Γωνία μεταξύ δύο ευθειών σε επίπεδο τύπο. Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο

γωνίαμεταξύ των γραμμών στο διάστημα θα ονομάσουμε οποιαδήποτε από παρακείμενες γωνίεςσχηματίζεται από δύο ευθείες γραμμές αυθαίρετο σημείοπαράλληλα με τα δεδομένα.

Ας δίνονται δύο ευθείες στο διάστημα:

Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και . Αφού , τότε σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε

Οι συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών είναι ισοδύναμες με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και:

Δύο ευθείες είναι παράλληλεςεάν και μόνο εάν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλ. μεγάλο 1 παράλληλος μεγάλο 2 αν και μόνο αν είναι παράλληλη .

Δύο ευθείες κάθετοςαν και μόνο αν το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντελεστών είναι ίσο με μηδέν: .

Στο στόχος μεταξύ γραμμής και επιπέδου

Αφήστε τη γραμμή ρε- όχι κάθετο στο επίπεδο θ.
ρε′− προβολή ευθείας γραμμής ρεστο επίπεδο θ?
Η μικρότερη από τις γωνίες μεταξύ ευθειών ρεκαι ρε"θα καλέσουμε γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου.
Ας το συμβολίσουμε ως φ=( ρε,θ)
Αν ένα ρε⊥θ , τότε ( ρε,θ)=π/2

Oi→ι→κ→− ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες.
Επίπεδη εξίσωση:

θ: Τσεκούρι+Με+cz+ρε=0

Θεωρούμε ότι η ευθεία δίνεται από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης: ρε[Μ 0,Π→]
Διάνυσμα n→(ΕΝΑ,σι,ντο)⊥θ
Στη συνέχεια, μένει να μάθουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων n→ και Π→, συμβολίστε το ως γ=( n→,Π→).

Αν η γωνία γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Αν η γωνία γ>π/2 , τότε η ζητούμενη γωνία φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Επειτα, γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδουμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Απ 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √ΕΝΑ 2+σι 2+ντο 2√Π 21+Π 22+Π 23

Ερώτηση 29. Η έννοια της τετραγωνικής μορφής. Το πρόσημο-ορισμότητα των τετραγωνικών μορφών.

Τετραγωνική μορφή j (x 1, x 2, ..., x n) n πραγματικές μεταβλητές x 1, x 2, ..., x nονομάζεται άθροισμα της μορφής
, (1)

όπου aij είναι κάποιοι αριθμοί που ονομάζονται συντελεστές. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να το υποθέσουμε aij = ένα τζι.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται έγκυρος,αν aij О GR. Πίνακας τετραγωνικής μορφήςονομάζεται ο πίνακας που αποτελείται από τους συντελεστές του. Η τετραγωνική μορφή (1) αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό συμμετρικό πίνακα
δηλ. Α Τ = Α. Συνεπώς, τετραγωνική μορφή(1) μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας j ( Χ) = x T Ah, όπου x Τ = (Χ 1 Χ 2 … x n). (2)

Και αντίστροφα, οποιοσδήποτε συμμετρικός πίνακας (2) αντιστοιχεί σε μια μοναδική τετραγωνική μορφή μέχρι τη σημείωση των μεταβλητών.

Η κατάταξη της τετραγωνικής μορφήςονομάζεται κατάταξη του πίνακα του. Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται μη εκφυλισμένος,αν ο πίνακας του είναι μη μοναδικός ΑΛΛΑ. (θυμηθείτε ότι η μήτρα ΑΛΛΑονομάζεται μη εκφυλισμένος αν η ορίζουσα του είναι μη μηδενική). Διαφορετικά, η τετραγωνική μορφή είναι εκφυλισμένη.

θετική οριστική(ή αυστηρά θετικό) εάν

j ( Χ) > 0 , Για οποιονδηποτε Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), εκτός Χ = (0, 0, …, 0).

Μήτρα ΑΛΛΑθετική οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) ονομάζεται και θετική οριστική. Επομένως, μια θετική οριστική τετραγωνική μορφή αντιστοιχεί σε μια μοναδική θετική οριστική μήτρα και αντίστροφα.

