Logaritmide lisamine sama alusega. Mis on logaritm? Logaritmide lahendamine

Arvu b (b > 0) logaritm alus a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent, milleni tuleb arvu a tõsta, et saada b.

B 10 baaslogaritmi saab kirjutada järgmiselt log(b), ja logaritm alusele e (looduslik logaritm) on ln(b).

Sageli kasutatakse logaritmidega ülesannete lahendamisel:

Logaritmide omadused

Peamisi on neli logaritmide omadused.

Olgu a > 0, a ≠ 1, x > 0 ja y > 0.

Omadus 1. Korrutise logaritm

Toote logaritm võrdne summaga logaritmid:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Omadus 2. Jagatise logaritm

Jagatise logaritm võrdub logaritmide erinevusega:

log a (x / y) = log a x – log a y

Omadus 3. Võimsuse logaritm

Kraadi logaritm võrdne tootega võimsused logaritmi kohta:

Kui logaritmi alus on astmes, siis kehtib teine valem:

Omadus 4. Juure logaritm

Selle omaduse saab saada astme logaritmi omadusest, kuna n-nda astme juur võrdne võimsusega 1/n:

Valem ühe aluse logaritmi teisendamiseks teises baasis olevaks logaritmiks

Seda valemit kasutatakse sageli ka mitmesuguste logaritmiülesannete lahendamisel:

Erijuhtum:

Logaritmide (võrratuste) võrdlemine

Olgu meil samade alustega logaritmide all 2 funktsiooni f(x) ja g(x) ning nende vahel on ebavõrdsusmärk:

Nende võrdlemiseks peate esmalt vaatama logaritmide alust a:

Kui a > 0, siis f(x) > g(x) > 0
Kui 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kuidas lahendada ülesandeid logaritmidega: näited

Probleemid logaritmidega 11. klassi matemaatika ühtse riigieksami ülesandes 5 ja ülesandes 7 sisalduvad ülesanded koos lahendustega leiate meie veebisaidi vastavatest jaotistest. Samuti leiab matemaatika ülesannete pangast logaritmidega ülesandeid. Kõik näited leiate saidilt otsides.

Mis on logaritm

Logaritme on alati arvestatud keeruline teema V koolikursus matemaatika. Seal on palju erinevad määratlused logaritm, kuid millegipärast kasutatakse enamikes õpikutes neist kõige keerulisemat ja ebaõnnestunumat.

Logaritmi määratleme lihtsalt ja selgelt. Selleks loome tabeli:

Niisiis, meil on kaks jõudu.

Logaritmid - omadused, valemid, kuidas lahendada

Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks tõstma kaks. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.

Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:

argumendi x alus a on aste, milleni tuleb arv a tõsta, et saada arv x.

Tähistus: log a x = b, kus a on alus, x on argument, b on see, millega logaritm tegelikult võrdub.

Näiteks 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama eduga log 2 64 = 6, kuna 2 6 = 64.

Nimetatakse arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsiooni. Niisiis, lisame oma tabelisse uue rea:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Kahjuks ei arvutata kõiki logaritme nii lihtsalt. Näiteks proovige leida log 2 5. Arv 5 ei ole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil intervallil. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем rohkem kraadi kaks, seda suurem arv.

Selliseid arve nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid arve saab kirjutada lõpmatuseni ja neid ei korrata kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Ärritavate arusaamatuste vältimiseks vaadake lihtsalt pilti:

Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on võimsus, millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki.

Kuidas logaritme lugeda

Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:

Argument ja põhjus peavad alati olema Üle nulli. See tuleneb kraadi määratlusest ratsionaalne näitaja, millele taandub logaritmi definitsioon.
Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!

Selliseid piiranguid nimetatakse piirkond vastuvõetavad väärtused (ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Pange tähele, et arvule b (logaritmi väärtus) pole piiranguid. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1.

Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, kus pole vaja teada logaritmi VA-d. Kõiki piiranguid on probleemide autorid juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DL-nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata.

Nüüd kaalume üldine skeem logaritmide arvutamine. See koosneb kolmest etapist:

Väljendage alust a ja argumenti x astmena, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada;
Lahenda muutuja b võrrand: x = a b ;
Saadud arv b on vastuseks.

See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga oluline: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama ka kümnendkohad: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem.

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 5 25

Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Loome ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Saime vastuse: 2.

Ülesanne. Arvutage logaritm:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 4 64

Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Saime vastuse: 3.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 16 1

Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Saime vastuseks: 0.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 7 14

Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ;
Eelmisest lõigust järeldub, et logaritm ei lähe arvesse;
Vastus ei muutu: logi 7 14.

Väike märkus viimane näide. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt jagage see osadeks peamised tegurid. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.

