Όνομα παραμέτρου	Εννοια
Θέμα άρθρου:	μέθοδος συγχορδίας.
Ρουμπρίκα (θεματική κατηγορία)	Μαθηματικά

Μέθοδος χορδής -ένα από τα κοινά επαναληπτικές μεθόδους. Λέγεται επίσης με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής, με τη μέθοδο των αναλογικών μερών.

Η ιδέα της μεθόδου χορδής είναι ότι σε ένα αρκετά μικρό τμήμα, το τόξο της καμπύλης στο=f (x) αντικαθίσταται από τη χορδή και την τετμημένη του σημείου τομής της χορδής με τον άξονα Βόδιείναι μια κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας.

Εικόνα 2 - Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Νεύτωνα.

Ας, για βεβαιότητα, φά" (x)> 0,φά""(Χ)>0,φά(ένα)<0,φά(β)> 0 (Εικ. 3, α). Πάρτε για την αρχική προσέγγιση της επιθυμητής ρίζας Χ*τιμές x 0 \u003d α. Μέσα από τα σημεία α 0 και Β τραβάμε μια χορδή και για την πρώτη προσέγγιση της ρίζας Χ*πάρτε την τετμημένη x 1 του σημείου τομής της χορδής με τον άξονα OH.Τώρα η κατά προσέγγιση τιμή Χ 1 ρίζα μπορεί να βελτιωθεί εάν εφαρμόσουμε τη μέθοδο των συγχορδιών στο τμήμα [x 1 ; σι]. Τετμημένη Χ 2 σημεία τομής της χορδής A 1 B θα είναι μια άλλη προσέγγιση της ρίζας. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία περαιτέρω, παίρνουμε την ακολουθία x 0 , x 1 , x 2 ,..., x k ,... κατά προσέγγιση τιμές ρίζας Χ*δεδομένη εξίσωση.

Έτσι, η μέθοδος συγχορδίας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

, k=0, 1,2, …, (8)

ΣΤΟ γενική περίπτωσηθα στερεωθεί το άκρο του τμήματος μιας απομονωμένης ρίζας, στο οποίο το πρόσημο της συνάρτησης f(x)συμπίπτει με το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου και για την αρχική προσέγγιση x 0 μπορούμε να πάρουμε το σημείο του τμήματος [ ένα; σι], στο οποίο f(x 0)×f"’(x 0)< 0.

Για παράδειγμα, όταν φά (ένα)>0,φά (σι)<0,f "(x)< 0,f "(x)< 0 (Εικ. .3, β) τέλος σιτμήμα [ ένα; σι] διορθώθηκε.

Αν φά(α)>0, φά(σι)< 0,φά"(Χ)< 0, στ"( Χ)>0 (Εικ. 3, γ), ή φά(ένα)<0,φά(σι)>0,φά'(Χ)>0,φά"'(Χ)<0 (рис. 3,ΣΟΛ),Το σημείο α είναι το σταθερό άκρο του τμήματος [ ένα; σι].

Επαρκείς προϋποθέσεις για τη σύγκλιση της μεθόδου των συγχορδιών δίνονται από το παρακάτω θεώρημα.

Εικόνα 3. Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου χορδής

Θεώρημα.Αφήστε το τμήμα [ ένα; σι] λειτουργία φά (Χ)είναι συνεχής μαζί με τις παραγώγους δεύτερης τάξης συμπεριλαμβανομένων, και f(a)×f(b)<0, а производные φά" (Χ)και φά" (Χ)κρατούν τα σημάδια τους [ ένα; σι], τότε υπάρχει ένας τέτοιος ριζικός κύκλος Χ*εξισώσεις φά(Χ)=0, το οποίο για οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση Χ 0 αυτού του κύκλου, η ακολουθία (x k ), υπολογισμένη με τον τύπο (8), συγκλίνει στη ρίζα Χ*.

μέθοδος συγχορδίας. - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας "Μέθοδος συγχορδίας." 2017, 2018.

- Μέθοδος συγχορδίας

Έστω 1) η συνάρτηση y=F(x) ορισμένη και συνεχής στο τμήμα . 2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью &... .

- ΜΕΘΟΔΟΣ ΧΟΡΔΗΣ

Κατά τη διαφοροποίηση με αυτή τη μέθοδο, σημειώνεται ένας αριθμός σημείων στη σχεδιασμένη καμπύλη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, τα οποία συνδέονται με συγχορδίες, δηλ. αντικαταστήστε τη δεδομένη καμπύλη με μια διακεκομμένη γραμμή (Εικ. 2). Γίνεται η ακόλουθη υπόθεση: η γωνία κλίσης των εφαπτομένων στα σημεία που βρίσκονται στη μέση ... .

- Μέθοδος συγχορδίας

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μέθοδος των χορδών έχει κάπως υψηλότερο ρυθμό σύγκλισης, στην οποία, στο δεύτερο στάδιο, κατά την επιλογή της επόμενης προσέγγισης μέσα στο τμήμα που περιέχει τη ρίζα, λαμβάνεται υπόψη η υπολειπόμενη τιμή στα άκρα του τμήματος: το σημείο επιλέγεται πιο κοντά στο τέλος όπου ... .

- Μέθοδος συγχορδιών.

Η ιδέα της μεθόδου φαίνεται στο σχήμα. Καθορίζεται ένα διάστημα στο οποίο f(x0)f(x1) &... .

- Μέθοδος συγχορδίας

Σε αυτή τη μέθοδο, δεν επιλέγεται ως προσέγγιση το μέσο του τμήματος, αλλά το σημείο τομής της χορδής με τον άξονα της τετμημένης. Η εξίσωση της χορδής ΑΒ που συνδέει τα άκρα του τμήματος: (1) Το σημείο τομής με τον άξονα της τετμημένης έχει συντεταγμένες, αντικαθιστούμε σε (1) και βρίσκουμε (2). Συγκρίνετε σημεία και... .