Ο τετραγωνικός τύπος (1) ονομάζεται αρνητική οριστική(ή αυστηρά αρνητικό) αν

j ( Χ) < 0, для любого Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), Εκτός Χ = (0, 0, …, 0).

Ομοίως όπως παραπάνω, ένας αρνητικός-ορισμένος τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται επίσης αρνητικός-ορισμένος.

Επομένως, μια θετικά (αρνητικά) οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) φτάνει στην ελάχιστη (μέγιστη) τιμή j ( Χ*) = 0 για Χ* = (0, 0, …, 0).

Σημειώστε ότι τα περισσότερα απόΟι τετραγωνικοί τύποι δεν είναι πρόσημο-ορισμένοι, δηλαδή δεν είναι ούτε θετικοί ούτε αρνητικοί. Τέτοιες τετραγωνικές μορφές εξαφανίζονται όχι μόνο στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, αλλά και σε άλλα σημεία.

Πότε n> 2, απαιτούνται ειδικά κριτήρια για τον έλεγχο της προσήμου-οριστικότητας μιας τετραγωνικής μορφής. Ας τα εξετάσουμε.

Μείζονες ανήλικοιΗ τετραγωνική μορφή λέγεται ανήλικα:

δηλαδή πρόκειται για ανηλίκους της τάξης 1, 2, …, nμήτρες ΑΛΛΑβρίσκεται στα αριστερά πάνω γωνία, η τελευταία από αυτές συμπίπτει με την ορίζουσα του πίνακα ΑΛΛΑ.

Κριτήριο θετικής βεβαιότητας (κριτήριο Sylvester)

Χ) = x T Ahείναι θετική οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα ΑΛΛΑήταν θετικά, δηλαδή: Μ 1 > 0, Μ 2 > 0, …, M n > 0. Κριτήριο αρνητικής βεβαιότητας Για τον τετραγωνικό τύπο j ( Χ) = x T Ahείναι αρνητική οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές οι κύριες ελάσσονες άρτιας τάξης να είναι θετικές και αυτές της περιττής τάξης αρνητικές, δηλ.: Μ 1 < 0, Μ 2 > 0, Μ 3 < 0, …, (–1)n

Θα είναι χρήσιμο για κάθε μαθητή που προετοιμάζεται για την εξέταση στα μαθηματικά να επαναλάβει το θέμα «Βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των γραμμών». Όπως δείχνουν τα στατιστικά στοιχεία, όταν περνάτε μια δοκιμή πιστοποίησης, οι εργασίες για αυτός ο τομέαςη στερεομετρία προκαλεί δυσκολίες για ένας μεγάλος αριθμόςΦοιτητές. Ταυτόχρονα, εργασίες που απαιτούν εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθειών βρίσκονται στο USE τόσο βασικό όσο και επίπεδο προφίλ. Αυτό σημαίνει ότι όλοι πρέπει να μπορούν να τα λύσουν.

Βασικές στιγμές

Υπάρχουν 4 τύποι αμοιβαίας διάταξης γραμμών στο χώρο. Μπορούν να συμπίπτουν, να τέμνονται, να είναι παράλληλες ή τέμνουσες. Η γωνία μεταξύ τους μπορεί να είναι οξεία ή ευθεία.

Για να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στην Ενιαία Κρατική Εξέταση ή, για παράδειγμα, στη λύση, οι μαθητές στη Μόσχα και σε άλλες πόλεις μπορούν να χρησιμοποιήσουν διάφορες μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων σε αυτό το τμήμα της στερεομετρίας. Μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία με κλασικές κατασκευές. Για να γίνει αυτό, αξίζει να μάθετε τα βασικά αξιώματα και θεωρήματα της στερεομετρίας. Ο μαθητής πρέπει να είναι σε θέση να δημιουργήσει λογικά συλλογισμούς και να δημιουργήσει σχέδια για να φέρει την εργασία σε ένα επιπεδομετρικό πρόβλημα.

