Βρείτε ένα διάνυσμα που είναι κάθετο στα διανύσματα. Εύρεση διανύσματος κάθετου σε δεδομένο διάνυσμα, παραδείγματα και λύσεις

Εντολή

Εάν το αρχικό διάνυσμα φαίνεται στο σχέδιο σε ένα ορθογώνιο δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων και ένα κάθετο πρέπει να κατασκευαστεί στην ίδια θέση, προχωρήστε από τον ορισμό της καθετότητας των διανυσμάτων σε ένα επίπεδο. Δηλώνει ότι η γωνία μεταξύ ενός τέτοιου ζεύγους κατευθυνόμενων τμημάτων πρέπει να είναι ίση με 90°. Είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένας άπειρος αριθμός τέτοιων διανυσμάτων. Σχεδιάστε λοιπόν οποιοδήποτε βολική τοποθεσίαεπίπεδο κάθετο στο αρχικό διάνυσμα, αφήστε ένα τμήμα σε αυτό, ίσο με το μήκοςδίνεται διατεταγμένο ζεύγος σημείων και ορίστε ένα από τα άκρα του ως αρχή κάθετου διανύσματος. Κάντε αυτό με ένα μοιρογνωμόνιο και ένα χάρακα.

Εάν το αρχικό διάνυσμα δίνεται από δισδιάστατες συντεταγμένες ā = (X1;Y1), προχωρήστε από το γεγονός ότι κλιμακωτό προϊόνζεύγη κάθετων διανυσμάτων πρέπει να είναι ίσα με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να επιλέξετε για το επιθυμητό διάνυσμα ō = (X2,Y2) τέτοιες συντεταγμένες στις οποίες θα ισχύει η ισότητα (ā,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 = 0. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: επιλέξτε οποιαδήποτε μη μηδενική τιμή για τη συντεταγμένη X2 και υπολογίστε τη συντεταγμένη Y2 χρησιμοποιώντας τον τύπο Y2 = -(X1*X2)/Y1. Για παράδειγμα, για ένα διάνυσμα ā = (15;5) θα υπάρχει ένα διάνυσμα ō, με μια τετμημένη, ίσο με ένα, και η τεταγμένη ίση με -(15*1)/5 = -3, δηλ. ō = (1;-3).

Για ένα τρισδιάστατο και οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ισχύει η ίδια απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την καθετότητα των διανυσμάτων - το κλιμακωτό γινόμενο τους πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, εάν το αρχικό κατευθυνόμενο τμήμα δίνεται από τις συντεταγμένες ā = (X1,Y1,Z1), για το διατεταγμένο ζεύγος σημείων ō = (X2,Y2,Z2) κάθετα σε αυτό, επιλέξτε τέτοιες συντεταγμένες που ικανοποιούν τη συνθήκη (ā ,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να αντιστοιχίσετε μεμονωμένες τιμές στα X2 και Y2 και να υπολογίσετε το Z2 από την απλοποιημένη εξίσωση Z2 = -1*(X1*1 + Υ1*1)/Ζ1 = -(Χ1+Υ1)/Ζ1. Για παράδειγμα, για το διάνυσμα ā = (3,5,4) αυτό θα έχει την ακόλουθη μορφή: (ā,ō) = 3*X2 + 5*Y2 + 4*Z2 = 0. Στη συνέχεια, πάρτε την τετμημένη και τη τεταγμένη του κάθετο διάνυσμα ως μονάδα, και σε αυτή την περίπτωση θα είναι ίσο με -(3+5)/4 = -2.

Πηγές:

• βρείτε το διάνυσμα αν είναι κάθετο

Κάθετες λέγονται διάνυσμα, η γωνία μεταξύ των οποίων είναι 90º. Τα κάθετα διανύσματα κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας εργαλεία σχεδίασης. Εάν οι συντεταγμένες τους είναι γνωστές, τότε μπορείτε να ελέγξετε ή να βρείτε την καθετότητα των διανυσμάτων Αναλυτικές μέθοδοι.

Θα χρειαστείτε

• - μοιρογνωμόνιο
• - πυξίδα
• - κυβερνήτης.

Εντολή

Κατασκευάστε ένα διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο. Για να το κάνετε αυτό, στο σημείο που είναι η αρχή του διανύσματος, επαναφέρετε την κάθετο σε αυτό. Αυτό μπορεί να γίνει με ένα μοιρογνωμόνιο, παραμερίζοντας μια γωνία 90º. Αν δεν υπάρχει μοιρογνωμόνιο, φτιάξτε το με πυξίδα.

