Ίσα πτυχία. Μέτρο μοιρών τόξου κύκλου

Γωνία είναι ένα σχήμα που αποτελείται από ένα σημείο - την κορυφή της γωνίας και δύο διαφορετικές ημιευθείες που προέρχονται από αυτό το σημείο - τις πλευρές της γωνίας (Εικ. 14). Αν οι πλευρές μιας γωνίας είναι συμπληρωματικές ημιευθείες, τότε η γωνία ονομάζεται ευθεία γωνία.

Μια γωνία υποδεικνύεται είτε υποδεικνύοντας την κορυφή της, είτε υποδεικνύοντας τις πλευρές της, είτε υποδεικνύοντας τρία σημεία: μια κορυφή και δύο σημεία στις πλευρές της γωνίας. Η λέξη "γωνία" αντικαθίσταται μερικές φορές

Η γωνία στο Σχήμα 14 μπορεί να αναπαρασταθεί με τρεις τρόπους:

Μια ακτίνα c λέγεται ότι διέρχεται μεταξύ των πλευρών μιας γωνίας αν προέρχεται από την κορυφή της και τέμνει κάποιο τμήμα με άκρα στις πλευρές της γωνίας.

Στο σχήμα 15, η ακτίνα c διέρχεται μεταξύ των πλευρών της γωνίας αφού τέμνει το τμήμα

Στην περίπτωση μιας ευθείας γωνίας, οποιαδήποτε ακτίνα που εκπέμπεται από την κορυφή της και διαφορετική από τις πλευρές της διέρχεται μεταξύ των πλευρών της γωνίας.

Οι γωνίες μετρώνται σε μοίρες. Αν πάρουμε μια ευθεία γωνία και τη διαιρέσουμε με το 180 ίσες γωνίεςέπειτα μέτρο βαθμούκαθεμία από αυτές τις γωνίες ονομάζεται μοίρα.

Οι κύριες ιδιότητες των γωνιών μέτρησης εκφράζονται στο ακόλουθο αξίωμα:

Κάθε γωνία έχει ένα συγκεκριμένο βαθμό μέτρησης, μεγάλο μηδέν. Η ανεπτυγμένη γωνία είναι 180°. Το μέτρο της μοίρας μιας γωνίας είναι ίσο με το άθροισμα των μέτρων βαθμών των γωνιών στις οποίες διαιρείται από οποιαδήποτε ακτίνα που διέρχεται μεταξύ των πλευρών της.

Αυτό σημαίνει ότι εάν η ακτίνα c διέρχεται μεταξύ των πλευρών της γωνίας, τότε η γωνία είναι ίση με το άθροισμα των γωνιών

Το μέτρο της μοίρας μιας γωνίας βρίσκεται χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο.

Μια γωνία ίση με 90° ονομάζεται ορθή γωνία. Μια γωνία μικρότερη από 90° ονομάζεται οξεία γωνία. Μια γωνία μεγαλύτερη από 90° και μικρότερη από 180° ονομάζεται αμβλεία γωνία.

Ας διατυπώσουμε την κύρια ιδιότητα της τοποθέτησης γωνιών.

Από οποιαδήποτε ημιευθεία σε ένα δεδομένο ημιεπίπεδο, μπορεί κανείς να διαγράψει μια γωνία με δεδομένη μοίρα μέτρο μικρότερη από 180 °, και μόνο μία.

Θεωρήστε τη μισή ευθεία α. Το επεκτείνουμε πέρα ​​από το σημείο εκκίνησης Α. Η ευθεία που προκύπτει χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Το Σχήμα 16 δείχνει πώς να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο για να παραμερίσετε από την ημιευθεία α στο άνω ημιεπίπεδο μια γωνία με δεδομένο μέτρο μοιρών 60 °.

Τ. 1. 2. Εάν δύο γωνίες παραμερίζονται από μια δεδομένη ημιευθεία σε ένα ημιεπίπεδο, τότε η πλευρά της μικρότερης γωνίας, η οποία είναι διαφορετική από τη δεδομένη ημιευθεία, διέρχεται μεταξύ των πλευρών της μεγαλύτερης γωνίας .

Έστω οι γωνίες από τη δεδομένη ημιευθεία a σε ένα ημιεπίπεδο και ας είναι η γωνία μικρότερη από τη γωνία . Το θεώρημα 1.2 δηλώνει ότι η ακτίνα διέρχεται μεταξύ των πλευρών της γωνίας (Εικ. 17).

Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι μια ακτίνα που προέρχεται από την κορυφή της, διέρχεται μεταξύ των πλευρών και χωρίζει τη γωνία στη μέση. Στο σχήμα 18, η ακτίνα είναι η διχοτόμος της γωνίας

Στη γεωμετρία, υπάρχει η έννοια της επίπεδης γωνίας. Επίπεδη γωνία είναι ένα τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από δύο διαφορετικές ακτίνες που προέρχονται από το ίδιο σημείο. Αυτές οι ακτίνες ονομάζονται πλευρές της γωνίας. Υπάρχουν δύο επίπεδες γωνίες με δεδομένες πλευρές. Λέγονται έξτρα. Στο Σχήμα 19, μια από τις επίπεδες γωνίες με πλευρές α και

Σημαντικές σημειώσεις!
1. Εάν αντί για τύπους βλέπετε abracadabra, καθαρίστε την προσωρινή μνήμη. Πώς να το κάνετε στο πρόγραμμα περιήγησής σας είναι γραμμένο εδώ:
2. Πριν ξεκινήσετε να διαβάζετε το άρθρο, δώστε προσοχή στον πλοηγό μας για το μέγιστο χρήσιμος πόροςΓια

Βασικοί όροι.

Πόσο καλά θυμάστε όλα τα ονόματα που σχετίζονται με τον κύκλο; Για κάθε περίπτωση, θυμόμαστε - δείτε τις εικόνες - ανανεώστε τις γνώσεις σας.

Πρώτα - Το κέντρο ενός κύκλου είναι ένα σημείο από το οποίο όλα τα σημεία του κύκλου έχουν την ίδια απόσταση.

Κατα δευτερον - ακτίνα κύκλου - ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το κέντρο και ένα σημείο στον κύκλο.

Υπάρχουν πολλές ακτίνες (όσες είναι και τα σημεία σε έναν κύκλο), αλλά όλες οι ακτίνες έχουν το ίδιο μήκος.

Μερικές φορές για συντομία ακτίνα κύκλουτο λένε μήκος τμήματος"το κέντρο είναι ένα σημείο στον κύκλο", και όχι το ίδιο το τμήμα.

Και να τι συμβαίνει αν συνδέσετε δύο σημεία σε έναν κύκλο? Επίσης κόψιμο;

Έτσι, αυτό το τμήμα ονομάζεται "χορδή".

Όπως και στην περίπτωση της ακτίνας, η διάμετρος ονομάζεται συχνά το μήκος ενός τμήματος που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο και διέρχεται από το κέντρο. Παρεμπιπτόντως, πώς σχετίζονται η διάμετρος και η ακτίνα; Κοίτα προσεκτικά. Φυσικά, η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου.