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διανύσματος-συντεταγμένων εφαρμόζοντας απλοί τύποι, κανόνες και αλγόριθμους. Το κύριο πράγμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εκτελέσετε σωστά όλους τους υπολογισμούς. Ακονίστε τις δεξιότητές σας στην επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία και σε άλλα θέματα σχολικό μάθημαθα σε βοηθήσει εκπαιδευτικό έργο«Σκολκόβο».

Oh-oh-oh-oh-oh ... καλά, είναι τσίγκινο, σαν να διαβάζεις την πρόταση στον εαυτό σου =) Ωστόσο, τότε η χαλάρωση θα βοηθήσει, ειδικά επειδή αγόρασα κατάλληλα αξεσουάρ σήμερα. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω, μέχρι το τέλος του άρθρου να κρατήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : παρακαλώ θυμηθείτε μαθηματικό σημάδιδιασταύρωση, θα συμβεί πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός «λάμδα» που οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με -1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης μειωθεί κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στο μάθημα. Η έννοια της γραμμικής (μη) εξάρτησης διανυσμάτων. Διανυσματική βάση. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Παράδειγμα 1

Για να μάθετε αμοιβαία διευθέτησηαπευθείας:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με δείκτες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και συνεχίζουν, κατευθείαν στο Kashchei the Deathless =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Με αυτόν τον τρόπο,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο παράγοντας αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτή η εξίσωση(ταιριάζει σε οποιοδήποτε νούμερο γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το εξεταζόμενο πρόβλημα προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα λόγο να προσφέρω κάτι ανεξάρτητη λύση, είναι καλύτερο να βάλετε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στο γεωμετρικό θεμέλιο:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού η απλούστερη εργασίατιμωρεί αυστηρά τον Αηδόνι τον Ληστή.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Δηλώστε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «de».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης των κάθε λογής γρίφους.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι πολύ λογικός τρόπος επίλυσης. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Κάναμε μια μικρή δουλειά με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν είναι λίγο ενδιαφέρον, γι' αυτό σκεφτείτε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Εδώ είναι για σας γεωμετρική αίσθησηδύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο αγνώστουςείναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Γραφικός τρόποςείναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, εξετάσαμε έναν γραφικό τρόπο επίλυσης συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής με την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων. Για να αναπτύξετε τις σχετικές δεξιότητες, επισκεφθείτε το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Είναι βολικό να χωρίσετε το πρόβλημα σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλούς γεωμετρικά προβλήματα, και θα επικεντρωθώ σε αυτό επανειλημμένα.

Ολοκληρωμένη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ένα ζευγάρι παπούτσια δεν έχει ακόμη φθαρεί, καθώς φτάσαμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας ξεκινήσουμε με ένα τυπικό και πολύ σημαντικό έργο. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με τη δεδομένη και τώρα η καλύβα στα πόδια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Λύση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευσηλύσεις:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνσυμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Μας ένα διασκεδαστικό ταξίδισυνεχίζει:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν με τον συντομότερο τρόπο. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά με το ελληνικό γράμμα "ro", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "em" έως την ευθεία "de".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα ορίσω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματοςεύρημα .

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης ίση με 2,2 μονάδες.

Εδώ μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς, αλλά στον πύργο ένας μικροϋπολογιστής βοηθάει πολύ, επιτρέποντάς σας να μετράτε κοινά κλάσματα. Το έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα το προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι επίλυσης. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά καλύτερα προσπαθήστε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι καταφέρατε να διασκορπίσετε καλά την εφευρετικότητά σας.

