Mis on naturaallogaritm 1. Naturaallogaritm

sageli võta number e = 2,718281828 . Logaritme selles baasis nimetatakse loomulik. Naturaallogaritmidega arvutuste tegemisel on tavaline opereerida märgiga ln, kuid mitte logi; samas kui number 2,718281828 , määrates aluse, ära näita.

Teisisõnu näeb sõnastus välja järgmine: naturaallogaritm numbrid X on astendaja, milleni arv tuleb tõsta e, Et saada x.

Niisiis, ln(7389...)= 2, sest e 2 =7,389... . Arvu enda naturaallogaritm e= 1, sest e 1 =e, ja ühtsuse naturaallogaritm on võrdne nulliga, kuna e 0 = 1.

Number ise e määratleb monotoonselt piiratud jada piiri

arvutas selle välja e = 2,7182818284... .

Üsna sageli seostatakse numbri mällu fikseerimiseks vajaliku numbri numbrid mõne silmapaistva kuupäevaga. Arvu üheksa esimese numbri meeldejätmise kiirus e pärast koma suureneb, kui märkate, et 1828 on Lev Tolstoi sünniaasta!

Praeguseks on olemas üsna täielikud naturaallogaritmide tabelid.

naturaallogigraaf(funktsioonid y=ln x) on astendaja graafiku kui peegelpildi tagajärg sirgjoone suhtes y = x ja näeb välja selline:

Naturaallogaritmi võib leida iga positiivse reaalarvu jaoks a kui kõvera alune ala y = 1/x alates 1 enne a.

Selle sõnastuse elementaarsus, mis sobib kokku paljude teiste valemitega, milles naturaallogaritm on seotud, oligi nimetuse "looduslik" kujunemise põhjuseks.

Kui analüüsime naturaallogaritm, reaalse muutuja reaalfunktsioonina, siis see toimib pöördfunktsioon eksponentsiaalseks funktsiooniks, mis taandab identiteetidele:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Analoogiliselt kõigi logaritmidega teisendab naturaallogaritm korrutamise liitmiseks ja jagamise lahutamiseks:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/a)= lnx - lny

Logaritmi võib leida iga positiivse baasi jaoks, mis ei ole võrdne ühega, mitte ainult jaoks e, kuid teiste aluste logaritmid erinevad naturaallogaritmist ainult konstantse teguri poolest ja on tavaliselt defineeritud naturaallogaritmi järgi.

Olles analüüsinud loomuliku logaritmi graafik, saame, et see on olemas muutuja positiivsete väärtuste korral x. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( -∞ ).Kell x → +∞ naturaallogaritmi piir on pluss lõpmatus ( + ∞ ). Üldiselt x logaritm kasvab üsna aeglaselt. Igasugune toitefunktsioon x a positiivse eksponendiga a kasvab kiiremini kui logaritm. Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi.

Kasutamine naturaallogaritmid väga ratsionaalne kõrgema matemaatika läbimisel. Seega on logaritmi kasutamine mugav vastuse leidmiseks võrranditele, milles tundmatud esinevad eksponendina. Naturaallogaritmide kasutamine arvutustes võimaldab oluliselt hõlbustada suur hulk matemaatilised valemid. baaslogaritmid e esinevad märkimisväärse hulga füüsikaliste probleemide lahendamisel ja on loomulikult kaasatud üksikute keemiliste, bioloogiliste ja muude protsesside matemaatilisesse kirjeldusse. Seega kasutatakse logaritme teadaoleva poolestusaja lagunemiskonstandi arvutamiseks või radioaktiivsuse probleemide lahendamisel lagunemisaja arvutamiseks. Nad mängivad juhtivat rolli paljudes matemaatika ja praktiliste teaduste osades, neid kasutatakse rahanduse valdkonnas paljude probleemide lahendamiseks, sealhulgas liitintressi arvutamisel.

Päris hea, eks? Samal ajal kui matemaatikud otsivad sõnu, et anda teile pikk ja keerukas määratlus, vaatame seda lihtsat ja selget definitsiooni lähemalt.

Number e tähendab kasvu

Arv e tähendab pidevat kasvu. Nagu nägime eelmises näites, võimaldab näide meil intressi ja aja siduda: 3 aastat 100% kasvuga on sama, mis 1 aasta 300% juures, tingimusel et "liitintress".

