Εύρεση της ρίζας μιας μη γραμμικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης στο Excel. Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων με μεθόδους επανάληψης

n Παράδειγμα 2.3.Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης

Χ- tg (χ)= 0. (2.18)

Το πρώτο στάδιο της λύσης (στάδιο διαχωρισμός ριζών) εφαρμόστηκε στην Ενότητα 2.1 (Παράδειγμα 2.2). Η επιθυμητή ρίζα της εξίσωσης βρίσκεται στο τμήμα ΧО, το οποίο φαίνεται στο γράφημα (Εικ. 2.9).

Εικ.2.9. Βήμα διαχωρισμού ρίζας

Στάδιο τελειοποίησης ρίζαςυλοποιώ, εφαρμόζω χρησιμοποιώντας το Excel. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα μέθοδος μισή διαίρεση . Σχέδια υπολογισμού για εφαπτομενικές μεθόδουςκαι χορδήλίγο διαφορετικό από το παρακάτω διάγραμμα.

Αλληλουχία:

1. Ετοιμάστε έναν πίνακα όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.10 και εισαγάγετε τις τιμές ένα, σι, ε στα κελιά Β3, Β4, Β5, αντίστοιχα.

2. Συμπληρώστε την πρώτη γραμμή του πίνακα:

D4=0 αριθμός επανάληψης;

E4=B3, F4=B4, για υπολογισμό φά): G4=E4-TAN(E4),

Ομοίως, στα κελιά H4, I4, J4 θα εισαγάγουμε τύπους για τον υπολογισμό, αντίστοιχα φά(σι), x n=(α+β)/2 και φά(x n);

Στο κελί K4, υπολογίστε το μήκος του τμήματος [ ένα, σι]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, για να σχηματιστεί ο αριθμός επανάληψης.

4. Στα κελιά E5, F5, εισάγουμε τύπους για το σχηματισμό των άκρων των ένθετων τμημάτων σύμφωνα με τον αλγόριθμο που περιγράφεται στην ενότητα 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Επιλέξτε κελιά G4:K4 και αντιγράψτε τα σε μία γραμμή.

6. Επιλέξτε κελιά D5:K5 και αντιγράψτε τα μέχρι το τέλος του πίνακα.

Εικ.2.10. Σχέδιο λύσης μη γραμμική εξίσωσημέθοδος διχοτόμησης

Συνεχίζουμε τη διαίρεση των τμημάτων μέχρι το μήκος του τελευταίου να γίνει μικρότερο από το δεδομένο ε, δηλ. μέχρι να εκπληρωθεί η προϋπόθεση.

Για να απεικονίσουμε το τέλος της επαναληπτικής διαδικασίας, χρησιμοποιούμε Μορφοποίηση υπό όρους

Μορφοποίηση υπό όρους -Πρόκειται για μορφοποίηση επιλεγμένων κελιών με βάση κάποιο κριτήριο, με αποτέλεσμα τα κελιά να χρωματίζονται, τα περιεχόμενα των οποίων ικανοποιούν την καθορισμένη συνθήκη (στην περίπτωσή μας, ).

Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

Ας επιλέξουμε τα κελιά της τελευταίας στήλης (K) του σχήματος υπολογισμού (Εικ. 2.10), όπου θα οριστεί το κριτήριο για το τέλος της επαναληπτικής διαδικασίας.

Εκτελέστε την εντολή

Home\Styles\ Μορφοποίηση υπό όρους.

Εικ.2.11. Παράθυρο στο μορφοποίηση λέξης

Στο παράθυρο που εμφανίζεται (Εικ. 2.11), επιλέξτε τη γραμμή:

Κανόνες επιλογής κελιών \ Λιγότερο από;

Στην αριστερή πλευρά του πλαισίου διαλόγου που εμφανίζεται Πιο λιγο (Εικ. 2.12) ορίστε την τιμή που θα χρησιμοποιηθεί ως κριτήριο (στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η διεύθυνση του κελιού B5, όπου βρίσκεται η τιμή ε ).

Εικ.2.12. Παράθυρο διαλόγου Πιο λιγο

Στη δεξιά πλευρά του παραθύρου Πιο λιγο επιλέξτε το χρώμα που θα χρησιμοποιηθεί για το χρωματισμό των κελιών που πληρούν την καθορισμένη συνθήκη. και πατήστε το κουμπί ΕΝΤΑΞΕΙ.

Ως αποτέλεσμα αυτής της μορφοποίησης, τα κελιά της στήλης K , των οποίων οι αξίες λιγότερο από 0,1,φιμέ, Εικ.2.10.

Έτσι, για την κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσης Χ- tg (χ)= 0 με ακρίβεια e=0,1, γίνεται δεκτή η 3η επανάληψη, δηλ. x*" 4,46875. Για e=0,01 - x * » 4,49609(6η επανάληψη).

Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με χρήση του πρόσθετου επιλογής παραμέτρων

Η λύση των μη γραμμικών εξισώσεων μπορεί να εφαρμοστεί στην εφαρμογή MS προέχωχρησιμοποιώντας πρόσθετα Επιλογή παραμέτρων, όπου εφαρμόζεται κάποια επαναληπτική διαδικασία.

Ας βρούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (2.18).

Για τη μηδενική προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης, όπως φαίνεται από το Σχ. 2.13, μπορούμε να πάρουμε Χ 0 =4 ή Χ 0 =4,5.

Αλληλουχία

1. Ετοιμάστε έναν πίνακα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.13. Στο κελί Α2 εισάγετε κάποια τιμή x 0 (για παράδειγμα Χ 0 =4) από τη συνάρτηση ODZ y=f(x). Αυτή θα είναι η αρχική προσέγγιση για την επαναληπτική διαδικασία που εφαρμόζεται από την εφαρμογή Επιλογή παραμέτρων.