Γωνία μεταξύ δύο γραμμών

Όποια κι αν είναι η γωνία, τότε το τζάμπ:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμένακατακόκκινη γωνία.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αρνητικό αποτέλεσμακαι δεν πρέπει να σας εκπλήσσει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για μια αρνητική γωνία, είναι επιτακτική ανάγκη να υποδειχθεί ο προσανατολισμός της (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Λύσηκαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο γραμμές δίνονται από εξισώσειςσε γενική εικόνα:

Αν ευθεία όχι κάθετο, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πλέον μεγάλη προσοχήγυρίστε στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου εξαφανίζεται και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των γραμμών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Με τη χρήση αντίστροφη συνάρτησηεύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Εάν θέλετε πραγματικά να πάρετε θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση . Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Εντολή

Σημείωση

Περίοδος τριγωνομετρική συνάρτησηη εφαπτομένη είναι ίση με 180 μοίρες, που σημαίνει ότι οι γωνίες κλίσης των ευθειών δεν μπορούν, modulo, να υπερβούν αυτήν την τιμή.

Χρήσιμες συμβουλές

Αν ένα παράγοντες κλίσηςείναι ίσες μεταξύ τους, τότε η γωνία μεταξύ τέτοιων γραμμών είναι ίση με 0, αφού τέτοιες ευθείες είτε συμπίπτουν είτε είναι παράλληλες.

Για να προσδιοριστεί η γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης, είναι απαραίτητο να μεταφερθούν και οι δύο γραμμές (ή μία από αυτές) σε μια νέα θέση με τη μέθοδο της παράλληλης μεταφοράς στη διασταύρωση. Μετά από αυτό, θα πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών που προκύπτουν.

Θα χρειαστείτε

• Κυβερνήτης, ορθογώνιο τρίγωνο, μολύβι, μοιρογνωμόνιο.

Εντολή

Έστω λοιπόν το διάνυσμα V = (a, b, c) και το επίπεδο A x + B y + C z = 0, όπου A, B και C είναι οι συντεταγμένες του κανονικού N. Τότε το συνημίτονο της γωνίας Το α μεταξύ των διανυσμάτων V και N είναι: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Για να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας σε μοίρες ή ακτίνια, πρέπει να υπολογίσετε τη συνάρτηση αντίστροφη προς το συνημίτονο από την έκφραση που προκύπτει, δηλ. αρκοσίνη: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Παράδειγμα: βρείτε γωνίαμεταξύ διάνυσμα(5, -3, 8) και επίπεδο, δίνεται από τη γενική εξίσωση 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0. Λύση: γράψτε τις συντεταγμένες κανονικό διάνυσμαεπίπεδο Ν = (2, -5, 3). Αντικαταστήστε τα πάντα γνωστές αξίεςστον παραπάνω τύπο: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Σχετικά βίντεο

Μια ευθεία γραμμή που έχει μια με κύκλο κοινό σημέιο, εφάπτεται στον κύκλο. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της εφαπτομένης είναι ότι είναι πάντα κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής, δηλαδή η εφαπτομένη και η ακτίνα σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή γωνία. Αν δύο εφαπτομένες στον κύκλο ΑΒ και AC τραβηχτούν από ένα σημείο Α, τότε είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Ορισμός της γωνίας μεταξύ των εφαπτομένων ( γωνία ABC) παράγεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Εντολή

Για να προσδιορίσετε τη γωνία, πρέπει να γνωρίζετε την ακτίνα του κύκλου OB και OS και την απόσταση του σημείου προέλευσης της εφαπτομένης από το κέντρο του κύκλου - O. Έτσι, οι γωνίες ABO και ACO είναι ίσες, η ακτίνα OB , για παράδειγμα, 10 cm και η απόσταση από το κέντρο του κύκλου AO είναι 15 cm. Προσδιορίστε το μήκος της εφαπτομένης με τον τύπο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα: AB = Τετραγωνική ρίζααπό AO2 - OB2 ή 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

ένα. Ας δοθούν δύο ευθείες: Αυτές οι γραμμές, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1, σχηματίζουν διάφορες θετικές και αρνητικές γωνίες, οι οποίες μπορεί να είναι είτε οξείες είτε αμβλείες. Γνωρίζοντας μία από αυτές τις γωνίες, μπορούμε εύκολα να βρούμε οποιαδήποτε άλλη.