Saate asendada mis tahes protsendi- ja ajaväärtused (50% 4 aasta jooksul), kuid mugavuse huvides on parem määrata protsendiks 100% (selgub, et 2 aasta jooksul on see 100%). 100% juurde liikudes saame keskenduda ainult ajakomponendile:

e x = e protsent * aeg = e 1,0 * aeg = e aeg

Ilmselt tähendab e x:

kui palju kasvab minu panus x ajaühikuga (eeldades 100% pidevat kasvu).
näiteks 3 ajaintervalli järel saan e 3 = 20,08 korda rohkem "asju".

e x on skaleerimistegur, mis näitab, millisele tasemele me x ajaperioodi jooksul kasvame.

Naturaalne logaritm tähendab aega

Naturaalne logaritm on e pöördväärtus, selline väljamõeldud termin vastupidise kohta. Rääkides veidrustest; ladina keeles nimetatakse seda logarithmus naturali, sellest ka lühend ln.

Ja mida see inversioon või vastupidine tähendab?

e x võimaldab meil aja sisse lülitada ja kasvu saada.
Ln(x) võimaldab meil võtta kasvu või sissetuleku ja välja selgitada selle saamiseks kuluva aja.

Näiteks:

e 3 võrdub 20,08. Kolme aja jooksul on meil 20,08 korda rohkem, kui alustasime.
ln(20.08) on umbes 3. Kui olete huvitatud 20,08-kordsest kasvust, vajate 3 korda (taaskord, eeldades 100% pidevat kasvu).

Kas sa ikka loed? Naturaallogaritm näitab aega, mis kulub soovitud taseme saavutamiseks.

See mittestandardne logaritmiline loendus

Läbisite logaritmid – need on kummalised olendid. Kuidas neil õnnestus korrutamine liitmiseks muuta? Aga lahutamiseks jagamine? Vaatame.

Millega on ln(1) võrdne? Intuitiivselt on küsimus: kui kaua ma pean ootama, et saada 1 korda rohkem, kui mul on?

Null. Null. Üldse mitte. Sul on see üks kord juba olemas. 1. tasemelt 1. tasemele kasvamine ei võta aega.

log(1) = 0

Okei, aga murdosa väärtus? Kui kaua läheb aega, et meil oleks 1/2 sellest, mis meil alles on? Teame, et 100% pideva kasvu korral tähendab ln(2) aega, mis kulub kahekordistumiseks. Kui me aega tagasi keerama(st ootame negatiivselt aega), siis saame poole sellest, mis meil on.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Loogiline, eks? Kui läheme tagasi (aega tagasi) 0,693 sekundi võrra, leiame poole olemasolevast summast. Üldiselt võite murdosa ümber pöörata ja võtta negatiivse väärtuse: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. See tähendab, et kui minna ajas tagasi 1,09 korda, siis leiame vaid kolmandiku praegusest arvust.

Okei, aga negatiivse arvu logaritm? Kui kaua kulub bakterikoloonia "kasvatamiseks" 1 kuni -3?

See on võimatu! Te ei saa negatiivset bakterite arvu, eks? Võite saada maksimaalse (ah... miinimumi) nulli, kuid te ei saa kuidagi saada negatiivset arvu nendest väikestest olenditest. Negatiivne bakterite arv pole lihtsalt mõttekas.

ln(negatiivne arv) = määramata

"Määratlemata" tähendab, et negatiivse väärtuse saamiseks ei pea kaua ootama.

Logaritmiline korrutamine on lihtsalt naljakas

Kui kaua kulub kasvu neljakordistumiseks? Muidugi võite lihtsalt võtta ln(4). Aga see on liiga lihtne, me läheme teist teed.

Võite mõelda neljakordistamisele kui kahekordistamisele (nõuab ln(2) ajaühikut) ja seejärel uuesti kahekordistamist (vaja on veel ln(2) ajaühikut):

Aeg 4x kasvuni = ln(4) = aeg kahekordistada ja siis uuesti kahekordistada = ln(2) + ln(2)

Huvitav. Mis tahes kasvumäära, näiteks 20, võib kohe pärast 10-kordset suurenemist kahekordistada. Või kasv 4 korda ja siis 5 korda. Või kolmekordistamine ja seejärel 6,666-kordne tõus. Kas näete mustrit?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A korda B logaritm on log(A) + log(B). See suhe on kohe mõttekas, kui tegutsete kasvu mõttes.