Ülesanne. Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;

Märkigem ka seda, et me ise algarvud on alati iseenda täpsed kraadid.

Kümnendlogaritm

Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol.

argumendi x on logaritm aluse 10 suhtes, st. Aste, milleni tuleb arvu x saamiseks tõsta arv 10. Nimetus: lg x.

Näiteks log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.

Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke, et see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x

Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul.

Naturaalne logaritm

On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnendkoht. See on umbes naturaallogaritmi kohta.

argumendist x on logaritm e baasile, st. aste, milleni tuleb arvu e tõsta, et saada arv x. Nimetus: ln x.

Paljud inimesed küsivad: mis on number e? See irratsionaalne arv, selle täpset väärtust on võimatu leida ja üles kirjutada. Toon ainult esimesed arvud:
e = 2,718281828459…

Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage meeles, et e on naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x

Seega ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt naturaalne logaritm mis tahes ratsionaalarv irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0.

Sest naturaallogaritmid kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.

Vaata ka:

Logaritm. Logaritmi omadused (logaritmi võimsus).

Kuidas esitada arvu logaritmina?

Kasutame logaritmi definitsiooni.

Logaritm on eksponent, milleni tuleb baasi tõsta, et saada logaritmi märgi all olev arv.

Seega, selleks, et esitada teatud arvu c logaritmina aluse a jaoks, peate logaritmi märgi alla panema astme, millel on sama alus kui logaritmi alus, ja kirjutama selle arvu c eksponendiks:

Absoluutselt iga arvu saab esitada logaritmina - positiivne, negatiivne, täisarv, murdosa, ratsionaalne, irratsionaalne:

Selleks, et testi või eksami pingelistes tingimustes a ja c segi ei läheks, võite kasutada järgmist meeldejätmise reeglit:

see, mis on all, läheb alla, mis on üleval, läheb üles.

Näiteks peate esitama arvu 2 logaritmina aluse 3 suhtes.

Meil on kaks arvu - 2 ja 3. Need arvud on alus ja astendaja, mille me kirjutame logaritmi märgi alla. Jääb üle otsustada, millised neist arvudest tuleks üles kirjutada astme baasile ja millised ülespoole astendajani.

Alus 3 logaritmi tähistuses on all, mis tähendab, et kui esitame kaks logaritmina alusele 3, siis kirjutame ka 3 alusele.

2 on suurem kui kolm. Ja teise astme tähistuses kirjutame kolme kohale, see tähendab eksponendina:

Logaritmid. Esimene tase.

Logaritmid

Logaritm positiivne arv b põhineb a, Kus a > 0, a ≠ 1, nimetatakse eksponendiks, milleni arv tuleb tõsta a, Et saada b.

Logaritmi definitsioon võib lühidalt kirjutada nii:

See võrdsus kehtib b > 0, a > 0, a ≠ 1. Tavaliselt nimetatakse seda logaritmiline identiteet.
Nimetatakse arvu logaritmi leidmise tegevus logaritmi järgi.

Logaritmide omadused:

Toote logaritm:

Jagatise logaritm:

Logaritmi aluse asendamine:

Kraadi logaritm:

Juure logaritm:

Logaritm võimsusbaasiga:

Kümnend- ja naturaallogaritmid.

Kümnendlogaritm numbrid kutsuvad selle arvu logaritmi baasiks 10 ja kirjutavad lg b
Naturaalne logaritm numbreid nimetatakse selle arvu logaritmiks baasi suhtes e, Kus e- irratsionaalne arv, mis on ligikaudu võrdne 2,7-ga. Samal ajal kirjutavad nad ln b.

Muud märkused algebra ja geomeetria kohta

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtki tõsist probleemi. logaritmiline ülesanne. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logi a x ja logi a y. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmiline avaldis isegi siis, kui selle üksikuid osi ei loeta (vt õppetundi “Mis on logaritm”). Vaadake näiteid ja vaadake:

Palk 6 4 + palk 6 9.

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud on sellele faktile üles ehitatud proovipaberid. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Seda on lihtne märgata viimane reegel järgneb kahele esimesele. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 .

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritm log a x. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavapärastes harva numbrilised avaldised. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata alles otsustades logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritm, kolimine uude baasi:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile.

Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.

Nagu uuele alusele ülemineku valemid, peamine logaritmiline identiteet mõnikord on see ainuvõimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt omadusteks nimetada saab – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

log a a = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
log a 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Kuna a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Mis on logaritm?

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Mis on logaritm? Kuidas lahendada logaritme? Need küsimused ajavad paljud koolilõpetajad segadusse. Traditsiooniliselt peetakse logaritmide teemat keeruliseks, arusaamatuks ja hirmutavaks. Eriti logaritmidega võrrandid.

