Το τρίγωνο είναι ένα γνωστό σχήμα. Και αυτό, παρά την πλούσια ποικιλία των μορφών του. Ορθογώνιο, ισόπλευρο, οξεία, ισοσκελή, αμβλεία. Κάθε ένα από αυτά είναι κάπως διαφορετικό. Αλλά για οποιοδήποτε απαιτείται να γνωρίζει το εμβαδόν του τριγώνου.

Κοινοί τύποι για όλα τα τρίγωνα που χρησιμοποιούν τα μήκη των πλευρών ή των υψών

Οι ονομασίες που υιοθετήθηκαν σε αυτά: πλευρές - α, β, γ. ύψη στις αντίστοιχες πλευρές στο a, n in, n s.

1. Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ½, της πλευράς και του ύψους που έχει χαμηλώσει πάνω του. S = ½ * a * n a. Ομοίως, θα πρέπει κανείς να γράψει τύπους για τις άλλες δύο πλευρές.

2. Ο τύπος του Ήρωνα, στον οποίο εμφανίζεται η ημιπερίμετρος (συνηθίζεται να τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα p, σε αντίθεση με την πλήρη περίμετρο). Η ημιπερίμετρος πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: αθροίστε όλες τις πλευρές και διαιρέστε τις με το 2. Ο τύπος ημιπεριμέτρου: p \u003d (a + b + c) / 2. Στη συνέχεια, η ισότητα για το εμβαδόν του \ Το σχήμα μοιάζει με αυτό: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ημιπερίμετρο, τότε θα σας φανεί χρήσιμος ένας τέτοιος τύπος, στον οποίο υπάρχουν μόνο τα μήκη των πλευρών: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( β + γ - α) * (α + γ - γ) * (α + β - γ)). Είναι κάπως μεγαλύτερο από το προηγούμενο, αλλά θα σας βοηθήσει αν ξεχάσετε πώς να βρείτε την ημιπερίμετρο.

Γενικοί τύποι στους οποίους εμφανίζονται οι γωνίες ενός τριγώνου

Ο συμβολισμός που απαιτείται για την ανάγνωση των τύπων: α, β, γ - γωνίες. Βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές a, b, c, αντίστοιχα.

1. Σύμφωνα με αυτό, το μισό γινόμενο δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή: S = ½ a * b * sin γ. Οι τύποι για τις άλλες δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από μία πλευρά και τρεις γνωστές γωνίες. S \u003d (α 2 * αμαρτία β * αμαρτία γ) / (2 αμαρτία α).

3. Υπάρχει επίσης ένας τύπος με μια γνωστή πλευρά και δύο γωνίες δίπλα της. Μοιάζει με αυτό: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν είναι οι απλούστεροι. Είναι πολύ δύσκολο να τα θυμάσαι.

Γενικοί τύποι για την κατάσταση όταν είναι γνωστές οι ακτίνες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κύκλων

Πρόσθετες ονομασίες: r, R — ακτίνες. Το πρώτο χρησιμοποιείται για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το δεύτερο είναι για αυτό που περιγράφεται.

1. Ο πρώτος τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται με την ημιπερίμετρο. S = r * r. Με άλλο τρόπο, μπορεί να γραφτεί ως εξής: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε όλες τις πλευρές του τριγώνου και να τις διαιρέσετε με την τετραπλή ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Κυριολεκτικά, μοιάζει με αυτό: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Η τρίτη κατάσταση σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς να γνωρίζετε τις πλευρές, αλλά χρειάζεστε τις τιμές και των τριών γωνιών. S \u003d 2 R 2 * sin α * αμαρτία β * αμαρτία γ.

Ειδική περίπτωση: ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτή είναι η απλούστερη κατάσταση, αφού απαιτείται μόνο το μήκος και των δύο ποδιών. Συμβολίζονται με τα λατινικά γράμματα a και b. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που προστίθεται σε αυτό.

Μαθηματικά, μοιάζει με αυτό: S = ½ a * b. Είναι η πιο εύκολη στη μνήμη. Επειδή μοιάζει με τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, εμφανίζεται μόνο ένα κλάσμα, που δηλώνει το μισό.

Ειδική περίπτωση: ισοσκελές τρίγωνο

Δεδομένου ότι οι δύο πλευρές του είναι ίσες, ορισμένοι τύποι για την περιοχή του φαίνονται κάπως απλοποιημένοι. Για παράδειγμα, ο τύπος του Heron, ο οποίος υπολογίζει το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, έχει την ακόλουθη μορφή:

S = ½ σε √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Εάν το μετατρέψετε, θα γίνει πιο σύντομο. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος του Heron για ένα ισοσκελές τρίγωνο γράφεται ως εξής:

S = ¼ σε √(4 * a 2 - b 2).

