Piramida. Krnja piramida

Piramida naziva se poliedar, čija je jedna strana poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (Slika 15). Piramida se zove ispraviti ako je njegova baza pravilan poligon a vrh piramide je projiciran u središte baze (slika 16). Trokutasta piramida kojoj su svi bridovi jednaki naziva se tetraedar .

Bočno rebro piramidom se naziva stranica bočne plohe koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. Sva bočna rebra pravilna piramida su međusobno jednake, sve bočne strane su jednake jednakokračni trokuti. Visina bočne plohe pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apothema . dijagonalni presjek Odsjek piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Površina bočne površine piramida se zove zbroj površina svih bočnih stranica. područje puna površina je zbroj površina svih bočnih stranica i baze.

Teoremi

1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi podjednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice blizu baze.

2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice blizu baze.

3. Ako su u piramidi sva lica podjednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.

Za izračun volumena proizvoljne piramide točna je formula:

gdje V- volumen;

S glavni- osnovna površina;

H je visina piramide.

Za pravilnu piramidu vrijede sljedeće formule:

gdje str- opseg baze;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S glavni- osnovna površina;

V je volumen pravilne piramide.

krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Ispravna krnja piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide.

Temelji krnja piramida – slični poligoni. Bočna lica - trapez. Visina krnja piramida naziva se udaljenost između njezinih baza. Dijagonalno Krnja piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj plohi. dijagonalni presjek Odsjek krnje piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Za krnju piramidu vrijede formule:

(4)

gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna je ukupna površina;

S strana je površina bočne površine;

H- visina;

V je volumen krnje piramide.

Za pravilnu krnju piramidu vrijedi sljedeća formula:

gdje str 1 , str 2 - perimetri baze;

h a- apotem pravilne krnje piramide.

Primjer 1 U pravilnoj trokutastoj piramidi diedralni kut na bazi je 60º. Odredite tangens kuta nagiba bočnog brida na ravninu baze.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je točna, znači u osnovi jednakostraničan trokut a sve su bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Diedarski kut pri bazi je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linearni kut bit će kut a između dvije okomice, tj. Vrh piramide je projiciran u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokutu ABC). Kut nagiba bočnog rebra (npr SB) je kut između samog brida i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebro SB ovaj kut će biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu morate znati krake TAKO i OB. Neka duljina segmenta BD je 3 a. točka O segment linije BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: Od nalazimo:

Odgovor:

Primjer 2 Odredi obujam pravilne krnje četverokutne piramide ako su dijagonale njezinih baza cm i cm, a visina 4 cm.

Riješenje. Za pronalaženje volumena krnje piramide koristimo formulu (4). Da biste pronašli površine baza, morate pronaći stranice kvadrata baza, znajući njihove dijagonale. Stranice baza su 2 cm, odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:

Odgovor: 112 cm3.

Primjer 3 Odredite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice baza 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokračan trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati baze i visinu. Osnove su date stanjem, samo visina ostaje nepoznata. Pronađite odakle ALI 1 E okomito od točke ALI 1 na ravnini donje baze, A 1 D- okomito od ALI 1 uključeno AC. ALI 1 E\u003d 2 cm, jer je to visina piramide. Za pronalaženje DE napravit ćemo dodatni crtež, u kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Točka O- projekcija središta gornje i donje baze. budući (vidi sliku 20) i S druge strane u redu je polumjer upisane kružnice i OM je polumjer upisane kružnice:

MK=DE.

Prema Pitagorinom teoremu iz

Bočno područje lica:

Odgovor:

Primjer 4 U osnovi piramide nalazi se jednakokračni trapez čije su osnovice a i b (a> b). Svaka bočna strana tvori kut jednak ravnini baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednaka je zbroju površina i površine trapeza ABCD.

Koristimo se tvrdnjom da ako su sve plohe piramide jednako nagnute prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka O- projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na osnovnu ravninu. Prema teoremu o području ortogonalne projekcije ravne figure, dobivamo:

Slično tome, znači Dakle, problem je smanjen na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtaj trapez ABCD odvojeno (slika 22). Točka O je središte kružnice upisane u trapez.

Kako se krug može upisati u trapez, tada ili Prema Pitagorinom teoremu imamo

Ovaj video vodič pomoći će korisnicima da steknu ideju o temi Piramida. Ispravna piramida. U ovoj lekciji ćemo se upoznati s pojmom piramide, dati joj definiciju. Razmotrite što je pravilna piramida i koja svojstva ima. Zatim dokazujemo teorem na bočnoj površini pravilne piramide.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s pojmom piramide, dati joj definiciju.