- Συνδυαστική μέθοδος συγχορδιών και εφαπτομένων

Εάν και είναι κατά προσέγγιση τιμές της ρίζας ως προς την ανεπάρκεια και την περίσσεια. 1. Εάν είναι ενεργοποιημένο, τότε, ταυτόχρονα. 2. Εάν είναι ενεργοποιημένο, τότε, ταυτόχρονα. Παράδειγμα. Διαχωρίστε τις ρίζες αναλυτικά και τελειοποιήστε τις με τη συνδυασμένη μέθοδο χορδών και εφαπτομένων με ακρίβεια 0,001. άρα για τους υπολογισμούς...

Μέθοδος επανάληψης

Απλή μέθοδος επανάληψης για την εξίσωση φά(Χ) = 0 έχει ως εξής:

1) Η αρχική εξίσωση μετατρέπεται σε μια μορφή κατάλληλη για επαναλήψεις:

Χ = φ (Χ). (2.2)

2) Επιλέξτε μια αρχική προσέγγιση Χ 0 και υπολογίστε τις επόμενες προσεγγίσεις με τον επαναληπτικό τύπο
x k = φ (x k -1), κ =1,2, ... (2.3)

Εάν υπάρχει ένα όριο της επαναληπτικής ακολουθίας, είναι η ρίζα της εξίσωσης φά(Χ) = 0, δηλ. φά(ξ ) =0.

y = φ (Χ)

ένα x 0 Χ 1 Χ 2 ξ σι

Ρύζι. 2. Διαδικασία Συγκλίνουσας Επανάληψης

Στο σχ. Το 2 δείχνει τη διαδικασία λήψης της επόμενης προσέγγισης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επανάληψης. Η ακολουθία των προσεγγίσεων συγκλίνει στη ρίζα ξ .

Οι θεωρητικές βάσεις για την εφαρμογή της μεθόδου της επανάληψης δίνονται από το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 2.3. Ας πληρούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις:

1) η ρίζα της εξίσωσης Χ= φ(x)ανήκει στο τμήμα [ ένα, σι];

2) όλες οι τιμές συνάρτησης φ (Χ) ανήκουν στο τμήμα [ ένα, σι],τ. μι. ένα ≤ φ (Χ)≤σι;

3) υπάρχει τόσο θετικός αριθμός q< 1 ότι το παράγωγο φ "(Χ) σε όλα τα σημεία του τμήματος [ ένα, σι] ικανοποιεί την ανισότητα | φ "(Χ) | ≤ q.

1) ακολουθία επανάληψης x n= φ (x n- 1)(n = 1, 2, 3, ...) συγκλίνει για οποιοδήποτε Χ 0 Î [ ένα, σι];

2) το όριο της επαναληπτικής ακολουθίας είναι η ρίζα της εξίσωσης

x = φ(Χ), δηλαδή αν x k= ξ, μετά ξ= φ (ξ);

3) η ανισότητα που χαρακτηρίζει το ρυθμό σύγκλισης της επαναληπτικής ακολουθίας

| ξ -x k | ≤ (β-α)×q k .(2.4)

Προφανώς, αυτό το θεώρημα θέτει μάλλον αυστηρές συνθήκες που πρέπει να ελεγχθούν πριν από την εφαρμογή της μεθόδου επανάληψης. Αν η παράγωγος της συνάρτησης φ (Χ) είναι μεγαλύτερη από μία σε απόλυτη τιμή, τότε η διαδικασία των επαναλήψεων αποκλίνει (Εικ. 3).

y = φ (Χ) y = Χ

Ρύζι. 3. Διαδικασία αποκλίνουσας επανάληψης

Η ανισότητα

|xk-xk- 1 | ≤ ε . (2.5)

μέθοδος συγχορδίαςείναι η αντικατάσταση της καμπύλης στο = φά(Χ) από ένα ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από τα σημεία ( ένα, φά(ένα)) και ( σι, φά(σι)) ρύζι. τέσσερα). Τεμή του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα OHλαμβάνεται ως η επόμενη προσέγγιση.

Για να λάβουμε τον τύπο υπολογισμού για τη μέθοδο της χορδής, γράφουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από τα σημεία ( ένα, φά(ένα)) και ( σι, φά(σι)) και, εξισώνοντας στοστο μηδέν, βρίσκουμε Χ:

Þ

Αλγόριθμος μεθόδου χορδής :

1) αφήστε κ = 0;

2) Υπολογίστε τον επόμενο αριθμό επανάληψης: κ = κ + 1.

Ας βρούμε άλλο κ-e προσέγγιση με τύπο:

x k= ένα- φά(ένα)(σι - ένα)/(φά(σι) - φά(ένα)).

Υπολογίζω φά(x k);

3) αν φά(x k)= 0 (βρίσκεται η ρίζα), μετά πηγαίνετε στο βήμα 5.

Αν ένα φά(x k) × φά(σι)> 0, λοιπόν σι= x k, σε διαφορετική περίπτωση ένα = x k;

4) αν |x k – x k -1 | > ε , μετά μεταβείτε στο στοιχείο 2.

5) εξάγετε την τιμή της ρίζας x k ;

Σχόλιο. Οι ενέργειες της τρίτης παραγράφου είναι παρόμοιες με τις ενέργειες της μεθόδου μισή διαίρεση. Ωστόσο, στη μέθοδο της χορδής, το ίδιο άκρο του τμήματος (δεξιά ή αριστερά) μπορεί να μετατοπιστεί σε κάθε βήμα εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης στη γειτονιά της ρίζας είναι κυρτή προς τα πάνω (Εικ. 4, ένα) ή κοίλο προς τα κάτω (Εικ. 4, σιΩς εκ τούτου, η διαφορά των γειτονικών προσεγγίσεων χρησιμοποιείται στο κριτήριο σύγκλισης.

