Graf funkcije y cos x 2. Grafovi trigonometrijskih funkcija više kutova

"Grafovi funkcija i njihova svojstva" - y = ctg x. 4) Ograničena funkcija. 3) Neparna funkcija. (Graf funkcije je simetričan oko ishodišta). y = tgx. 7) Funkcija je neprekidna na bilo kojem intervalu oblika (?k; ? + ?k). Funkcija y = tg x je kontinuirana na bilo kojem intervalu oblika. 4) Funkcija opada na bilo kojem intervalu oblika (?k; ? + ?k). Graf funkcije y \u003d tg x naziva se tangentoid.

"Grafikon funkcije Y X" - predložak parabole y \u003d x2. Kliknite za prikaz grafikona. Primjer 2. Izgradimo graf funkcije y = x2 + 1, na temelju grafa funkcije y=x2 (klik mišem). Primjer 3. Dokažimo da je graf funkcije y \u003d x2 + 6x + 8 parabola i izgradimo graf. Graf funkcije y=(x - m)2 je parabola s vrhom u točki (m; 0).

"Matematika grafike" - Kako možete graditi grafikone? Najprirodnije funkcionalne ovisnosti odražavaju se uz pomoć grafikona. Zanimljiva aplikacija: crteži, ... Zašto proučavamo grafikone? Grafovi elementarnih funkcija. Što možete nacrtati pomoću grafikona? Razmatramo korištenje grafikona u akademskim predmetima: matematika, fizika, ...

"Grafiranje s derivacijom" - Generalizacija. Konstruirajte skicu grafa funkcije. Odredite asimptote grafa funkcije. Graf derivacije funkcije. Dodatni zadatak. Istražite funkciju. Imenuj intervale opadajuće funkcije. Samostalni rad učenika. Proširite znanje. Lekcija za konsolidaciju proučenog materijala. Ocijenite svoje vještine. Maksimalne točke funkcije.

"Grafikoni s modulom" - Prikaz "donjeg" dijela u gornjoj poluravnini. Modul realnog broja. Svojstva funkcije y = |x|. |x|. Brojke. Algoritam za konstruiranje grafa funkcije. Algoritam konstrukcije. Funkcija y=lhl. Svojstva. Samostalni rad. Funkcija nula. Super savjet. Do-it-yourself rješenje.

"Tangential equation" - Jednadžba tangente. Normalna jednadžba. Ako, tada se krivulje sijeku pod pravim kutom. Uvjeti paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca. Kut između grafova funkcija. Jednadžba tangente na graf funkcije u točki. Neka je funkcija diferencijabilna u točki. Neka su pravci zadani jednadžbama i.

U temi je ukupno 25 prezentacija

Sada ćemo razmotriti pitanje kako nacrtati trigonometrijske funkcije više kutova ωx, gdje ω je neki pozitivan broj.

Za iscrtavanje funkcije y = grijeh ωx Usporedimo ovu funkciju s funkcijom koju smo već proučavali y = sin x. Pretpostavimo da na x = x 0 funkcija y = sin x uzima vrijednost jednaku 0 . Zatim

y 0 = sin x 0 .

Transformirajmo ovaj omjer na sljedeći način:

Prema tome, funkcija y = grijeh ωx na x = x 0 / ω uzima istu vrijednost na 0 , što je funkcija y = sin x na x = x 0 . A to znači da funkcija y = grijeh ωx ponavlja svoje vrijednosti u ω puta češće od funkcije y = sin x. Dakle, graf funkcije y = grijeh ωx dobiven "sažimanjem" grafa funkcije y = sin x u ω puta duž x-osi.

Na primjer, graf funkcije y \u003d sin 2x dobiven "sabijanjem" sinusoide y = sin x dva puta po apscisi.

Grafikon funkcije y \u003d sin x / 2 dobiven "istezanjem" sinusoide y \u003d sin x dva puta (ili "sažimanjem" u 1 / 2 puta) duž x-osi.

Budući da funkcija y = grijeh ωx ponavlja svoje vrijednosti u ω puta češće od funkcije
y = sin x, zatim njegovo razdoblje u ω puta manji od perioda funkcije y = sin x. Na primjer, razdoblje funkcije y \u003d sin 2x jednaki 2π / 2 = π , i period funkcije y \u003d sin x / 2 jednaki π / x / 2 = 4π .

Zanimljivo je proučavati ponašanje funkcije y \u003d sin sjekira na primjeru animacije, koja se vrlo jednostavno može izraditi u programu javor:

Slično se konstruiraju grafikoni za druge trigonometrijske funkcije više kutova. Na slici je prikazan graf funkcije y = cos 2x, koji se dobiva "sabijanjem" kosinusa y = cos x dva puta duž x-osi.

Grafikon funkcije y = cos x / 2 dobiven "razvlačenjem" kosinusnog vala y = cos x dva puta duž x-osi.

Na slici vidite graf funkcije y = tg 2x, dobiven "sabijanjem" tangentoida y = tgx dva puta po apscisi.

Grafikon funkcije y = tg x / 2 , dobiven "istezanjem" tangentoida y = tgx dva puta duž x-osi.

