Formula aritmetičke sredine brojeva. Kako izračunati aritmetičku sredinu

Prosta aritmetička sredina je prosječan pojam, u kojem se određuje ukupni volumen datog atributa agregati podaci su podjednako raspoređeni među svim jedinicama uključenim u ovaj skup. Dakle, prosječna godišnja proizvodnja po radniku je takva vrijednost obima proizvodnje koja bi pala na svakog zaposlenog da je cjelokupni obim proizvodnje jednako raspoređen na sve zaposlene u organizaciji. Prosta aritmetička srednja vrijednost izračunava se po formuli:

jednostavna aritmetička sredina- Jednako omjeru zbira pojedinačnih vrijednosti atributa i broja atributa u zbiru

Primjer 1. Tim od 6 radnika prima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 hiljada rubalja mjesečno.

Pronađite prosječnu platu Rješenje: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 hiljade rubalja.

Aritmetički ponderisani prosjek

Ako je volumen skupa podataka velik i predstavlja seriju distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderisana prosečna cena po jedinici proizvodnje: ukupni trošak proizvodnje (zbir proizvoda njene količine i cene jedinice proizvodnje) se deli sa ukupnom količinom proizvodnje.

Ovo predstavljamo u obliku sljedeće formule:

Ponderisana aritmetička sredina- jednak je omjeru (zbir proizvoda vrijednosti atributa na učestalost ponavljanja ovog atributa) prema (zbir frekvencija svih atributa). Koristi se kada se varijante proučavane populacije javljaju nejednak broj puta.

Primjer 2. Pronađite prosječne mjesečne plate radnika u radnji

Plata jednog radnika hiljadu rubalja; X	Broj radnika F

Prosječna plata se može dobiti dijeljenjem ukupne plate sa ukupnim brojem radnika:

Odgovor: 3,35 hiljada rubalja.

Aritmetička sredina za intervalni niz

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija, prosjek za svaki interval se prvo određuje kao poluzbir gornje i donje granice, a zatim prosjek cijele serije. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala je određena vrijednošću intervala koji su im susjedni.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni.

Primjer 3. Odrediti prosječnu starost učenika na večernjem odjeljenju.

Starost u godinama!!x??	Broj učenika	Intervalna sredina	Umnožak sredine intervala (starosti) i broja učenika
		(18 + 20) / 2 =19 18 u ovom slučaju, granica donjeg intervala. Izračunato kao 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 ili više		(30 + 34) / 2 = 32

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stepen njihove aproksimacije zavisi od toga koliko je stvarna distribucija jedinica stanovništva unutar intervala ujednačena.

Prilikom izračunavanja prosjeka, ne samo apsolutne, već i relativne vrijednosti (učestalost) mogu se koristiti kao težine.

Najvažnije svojstvo prosjeka je da odražava ono zajedničko što je svojstveno svim jedinicama populacije koja se proučava. Vrijednosti atributa pojedinih jedinica populacije variraju pod utjecajem mnogih faktora, među kojima mogu biti i osnovni i slučajni. Suština prosjeka leži u činjenici da kompenzira odstupanja vrijednosti atributa, koja su posljedica djelovanja slučajnih faktora, i akumulira (uzima u obzir) promjene uzrokovane djelovanjem glavnog faktori. Ovo omogućava da prosjek odražava tipičan nivo atributa i apstrahuje od individualnih karakteristika svojstvenih pojedinačnim jedinicama.

Da bi prosjek bio istinski tipičan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Osnovni principi za korištenje prosjeka.

1. Prosjek treba odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek treba izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.

3. Prosjek treba izračunati za populaciju u stacionarnim uslovima (kada se uticajni faktori ne mijenjaju ili se ne mijenjaju značajno).

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

Izračun većine specifičnih statističkih pokazatelja zasniva se na korištenju:

prosječan agregat;

prosječna snaga (harmonična, geometrijska, aritmetička, kvadratna, kubna);

prosječan hronološki (vidi odjeljak).