Kui olete huvitatud 30-kordsest kasvust, võite oodata ln(30) ühe korraga või oodata, kuni ln(3) kolmekordistub, ja siis veel üks ln(10), mis korrutab kümnega. Lõpptulemus on sama, nii et loomulikult peab aeg jääma konstantseks (ja jääb).

Aga jagunemine? Täpsemalt tähendab ln(5/3): kui kaua võtab aega, et kasvada 5 korda ja siis saada 1/3 sellest?

Suurepärane, tegur 5 on ln(5). 1/3 korda kasvatamiseks kulub -ln(3) ajaühikut. Niisiis,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

See tähendab: lase tal kasvada 5 korda ja siis "mine ajas tagasi" sinnamaani, kus sellest kogusest jääb alles vaid kolmandik, nii saad 5/3 kasvu. Üldiselt selgub

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Loodan, et logaritmide veider aritmeetika hakkab teile aru saama: kasvumäärade korrutamine muutub kasvuajaühikute liitmiseks ja jagamine ajaühikute lahutamiseks. Ärge jätke reegleid pähe, proovige neid mõista.

Loodusliku logaritmi kasutamine meelevaldseks kasvuks

Noh, muidugi, – ütlete – on kõik hea, kui kasv on 100%, aga kuidas on lood selle 5%-ga, mille ma saan?

Pole probleemi. "Aeg", mille me ln() abil arvutame, on tegelikult intressimäära ja aja kombinatsioon, sama X võrrandist e x. Otsustasime lihtsalt lihtsuse huvides protsendimäära 100%, kuid võime vabalt kasutada mis tahes arvu.

Oletame, et tahame saavutada 30-kordset kasvu: võtame ln(30) ja saame 3,4 See tähendab:

e x = kõrgus
e 3,4 = 30

Ilmselt tähendab see võrrand "100% tulu 3,4 aasta jooksul annab 30 korda." Selle võrrandi saame kirjutada järgmiselt:

e x = e kiirus*aeg
e 100% * 3,4 aastat = 30

Saame muuta "kiiruse" ja "aja" väärtusi seni, kuni kiirus * aeg jääb 3,4. Näiteks kui oleme huvitatud 30-kordsest kasvust, siis kui kaua peame ootama 5% intressimääraga?

log(30) = 3,4
määr * aeg = 3,4
0,05 * aeg = 3,4
aeg = 3,4 / 0,05 = 68 aastat

Ma arvan järgmiselt: "ln(30) = 3,4, nii et 100% kasvu korral kulub selleks 3,4 aastat. Kui ma kahekordistan kasvu, väheneb kuluv aeg poole võrra."

100% 3,4 aastaga = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% 1,7 aastaga = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% 6,8 aastaga = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% üle 68 aasta = 0,05 * 68 = 3,4 .

See on suurepärane, eks? Naturaallogaritmi saab kasutada mis tahes intressimäära ja ajaga, kui nende korrutis jääb konstantseks. Muutujate väärtusi saate liigutada nii palju kui soovite.

Halb näide: seitsmekümne kahe reegel

Seitsmekümne kahe reegel on matemaatiline tehnika, mis võimaldab teil hinnata, kui kaua kulub teie raha kahekordistumiseks. Nüüd tuletame selle (jah!) Ja pealegi püüame mõista selle olemust.

Kui kaua kulub oma raha kahekordistumiseks 100% intressimääraga, mis kasvab igal aastal?

Op-pa. Pideva kasvu korral kasutasime naturaallogaritmi ja nüüd räägite iga-aastasest kogumisest? Kas see valem ei muutuks selliseks juhtumiks sobimatuks? Jah, see on nii, kuid reaalsete intressimäärade puhul, nagu 5%, 6% või isegi 15%, on erinevus iga-aastase intressimäära ja pidevalt kasvava vahel väike. Nii et umbkaudne hinnang töötab, uh, umbkaudu, nii et me teeskleme, et meil on täiesti pidev kogunemine.

Nüüd on küsimus lihtne: kui kiiresti saate 100% kasvuga kahekordistada? ln(2) = 0,693. Koguse kahekordistamiseks jätkuva 100% kasvuga kulub 0,693 ajaühikut (meie puhul aastaid).

Mis siis, kui intressimäär ei ole 100%, vaid oletame, et 5% või 10%?

