Mis see on tuua sarnaseid termineid. Sarnased terminid – Knowledge Hypermarket

Allpool esitatud materjal on loogiline jätk teooriale, mis pärineb artiklist pealkirjaga LCM - vähim ühiskordaja, definitsioon, näited, seos LCM-i ja GCD vahel. Siin me räägime vähima ühiskordse (LCM) leidmine, ja Erilist tähelepanu Vaatame näiteid. Esmalt näitame, kuidas arvutatakse kahe arvu LCM nende arvude GCD järgi. Järgmisena kaaluge vähima ühiskordse leidmist, kasutades arvude jaotust peamised tegurid. Pärast seda keskendume kolme või enama arvu LCM-i leidmisele ja pöörame tähelepanu ka negatiivsete arvude LCM-i arvutamisele.

Leheküljel navigeerimine.

Vähima ühiskordse (LCM) arvutamine läbi gcd

Üks viis vähima ühiskordse leidmiseks põhineb LCM-i ja GCD vahelisel suhtel. Olemasolev ühendus LCM-i ja GCD vahel võimaldab arvutada kahe positiivse täisarvu väikseima ühiskordse läbi teadaoleva suurima ühine jagaja. Vastaval valemil on vorm LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Vaadake näiteid LCM-i leidmiseks ülaltoodud valemi järgi.

Näide.

Leidke kahe arvu 126 ja 70 vähim ühiskordne.

Lahendus.

Selles näites a=126, b=70. Kasutame valemiga väljendatud seost LCM-i ja GCD vahel LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). See tähendab, et kõigepealt peame leidma arvude 70 ja 126 suurima ühisjagaja, mille järel saame kirjutatud valemi järgi arvutada nende arvude LCM-i.

Leia gcd(126, 70), kasutades Eukleidese algoritmi: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , seega gcd(126, 70)=14 .

Nüüd leiame nõutava vähima ühiskordse: LCM (126, 70) = 126 70: GCM (126, 70) = 126 70:14=630 .

Vastus:

LCM(126,70)=630.

Näide.

Mis on LCM(68, 34)?

Lahendus.

Sest 68 jagub võrdselt 34-ga, siis gcd(68, 34)=34 . Nüüd arvutame väikseima ühiskordse: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Vastus:

LCM(68,34)=68.

Pange tähele, et eelmine näide sobib järgmise reegliga positiivsete täisarvude a ja b LCM-i leidmiseks: kui arv a jagub b-ga, siis on nende arvude vähim ühiskordne a.

LCM-i leidmine arvude algfaktoriteks arvutamise teel

Teine viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb arvude arvutamisel algteguriteks. Kui teeme nende arvude kõigi algtegurite korrutise, mille järel jätame sellest korrutisest välja kõik levinud algtegurid, mis esinevad nende arvude laiendustes, siis on saadud korrutis võrdne nende arvude vähima ühiskordsega.

Väljakuulutatud reegel LCM-i leidmiseks tuleneb võrdsusest LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tõepoolest, arvude a ja b korrutis on võrdne kõigi arvude a ja b laienemisega seotud tegurite korrutisega. Omakorda gcd(a, b) on võrdne tootega kõik algtegurid, mis esinevad samaaegselt arvude a ja b laiendustes (mida kirjeldatakse jaotises GCD leidmine, kasutades arvude algteguriteks jaotamist).

Võtame näite. Anname teada, et 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Koostage nende laienduste kõigi tegurite korrutis: 2 3 3 5 5 5 7 . Nüüd jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad nii arvu 75 kui ka arvu 210 laienemisel (sellised tegurid on 3 ja 5), siis saab korrutis kuju 2 3 5 5 7 . Selle korrutise väärtus on võrdne arvude 75 ja 210 vähima ühiskordsega, st LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Näide.

Pärast arvude 441 ja 700 arvestamist algteguriteks leidke nende arvude vähim ühiskordne.

Lahendus.

Jagame arvud 441 ja 700 algteguriteks:

Saame 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Nüüd teeme kõigi nende arvude laienemisega seotud tegurite korrutise: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad samaaegselt mõlemas laienduses (selline tegur on ainult üks – see on arv 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Sellel viisil, LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastus:

LCM(441; 700) = 44 100.