Ρυθμίστε το στο σημείο έναρξης του διανύσματος. Σχεδιάστε έναν κύκλο με αυθαίρετη ακτίνα. Στη συνέχεια, χτίστε δύο κεντραρισμένα στα σημεία όπου ο πρώτος κύκλος τέμνει τη γραμμή στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων πρέπει να είναι ίσες μεταξύ τους και μεγαλύτερες από τον πρώτο κατασκευασμένο κύκλο. Στα σημεία τομής των κύκλων, κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που θα είναι κάθετη στο αρχικό διάνυσμα στο σημείο της αρχής του και αφήστε στην άκρη ένα διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο.

Το μοναδιαίο διάνυσμα είναι: , όπου είναι το μέτρο του διανύσματος.

Απάντηση:
.

Σημείωση.Οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερες από μία.

6.3. Να βρείτε το μήκος και τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος . Συγκρίνετε με την απάντηση της προηγούμενης παραγράφου. Βγάλτε τα συμπεράσματά σας.

Το μήκος ενός διανύσματος είναι ο συντελεστής του:

Και μπορούμε να βρούμε τα συνημίτονα κατεύθυνσης χρησιμοποιώντας τον τύπο ενός από τους τρόπους καθορισμού διανυσμάτων:

Από αυτά που λάβαμε, βλέπουμε ότι τα συνημίτονα κατεύθυνσης είναι οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος.

Απάντηση:
,
,
,
.

6.4. Εύρημα
.

Είναι απαραίτητο να εκτελεστούν οι πράξεις πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με αριθμό, πρόσθεση και μέτρο.

Πολλαπλασιάζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων με έναν αριθμό όρο προς όρο.

Προσθέτουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων όρο προς όρο.

Βρείτε το μέτρο του διανύσματος.

Απάντηση:

6.5. Προσδιορίστε τις διανυσματικές συντεταγμένες
, συγγραμμική με το διάνυσμα , Γνωρίζοντας ότι
και κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα .

Διάνυσμα συγγραμμική με το διάνυσμα , άρα το μοναδιαίο του διάνυσμα είναι ίσο με το μοναδιαίο διάνυσμα μόνο με αρνητικό πρόσημο, γιατί κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Ένα μοναδιαίο διάνυσμα έχει μήκος 1, που σημαίνει ότι αν πολλαπλασιαστεί με 5, τότε το μήκος του θα είναι ίσο με πέντε.

Βρίσκουμε

Απάντηση:

6.6. Υπολογίστε τα προϊόντα με τελείες
και
. Είναι τα διανύσματα κάθετα και ,και μεταξύ τους;

Ας εκτελέσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων.

Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το γινόμενο των τελειών τους είναι μηδέν.

Βλέπουμε ότι στην περίπτωσή μας τα διανύσματα και είναι κάθετοι.

Απάντηση:
,
, τα διανύσματα δεν είναι κάθετα.

Σημείωση.Η γεωμετρική έννοια του βαθμωτού προϊόντος είναι ελάχιστη χρήση στην πράξη, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ενέργειας μπορεί να απεικονιστεί και να υπολογιστεί γεωμετρικά.

6.7. Βρείτε μια δουλειά υλικό σημείοστο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη
, όταν το μετακινείτε από το σημείο Β στο σημείο Γ.

Η φυσική έννοια του βαθμωτού προϊόντος είναι η εργασία. Διάνυσμα δύναμης εδώ , το διάνυσμα μετατόπισης είναι
. Και το γινόμενο αυτών των διανυσμάτων θα είναι το επιθυμητό έργο.

Βρίσκοντας δουλειά

6.8. Βρείτε την εσωτερική γωνία στην κορυφή ΕΝΑ και εξωτερική γωνία στο πάνω μέρος ντο τρίγωνο αλφάβητο .

Από τον ορισμό, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, παίρνουμε τον τύπο για την εύρεση της γωνίας: .

ΣΤΟ
θα αναζητήσουμε την εσωτερική γωνία ως τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων που εξέρχονται από ένα σημείο.

Για να βρείτε την εξωτερική γωνία, πρέπει να συνδυάσετε τα διανύσματα έτσι ώστε να βγαίνουν από το ίδιο σημείο. Το σχήμα το εξηγεί αυτό.

Αξίζει να σημειωθεί ότι
, έχουν μόνο διαφορετικές αρχικές συντεταγμένες.