Razmotrimo poligon A 1 A 2...A n, koja leži u ravnini α, i točka P, koja ne leži u ravnini α (sl. 1). Spojimo točku P sa vrhovima A 1, A 2, A 3, … A n. Dobiti n trokuti: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tako dalje.

Definicija. Poliedar RA 1 A 2 ... A n, sastavljen od n-gon A 1 A 2...A n i n trokuta RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tzv n- piramida ugljena. Riža. jedan.

Riža. jedan

Razmotrimo četverokutnu piramidu PABCD(slika 2).

R- vrh piramide.

ABCD- baza piramide.

RA- bočno rebro.

AB- osnovni rub.

Od točke R ispustiti okomicu RN na ravnini tla ABCD. Povučena okomica je visina piramide.

Riža. 2

Ukupna površina piramide sastoji se od bočne površine, odnosno površine svih bočnih stranica i površine baze:

S puni \u003d S strana + S glavni

Piramida se naziva ispravnom ako:

• baza mu je pravilan poligon;
• segment koji povezuje vrh piramide sa središtem baze je njena visina.

Objašnjenje na primjeru pravilne četverokutne piramide

Razmotrimo pravilnu četverokutnu piramidu PABCD(slika 3).

R- vrh piramide. baza piramide ABCD- pravilan četverokut, odnosno kvadrat. Točka O, sjecište dijagonala, središte je kvadrata. Sredstva, RO je visina piramide.

Riža. 3

Obrazloženje: u desnoj n-gon, središte upisane kružnice i središte opisane kružnice podudaraju se. To se središte naziva središte poligona. Ponekad kažu da se vrh projicira u središte.

Visina bočne strane pravilne piramide, izvučena iz njenog vrha, naziva se apothema i označeno h a.

1. svi bočni bridovi pravilne piramide su jednaki;

2. bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti.

Dokažimo ta svojstva na primjeru pravilne četverokutne piramide.

S obzirom: RABSD- točno četverokutna piramida,

ABCD- kvadrat,

RO je visina piramide.

Dokazati:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Vidi sl. četiri.

Riža. četiri

Dokaz.

RO je visina piramide. Odnosno ravno RO okomito na ravninu ABC, a time i izravna AO, VO, SO i ČINI ležeći u njemu. Dakle, trokuti ROA, ROV, ROS, ROD- pravokutni.

Razmotrimo kvadrat ABCD. Iz svojstava kvadrata slijedi da AO = BO = CO = ČINI.

Zatim pravokutni trokuti ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- opće i noge AO, VO, SO i ČINI jednaki, pa su ti trokuti jednaki po dvije noge. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost odsječaka, RA = PB = PC = PD. Točka 1 je dokazana.

Segmenti AB i Sunce su jednake jer su stranice istog kvadrata, RA = RV = PC. Dakle, trokuti AVR i VCR - jednakokračan i jednak na tri strane.

Slično, dobivamo da su trokuti ABP, BCP, CDP, DAP su jednakokračni i jednaki, što je bilo potrebno dokazati u točki 2.

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovici umnoška opsega baze i apoteme:

Za dokaz odaberemo pravilnu trokutastu piramidu.

S obzirom: RAVS- točno trokutasta piramida.

AB = BC = AC.

RO- visina.

Dokazati: . Pogledajte sl. 5.

Riža. 5

Dokaz.

RAVS je pravilna trokutasta piramida. To je AB= AC = BC. Neka O- središte trokuta ABC, onda RO je visina piramide. Osnova piramide je jednakostranični trokut. ABC. primijeti da .

trokuta RAV, RVS, RSA- jednaki jednakokračni trokuti (po svojstvu). Trokutasta piramida ima tri bočne strane: RAV, RVS, RSA. Dakle, površina bočne površine piramide je:

S strana = 3S RAB

Teorem je dokazan.

Polumjer kruga upisanog u bazu pravilne četverokutne piramide je 3 m, visina piramide je 4 m. Nađite površinu bočne površine piramide.

S obzirom: pravilna četverokutna piramida ABCD,

ABCD- kvadrat,

r= 3 m,

RO- visina piramide,

RO= 4 m.

Pronaći: S strana. Pogledajte sl. 6.