Ο τύπος εμβαδού φαίνεται κάπως απλούστερος από ό,τι για ένα αυθαίρετο τρίγωνο εάν οι πλευρές και η γωνία μεταξύ τους είναι γνωστές. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Ειδική περίπτωση: ισόπλευρο τρίγωνο

Συνήθως, σε προβλήματα σχετικά με αυτόν, η πλευρά είναι γνωστή ή μπορεί με κάποιο τρόπο να αναγνωριστεί. Τότε ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τέτοιου τριγώνου είναι ο εξής:

S = (a 2 √3) / 4.

Εργασίες εύρεσης της περιοχής εάν το τρίγωνο απεικονίζεται σε καρό χαρτί

Η απλούστερη κατάσταση είναι όταν σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε τα σκέλη του να συμπίπτουν με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κυττάρων που χωρούν στα πόδια. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα και διαιρέστε τα με δύο.

Όταν το τρίγωνο είναι οξύ ή αμβλύ, πρέπει να τραβηχτεί σε ένα ορθογώνιο. Στη συνέχεια, στο σχήμα που προκύπτει θα υπάρχουν 3 τρίγωνα. Ένα είναι αυτό που δίνεται στην εργασία. Και τα άλλα δύο είναι βοηθητικά και ορθογώνια. Οι περιοχές των δύο τελευταίων πρέπει να προσδιορίζονται με τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Στη συνέχεια, υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου και αφαιρέστε από αυτό αυτά που υπολογίστηκαν για τα βοηθητικά. Το εμβαδόν του τριγώνου καθορίζεται.

Πολύ πιο δύσκολη είναι η κατάσταση στην οποία καμία από τις πλευρές του τριγώνου δεν συμπίπτει με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο έτσι ώστε οι κορυφές του αρχικού σχήματος να βρίσκονται στις πλευρές του. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν τρία βοηθητικά ορθογώνια τρίγωνα.

Ένα παράδειγμα προβλήματος στον τύπο του Heron

Κατάσταση. Κάποιο τρίγωνο έχει πλευρές. Είναι ίσα με 3, 5 και 6 εκ. Πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν του.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο τεσσάρων αριθμών: 7, 4, 2 και 1. Δηλαδή, το εμβαδόν είναι √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Εάν δεν χρειάζεστε περισσότερη ακρίβεια, τότε μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 14. Είναι 3,74. Τότε το εμβαδόν θα είναι ίσο με 7,48.

Απάντηση. S \u003d 2 √14 cm 2 ή 7,48 cm 2.

Παράδειγμα προβλήματος με ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Το ένα σκέλος ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι 31 cm μακρύτερο από το δεύτερο. Απαιτείται να μάθετε τα μήκη τους εάν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 180 cm 2.
Λύση. Πρέπει να λύσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Το πρώτο έχει να κάνει με την περιοχή. Το δεύτερο είναι με την αναλογία των ποδιών, που δίνεται στο πρόβλημα.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Πρώτον, η τιμή του "a" πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη εξίσωση. Αποδεικνύεται: 180 \u003d ½ (σε + 31) * in. Έχει μόνο μία άγνωστη ποσότητα, επομένως είναι εύκολο να λυθεί. Μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων, προκύπτει μια τετραγωνική εξίσωση: σε 2 + 31 σε - 360 \u003d 0. Δίνει δύο τιμές για το "in": 9 και - 40. Ο δεύτερος αριθμός δεν είναι κατάλληλος ως απάντηση , αφού το μήκος της πλευράς του τριγώνου δεν μπορεί να είναι αρνητική τιμή.

Απομένει να υπολογίσουμε το δεύτερο σκέλος: προσθέστε το 31 στον αριθμό που προκύπτει. Βγαίνει 40. Αυτές είναι οι ποσότητες που αναζητούνται στο πρόβλημα.

Απάντηση. Τα σκέλη του τριγώνου είναι 9 και 40 cm.

Το έργο της εύρεσης της πλευράς μέσα από την περιοχή, την πλευρά και τη γωνία ενός τριγώνου

Κατάσταση. Το εμβαδόν κάποιου τριγώνου είναι 60 cm2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε μια από τις πλευρές του εάν η δεύτερη πλευρά είναι 15 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 30º.

Λύση. Με βάση τους αποδεκτούς χαρακτηρισμούς, η επιθυμητή πλευρά είναι "a", η γνωστή "b", η δεδομένη γωνία είναι "γ". Στη συνέχεια, ο τύπος περιοχής μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

60 \u003d ½ a * 15 * αμαρτία 30º. Εδώ το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 0,5.

Μετά τους μετασχηματισμούς, το "a" αποδεικνύεται ίσο με 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Δηλαδή 16.

Απάντηση. Η επιθυμητή πλευρά είναι 16 cm.