Εκτός από συγχορδίες, υπάρχουν και διατέμνων.

Θυμάσαι το πιο απλό;

Η κεντρική γωνία είναι η γωνία μεταξύ δύο ακτίνων.

Και τώρα η εγγεγραμμένη γωνία

Μια εγγεγραμμένη γωνία είναι η γωνία μεταξύ δύο χορδών που τέμνονται σε ένα σημείο ενός κύκλου.

Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι η εγγεγραμμένη γωνία βασίζεται σε ένα τόξο (ή σε μια χορδή).

Κοίτα την εικόνα:

Μέτρηση τόξων και γωνιών.

Περιφέρεια. Τα τόξα και οι γωνίες μετρώνται σε μοίρες και ακτίνια. Πρώτον, για πτυχία. Δεν υπάρχουν προβλήματα για τις γωνίες - πρέπει να μάθετε πώς να μετράτε το τόξο σε μοίρες.

Μέτρο μοίρας (τιμή τόξου) είναι η τιμή (σε μοίρες) της αντίστοιχης κεντρικής γωνίας

Τι σημαίνει εδώ η λέξη «αντίστοιχο»; Ας δούμε προσεκτικά:

Βλέπετε τα δύο τόξα και τις δύο κεντρικές γωνίες; Λοιπόν, ένα μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη γωνία (και δεν πειράζει που είναι μεγαλύτερη), και ένα μικρότερο τόξο αντιστοιχεί σε μια μικρότερη γωνία.

Έτσι, συμφωνήσαμε: το τόξο περιέχει τον ίδιο αριθμό μοιρών με την αντίστοιχη κεντρική γωνία.

Και τώρα για το τρομερό - για τα ακτίνια!

Τι είδους ζώο είναι αυτό το «ραδιανό»;

Φανταστείτε αυτό: Τα ακτίνια είναι ένας τρόπος μέτρησης γωνίας... σε ακτίνες!

Η γωνία ακτινίου είναι κεντρική γωνία, του οποίου το μήκος τόξου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου.

Τότε τίθεται το ερώτημα - πόσα ακτίνια βρίσκονται σε ευθυγραμμισμένη γωνία;

Με άλλα λόγια: πόσες ακτίνες «ταιριάζουν» σε μισό κύκλο; Ή με άλλο τρόπο: πόσες φορές το μήκος του μισού κύκλου είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα;

Αυτή η ερώτηση έγινε από επιστήμονες στην αρχαία Ελλάδα.

Και έτσι, μετά από μια μακρά αναζήτηση, βρήκαν ότι η αναλογία της περιφέρειας προς την ακτίνα δεν θέλει να εκφραστεί σε «ανθρώπινους» αριθμούς, όπως κ.λπ.

Και δεν γίνεται καν να εκφραστεί αυτή η στάση μέσα από τις ρίζες. Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι δεν μπορεί κανείς να πει ότι ο μισός κύκλος είναι διπλάσιος ή πολλαπλάσιος της ακτίνας! Μπορείτε να φανταστείτε πόσο εκπληκτικό ήταν να ανακαλύπτεις ανθρώπους για πρώτη φορά;! Για την αναλογία του μήκους ενός μισού κύκλου προς την ακτίνα, αρκούσαν οι «κανονικοί» αριθμοί. Έπρεπε να βάλω ένα γράμμα.

Άρα, είναι ένας αριθμός που εκφράζει το λόγο του μήκους ενός ημικυκλίου προς την ακτίνα.

Τώρα μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: πόσα ακτίνια βρίσκονται σε ευθεία γωνία; Έχει ακτίνα. Ακριβώς επειδή ο μισός κύκλος έχει διπλάσια ακτίνα.

Αρχαίοι (και όχι τόσο) άνθρωποι μέσα στους αιώνες (!) προσπάθησαν να υπολογίσουν αυτόν τον μυστηριώδη αριθμό με μεγαλύτερη ακρίβεια, για να τον εκφράσουν καλύτερα (τουλάχιστον κατά προσέγγιση) μέσα από «συνηθισμένους» αριθμούς. Και τώρα είμαστε απίστευτα τεμπέληδες - μας αρκούν δύο σημάδια μετά την πολυάσχολη, το έχουμε συνηθίσει

Σκεφτείτε το, αυτό σημαίνει, για παράδειγμα, ότι το y ενός κύκλου με ακτίνα 1 είναι περίπου ίσο σε μήκος και είναι απλά αδύνατο να γράψετε αυτό το μήκος με έναν "ανθρώπινο" αριθμό - χρειάζεστε ένα γράμμα. Και τότε αυτή η περιφέρεια θα είναι ίση. Και φυσικά, η περιφέρεια της ακτίνας είναι ίση.

Ας επιστρέψουμε στα radians.

Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι μια ευθεία γωνία περιέχει ένα ακτίνιο.

Τι έχουμε:

Τόσο χαρούμενος, αυτό είναι χαρούμενος. Με τον ίδιο τρόπο, λαμβάνεται ένα πιάτο με τις πιο δημοφιλείς γωνίες.

Η αναλογία μεταξύ των τιμών των εγγεγραμμένων και κεντρικών γωνιών.

Υπάρχει ένα εκπληκτικό γεγονός:

Η τιμή της εγγεγραμμένης γωνίας είναι η μισή από την αντίστοιχη κεντρική γωνία.

Δείτε πώς φαίνεται αυτή η δήλωση στην εικόνα. «Αντίστοιχη» κεντρική γωνία είναι εκείνη στην οποία τα άκρα συμπίπτουν με τα άκρα της εγγεγραμμένης γωνίας και η κορυφή βρίσκεται στο κέντρο. Και ταυτόχρονα, η «αντίστοιχη» κεντρική γωνία πρέπει να «κοιτάει» στην ίδια χορδή () με την εγγεγραμμένη γωνία.

Γιατί έτσι? Ας ρίξουμε μια ματιά πρώτα σε απλή υπόθεση. Αφήστε μια από τις συγχορδίες να περάσει από το κέντρο. Τελικά, αυτό συμβαίνει μερικές φορές, σωστά;

Τι συμβαίνει εδώ? Σκεφτείτε. Είναι ισοσκελές - άλλωστε, και είναι ακτίνες. Λοιπόν, (τους σημείωσε).

Τώρα ας δούμε. Αυτή είναι η εξωτερική γωνία! Υπενθυμίζουμε ότι μια εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα δύο εσωτερικών που δεν γειτνιάζουν με αυτήν και γράφουμε:

Αυτό είναι! Ένα απροσδόκητο αποτέλεσμα. Υπάρχει όμως και κεντρική γωνία για το εγγεγραμμένο.

Έτσι, για αυτήν την περίπτωση, αποδείξαμε ότι η κεντρική γωνία είναι διπλάσια από την εγγεγραμμένη γωνία. Αλλά πονάει ειδική περίπτωση: είναι αλήθεια ότι η συγχορδία δεν περνάει πάντα ευθεία από το κέντρο; Αλλά τίποτα, τώρα αυτή η ειδική περίπτωση θα μας βοηθήσει πολύ. Δείτε: δεύτερη περίπτωση: αφήστε το κέντρο να βρίσκεται μέσα.