LCM-i leidmise reegli, kasutades arvude algteguriteks jaotamist, saab sõnastada veidi teisiti. Kui liidame arvu b laienemisest puuduvad tegurid arvu a lagundamise teguritele, siis on saadud korrutise väärtus võrdne arvu a ja b vähima ühiskordsega.

Näiteks võtame kõik samad arvud 75 ja 210, nende laiendused algteguriteks on järgmised: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Teguritele 3, 5 ja 5 arvu 75 laiendusest liidame arvu 210 laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 7, saame korrutise 2 3 5 5 7 , mille väärtus on LCM(75 , 210) .

Näide.

Leidke 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Lahendus.

Esmalt saame arvude 84 ja 648 lagunemise algteguriteks. Need näevad välja nagu 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 84 dekomponeerimisest liidame arvu 648 lagunemisest puuduvad tegurid 2 , 3 , 3 ja 3 , saame korrutise 2 2 2 3 3 3 3 7 , mis võrdub 4 536 . Seega on arvude 84 ja 648 soovitud vähim ühiskordne 4536.

Vastus:

LCM(84,648)=4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Kolme või enama arvu väikseima ühiskordse saab leida, leides järjestikku kahe arvu LCM-i. Tuletage meelde vastav teoreem, mis annab võimaluse leida kolme või enama arvu LCM.

Teoreem.

Olgu antud täisarvud positiivsed numbrid a 1 , a 2 , …, a k , nende arvude vähim ühiskordne m k leitakse järjestikuse arvutuse teel m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .

Mõelge selle teoreemi rakendamisele nelja arvu vähima ühiskordse leidmise näitel.

Näide.

Leidke nelja arvu 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Lahendus.

Selles näites a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Kõigepealt leiame m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Selleks määrame eukleidilise algoritmi abil gcd(140, 9) , meil on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , seega gcd( 140, 9) = 1 , kust LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . See tähendab, et m 2 = 1 260 .

Nüüd leiame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Arvutame selle läbi gcd(1 260, 54) , mille määrab samuti Eukleidese algoritm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Siis gcd(1 260, 54) = 18, kust LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. See tähendab, m 3 \u003d 3 780.

Vasak leida m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Selleks leiame Eukleidese algoritmi kasutades GCD(3 780, 250): 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Seetõttu gcd(3 780, 250)=10, kust gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . See tähendab, m 4 \u003d 94 500.

Seega on algse nelja arvu vähim ühiskordne 94 500.

Vastus:

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.

Paljudel juhtudel leitakse kolme või enama arvu vähim ühiskordne, kasutades antud arvude algfaktoriseerimist. Sel juhul tuleks järgida järgmist reeglit. Mitme arvu vähim ühiskordne on võrdne korrutisega, mis koosneb järgmiselt: teise arvu laienemisest puuduvad tegurid liidetakse kõikidele esimese arvu laienemise teguritele, puuduvad tegurid esimese arvu laienemisest. saadud teguritele liidetakse kolmas arv jne.

Vaatleme näidet vähima ühiskordse leidmiseks, kasutades arvude algteguriteks jaotamist.

Näide.

Leidke viie arvu 84, 6, 48, 7, 143 vähim ühiskordne.

Lahendus.

Esiteks saame nende arvude laiendused algteguriteks: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 algtegurit) ja 143=11 13 .

Nende arvude LCM-i leidmiseks tuleb esimese arvu 84 teguritele (need on 2 , 2 , 3 ja 7 ) lisada teise arvu 6 laiendist puuduvad tegurid. Arvu 6 laiendus ei sisalda puuduvaid tegureid, kuna nii 2 kui 3 on juba esimese arvu 84 laiendamisel olemas. Edasi teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 liidame kolmanda arvu 48 laiendist puuduvad tegurid 2 ja 2 , saame tegurite 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 hulga . Järgmises etapis ei ole vaja sellele komplektile faktoreid lisada, kuna 7 on selles juba sisaldunud. Lõpuks lisame teguritele 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 143 laiendist puuduvad tegurid 11 ja 13 . Saame korrutise 2 2 2 2 3 7 11 13 , mis võrdub 48 048 .