Το πρόβλημα ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Η κορυφή ενός τετραγώνου με πλευρά 24 cm συμπίπτει με τη ορθή γωνία του τριγώνου. Τα άλλα δύο είναι ξαπλωμένα στα πόδια. Το τρίτο ανήκει στην υποτείνουσα. Το μήκος ενός σκέλους είναι 42 εκ. Ποιο είναι το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου;

Λύση. Θεωρήστε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο καθορίζεται στην εργασία. Το δεύτερο βασίζεται στο γνωστό σκέλος του αρχικού τριγώνου. Μοιάζουν γιατί έχουν κοινή γωνία και σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες.

Τότε οι αναλογίες των ποδιών τους είναι ίσες. Τα σκέλη του μικρότερου τριγώνου είναι 24 cm (πλευρά του τετραγώνου) και 18 cm (δεδομένο πόδι 42 cm μείον την πλευρά του τετραγώνου 24 cm). Τα αντίστοιχα σκέλη του μεγάλου τριγώνου είναι 42 cm και x cm. Είναι αυτό το «x» που χρειάζεται για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου.

18/42 \u003d 24 / x, δηλαδή, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο των 56 και 42, διαιρούμενο με δύο, δηλαδή 1176 cm 2.

Απάντηση. Η επιθυμητή περιοχή είναι 1176 cm 2.

Ένα τρίγωνο είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο αποτελείται από τρεις πλευρές και τρεις κορυφές. Λόγω της απλότητάς του, το τρίγωνο χρησιμοποιείται από την αρχαιότητα για διάφορες μετρήσεις και σήμερα το σχήμα μπορεί να είναι χρήσιμο για την επίλυση πρακτικών και καθημερινών προβλημάτων.

Χαρακτηριστικά τριγώνου

Το σχήμα χρησιμοποιείται για υπολογισμούς από την αρχαιότητα, για παράδειγμα, οι τοπογράφοι και οι αστρονόμοι λειτουργούν με τις ιδιότητες των τριγώνων για τον υπολογισμό των περιοχών και των αποστάσεων. Μέσα από την περιοχή αυτού του σχήματος, είναι εύκολο να εκφραστεί το εμβαδόν οποιουδήποτε n-γώνου και αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιήθηκε από αρχαίους επιστήμονες για να εξάγουν τύπους για τις περιοχές των πολυγώνων. Η συνεχής εργασία με τρίγωνα, ειδικά με ορθογώνιο τρίγωνο, έχει γίνει η βάση για μια ολόκληρη ενότητα των μαθηματικών - τριγωνομετρίας.

γεωμετρία τριγώνου

Οι ιδιότητες του γεωμετρικού σχήματος έχουν μελετηθεί από την αρχαιότητα: οι παλαιότερες πληροφορίες για το τρίγωνο βρέθηκαν σε αιγυπτιακούς παπύρους 4000 ετών. Στη συνέχεια η μορφή μελετήθηκε στην αρχαία Ελλάδα και τη μεγαλύτερη συμβολή στη γεωμετρία του τριγώνου είχαν ο Ευκλείδης, ο Πυθαγόρας και ο Ήρων. Η μελέτη του τριγώνου δεν σταμάτησε ποτέ και τον 18ο αιώνα ο Leonhard Euler εισήγαγε την έννοια του ορθόκεντρου της μορφής και του κύκλου του Euler. Στο γύρισμα του 19ου και του 20ου αιώνα, όταν φαινόταν ότι ήταν απολύτως γνωστά τα πάντα για το τρίγωνο, ο Frank Morley διατύπωσε το θεώρημα του τριγωνικού τριγώνου και ο Vaclav Sierpinski πρότεινε το φράκταλ τρίγωνο.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι επίπεδων τριγώνων γνωστοί σε εμάς από το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας:

• οξεία γωνία - όλες οι γωνίες του σχήματος είναι αιχμηρές.
• αμβλεία - το σχήμα έχει μια αμβλεία γωνία (μεγαλύτερη από 90 μοίρες).
• ορθογώνιο - το σχήμα περιέχει μια ορθή γωνία ίση με 90 μοίρες.
• ισοσκελές - ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές.
• ισόπλευρο - ένα τρίγωνο με όλες τις ίσες πλευρές.
• Στην πραγματική ζωή, υπάρχουν όλα τα είδη τριγώνων και σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός γεωμετρικού σχήματος.

Εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν είναι μια εκτίμηση του επιπέδου του επιπέδου που οριοθετεί το σχήμα. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί με έξι τρόπους, χρησιμοποιώντας πλευρές, ύψος, γωνίες, την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου, καθώς και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron ή υπολογίζοντας ένα διπλό ολοκλήρωμα στις γραμμές που οριοθετούν το επίπεδο. Ο απλούστερος τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου είναι:

όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου, h το ύψος του.

Ωστόσο, στην πράξη δεν μας βολεύει πάντα να βρίσκουμε το ύψος ενός γεωμετρικού σχήματος. Ο αλγόριθμος της αριθμομηχανής μας σας επιτρέπει να υπολογίσετε την περιοχή, γνωρίζοντας:

• τρεις πλευρές?
• δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους.
• μια πλευρά και δύο γωνίες.