Svi prosjeci, sa izuzetkom zbirnog prosjeka, mogu se izračunati u dvije verzije - kao ponderisani ili neponderisani.

Prosječan agregat. Formula koja se koristi je:

gdje w i= x i* fi;

x i- i-ta varijanta prosječnog svojstva;

fi, - težina i- ta opcija.

Prosječan stepen. Općenito, formula za izračun:

gde stepen k- tip prosječne snage.

Vrijednosti prosjeka izračunatih na osnovu srednjih eksponenata za iste početne podatke nisu iste. Sa povećanjem eksponenta k, povećava se i odgovarajuća prosječna vrijednost:

Prosječno hronološki. Za trenutnu dinamičku seriju s jednakim intervalima između datuma, izračunava se po formuli:

,

gdje x 1 i Xn vrijednost indikatora za datum početka i završetka.

Formule za izračunavanje prosjeka snage

Primjer. Prema tabeli. 2.1 potrebno je izračunati prosečnu platu uopšte za tri preduzeća.

Tabela 2.1

Plata AO preduzeća

Kompanija	Broj industrijskih proizvodnjaosoblje (PPP), pers.	mjesečni fond nadnice, rub.	Srednje plata, rub.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Ukupno		1415130

Konkretna formula izračuna zavisi od toga koji su podaci u tabeli. 7 su originalni. Shodno tome, moguće su sledeće opcije: podaci kolone 1 (broj PPP) i 2 (mesečni platni spisak); ili - 1 (broj PPP) i 3 (prosječan RFP); ili 2 (mjesečna plata) i 3 (prosječna plata).

Ako postoje samo podaci za kolone 1 i 2. Rezultati ovih grafikona sadrže potrebne vrijednosti za izračunavanje željenog prosjeka. Koristi se formula prosječnog agregata:

Ako postoje samo podaci za kolone 1 i 3, tada je nazivnik originalnog omjera poznat, ali njegov brojnik nije poznat. Međutim, platni spisak se može dobiti množenjem prosječne plate sa brojem SPP. Stoga se ukupni prosjek može izračunati korištenjem formule ponderisana aritmetička sredina:

Mora se uzeti u obzir da je težina ( fi) u nekim slučajevima može biti proizvod dvije ili čak tri vrijednosti.

Osim toga, prosjek se koristi i u statističkoj praksi. aritmetika neponderisana:

gdje je n obim populacije.

Ovaj prosjek se koristi kada su težine ( fi) su odsutni (svaka varijanta osobine se javlja samo jednom) ili su međusobno jednaki.

Ako postoje samo podaci za kolone 2 i 3., tj. brojnik originalnog omjera je poznat, ali njegov nazivnik nije poznat. Broj PPP svakog preduzeća može se dobiti dijeljenjem platnog spiska sa prosječnom platom. Zatim se obračun prosječne plate za tri preduzeća u cjelini vrši prema formuli prosečno ponderisano harmonikom:

Ako su težine jednake ( fi) izračunavanje prosječnog pokazatelja može se izvršiti prema prosječni harmonik neponderisan:

U našem primjeru koristili smo različite oblike sredstava, ali smo dobili isti odgovor. To je zbog činjenice da je za specifične podatke svaki put primijenjen isti početni omjer prosjeka.

Prosjeci se mogu izračunati korištenjem diskretnih i intervalnih serija varijacija. U ovom slučaju, proračun se vrši prema aritmetičkom ponderiranom prosjeku. Za diskretnu seriju, ova formula se koristi na isti način kao u gornjem primjeru. U nizu intervala, sredine intervala su određene za proračun.

Primjer. Prema tabeli. 2.2 odrediti vrijednost prosječnog mjesečnog novčanog dohotka po glavi stanovnika u uslovnom regionu.

