususjedstvima;

2) funkcija
nema lokalni ekstrem u tački , ako je desno i lijevo od točke
ima isti predznak.

Dokaz . 1) Pretpostavimo da je u polususjedstvu
derivat
, i u

.

Dakle, u tački funkcija
ima lokalni ekstrem, naime, lokalni maksimum, što je trebalo dokazati.

2) Pretpostavimo da je lijevo i desno od tačke derivat zadržava svoj predznak, npr.
. Onda dalje
i
funkcija
striktno monotono raste, odnosno:

Dakle, ekstremum u tački funkcija
ne, što je trebalo dokazati.

Napomena 1 . Ako je derivat
kada prolazi kroz tačku mijenja znak iz "+" u "-", a zatim u tački funkcija
ima lokalni maksimum, a ako se predznak promijeni iz "-" u "+", onda lokalni minimum.

Napomena 2 . Važan uslov je kontinuitet funkcije
u tački . Ako ovaj uslov nije zadovoljen, teorema 1 možda neće vrijediti.

Primjer . Razmatra se funkcija (slika 1):

Ova funkcija je definirana na i kontinuirano je svuda osim tačke
, gdje ima diskontinuitet koji se može ukloniti. Prilikom prolaska kroz tačku

mijenja predznak iz "-" u "+", ali funkcija nema lokalni minimum u ovom trenutku, ali ima lokalni maksimum po definiciji. Zaista, blizu tačke
moguće je konstruirati takvo susjedstvo da za sve argumente iz ovog susjedstva vrijednosti funkcije budu manje od vrijednosti
. Teorema 1 nije funkcionirala jer u tački
funkcija je imala pauzu.

Napomena 3 . Prvi dovoljni lokalni ekstremni uvjet ne može se koristiti kada je derivacija funkcije
mijenja svoj predznak u svakoj lijevoj i svakoj desnoj polususjedstvu tačke .

Primjer . Funkcija koja se razmatra je:

Ukoliko
, onda
, i zbog toga
, ali
. ovako:

,

one. u tački
funkcija
Ima lokalni minimum a-priorat. Hajde da vidimo da li ovde funkcioniše prvi dovoljan uslov za lokalni ekstrem.

Za
:

Za prvi član na desnoj strani rezultirajuće formule imamo:

,

i stoga u malom susjedstvu tačke
predznak izvoda je određen predznakom drugog člana, odnosno:

,

što znači da u bilo kojoj okolini tačke

prihvatiće i pozitivne i negativne vrijednosti. Zaista, razmotrite proizvoljno susjedstvo tačke
:
. Kada

,

onda

(Sl. 2), i mijenja svoj predznak ovdje beskonačno mnogo puta. Dakle, prvi dovoljan uslov za lokalni ekstrem se ne može koristiti u gornjem primjeru.

definicije:

ekstrem zove maksimum minimalna vrijednost funkcije na datom skupu.

ekstremna tačka je tačka u kojoj se postiže maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije.

Maksimalni poen je tačka u kojoj se postiže maksimalna vrijednost funkcije.

Niska tačka je tačka u kojoj se postiže minimalna vrijednost funkcije.

Objašnjenje.

Na slici, u blizini tačke x = 3, funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost (tj. u blizini ove određene tačke nema više tačke). U okolini x = 8, ona opet ima maksimalnu vrijednost (opet, da pojasnimo: u tom susjedstvu nema točke iznad). U tim tačkama povećanje se zamjenjuje smanjenjem. To su maksimalni bodovi:

xmax = 3, xmax = 8.

U blizini tačke x = 5 postiže se minimalna vrijednost funkcije (tj. u blizini x = 5 nema tačke ispod). U ovom trenutku, smanjenje se zamjenjuje povećanjem. To je minimalna tačka:

Maksimalni i minimalni bodovi su ekstremne tačke funkcije, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene ekstremi.

Kritične i stacionarne tačke funkcije:

Neophodan uslov za ekstremum:

Dovoljan uslov za ekstrem:

Na segmentu, funkcija y = f(x) može dostići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo na kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.

Algoritam istraživanja kontinuirana funkcija y = f(x) za monotonost i ekstreme:

Domen funkcije, izračunajte njen izvod, pronađite domenu izvoda funkcije, pronađite bodova konverzijom derivacije u nulu, dokazati da pronađene tačke pripadaju domenu definicije originalne funkcije.

Primjer 1 Identifikujte kritično bodova funkcije y = (x - 3)² (x-2).