Για να προσδιορίσουμε την περιοχή ως προς τις τρεις πλευρές, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

όπου p είναι η μισή περίμετρος του τριγώνου.

Ο υπολογισμός του εμβαδού σε δύο πλευρές και μια γωνία γίνεται σύμφωνα με τον κλασικό τύπο:

S = a × b × sin(alfa),

όπου άλφα είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών α και β.

Για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν από τη μία πλευρά και τις δύο γωνίες χρησιμοποιούμε τη σχέση που:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Χρησιμοποιώντας μια απλή αναλογία, προσδιορίζουμε το μήκος της δεύτερης πλευράς, μετά την οποία υπολογίζουμε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο S = a × b × sin (άλφα). Αυτός ο αλγόριθμος είναι πλήρως αυτοματοποιημένος και χρειάζεται μόνο να εισαγάγετε τις δεδομένες μεταβλητές και να λάβετε το αποτέλεσμα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

πλακόστρωτες πλάκες

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να στρώσετε το δάπεδο με τριγωνικά πλακάκια και για να προσδιορίσετε την ποσότητα του υλικού που απαιτείται, θα πρέπει να μάθετε την περιοχή ενός πλακιδίου και την επιφάνεια του δαπέδου. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να επεξεργαστείτε 6 τετραγωνικά μέτρα επιφάνειας χρησιμοποιώντας πλακάκια των οποίων οι διαστάσεις είναι \u003d 20 cm, b \u003d 21 cm, c \u003d 29 cm. Προφανώς, για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου, το Η αριθμομηχανή χρησιμοποιεί τον τύπο του Heron και θα δώσει το αποτέλεσμα:

Έτσι, η περιοχή ενός στοιχείου πλακιδίων θα είναι 0,021 τετραγωνικά μέτρα και θα χρειαστείτε 6 / 0,021 \u003d 285 τρίγωνα για να βελτιώσετε το δάπεδο. Οι αριθμοί 20, 21 και 29 αποτελούν τους πυθαγόρειους τριπλούς αριθμούς που ικανοποιούν . Και αυτό είναι σωστό, η αριθμομηχανή μας υπολόγισε επίσης όλες τις γωνίες του τριγώνου και η γωνία γάμμα είναι ακριβώς 90 μοίρες.

σχολική εργασία

Σε ένα σχολικό πρόβλημα, πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός τριγώνου, γνωρίζοντας ότι η πλευρά a \u003d 5 cm και οι γωνίες άλφα και βήτα του τραύματος είναι 30 και 50 μοίρες, αντίστοιχα. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα με μη αυτόματο τρόπο, θα βρίσκαμε πρώτα την τιμή της πλευράς b χρησιμοποιώντας τον λόγο των πλευρών και των ημιτόνων των απέναντι γωνιών και στη συνέχεια θα προσδιορίζαμε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο S = a × b × sin(alfa). Ας εξοικονομήσουμε χρόνο, εισαγάγετε τα δεδομένα στη φόρμα αριθμομηχανής και λάβετε μια άμεση απάντηση

Όταν χρησιμοποιείτε μια αριθμομηχανή, είναι σημαντικό να καθορίσετε σωστά τις γωνίες και τις πλευρές, διαφορετικά το αποτέλεσμα θα είναι λανθασμένο.

συμπέρασμα

Το τρίγωνο είναι ένα μοναδικό σχήμα που εμφανίζεται τόσο στην πραγματική ζωή όσο και σε αφηρημένους υπολογισμούς. Χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή για να βρείτε το εμβαδόν των τριγώνων κάθε είδους.

Η έννοια της περιοχής

Η έννοια της περιοχής οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος, ιδιαίτερα ενός τριγώνου, θα συσχετιστεί με ένα σχήμα όπως ένα τετράγωνο. Για μια μονάδα εμβαδού οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος, θα πάρουμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου, η πλευρά του οποίου είναι ίση με ένα. Για πληρότητα, υπενθυμίζουμε δύο βασικές ιδιότητες για την έννοια των περιοχών των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιδιοκτησία 1:Αν τα γεωμετρικά σχήματα είναι ίσα, τότε τα εμβαδά τους είναι επίσης ίσα.

Ιδιοκτησία 2:Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να χωριστεί σε πολλά σχήματα. Επιπλέον, το εμβαδόν του αρχικού σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των τιμών των εμβαδών όλων των σχημάτων που το αποτελούν.

Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Είναι προφανές ότι μία από τις πλευρές του τριγώνου είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου , όπου η μία πλευρά είναι $5$ (από $5$ κελιά) και η άλλη είναι $6$ (από $6$ κελιά). Επομένως, το εμβαδόν αυτού του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό ενός τέτοιου ορθογωνίου. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι

Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι

Απάντηση: $15 $.