Παρεμπιπτόντως, για όλες αυτές τις γωνίες, η αριθμητική τιμή της εφαπτομένης είναι η ίδια, η διαφορά μπορεί να είναι μόνο στο πρόσημο

Εξισώσεις γραμμών. Οι αριθμοί είναι οι προβολές των κατευθυντικών διανυσμάτων της πρώτης και της δεύτερης ευθείας.Η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με μία από τις γωνίες που σχηματίζονται από ευθείες γραμμές. Επομένως, το πρόβλημα περιορίζεται στον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, παίρνουμε

Για απλότητα, μπορούμε να συμφωνήσουμε σε μια γωνία μεταξύ δύο ευθειών για να κατανοήσουμε μια οξεία θετική γωνία (όπως, για παράδειγμα, στο Σχ. 53).

Τότε η εφαπτομένη αυτής της γωνίας θα είναι πάντα θετική. Έτσι, εάν ληφθεί ένα σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά του τύπου (1), τότε πρέπει να το απορρίψουμε, δηλαδή να διατηρήσουμε μόνο την απόλυτη τιμή.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Με τον τύπο (1) έχουμε

Με. Αν υποδεικνύεται ποια από τις πλευρές της γωνίας είναι η αρχή και ποια το τέλος της, τότε, μετρώντας πάντα την φορά της γωνίας αριστερόστροφα, μπορούμε να εξαγάγουμε κάτι περισσότερο από τους τύπους (1). Όπως φαίνεται εύκολα από το Σχ. 53 το πρόσημο που λαμβάνεται στη δεξιά πλευρά του τύπου (1) θα υποδεικνύει ποια - οξεία ή αμβλεία - η γωνία σχηματίζει τη δεύτερη γραμμή με την πρώτη.

(Πράγματι, από το Σχ. 53 βλέπουμε ότι η γωνία μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου διανύσματος κατεύθυνσης είναι είτε ίση με την επιθυμητή γωνία μεταξύ των γραμμών είτε διαφέρει από αυτήν κατά ±180°.)

ρε. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες τότε παράλληλα είναι και τα διανύσματα κατεύθυνσής τους Εφαρμόζοντας την συνθήκη παραλληλισμού δύο διανυσμάτων παίρνουμε!

Αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να είναι δύο ευθείες παράλληλες.

Παράδειγμα. Απευθείας

είναι παράλληλες γιατί

μι. Αν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε τα διανύσματα κατεύθυνσής τους είναι επίσης κάθετα. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων, προκύπτει η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών, δηλαδή

Παράδειγμα. Απευθείας

κάθετη γιατί

Σε σχέση με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας, θα λύσουμε τα ακόλουθα δύο προβλήματα.

φά. Σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία μέσα από ένα σημείο

Η απόφαση λαμβάνεται έτσι. Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη με τη δεδομένη, τότε για το κατευθυντικό της διάνυσμα μπορούμε να πάρουμε το ίδιο με αυτό της δεδομένης γραμμής, δηλαδή ένα διάνυσμα με προβολές Α και Β. Και τότε θα γραφεί η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής στη μορφή (§ 1)

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (1; 3) παράλληλο σε ευθεία

θα είναι το επόμενο!

σολ. Σχεδιάστε μια ευθεία σε ένα σημείο κάθετο στη δεδομένη ευθεία

Εδώ, δεν είναι πλέον κατάλληλο να παίρνουμε ένα διάνυσμα με προβολές Α και ως κατευθυντικό διάνυσμα, αλλά είναι απαραίτητο να κερδίσουμε ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Οι προβολές αυτού του διανύσματος πρέπει επομένως να επιλέγονται σύμφωνα με την προϋπόθεση ότι και τα δύο διανύσματα είναι κάθετα, δηλ. σύμφωνα με την συνθήκη

Είναι δυνατό να εκπληρωθεί αυτή η προϋπόθεση αμέτρητοςτρόπους, αφού υπάρχει μία εξίσωση με δύο αγνώστους.Αλλά ο ευκολότερος τρόπος είναι να την πάρεις.Τότε η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής θα γραφτεί με τη μορφή

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (-7; 2) σε κάθετη ευθεία

θα είναι το εξής (σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο)!

η. Στην περίπτωση που οι γραμμές δίνονται με εξισώσεις της μορφής