Rješenje Pronađite opseg funkcije, u ovaj slučaj nema ograničenja: x ∈ (-∞; +∞); Izračunajte derivaciju y’. Prema pravilima diferencijacije proizvoda dva, postoji: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Nakon što se ispostavi kvadratna jednačina: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Odredite domenu derivacije funkcije: x ∈ (-∞; +∞).Riješite jednačinu 3 x² - 16 x + 21 = 0 da biste pronašli za šta ona nestaje: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Dakle, derivacija nestaje za x vrijednosti jednake 3 i 7/3.

Utvrdite pripadaju li pronađeni bodova domene originalne funkcije. Pošto je x (-∞; +∞), onda oba ova bodova su kritični.

Primjer 2 Identifikujte kritično bodova funkcije y = x² - 2/x.

Područje rješenja funkcije: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) jer je x u nazivniku. Izračunajte izvod y’ = 2 x + 2/x².

Domen derivacije funkcije je isti kao i izvorne: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Riješi jednačinu 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -jedan.

Dakle, derivacija nestaje na x = -1. Neophodan, ali nedovoljan uslov kritičnosti je zadovoljen. Pošto x=-1 spada u interval (-∞; 0) ∪ (0; +∞), ova tačka je kritična.

Izvori:

• Kritični obim prodaje, pcsThreshold

Mnoge žene pate od predmenstrualnog sindroma, koji se ne manifestira samo bolnim osjećajima, već i povećanim apetitom. Kao rezultat toga, kritični dani mogu značajno usporiti proces mršavljenja.

Uzroci povećanog apetita tokom kritičnih dana

Razlog za povećanje apetita u periodu kritičnih dana je promjena opće hormonske pozadine u ženskom tijelu. Nekoliko dana prije početka menstruacije, nivo hormona progesterona raste, tijelo se prilagođava mogućem i pokušava napraviti dodatne rezerve energije u vidu tjelesne masti, čak i ako žena sjedi. Dakle, promjena težine u kritičnim danima je normalna pojava.

Kako se hraniti tokom menstruacije

Pokušajte da ovih dana ne jedete slatkiše, slatkiše i drugu visokokaloričnu hranu koja sadrži "brzu" hranu. Njihov višak će se odmah deponovati u masti. Mnoge žene u ovom periodu zaista žele da jedu čokoladu, u ovom slučaju možete kupiti crnu čokoladu i počastiti se sa nekoliko kriški, ali ne više. Ne koristiti tokom menstruacije alkoholna pića, marinade, kiseli krastavci, suvo meso, sjemenke i orasi. Kiseli krastavčići i suvo meso općenito treba ograničiti u ishrani 6-8 dana prije početka menstruacije, jer takvi proizvodi povećavaju zalihe vode u tijelu, a ovaj period karakterizira povećanje nakupljanja tekućine. Da biste smanjili količinu soli u prehrani, dodajte je u svoju ishranu minimalna količina in gotova jela.

Preporučuje se upotreba nemasnih mliječnih proizvoda, biljne hrane, žitarica. Mahunarke, kuhani krumpir, riža će biti korisni - proizvodi koji sadrže "spore" ugljikohidrate. Plodovi mora, jetra, riba, govedina, živina, jaja, mahunarke, sušeno voće pomoći će da se nadoknadi gubitak željeza. Pšenične mekinje će biti korisne. prirodna reakcija tokom menstruacije su otekline. Lagane diuretičke biljke pomoći će u ispravljanju stanja: bosiljak, kopar, peršun, celer. Mogu se koristiti kao začin. U drugoj polovini ciklusa preporučuje se konzumacija proteinskih proizvoda (masno meso i riba, mliječni proizvodi), a količinu ugljikohidrata u prehrani treba što više smanjiti.

ekonomski koncept kritični volumen prodaja odgovara položaju preduzeća na tržištu, na kojem je prihod od prodaje robe minimalan. Ova situacija se zove tačka rentabilnosti, kada potražnja za proizvodima opada, a profit jedva pokriva troškove. Za određivanje kritičnog volumena prodaja koristiti nekoliko metoda.

Uputstvo

Radni ciklus nije ograničen na njegove aktivnosti - proizvodnju ili usluge. Riječ je o složenom radu određene strukture, uključujući rad ključnog osoblja, rukovodstva, menadžera itd., kao i ekonomista, čiji je zadatak finansijska analiza preduzeća.

Svrha ove analize je da se izračunaju neke količine koje, u jednom ili drugom stepenu, utiču na veličinu konačnog profita. Ovo je različite vrste obima proizvodnje i prodaje, puni i prosječni, pokazatelji potražnje itd. Glavni zadatak je identificirati takav obim proizvodnje pri kojem se uspostavlja stabilan odnos između troškova i dobiti.