Στη συνέχεια, εξετάστε διάφορες μεθόδους για την εύρεση των περιοχών των τριγώνων, δηλαδή χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση, χρησιμοποιώντας τον τύπο Heron και την περιοχή ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση

Θεώρημα 1

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς επί το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό

$S=\frac(1)(2)αh$

όπου $a$ είναι το μήκος της πλευράς, $h$ είναι το ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Απόδειξη.

Θεωρήστε το τρίγωνο $ABC$ όπου $AC=α$. Το ύψος $BH$ τραβιέται σε αυτήν την πλευρά και ισούται με $h$. Ας το φτιάξουμε στο τετράγωνο $AXYC$ όπως στο Σχήμα 2.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου $AXBH$ είναι $h\cdot AH$ και αυτό του ορθογωνίου $HBYC$ είναι $h\cdot HC$. Επειτα

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Επομένως, η επιθυμητή περιοχή του τριγώνου, σύμφωνα με την ιδιότητα 2, είναι ίση με

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου στο παρακάτω σχήμα, εάν το κελί έχει εμβαδόν ίσο με ένα

Η βάση αυτού του τριγώνου είναι $9$ (αφού $9$ είναι $9$ κελιά). Το ύψος είναι επίσης $9 $. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 1, λαμβάνουμε

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Απάντηση: $40,5 $.

Η φόρμουλα του Heron

Θεώρημα 2

Αν μας δοθούν τρεις πλευρές τριγώνου $α$, $β$ και $γ$, τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

εδώ το $ρ$ σημαίνει τη μισή περίμετρο αυτού του τριγώνου.

Απόδειξη.

Σκεφτείτε το ακόλουθο σχήμα:

Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από το τρίγωνο $ABH$ προκύπτει

Από το τρίγωνο $CBH$, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει η ισότητα

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Αφού $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, τότε $α+β+γ=2ρ$, επομένως

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικούς τύπους. Από όλες τις μεθόδους, η πιο εύκολη και πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι ο πολλαπλασιασμός του ύψους με το μήκος της βάσης, ακολουθούμενος από τη διαίρεση του αποτελέσματος με το δύο. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος απέχει πολύ από τη μοναδική. Παρακάτω μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους.

Ξεχωριστά, θα εξετάσουμε μεθόδους για τον υπολογισμό του εμβαδού συγκεκριμένων τύπων τριγώνων - ορθογώνιο, ισοσκελές και ισόπλευρο. Συνοδεύουμε κάθε φόρμουλα με μια σύντομη εξήγηση που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την ουσία της.

Καθολικοί τρόποι για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου

Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν ειδική σημείωση. Θα αποκρυπτογραφήσουμε καθένα από αυτά:

• α, β, γ είναι τα μήκη των τριών πλευρών του σχήματος που εξετάζουμε.
• r είναι η ακτίνα ενός κύκλου που μπορεί να εγγραφεί στο τρίγωνό μας.
• R είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να περιγραφεί γύρω του.
• α - η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές b και c.
• β είναι η γωνία μεταξύ a και c.
• γ - η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές a και b.
• h είναι το ύψος του τριγώνου μας, χαμηλωμένο από τη γωνία α στην πλευρά α.
• Το p είναι το ήμισυ του αθροίσματος των πλευρών a, b και c.

Είναι λογικά σαφές γιατί μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με αυτόν τον τρόπο. Το τρίγωνο συμπληρώνεται εύκολα σε ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο η μία πλευρά του τριγώνου θα λειτουργεί ως διαγώνιος. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μήκος μιας από τις πλευρές του με την τιμή του ύψους που τραβιέται σε αυτό. Η διαγώνιος διαιρεί αυτό το υπό όρους παραλληλόγραμμο σε 2 ίδια τρίγωνα. Επομένως, είναι προφανές ότι το εμβαδόν του αρχικού μας τριγώνου πρέπει να είναι ίσο με το μισό του εμβαδού αυτού του βοηθητικού παραλληλογράμμου.

S=½ a b sin γ

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των δύο πλευρών του, δηλαδή των a και b, με το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν. Αυτός ο τύπος προέρχεται λογικά από τον προηγούμενο. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία β στην πλευρά b, τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, πολλαπλασιάζοντας το μήκος της πλευράς α με το ημίτονο της γωνίας γ, παίρνουμε το ύψος του τριγώνου, δηλαδή h.

Το εμβαδόν του υπό εξέταση σχήματος βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μισό της ακτίνας του κύκλου, που μπορεί να εγγραφεί σε αυτόν, με την περίμετρό του. Βρίσκουμε δηλαδή το γινόμενο της ημιπεριμέτρου και της ακτίνας του αναφερόμενου κύκλου.

S= a b c/4R

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η τιμή που χρειαζόμαστε μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο των πλευρών του σχήματος με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτό.