Ας κάνουμε αυτό: σχεδιάστε μια διάμετρο. Και μετά... βλέπουμε δύο εικόνες που έχουν ήδη αναλυθεί στην πρώτη περίπτωση. Επομένως, έχουμε ήδη

Έτσι (στο σχέδιο, α)

Λοιπόν, και έμεινε τελευταία περίπτωση: Κέντρο έξω από τη γωνία.

Κάνουμε το ίδιο: σχεδιάζουμε μια διάμετρο μέσα από ένα σημείο. Όλα είναι ίδια, αλλά αντί για το άθροισμα - η διαφορά.

Αυτό είναι όλο!

Ας σχηματίσουμε τώρα δύο κύριες και πολύ σημαντικές συνέπειες της δήλωσης ότι η εγγεγραμμένη γωνία είναι η μισή της κεντρικής.

Συμπέρασμα 1

Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που τέμνουν το ίδιο τόξο είναι ίσες.

Εικονογραφούμε:

Εγγεγραμμένες γωνίες με βάση το ίδιο τόξο (έχουμε αυτό το τόξο) - αμέτρητος, μπορεί να φαίνονται πολύ διαφορετικά, αλλά έχουν όλες την ίδια κεντρική γωνία (), που σημαίνει ότι όλες αυτές οι εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Συνέπεια 2

Η γωνία με βάση τη διάμετρο είναι ορθή.

Κοιτάξτε: σε ποια γωνία είναι κεντρική;

Φυσικά, . Αλλά είναι ίσος! Λοιπόν, γι 'αυτό (καθώς και πολλές εγγεγραμμένες γωνίες με βάση) και ισούται με.

Γωνία ανάμεσα σε δύο συγχορδίες και σετ

Τι γίνεται όμως αν η γωνία που μας ενδιαφέρει ΔΕΝ είναι εγγεγραμμένη και ΔΕΝ είναι κεντρική, αλλά, για παράδειγμα, κάπως έτσι:

ή σαν αυτό;

Είναι δυνατόν να το εκφράσουμε με κάποιο τρόπο μέσα από κάποιες κεντρικές γωνίες; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Κοίτα, μας ενδιαφέρει.

α) (ως εξωτερική γωνία για). Αλλά - εγγεγραμμένο, με βάση το τόξο - . - εγγεγραμμένο, με βάση το τόξο - .

Για ομορφιά λένε:

Η γωνία μεταξύ των χορδών είναι ίση με το ήμισυ του αθροίσματος των γωνιακών τιμών των τόξων που περιλαμβάνονται σε αυτή τη γωνία.

Αυτό είναι γραμμένο για συντομία, αλλά φυσικά, όταν χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο, πρέπει να έχετε κατά νου τις κεντρικές γωνίες

β) Και τώρα - «έξω»! Πώς να είσαι; Ναι, σχεδόν το ίδιο! Μόνο τώρα (και πάλι εφαρμόστε την ιδιότητα της εξωτερικής γωνίας σε). Αυτό είναι τώρα.

Και αυτό σημαίνει . Ας φέρουμε ομορφιά και συντομία στους δίσκους και τις διατυπώσεις:

Η γωνία μεταξύ των τμημάτων είναι ίση με το ήμισυ της διαφοράς στις γωνιακές τιμές των τόξων που περικλείονται σε αυτή τη γωνία.

Λοιπόν, τώρα είστε οπλισμένοι με όλες τις βασικές γνώσεις σχετικά με τις γωνίες που σχετίζονται με έναν κύκλο. Εμπρός, στην επίθεση των καθηκόντων!

ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΕΓΓΡΑΦΗ ΓΩΝΙΑ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι κύκλος, ξέρει και ένα πεντάχρονο παιδί, σωστά; Οι μαθηματικοί, όπως πάντα, έχουν έναν περίεργο ορισμό για αυτό το θέμα, αλλά δεν θα τον δώσουμε (βλ.), αλλά μάλλον θα θυμόμαστε πώς ονομάζονται τα σημεία, οι ευθείες και οι γωνίες που σχετίζονται με έναν κύκλο.

Σημαντικοί Όροι

Πρώτα:

κέντρο κύκλου- ένα σημείο από το οποίο οι αποστάσεις από το οποίο σε όλα τα σημεία του κύκλου είναι ίδιες.

Κατα δευτερον:

Υπάρχει μια άλλη αποδεκτή έκφραση εδώ: «η συγχορδία συσπά το τόξο». Εδώ, εδώ στο σχήμα, για παράδειγμα, μια χορδή συστέλλει ένα τόξο. Και αν η συγχορδία περάσει ξαφνικά από το κέντρο, τότε έχει ένα ειδικό όνομα: "διάμετρος".

Παρεμπιπτόντως, πώς σχετίζονται η διάμετρος και η ακτίνα; Κοίτα προσεκτικά. Φυσικά,

Και τώρα - τα ονόματα για τις γωνίες.

Φυσικά, έτσι δεν είναι; Οι πλευρές της γωνίας βγαίνουν από το κέντρο, πράγμα που σημαίνει ότι η γωνία είναι κεντρική.

Εδώ είναι που μερικές φορές προκύπτουν δυσκολίες. Δώσε προσοχή - ΚΑΜΙΑ γωνία μέσα σε έναν κύκλο δεν είναι εγγεγραμμένη,αλλά μόνο ένα του οποίου η κορυφή «κάθεται» στον ίδιο τον κύκλο.

Ας δούμε τη διαφορά στις εικόνες:

Λένε επίσης διαφορετικά:

Υπάρχει ένα δύσκολο σημείο εδώ. Τι είναι μια «αντίστοιχη» ή «δική» κεντρική γωνία; Μόνο μια γωνία με κορυφή στο κέντρο του κύκλου και τελειώνει στα άκρα του τόξου; Όχι σίγουρα με αυτόν τον τρόπο. Κοίτα την εικόνα.

Ένα από αυτά, ωστόσο, δεν μοιάζει καν με γωνία - είναι μεγαλύτερο. Αλλά σε ένα τρίγωνο δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερες γωνίες, αλλά σε έναν κύκλο - μπορεί κάλλιστα! Άρα: ένα μικρότερο τόξο ΑΒ αντιστοιχεί σε μικρότερη γωνία (πορτοκαλί), και ένα μεγαλύτερο σε μεγαλύτερη. Ακριβώς όπως, έτσι δεν είναι;

Σχέση εγγεγραμμένων και κεντρικών γωνιών

Θυμηθείτε μια πολύ σημαντική δήλωση:

Στα σχολικά βιβλία τους αρέσει να γράφουν το ίδιο γεγονός ως εξής:

Αλήθεια, με μια κεντρική γωνία, η διατύπωση είναι πιο απλή;

Ωστόσο, ας βρούμε μια αντιστοιχία μεταξύ των δύο διατυπώσεων και ταυτόχρονα ας μάθουμε πώς να βρίσκουμε την «αντίστοιχη» κεντρική γωνία και το τόξο στο οποίο η εγγεγραμμένη γωνία «ακουμπάει» στις φιγούρες.