Matemaatilised avaldised ja ülesanded nõuavad palju lisateadmisi. NOC on üks põhilisi, eriti sageli teemas kasutatav teemat õpitakse gümnaasiumis, kusjuures materjalist aru saada pole eriti raske, siis volituste ja korrutustabelit tundval inimesel ei ole seda raske valida. vajalikud numbrid ja leia tulemus.

Definitsioon

Ühiskordne on arv, mille saab korraga täielikult jagada kaheks arvuks (a ja b). Kõige sagedamini saadakse see arv algsete arvude a ja b korrutamisel. Arv peab olema jaguv mõlema arvuga korraga, ilma kõrvalekalleteta.

NOC on aktsepteeritud termin lühike pealkiri, kokku pandud esimestest tähtedest.

Numbri saamise viisid

LCM-i leidmiseks ei sobi alati arvude korrutamise meetod, see sobib palju paremini lihtsate ühe- või kahekohaliste arvude jaoks. On tavaks jagada teguriteks, mida suurem arv, seda rohkem on tegureid.

Näide nr 1

Kõige lihtsama näite puhul võtavad koolid tavaliselt lihtsaid ühe- või kahekohalisi numbreid. Näiteks peate lahendama järgmise ülesande, leidma arvude 7 ja 3 vähim ühiskordne, lahendus on üsna lihtne, korrutage need lihtsalt. Tulemuseks on number 21, vähem lihtsalt ei.

Näide nr 2

Teine võimalus on palju keerulisem. Antud on numbrid 300 ja 1260, LCM-i leidmine on kohustuslik. Ülesande lahendamiseks eeldatakse järgmisi toiminguid:

Esimese ja teise arvu lagunemine kõige lihtsamateks teguriteks. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Esimene etapp on lõppenud.

Teine etapp hõlmab tööd juba saadud andmetega. Iga saadud number peab osalema lõpptulemuse arvutamises. Iga kordaja kohta kõige rohkem suur number juhtumid. NOC on koguarv, nii et arvude tegureid tuleks selles viimaseni korrata, isegi neid, mis on ühes eksemplaris. Mõlema algarvu koosseisus on arvud 2, 3 ja 5, erineval määral, 7 on ainult ühel juhul.

Lõpptulemuse arvutamiseks peate võrrandisse võtma iga arvu nende suurimas esitatud astmes. Jääb vaid korrutada ja saada vastus, õige täitmise korral mahub ülesanne ilma selgitusteta kahte etappi:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

See on kogu ülesanne, kui proovite soovitud arvu arvutada korrutamisega, pole vastus kindlasti õige, kuna 300 * 1260 = 378 000.

Eksam:

6300 / 300 = 21 - tõsi;

6300 / 1260 = 5 on õige.

Tulemuse õigsus tehakse kindlaks kontrollimise teel – jagades LCM mõlema algarvuga, kui arv on mõlemal juhul täisarv, siis on vastus õige.

Mida tähendab NOC matemaatikas

Nagu teate, pole matemaatikas ainsatki kasutu funktsiooni, see pole erand. Selle arvu levinuim eesmärk on tuua murded ühise nimetajani. Mida tavaliselt õpitakse 5.-6 Keskkool. See on lisaks ka kõigi kordiste ühine jagaja, kui sellised tingimused on probleemis. Selline avaldis võib leida mitte ainult kahe arvu kordse, vaid ka palju rohkem- kolm, viis ja nii edasi. Kuidas rohkem numbreid- seda rohkem toiminguid ülesandes, kuid selle keerukus ei suurene.

Näiteks, võttes arvesse numbreid 250, 600 ja 1500, peate leidma nende kogu LCM-i:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - see näide kirjeldab faktoriseerimist üksikasjalikult, ilma taandamata.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Avaldise koostamiseks on vaja nimetada kõik tegurid, antud juhul on antud 2, 5, 3 - kõigi nende arvude jaoks on vaja määrata maksimaalne aste.

Tähelepanu: kõik kordajad tuleb võimalusel täielikult lihtsustada, lagundades ühekohaliste numbriteni.