2. Κύτταρο ΣΤΟ 2 είναι μεταβλητό κύτταρο ενώ εκτελείται το πρόσθετο. Ας βάλουμε αυτή την τιμή. x 0 , και στο κελί C3 υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης f(xn) για αυτή την προσέγγιση.

3. Επιλέξτε μια εντολή:

Δεδομένα \ Εργασία με δεδομένα \ Ανάλυση "What-if" \ Επιλογή παραμέτρου.

4. Στο παράθυρο "Επιλογή παραμέτρων", κάντε τις ρυθμίσεις όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.13 και πατήστε το κουμπί OK.

Εικ.2.13. Επίλυση μη γραμμικής εξίσωσης με χρήση του πρόσθετου αναζήτησης παραμέτρων

Αν όλα έγιναν σωστά, τότε στο κελί Β2 (Εικ. 2.13) θα προκύψει μια κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσής μας.

Κάντε όλες αυτές τις πράξεις ξανά με διαφορετική τιμή της αρχικής προσέγγισης, για παράδειγμα x 0 \u003d 4,5.

ερωτήσεις δοκιμής

1. Ποια εξίσωση λέγεται μη γραμμική. Ποια είναι η λύση της μη γραμμικής εξίσωσης.

2. Γεωμετρική ερμηνεία της λύσης μιας μη γραμμικής εξίσωσης.

3. Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικής εξίσωσης (άμεση και επαναληπτική), ποια είναι η διαφορά.

4. Δύο στάδια αριθμητική λύσημη γραμμική εξίσωση. Ποιες είναι οι εργασίες στο πρώτο και το δεύτερο στάδιο.

5. Το πρώτο στάδιο επίλυσης μη γραμμικής εξίσωσης. Πώς επιλέγεται η μηδενική προσέγγιση (μηδενική επανάληψη).

6. Κατασκευή επαναληπτικής ακολουθίας. Η έννοια της σύγκλισης μιας επαναληπτικής ακολουθίας. Εύρεση κατά προσέγγιση τιμής της ρίζας μιας μη γραμμικής εξίσωσης με ακρίβεια ε.

7. Γεωμετρική ερμηνεία αριθμητικών μεθόδων επίλυσης μη γραμμικής εξίσωσης: μισή διαίρεση, Newton (εφαπτομένη), συγχορδίες.

κεφάλαιο 3

Βασανισμένοι στο σχολείο για την επίλυση εξισώσεων στα μαθήματα των μαθηματικών, πολλοί μαθητές είναι συχνά βέβαιοι ότι χάνουν τον χρόνο τους, και ωστόσο μια τέτοια δεξιότητα θα είναι χρήσιμη στη ζωή όχι μόνο σε όσους αποφασίζουν να ακολουθήσουν τα βήματα του Ντεκάρτ, του Όιλερ ή του Λομπατσέφσκι.

Στην πράξη, για παράδειγμα, στην ιατρική ή την οικονομία, πολύ συχνά υπάρχουν καταστάσεις όπου ένας ειδικός πρέπει να ανακαλύψει πότε συγκέντρωση δραστική ουσίαενός συγκεκριμένου φαρμάκου θα φτάσει το απαιτούμενο επίπεδο στο αίμα του ασθενούς ή πρέπει να υπολογίσετε τον χρόνο που απαιτείται για να γίνει κερδοφόρα μια συγκεκριμένη επιχείρηση.

Συχνότερα μιλαμεγια την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων διάφοροι τύποι. Για να γίνει αυτό όσο το δυνατόν γρηγορότερα, ειδικά με τη χρήση υπολογιστών, επιτρέπουν οι αριθμητικές μέθοδοι. Είναι καλά μελετημένα και έχουν αποδείξει από καιρό την αποτελεσματικότητά τους. Μεταξύ αυτών είναι η εφαπτομενική μέθοδος του Νεύτωνα, η οποία είναι το αντικείμενο αυτού του άρθρου.

Διατύπωση του προβλήματος

ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηυπάρχει συνάρτηση g που ορίζεται στο τμήμα (a, b) και το παίρνει ορισμένες αξίες, δηλαδή, κάθε x που ανήκει στο (a, b) μπορεί να συσχετιστεί συγκεκριμένο αριθμό g(x).

Απαιτείται να δημιουργηθούν όλες οι ρίζες της εξίσωσης από το διάστημα μεταξύ των σημείων a και b (συμπεριλαμβανομένων των άκρων), για τα οποία η συνάρτηση είναι μηδενική. Προφανώς, αυτά θα είναι τα σημεία τομής του y = g(x) με το OX.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να αντικαταστήσετε το g(x)=0 με ένα παρόμοιο, g 1 (x) = g 2 (x). Στην περίπτωση αυτή, οι τετμημένες (τιμή x) των σημείων τομής των γραφημάτων g 1 (x) και g 2 (x) λειτουργούν ως ρίζες.

Η λύση μιας μη γραμμικής εξίσωσης είναι επίσης σημαντική για προβλήματα βελτιστοποίησης για τα οποία η συνθήκη τοπικό εξτρέμ- μετατροπή σε 0 της παραγώγου της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να αναχθεί στην εύρεση των ριζών της εξίσωσης p(x) = 0, όπου το p(x) είναι πανομοιότυπο με το g"(x).