Riža. 6

Riješenje.

Prema dokazanom teoremu, .

Prvo pronađite stranu baze AB. Znamo da je polumjer kruga upisanog u bazu pravilne četverokutne piramide 3 m.

Zatim, m.

Nađi opseg kvadrata ABCD sa stranicom od 6 m:

Razmotrimo trokut BCD. Neka M- srednja strana DC. Jer O- sredina BD, onda (m).

Trokut DPC- jednakokračan. M- sredina DC. To je, RM- medijan, a time i visina u trokutu DPC. Zatim RM- apotem piramide.

RO je visina piramide. Zatim, ravno RO okomito na ravninu ABC, a time i izravan OM ležeći u njemu. Pronađimo apotemu RM iz pravokutni trokut ROM.

Sada možemo pronaći bočnu površinu piramide:

Odgovor: 60 m2.

Polumjer kružnice opisane u blizini baze pravilne trokutaste piramide je m. Bočna površina je 18 m 2. Odredi duljinu apoteme.

S obzirom: ABCP- pravilna trokutasta piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m 2.

Pronaći: . Pogledajte sl. 7.

Riža. 7

Riješenje.

U pravokutnom trokutu ABC zadan polumjer opisane kružnice. Nađimo stranu AB ovaj trokut koristeći sinusni teorem.

Poznavajući stranu pravilnog trokuta (m), nalazimo njegov opseg.

Prema teoremu o površini bočne površine pravilne piramide, gdje h a- apotem piramide. Zatim:

Odgovor: 4 m.

Dakle, ispitali smo što je piramida, što je pravilna piramida, dokazali smo teorem o bočnoj površini pravilne piramide. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa krnjom piramidom.

Bibliografija

1. Geometrija. Razred 10-11: udžbenik za učenike obrazovne ustanove(baza i razine profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izd., Rev. i dodatni - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Geometrija. Razred 10-11: Udžbenik za opće obrazovanje obrazovne ustanove/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za općeobrazovne ustanove s produbljenim i profilnim studijem matematike / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 str.: ilustr.

1. Internet portal "Yaklass" ()
2. Internetski portal „Festival pedagoške ideje"Prvi rujan" ()
3. Internet portal "Slideshare.net" ()

Domaća zadaća

1. Može li pravilan mnogokut biti baza nepravilne piramide?
2. Dokažite da su bridovi pravilne piramide koji se ne sijeku okomiti.
3. Pronađite vrijednost diedralni kut na stranici baze pravilne četverokutne piramide, ako je apotem piramide jednak stranici njezine baze.
4. RAVS je pravilna trokutasta piramida. Konstruirajte linearni kut diedralnog kuta na bazi piramide.

Učenici se susreću s konceptom piramide puno prije proučavanja geometrije. Okrivite poznata velika egipatska čuda svijeta. Stoga, započinjući proučavanje ovog prekrasnog poliedra, većina učenika to već jasno zamišlja. Sve gore navedene znamenitosti su pravilnog oblika. Što desna piramida, te koja svojstva ima i raspravljat će se dalje.

U kontaktu s

Definicija

Postoje mnoge definicije piramide. Od davnina je bio vrlo popularan.

Na primjer, Euklid ga je definirao kao čvrstu figuru, koja se sastoji od ravnina, koje, počevši od jedne, konvergiraju u određenoj točki.

Heron je dao precizniju formulaciju. Inzistirao je da se radi o brojci koja ima bazu i ravnine u obliku trokuta, skupljajući se u jednoj točki.

Na temelju moderne interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar koji se sastoji od određenog k-kuta i k plošne figure trokutast s jednom zajedničkom točkom.

Pogledajmo pobliže, Od kojih se elemenata sastoji?

• k-gon se smatra osnovom figure;
• Kao stranice bočnog dijela strše 3-kutne figure;
• gornji dio, iz kojeg potječu bočni elementi, naziva se vrh;
• svi segmenti koji spajaju vrh nazivaju se bridovi;
• ako se ravna crta spusti od vrha do ravnine figure pod kutom od 90 stupnjeva, tada je njezin dio zatvoren u unutarnjem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bočnom elementu na strani našeg poliedra, možete nacrtati okomicu, koja se naziva apotem.

Broj bridova izračunava se pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-kuta. Koliko stranica ima poliedar poput piramide može se odrediti izrazom k + 1.