Eksam:

1) 3000 / 250 = 12 – tõene;

2) 3000 / 600 = 5 – tõene;

3) 3000 / 1500 = 2 on õige.

See meetod ei nõua mingeid nippe ega geniaalse taseme võimeid, kõik on lihtne ja selge.

Teine tee

Matemaatikas on palju seotud, palju saab lahendada kahel või enamal viisil, sama kehtib ka vähima ühiskordse LCM leidmise kohta. Järgmine meetod saab kasutada lihtsate kahe- ja ühekohaliste numbrite korral. Koostatakse tabel, kuhu kordaja sisestatakse vertikaalselt, kordaja horisontaalselt ja korrutis näidatakse veeru ristuvates lahtrites. Tabelit saab kajastada rea abil, võetakse arv ja selle arvu täisarvudega korrutamise tulemused kirjutatakse ritta, 1-st lõpmatuseni, mõnikord piisab 3-5 punktist, teine ja järgnevad numbrid allutatakse samale arvutusprotsessile. Kõik juhtub seni, kuni leitakse ühiskordne.

Arvestades numbreid 30, 35, 42, peate leidma LCM-i, mis ühendab kõik numbrid:

1) 30-kordsed: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 jne.

2) 35-kordsed: 70, 105, 140, 175, 210, 245 jne.

3) 42-kordsed: 84, 126, 168, 210, 252 jne.

On märgata, et kõik numbrid on üsna erinevad, ainus ühine number nende hulgas on 210, nii et see on LCM. Selle arvutusega seotud protsesside hulgas on ka suurim ühisjagaja, mis arvutatakse sarnaste põhimõtete järgi ja mida sageli kohtab naaberprobleemides. Erinevus on väike, kuid piisavalt märkimisväärne, LCM hõlmab arvu arvutamist, mis jagub kõigi antud algväärtustega, ja GCM hõlmab arvutamist suurim väärtus millega algsed arvud jaguvad.

Algebraliste murdude liitmisel ja lahutamisel koos erinevad nimetajad kõigepealt viivad murded ühine nimetaja. See tähendab, et nad leiavad sellise ühe nimetaja, mis jagatakse iga selle avaldise osaks oleva algebralise murru algse nimetajaga.

Nagu teate, kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (või jagada) sama arvuga, mis ei ole null, siis murdosa väärtus ei muutu. See on murdosa peamine omadus. Seega, kui murrud viivad ühise nimetajani, korrutatakse tegelikult iga murru algne nimetaja puuduva teguriga ühiseks nimetajaks. Sel juhul on vaja korrutada selle teguri ja murdosa lugejaga (see on iga murdosa puhul erinev).

Näiteks võttes arvesse järgmist algebraliste murdude summat:

On vaja avaldist lihtsustada, st lisada kaks algebralist murdu. Selleks on ennekõike vaja terminid-murrud taandada ühiseks nimetajaks. Esimene samm on leida monoom, mis jagub nii 3x kui ka 2y-ga. Sel juhul on soovitav, et see oleks väikseim, st leida vähim ühiskordaja (LCM) 3x ja 2y jaoks.

Numbriliste koefitsientide ja muutujate jaoks otsitakse LCM-i eraldi. LCM(3, 2) = 6 ja LCM(x, y) = xy. Lisaks korrutatakse leitud väärtused: 6xy.

Nüüd peame määrama, millise teguriga peame 6xy saamiseks 3x korrutama:
6xy ÷ 3x = 2a

See tähendab, et esimese algebralise murru taandamisel ühiseks nimetajaks tuleb selle lugeja korrutada 2y-ga (ühisnimetajaks taandamisel on nimetaja juba korrutatud). Samamoodi otsitakse teise murru lugeja tegurit. See võrdub 3x.