Μέθοδοι Λύσης

Για ορισμένους τύπους μη γραμμικών εξισώσεων, όπως τετράγωνες ή απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν με αρκετά απλούς τρόπους. Συγκεκριμένα, κάθε μαθητής γνωρίζει τους τύπους, χρησιμοποιώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να βρείτε τις τιμές του ορίσματος των σημείων όπου το τετράγωνο τριώνυμο μηδενίζεται.

Οι μέθοδοι εξαγωγής των ριζών των μη γραμμικών εξισώσεων συνήθως χωρίζονται σε αναλυτικές (άμεσες) και επαναληπτικές. Στην πρώτη περίπτωση, η επιθυμητή λύση έχει τη μορφή ενός τύπου, χρησιμοποιώντας τον οποίο, για έναν ορισμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων, μπορείτε να βρείτε την τιμή των επιθυμητών ριζών. Παρόμοιες μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για εκθετικές, τριγωνομετρικές, λογαριθμικές και απλές αλγεβρικές εξισώσεις. Για τα υπόλοιπα, πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει ειδικές αριθμητικές μεθόδους. Είναι εύκολο να εφαρμοστούν με τη βοήθεια υπολογιστών, που σας επιτρέπουν να βρείτε τις ρίζες με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Μεταξύ αυτών είναι η λεγόμενη αριθμητική μέθοδος των εφαπτομένων.Η τελευταία προτάθηκε από τον μεγάλο επιστήμονας ΙσαάκΟ Νεύτωνας μέσα τέλη XVIIαιώνας. Στους επόμενους αιώνες, η μέθοδος βελτιώθηκε επανειλημμένα.

Εντοπισμός

Αριθμητικές λύσεις σύνθετες εξισώσεις, που δεν έχουν αναλυτικές λύσεις, συνηθίζεται να πραγματοποιούνται σε 2 στάδια. Πρώτα πρέπει να τα εντοπίσετε. Αυτή η πράξη συνίσταται στην εύρεση τέτοιων τμημάτων στο OX στα οποία υπάρχει μια ρίζα της εξίσωσης που λύνεται.

Ας εξετάσουμε ένα τμήμα. Εάν το g(x) σε αυτό δεν έχει ασυνέχειες και παίρνει τιμές διαφορετικών προσώπων στα τελικά σημεία, τότε μεταξύ του a και του b ή από μόνα τους υπάρχει τουλάχιστον 1 ρίζα της εξίσωσης g(x) = 0. να είναι μοναδικό, απαιτείται το g(x) να είναι μονότονο. Όπως είναι γνωστό, θα έχει μια τέτοια ιδιότητα υπό την προϋπόθεση ότι το g’(x) είναι σταθερού πρόσημου.

Με άλλα λόγια, εάν το g(x) δεν έχει ασυνέχειες και μονότονα αυξάνεται ή μειώνεται και οι τιμές του στα τελικά σημεία δεν έχουν πανομοιότυπα σημάδια, τότε υπάρχει 1 και μόνο 1 ρίζα g(x).

Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να γνωρίζετε ότι αυτό το κριτήριο δεν θα λειτουργήσει για τις ρίζες των εξισώσεων που είναι πολλαπλές.

Επίλυση της εξίσωσης με διαίρεση στο μισό

Πριν εξετάσετε πιο σύνθετες αριθμητικές εφαπτομένες και τις ποικιλίες τους), αξίζει να εξοικειωθείτε με τα περισσότερα με απλό τρόποαναγνώριση των ριζών. Ονομάζεται διχοτομία και αναφέρεται στη διαισθητική εύρεση των ριζών με βάση το θεώρημα ότι εάν για g (x), συνεχές on, ικανοποιείται η συνθήκη των διαφορετικών πρόσημων, τότε στο υπό εξέταση τμήμα υπάρχει τουλάχιστον 1 ρίζα g ( x) = 0.

Για να το βρείτε, πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα στη μέση και να ορίσετε το μέσο ως x 2. Τότε είναι δυνατές δύο επιλογές: g (x 0) * g (x 2) ή g (x 2) * g (x 1) είναι ίσες ή μικρότερες από 0. Επιλέγουμε αυτή για την οποία ισχύει μία από αυτές τις ανισώσεις. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία που περιγράφεται παραπάνω έως ότου το μήκος γίνει μικρότερο από μια ορισμένη, προεπιλεγμένη τιμή που καθορίζει την ακρίβεια του προσδιορισμού της ρίζας της εξίσωσης στο .

Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου περιλαμβάνουν την αξιοπιστία και την απλότητά της και το μειονέκτημα είναι η ανάγκη να προσδιοριστούν αρχικά τα σημεία στα οποία η g(x) παίρνει διαφορετικά σημάδια, επομένως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ρίζες με ομοιόμορφη πολλαπλότητα. Επιπλέον, δεν γενικεύεται στην περίπτωση ενός συστήματος εξισώσεων ή όταν πρόκειται για σύνθετες ρίζες.

Παράδειγμα 1

Ας θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Για να μην ψάχνουμε για μεγάλο χρονικό διάστημα ένα κατάλληλο τμήμα, φτιάχνουμε ένα γράφημα χρησιμοποιώντας, για παράδειγμα, το γνωστό πρόγραμμα Excel . Βλέπουμε ότι είναι καλύτερο να παίρνουμε τιμές από το διάστημα ως τμήμα για τον εντοπισμό της ρίζας. Μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι τουλάχιστον μία ρίζα της επιθυμητής εξίσωσης υπάρχει σε αυτό.

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, δηλαδή αυτή είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση, επομένως υπάρχει μόνο 1 ρίζα στο επιλεγμένο τμήμα.