Εύρεση των απαραίτητων διανυσμάτων και γωνιών

Απάντηση: εσωτερική γωνία στην κορυφή A \u003d , εξωτερική γωνία στην κορυφή Β = .

6.9. Βρείτε προβολές διανυσμάτων: και

Ανάκληση vector-orts:
,
,
.

Η προβολή βρίσκεται επίσης από το βαθμωτό γινόμενο

-προβολή σιστο ένα.

Προηγουμένως λήφθηκαν από εμάς διανύσματα

,
,

Εύρεση προβολής

Εύρεση της δεύτερης προβολής

Απάντηση:
,

Σημείωση.Το σύμβολο μείον κατά την εύρεση της προβολής σημαίνει ότι η προβολή δεν πέφτει στο ίδιο το διάνυσμα, αλλά στην αντίθετη κατεύθυνση, στη γραμμή στην οποία βρίσκεται αυτό το διάνυσμα.

6.10. Υπολογίζω
.

Εκτελέστε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων

Ας βρούμε τη μονάδα

Βρίσκουμε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων από τον ορισμό του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων

Απάντηση:
,
,
.

6.11. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου αλφάβητο και το μήκος του ύψους εφηβικό από το σημείο Γ.

Η γεωμετρική έννοια της ενότητας του εγκάρσιου γινομένου είναι ότι είναι η περιοχή του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από αυτά τα διανύσματα. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου.

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί επίσης να βρεθεί ως το γινόμενο του ύψους επί τη βάση διαιρούμενο με δύο, από το οποίο μπορείτε να εξαγάγετε τον τύπο για την εύρεση του ύψους.

Έτσι, βρίσκουμε το ύψος

Απάντηση:
,
.

6.12. Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στα διανύσματα και .

Το αποτέλεσμα του γινόμενου κουκίδων είναι ένα διάνυσμα που είναι κάθετο στα δύο αρχικά. Ένα μοναδιαίο διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα διαιρούμενο με το μήκος του.

Παλαιότερα, βρήκαμε:

,

Απάντηση:
.

6.13. Προσδιορίστε τα συνημίτονα μεγέθους και κατεύθυνσης της ροπής δύναμης
εφαρμόζεται στο Α σε σχέση με το σημείο Γ.

Η φυσική έννοια του διανυσματικού γινομένου είναι η στιγμή της δύναμης. Ας δώσουμε μια απεικόνιση για αυτήν την εργασία.

Εύρεση της στιγμής της δύναμης

Απάντηση:
.

6.14. Λένε ψέματα οι φορείς ,και στο ίδιο αεροπλάνο; Μπορούν αυτά τα διανύσματα να αποτελέσουν τη βάση του χώρου; Γιατί; Εάν είναι δυνατόν, επεκτείνετε το διάνυσμα σε αυτή τη βάση
.

Για να ελέγξετε εάν τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων.

Το μικτό γινόμενο δεν είναι ίσο με μηδέν, επομένως, τα διανύσματα δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (όχι ομοεπίπεδα) και μπορούν να αποτελέσουν βάση. Ας αποσυντεθεί σε αυτή τη βάση.

Επεκτείνουμε τη βάση λύνοντας την εξίσωση

Απάντηση: Διανύσματα ,και μην ξαπλώνετε στο ίδιο επίπεδο.
.

6.15. Εύρημα
. Ποιος είναι ο όγκος της πυραμίδας με τις κορυφές A, B, C, D και το ύψος της χαμηλωμένο από το σημείο Α στη βάση BCD.

σολ η γεωμετρική έννοια του μικτού γινομένου είναι ότι είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από αυτά τα διανύσματα.

Ο όγκος της πυραμίδας είναι έξι φορές μικρότερος από τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.

Ο όγκος της πυραμίδας μπορεί επίσης να βρεθεί ως εξής:

Λάβετε τον τύπο για την εύρεση του ύψους

Εύρεση του ύψους

Απάντηση: όγκος = 2,5, ύψος = .

6.16. Υπολογίζω
και
.

Σας προσκαλούμε να σκεφτείτε μόνοι σας αυτό το έργο.

- Ας κάνουμε τη δουλειά.

Έχει ληφθεί προηγουμένως

Απάντηση:
.

6.17. Υπολογίζω

Ας το κάνουμε βήμα βήμα

3)

Συνοψίζουμε τις λαμβανόμενες τιμές

Απάντηση:
.

6.18. Βρείτε το διάνυσμα
, γνωρίζοντας ότι είναι κάθετο στα διανύσματα και , και την προβολή του στο διάνυσμα ισούται με 5.