Tabela 2.2

Početni podaci (serija varijacija)

Mjesečni prosječni novčani prihod po glavi stanovnika, h, rub.	Stanovništvo, % od ukupnog/
Do 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 i više	2,3
Ukupno	100

Prosječne vrijednosti se široko koriste u statistici. Prosječne vrijednosti karakteriziraju kvalitativne pokazatelje komercijalne djelatnosti: troškove distribucije, profit, profitabilnost itd.

Srednje Ovo je jedna od najčešćih generalizacija. Pravilno razumijevanje suštine prosjeka određuje njegov poseban značaj u tržišnoj ekonomiji, kada prosjek, kroz jedan i slučajan, omogućava da se identifikuju opšte i neophodno, da se identifikuju trendovi obrazaca ekonomskog razvoja.

prosječna vrijednost - to su generalizujući pokazatelji u kojima nalaze izraz delovanja opštih uslova, obrazaca fenomena koji se proučava.

Statistički prosjeci se izračunavaju na osnovu masovnih podataka pravilno statistički organizovanog posmatranja mase (kontinuirano i selektivno). Međutim, statistički prosjek će biti objektivan i tipičan ako se izračuna iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovne pojave). Na primjer, ako izračunamo prosječne plate u zadrugama i državnim preduzećima, pa rezultat proširimo na cijelo stanovništvo, onda je prosjek fiktivan, jer se računa za heterogenu populaciju i takav prosjek gubi svaki smisao.

Uz pomoć prosjeka dolazi do, takoreći, izravnavanja razlika u veličini obilježja koje nastaju iz ovog ili onog razloga u pojedinačnim jedinicama promatranja.

Na primjer, prosječni učinak prodavača ovisi o mnogim faktorima: kvalifikacijama, dužini radnog staža, starosti, obliku usluge, zdravstvenom stanju itd.

Prosječan učinak odražava opću imovinu cjelokupne populacije.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti proučavane osobine, stoga se mjeri u istoj dimenziji kao i ova osobina.

Svaka prosječna vrijednost karakterizira proučavanu populaciju prema bilo kojem atributu. Da bi se dobila potpuna i sveobuhvatna slika populacije koja se proučava u smislu niza bitnih karakteristika, generalno je potrebno imati sistem prosječnih vrijednosti koji može opisati fenomen iz različitih uglova.

Postoje različiti proseci:

aritmetička sredina;

geometrijska sredina;

prosječni harmonik;

srednji kvadratni korijen;

hronološki prosek.

Razmotrite neke vrste prosjeka koji se najčešće koriste u statistici.

Aritmetička sredina

Prosta aritmetička sredina (neponderisana) jednaka je zbroju pojedinačnih vrijednosti karakteristike, podijeljene sa brojem ovih vrijednosti.

Pojedinačne vrijednosti atributa nazivaju se varijantama i označavaju se sa x (); broj populacijskih jedinica je označen sa n, a prosečna vrednost obeležja - sa . Dakle, jednostavna aritmetička sredina je:

Prema podacima serije diskretne distribucije, može se vidjeti da se iste vrijednosti atributa (opcija) ponavljaju više puta. Dakle, varijanta x se pojavljuje u zbiru 2 puta, a varijanta x - 16 puta, itd.

Broj identičnih vrijednosti neke karakteristike u seriji distribucije naziva se frekvencija ili težina i označava se simbolom n.

Izračunajte prosječnu platu po radniku u rubljama:

Masa plata za svaku grupu radnika jednaka je proizvodu opcija i učestalosti, a zbir ovih proizvoda daje ukupnu masu plata svih radnika.

U skladu s tim, proračuni se mogu predstaviti u opštem obliku:

Rezultirajuća formula se naziva ponderirana aritmetička sredina.

Statistički materijal kao rezultat obrade može se prikazati ne samo u obliku diskretnih distribucijskih serija, već iu obliku intervalnih varijacionih serija sa zatvorenim ili otvorenim intervalima.