Važno! Piramida ispravan oblik zove se stereometrijski lik čija je bazna ravnina k-kut s jednakim stranicama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnoga svojstva, koji su samo njoj jedinstveni. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Rubovi piramide, koji ograničavaju bočne elemente, imaju jednake numeričke vrijednosti.
3. Bočni elementi su jednakokračni trokuti.
4. Osnovica visine figure pada u središte poligona, a istovremeno je središnja točka upisanog i opisanog.
5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravnini baze pod istim kutom.
6. Sve bočne površine imaju isti kut nagiba u odnosu na bazu.

Zahvaljujući svim navedenim svojstvima, izvedba proračuna elemenata je znatno pojednostavljena. Na temelju navedenih svojstava obraćamo pozornost na dva znaka:

1. U slučaju kada poligon stane u krug, bočne strane će imati bazu jednaki kutovi.
2. Kada se opisuje krug oko poligona, svi rubovi piramide koji izlaze iz vrha imat će jednake dužine a s osnovicom jednaki kutovi.

Trg se temelji

Pravilna četverokutna piramida - poliedar koji se temelji na kvadratu.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Na ravnini je prikazan kvadrat, ali se temelje na svim svojstvima pravilnog četverokuta.

Na primjer, ako je potrebno povezati stranicu kvadrata s njegovom dijagonalom, tada se koristi sljedeća formula: dijagonala je jednaka proizvodu stranice kvadrata i kvadratnog korijena dva.

Na temelju pravilnog trokuta

Pravilna trokutasta piramida je poliedar čija je baza pravilan trokut.

Ako je baza pravokutni trokut, a bočni rubovi su jednaki rubovima baze, onda takav lik nazvan tetraedar.

Sva lica tetraedra su jednakostranični trokuti. NA ovaj slučaj morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračuna:

• kut nagiba rebara na bilo koju bazu je 60 stupnjeva;
• vrijednost svih unutarnjih lica također je 60 stupnjeva;
• bilo koje lice može djelovati kao baza;
• nacrtani unutar figure su jednaki elementi.

Odsjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko vrsta odjeljaka avion. Često u školski tečaj geometrije rade s dva:

• aksijalni;
• paralelna osnova.

Osni presjek dobiva se presjekom poliedra s ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne bridove i os. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Ravnina rezanja ograničena je linijama sjecišta sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilnoj piramidi, osni presjek je jednakokračni trokut.

Ako je rezna ravnina paralelna s bazom, rezultat je druga opcija. U ovom slučaju imamo u kontekstu figure sličnu bazi.

Na primjer, ako je baza kvadrat, tada će presjek paralelan s bazom također biti kvadrat, samo manje veličine.

Pri rješavanju problema pod ovim uvjetom koriste se znakovi i svojstva sličnosti figura, na temelju Thalesovog teorema. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako je ravnina nacrtana paralelno s bazom, a ona odsijeca Gornji dio poliedra, tada se u donjem dijelu dobiva pravilna krnja piramida. Tada se za baze krnjeg poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokračni trapezi. Osni presjek je također jednakokračan.

Da bi se odredila visina krnjeg poliedra, potrebno je nacrtati visinu u osnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površinske površine

Glavni geometrijski problemi, koji se moraju riješiti u školskom tečaju geometrije, to su pronalaženje površine i obujma piramide.

Postoje dvije vrste površine:

• područje bočnih elemenata;
• cijelu površinu.

Iz samog naslova je jasno o čemu se radi. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate zbrojiti površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnih trokuta. Pokušajmo izvesti formulu za područje bočnih elemenata:

1. Površina jednakokračnog trokuta je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotem.
2. Broj bočnih ravnina ovisi o vrsti k-kuta na bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravnine. Stoga je potrebno dodati područje od četiri figure Sside \u003d 1/2 (aL) + 1/2 (aL) + 1/2 (aL) + 1/2 (aL) \u003d 1/2 * 4a * L. Izraz je na ovaj način pojednostavljen jer je vrijednost 4a=POS, gdje je POS opseg baze. A izraz 1/2 * Rosn je njegov poluopseg.
3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka umnošku poluopsega baze i apoteme: Sside \u003d Rosn * L.

Površina pune površine piramide sastoji se od zbroja površina bočnih ravnina i baze: Sp.p. = S strana + S baza.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Volumen pravilne piramide jednaka je umnošku površine ravnine baze i visine podijeljene s tri: V=1/3*Sbaza*H, gdje je H visina poliedra.

Što je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četverokutne piramide