Ρύζι. τέσσερις. μέθοδος συγχορδίας

4. Η μέθοδος του Νεύτωνα(εφαπτόμενες)

Ας βρεθεί η κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσης φά(Χ)= 0, και συμβολίστε το x n.Τύπος υπολογισμού Η μέθοδος του Νεύτωναγια να προσδιορίσετε την επόμενη προσέγγιση x nΤο +1 μπορεί να ληφθεί με δύο τρόπους.

Ο πρώτος τρόπος εκφράζει το γεωμετρικό νόημα Η μέθοδος του Νεύτωνακαι συνίσταται στο ότι αντί για το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο= φά(Χ) με άξονα Βόδιαναζητώντας το σημείο τομής με τον άξονα Βόδιεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο ( x n,φά(x n)), όπως φαίνεται στο Σχ. 5. η εφαπτομένη εξίσωση έχει τη μορφή y - f(x n)= φά"(x n)(Χ- x n).

Ρύζι. 5. Μέθοδος του Νεύτωνα (εφαπτομένη)

Στο σημείο τομής της εφαπτομένης με τον άξονα Βόδιμεταβλητός στο= 0. Εξισώνοντας στοστο μηδέν, εκφράζουμε Χκαι πάρτε τον τύπο εφαπτομενική μέθοδος :

(2.6)

Ο δεύτερος τρόπος: επέκταση της συνάρτησης φά(Χ) σε μια σειρά Taylor στην περιοχή του σημείου x = x n:

Περιοριζόμαστε σε γραμμικούς όρους σε σχέση με ( Χ- x n), ισοδυναμεί με μηδέν φά(Χ) και, εκφράζοντας το άγνωστο από την εξίσωση που προκύπτει Χ, δηλώνοντάς το διαμέσου x n+1 λαμβάνουμε τον τύπο (2.6).

Ας φέρουμε επαρκείς προϋποθέσειςσύγκλιση της μεθόδου του Νεύτωνα.

Θεώρημα 2.4. Αφήστε το τμήμα [ ένα, σι] πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) λειτουργία φά(Χ) και τα παράγωγά του φά"(Χ)και στ ""(Χ) είναι συνεχείς.

2) παράγωγα φά"(x) και φά""(Χ) διαφέρουν από το μηδέν και διατηρούν ορισμένα σταθερά πρόσημα.

3) φά(ένα)×στ(σι) < 0 (συνάρτηση φά(Χ) αλλάζει πρόσημο στο τμήμα).
Στη συνέχεια, υπάρχει ένα τμήμα [ α , β ] που περιέχει την επιθυμητή ρίζα της εξίσωσης φά(Χ) = 0, στην οποία συγκλίνει η επαναληπτική ακολουθία (2.6). Αν ως μηδενική προσέγγιση Χ 0 επιλέξτε αυτό το οριακό σημείο [ α , β ], στο οποίο το πρόσημο της συνάρτησης συμπίπτει με το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου,

εκείνοι. φά(Χ 0)× φά"(Χ 0)>0, τότε η επαναληπτική ακολουθία συγκλίνει μονότονα

Σχόλιο. Σημειώστε ότι η μέθοδος των συγχορδιών προέρχεται απλώς από την αντίθετη πλευρά και και οι δύο αυτές μέθοδοι μπορούν να αλληλοσυμπληρωθούν. Δυνατό και συνδυασμένο μέθοδος χορδών-εφαπτομένων.

5. Η μέθοδος τομής

Η μέθοδος διατομής μπορεί να ληφθεί από τη μέθοδο του Newton αντικαθιστώντας την παράγωγο με μια κατά προσέγγιση έκφραση - τον τύπο διαφοράς:

, ,

. (2.7)

Ο τύπος (2.7) χρησιμοποιεί τις δύο προηγούμενες προσεγγίσεις x nκαι x n - 1. Επομένως, για μια δεδομένη αρχική προσέγγιση Χ 0 πρέπει να υπολογιστεί επόμενη προσέγγιση Χ 1 , για παράδειγμα, με τη μέθοδο του Newton με μια κατά προσέγγιση αντικατάσταση του παραγώγου σύμφωνα με τον τύπο

,

Αλγόριθμος της μεθόδου τομής:

1) δίνεται αρχική τιμή Χ 0 και σφάλμα ε . Υπολογίζω

;

2) για n = 1, 2, ... ενώ η συνθήκη | x n – x n -1 | > ε , υπολογίστε x n+ 1 με τον τύπο (2.7).

3. Μέθοδος συγχορδιών

Έστω η εξίσωση f(x) = 0, όπου f(x) - συνεχής λειτουργία, που έχει παράγωγα πρώτης και δεύτερης τάξης στο διάστημα (α, β). Η ρίζα θεωρείται διαχωρισμένη και βρίσκεται στο τμήμα .

Η ιδέα της μεθόδου χορδής είναι ότι, σε ένα αρκετά μικρό διάστημα, το τόξο της καμπύλης y = f(x) μπορεί να αντικατασταθεί από μια χορδή και το σημείο τομής με τον άξονα της τετμημένης μπορεί να ληφθεί ως κατά προσέγγιση τιμή του η ρίζα. Εξετάστε την περίπτωση (Εικ. 1) όταν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος έχουν πανομοιότυπα σημάδια, δηλ. f "(x)f ²(x) > 0. Τότε η εξίσωση της χορδής που διέρχεται από τα σημεία Α0 και Β έχει τη μορφή

Η ριζική προσέγγιση x = x1 για την οποία το y = 0 ορίζεται ως

.

Ομοίως, για μια χορδή που διέρχεται από τα σημεία Α1 και Β, υπολογίζεται η επόμενη προσέγγιση της ρίζας

.