I na kraju, animacija koju izvodi program javor:

Vježbe

1. Izgradite grafove ovih funkcija i označite koordinate točaka presjeka tih grafova s ​​koordinatnim osima. Odredite periode ovih funkcija.

a). y=grijeh 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 i). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg x / 3

u). y=tg 4x / 3 e). y = grijeh 2x / 3

2. Definirajte funkcionalna razdoblja y \u003d sin (πx) i y = tg (πh / 2).

3. Navedite dva primjera funkcije koja uzima sve vrijednosti od -1 do +1 (uključujući ova dva broja) i periodički se mijenja s periodom 10.

4 *. Navedite dva primjera funkcija koje uzimaju sve vrijednosti od 0 do 1 (uključujući ova dva broja) i periodički se mijenjaju s točkom π / 2.

5. Navedite dva primjera funkcija koje uzimaju sve realne vrijednosti i periodički se mijenjaju s periodom 1.

6 *. Navedite dva primjera funkcija koje uzimaju sve negativne vrijednosti i nulu, ali ne uzimaju pozitivne vrijednosti i periodički se mijenjaju s periodom 5.

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcija y=cos(x). Definicija i graf funkcije"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred
Algebarski zadaci s parametrima, 9.–11
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Definicija.
2. Grafik funkcije.
3. Svojstva funkcije Y=cos(X).
4. Primjeri.

Definicija kosinusne funkcije y=cos(x)

Ljudi, već smo se susreli s funkcijom Y=sin(X).

Sjetimo se jedne od formula duhova: sin(X + π/2) = cos(X).

Zahvaljujući ovoj formuli možemo ustvrditi da su funkcije sin(X + π/2) i cos(X) identične, a njihovi grafovi funkcija isti.

Graf sin(X + π/2) funkcije dobiva se iz grafa sin(X) funkcije paralelnim pomicanjem π/2 jedinica ulijevo. Ovo će biti graf funkcije Y=cos(X).

Graf funkcije Y=cos(X) naziva se i sinusoida.

svojstva funkcije cos(x).

Napišimo svojstva naše funkcije:
• Domena definicije je skup realnih brojeva.
• Funkcija je parna. Prisjetimo se definicije parne funkcije. Funkcija se poziva čak i ako vrijedi jednakost y(-x)=y(x). Kao što se sjećamo iz formula duhova: cos(-x)=-cos(x), definicija je ispunjena, tada je kosinus parna funkcija.
• Funkcija Y=cos(X) pada na intervalu, a raste na intervalu [π; 2π]. To možemo provjeriti na grafu naše funkcije.
• Funkcija Y=cos(X) je ograničena odozdo i odozgo. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Najmanja vrijednost funkcije je -1 (za x = π + 2πk). Najveća vrijednost funkcije je 1 (za x = 2πk).
• Funkcija Y=cos(X) je kontinuirana funkcija. Pogledajmo graf i uvjerimo se da naša funkcija nema praznina, što znači kontinuitet.
• Raspon vrijednosti je segment [- 1; jedan]. To je također jasno vidljivo iz grafikona.
• Funkcija Y=cos(X) je periodična funkcija. Pogledajmo ponovno graf i vidimo da funkcija poprima iste vrijednosti u nekim intervalima.

Primjeri s funkcijom cos(x).

1. Riješite jednadžbu cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Rješenje: Izgradimo 2 grafa funkcije: y=cos(x) i y=(x - 2π) 2 + 1 (vidi sliku).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 je parabola pomaknuta udesno za 2π i gore za 1. Naši se grafikoni sijeku u jednoj točki A (2π; 1), ovo je odgovor: x \u003d 2π.

2. Nacrtajte funkciju Y=cos(X) za x ≤ 0 i Y=sin(X) za x ≥ 0

Rješenje: Da bismo izgradili traženi graf, iscrtajmo dva grafa funkcije dio po dio. Prvi odsječak: y=cos(x) za x ≤ 0. Drugi odsjek: y=sin(x)
za x ≥ 0. Oslikajmo oba "komada" na jednom grafu.

3. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije Y=cos(X) na odsječku [π; 7π/4]

Rješenje: Izgradimo graf funkcije i razmotrimo naš segment [π; 7π/4]. Grafikon pokazuje da se najveće i najmanje vrijednosti postižu na krajevima segmenta: u točkama π odnosno 7π/4.
Odgovor: cos(π) = -1 je najmanja vrijednost, cos(7π/4) = najveća vrijednost.

4. Nacrtajte funkciju y=cos(π/3 - x) + 1

Rješenje: cos(-x)= cos(x), tada ćemo željeni graf dobiti pomicanjem grafa funkcije y=cos(x) π/3 jedinice udesno i 1 jedinicu prema gore.

Zadaci za samostalno rješavanje

1) Riješite jednadžbu: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Riješite jednadžbu: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Nacrtajte funkciju y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Nacrtajte funkciju y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije y=cos(x) na segmentu .
6) Nađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y=cos(x) na intervalu [- π/6; 5π/4].