Izračunavanje prosjeka za grupisane podatke vrši se prema formuli ponderirane aritmetičke sredine:

U praksi ekonomske statistike ponekad je potrebno izračunati prosjek po grupnim prosjekima ili prosjecima pojedinih dijelova populacije (parcijalni prosjek). U takvim slučajevima, grupni ili parcijalni proseci se uzimaju kao opcije (x), na osnovu kojih se ukupan prosek izračunava kao uobičajeni aritmetički ponderisani prosek.

Osnovna svojstva aritmetičke sredine .

Aritmetička sredina ima niz svojstava:

1. Smanjenjem ili povećanjem frekvencije svake vrijednosti atributa x za n puta, vrijednost aritmetičke sredine se neće promijeniti.

Ako se sve frekvencije podijele ili pomnože nekim brojem, tada se vrijednost prosjeka neće promijeniti.

2. Ukupni množitelj pojedinačnih vrijednosti atributa može se izvaditi iz predznaka prosjeka:

3. Prosječna suma (razlika) dvije ili više veličina jednaka je zbiru (razlici) njihovih prosjeka:

4. Ako je x \u003d c, gdje je c konstantna vrijednost, onda
.

5. Zbir odstupanja vrijednosti karakteristike X od aritmetičke sredine x jednak je nuli:

Prosječni harmonik.

Uz aritmetičku sredinu, statistika koristi harmonijsku sredinu, recipročnu vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti atributa. Kao i aritmetička sredina, može biti jednostavna i ponderirana.

Uz prosjeke, karakteristike varijacione serije su mod i medijan.

Moda - ovo je vrijednost osobine (varijante), koja se najčešće ponavlja u proučavanoj populaciji. Za diskretne distributivne serije, mod će biti vrijednost varijante s najvećom frekvencijom.

Za nizove intervalne distribucije sa jednakim intervalima, mod se određuje formulom:

gdje
- početna vrijednost intervala koji sadrži mod;

- vrijednost modalnog intervala;

- frekvencija modalnog intervala;

- učestalost intervala koji prethodi modalnom;

- učestalost intervala nakon modalnog.

Medijan je varijanta koja se nalazi u sredini reda varijacija. Ako je niz distribucije diskretan i ima neparan broj članova, tada će medijan biti varijanta koja se nalazi u sredini uređenog niza (uređeni niz je raspored jedinica stanovništva u rastućem ili opadajućem redoslijedu).

Šta je aritmetička sredina

Aritmetička sredina nekoliko vrijednosti je omjer zbira ovih vrijednosti i njihovog broja.

Aritmetička sredina određenog niza brojeva naziva se zbir svih ovih brojeva, podijeljen sa brojem članova. Dakle, aritmetička sredina je prosječna vrijednost niza brojeva.

Koja je aritmetička sredina nekoliko brojeva? I jednaki su zbiru ovih brojeva, koji je podijeljen brojem članova u ovom zbiru.

Kako pronaći aritmetičku sredinu

Nema ništa teško u izračunavanju ili pronalaženju aritmetičke sredine nekoliko brojeva, dovoljno je sabrati sve prikazane brojeve, a rezultujući zbroj podijeliti s brojem članova. Dobiveni rezultat će biti aritmetička sredina ovih brojeva.

Razmotrimo ovaj proces detaljnije. Šta trebamo učiniti da izračunamo aritmetičku sredinu i dobijemo konačni rezultat ovog broja.

Prvo, da biste ga izračunali, morate odrediti skup brojeva ili njihov broj. Ovaj skup može uključivati ​​velike i male brojeve, a njihov broj može biti bilo koji.

Drugo, sve ove brojeve treba sabrati i dobiti njihov zbir. Naravno, ako su brojevi jednostavni, a njihov broj mali, onda se proračuni mogu izvršiti pisanjem rukom. A ako je skup brojeva impresivan, onda je bolje koristiti kalkulator ili proračunsku tablicu.

I, četvrto, iznos dobiven sabiranjem mora se podijeliti s brojem brojeva. Kao rezultat, dobijamo rezultat, koji će biti aritmetička sredina ove serije.