Αντικαταστήστε τα τελικά σημεία στην εξίσωση. Έχουμε 0 και 1 αντίστοιχα. Στο πρώτο βήμα, παίρνουμε ως λύση το σημείο 0,5. Τότε g(0,5) = -0,4375. Έτσι, το επόμενο τμήμα για τη διαίρεση στο μισό θα είναι. Η μέση του είναι 0,75. Σε αυτό, η τιμή της συνάρτησης είναι 0,226. Λαμβάνουμε υπόψη το τμήμα και το μέσο του, το οποίο βρίσκεται στο σημείο 0,625. Υπολογίστε την τιμή του g(x) στο 0,625. Είναι ίσο με -0,11, δηλαδή αρνητικό. Με βάση αυτό το αποτέλεσμα, επιλέγουμε το τμήμα . Παίρνουμε x = 0,6875. Τότε g(x) = -0,00532. Εάν η ακρίβεια της λύσης είναι 0,01, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι το επιθυμητό αποτέλεσμα είναι 0,6875.

Θεωρητική βάση

Αυτή η μέθοδος εύρεσης ριζών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εφαπτομένης του Νεύτωνα είναι δημοφιλής λόγω της πολύ γρήγορης σύγκλισής της.

Βασίζεται στο αποδεδειγμένο γεγονός ότι αν x n είναι μια προσέγγιση σε μια ρίζα f(x)=0 τέτοια ώστε f" C 1 , τότε η επόμενη προσέγγιση θα είναι στο σημείο όπου η εξίσωση της εφαπτομένης στην f(x) εξαφανίζεται , δηλ.

Αντικαταστήστε το x = x n+1 και ορίστε το y στο μηδέν.

Τότε η εφαπτομένη μοιάζει με αυτό:

Παράδειγμα 2

Ας προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε την κλασική μέθοδο εφαπτομένης του Νεύτωνα και να βρούμε μια λύση σε κάποια μη γραμμική εξίσωση που είναι δύσκολο ή αδύνατο να βρεθεί αναλυτικά.

Ας χρειαστεί να αποκαλύψουμε τις ρίζες για x 3 + 4x - 3 = 0 με κάποια ακρίβεια, για παράδειγμα 0,001. Όπως γνωρίζετε, το γράφημα οποιασδήποτε συνάρτησης με τη μορφή πολυωνύμου περιττού βαθμού πρέπει να διασχίζει τον άξονα OX τουλάχιστον μία φορά, δηλαδή, δεν υπάρχει λόγος αμφιβολίας για την ύπαρξη ριζών.

Πριν λύσουμε το παράδειγμά μας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης, σχεδιάζουμε f (x) \u003d x 3 + 4x - 3 σημείο προς σημείο. Αυτό είναι πολύ εύκολο να γίνει, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας ένα υπολογιστικό φύλλο Excel. Από το γράφημα που προκύπτει, θα φανεί ότι τέμνεται με τον άξονα OX και η συνάρτηση y \u003d x 3 + 4x - 3 αυξάνεται μονότονα. Μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η εξίσωση x 3 + 4x - 3 = 0 έχει λύση και είναι μοναδική.

Αλγόριθμος

Οποιαδήποτε λύση εξισώσεων με τη μέθοδο της εφαπτομένης αρχίζει με τον υπολογισμό της f "(x). Έχουμε:

Τότε η δεύτερη παράγωγος θα μοιάζει με x * 6.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις εκφράσεις, μπορούμε να γράψουμε έναν τύπο για τον προσδιορισμό των ριζών της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης με τη μορφή:

Στη συνέχεια, απαιτείται να επιλέξετε μια αρχική προσέγγιση, δηλαδή να καθορίσετε ποιο σημείο θα θεωρηθεί ως το σημείο εκκίνησης (αναθ. x 0) για την επαναληπτική διαδικασία. Θεωρούμε τα άκρα του τμήματος. Αυτή για την οποία ισχύει η συνθήκη της συνάρτησης και της 2ης παραγώγου της στο x 0 είναι κατάλληλη για εμάς. Όπως μπορείτε να δείτε, όταν αντικαθιστάτε το x 0 = 0, παραβιάζεται, αλλά το x 0 = 1 είναι αρκετά κατάλληλο.

τότε αν μας ενδιαφέρει η λύση με τη μέθοδο των εφαπτομένων με ακρίβεια e, τότε η τιμή του x n μπορεί να θεωρηθεί ότι ικανοποιεί τις απαιτήσεις του προβλήματος, με την προϋπόθεση ότι η ανισότητα |f(x n) / f’(x n)|< e.

Στο πρώτο βήμα των εφαπτομένων έχουμε:

x 1 \u003d x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) \u003d 1- 0,2857 \u003d 0,71429;
Εφόσον δεν πληρούται η προϋπόθεση, πάμε παρακάτω.
παίρνουμε μια νέα τιμή για το x 2 , η οποία είναι ίση με 0,674.
παρατηρούμε ότι ο λόγος της τιμής της συνάρτησης προς την παράγωγό της σε x 2 είναι μικρότερος από 0,0063, σταματάμε τη διαδικασία.

Μέθοδος εφαπτομένης στο Excel

Η επίλυση του προηγούμενου παραδείγματος μπορεί να είναι πολύ πιο εύκολη και γρήγορη εάν δεν κάνετε υπολογισμούς χειροκίνητα (σε μια αριθμομηχανή), αλλά χρησιμοποιήσετε τις δυνατότητες επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλωναπό τη Microsoft.