Στη γενική περίπτωση, ο τύπος της μεθόδου χορδής έχει τη μορφή:

. (2)

Αν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος είναι διαφορετικά σημάδια, δηλ.

f"(x)f"(x)< 0,

τότε όλες οι προσεγγίσεις στη ρίζα x* εκτελούνται από την πλευρά του δεξιού ορίου του τμήματος, όπως φαίνεται στο Σχ. 2 και υπολογίζονται με τον τύπο:

. (3)

Η επιλογή του τύπου σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης f(x) και πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα: το όριο του τμήματος της απομόνωσης της ρίζας είναι σταθερό, για το οποίο το πρόσημο της συνάρτησης συμπίπτει με το σημάδι της δεύτερης παραγώγου. Ο τύπος (2) χρησιμοποιείται όταν f(b)f "(b) > 0. Εάν η ανισότητα f(a)f "(a) > 0 είναι αληθής, τότε συνιστάται να εφαρμόσετε τον τύπο (3).

Ρύζι. 1 Εικ. 2

Ρύζι. 3 Εικ. τέσσερα

Η επαναληπτική διαδικασία της μεθόδου χορδής συνεχίζεται μέχρι να ληφθεί μια κατά προσέγγιση ρίζα με δεδομένο βαθμό ακρίβειας. Κατά την εκτίμηση του σφάλματος προσέγγισης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σχέση:

.

Στη συνέχεια, η προϋπόθεση για την ολοκλήρωση των υπολογισμών γράφεται ως:

όπου e είναι το δεδομένο σφάλμα υπολογισμού. Πρέπει να σημειωθεί ότι κατά την εύρεση της ρίζας, η μέθοδος της χορδής παρέχει συχνά ταχύτερη σύγκλιση από τη μέθοδο διχοτόμησης.

4. Μέθοδος του Νεύτωνα (εφαπτομένες)

Έστω ότι η εξίσωση (1) έχει μια ρίζα στο τμήμα και τα f "(x) και f "(x) είναι συνεχή και διατηρούν σταθερά πρόσημα σε όλο το διάστημα.

γεωμετρική αίσθησηΗ μέθοδος του Νεύτωνα είναι ότι το τόξο της καμπύλης y = f(x) αντικαθίσταται από μια εφαπτομένη. Για να γίνει αυτό, επιλέγεται κάποια αρχική προσέγγιση της ρίζας x0 στο διάστημα και σχεδιάζεται μια εφαπτομένη στο σημείο C0(x0, f(x0)) στην καμπύλη y = f(x) μέχρι να τέμνεται με τον άξονα της τετμημένης ( Εικ. 3). Η εφαπτομενική εξίσωση στο σημείο C0 έχει τη μορφή

Στη συνέχεια χαράσσεται μια εφαπτομένη νέο σημείο C1(x1, f(x1)) και προσδιορίζεται το σημείο x2 της τομής του με τον άξονα 0x κ.ο.κ. Στη γενική περίπτωση, ο τύπος για τη μέθοδο της εφαπτομένης έχει τη μορφή:

Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, προκύπτει μια ακολουθία κατά προσέγγιση τιμών x1, x2, ..., xi, ..., κάθε επόμενος όρος της οποίας είναι πιο κοντά στη ρίζα x* από τον προηγούμενο. Η επαναληπτική διαδικασία συνήθως τερματίζεται όταν η συνθήκη (4) ικανοποιείται.

Η αρχική προσέγγιση x0 πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη:

f(x0) f ¢¢(x0) > 0. (6)

Διαφορετικά, η σύγκλιση της μεθόδου του Νεύτωνα δεν είναι εγγυημένη, αφού η εφαπτομένη θα τέμνει τον άξονα x σε ένα σημείο που δεν ανήκει στο τμήμα . Στην πράξη, ένα από τα όρια του διαστήματος επιλέγεται συνήθως ως αρχική προσέγγιση της ρίζας x0, δηλ. x0 = a ή x0 = b, για τα οποία το πρόσημο της συνάρτησης συμπίπτει με το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου.

Η μέθοδος του Newton παρέχει υψηλό ρυθμό σύγκλισης κατά την επίλυση εξισώσεων για τις οποίες το μέτρο της παραγώγου ½f ¢(x)½ κοντά στη ρίζα είναι αρκετά μεγάλο, δηλ. η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) στη γειτονιά της ρίζας έχει μεγάλη κλίση. Εάν η καμπύλη y = f(x) στο διάστημα είναι σχεδόν οριζόντια, τότε δεν συνιστάται η χρήση της μεθόδου της εφαπτομένης.

Ένα σημαντικό μειονέκτημα της εξεταζόμενης μεθόδου είναι η ανάγκη υπολογισμού των παραγώγων της συνάρτησης για την οργάνωση της επαναληπτικής διαδικασίας. Εάν η τιμή του f ¢(x) αλλάζει ελάχιστα στο διάστημα , τότε για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο

, (7)

εκείνοι. Η τιμή της παραγώγου χρειάζεται να υπολογιστεί μόνο μία φορά στο σημείο εκκίνησης. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι οι εφαπτομένες στα σημεία Ci(xi, f(xi)), όπου i = 1, 2, ..., αντικαθίστανται από ευθείες παράλληλες προς την εφαπτομένη που σύρεται στην καμπύλη y = f(x) στο το αρχικό σημείο C0(x0, f(x0)), όπως φαίνεται στο Σχ. τέσσερις.

Συμπερασματικά, θα πρέπει να σημειωθεί ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν στην περίπτωση που η αρχική προσέγγιση x0 επιλέγεται αρκετά κοντά στο αληθινή ρίζα x* εξισώσεις. Ωστόσο, αυτό δεν είναι πάντα εύκολο να γίνει. Επομένως, η μέθοδος του Νεύτωνα χρησιμοποιείται συχνά στο τελικό στάδιο της επίλυσης εξισώσεων μετά τη λειτουργία κάποιου αξιόπιστα συγκλίνοντα αλγορίθμου, για παράδειγμα, της μεθόδου διχοτόμησης.