See pole absoluutselt tõsi. Absoluutselt! Ei usu mind? Hästi. Nüüd, vaid 10–20 minuti pärast:

1. Sa saad aru mis on logaritm.

2. Õpi lahendama tervet klassi eksponentsiaalvõrrandid. Isegi kui te pole neist midagi kuulnud.

3. Õppige arvutama lihtsaid logaritme.

Veelgi enam, selleks peate teadma ainult korrutustabelit ja seda, kuidas tõsta arvu astmeks...

Ma tunnen, et teil on kahtlusi... Noh, olgu, märkige aeg! Mine!

Esmalt lahendage see võrrand oma peas:

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Arvu logaritm N põhineb A nimetatakse eksponendiks X , millele peate ehitama A numbri saamiseks N

Tingimusel, et
,
,

Logaritmi definitsioonist järeldub, et
, st.
- see võrdsus on logaritmiline põhiidentiteet.

Logaritme 10-ni nimetatakse kümnendlogaritmideks. Selle asemel
kirjutada
.

Logaritmid baasi e nimetatakse looduslikeks ja on määratud
.

Põhiomadused logaritmid.

Ühe logaritm võrdub mis tahes aluse puhul nulliga.

Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga.

3) Jagatise logaritm on võrdne logaritmide vahega

Faktor
nimetatakse üleminekumooduliks logaritmidelt baasile a logaritmidele baasis b .

Kasutades atribuute 2-5, on sageli võimalik taandada kompleksavaldise logaritm logaritmide lihtsate aritmeetiliste toimingute tulemuseks.

Näiteks,

Selliseid logaritmi teisendusi nimetatakse logaritmideks. Logaritmidele vastupidiseid teisendusi nimetatakse potentseerimiseks.

Peatükk 2. Kõrgema matemaatika elemendid.

1. Piirangud

Funktsiooni piirang
on lõplik arv A, kui, as xx 0 iga etteantud jaoks
, on selline number
et niipea kui
, See
.

Funktsioon, millel on piirang, erineb sellest lõpmata väikese summa võrra:
, kus- b.m.v., st.
.

Näide. Mõelge funktsioonile
.

Kui pingutada
, funktsioon y kipub nulli:

1.1. Põhiteoreemid piiride kohta.

Piirang püsiv väärtus võrdne selle konstantse väärtusega

Summa (erinevuse) limiit lõplik arv funktsioonid on võrdne nende funktsioonide piiride summaga (vahega).

Lõpliku arvu funktsioonide korrutise piirväärtus on võrdne nende funktsioonide piiride korrutisega.

Kahe funktsiooni jagatise piir on võrdne nende funktsioonide piiride jagatisega, kui nimetaja piir ei ole null.

Imelised piirid

,
, Kus

1.2. Limiidi arvutamise näited

Kõiki limiite aga nii lihtsalt ei arvutata. Enamasti taandub limiidi arvutamine tüübi määramatuse paljastamisele: või .

2. Funktsiooni tuletis

Olgu meil funktsioon
, pidev segmendil
.

Argument sai veidi tõusu
. Seejärel saab funktsioon juurdekasvu
.

Argumendi väärtus vastab funktsiooni väärtusele
.

Argumendi väärtus
vastab funktsiooni väärtusele.

Seega,.

Leiame selle suhte piiri
. Kui see piir on olemas, siis nimetatakse seda antud funktsiooni tuletiseks.

Definitsioon 3 Antud funktsiooni tuletis
argumendiga nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, kui argumendi juurdekasv kipub meelevaldselt nulli.

Funktsiooni tuletis
saab tähistada järgmiselt:

; ; ; .

Definitsioon 4 Funktsiooni tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist.

2.1. Tuletise mehaaniline tähendus.

Vaatleme mõne jäiga keha või materiaalse punkti sirgjoonelist liikumist.

Lase mingil ajahetkel liikuv punkt
oli eemal algasendist
.

Mõne aja pärast
ta liikus eemale
. Suhtumine =- keskmine kiirus materiaalne punkt
. Leiame selle suhte piiri, võttes seda arvesse
.

Seetõttu määratlus hetkeline kiirus materiaalse punkti liikumine taandub tee tuletise leidmisele aja suhtes.

2.2. Geomeetriline tähendus tuletis

Olgu meil graafiliselt määratletud funktsioon
.

Riis. 1. Tuletise geomeetriline tähendus

Kui
, siis punkt
, liigub piki kõverat, lähenedes punktile
.

Seega
, st. tuletise väärtus argumendi antud väärtuse jaoks arvuliselt võrdne selle nurga puutujaga, mille puutuja moodustab antud punktis telje positiivse suunaga
.