Κοιτάξτε, εδώ είναι ένας κύκλος και μια εγγεγραμμένη γωνία:

Πού βρίσκεται η «αντίστοιχη» κεντρική του γωνία;

Ας δούμε ξανά:

Ποιος είναι ο κανόνας;

Αλλά! Σε αυτή την περίπτωση, είναι σημαντικό οι εγγεγραμμένες και οι κεντρικές γωνίες να «βλέπουν» στην ίδια πλευρά του τόξου. Για παράδειγμα:

Παραδόξως, μπλε! Γιατί το τόξο είναι μακρύ, μεγαλύτερο από τον μισό κύκλο! Μην μπερδεύεστε λοιπόν ποτέ!

Ποια συνέπεια μπορεί να συναχθεί από το «μισό» της εγγεγραμμένης γωνίας;

Και εδώ, για παράδειγμα:

Γωνία με βάση τη διάμετρο

Έχετε ήδη παρατηρήσει ότι στους μαθηματικούς αρέσει πολύ να μιλάνε για το ίδιο πράγμα. διαφορετικές λέξεις? Γιατί είναι για αυτούς; Βλέπετε, η γλώσσα των μαθηματικών, αν και τυπική, είναι ζωντανή, και επομένως, όπως και στο συνηθισμένη γλώσσα, κάθε φορά θέλω να πω τον τρόπο που είναι πιο βολικό. Λοιπόν, έχουμε ήδη δει τι είναι «η γωνία στηρίζεται στο τόξο». Και φανταστείτε, η ίδια εικόνα ονομάζεται «η γωνία στηρίζεται στη συγχορδία». Σε τι? Ναι, φυσικά, σε αυτόν που τραβάει αυτό το τόξο!

Πότε είναι πιο βολικό να βασίζεσαι σε μια συγχορδία παρά σε ένα τόξο;

Λοιπόν, συγκεκριμένα, όταν αυτή η χορδή έχει διάμετρο.

Υπάρχει μια εκπληκτικά απλή, όμορφη και χρήσιμη δήλωση για μια τέτοια κατάσταση!

Κοιτάξτε: εδώ είναι ένας κύκλος, μια διάμετρος και μια γωνία που στηρίζεται πάνω του.

ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΕΓΓΡΑΦΗ ΓΩΝΙΑ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

1. Βασικές έννοιες.

3. Μετρήσεις τόξων και γωνιών.

Μια ακτινική γωνία είναι μια κεντρική γωνία της οποίας το μήκος τόξου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου.

Αυτός είναι ένας αριθμός που εκφράζει την αναλογία του μήκους ενός ημικυκλίου προς την ακτίνα.

Η περιφέρεια της ακτίνας είναι ίση με.

4. Η αναλογία μεταξύ των τιμών των εγγεγραμμένων και κεντρικών γωνιών.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ cool.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν έχεις διαβάσει μέχρι το τέλος, τότε είσαι στο 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, είναι ... είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχής παράδοσηΕνιαία Κρατική Εξέταση, για εισαγωγή στο ινστιτούτο επί προϋπολογισμού και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, ισόβια.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Άνθρωποι που έλαβαν μια καλή εκπαίδευση, κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έλαβαν. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως γιατί πολλά ανοίγονται μπροστά τους. περισσότερες δυνατότητεςκαι η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκέψου μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από τους άλλους στις εξετάσεις και τελικά θα είσαι ... πιο ευτυχισμένος;

ΓΕΜΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στις εξετάσεις δεν θα ερωτηθείτε θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση προβλημάτων εγκαίρως.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΛΑ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα το κάνετε εγκαίρως.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε μια συλλογή όπου θέλετε αναγκαστικά με λύσεις λεπτομερής ανάλυση και αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τις προτείνουμε.

Για να μπορέσετε να βοηθήσετε τις εργασίες μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σεμιναρίου - Αγοράστε ένα σχολικό βιβλίο - 499 ρούβλια

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για όλη τη διάρκεια ζωής του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοητό» και το «Ξέρω πώς να λύνω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε!

Εντολή

Ένα τόξο είναι ένα μέρος ενός κύκλου που περικλείεται μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται σε αυτόν τον κύκλο. Οποιοδήποτε τόξο μπορεί να εκφραστεί με όρους αριθμητικών τιμών. Αυτήν κύριο χαρακτηριστικόμαζί με το μήκος είναι η τιμή του μέτρου του βαθμού.

Όταν όμως επιλέγεται ένα τόξο στον κύκλο, σχηματίζεται ένα άλλο. Επομένως, για να καταλάβετε ξεκάθαρα για τι είδους τόξο μιλάμε, σημειώστε ένα ακόμη σημείο στο επιλεγμένο τόξο, για παράδειγμα, C. Στη συνέχεια θα πάρει τη μορφή ABC.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που σχηματίζεται από δύο σημεία που οριοθετούν ένα τόξο είναι μια χορδή.

Το μέτρο μοίρας ενός τόξου μπορεί να βρεθεί μέσω της τιμής της εγγεγραμμένης γωνίας, η οποία, έχοντας ένα σημείο κορυφής στον ίδιο τον κύκλο, βασίζεται σε αυτό το τόξο. Μια τέτοια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία και το μέτρο της μοίρας της είναι ίσο με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται.

Υπάρχει επίσης μια κεντρική γωνία στον κύκλο. Ακουμπάει επίσης στο επιθυμητό τόξο και η κορυφή του δεν βρίσκεται πλέον στον κύκλο, αλλά στο κέντρο. Και αυτός αριθμητική αξίαδεν είναι πλέον ίσο με το ήμισυ του μέτρου του τόξου, αλλά με την ακέραια τιμή του.

Έχοντας καταλάβει πώς υπολογίζεται το τόξο μέσω της γωνίας που βασίζεται σε αυτό, μπορείτε να εφαρμόσετε αυτόν τον νόμο αντίστροφη κατεύθυνσηκαι να εξαγάγετε τον κανόνα ότι μια εγγεγραμμένη γωνία που βασίζεται στη διάμετρο είναι ορθή γωνία. Εφόσον η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη, σημαίνει ότι οποιοδήποτε από τα τόξα έχει τιμή 180 μοιρών. Επομένως, η εγγεγραμμένη γωνία είναι 90 μοίρες.

Επίσης, με βάση τη μέθοδο αναζήτησης της τιμής μοίρας του τόξου, ισχύει ο κανόνας ότι οι γωνίες που βασίζονται σε ένα τόξο έχουν ίσης αξίας.

Η τιμή του βαθμού μέτρησης ενός τόξου χρησιμοποιείται συχνά για τον υπολογισμό της περιφέρειας ενός κύκλου ή του ίδιου του τόξου. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο L= π*R*α/180.