5. Απλή μέθοδος επανάληψης

Για να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος για την επίλυση της εξίσωσης (1), είναι απαραίτητο να μετατραπεί στη μορφή . Στη συνέχεια, επιλέγεται μια αρχική προσέγγιση και υπολογίζεται το x1, μετά το x2, κ.λπ.:

x1 = j(x0); x2 = j(x1); … xk = j(xk-1); ...

μη γραμμικό αλγεβρική εξίσωσηρίζα

Η ακολουθία που προκύπτει συγκλίνει στη ρίζα κατά την εκτέλεση παρακάτω συνθήκες:

1) η συνάρτηση j(x) είναι διαφορίσιμη στο διάστημα .

2) σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος το j¢(x) ικανοποιεί την ανισότητα:

0 £ q 1 £. (8)

Κάτω από τέτοιες συνθήκες, ο ρυθμός σύγκλισης είναι γραμμικός και θα πρέπει να εκτελούνται επαναλήψεις μέχρι να γίνει αληθής η συνθήκη:

.

Κριτήριο προβολής

μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για 0 ​​£ q 1 £. Διαφορετικά, οι επαναλήψεις τελειώνουν πρόωρα, χωρίς να παρέχουν την καθορισμένη ακρίβεια. Εάν είναι δύσκολο να υπολογίσουμε το q, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα κριτήριο τερματισμού της φόρμας

; .

Δυνατόν διάφορους τρόπουςμετατροπή της εξίσωσης (1) στη μορφή . Κάποιος θα πρέπει να επιλέξει ένα που ικανοποιεί τη συνθήκη (8), η οποία δημιουργεί μια συγκλίνουσα επαναληπτική διαδικασία, όπως, για παράδειγμα, φαίνεται στο Σχ. 5, 6. Διαφορετικά, συγκεκριμένα, για ½j¢(x)1>1, η επαναληπτική διαδικασία αποκλίνει και δεν επιτρέπει τη λήψη λύσης (Εικ. 7).

Ρύζι. 5

Ρύζι. 6

Ρύζι. 7

συμπέρασμα

Το πρόβλημα της βελτίωσης της ποιότητας των υπολογισμών των μη γραμμικών εξισώσεων με τη χρήση ποικίλων μεθόδων, ως ασυμφωνία μεταξύ του επιθυμητού και του πραγματικού, υπάρχει και θα συνεχίσει να υπάρχει και στο μέλλον. Η επίλυσή του θα διευκολυνθεί από την ανάπτυξη Τεχνολογίες πληροφορικής, που συνίσταται τόσο στη βελτίωση των μεθόδων οργάνωσης διαδικασίες πληροφόρησης, και την υλοποίησή τους με τη βοήθεια συγκεκριμένων εργαλείων – περιβαλλόντων και γλωσσών προγραμματισμού.

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Alekseev V. E., Vaulin A. S., Petrova G. B. - Υπολογισμός και προγραμματισμός. Εργαστήριο προγραμματισμού: Prakt.posobie / -M.: Vyssh. σχολείο , 1991. - 400 σελ.

2. Abramov S.A., Zima E.V. - Ξεκίνησε τον προγραμματισμό σε Pascal. - Μ.: Nauka, 1987. -112 σελ.

3. Υπολογισμός και προγραμματισμός: Proc. για τεχν. πανεπιστήμια / A.V. Petrov, V.E. Alekseev, A.S. Vaulin και άλλοι - M .: Ανώτερο. σχολείο, 1990 - 479 σελ.

4. Gusev V.A., Mordkovich A.G. - Μαθηματικά: Κωδ. Υλικά: Βιβλίο. για τους μαθητές. - 2η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1990. - 416 σελ.

Το σημείο της κατά προσέγγιση λύσης, δηλ. διαδοχικές προσεγγίσειςΤα (4) κατασκευάζονται σύμφωνα με τους τύπους: , (9) όπου είναι η αρχική προσέγγιση στην ακριβή λύση. 4.5 Μέθοδος Seidel βασισμένη σε γραμμική εξίσωση Επαναληπτικός τύποςνα κατασκευάσετε μια κατά προσέγγιση λύση της μη γραμμικής εξίσωσης (2) με βάση τη γραμμικοποιημένη εξίσωση (7) έχει τη μορφή: 4.6 Μέθοδος η πιο απότομη κατάβασηΜέθοδοι...

Αριθμητικές μέθοδοι 1

Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων 1

Δήλωση προβλήματος 1

Εντοπισμός ρίζας 2

Βελτίωση ρίζας 4

Μέθοδοι βελτίωσης ρίζας 4

Μέθοδος μισής διαίρεσης 4

Μέθοδος συγχορδίας 5

Μέθοδος του Νεύτωνα (μέθοδος εφαπτομένης) 6

Αριθμητική ολοκλήρωση 7

Δήλωση προβλήματος 7

Μέθοδος ορθογωνίου 8

Τραπεζοειδής Μέθοδος 9

Μέθοδος παραβολής (τύπος Simpson) 10

Αριθμητικές Μέθοδοι

Στην πράξη, στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν είναι δυνατό να βρεθεί μια ακριβής λύση στο μαθηματικό πρόβλημα που έχει προκύψει. Αυτό συμβαίνει επειδή η επιθυμητή λύση συνήθως δεν εκφράζεται σε στοιχειώδεις ή άλλες γνωστές συναρτήσεις. Ως εκ τούτου, οι αριθμητικές μέθοδοι έχουν αποκτήσει μεγάλη σημασία.