Αυτοί οι τύποι είναι καθολικοί, καθώς καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της περιοχής οποιουδήποτε τριγώνου (σκαλοπάτι, ισοσκελές, ισόπλευρο, ορθογώνιο). Αυτό μπορεί να γίνει με τη βοήθεια πιο περίπλοκων υπολογισμών, στους οποίους δεν θα σταθούμε λεπτομερώς.

Περιοχές τριγώνων με συγκεκριμένες ιδιότητες

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου; Ένα χαρακτηριστικό αυτού του σχήματος είναι ότι οι δύο πλευρές του είναι ταυτόχρονα και τα ύψη του. Εάν τα a και b είναι σκέλη και το c γίνεται η υποτείνουσα, τότε η περιοχή βρίσκεται ως εξής:

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου; Έχει δύο πλευρές με μήκος α και μια πλευρά με μήκος β. Επομένως, το εμβαδόν του μπορεί να προσδιοριστεί διαιρώντας με το 2 το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς a με το ημίτονο της γωνίας γ.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου; Σε αυτό, το μήκος όλων των πλευρών είναι α και η τιμή όλων των γωνιών είναι α. Το ύψος του είναι το μισό του γινόμενου του μήκους μιας πλευράς επί την τετραγωνική ρίζα του 3. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου, χρειάζεστε το τετράγωνο της πλευράς a πολλαπλασιασμένο με την τετραγωνική ρίζα του 3 και διαιρούμενο με το 4.

Εντολή

Κόμματακαι οι γωνίες θεωρούνται βασικά στοιχεία ένα. Ένα τρίγωνο ορίζεται πλήρως από οποιοδήποτε από τα ακόλουθα βασικά στοιχεία του: είτε τρεις πλευρές, είτε μία πλευρά και δύο γωνίες, είτε δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους. Για την ύπαρξη τρίγωνοπου ορίζονται από τρεις πλευρές α, β, γ, είναι απαραίτητο και επαρκές οι ανισώσεις, που ονομάζονται ανισώσεις τρίγωνο:
α+β > γ
α+γ > β
β+γ > α.

Για το χτίσιμο τρίγωνοστις τρεις πλευρές a, b, c, είναι απαραίτητο από το σημείο C του τμήματος CB=a πώς να σχεδιάσετε έναν κύκλο ακτίνας b με πυξίδα. Κατόπιν, ομοίως, σχεδιάστε έναν κύκλο από το σημείο Β με ακτίνα ίση με την πλευρά c. Το σημείο τομής τους Α είναι η τρίτη κορυφή του επιθυμητού τρίγωνο ABC, όπου AB=c, CB=a, CA=b - πλευρές τρίγωνο. Το πρόβλημα έχει , αν οι πλευρές a, b, c, ικανοποιούν τις ανισότητες τρίγωνοκαθορίζεται στο βήμα 1.

Η περιοχή του S κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο τρίγωνοΤο ABC με γνωστές πλευρές a, b, c, υπολογίζεται με τον τύπο του Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
όπου α, β, γ είναι πλευρές τρίγωνο, το p είναι η ημιπερίμετρος.
p = (a+b+c)/2

Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, δηλαδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες (a=b=c). τρίγωνουπολογίζεται με τον τύπο:
S=(a^2 v3)/4

Εάν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, δηλαδή μια από τις γωνίες του είναι 90 ° και οι πλευρές που το σχηματίζουν είναι σκέλη, η τρίτη πλευρά είναι η υποτείνουσα. Σε αυτήν την περίπτωση τετράγωνοισούται με το γινόμενο των ποδιών διαιρούμενο με δύο.
S=ab/2

Να βρω τετράγωνο τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από τους πολλούς τύπους. Επιλέξτε τον τύπο ανάλογα με τα δεδομένα που είναι ήδη γνωστά.

Θα χρειαστείτε

• γνώση τύπων για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

Εντολή

Εάν γνωρίζετε την τιμή μιας από τις πλευρές και την τιμή του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά από την απέναντι γωνία, τότε μπορείτε να βρείτε την περιοχή χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα: S = a*h/2, όπου S είναι το εμβαδόν ​​το τρίγωνο, a είναι μία από τις πλευρές του τριγώνου και h - ύψος, προς την πλευρά α.

Υπάρχει ένας γνωστός τρόπος προσδιορισμού του εμβαδού ενός τριγώνου εάν είναι γνωστές τρεις από τις πλευρές του. Είναι η φόρμουλα του Heron. Για να απλοποιηθεί η καταγραφή του, εισάγεται μια ενδιάμεση τιμή - μια ημιπερίμετρος: p \u003d (a + b + c) / 2, όπου a, b, c - . Τότε ο τύπος του Heron έχει ως εξής: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ εκθετική.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε μία από τις πλευρές ενός τριγώνου και τρεις γωνίες. Στη συνέχεια, είναι εύκολο να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), όπου β είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά a, και α και γ είναι γωνίες δίπλα στην πλευρά.