Η λέξη "" έχει διάφορες ερμηνείες. Στη γεωμετρία, μια γωνία είναι ένα μέρος ενός επιπέδου που οριοθετείται από δύο ακτίνες που εξέρχονται από ένα σημείο - μια κορυφή. Πότε μιλαμεγια ορθές, οξείες, ανεπτυγμένες γωνίες, τότε είναι ακριβώς γεωμετρικές γωνίες.

Όπως κάθε σχήμα στη γεωμετρία, οι γωνίες μπορούν να συγκριθούν. Η ισότητα των γωνιών καθορίζεται από την κίνηση. Μια γωνία είναι εύκολο να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη. Η διαίρεση σε τρία μέρη είναι λίγο πιο δύσκολη, αλλά μπορεί ακόμα να γίνει με χάρακα και πυξίδα. Παρεμπιπτόντως, αυτό το έργο φαινόταν αρκετά δύσκολο. Είναι γεωμετρικά εύκολο να περιγράψουμε ότι μια γωνία είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από μια άλλη.

Η μονάδα μέτρησης για τις γωνίες είναι το 1/180 της διευρυμένης γωνίας. Η τιμή της γωνίας είναι ένας αριθμός που δείχνει πόσες φορές η γωνία που επιλέχθηκε ως μονάδα μέτρησης ταιριάζει στο εν λόγω σχήμα.

Κάθε γωνία έχει μέτρο μοιρών μεγαλύτερο από το μηδέν. Η ευθεία γωνία είναι 180 μοίρες. Το μέτρο μοίρας μιας γωνίας είναι ίσο με το άθροισμαβαθμοί μέτρα των γωνιών στις οποίες χωρίζεται από οποιαδήποτε ακτίνα στο επίπεδο που οριοθετείται από τις πλευρές του.

Από οποιαδήποτε δοκό δεδομένο αεροπλάνομπορείτε να αφήσετε κατά μέρος μια γωνία με μέτρο βαθμών που δεν υπερβαίνει το 180. Επιπλέον, θα υπάρχει μόνο μία τέτοια γωνία. Το μέτρο μιας επίπεδης γωνίας, που είναι μέρος ενός ημιεπίπεδου, είναι το μέτρο μοίρας μιας γωνίας με παρόμοιες πλευρές. Το μέτρο του επιπέδου της γωνίας που περιέχει το ημιεπίπεδο είναι η τιμή 360 ~ α, όπου α είναι το μέτρο μοίρας της συμπληρωματικής επίπεδης γωνίας.

Το μέτρο μοίρας μιας γωνίας καθιστά δυνατή τη μετάβαση από τη γεωμετρική περιγραφή τους σε μια αριθμητική. Έτσι, μια ορθή γωνία είναι μια γωνία ίση με 90 μοίρες, μια αμβλεία γωνία είναι μια γωνία μικρότερη από 180 μοίρες, αλλά μεγαλύτερη από 90, αιχμηρή γωνίαδεν υπερβαίνει τους 90 βαθμούς.

Εκτός από τις μοίρες, υπάρχει μια ακτινική μέτρηση μιας γωνίας. Στην επιπεδομετρία, το μήκος είναι L, η ακτίνα είναι r και η αντίστοιχη κεντρική γωνία είναι α. Επιπλέον, αυτές οι παράμετροι σχετίζονται με τη σχέση α = L/r. Αυτή είναι η βάση του ακτινικού μέτρου των γωνιών. Αν L=r, τότε η γωνία α θα είναι ίση με ένα ακτίνιο. Άρα, το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους ενός τόξου που τραβιέται από μια αυθαίρετη ακτίνα και περικλείεται μεταξύ των πλευρών αυτής της γωνίας προς την ακτίνα του τόξου. Πλήρης στροφήσε μέτρηση βαθμού(360 μοίρες) αντιστοιχεί σε 2π σε ακτίνια. Το ένα είναι 57,2958 μοίρες.

Σχετικά βίντεο

Πηγές:

• τύπος μέτρησης μοιρών γωνιών

Η μέτρηση των επίπεδων τιμών σε μοίρες επινοήθηκε στην αρχαία Βαβυλώνα πολύ πριν από την αρχή της εποχής μας. Οι κάτοικοι αυτής της πολιτείας προτιμούσαν τον σεξουαλικό λογισμό, οπότε η διαίρεση των γωνιών σε 180 ή 360 μονάδες σήμερα φαίνεται λίγο περίεργη. Ωστόσο, προσφέρεται σε σύγχρονο σύστημαΟι μονάδες μέτρησης SI, πολλαπλάσια του pi, δεν είναι λιγότερο περίεργες. Αυτές οι δύο επιλογές δεν περιορίζονται στους χαρακτηρισμούς των γωνιών που χρησιμοποιούνται σήμερα, επομένως το πρόβλημα της μετατροπής των τιμών τους σε ένα βαθμό μέτρησης προκύπτει αρκετά συχνά.

Εντολή

Εάν πρέπει να μετατρέψετε την τιμή της γωνίας σε ακτίνια σε ένα μέτρο μοιρών, προχωρήστε από το γεγονός ότι μια μοίρα αντιστοιχεί στον αριθμό των ακτίνων ίσο με το 1/180 του αριθμού pi. Αυτή η μαθηματική σταθερά έχει άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, επομένως ο συντελεστής μετατροπής είναι επίσης ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Αυτή είναι η απολύτως ακριβής τιμή στη μορφή δεκαδικό κλάσμαδεν μπορεί να ληφθεί, επομένως ο συντελεστής μετατροπής πρέπει να στρογγυλοποιηθεί. Για παράδειγμα, με ακρίβεια ένα δισεκατομμυριοστό της μονάδας, ο υπολογισμένος συντελεστής θα είναι 0,017453293. Αφού στρογγυλοποιήσετε στον επιθυμητό αριθμό δεκαδικών ψηφίων, διαιρέστε τον αρχικό αριθμό των ακτίνων με αυτόν τον παράγοντα και παίρνετε το μέτρο μοίρας της γωνίας.

Μέτρο μοίρας γωνίας. Το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας. Μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Στο προηγούμενο μάθημα κατακτήσαμε την καταμέτρηση γωνιών σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Έμαθε πώς να μετράει θετικά και αρνητικές γωνίες. Συνειδητοποίησε πώς να σχεδιάσεις μια γωνία μεγαλύτερη από 360 μοίρες. Ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τη μέτρηση των γωνιών. Ειδικά με τον αριθμό "Πι", που προσπαθεί να μας μπερδέψει σε δύσκολες εργασίες, ναι ...

Οι τυπικές εργασίες στην τριγωνομετρία με τον αριθμό "Pi" επιλύονται αρκετά καλά. Η οπτική μνήμη βοηθά. Αλλά οποιαδήποτε απόκλιση από το πρότυπο - γκρεμίζει επί τόπου! Για να μην πέσει - καταλαβαίνουναπαραίτητη. Αυτό που θα κάνουμε με επιτυχία τώρα. Κατά μία έννοια - καταλαβαίνουμε τα πάντα!