Υπό αριθμητικές μεθόδουςυπονοούμενες μεθόδους επίλυσης προβλημάτων, τα οποία ανάγονται σε αριθμητικές και σε ορισμένες λογικές πράξεις στους αριθμούς. Ανάλογα με την πολυπλοκότητα της εργασίας, τη δεδομένη ακρίβεια, την εφαρμοσμένη μέθοδο, μπορεί να απαιτηθεί ένας τεράστιος αριθμός ενεργειών και εδώ είναι απαραίτητος ένας υπολογιστής υψηλής ταχύτητας.

Η λύση που λαμβάνεται με την αριθμητική μέθοδο είναι συνήθως κατά προσέγγιση, δηλαδή περιέχει κάποιο σφάλμα. Οι πηγές λάθους στην κατά προσέγγιση λύση του προβλήματος είναι:

σφάλμα της μεθόδου λύσης.

λάθη στρογγυλοποίησης σε πράξεις σε αριθμούς.

Προκαλείται το λάθος της μεθόδουαπό το γεγονός ότι ένα άλλο, απλούστερο πρόβλημα, προσεγγίζοντας (προσεγγίζοντας) το αρχικό πρόβλημα, συνήθως λύνεται με την αριθμητική μέθοδο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η αριθμητική μέθοδος είναι ατελείωτη διαδικασία, που το εντός του ορίουοδηγεί στην επιθυμητή λύση. Η διαδικασία που διακόπτεται σε κάποιο βήμα δίνει μια κατά προσέγγιση λύση.

Σφάλμα στρογγυλοποίησηςεξαρτάται από τον αριθμό των αριθμητικών πράξεων που εκτελούνται στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος. Για την επίλυση του ίδιου προβλήματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορες αριθμητικές μέθοδοι. Η ευαισθησία σε σφάλματα στρογγυλοποίησης εξαρτάται σημαντικά από την επιλεγμένη μέθοδο.

Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων Δήλωση προβλήματος

Η λύση μη γραμμικών εξισώσεων με ένα άγνωστο είναι ένα από τα σημαντικά μαθηματικά προβλήματα που προκύπτουν σε διάφορους κλάδους της φυσικής, της χημείας, της βιολογίας και άλλων τομέων της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Γενικά μη γραμμική εξίσωσημε ένα άγνωστο μπορούμε να γράψουμε:

φά(Χ) = 0 ,

όπου φά(Χ) είναι κάποια συνεχής συνάρτηση του ορίσματος Χ.

Οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ Χ 0 , στο οποίο φά(Χ 0 ) ≡ 0 λέγεται ρίζα της εξίσωσης φά(Χ) = 0.

Οι μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων χωρίζονται σε ευθεία(αναλυτική, ακριβής) και επαναληπτικός. Οι άμεσες μέθοδοι καθιστούν δυνατή την εγγραφή της λύσης με τη μορφή κάποιας σχέσης (τύπου). Σε αυτήν την περίπτωση, οι τιμές των ριζών μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο σε έναν πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων. Παρόμοιες μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση τριγωνομετρικών, λογαριθμικών, εκθετικών, καθώς και των απλούστερων αλγεβρικών εξισώσεων.

Ωστόσο, η συντριπτική πλειοψηφία των μη γραμμικών εξισώσεων που συναντώνται στην πράξη δεν μπορούν να λυθούν με άμεσες μεθόδους. Ακόμη και για μια αλγεβρική εξίσωση υψηλότερη από τον τέταρτο βαθμό, δεν είναι δυνατό να ληφθεί μια αναλυτική λύση με τη μορφή τύπου με πεπερασμένος αριθμόςαριθμητικές πράξεις. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να στραφεί σε αριθμητικές μεθόδους που επιτρέπουν σε κάποιον να αποκτήσει κατά προσέγγιση τιμές των ριζών με οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια.

Στην αριθμητική προσέγγιση, το πρόβλημα της επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων χωρίζεται σε δύο στάδια: εντοπισμός(διαχωρισμός) ριζών, δηλ. βρίσκοντας τέτοια τμήματα στον άξονα Χ, εντός του οποίου υπάρχει μία ενιαία ρίζα, και αποσαφήνιση των ριζών, δηλ. υπολογισμός των κατά προσέγγιση τιμών των ριζών με δεδομένη ακρίβεια.

Εντοπισμός ρίζας

Για να διαχωρίσετε τις ρίζες της εξίσωσης φά(Χ) = 0, είναι απαραίτητο να υπάρχει ένα κριτήριο που καθιστά δυνατό να βεβαιωθείτε ότι, πρώτα, στο εξεταζόμενο τμήμα [ ένα,σι] υπάρχει μια ρίζα και, δεύτερον, ότι αυτή η ρίζα είναι μοναδική στο καθορισμένο τμήμα.

Εάν η συνάρτηση φά(Χ) είναι συνεχής στο τμήμα [ ένα,σι], και στα άκρα του τμήματος, οι τιμές του έχουν διαφορετικά πρόσημα, δηλ.

φά(ένα)  φά(σι) < 0 ,

τότε υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα σε αυτό το τμήμα.

Εικ 1. Διαχωρισμός ριζών. Λειτουργία φά(Χ) δεν είναι μονότονη στο τμήμα [ ένα,σι].

Αυτή η συνθήκη, όπως φαίνεται από το σχήμα (1), δεν διασφαλίζει τη μοναδικότητα της ρίζας. Μια επαρκής πρόσθετη συνθήκη που διασφαλίζει τη μοναδικότητα της ρίζας στο τμήμα [ ένα,σι] είναι η απαίτηση για τη μονοτονία της συνάρτησης σε αυτό το τμήμα. Ως σημάδι της μονοτονίας μιας συνάρτησης, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τη συνθήκη της σταθερότητας του πρόσημου της πρώτης παραγώγου φά′( Χ) .