Minimalni volumen prodaja, pri kojem prihod u potpunosti pokriva troškove, ali ne povećava vlasnički kapital kompanije, naziva se kritični obim prodaja. Postoje tri metode za izračunavanje metode ovog indikatora: metoda jednačina, graničnog prihoda i grafička.

Za određivanje kritičnog volumena prodaja prema prvoj metodi, napravite jednačinu oblika: Vp - Zper - Zpos = Pp = 0, gdje je: Vp - prihod od prodaja i Zper i Zpos - varijabilni i fiksni troškovi Pp - dobit od prodaja i.

Prema drugoj metodi, prvi pojam, prihod od prodaja, predstavljaju kao proizvod graničnog prihoda od jedinice robe po zapremini prodaja Isto važi i za varijabilne troškove. Fiksni troškovi vrijede za cijelu seriju robe, pa ovu komponentu ostavite zajedničkom: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Izrazite vrijednost N iz ove jednačine i dobićete kritični volumen prodaja:N = Zpos / (MD - Zper1), gdje je Zper1 - varijabilni troškovi po jedinici robe.

Grafička metoda uključuje izgradnju. Prijavite se na koordinatna ravan dva reda: funkcija prihoda od prodaja minus funkcija troškova i profita. Na osi apscise nacrtajte obim proizvodnje, a na osi ordinate prihod od odgovarajuće količine robe, izražen u novčane jedinice. Tačka presjeka ovih linija odgovara kritičnom volumenu prodaja, pozicija rentabilnosti.

Izvori:

• kako prepoznati kritičan rad

Kritično mišljenje je skup sudova na osnovu kojih se formiraju određeni zaključci i vrši procjena predmeta kritike. Posebno je karakterističan za istraživače i naučnike svih grana nauke. Kritičko mišljenje zauzima viši nivo od običnog mišljenja.

Vrijednost iskustva u formiranju kritičkog mišljenja

Teško je analizirati i donositi zaključke o onome što ne razumiješ dobro. Stoga, da bismo naučili kritičko razmišljati, potrebno je proučavati predmete u svim mogućim vezama i odnosima s drugim pojavama. Kao i veliki značaj u ovom slučaju, on posjeduje informacije o takvim objektima, sposobnost da izgradi logičke lance prosuđivanja i izvuče razumne zaključke.

Na primjer, prosudite vrijednost umjetničko djelo moguće je samo poznavanjem dovoljno drugih plodova književna aktivnost. Istovremeno, nije loše biti poznavalac istorije razvoja čovečanstva, nastanka književnosti i književna kritika. Daleko od istorijski kontekst djelo može izgubiti svoje značenje. Da bi ocjena umjetničkog djela bila dovoljno potpuna i opravdana, potrebno je koristiti i svoje književno znanje koje uključuje i pravila građenja umjetnički tekst unutar pojedinih žanrova, sistem raznih književna sredstva, klasifikacija i analiza postojećim stilovima i trendovi u književnosti itd. Istovremeno, važno je i proučavanje unutrašnje logike radnje, redoslijeda radnji, smještaja i interakcije likova u umjetničkom djelu.

Osobine kritičkog mišljenja

Ostale karakteristike kritičkog mišljenja uključuju:
- znanje o predmetu koji se proučava je samo polazna osnova za dalje aktivnost mozga povezan sa konstrukcijom logičkih lanaca;
- dosljedno izgrađen i zasnovan na zdrav razum rasuđivanje vodi ka identifikaciji istinitih i pogrešnih informacija o objektu koji se proučava;
- kritičko mišljenje je uvijek povezano sa procjenom dostupnih informacija o dati objekat i odgovarajući zaključci, procjena je zauzvrat povezana sa vještinama koje su već dostupne.

Za razliku od običnog mišljenja, kritičko mišljenje nije podložno slijepoj vjeri. Kritičko razmišljanje dozvoljava cijeli sistem sudova o predmetu kritike da se shvati njegova suština, da se otkrije istinsko znanje o tome i opovrgnuti one lažne. Zasniva se na logici, dubini i potpunosti proučavanja, istinitosti, adekvatnosti i konzistentnosti sudova. Istovremeno, očigledne i dokazane tvrdnje prihvataju se kao postulati i ne zahtijevaju ponovno dokazivanje i ocjenjivanje.

Kritične tačke su tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji. Ako je derivacija 0 onda funkcija u toj tački uzima lokalni minimum ili maksimum. Na grafu u takvim tačkama funkcija ima horizontalna asimptota, odnosno tangenta je paralelna sa x-osi.

Takve tačke se nazivaju stacionarno. Ako vidite „grbu“ ili „rupu“ na kontinuiranoj funkcijskoj tablici, zapamtite da je maksimum ili minimum dostignut na kritičnoj tački. Razmotrite sljedeći zadatak kao primjer.