Ετσι, τι μετράνε οι γωνίες; ΣΤΟ σχολικό μάθημαΗ τριγωνομετρία χρησιμοποιεί δύο μέτρα: μοίρα μέτρο μιας γωνίαςκαι ακτινικό μέτρο γωνίας. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτά τα μέτρα. Χωρίς αυτό, στην τριγωνομετρία - πουθενά.

Μέτρο μοίρας γωνίας.

Έχουμε συνηθίσει κατά κάποιο τρόπο σε βαθμούς. Η γεωμετρία, τουλάχιστον, πέρασε ... Ναι, και στη ζωή συναντάμε συχνά τη φράση "γύρισε 180 μοίρες", για παράδειγμα. Πτυχίο, με λίγα λόγια, ένα απλό πράγμα...

Ναί? Απάντησε μου τότε τι είναι πτυχίο; Τι δεν λειτουργεί αμέσως από το ρόπαλο; Κάτι...

Τα πτυχία εφευρέθηκαν στην αρχαία Βαβυλώνα. Ήταν πολύ καιρό πριν ... 40 αιώνες πριν ... Και μόλις το σκέφτηκαν. Πήραν και έσπασαν τον κύκλο σε 360 ίσα μέρη. 1 μοίρα είναι το 1/360 ενός κύκλου. Και αυτό είναι όλο. Μπορεί να σπάσει σε 100 κομμάτια. Ή μέχρι το 1000. Αλλά το έσπασαν στο 360. Παρεμπιπτόντως, γιατί ακριβώς στο 360; Γιατί το 360 είναι καλύτερο από το 100; Το 100 φαίνεται να είναι κάπως πιο ομοιόμορφο... Προσπαθήστε να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση. Ή αδύναμη κατά Αρχαία Βαβυλώνα?

Κάπου την ίδια στιγμή Αρχαία Αίγυπτοςβασανίζεται από ένα άλλο θέμα. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η περιφέρεια ενός κύκλου από το μήκος της διαμέτρου του; Και έτσι μέτρησαν, και έτσι... Όλα έγιναν λίγο περισσότερα από τρία. Αλλά κατά κάποιο τρόπο αποδείχθηκε δασύτριχος, άνισος ... Αλλά αυτοί, οι Αιγύπτιοι, δεν φταίνε. Μετά από αυτούς, υπέφεραν για άλλους 35 αιώνες. Μέχρι που τελικά απέδειξαν ότι όσο ψιλοκόβουμε τον κύκλο σε ίσα κομμάτια, από τέτοια κομμάτια να κάνουμε λείοςτο μήκος της διαμέτρου είναι αδύνατο ... Κατ 'αρχήν, είναι αδύνατο. Λοιπόν, πόσες φορές η περιφέρεια είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο, φυσικά. Σχετικά με. 3,1415926... φορές.

Αυτός είναι ο αριθμός "Pi". Αυτό είναι δασύτριχο, τόσο δασύτριχο. Μετά την υποδιαστολή - ένας άπειρος αριθμός ψηφίων χωρίς καμία σειρά ... Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι. Αυτό, παρεμπιπτόντως, σημαίνει ότι από ίσα κομμάτια ενός κύκλου, η διάμετρος λείοςμην διπλώνετε. Ποτέ.

Για Πρακτική εφαρμογηΣυνηθίζεται να απομνημονεύετε μόνο δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή. Θυμάμαι:

Εφόσον καταλάβαμε ότι η περιφέρεια ενός κύκλου είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο κατά "Pi" φορές, είναι λογικό να θυμόμαστε τον τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου:

Οπου μεγάλοείναι η περιφέρεια, και ρεείναι η διάμετρός του.

Χρήσιμο στη γεωμετρία.

Για γενική εκπαίδευσηΘα προσθέσω ότι ο αριθμός "Πι" δεν βρίσκεται μόνο στη γεωμετρία ... Στα πιο διαφορετικά τμήματα των μαθηματικών, και ειδικά στη θεωρία πιθανοτήτων, αυτός ο αριθμός εμφανίζεται συνεχώς! Από μόνο του. Πέρα από τις επιθυμίες μας. Σαν αυτό.

Αλλά πίσω στους βαθμούς. Έχετε καταλάβει γιατί στην αρχαία Βαβυλώνα ο κύκλος χωριζόταν σε 360 ίσα μέρη; Αλλά όχι 100, για παράδειγμα; Δεν? ΕΝΤΑΞΕΙ. Θα σας δώσω μια έκδοση. Δεν μπορείς να ρωτήσεις τους αρχαίους Βαβυλώνιους... Για την κατασκευή, ή, ας πούμε, την αστρονομία, βολεύει να χωρίσεις έναν κύκλο σε ίσα μέρη. Τώρα υπολογίστε με ποιους αριθμούς διαιρούνται εντελώς 100, και ποιες - 360; Και σε ποια έκδοση αυτών των διαχωριστικών εντελώς- περισσότερο? Αυτό το τμήμα είναι πολύ βολικό για τους ανθρώπους. Αλλά...

Όπως αποδείχθηκε πολύ αργότερα από την Αρχαία Βαβυλώνα, δεν αρέσουν σε όλους τα πτυχία. Τα ανώτερα μαθηματικά δεν τους αρέσουν... ανώτερα μαθηματικά- η κυρία είναι σοβαρή, τακτοποιημένη σύμφωνα με τους νόμους της φύσης. Και αυτή η κυρία δηλώνει: "Σήμερα σπάσατε τον κύκλο σε 360 μέρη, αύριο θα τον σπάσετε σε 100 μέρη, μεθαύριο σε 245 ... Και τι να κάνω; Όχι πραγματικά ..." Έπρεπε να υπακούσω. Δεν μπορείς να ξεγελάσεις τη φύση...

Έπρεπε να εισαγάγω ένα μέτρο της γωνίας που δεν εξαρτάται από τις ανθρώπινες αντιλήψεις. Συναντώ - ακτίνιο!

Το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας.

Τι είναι το ακτίνι; Ο ορισμός του ακτινίου βασίζεται ούτως ή άλλως σε κύκλο. Γωνία 1 ακτινίου είναι η γωνία που κόβει ένα τόξο από έναν κύκλο του οποίου το μήκος είναι ( μεγάλο) ισούται με το μήκος της ακτίνας ( R). Κοιτάμε τις εικόνες.

Τόσο μικρή γωνία, δεν υπάρχει σχεδόν τίποτα... Μετακινούμε τον κέρσορα πάνω από την εικόνα (ή αγγίζουμε την εικόνα στο tablet) και βλέπουμε περίπου ένα ακτίνιο. L=R

Νιώθεις τη διαφορά;

Ένα ακτίνιο είναι πολύ μεγαλύτερο από μια μοίρα. Πόσες φορές?

Ας δούμε την επόμενη εικόνα. Πάνω στο οποίο σχεδίασα ένα ημικύκλιο. Η διευρυμένη γωνία είναι, φυσικά, 180 ° σε μέγεθος.

Και τώρα θα κόψω αυτό το ημικύκλιο σε ακτίνια! Περνάμε πάνω από την εικόνα και βλέπουμε ότι 3 ακτίνια με ουρά ταιριάζουν σε 180 °.