Σχετικά βίντεο

Σημείωση

Η πιο γενική φόρμουλα που είναι κατάλληλη για όλες τις περιπτώσεις είναι η φόρμουλα του Heron.

Πηγές:

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με τρεις πλευρές

Η εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου είναι μια από τις πιο κοινές εργασίες στη σχολική επιπεδομετρία. Η γνώση των τριών πλευρών ενός τριγώνου είναι αρκετή για να προσδιορίσει το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου. Σε ειδικές περιπτώσεις και ισόπλευρα τρίγωνα, αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη των δύο και της μίας πλευράς, αντίστοιχα.

Θα χρειαστείτε

• μήκη πλευρών τριγώνων, τύπος Heron, θεώρημα συνημιτόνου

Εντολή

Ο τύπος του Heron για το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ο εξής: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Αν βάψετε την ημιπεριμετρική p, τότε λαμβάνετε: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Μπορείτε επίσης να εξαγάγετε έναν τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου από θεωρήσεις, για παράδειγμα, εφαρμόζοντας το θεώρημα συνημιτόνου.

Σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Χρησιμοποιώντας τον εισαγόμενο συμβολισμό, αυτά μπορούν επίσης να έχουν τη μορφή: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Επομένως, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται επίσης με τον τύπο S = a*c*sin(ABC)/2 μέσω δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους. Το ημίτονο της γωνίας ABC μπορεί να εκφραστεί ως προς αυτό χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Αντικαθιστώντας το ημίτονο στον τύπο εμβαδού και ζωγραφίζοντας το, μπορείτε έρχονται στον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου ABC.

Σχετικά βίντεο

Για επισκευές, μπορεί να χρειαστεί να γίνει μέτρηση τετράγωνοτοίχους. Είναι ευκολότερο να υπολογίσετε την απαιτούμενη ποσότητα χρώματος ή ταπετσαρίας. Για μετρήσεις, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μεζούρα ή ταινία εκατοστών. Οι μετρήσεις πρέπει να γίνουν μετά τοίχουςέχουν ευθυγραμμιστεί.

Θα χρειαστείτε

• -ρουλέτα;
• -σκάλα.

Εντολή

Να μετρήσει τετράγωνοτοίχους, πρέπει να γνωρίζετε το ακριβές ύψος των οροφών, καθώς και να μετρήσετε το μήκος κατά μήκος του δαπέδου. Αυτό γίνεται ως εξής: πάρτε ένα εκατοστό, τοποθετήστε το πάνω από την πλίνθο. Συνήθως ένα εκατοστό δεν είναι αρκετό για όλο το μήκος, γι' αυτό το στερεώστε το στη γωνία και μετά ξετυλίξτε το στο μέγιστο μήκος. Σε αυτό το σημείο, βάλτε ένα σημάδι με ένα μολύβι, σημειώστε το αποτέλεσμα και πραγματοποιήστε περαιτέρω μέτρηση με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από το τελευταίο σημείο μέτρησης.

Τυπικές οροφές σε τυπικές - 2 μέτρα 80 εκατοστά, 3 μέτρα και 3 μέτρα 20 εκατοστά, ανάλογα με το σπίτι. Εάν το σπίτι χτίστηκε πριν από τη δεκαετία του '50, τότε πιθανότατα το πραγματικό ύψος είναι ελαφρώς χαμηλότερο από το υποδεικνυόμενο. Αν υπολογίζεις τετράγωνογια εργασίες επισκευής, τότε ένα μικρό περιθώριο δεν θα βλάψει - εξετάστε με βάση το πρότυπο. Εάν εξακολουθείτε να χρειάζεται να γνωρίζετε το πραγματικό ύψος - κάντε μετρήσεις. Η αρχή είναι παρόμοια με τη μέτρηση του μήκους, αλλά θα χρειαστείτε μια σκάλα.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμούς που προκύπτουν - αυτό είναι τετράγωνοτα δικα σου τοίχους. Είναι αλήθεια ότι για εργασία ζωγραφικής ή για αυτό είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τετράγωνοανοίγματα θυρών και παραθύρων. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε ένα εκατοστό κατά μήκος του ανοίγματος. Εάν μιλάμε για μια πόρτα που πρόκειται να αλλάξετε αργότερα, τότε εκτελέστε το με το πλαίσιο της πόρτας αφαιρεθεί, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τετράγωνοτο ίδιο το άνοιγμα. Η περιοχή του παραθύρου υπολογίζεται κατά μήκος της περιμέτρου του πλαισίου του. Μετά τετράγωνουπολογισμένο παράθυρο και πόρτα, αφαιρέστε το αποτέλεσμα από τη συνολική επιφάνεια του δωματίου που ελήφθη.