Για να το κάνετε αυτό, στο Excel, πρέπει να δημιουργήσετε ΝΕΑ ΣΕΛΙΔΑκαι γεμίζει τα κελιά του με τους παρακάτω τύπους:

στο C7 γράφουμε "= POWER (B7; 3) + 4 * B7 - 3";
στο D7 εισάγουμε "= 4 + 3 * DEGREE (B7; 2)";
στο Ε7 γράφουμε "= (POWER (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7; 2) + 4)";
στο D7 εισάγουμε την έκφραση "= B7 - E7"?
στο B8 εισάγουμε τον τύπο-συνθήκη "= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

Σε μια συγκεκριμένη εργασία, ήδη στο κελί B10, θα εμφανιστεί η επιγραφή "Ολοκλήρωση επαναλήψεων" και για να λύσετε το πρόβλημα θα χρειαστεί να πάρετε τον αριθμό που είναι γραμμένος στο κελί που βρίσκεται μια γραμμή παραπάνω. Για αυτό, μπορείτε επίσης να επιλέξετε μια ξεχωριστή "εκτατή" στήλη εισάγοντας έναν τύπο υπό όρους εκεί, σύμφωνα με τον οποίο το αποτέλεσμα θα γραφτεί εκεί εάν το περιεχόμενο σε ένα ή άλλο κελί της στήλης Β έχει τη μορφή "Ολοκλήρωση επαναλήψεων".

Υλοποίηση στο Pascal

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τη λύση της μη γραμμικής εξίσωσης y = x 4 - 4 - 2 * x χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης στο Pascal.

Χρησιμοποιούμε μια βοηθητική συνάρτηση που θα σας βοηθήσει να εκτελέσετε έναν κατά προσέγγιση υπολογισμό f "(x) \u003d (f (x + δέλτα) - f (x)) / δέλτα. Ως προϋπόθεση για την ολοκλήρωση της επαναληπτικής διαδικασίας, θα επιλέξουμε το εκπλήρωση της ανισότητας | x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Το πρόγραμμα είναι αξιοσημείωτο στο ότι δεν απαιτεί χειροκίνητο υπολογισμό της παραγώγου.

μέθοδος συγχορδίας

Εξετάστε έναν άλλο τρόπο για να προσδιορίσετε τις ρίζες των μη γραμμικών εξισώσεων. Η διαδικασία επανάληψης συνίσταται στο γεγονός ότι ως διαδοχικές προσεγγίσεις στην επιθυμητή ρίζα για f(x)=0, λαμβάνονται οι τιμές των σημείων τομής της χορδής με τα τετμημένα των ακραίων σημείων a και b με OX. , συμβολίζεται ως x 1 , ..., x n . Εχουμε:

Για το σημείο όπου η χορδή τέμνεται με τον άξονα OX, η έκφραση θα γραφτεί ως:

Έστω η δεύτερη παράγωγος θετική για x £ (η αντίθετη περίπτωση ανάγεται σε αυτήν που εξετάζουμε αν γράψουμε f(x) = 0). Σε αυτήν την περίπτωση, το γράφημα y \u003d f (x) είναι μια καμπύλη κυρτή στο κάτω μέρος και βρίσκεται κάτω από τη χορδή ΑΒ. Μπορεί να υπάρχουν 2 περιπτώσεις: όταν η συνάρτηση είναι θετική στο σημείο α ή αρνητική στο σημείο β.

Στην πρώτη περίπτωση, επιλέγουμε το άκρο a ως σταθερό και παίρνουμε το σημείο b για x 0. Στη συνέχεια, διαδοχικές προσεγγίσεις σύμφωνα με τον τύπο που παρουσιάζεται παραπάνω σχηματίζουν μια ακολουθία που μειώνεται μονότονα.

Στη δεύτερη περίπτωση, το άκρο b είναι σταθερό στο x 0 = a. Οι τιμές x που λαμβάνονται σε κάθε βήμα επανάληψης σχηματίζουν μια ακολουθία που αυξάνεται μονότονα.

Έτσι, μπορούμε να δηλώσουμε ότι:

Σταθερό στη μέθοδο των χορδών είναι εκείνο το άκρο του τμήματος όπου τα πρόσημα της συνάρτησης και η δεύτερη παράγωγός της δεν συμπίπτουν.
οι προσεγγίσεις για τη ρίζα x - x m - βρίσκονται από αυτήν στην πλευρά όπου η f (x) έχει ένα πρόσημο που δεν συμπίπτει με το πρόσημο της f "" (x).

Οι επαναλήψεις μπορούν να συνεχιστούν μέχρι να ικανοποιηθούν οι συνθήκες για την εγγύτητα των ριζών σε αυτό και στο προηγούμενο βήμα επανάληψης modulo abs(x m - x m - 1)< e.

Τροποποιημένη μέθοδος

Η συνδυασμένη μέθοδος χορδών και εφαπτομένων σας επιτρέπει να καθορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης, προσεγγίζοντάς τις από διαφορετικές πλευρές. Μια τέτοια τιμή, στην οποία το γράφημα f(x) τέμνει το OX, σας επιτρέπει να βελτιώσετε τη λύση πολύ πιο γρήγορα από τη χρήση καθεμιάς από τις μεθόδους ξεχωριστά.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε τις ρίζες f(x)=0 αν υπάρχουν στο . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους που περιγράφονται παραπάνω. Ωστόσο, είναι καλύτερο να δοκιμάσετε έναν συνδυασμό τους, ο οποίος θα αυξήσει σημαντικά την ακρίβεια της ρίζας.

Θεωρούμε την περίπτωση με μια αρχική προσέγγιση που αντιστοιχεί στην προϋπόθεση ότι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος έχουν διαφορετικά πρόσημα σε ένα συγκεκριμένο σημείο x.

Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της εφαπτομένης σάς επιτρέπει να βρείτε μια ρίζα με περίσσεια εάν x 0 =b και η μέθοδος που χρησιμοποιεί χορδές σε σταθερό άκρο b οδηγεί στην εύρεση μιας κατά προσέγγιση ρίζας με μειονέκτημα.

Φόρμουλες που χρησιμοποιούνται:

Τώρα η επιθυμητή ρίζα x πρέπει να αναζητηθεί στο διάστημα. Στο επόμενο βήμα, πρέπει να εφαρμόσετε τη συνδυασμένη μέθοδο ήδη σε αυτό το τμήμα. Προχωρώντας έτσι, παίρνουμε τύπους της μορφής:

Εάν υπάρχει διαφορά στο πρόσημο μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου, τότε, επιχειρηματολογώντας με παρόμοιο τρόπο, για να τελειοποιήσουμε τη ρίζα, λαμβάνουμε τους ακόλουθους αναδρομικούς τύπους:

Ως προϋπόθεση, η εκτιμώμενη ανισότητα | b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Εάν η παραπάνω ανισότητα είναι αληθής, τότε ένα σημείο λαμβάνεται ως ρίζα της μη γραμμικής εξίσωσης σε ένα δεδομένο διάστημα, το οποίο βρίσκεται ακριβώς στη μέση μεταξύ των λύσεων που βρέθηκαν σε ένα συγκεκριμένο βήμα επανάληψης.

Η συνδυαστική μέθοδος εφαρμόζεται εύκολα στο περιβάλλον TURBO PASCAL. Με έντονη επιθυμία, μπορείτε να προσπαθήσετε να πραγματοποιήσετε όλους τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα στο πρόγραμμα Excel.

Στην τελευταία περίπτωση, επιλέγονται πολλές στήλες για την επίλυση του προβλήματος με χρήση συγχορδιών και χωριστά για τη μέθοδο που προτείνει ο Isaac Newton.

Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε γραμμή χρησιμοποιείται για την καταγραφή των υπολογισμών σε ένα συγκεκριμένο επαναληπτικό βήμα για δύο μεθόδους. Στη συνέχεια, στο αριστερό μέρος της περιοχής λύσης, στην ενεργή σελίδα εργασίας, επισημαίνεται μια στήλη στην οποία εισάγεται το αποτέλεσμα του υπολογισμού της ενότητας της διαφοράς στις τιμές του επόμενου βήματος επανάληψης για καθεμία από τις μεθόδους. Ένα άλλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή των αποτελεσμάτων των υπολογισμών σύμφωνα με τον τύπο υπολογισμού της λογικής κατασκευής "IF", που χρησιμοποιείται για να διαπιστωθεί εάν η προϋπόθεση πληρούται ή όχι.

Τώρα ξέρετε πώς να λύσετε μιγαδικές εξισώσεις. Η μέθοδος εφαπτομένης, όπως έχετε ήδη δει, εφαρμόζεται πολύ απλά, τόσο στο Pascal όσο και στο Excel. Επομένως, μπορείτε πάντα να καθορίσετε τις ρίζες μιας εξίσωσης που είναι δύσκολο ή αδύνατο να λυθεί χρησιμοποιώντας τύπους.

«Σε αντίθεση με τη μέθοδο των συγχορδιών, στη μέθοδο των εφαπτομένων, αντί για χορδή, σχεδιάζεται μια εφαπτομένη στην καμπύλη σε κάθε βήμα y=F(x)στο x=x nκαι αναζητείται το σημείο τομής της εφαπτομένης με τον άξονα της τετμημένης:

Ο τύπος για την προσέγγιση (n+1) είναι:

Αν ένα F(a)*F"(a)>0, Χ 0 =α, σε διαφορετική περίπτωση Χ 0 =β.

Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να διαπιστωθεί ότι:

Παράδειγμα:

Ας δοθεί η ακόλουθη εργασία:Βελτιώστε τις ρίζες της εξίσωσης cos(2x)+x-5=0μέθοδος εφαπτομένης με ακρίβεια 0,00001.

Αρχικά, πρέπει να αποφασίσετε τι x0 ισούται με: είτε a είτε b. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

Να βρείτε την παράγωγο πρώτης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Να βρείτε την παράγωγο δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f2(x)=-4cos(2x).

Το αποτέλεσμα είναι το εξής:

Εφόσον x0=b, πρέπει να κάνετε τα εξής:

Συμπληρώστε τα κελιά ως εξής (προσέξτε τα ονόματα και τους αριθμούς των στηλών κατά τη συμπλήρωση - πρέπει να είναι ίδια όπως στο σχήμα):

Στο κελί A6, εισαγάγετε τον τύπο =D5.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών B5:E5 και συμπληρώστε την περιοχή των κελιών B6:E6 σύροντας.

Επιλέξτε το εύρος των κελιών A6:E5 και συμπληρώστε το εύρος των κελιών που βρίσκονται χαμηλότερα σύροντας μέχρι να ληφθεί το αποτέλεσμα σε ένα από τα κελιά της στήλης E (εύρος κελιών A6:E9).

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τα εξής:

4. Συνδυασμένη μέθοδος συγχορδιών και εφαπτομένων

Για να επιτευχθεί το πιο ακριβές σφάλμα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν ταυτόχρονα οι μέθοδοι των συγχορδιών και των εφαπτομένων. «Σύμφωνα με τον τύπο των συγχορδιών βρίσκουν Χ n+1και σύμφωνα με τον τύπο της εφαπτομένης - z n+1. Η διαδικασία εύρεσης μιας κατά προσέγγιση ρίζας σταματά μόλις:

Ως ρίζα κατά προσέγγιση, πάρτε μια τιμή ίση με (11) :"[2 ]

Έστω ότι απαιτείται να τελειοποιηθούν οι ρίζες της εξίσωσης cos(2x)+x-5=0 με τη συνδυασμένη μέθοδο με ακρίβεια 0,00001.