Seega saame:

Siis saab juba toimida nagu murdudega koos samad nimetajad: lisatakse lugejad ja nimetajasse kirjutatakse üks ühine:

Pärast teisendusi saadakse lihtsustatud avaldis, mis on üks algebraline murd, mis on kahe algse summa summa:

Algse avaldise algebralised murrud võivad sisaldada nimetajaid, mis on pigem polünoomid kui monomiaalid (nagu ülaltoodud näites). Sel juhul tuleb nimetajad enne ühise nimetaja leidmist (võimaluse korral) faktoriks. Edasi ühine nimetaja on kokku pandud erinevatest kordajatest. Kui tegur on mitmes algnimetajas, siis võetakse see üks kord. Kui kordajal on erinevad kraadid algnimetajates, siis võetakse see suuremaga. Näiteks:

Siin saab polünoomi a 2 - b 2 esitada korrutisena (a - b)(a + b). Tegurit 2a – 2b laiendatakse kui 2(a – b). Seega on ühisnimetaja võrdne 2(a - b)(a + b).

Olgu antud avaldis, mis on arvu ja tähtede korrutis. Selles avaldises olevat numbrit nimetatakse koefitsient. Näiteks:

avaldises on koefitsient arv 2;

avaldises - number 1;

avaldises on see arv -1;

avaldises on koefitsient arvude 2 ja 3 korrutis, see tähendab arvu 6.

Petya sai 3 maiustust ja 5 aprikoosi. Ema andis Petyale veel 2 maiustust ja 4 aprikoosi (vt joonis 1). Kui palju maiustusi ja aprikoose Petjal kokku oli?

Riis. 1. Probleemi illustratsioon

Lahendus

Kirjutame probleemi seisundi järgmisel kujul:

1) Seal oli 3 maiustust ja 5 aprikoosi:

2) Ema kinkis 2 maiustust ja 4 aprikoosi:

3) See tähendab, et Petyal on kõik:

4) Lisame maiustusi maiustustega, aprikoose aprikoosidega:

Seega on kokku 5 maiust ja 9 aprikoosi.

Vastus: 5 maiustust ja 9 aprikoosi.

Ülesandes 1, neljandas etapis, käsitlesime sarnaste terminite redutseerimist.

Termineid, millel on sama täheosa, nimetatakse sarnasteks terminiteks. Sarnased terminid võivad erineda ainult arvuliste koefitsientide poolest.

Sarnaste terminite liitmiseks (vähendamiseks) tuleb liita nende koefitsiendid ja tulemus korrutada ühise täheosaga.

Sarnaste terminite vähendamisega lihtsustame väljendit.

Need on sarnased terminid, kuna neil on sama täheosa. Seetõttu on nende vähendamiseks vaja lisada kõik nende koefitsiendid - need on 5, 3 ja -1 ning korrutada ühise täheosaga - see on a.

See väljend sisaldab sarnaseid termineid. Ühine täht osa on xy, ja koefitsiendid on 2, 1 ja -3. Siin on sarnased terminid:

Selles väljendis on sarnased terminid ja toome need:

Lihtsustame seda väljendit. Selleks leiame sarnased terminid. Selles avaldises on kaks paari sarnaseid termineid – need on ja , ja .

Lihtsustame seda väljendit. Selleks avage jaotusseaduse abil sulud:

Avaldises on sarnased terminid - see ja , anname neile:

Selles tunnis tutvusime koefitsiendi mõistega, saime teada, milliseid termineid nimetatakse sarnasteks ja sõnastasime sarnaste terminite vähendamise reegli ning lahendasime ka mitmeid näiteid, milles seda reeglit kasutasime.

Bibliograafia

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika 6. M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemaatika 6. klass. M.: Gümnaasium, 2006.
Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Matemaatikaõpiku lehekülgede taga. M.: Haridus, 1989.
Rurukin A.N., Tšaikovski I.V. Ülesanded matemaatika 5.-6.klassi kursusele. M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sotšilov S.V., Tšaikovski K.G. Matemaatika 5.-6. Juhend MEPhI korrespondentkooli 6. klassi õpilastele. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemaatika: Õpik-vestleja gümnaasiumi 5-6 klassile. M .: Haridus, matemaatikaõpetajate raamatukogu, 1989.

Kodutöö

Internetiportaal Youtube.com ( ).
Interneti-portaal For6cl.uznateshe.ru ().
Internetiportaal Festival.1september.ru ().
Interneti-portaal Cleverstudents.ru ().