Čemu služi aritmetička sredina?

Aritmetička sredina može biti korisna ne samo za rješavanje primjera i zadataka na časovima matematike, već i u druge svrhe neophodne u svakodnevnom životu osobe. Takvi ciljevi mogu biti izračunavanje aritmetičke sredine za izračunavanje prosječnog mjesečnog troška finansija ili izračunavanje vremena koje provodite na putu, također kako biste saznali promet, produktivnost, brzinu, produktivnost i još mnogo toga.

Pa, na primjer, hajde da pokušamo izračunati koliko vremena provodite na putu do škole. Idući u školu ili vraćajući se kući, svaki put provodite drugačije vrijeme na putu, jer kada ste u žurbi, idete brže, a samim tim i put traje manje vremena. Ali, vraćajući se kući, možete ići polako, razgovarati sa kolegama iz razreda, diviti se prirodi, pa će vam za put biti potrebno više vremena.

Stoga nećete moći precizno odrediti vrijeme provedeno na putu, ali zahvaljujući aritmetičkoj sredini možete približno saznati vrijeme koje provedete na putu.

Recimo da ste prvog dana nakon vikenda na putu od kuće do škole proveli petnaest minuta, drugog dana vam je put trajao dvadeset minuta, u srijedu ste put prevalili za dvadeset pet minuta, za isto vrijeme krenuli ste u četvrtak, a u petak vam se nije žurilo i vratili ste se na pola sata.

Nađimo aritmetičku sredinu, dodajući vrijeme, za svih pet dana. dakle,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Sada podijelite ovaj iznos sa brojem dana

Kroz ovu metodu naučili ste da vam putovanje od kuće do škole traje otprilike dvadeset i tri minuta.

Zadaća

1. Koristeći jednostavne kalkulacije, pronađite aritmetički prosjek pohađanja vašeg razreda sedmično.

2. Pronađite aritmetičku sredinu:

3. Riješite problem:

Najčešći oblik statističkih pokazatelja koji se koristi u socio-ekonomskim istraživanjima je prosječna vrijednost, koja je generalizovana kvantitativna karakteristika znaka statističke populacije. Prosječne vrijednosti su, takoreći, "predstavnici" čitavog niza zapažanja. U mnogim slučajevima, prosjek se može odrediti preko početnog omjera prosjeka (ISS) ili njegove logičke formule: . Tako, na primjer, da bi se izračunale prosječne plate zaposlenih u preduzeću, potrebno je ukupan fond zarada podijeliti sa brojem zaposlenih: Brojač početnog omjera prosjeka je njegov određujući indikator. Za prosječnu platu, takav određujući indikator je fond zarada. Za svaki indikator koji se koristi u socio-ekonomskoj analizi, može se sastaviti samo jedan pravi referentni omjer za izračunavanje prosjeka. Treba dodati i to da u svrhu preciznije procjene standardne devijacije za male uzorke (sa brojem elemenata manjim od 30) nazivnik izraza ispod korijena ne treba koristiti n, a n- 1.

Pojam i vrste prosjeka

Prosječna vrijednost- ovo je generalizirajući pokazatelj statističke populacije, koji gasi individualne razlike u vrijednostima statističkih veličina, omogućavajući vam da međusobno uporedite različite populacije. Postoji 2 klase prosječne vrijednosti: snaga i strukturna. Strukturni prosjeci su moda i medijana , ali najčešće korišteni prosjeci snage razne vrste.

Prosjeci snage

Prosjeci snage mogu biti jednostavno i ponderisano.

Jednostavan prosjek se izračunava kada postoje dvije ili više negrupisanih statističkih vrijednosti, raspoređenih proizvoljnim redoslijedom prema sljedećoj općoj formuli zakona prosječne snage (za različite vrijednosti k (m)):

Ponderirani prosjek se izračunava iz grupisanih statistika koristeći sljedeću opštu formulu:

Gdje je x - prosječna vrijednost fenomena koji se proučava; x i – i-ta varijanta prosečnog obeležja;

f i je težina i-te opcije.