Ας χωρίσουμε αυτό το πρόβλημα σε δύο δευτερεύουσες εργασίες.

1) Να βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο στα διανύσματα και αυθαίρετο μήκος.

Θα πάρουμε ένα κάθετο διάνυσμα ως αποτέλεσμα του εγκάρσιου γινόμενου

Παλαιότερα, βρήκαμε:

Το επιθυμητό διάνυσμα διαφέρει μόνο σε μήκος, από το ληφθέν

2) Βρείτε μέσω της εξίσωσης

6.19. Βρείτε το διάνυσμα
, ικανοποιώντας τις προϋποθέσεις
,
,
.

Ας εξετάσουμε αυτές τις συνθήκες με περισσότερες λεπτομέρειες.

Αυτό είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Ας δημιουργήσουμε και ας λύσουμε αυτό το σύστημα.

Απάντηση:

6.20. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες κάποιου διανύσματος
, ομοεπίπεδο με διανύσματα και , και κάθετα στο διάνυσμα
.

Σε αυτήν την εργασία, υπάρχουν δύο συνθήκες: τα διανύσματα είναι συνεπίπεδα και κάθετα, πρώτα εκπληρώνουμε την πρώτη συνθήκη και μετά τη δεύτερη.

1) Αν τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα, τότε το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

Από εδώ λαμβάνουμε κάποια εξάρτηση των συντεταγμένων του διανύσματος

Ας βρούμε το διάνυσμα .

2) Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, τότε το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι μηδέν

Λάβαμε τη δεύτερη εξάρτηση των συντεταγμένων του επιθυμητού διανύσματος

Για οποιαδήποτε αξία το διάνυσμα θα ικανοποιήσει τις προϋποθέσεις. Υποκατάστατο
.

Απάντηση:
.

Αναλυτική γεωμετρία

Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει την έννοια της καθετότητας δύο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο και την εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος κάθετου σε ένα ή ένα ολόκληρο ζεύγος διανυσμάτων. Το θέμα έχει εφαρμογή σε προβλήματα που σχετίζονται με τις εξισώσεις ευθειών και επιπέδων.

Θα εξετάσουμε την απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για δύο διανύσματα να είναι κάθετα, θα αποφασίσουμε για τη μέθοδο εύρεσης ενός διανύσματος κάθετου σε ένα δεδομένο και θα θίξουμε καταστάσεις για την εύρεση ενός διανύσματος που είναι κάθετο σε δύο διανύσματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι δύο διανύσματα κάθετα

Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα για τα κάθετα διανύσματα στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο.

Ορισμός 1

Δίνεται η τιμή της γωνίας μεταξύ δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ίση με 90 ° (π 2 ακτίνια) ονομάζεται κάθετος.

Τι σημαίνει αυτό και σε ποιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε για την καθετότητά τους;

Η διαπίστωση της καθετότητας είναι δυνατή μέσω του σχεδίου. Όταν σχεδιάζετε ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο από δοθέντες πόντουςμπορεί κανείς να μετρήσει γεωμετρικά τη γωνία μεταξύ τους. Η καθετότητα των διανυσμάτων, εάν διαπιστωθεί, δεν είναι απολύτως ακριβής. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι εργασίες δεν σας επιτρέπουν να το κάνετε αυτό με ένα μοιρογνωμόνιο, επομένως αυτή τη μέθοδοισχύει μόνο όταν τίποτα άλλο δεν είναι γνωστό για τα διανύσματα.

Οι περισσότερες περιπτώσεις απόδειξης της καθετότητας δύο μη μηδενικών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα γίνονται με τη χρήση απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για καθετότητα δύο διανυσμάτων.

Θεώρημα 1

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων a → και b → ίσο με μηδέν για να εκπληρώσει την ισότητα a → , b → = 0 είναι αρκετό για την καθετότητά τους.

Απόδειξη 1

Έστω κάθετα τα διανύσματα a → και b →, τότε θα αποδείξουμε την ισότητα a ⇀ , b → = 0 .

Από τον ορισμό του τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνξέρουμε ότι ισούται το γινόμενο των μηκών των δεδομένων διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας. Κατά συνθήκη, τα a → και b → είναι κάθετα και, επομένως, με βάση τον ορισμό, η γωνία μεταξύ τους είναι 90 °. Τότε έχουμε a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Το δεύτερο μέρος της απόδειξης

Υπό την προϋπόθεση όταν a ⇀ , b → = 0 να αποδείξετε την καθετότητα των a → και b → .