Lihtsalt! Kuna määr * aeg = 0,693, kahekordistame summa:

määr * aeg = 0,693
aeg = 0,693 / määr

Nii et kui kasv on 10%, kulub kahekordistumiseks 0,693 / 0,10 = 6,93 aastat.

Arvutuste lihtsustamiseks korrutame mõlemad osad 100-ga, siis saame öelda "10", mitte "0,10":

kahekordistamise aeg = 69,3 / panus, kus panust väljendatakse protsentides.

Nüüd on aeg kahekordistada 5%, 69,3 / 5 = 13,86 aastat. 69,3 pole aga just kõige mugavam dividend. Valime lähiarvu 72, mis jagub mugavalt 2, 3, 4, 6, 8 ja teiste arvudega.

kahekordistamise aeg = 72 / panus

mis on seitsmekümne kahe reegel. Kõik on varjatud.

Kui teil on vaja leida aega kolmekordistamiseks, võite kasutada ln(3) ~ 109.8 ja saada

kolmekordne aeg = 110 / panus

Mis on veel üks kasulik reegel. "72. reegel" kehtib intressimäärade kasvu, rahvastiku kasvu, bakterikultuuride ja kõige eksponentsiaalselt kasvava kohta.

Mis järgmiseks?

Loodan, et naturaallogaritm on nüüd teie jaoks mõistlik – see näitab aega, mis kulub mis tahes arvu eksponentsiaalseks kasvamiseks. Ma arvan, et seda nimetatakse loomulikuks, kuna e on universaalne kasvumõõt, nii et seda võib pidada universaalseks viisiks, kuidas määrata, kui kaua kulub kasvamiseks.

Iga kord, kui näete ln(x), pidage meeles "aeg, mis kulub x-kordseks kasvamiseks". Tulevas artiklis kirjeldan e-d ja ln-i koosmõjus, et õhku täidaks värske matemaatika aroom.

Komplement: e naturaalne logaritm

Kiire viktoriin: kui palju on ln(e)?

matemaatikarobot ütleb: kuna need on defineeritud üksteise pöördväärtustena, on ilmne, et ln(e) = 1.
mõistev inimene: ln(e) on e-kordseks kasvamise arv (umbes 2,718). Arv e ise on aga kasvu mõõt teguriga 1, seega ln(e) = 1.

Mõelge selgelt.

9. september 2013

naturaallogaritm

Naturaallogaritmfunktsiooni graafik. Funktsioon läheneb aeglaselt positiivsele lõpmatusele as x ja läheneb kiiresti negatiivsele lõpmatusele, kui x kipub olema 0 ("aeglaselt" ja "kiire" võrreldes mis tahes võimsusfunktsiooniga x).

naturaallogaritm on baaslogaritm , kus e on irratsionaalne konstant, mis on võrdne ligikaudu 2,718281 828 . Naturaallogaritmi tähistatakse tavaliselt kui ln( x), logi e (x) või mõnikord lihtsalt logige ( x), kui alus e kaudne.

Arvu naturaallogaritm x(kirjutatud kui log(x)) on astendaja, milleni soovite arvu tõsta e, Et saada x. Näiteks, ln(7389...) võrdub 2-ga, sest e 2 =7,389... . Arvu enda naturaallogaritm e (ln(e)) on võrdne 1-ga, sest e 1 = e ja naturaallogaritm 1 ( logi (1)) on 0, sest e 0 = 1.

Naturaallogaritmi saab defineerida mis tahes positiivse reaalarvu jaoks a kui kõvera alune ala y = 1/x 1-st kuni a. Selle määratluse lihtsus, mis on kooskõlas paljude teiste naturaallogaritmi kasutavate valemitega, on viinud nimetuseni "looduslik". Seda määratlust saab laiendada kompleksarvudele, mida arutatakse allpool.