Gdje su X vrijednosti pojedinačnih statističkih vrijednosti ili sredine intervala grupisanja;
m - eksponent, o čijoj vrijednosti zavise sljedeće vrste prosječnih snaga:
pri m = -1 harmonska sredina;
za m = 0, geometrijska sredina;
za m = 1, aritmetička sredina;
kod m = 2, srednji kvadratni korijen;
pri m = 3, prosječna kubna.

Koristeći opšte formule za jednostavne i ponderisane proseke sa različitim eksponentima m, dobijamo posebne formule svakog tipa, o kojima će se detaljnije govoriti u nastavku.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina - početni trenutak prvog reda, matematičko očekivanje vrijednosti slučajne varijable s velikim brojem pokušaja;

Aritmetička sredina je najčešće korišćena prosečna vrednost, koja se dobija zamenom m = 1 u opštu formulu. Aritmetička sredina jednostavno ima sljedeći oblik:

ili

Gdje su X vrijednosti veličina za koje je potrebno izračunati prosječnu vrijednost; N je ukupan broj X vrijednosti (broj jedinica u proučavanoj populaciji).

Na primjer, student je položio 4 ispita i dobio sljedeće ocjene: 3, 4, 4 i 5. Izračunajmo prosječan rezultat koristeći jednostavnu formulu srednje aritmetičke: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Aritmetička sredina ponderisano ima sljedeći oblik:

Gdje je f broj vrijednosti sa istom X vrijednošću (frekvencijom). >Na primjer, student je položio 4 ispita i dobio sljedeće ocjene: 3, 4, 4 i 5. Izračunajte prosječan rezultat koristeći aritmetičku ponderiranu prosječnu formulu: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4. Ako su vrijednosti X date kao intervali, tada se za proračune koriste sredine X intervala, koje su definirane kao polovina zbroja gornje i donje granice intervala. A ako interval X nema donju ili gornju granicu (otvoreni interval), tada se za pronalaženje koristi raspon (razlika između gornje i donje granice) susjednog intervala X. Na primjer, u preduzeću ima 10 zaposlenih sa radnim iskustvom do 3 godine, 20 - sa radnim iskustvom od 3 do 5 godina, 5 zaposlenih - sa radnim iskustvom preko 5 godina. Zatim izračunavamo prosječan radni staž zaposlenih koristeći aritmetičku ponderiranu prosječnu formulu, uzimajući kao X sredinu intervala radnog staža (2, 4 i 6 godina): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 godina.

AVERAGE funkcija

Ova funkcija izračunava prosjek (aritmetiku) svojih argumenata.

PROSJEČAN(broj1, broj2, ...)

Broj1, broj2, ... su 1 do 30 argumenata za koje se izračunava prosjek.

Argumenti moraju biti brojevi ili imena, nizovi ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument, koji je niz ili veza, sadrži tekstove, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, tada se te vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije koje sadrže nulte vrijednosti se broje.

AVERAGE funkcija

Izračunava aritmetičku sredinu vrijednosti navedenih u listi argumenata. Osim brojeva, u proračunu mogu učestvovati tekstualne i logičke vrijednosti, kao što su TRUE i FALSE.

AVERAGE(vrijednost1, vrijednost2,...)

Vrijednost1, vrijednost2,... su od 1 do 30 ćelija, raspona ćelija ili vrijednosti za koje se izračunava prosjek.

Argumenti moraju biti brojevi, imena, nizovi ili reference. Nizovi i veze koje sadrže tekst tumače se kao 0 (nula). Prazan tekst ("") tumači se kao 0 (nula). Argumenti koji sadrže vrijednost TRUE interpretiraju se kao 1, a argumenti koji sadrže vrijednost FALSE tumače se kao 0 (nula).

Aritmetička sredina se najčešće koristi, ali postoje slučajevi kada su potrebne druge vrste prosjeka. Razmotrimo dalje takve slučajeve.