Στην πραγματικότητα, η απόδειξη είναι το αντίστροφο από το προηγούμενο. Είναι γνωστό ότι τα a → και b → είναι μη μηδενικά, άρα από την ισότητα a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ βρίσκουμε το συνημίτονο. Τότε παίρνουμε cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι μηδέν, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η γωνία a → , b → ^ των διανυσμάτων a → και b → είναι 90 ° . Εξ ορισμού, αυτό είναι μια απαραίτητη και επαρκής ιδιότητα.

Κάθετη συνθήκη στο επίπεδο συντεταγμένων

Κεφάλαιο κουκκίδα σε συντεταγμένεςδείχνει την ανισότητα (a → , b →) = a x b x + a y b y , ισχύει για διανύσματα με συντεταγμένες a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) , στο επίπεδο και (a → , b → ) = a x b x + a y b y για τα διανύσματα a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) στο διάστημα. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι δύο διανύσματα κάθετα στο επίπεδο συντεταγμένωνέχει τη μορφή a x b x + a y b y = 0 , για τρισδιάστατο χώρο a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Ας το κάνουμε πράξη και ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Ελέγξτε την ιδιότητα της καθετότητας δύο διανυσμάτων a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Λύση

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο. Αν κατά συνθήκη θα είναι ίσο με μηδέν, τότε είναι κάθετοι.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Η συνθήκη ικανοποιείται, που σημαίνει ότι τα δεδομένα διανύσματα είναι κάθετα στο επίπεδο.

Απάντηση:ναι, τα δοσμένα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα.

Παράδειγμα 2

Δίνονται διανύσματα συντεταγμένων i → , j → , k → . Ελέγξτε εάν τα διανύσματα i → - j → και i → + 2 j → + 2 k → μπορούν να είναι κάθετα.

Λύση

Για να θυμάστε πώς καθορίζονται οι συντεταγμένες ενός διανύσματος, πρέπει να διαβάσετε ένα άρθρο σχετικά διανυσματικές συντεταγμένες σε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες.Έτσι, παίρνουμε ότι τα δεδομένα διανύσματα i → - j → και i → + 2 j → + 2 k → έχουν τις αντίστοιχες συντεταγμένες (1, - 1, 0) και (1, 2, 2) . Υποκατάστατο αριθμητικές τιμέςκαι παίρνουμε: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Η έκφραση δεν είναι μηδέν, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , που σημαίνει ότι τα διανύσματα i → - j → και i → + 2 j → + 2 k → δεν είναι κάθετη γιατί δεν πληρούται η προϋπόθεση.

Απάντηση:όχι, τα διανύσματα i → - j → και i → + 2 j → + 2 k → δεν είναι κάθετα.

Παράδειγμα 3

Δίνονται διανύσματα a → = (1 , 0 , - 2) και b → = (λ , 5 , 1) . Να βρείτε την τιμή λ για την οποία τα διανύσματα είναι κάθετα.

Λύση

Χρησιμοποιούμε την συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων στο χώρο μέσα τετράγωνο σχήμα, τότε παίρνουμε

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Απάντηση:τα διανύσματα είναι κάθετα στην τιμή λ = 2.

Υπάρχουν περιπτώσεις που το ζήτημα της καθετότητας είναι αδύνατον ακόμη και με τα απαραίτητα και επαρκής κατάσταση. Με γνωστά δεδομένα στις τρεις πλευρές ενός τριγώνου σε δύο διανύσματα, είναι δυνατό να βρεθεί γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνκαι ελέγξτε το.

Παράδειγμα 4

Δίνεται ένα τρίγωνο A B C με πλευρές A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 εκ. Ελέγξτε τα διανύσματα A B → και A C → για καθετότητα.

Λύση

Όταν τα διανύσματα A B → και A C → είναι κάθετα, το τρίγωνο A B C θεωρείται ορθογώνιο. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, όπου BC είναι η υποτείνουσα του τριγώνου. Πρέπει να ικανοποιηθεί η ισότητα B C 2 = A B 2 + A C 2. Από αυτό προκύπτει ότι 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Επομένως, τα A B και A C είναι τα σκέλη του τριγώνου A B C, επομένως, τα A B → και A C → είναι κάθετα.

Είναι σημαντικό να μάθετε πώς να βρίσκετε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος κάθετου σε ένα δεδομένο. Αυτό είναι δυνατό τόσο στο επίπεδο όσο και στο χώρο, με την προϋπόθεση ότι τα διανύσματα είναι κάθετα.