Ποιος μπορεί να μαντέψει τι είναι αυτή η αλογοουρά!;

Ναί! Αυτή η ουρά είναι 0,1415926.... Γεια σου Πι, δεν σε ξεχάσαμε ακόμα!

Πράγματι, υπάρχουν 3,1415926 ... ακτίνια στις 180 μοίρες. Όπως μπορείτε να φανταστείτε, το να γράφετε συνεχώς 3.1415926... είναι άβολο. Επομένως, αντί για αυτόν τον άπειρο αριθμό, γράφουν πάντα απλά:

Και εδώ είναι ο αριθμός στο Διαδίκτυο

είναι άβολο να γράψω ... Επομένως, στο κείμενο το γράφω με το όνομα - "Πι". Μην μπερδεύεστε...

Τώρα, είναι πολύ σημαντικό να γράψουμε μια κατά προσέγγιση ισότητα:

Ή ακριβής ισότητα:

Προσδιορίστε πόσες μοίρες είναι σε ένα ακτίνιο. Πως? Εύκολα! Αν υπάρχουν 180 μοίρες σε 3,14 ακτίνια, τότε 1 ακτίνιο είναι 3,14 φορές λιγότερο! Δηλαδή, διαιρούμε την πρώτη εξίσωση (ο τύπος είναι επίσης εξίσωση!) με το 3,14:

Αυτή η αναλογία είναι χρήσιμη για να θυμάστε. Υπάρχουν περίπου 60° σε ένα ακτίνιο. Στην τριγωνομετρία, συχνά πρέπει να καταλάβετε, να αξιολογήσετε την κατάσταση. Εδώ βοηθάει πολύ η γνώση.

Αλλά η κύρια δεξιότητα αυτού του θέματος είναι μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα.

Αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια με τον αριθμό "pi", όλα είναι πολύ απλά. Γνωρίζουμε ότι "pi" ακτίνια = 180°. Έτσι αντικαθιστούμε αντί για "Pi" ακτίνια - 180 °. Παίρνουμε τη γωνία σε μοίρες. Μειώνουμε ό,τι μειώνεται, και η απάντηση είναι έτοιμη. Για παράδειγμα, πρέπει να μάθουμε πόσο βαθμούςστη γωνία «Πι»/2 ακτίνιο? Εδώ γράφουμε:

Ή, πιο εξωτική έκφραση:

Εύκολο, σωστά;

Η αντίστροφη μετάφραση είναι λίγο πιο περίπλοκη. Αλλά όχι πολύ. Εάν η γωνία δίνεται σε μοίρες, πρέπει να καταλάβουμε ποια είναι η μία μοίρα σε ακτίνια και να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό με τον αριθμό των μοιρών. Τι είναι 1° σε ακτίνια;

Εξετάζουμε τον τύπο και συνειδητοποιούμε ότι αν 180° = "Pi" ακτίνια, τότε η 1° είναι 180 φορές μικρότερη. Ή, με άλλα λόγια, διαιρούμε την εξίσωση (ο τύπος είναι και εξίσωση!) με το 180. Δεν χρειάζεται να παριστάνουμε το "Pi" ως 3,14, γράφεται πάντα με ένα γράμμα ούτως ή άλλως. Παίρνουμε ότι ένας βαθμός ισούται με:

Αυτό είναι όλο. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό των μοιρών με αυτήν την τιμή για να πάρετε τη γωνία σε ακτίνια. Για παράδειγμα:

Ή, ομοίως:

Όπως μπορείτε να δείτε, σε μια χαλαρή συνομιλία με παρεκβάσειςΑποδείχθηκε ότι τα ακτίνια είναι πολύ απλά. Ναι, και η μετάφραση είναι χωρίς προβλήματα ... Και το "Πι" είναι ένα εντελώς ανεκτό πράγμα ... Από πού λοιπόν η σύγχυση!;

Θα αποκαλύψω το μυστικό. Το γεγονός είναι ότι στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γράφεται το εικονίδιο μοιρών. Είναι πάντα. Για παράδειγμα, sin35°. Αυτό είναι το ημίτονο 35 βαθμούς . Και το εικονίδιο Radians ( χαρούμενος) δεν γράφεται! Αυτός υπονοείται. Είτε η τεμπελιά των μαθηματικών άρπαξε, είτε κάτι άλλο... Αλλά αποφάσισαν να μην γράψουν. Εάν δεν υπάρχουν εικονίδια μέσα στο ημιτονο - συνεφαπτομένη, τότε η γωνία - σε ακτίνια ! Για παράδειγμα, το cos3 είναι το συνημίτονο των τριών ακτίνια .

Αυτό οδηγεί σε παρεξηγήσεις ... Ένα άτομο βλέπει το "Pi" και πιστεύει ότι είναι 180 °. Οποτεδήποτε και οπουδήποτε. Παρεμπιπτόντως, αυτό λειτουργεί. Για την ώρα, ενώ τα παραδείγματα είναι στάνταρ. Αλλά το Pi είναι ένας αριθμός! Ο αριθμός 3,14 δεν είναι μοίρες! Αυτό είναι ακτίνια "Pi" = 180°!

Για άλλη μια φορά: Το «Πι» είναι αριθμός! 3.14. Παράλογο, αλλά αριθμός. Το ίδιο με το 5 ή το 8. Μπορείτε, για παράδειγμα, να κάνετε περίπου βήματα "Pi". Τρία βήματα και λίγο παραπάνω. Ή αγοράστε κιλά γλυκών "Πι". Αν πιαστεί ένας μορφωμένος πωλητής...

Το "Πι" είναι ένας αριθμός! Τι, σε κατάλαβα με αυτή τη φράση; Έχεις ήδη καταλάβει τα πάντα; ΕΝΤΑΞΕΙ. Ας ελέγξουμε. Μπορείτε να μου πείτε ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος;

Ή τι είναι λιγότερο;

Αυτό είναι από μια σειρά ελαφρώς μη τυπικών ερωτήσεων που μπορεί να οδηγήσουν σε λήθαργο ...

Αν πέσατε κι εσείς σε λήθαργο, θυμηθείτε το ξόρκι: «Πι» είναι ένας αριθμός! 3.14. Στο πρώτο κιόλας ημίτονο, υποδεικνύεται ξεκάθαρα ότι η γωνία - σε βαθμούς! Επομένως, είναι αδύνατο να αντικαταστήσετε το "Pi" κατά 180 °! Οι βαθμοί "Pi" είναι περίπου 3,14 μοίρες. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε:

Δεν υπάρχουν σύμβολα στο δεύτερο ημίτονο. Εκεί λοιπόν - ακτίνια! Εδώ, η αντικατάσταση του "Pi" με 180 ° θα λειτουργήσει αρκετά καλά. Μετατρέποντας τα ακτίνια σε μοίρες, όπως γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:

Μένει να συγκρίνουμε αυτές τις δύο ημιτονιές. Τι. ξέχασες πώς; Με τη βοήθεια ενός τριγωνομετρικού κύκλου, φυσικά! Σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σχεδιάζουμε κατά προσέγγιση γωνίες 60° και 1,05°. Εξετάζουμε τα ημίτονο αυτών των γωνιών. Με λίγα λόγια, όλα, όπως στο τέλος του θέματος για τον τριγωνομετρικό κύκλο, είναι ζωγραφισμένα. Σε έναν κύκλο (ακόμα και στον στραβό!) θα φανεί καθαρά αυτό αμαρτία60°σημαντικά περισσότερο από αμαρτία 1,05°.