Prosječni harmonik

Harmonična sredina za određivanje prosječne sume recipročnih vrijednosti;

Prosječni harmonik koristi se kada izvorni podaci ne sadrže frekvencije f za pojedinačne vrijednosti X, već su predstavljeni kao njihov proizvod Xf. Označavajući Xf=w, izražavamo f=w/X, a zamjenom ovih oznaka u ponderiranu aritmetičku srednju formulu, dobijamo ponderiranu harmonijsku srednju formulu:

Dakle, harmonički ponderisani prosjek se koristi kada su frekvencije f nepoznate, ali je w=Xf poznato. U slučajevima kada se sve w=1, odnosno pojedinačne vrijednosti X javljaju 1 put, primjenjuje se harmonijska jednostavna srednja formula: ili Na primjer, automobil je išao od tačke A do tačke B brzinom od 90 km/h i nazad brzinom od 110 km/h. Da bismo odredili prosječnu brzinu, primjenjujemo harmonijsku jednostavnu formulu, budući da primjer daje udaljenost w 1 = w 2 (udaljenost od tačke A do tačke B je ista kao od tačke B do A), koja je jednaka proizvodu brzine (X) i vremena (f). Prosječna brzina = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

SRHARM funkcija

Vraća harmonijsku sredinu skupa podataka. Harmonična sredina je recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti.

SGARM(broj1, broj2, ...)

Broj1, broj2, ... su 1 do 30 argumenata za koje se izračunava prosjek. Možete koristiti niz ili referencu niza umjesto argumenata razdvojenih tačkom i zarezom.

Harmonična sredina je uvijek manja od geometrijske sredine, koja je uvijek manja od aritmetičke sredine.

Geometrijska sredina

Geometrijska sredina za procjenu prosječne stope rasta slučajnih varijabli, pronalaženje vrijednosti karakteristike jednako udaljene od minimalne i maksimalne vrijednosti;

Geometrijska sredina koristi se za određivanje prosječnih relativnih promjena. Geometrijska srednja vrijednost daje najprecizniji rezultat usrednjavanja ako je zadatak pronaći takvu vrijednost X, koja bi bila jednako udaljena i od maksimalne i od minimalne vrijednosti X. Na primjer, između 2005. i 2008indeks inflacije u Rusiji je: 2005. godine - 1.109; u 2006. godini - 1.090; u 2007. godini - 1.119; u 2008. godini - 1.133. Budući da je indeks inflacije relativna promjena (dinamički indeks), tada trebate izračunati prosječnu vrijednost koristeći geometrijsku sredinu: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, odnosno za period od 2005. do 2008. godine cijene su rasle u prosjeku za 11,26%. Pogrešno izračunavanje aritmetičke sredine dalo bi netačan rezultat od 11,28%.

SRGEOM funkcija

Vraća geometrijsku sredinu niza ili raspona pozitivnih brojeva. Na primjer, funkcija CAGEOM se može koristiti za izračunavanje prosječne stope rasta ako je dat složeni prihod sa varijabilnim stopama.

SRGEOM(broj1; broj2; ...)

Broj1, broj2, ... su 1 do 30 argumenata za koje se izračunava geometrijska sredina. Možete koristiti niz ili referencu niza umjesto argumenata razdvojenih tačkom i zarezom.

srednji kvadratni korijen

Srednji kvadrat je početni trenutak drugog reda.

srednji kvadratni korijen koristi se kada početne vrijednosti X mogu biti i pozitivne i negativne, na primjer, pri izračunavanju prosječnih odstupanja. Glavna upotreba kvadratne sredine je mjerenje varijacije u vrijednostima X.

Prosječan kubik

Prosječni kubik je početni moment trećeg reda.

Prosječan kubik koristi se izuzetno rijetko, na primjer, pri izračunavanju indeksa siromaštva za zemlje u razvoju (HPI-1) i za razvijene zemlje (HPI-2), koje predlažu i izračunavaju UN.