Για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας το Excel, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

Δεδομένου ότι στη συνδυασμένη μέθοδο είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ένας από τους τύπους των συγχορδιών και ο τύπος των εφαπτομένων, για απλότητα, θα πρέπει να εισαχθεί η ακόλουθη σημείωση:

Για τύπους συγχορδιών, δηλώνετε:

Η μεταβλητή c θα παίξει το ρόλο του a ή του b ανάλογα με την κατάσταση.

Οι υπόλοιπες σημειώσεις είναι παρόμοιες με αυτές που δίνονται στους τύπους των συγχορδιών, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις μεταβλητές που εισήχθησαν παραπάνω.

Για τον τύπο της εφαπτομένης, συμβολίστε:

Οι υπόλοιπες ονομασίες είναι παρόμοιες με αυτές που δίνονται στον τύπο της εφαπτομένης, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις μεταβλητές που εισήχθησαν παραπάνω.

Να βρείτε την παράγωγο πρώτης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Να βρείτε την παράγωγο δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f2(x)=-4cos(2x).

Το αποτέλεσμα είναι το εξής:

Στο κελί G1, πληκτρολογήστε e και στο G2, πληκτρολογήστε τον αριθμό 0,00001.

Στο κελί H1, πληκτρολογήστε c και στο H2, πληκτρολογήστε τον αριθμό 6, αφού c=b (βλ. κελί F2).

Στο κελί I1 πληκτρολογήστε f(c) και στο I2 εισαγάγετε τον τύπο =COS(2*H2)+H2-5.

Συμπληρώστε τα κελιά διαδοχικά ως εξής (προσέξτε τα ονόματα και τους αριθμούς των στηλών κατά τη συμπλήρωση - πρέπει να είναι ίδια όπως στο σχήμα):

Στο κελί A6, εισαγάγετε τον τύπο =E5.

Στο κελί F6, εισαγάγετε τον τύπο =I5.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών B5:E5 και χρησιμοποιήστε τον δείκτη αυτόματης συμπλήρωσης για να συμπληρώσετε την περιοχή των κελιών B6:E6.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών G5:K5 και συμπληρώστε την περιοχή των κελιών G6:K6 με τον δείκτη αυτόματης συμπλήρωσης.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών A6:K6 και συμπληρώστε όλα τα κάτω κελιά σύροντας μέχρι να ληφθεί η απάντηση σε ένα από τα κελιά της στήλης K (εύρος κελιών A6:K9).

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τα εξής:

Απάντηση: Η ρίζα της εξίσωσης cos(2x)+x-5=0 είναι 5,32976.

Δίνεται η εξίσωση F(x)=0. Αυτό - γενική μορφήμη γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο. Κατά κανόνα, ο αλγόριθμος για την εύρεση της ρίζας αποτελείται από δύο στάδια:

1. Εύρεση της κατά προσέγγιση τιμής της ρίζας ή του τμήματος στον άξονα x που το περιέχει.

2. Βελτίωση της κατά προσέγγιση τιμής της ρίζας σε κάποια ακρίβεια.

Στο πρώτο στάδιο εφαρμόζεται η μέθοδος σταδίου διαχωρισμού ριζών, στο δεύτερο - μία από τις μεθόδους τελειοποίησης (μέθοδος μισής διαίρεσης, μέθοδος Newton, μέθοδος χορδής ή μέθοδος απλής επανάληψης).

μέθοδος βήματος

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 2 - 11x + 30 = 0. Διάστημα αναζήτησης , βήμα h = 0,3. Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας ειδικές ικανότητεςπακέτο Excel. Η σειρά των ενεργειών (βλ. Εικ. 1):

1. Δώστε στυλ στην κεφαλίδα στη γραμμή 1 " Αριθμητικές Μέθοδοιλύσεις μη γραμμικών εξισώσεων».

2. Σχεδιάστε την επικεφαλίδα στη γραμμή 3 "Μέθοδος βήματος".

3. Στα κελιά A6 και C6 και B6 σημειώστε τα δεδομένα της εργασίας.

4. Στα κελιά B9 και C9 γράψτε τους τίτλους των σειρών - αντίστοιχα x και F(x).

5. Στα κελιά B10 και B11 εισαγάγετε τις δύο πρώτες τιμές του ορίσματος - 3 και 3.3.

6. Επιλέξτε τα κελιά B5-B6 και σύρετε τη σειρά δεδομένων στην τελική τιμή (3.3), βεβαιώνοντας ότι η αριθμητική πρόοδος είναι σωστά ευθυγραμμισμένη.

7. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί C10"=B10*B10-11*B10+30".

8. Αντιγράψτε τον τύπο στην υπόλοιπη σειρά χρησιμοποιώντας μεταφορά και απόθεση. Στο διάστημα C10:C18, προκύπτει ένας αριθμός αποτελεσμάτων υπολογισμού της συνάρτησης F(x). Μπορεί να φανεί ότι η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο μία φορά. Η ρίζα της εξίσωσης βρίσκεται στο διάστημα.

9. Για να δημιουργήσετε ένα γράφημα εξάρτησης F(x) χρησιμοποιήστε Insert - Diagram (τύπος "Spot", οι δείκτες συνδέονται με ομαλές καμπύλες).

Μέθοδος διχοτόμησης

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 2 - 11x + 30 = 0. Διάστημα αναζήτησης , με ακρίβεια ε=0,01. Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τις ειδικές δυνατότητες του πακέτου Excel.