Ακριβώς το ίδιο θα κάνουμε και με τα συνημίτονα. Στον κύκλο σχεδιάζουμε γωνίες περίπου 4 βαθμούςκαι 4 ακτίνιο(θυμηθείτε, τι είναι περίπου 1 ακτίνιο;). Ο κύκλος θα τα πει όλα! Φυσικά, το cos4 είναι μικρότερο από το cos4°.

Ας εξασκηθούμε στο χειρισμό των μέτρων γωνίας.

Μετατρέψτε αυτές τις γωνίες από μοίρες σε ακτίνια:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Θα πρέπει να καταλήξετε με αυτές τις τιμές σε ακτίνια (με διαφορετική σειρά!)

0

Παρεμπιπτόντως, έχω επισημάνει ειδικά τις απαντήσεις σε δύο γραμμές. Λοιπόν, ας καταλάβουμε ποιες είναι οι γωνίες στην πρώτη γραμμή; Είτε σε μοίρες είτε σε ακτίνια;

Ναί! Αυτοί είναι οι άξονες του συστήματος συντεταγμένων! Εάν κοιτάξετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε η κινούμενη πλευρά της γωνίας σε αυτές τις τιμές ταιριάζει ακριβώς στον άξονα. Αυτές οι αξίες πρέπει να είναι γνωστές ειρωνικά. Και σημείωσα τη γωνία των 0 μοιρών (0 ακτίνια) όχι μάταια. Και τότε κάποιοι δεν μπορούν να βρουν αυτή τη γωνία στον κύκλο με κανέναν τρόπο ... Και, κατά συνέπεια, μπερδεύονται στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του μηδέν ... Ένα άλλο πράγμα είναι ότι η θέση της κινούμενης πλευράς σε μηδέν μοίρες συμπίπτει με τη θέση στις 360 °, άρα οι συμπτώσεις στον κύκλο είναι πάντα δίπλα.

Στη δεύτερη γραμμή υπάρχουν και ειδικές γωνίες... Αυτές είναι 30°, 45° και 60°. Και τι το ιδιαίτερο έχουν; Τίποτα ιδιαίτερο. Η μόνη διαφορά μεταξύ αυτών των γωνιών και όλων των άλλων είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε για αυτές τις γωνίες. όλα. Και πού βρίσκονται, και ποιες είναι αυτές οι γωνίες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ας πούμε την τιμή sin100°δεν χρειάζεται να ξέρεις. ΑΛΛΑ αμαρτία45°- Σε παρακαλώ να είσαι ευγενικός! Αυτή είναι υποχρεωτική γνώση, χωρίς την οποία δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε στην τριγωνομετρία ... Αλλά περισσότερα για αυτό στο επόμενο μάθημα.

Μέχρι τότε, ας συνεχίσουμε την εξάσκηση. Μετατρέψτε αυτές τις γωνίες από ακτίνια σε μοίρες:

Θα πρέπει να έχετε αποτελέσματα όπως αυτό (σε ένα χάος):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Συνέβη; Τότε μπορούμε να το υποθέσουμε μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα- δεν είναι πια το πρόβλημά σας.) Αλλά η μετάφραση γωνιών είναι το πρώτο βήμα για την κατανόηση της τριγωνομετρίας. Στο ίδιο μέρος, πρέπει ακόμα να εργαστείτε με ημιτονοειδή-ημιτονοειδή. Ναι, και με τις εφαπτομένες, και τις συνεφαπτομένες ...

Το δεύτερο δυνατό βήμα είναι τη δυνατότητα προσδιορισμού της θέσης οποιασδήποτε γωνίας τριγωνομετρικός κύκλος. Και σε μοίρες και σε ακτίνια. Σχετικά με αυτήν ακριβώς την ικανότητα, θα σας υποδείξω βαρετά σε όλη την τριγωνομετρία, ναι ...) Εάν γνωρίζετε τα πάντα (ή νομίζετε ότι γνωρίζετε τα πάντα) για τον τριγωνομετρικό κύκλο και την καταμέτρηση των γωνιών στον τριγωνομετρικό κύκλο, μπορείτε να το ελέγξετε έξω. Λύστε αυτές τις απλές εργασίες:

1. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτουν οι γωνίες:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Εύκολα? Συνεχίζουμε:

2. Σε ποιο τέταρτο πέφτουν οι γωνίες:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°;

Επίσης κανένα πρόβλημα; Λοιπόν, κοίτα...)

3. Μπορείτε να τοποθετήσετε γωνίες σε τέταρτα:

Μπόρεσες; Λοιπόν, δίνεις..)

4. Σε ποιους άξονες θα πέσει η γωνία:

και γωνία:

Είναι και εύκολο; Χμ...)

5. Σε ποιο τέταρτο πέφτουν οι γωνίες:

Και δούλεψε!? Λοιπόν, πραγματικά δεν ξέρω...)

6. Προσδιορίστε σε ποιο τέταρτο εμπίπτουν οι γωνίες:

1, 2, 3 και 20 ακτίνια.

Θα δώσω την απάντηση μόνο στην τελευταία ερώτηση (είναι λίγο δύσκολη) της τελευταίας εργασίας. Μια γωνία 20 ακτίνων θα πέσει στο πρώτο τέταρτο.

Δεν θα δώσω τις υπόλοιπες απαντήσεις από απληστία.) Μόνο αν εσύ δεν αποφάσισεκάτι αμφιβολίαως αποτέλεσμα, ή δαπανήθηκαν για την εργασία Νο. 4 περισσότερο από 10 δευτερόλεπταείστε κακώς προσανατολισμένοι σε κύκλο. Αυτό θα είναι το πρόβλημά σας σε όλη την τριγωνομετρία. Είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από αυτό (πρόβλημα, όχι τριγωνομετρία!) αμέσως. Αυτό μπορεί να γίνει στο θέμα: Πρακτική εργασία με τριγωνομετρικό κύκλο στην ενότητα 555.

Λέει πώς να επιλύσετε τέτοιες εργασίες απλά και σωστά. Λοιπόν, αυτά τα καθήκοντα λύνονται, φυσικά. Και η τέταρτη εργασία λύθηκε σε 10 δευτερόλεπτα. Ναι, έτσι αποφάσισε ότι ο καθένας μπορεί!

Εάν είστε απολύτως σίγουροι για τις απαντήσεις σας και δεν σας ενδιαφέρουν απλοί και απροβλημάτιστοι τρόποι εργασίας με radians, δεν μπορείτε να επισκεφτείτε το 555. Δεν επιμένω.)

καλή κατανόηση- αρκετά καλός λόγοςγια να προχωρήσουμε!)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.