Primjer 1 Pronađite kritične tačke funkcije y=2x^3-3x^2+5.
Odluka. Algoritam za pronalaženje kritičnih tačaka je sljedeći:

Dakle, funkcija ima dvije kritične tačke.

Nadalje, ako trebate proučiti funkciju, tada određujemo predznak derivacije lijevo i desno od kritične točke. Ako derivacija promijeni predznak iz "-" u "+" kada prolazi kroz kritičnu tačku, tada funkcija preuzima lokalni minimum. Ako od "+" do "-" treba lokalni maksimum.

Druga vrsta kritičnih tačaka to su nule nazivnika razlomaka i iracionalnih funkcija

Funkcije s logaritmima i trigonometrijama koje nisu definirane u ovim točkama


Treća vrsta kritičnih tačaka imaju kontinualne funkcije i module po komadima.
Na primjer, bilo koji modul-funkcija ima minimum ili maksimum u tački prekida.

Na primjer modul y = | x -5 | u tački x = 5 ima minimum (kritična tačka).
Izvod u njemu ne postoji, ali na desnoj i lijevoj strani uzima vrijednost 1, odnosno -1.

Pokušajte identificirati kritične točke funkcija

1)
2)
3)
4)
5)

Ako kao odgovor dobijete vrijednost
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
onda već znaš kako pronaći kritične tačke i biti u stanju da se nosi sa jednostavnom kontrolom ili testovima.

Razmotrite sljedeću sliku.

Prikazuje grafik funkcije y = x^3 - 3*x^2. Razmotrimo neki interval koji sadrži tačku x = 0, na primjer od -1 do 1. Takav interval se također naziva susjedstvo tačke x = 0. Kao što možete vidjeti na grafikonu, u ovoj okolini funkcija y = x^ 3 - 3*x^2 uzima najveća vrijednost tačno u tački x = 0.

Maksimum i minimum funkcije

U ovom slučaju, tačka x = 0 naziva se maksimalna tačka funkcije. Po analogiji s ovim, tačka x = 2 naziva se minimalna tačka funkcije y = x^3 - 3*x^2. Jer postoji takva okolina ove tačke u kojoj će vrijednost u ovoj tački biti minimalna među svim ostalim vrijednostima iz ovog susjedstva.

dot maksimum funkcija f(x) naziva se tačka x0, pod uslovom da postoji okolina tačke x0 takva da je za sve x koje nije jednako x0 iz ove okoline, nejednakost f(x)< f(x0).

dot minimum funkcija f(x) naziva se tačka x0, pod uslovom da postoji komšiluk tačke x0 takav da je za sve x koje nije jednako x0 iz ove okoline, zadovoljena nejednakost f(x) > f(x0).

U tački maksimuma i minimuma funkcije, vrijednost derivacije funkcije jednaka je nuli. Ali to nije dovoljan uslov za postojanje funkcije u tački maksimuma ili minimuma.

Na primjer, funkcija y = x^3 u tački x = 0 ima izvod jednak nuli. Ali tačka x = 0 nije minimalna ili maksimalna tačka funkcije. Kao što znate, funkcija y = x^3 raste na cijeloj realnoj osi.

Dakle, tačke minimuma i maksimuma će uvek biti među korenima jednačine f’(x) = 0. Ali neće svi koreni ove jednačine biti maksimalne ili minimalne tačke.

Stacionarne i kritične tačke

Tačke u kojima je vrijednost derivacije funkcije jednaka nuli nazivaju se stacionarne tačke. Takođe mogu postojati tačke maksimuma ili minimuma u tačkama gde derivacija funkcije uopšte ne postoji. Na primjer, y = |x| u tački x = 0 ima minimum, ali izvod u ovoj tački ne postoji. Ova tačka će biti kritična tačka funkcije.

Kritične tačke funkcije su tačke u kojima je derivacija jednaka nuli, ili derivacija u ovoj tački ne postoji, odnosno funkcija u ovoj tački nije diferencirana. Da bi se pronašao maksimum ili minimum funkcije, mora biti zadovoljen dovoljan uslov.

Neka je f(x) neka funkcija diferencibilna na intervalu (a;b). Tačka x0 pripada ovom intervalu i f'(x0) = 0. Tada:

1. ako pri prolasku kroz stacionarnu tačku x0 funkcija f (x) i njen izvod promijene predznak, sa “plus” na “minus”, tada je tačka x0 maksimalna tačka funkcije.

2. ako pri prolasku kroz stacionarnu tačku x0 funkcija f (x) i njen izvod promijene predznak, sa “minus” na “plus”, tada je tačka x0 minimalna tačka funkcije.