Εύρεση διανύσματος κάθετου σε δεδομένο σε ένα επίπεδο.

Ένα μη μηδενικό διάνυσμα a → μπορεί να έχει άπειρο αριθμό κάθετων διανυσμάτων στο επίπεδο. Ας το παραστήσουμε στη γραμμή συντεταγμένων.

Δίνεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα a → , που βρίσκεται στην ευθεία a. Τότε το δεδομένο b → , που βρίσκεται σε οποιαδήποτε ευθεία κάθετη στην ευθεία a, γίνεται κάθετο και a → . Αν το διάνυσμα j → ή κάποιο από τα διανύσματα λ j → είναι κάθετο στο διάνυσμα i → με λ ίσο με οποιοδήποτε πραγματικός αριθμόςεκτός από το μηδέν, τότε η εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος b → κάθετου στο a → = (a x , a y) ανάγεται σε ένα άπειρο σύνολο λύσεων. Είναι όμως απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κάθετες στο a → = (a x , a y) . Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να γράψετε την συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων με την ακόλουθη μορφή a x · b x + a y · b y = 0 . Έχουμε b x και b y , που είναι οι επιθυμητές συντεταγμένες του κάθετου διανύσματος. Όταν a x ≠ 0 , η τιμή του b y είναι μη μηδενική και το b x υπολογίζεται από την ανίσωση a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Όταν a x = 0 και a y ≠ 0, εκχωρούμε στο b x οποιαδήποτε τιμή εκτός από το μηδέν, και το b y βρίσκεται από την παράσταση b y = - a x · b x a y .

Παράδειγμα 5

Δίνεται διάνυσμα με συντεταγμένες a → = (- 2 , 2) . Να βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο.

Λύση

Να συμβολίσετε το επιθυμητό διάνυσμα ως b → (b x , b y) . Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του από την συνθήκη ότι τα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα. Τότε παίρνουμε: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Εκχωρήστε b y = 1 και αντικαταστήστε: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Επομένως από τον τύπο παίρνουμε b x = - 2 - 2 = 1 2 . Επομένως, το διάνυσμα b → = (1 2 , 1) είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο a → .

Απάντηση: b → = (1 2 , 1) .

Εάν τεθεί το ζήτημα του τρισδιάστατου χώρου, το πρόβλημα λύνεται σύμφωνα με την ίδια αρχή. Για ένα δεδομένο διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) υπάρχει άπειρο σύνολοκάθετα διανύσματα. Θα το διορθώσει στις συντεταγμένες τρισδιάστατο επίπεδο. Δίνεται ένα → που βρίσκεται στη γραμμή a . Το επίπεδο που είναι κάθετο στην ευθεία α συμβολίζεται με α. Στην περίπτωση αυτή, οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα b → από το επίπεδο α είναι κάθετο στο a → .

Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες b → κάθετες στο μη μηδενικό διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) .

Έστω b → δίνεται με συντεταγμένες b x , b y και b z . Για την εύρεση τους, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο ορισμός της συνθήκης της καθετότητας δύο διανυσμάτων. Πρέπει να ισχύει η ισότητα a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Από τη συνθήκη a → - μη μηδενική, που σημαίνει ότι μία από τις συντεταγμένες έχει τιμή όχι ίση με μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 ή a z ≠ 0). Επομένως, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε ολόκληρη την ανισότητα a x b x + a y b y + a z b z = 0 με αυτή τη συντεταγμένη, παίρνουμε την παράσταση b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Εκχωρούμε οποιαδήποτε τιμή στις συντεταγμένες b y και b x , υπολογίζουμε την τιμή b x , με βάση τον τύπο, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Το επιθυμητό κάθετο διάνυσμα θα έχει την τιμή a → = (a x , a y , a z) .

Ας δούμε την απόδειξη με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 6

Δίνεται ένα διάνυσμα με συντεταγμένες a → = (1 , 2 , 3) ​​  . Να βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο.

Λύση

Να συμβολίσετε το επιθυμητό διάνυσμα ως b → = (b x , b y , b z) . Με βάση την προϋπόθεση ότι τα διανύσματα είναι κάθετα, το βαθμωτό γινόμενο πρέπει να είναι ίσο με μηδέν.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Αν η τιμή b y = 1 , b z = 1 , τότε b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Από αυτό προκύπτει ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος b → (- 5 , 1 , 1) . Το διάνυσμα b → είναι ένα από τα κάθετα στο δεδομένο διανύσματα.