Kui vaadelda naturaalset logaritmi reaalmuutuja reaalfunktsioonina, siis on see eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon, mis viib identiteetideni:

Nagu kõik logaritmid, kaardistab naturaallogaritm korrutamise liitmiseks:

Seega on logaritmiline funktsioon positiivsete reaalarvude rühma isomorfism reaalarvude rühmaga liitmise teel korrutamise suhtes, mida saab esitada funktsioonina:

Logaritmi saab määrata mis tahes muu positiivse baasi jaoks peale 1, mitte ainult e, kuid teiste aluste logaritmid erinevad naturaallogaritmist ainult konstantse teguri poolest ja on tavaliselt defineeritud naturaallogaritmi järgi. Logaritmid on kasulikud võrrandite lahendamiseks, milles tundmatud esinevad eksponendina. Näiteks kasutatakse logaritme teadaoleva poolestusaja lagunemiskonstandi leidmiseks või radioaktiivsuse probleemide lahendamisel lagunemisaja leidmiseks. Need mängivad olulist rolli paljudes matemaatika ja rakendusteaduste valdkondades, neid kasutatakse finantsvaldkonnas paljude probleemide lahendamiseks, sealhulgas liitintressi leidmiseks.

Lugu

Esimest korda mainis naturaallogaritmi oma töös Nicholas Mercator Logaritmotehnika, avaldati 1668. aastal, kuigi matemaatikaõpetaja John Spydell koostas naturaallogaritmide tabeli juba 1619. aastal. Varem nimetati seda hüperboollogaritmiks, kuna see vastab hüperbooli all olevale alale. Mõnikord nimetatakse seda Napieri logaritmiks, kuigi selle termini algne tähendus oli mõnevõrra erinev.

Märgistuskokkulepped

Naturaallogaritmi tähistatakse tavaliselt tähega "ln( x)”, 10-ne logaritm kuni “lg( x)" ja muid põhjuseid on kombeks selgesõnaliselt näidata tähisega "log".

Paljudes diskreetse matemaatika, küberneetika, informaatika töödes kasutavad autorid tähistust "log( x)" logaritmide puhul 2. aluseni, kuid see konventsioon ei ole üldiselt aktsepteeritud ja vajab selgitamist kas kasutatud tähistuste loendis või (kui sellist loendit pole) joonealuse märkuse või kommentaariga esmakordsel kasutamisel.

Tavaliselt jäetakse logaritmi argumendi ümber olevad sulud (kui see ei too kaasa valemi ekslikku lugemist) välja ja logaritmi astmeks tõstmisel omistatakse eksponent otse logaritmi märgile: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Angloameerika süsteem

Matemaatikud, statistikud ja mõned insenerid kasutavad tavaliselt kas "log( x)" või "ln( x)" ja logaritmi tähistamiseks alusega 10 - "log 10 ( x)».

Mõned insenerid, bioloogid ja teised spetsialistid kirjutavad alati "ln( x)" (või aeg-ajalt "log e ( x)"), kui need tähendavad naturaallogaritmi ja tähist "log( x)" tähendab log 10 ( x).

logi e on "loomulik" logaritm, kuna see esineb automaatselt ja esineb matemaatikas väga sageli. Näiteks kaaluge logaritmilise funktsiooni tuletise probleemi:

Kui alus b võrdub e, siis tuletis on lihtsalt 1/ x, ja millal x= 1 see tuletis on võrdne 1-ga. Teine põhjendus, mille aluseks e logaritm on kõige loomulikum, on see, et seda saab üsna lihtsalt defineerida lihtsa integraali või Taylori seeriana, mida ei saa öelda teiste logaritmide kohta.

Loomulikkuse edasised põhjendused pole arvuga seotud. Nii on näiteks mitu lihtsat naturaallogaritmiga seeriat. Pietro Mengoli ja Nicholas Mercator kutsusid neid loomulik logaritm mitu aastakümmet, kuni Newton ja Leibniz töötasid välja diferentsiaal- ja integraalarvutuse.

Definitsioon

Formaalselt ln( a) saab defineerida kui graafiku kõvera alune pindala 1/ x 1-st kuni a, st integraalina:

See on tõepoolest logaritm, kuna see vastab logaritmi põhiomadusele:

Seda saab näidata, eeldades järgmist:

Numbriline väärtus

Arvu naturaallogaritmi arvväärtuse arvutamiseks saate kasutada selle laiendust Taylori seerias järgmisel kujul:

Parima lähenemise määra saavutamiseks võite kasutada järgmist identiteeti.

tingimusel, et y = (x−1)/(x+1) ja x > 0.

ln( x), kus x> 1, seda lähemal on väärtus x 1-ni, seda kiirem on lähenemismäär. Eesmärgi saavutamiseks saab kasutada logaritmiga seotud identiteete:

Neid meetodeid kasutati juba enne kalkulaatorite tulekut, mille jaoks kasutati numbrilisi tabeleid ja tehti ülalkirjeldatutele sarnaseid manipulatsioone.