2.3. Põhiliste diferentseerimisvalemite tabel.

Toitefunktsioon

Eksponentfunktsioon

Logaritmiline funktsioon

Trigonomeetriline funktsioon

Trigonomeetriline pöördfunktsioon

2.4. Eristamise reeglid.

Tuletis

Funktsioonide summa (erinevuse) tuletis

Kahe funktsiooni korrutise tuletis

Kahe funktsiooni jagatise tuletis

2.5. Tuletis keeruline funktsioon.

Olgu funktsioon antud
nii, et seda saab esitada kujul

Ja
, kus muutuja on siis vahepealne argument

Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne antud funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vaheargumendi tuletisega x suhtes.

Näide 1.

Näide 2.

3. Diferentsiaalfunktsioon.

Las olla
, mõnel intervallil diferentseeruv
lase sel minna juures sellel funktsioonil on tuletis

siis saame kirjutada

(1),

Kus - lõpmatult väike kogus,

mis ajast

Kõigi võrdsuse (1) tingimuste korrutamine
meil on:

Kus
- b.m.v. kõrgem järjekord.

Suurusjärk
nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks
ja on määratud

3.1. Diferentsiaali geomeetriline väärtus.

Olgu funktsioon antud
.

Joonis 2. Diferentsiaali geomeetriline tähendus.

Ilmselgelt funktsiooni erinevus
on võrdne puutuja ordinaadi juurdekasvuga antud punktis.

3.2. Erinevat järku tuletis- ja diferentsiaalid.

Kui seal
, Siis
nimetatakse esimeseks tuletiseks.

Esimese tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletiseks ja kirjutatakse
.

Funktsiooni n-ndat järku tuletis
nimetatakse (n-1)-ndat järku tuletiseks ja kirjutatakse:

Funktsiooni diferentsiaali diferentsiaali nimetatakse teist diferentsiaaliks või teist järku diferentsiaaliks.

.

.

3.3 Bioloogiliste probleemide lahendamine diferentseerimise abil.

Ülesanne 1. Uuringud on näidanud, et mikroorganismide koloonia kasv järgib seadusi
, Kus N – mikroorganismide arv (tuhandetes), t – aeg (päevad).

b) Kas koloonia populatsioon sel perioodil suureneb või väheneb?

Vastus. Koloonia suurus suureneb.

Ülesanne 2. Järve vett kontrollitakse perioodiliselt, et jälgida patogeensete bakterite sisaldust. Läbi t päeva pärast testimist määratakse bakterite kontsentratsioon suhtega

Millal on järves minimaalne bakterite kontsentratsioon ja kas seal saab ujuda?

Lahendus: Funktsioon saavutab max või min, kui selle tuletis on null.

Teeme kindlaks, et maksimum või miinimum on 6 päeva pärast. Selleks võtame teise tuletise.

Vastus: 6 päeva pärast on bakterite minimaalne kontsentratsioon.

peamised omadused.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identsed põhjused

Log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Logaritmide lahendamise näited

Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Loomulikult on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Üleminek uuele vundamendile

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

4. Kus .

Näide 2. Leia x, kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmi valemid. Logaritmide näited lahendused.

Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

B-st lähtuv logaritm a-aluseks tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab astme x () leidmist, mille juures võrdsus on täidetud

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna peaaegu kõik logaritmidega seotud ülesanded ja näited lahendatakse nende põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide summa ja erinevuse valemit (3.4) arvutades kohtate üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kaks.
Logaritmi kümne baasini nimetatakse tavaliselt kümnendlogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x)-ga.

Salvestusest selgub, et põhitõed pole salvestusel kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on astendaja (tähistatakse ln(x)-ga).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline logaritm kahe aluse jaoks on tähistatud

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse seosega

Antud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmiseks toon vaid mõned levinud näited kooli õppekava ja ülikoolid.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

2.
Logaritmide erinevuse omaduse järgi saame

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. Kus .

Välimuse järgi keeruline väljendus mitmete reeglite kasutamine on vormimisel lihtsustatud

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2. Leia x, kui

Lahendus. Arvutamiseks rakendame viimase liikme 5 ja 13 omadusi

Paneme selle protokolli ja leinama

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu logaritmide väärtus antud

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtame muutuja logaritmi, et kirjutada logaritm läbi selle liikmete summa

See on alles meie tutvumise algus logaritmide ja nende omadustega. Harjutage arvutusi, rikastage oma praktilisi oskusi – peagi vajate saadud teadmisi logaritmiliste võrrandite lahendamiseks. Olles uurinud selliste võrrandite lahendamise põhimeetodeid, laiendame teie teadmisi teise jaoks oluline teema- logaritmiline ebavõrdsus...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.