Απάντηση: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος κάθετου σε δύο δεδομένα διανύσματα

Πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος στον τρισδιάστατο χώρο. Είναι κάθετο στα μη συγγραμμικά διανύσματα a → (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) . Υπό την προϋπόθεση ότι τα διανύσματα a → και b → είναι συγγραμμικά, στο πρόβλημα θα αρκεί να βρεθεί ένα διάνυσμα κάθετο στο a → ή b → .

Κατά την επίλυση, χρησιμοποιείται η έννοια του διανυσματικού γινόμενου διανυσμάτων.

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων a → και b → είναι ένα διάνυσμα που είναι ταυτόχρονα κάθετο τόσο στο a → όσο και στο b → . Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, χρησιμοποιείται το διανυσματικό γινόμενο a → × b →. Για τρισδιάστατο χώρο έχει τη μορφή a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Ας αναλύσουμε το γινόμενο του διανύσματος με περισσότερες λεπτομέρειες χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του προβλήματος.

Παράδειγμα 7

Δίνονται τα διανύσματα b → = (0 , 2 , 3) ​​και a → = (2 , 1 , 0). Να βρείτε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε κάθετου διανύσματος στα δεδομένα ταυτόχρονα.

Λύση

Για να λύσετε, πρέπει να βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων. (Πρέπει να αναφέρεται στην παράγραφο υπολογισμοί καθορισμού μήτραςγια να βρείτε το διάνυσμα). Παίρνουμε:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Απάντηση: (3 , - 6 , 4) - συντεταγμένες ενός διανύσματος που είναι ταυτόχρονα κάθετο στο δεδομένο a → και b → .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Στην ενότητα της ερώτησης, βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο δεδομένων διανυσμάτωνδίνεται από τον συγγραφέα Άννα Αφανάσιεβαη καλύτερη απάντηση είναι ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο όχι παράλληλα διανύσματαβρίσκεται ως το διανυσματικό τους γινόμενο ahb, για να το βρείτε πρέπει να κάνετε μια ορίζουσα, η πρώτη γραμμή του οποίου θα αποτελείται από μοναδιαία διανύσματα I, j, k, το δεύτερο είναι από τις συντεταγμένες του διανύσματος a, το τρίτο είναι από τις συντεταγμένες του διανύσματος c. Η ορίζουσα θεωρείται ότι είναι μια επέκταση κατά μήκος της πρώτης γραμμής, στην περίπτωσή σας θα αποδειχθεί axb=20i-10k ή axb=(20,0,-10).

Απάντηση από 22 απαντήσεις[γκουρού]

Γειά σου! Εδώ είναι μια επιλογή θεμάτων με απαντήσεις στην ερώτησή σας: βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο δεδομένα διανύσματα

Απάντηση από Τέντωμα[αρχάριος]
Ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο μη παράλληλα διανύσματα βρίσκεται ως το διαγώνιο γινόμενο τους ahb, για να το βρείτε πρέπει να κάνετε μια ορίζουσα, η πρώτη σειρά του οποίου θα αποτελείται από μονάδα διανύσματα I,j,k, το δεύτερο είναι από τις συντεταγμένες του διανύσματος a, το τρίτο είναι από τις συντεταγμένες του διανύσματος c. Η ορίζουσα θεωρείται ότι είναι μια επέκταση κατά μήκος της πρώτης γραμμής, στην περίπτωσή σας θα αποδειχθεί axb=20i-10k ή axb=(20,0,-10).

Απάντηση από HAYKA[γκουρού]
Αποφασίστε περίπου έτσι. Αλλά πρώτα διαβάστε το μόνοι σας! !
Υπολογίστε το γινόμενο με τελείες των διανυσμάτων d και r εάν d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Το μέτρο του διανύσματος a είναι 4, το μέτρο του διανύσματος b είναι 6. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a και b είναι 60 μοίρες, το διάνυσμα c είναι κάθετο στα διανύσματα a και b.
Τα σημεία E και F βρίσκονται αντίστοιχα στις πλευρές AD και BC του παραλληλογράμμου ABCD, με AE=ED, BF: FC = 4: 3. α) Να εκφράσετε το διάνυσμα EF ως προς τα διανύσματα m = διάνυσμα AB και διάνυσμα n = διάνυσμα AD . β) Μπορεί το διάνυσμα EF = x να πολλαπλασιαστεί με το διάνυσμα CD για κάποια τιμή του x; .