Λάβετε υπόψη ότι οι μετρήσεις του μήκους και του πλάτους του δωματίου πραγματοποιούνται μαζί, είναι ευκολότερο να στερεώσετε ένα εκατοστό ή μια μεζούρα και, κατά συνέπεια, να έχετε ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα. Κάντε την ίδια μέτρηση πολλές φορές για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί που λαμβάνετε είναι ακριβείς.

Σχετικά βίντεο

Η εύρεση του όγκου ενός τριγώνου είναι πράγματι μια μη τετριμμένη εργασία. Το γεγονός είναι ότι ένα τρίγωνο είναι ένα δισδιάστατο σχήμα, δηλ. βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε ένα επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι απλά δεν έχει όγκο. Φυσικά, δεν μπορείς να βρεις κάτι που δεν υπάρχει. Αλλά ας μην τα παρατάμε! Μπορούμε να κάνουμε την ακόλουθη υπόθεση - ο όγκος ενός δισδιάστατου σχήματος, αυτή είναι η περιοχή του. Αναζητούμε το εμβαδόν του τριγώνου.

Θα χρειαστείτε

• φύλλο χαρτί, μολύβι, χάρακα, αριθμομηχανή

Εντολή

Σχεδιάστε σε ένα φύλλο χαρτιού με χάρακα και μολύβι. Εξετάζοντας προσεκτικά το τρίγωνο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι όντως δεν έχει, αφού είναι σχεδιασμένο σε επίπεδο. Επισημάνετε τις πλευρές του τριγώνου: αφήστε τη μία πλευρά να είναι πλευρά "a", η άλλη πλευρά "b" και η τρίτη πλευρά "c". Σημειώστε τις κορυφές του τριγώνου με τα γράμματα "A", "B" και "C".

Μετρήστε οποιαδήποτε πλευρά του τριγώνου με ένα χάρακα και σημειώστε το αποτέλεσμα. Μετά από αυτό, επαναφέρετε την κάθετο στη μετρούμενη πλευρά από την αντίθετη κορυφή, μια τέτοια κάθετη θα είναι το ύψος του τριγώνου. Στην περίπτωση που φαίνεται στο σχήμα, η κάθετη "h" αποκαθίσταται στην πλευρά "c" από την κορυφή "A". Μετρήστε το ύψος που προκύπτει με ένα χάρακα και καταγράψτε το αποτέλεσμα της μέτρησης.

Μπορεί να δυσκολευτείτε να επαναφέρετε την ακριβή κάθετο. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε διαφορετικό τύπο. Μετρήστε όλες τις πλευρές του τριγώνου με έναν χάρακα. Μετά από αυτό, υπολογίστε τη μισή περίμετρο του τριγώνου "p" προσθέτοντας τα προκύπτοντα μήκη των πλευρών και διαιρώντας το άθροισμά τους στο μισό. Έχοντας στη διάθεσή σας την τιμή της ημιπεριμέτρου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Heron. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του παρακάτω: p(p-a)(p-b)(p-c).

Έχετε αποκτήσει την επιθυμητή περιοχή του τριγώνου. Το πρόβλημα της εύρεσης του όγκου ενός τριγώνου δεν έχει λυθεί, αλλά όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο όγκος δεν είναι . Μπορείτε να βρείτε τον όγκο που είναι ουσιαστικά ένα τρίγωνο στον τρισδιάστατο κόσμο. Αν φανταστούμε ότι το αρχικό μας τρίγωνο έχει γίνει μια τρισδιάστατη πυραμίδα, τότε ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας θα είναι το γινόμενο του μήκους της βάσης της και του εμβαδού του τριγώνου που λάβαμε.

Σημείωση

Οι υπολογισμοί θα είναι πιο ακριβείς όσο πιο προσεκτικά κάνετε τις μετρήσεις.

Πηγές:

• Υπολογιστής All-to-All - Πύλη αναφοράς
• όγκος τριγώνου το 2019

Τα τρία σημεία που ορίζουν μοναδικά ένα τρίγωνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι οι κορυφές του. Γνωρίζοντας τη θέση τους σε σχέση με κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε οποιεσδήποτε παραμέτρους αυτού του επίπεδου σχήματος, συμπεριλαμβανομένης αυτής που περιορίζεται από την περίμετρό του τετράγωνο. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Εντολή

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε το εμβαδόν τρίγωνο. Περιλαμβάνει τις διαστάσεις των τριών πλευρών του σχήματος, οπότε ξεκινήστε τους υπολογισμούς με. Το μήκος κάθε πλευράς πρέπει να είναι ίσο με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των μηκών των προεξοχών της στους άξονες συντεταγμένων. Αν συμβολίσουμε τις συντεταγμένες A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) και C(X3,Y3,Z3), τα μήκη των πλευρών τους μπορούν να εκφραστούν ως εξής: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, εισαγάγετε μια βοηθητική μεταβλητή - την ημιπερίμετρο (P). Από αυτό είναι το ήμισυ του αθροίσματος των μηκών όλων των πλευρών: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).