1. Εισαγάγετε στο κελί B21 την επικεφαλίδα "Μέθοδος διαίρεσης τμημάτων στη μέση".

2. Εισαγάγετε τα δεδομένα εργασίας στο κελί A23, C23, E23.

3. Στην περιοχή B25:H25, σχεδιάστε την επικεφαλίδα του πίνακα (σειρά B - το αριστερό περίγραμμα του τμήματος "a", σειρά C - το μέσο του τμήματος "x", σειρά D - το δεξιό περίγραμμα του τμήματος "b ", σειρά E - η τιμή της συνάρτησης στο αριστερό περίγραμμα του τμήματος "F( a)", σειρά F - η τιμή της συνάρτησης στη μέση του τμήματος "F(x)", σειρά G - το γινόμενο "F(a) * F(x)", σειρά H - έλεγχος της επίτευξης ακρίβειας "ê F(x)ê<е».

4. Εισαγάγετε τις αρχικές τιμές των άκρων του τμήματος: στο κελί B26 "4.8", στο κελί D26 "5.1".

5. Εισαγάγετε τον τύπο "=(B26+D26)/2" στο κελί C26.

6. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Εισαγάγετε τον τύπο "=E26*F26" στο κελί G26.

9. Εισαγάγετε στο κελί H26 τον τύπο "=IF(ABS(F26)<0.01; ² ρίζα² )".

1 0. Επιλέξτε την περιοχή B21:H21 και σύρετέ την κάθετα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα «root» στη σειρά H (κελί H29, H30).

Μέθοδος εφαπτομένης (Newton)

1. Εισαγάγετε στο κελί J23 την επικεφαλίδα "Μέθοδος εφαπτομένης (Newton)".

2. Εισαγάγετε το κείμενο "e=" στο κελί L23 και την τιμή ακρίβειας "0,00001" στο κελί M23.

3. Στην περιοχή K25:N25, σχεδιάστε την επικεφαλίδα του πίνακα (σειρά K - η τιμή του ορίσματος "x", σειρά L - η τιμή της συνάρτησης "F (x)", σειρά M - η παράγωγος της συνάρτησης " φά¢ (x)", σειρά N - έλεγχος της επίτευξης της ακρίβειας "ê F(x)ê<е».

4. Εισαγάγετε την αρχική τιμή του ορίσματος στο κελί K26"-2".

5. Εισαγάγετε τον τύπο "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" στο κελί L26.

6. Εισαγάγετε τον τύπο "=3*K26*K26+4*K26+3" στο κελί M26.

7. Εισαγάγετε στο κελί N26 τον τύπο "=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί K27"=K26-L26/M26".

9. Επιλέξτε την περιοχή L27:N27 και σύρετέ την κάθετα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα "root" στη σειρά N (κελί N30).

μέθοδος συγχορδίας

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Ακρίβεια ε=0,01. Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τις ειδικές δυνατότητες του πακέτου Excel.

1. Εισαγάγετε την επικεφαλίδα «Μέθοδος συγχορδίας» στο κελί B32.

2. Εισαγάγετε το κείμενο "e=" στο κελί C34 και την τιμή "0.00001" στο κελί E34.

3. Στην περιοχή B36:D36, σχεδιάστε την επικεφαλίδα του πίνακα (σειρά B - η τιμή του ορίσματος "x", σειρά C - η τιμή της συνάρτησης "F (x)", σειρά D - έλεγχος της επίτευξης ακρίβειας "ê F(x)ê<е».

4. Στα κελιά B37 και B38, εισαγάγετε την αρχική τιμή του ορίσματος"-2" και. "-ένας"

5. Εισαγάγετε στο κελί C37 τον τύπο "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5".

6. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί D37"=IF(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)".

8. Επιλέξτε την περιοχή C39:D39 και σύρετέ την κάθετα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα «root» στη σειρά D (κελί D43).

Απλή μέθοδος επανάληψης

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 2 - 11x + 30 = 0. Το διάστημα αναζήτησης είναι , με ακρίβεια e = 0,05.

1. Εισαγάγετε στο κελί K32 την επικεφαλίδα "Μέθοδος απλής επανάληψης"

2. Εισαγάγετε το κείμενο "e =" στο κελί N34 και την τιμή ακρίβειας "0,05" στο κελί O34.

3. Επιλέξτε μια συνάρτηση j (x) που ικανοποιεί τη συνθήκη σύγκλισης. Στην περίπτωσή μας, μια τέτοια συνάρτηση είναι η συνάρτηση S(x)=(x*x+30)/11.

4. Στην περιοχή K38:N38, σχεδιάστε την κεφαλίδα του πίνακα (σειρά K - η τιμή του ορίσματος "x", σειρά L - η τιμή της συνάρτησης "F (x)", σειρά M - η τιμή της βοηθητικής συνάρτησης " S (x)", σειρά N - έλεγχος της επίτευξης ακρίβειας "ê F(x)ê<е».

5. Στο κελί K39, εισαγάγετε την αρχική τιμή του ορίσματος "4.8".

6. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Εισαγάγετε τον τύπο "=(K39*K39+30)/11" στο κελί M39.

8. Εισαγάγετε στο κελί N39 τον τύπο "=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Εισαγάγετε τον τύπο "=M39" στο κελί K40.

1 0. Αντιγράψτε τα κελιά L39:N39 στα κελιά L40:N40.

έντεκα . Επιλέξτε την περιοχή L40:N40 και σύρετέ την κάθετα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα «root» στη σειρά N (κελί N53).

Εικ.1 Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων στο Excel