Έτσι, εάν στο τμήμα [ ένα,σιΗ συνάρτηση ] είναι συνεχής και μονότονη και οι τιμές της στα άκρα του τμήματος έχουν διαφορετικά πρόσημα, τότε υπάρχει μία και μόνο ρίζα στο υπό εξέταση τμήμα.

Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο, μπορεί κανείς να διαχωρίσει τις ρίζες αναλυτικόςτρόπο, βρίσκοντας διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.

Ο διαχωρισμός των ριζών μπορεί να γίνει γραφικάεάν είναι δυνατόν να γραφτεί η συνάρτηση y=φά(Χ) . Για παράδειγμα, το γράφημα της συνάρτησης στο σχήμα (1) δείχνει ότι αυτή η συνάρτηση μπορεί να χωριστεί σε τρία διαστήματα μονοτονίας σε ένα διάστημα και έχει τρεις ρίζες σε αυτό το διάστημα.

Μπορεί επίσης να γίνει διαχωρισμός ριζών πινακοειδήςτρόπος. Ας υποθέσουμε ότι όλες οι ρίζες της εξίσωσης (2.1) που μας ενδιαφέρουν βρίσκονται στο τμήμα [ Α, Β]. Η επιλογή αυτού του τμήματος (το διάστημα για την αναζήτηση ριζών) μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, με βάση την ανάλυση ενός συγκεκριμένου φυσικού ή άλλου προβλήματος.

Ρύζι. 2. Πίνακας μέθοδος εντοπισμού ρίζας.

Θα υπολογίσουμε τις τιμές φά(Χ), ξεκινώντας από το σημείο Χ=ΕΝΑ, κινείται προς τα δεξιά με κάποιο βήμα η(Εικ. 2). Μόλις βρεθεί ένα ζεύγος γειτονικών τιμών φά(Χ), τα οποία έχουν διαφορετικά πρόσημα, άρα οι αντίστοιχες τιμές του ορίσματος Χμπορεί να θεωρηθεί ως τα όρια του τμήματος που περιέχει τη ρίζα.

Η αξιοπιστία της μεθόδου του πίνακα για τον διαχωρισμό των ριζών των εξισώσεων εξαρτάται τόσο από τη φύση της συνάρτησης φά(Χ), και στο επιλεγμένο μέγεθος βήματος η. Πράγματι, εάν για μια αρκετά μικρή αξία η(η<<|σι−ΕΝΑ|) στα όρια του τρέχοντος τμήματος [ x, x+η] λειτουργία φά(Χ) παίρνει τιμές του ίδιου πρόσημου, είναι φυσικό να αναμένεται ότι η εξίσωση φά(Χ) = 0 δεν έχει ρίζες σε αυτό το τμήμα. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει πάντα: εάν δεν πληρούται η προϋπόθεση της μονοτονίας της συνάρτησης φά(Χ) στο τμήμα [ x, x+η] μπορεί να είναι οι ρίζες της εξίσωσης (Εικ. 3α).

Εικ. 3α Εικ. 3β

Επίσης, αρκετές ρίζες στο τμήμα [ x, x+η] μπορεί επίσης να εμφανιστεί υπό την προϋπόθεση φά(Χ)  φά(Χ+ η) < 0 (Εικ. 3β). Προβλέποντας τέτοιες καταστάσεις, θα πρέπει κανείς να επιλέξει αρκετά μικρές τιμές η.

Διαχωρίζοντας τις ρίζες με αυτόν τον τρόπο, στην πραγματικότητα, λαμβάνουμε τις κατά προσέγγιση τιμές τους μέχρι το επιλεγμένο βήμα. Έτσι, για παράδειγμα, εάν πάρουμε το μέσο του τμήματος εντοπισμού ως κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας, τότε το απόλυτο σφάλμα αυτής της τιμής δεν θα υπερβαίνει το μισό βήμα αναζήτησης ( η/2). Μειώνοντας το βήμα κοντά σε κάθε ρίζα, μπορεί κανείς, καταρχήν, να αυξήσει την ακρίβεια του διαχωρισμού της ρίζας σε οποιαδήποτε προκαθορισμένη τιμή. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος απαιτεί μεγάλο όγκο υπολογισμών. Επομένως, κατά τη διεξαγωγή αριθμητικών πειραμάτων με ποικίλες παραμέτρους προβλημάτων, όταν είναι απαραίτητο να αναζητήσετε επανειλημμένα ρίζες, μια τέτοια μέθοδος δεν είναι κατάλληλη για τον καθαρισμό ριζών και χρησιμοποιείται μόνο για τον διαχωρισμό (τοπικό προσδιορισμό) ριζών, π.χ. καθορισμός αρχικών προσεγγίσεων σε αυτά. Η τελειοποίηση των ριζών πραγματοποιείται με άλλες, πιο οικονομικές μεθόδους.

μέθοδος συγχορδίας (μέθοδος είναι επίσης γνωστή ως Η μέθοδος τομής ) είναι μία από τις μεθόδους επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων και βασίζεται σε διαδοχικό στένωση του διαστήματος που περιέχει μία μόνο ρίζα της εξίσωσης. Η επαναληπτική διαδικασία εκτελείται μέχρι να επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια..

Σε αντίθεση με τη μέθοδο μισής διαίρεσης, η μέθοδος της χορδής προτείνει ότι η διαίρεση του υπό εξέταση διαστήματος θα εκτελεστεί όχι στη μέση του, αλλά στο σημείο τομής της χορδής με τον άξονα της τετμημένης (άξονας Χ). Πρέπει να σημειωθεί ότι μια χορδή είναι ένα τμήμα που σχεδιάζεται μέσα από τα σημεία της υπό εξέταση συνάρτησης στα άκρα του υπό εξέταση διαστήματος. Η υπό εξέταση μέθοδος παρέχει ταχύτερη εύρεση της ρίζας από τη μέθοδο μισής διαίρεσης, με την προϋπόθεση ότι το διάστημα που εξετάζεται είναι το ίδιο.