ωμ. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε πρώτα την έννοια του τμήματος.

Ορισμός 1

Ένα τμήμα είναι ένα τμήμα μιας ευθείας γραμμής που οριοθετείται από σημεία και στις δύο πλευρές.

Ορισμός 2

Τα άκρα του τμήματος θα ονομάζονται τα σημεία που το περιορίζουν.

Για να εισαγάγουμε τον ορισμό ενός διανύσματος, ένα από τα άκρα του τμήματος θα ονομάζεται αρχή του.

Ορισμός 3

Ένα διάνυσμα (κατευθυνόμενο τμήμα) θα ονομάσουμε ένα τέτοιο τμήμα, για το οποίο υποδεικνύεται ποιο οριακό σημείο είναι η αρχή του και ποιο το τέλος του.

Σημείωση: \overline(AB) - διάνυσμα AB , που ξεκινά από το σημείο A και τελειώνει στο σημείο B .

Διαφορετικά, με ένα μικρό γράμμα: \overline(a) (Εικ. 1).

Ορισμός 4

Μηδενικό διάνυσμα είναι κάθε σημείο που ανήκει στο επίπεδο.

Ονομασία: \overline(0) .

Εισάγουμε τώρα απευθείας τον ορισμό συγγραμμικά διανύσματα.

Εισάγουμε επίσης τον ορισμό του βαθμωτού προϊόντος, που θα χρειαστούμε παρακάτω.

Ορισμός 6

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο δεδομένων διανυσμάτων είναι ένας βαθμωτός (ή αριθμός) που ισούται με το γινόμενο των μηκών αυτών των δύο διανυσμάτων με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των δεδομένων διανυσμάτων.

Μαθηματικά μπορεί να μοιάζει με αυτό:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Το γινόμενο με τελείες μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ως εξής

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Σημάδι της καθετότητας μέσω της αναλογικότητας

Θεώρημα 1

Για τα μη μηδενικά διανύσματα να είναι κάθετα μεταξύ τους, είναι απαραίτητο και αρκετό το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων να είναι ίσο με μηδέν.

Απόδειξη.

Ανάγκη: Ας δοθούν διανύσματα \overline(α) και \overline(β) , που έχουν συντεταγμένες (α_1,α_2,α_3) και (β_1,β_2,β_3) αντίστοιχα, και είναι κάθετες μεταξύ τους. Τότε πρέπει να αποδείξουμε την ακόλουθη ισότητα

Δεδομένου ότι τα διανύσματα \overline(α) και \overline(β) είναι κάθετα, η γωνία μεταξύ τους είναι 90^0 . Ας βρούμε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον τύπο από τον Ορισμό 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Επάρκεια: Ας είναι αληθινή η ισότητα \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Ας αποδείξουμε ότι τα διανύσματα \overline(α) και \overline(β) θα είναι κάθετα μεταξύ τους.

Με τον ορισμό 6, η ισότητα θα είναι αληθής

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Επομένως, τα διανύσματα \overline(α) και \overline(β) θα είναι κάθετα μεταξύ τους.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 1

Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα με συντεταγμένες (1,-5,2) και (2,1,3/2) είναι κάθετα.

Απόδειξη.

Ας βρούμε το γινόμενο κουκίδων για αυτά τα διανύσματα μέσω του τύπου που δίνεται παραπάνω

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, αυτά τα διανύσματα είναι κάθετα.

Εύρεση κάθετου διανύσματος σε δύο δεδομένα διανύσματα μέσω του εγκάρσιου γινομένου

Ας εισαγάγουμε πρώτα την έννοια του διανυσματικού προϊόντος.

Ορισμός 7

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα ονομάζεται διάνυσμα που θα είναι κάθετο και στα δύο δεδομένα διανυσμάτων και το μήκος του θα είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων και αυτό το διάνυσμα με δύο οι αρχικές έχουν τον ίδιο προσανατολισμό με καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες.

Ονομασία: \overline(α)x\overline(β)x.

Για να βρούμε το γινόμενο του διανύσματος, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Εφόσον το διάνυσμα του διασταυρούμενου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι κάθετο και στα δύο αυτά διανύσματα, τότε θα είναι διάνυσμα αξίωσης. Δηλαδή, για να βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο διανύσματα, χρειάζεται απλώς να βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο τους.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το διάνυσμα κάθετο σε διανύσματα με συντεταγμένες \overline(α)=(1,2,3) και \overline(β)=(-1,0,3)

Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο αυτών των διανυσμάτων.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x