Kõrge täpsus

Naturaallogaritmi arvutamiseks paljude numbrite täpsusega ei ole Taylori seeria tõhus, kuna selle konvergents on aeglane. Alternatiiviks on kasutada Newtoni meetodit, et inverteerida eksponentsiaalfunktsiooni, mille jada koondub kiiremini.

Väga suure arvutustäpsuse alternatiiviks on valem:

kus M tähistab aritmeetilist-geomeetrilist keskmist 1 ja 4/s ning

m valitud nii lk saavutatakse täpsusmärgid. (Enamasti piisab m väärtusest 8.) Tõepoolest, kui seda meetodit kasutatakse, saab eksponentsiaalfunktsiooni tõhusaks arvutamiseks rakendada naturaallogaritmi Newtoni inversiooni. (Konstandid ln 2 ja pi saab soovitud täpsusega eelnevalt välja arvutada, kasutades mis tahes teadaolevat kiiresti koonduvat seeriat.)

Arvutuslik keerukus

Naturaallogaritmide arvutuslik keerukus (kasutades aritmeetilist-geomeetrilist keskmist) on O( M(n)ln n). Siin n on täpsusnumbrite arv, mille puhul naturaallogaritmi tuleb hinnata, ja M(n) on kahe korrutamise arvutuslik keerukus n-kohalised numbrid.

Jätkuvad murded

Kuigi logaritmi esitamiseks pole lihtsaid jätkuvaid murde, võib kasutada mitmeid üldistatud jätkuvaid murde, sealhulgas:

Komplekssed logaritmid

Eksponentfunktsiooni saab laiendada funktsioonile, mis annab vormi kompleksarvu e x mis tahes suvalise kompleksarvu jaoks x, kasutades samas kompleksiga lõpmatut seeriat x. Seda eksponentsiaalfunktsiooni saab ümber pöörata, et moodustada keeruline logaritm, millel on enamik tavaliste logaritmide omadustest. Siiski on kaks raskust: ei ole x, milleks e x= 0 ja selgub, et e 2pi = 1 = e 0 . Kuna korduvusomadus kehtib keerulise eksponentsiaalfunktsiooni korral, siis e z = e z+2npi kõigile kompleksidele z ja terve n.

Logaritmi ei saa defineerida kogu komplekstasandil ja isegi nii on see mitme väärtusega – iga kompleksse logaritmi saab asendada "ekvivalentse" logaritmiga, lisades 2-le mis tahes täisarvulise kordse. pi. Komplekslogaritmi saab ühe väärtusega määrata ainult komplekstasandi lõigul. Näiteks ln i = 1/2 pi või 5/2 pi või −3/2 pi jne, ja kuigi i 4 = 1,4 log i saab määratleda kui 2 pi või 10 pi või -6 pi, ja nii edasi.

Vaata ka

John Napier - logaritmide leiutaja

Märkmed

Matemaatika füüsikalise keemia jaoks. - 3. - Academic Press, 2005. - Lk 9. - ISBN 0-125-08347-5, Väljavõte leheküljest 9
JJ O "Connor ja E. F. Robertson Arv e . MacTutori matemaatika ajaloo arhiiv (september 2001). Arhiveeritud
Cajori Florian A History of Mathematics, 5. väljaanne. - AMS raamatupood, 1991. - Lk 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Integraalide hindamine polünoomide abil . Arhiveeritud originaalist 12. veebruaril 2012.

Antakse naturaallogaritmi, graafiku, definitsioonipiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmereas laienduse ja funktsiooni ln x esituse põhiomadused kompleksarvude abil.

Definitsioon

naturaallogaritm on funktsioon y = ln x, pöördvõrdeline astendajaga x \u003d e y ja mis on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktsiooni y = graafik ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse astendaja graafikult peegelpeegelduse teel sirgjoonelt y = x .

Naturaalne logaritm määratakse x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Nagu x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( - ∞ ).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus ( + ∞ ). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga võimsusfunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratluspiirkond, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, vähenemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

ln x väärtused

log 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasmuutuse valemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis .

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Avaldised kompleksarvude kujul

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ole üheselt määratletud. Kui paneme
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate n-de jaoks sama arv.

Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Laiendus toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.