Γεωμετρικά, η μέθοδος της χορδής είναι ισοδύναμη με την αντικατάσταση της καμπύλης με μια χορδή που διέρχεται από τα σημεία και (βλ. Εικ. 1.).

Εικ.1. Κατασκευή τμήματος (χορδή) στη συνάρτηση .

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (χορδή) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχει την εξής μορφή:

Αυτή η εξίσωση είναι μια τυπική εξίσωση για την περιγραφή μιας ευθείας γραμμής σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η κλίση της καμπύλης δίνεται από την τεταγμένη και την τετμημένη χρησιμοποιώντας τις τιμές στον παρονομαστή και , αντίστοιχα.

Για το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα της τετμημένης, η εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω θα ξαναγραφεί με την ακόλουθη μορφή:

Ως νέο διάστημα για το πέρασμα της επαναληπτικής διαδικασίας, επιλέγουμε ένα από τα δύο ή , στα άκρα των οποίων η συνάρτηση παίρνει τιμές διαφορετικών πρόσημων. Το αντίθετο από τα σημάδια των τιμών των συναρτήσεων στα άκρα του τμήματος μπορεί να προσδιοριστεί με πολλούς τρόπους. Ένας από αυτούς τους τρόπους είναι ο πολλαπλασιασμός των τιμών της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και ο προσδιορισμός του πρόσημου του γινομένου συγκρίνοντας το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με το μηδέν:

ή .

Η επαναληπτική διαδικασία εξευγενισμού της ρίζας τελειώνει όταν η συνθήκη για την εγγύτητα δύο διαδοχικών προσεγγίσεων γίνει μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια, δηλ.

Εικ.2. Επεξήγηση για τον ορισμό του σφάλματος υπολογισμού.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η σύγκλιση της μεθόδου της χορδής είναι γραμμική, αλλά ταχύτερη από τη σύγκλιση της μεθόδου διχοτόμησης.

Αλγόριθμος για την εύρεση της ρίζας μιας μη γραμμικής εξίσωσης με τη μέθοδο των χορδών

1. Βρείτε το αρχικό διάστημα αβεβαιότητας χρησιμοποιώντας μία από τις μεθόδους διαχωρισμού ριζών. Wδώστε το σφάλμα υπολογισμού (μικρός θετικός αριθμός) και επανάληψη βήμα έναρξης () .

2. Βρείτε το σημείο τομής της χορδής με τον άξονα της τετμημένης:

3. Είναι απαραίτητο να βρείτε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία , και . Στη συνέχεια, πρέπει να ελέγξετε δύο προϋποθέσεις:

Εάν πληρούται η προϋπόθεση , τότε η επιθυμητή ρίζα βρίσκεται μέσα στο αριστερό τμήμα put, ;

Εάν πληρούται η προϋπόθεση , τότε η επιθυμητή ρίζα βρίσκεται μέσα στο δεξιό τμήμα, πάρτε , .

Ως αποτέλεσμα, βρίσκεται ένα νέο διάστημα αβεβαιότητας, στο οποίο βρίσκεται η επιθυμητή ρίζα της εξίσωσης:

4. Ελέγχουμε την κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσης για δεδομένη ακρίβεια, στην περίπτωση:

Εάν η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών προσεγγίσεων γίνει μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια, τότε η επαναληπτική διαδικασία τελειώνει. Η κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας καθορίζεται από τον τύπο:

Εάν η διαφορά δύο διαδοχικών προσεγγίσεων δεν φτάσει την απαιτούμενη ακρίβεια, τότε είναι απαραίτητο να συνεχιστεί η επαναληπτική διαδικασία και να προχωρήσουμε στο βήμα 2 του αλγορίθμου που εξετάζουμε.

Ένα παράδειγμα επίλυσης εξισώσεων με τη μέθοδο της χορδής

Για παράδειγμα, εξετάστε το ενδεχόμενο να λύσετε μια μη γραμμική εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της χορδής. Η ρίζα πρέπει να βρίσκεται στο εξεταζόμενο εύρος με ακρίβεια .

Μια παραλλαγή της επίλυσης μιας μη γραμμικής εξίσωσης σε ένα πακέτο λογισμικούMathCAD.

Τα αποτελέσματα του υπολογισμού, δηλαδή η δυναμική της αλλαγής στην κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας, καθώς και τα σφάλματα υπολογισμού από το βήμα της επανάληψης, παρουσιάζονται σε γραφική μορφή (βλ. Εικ. 1).

Εικ.1. Αποτελέσματα υπολογισμού με τη μέθοδο της χορδής

Για να εξασφαλιστεί η δεδομένη ακρίβεια κατά την αναζήτηση μιας εξίσωσης στην περιοχή, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε 6 επαναλήψεις. Στο τελευταίο βήμα επανάληψης, η κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της μη γραμμικής εξίσωσης θα καθοριστεί από την τιμή: .

Σημείωση:

Μια τροποποίηση αυτής της μεθόδου είναι μέθοδος ψευδούς θέσης(Μέθοδος False Position Method), η οποία διαφέρει από τη μέθοδο τέμνουσας μόνο στο ότι κάθε φορά δεν λαμβάνονται τα τελευταία 2 σημεία, αλλά εκείνα τα σημεία που βρίσκονται γύρω από τη ρίζα.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι εάν η δεύτερη παράγωγος μπορεί να ληφθεί από μια μη γραμμική συνάρτηση, ο αλγόριθμος αναζήτησης μπορεί να απλοποιηθεί. Υποθέστε ότι η δεύτερη παράγωγος διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο και εξετάστε δύο περιπτώσεις:

Περίπτωση #1:

Από την πρώτη συνθήκη αποδεικνύεται ότι η σταθερή πλευρά του τμήματος είναι - η πλευράένα.

Περίπτωση #2: