Kako pronaći nazivnik geometrijske progresije. Beskonačno padajuća geometrijska progresija

NUMERIČKI NIZOVI VI

§ l48. Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije

Do sada, govoreći o sumama, uvijek smo pretpostavljali da je broj članova u tim sumama konačan (na primjer, 2, 15, 1000 itd.). Ali kada se rješavaju neki problemi (osobito više matematike), mora se raditi sa zbrojevima beskonačnog broja članova

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Koji su to iznosi? Po definiciji zbroj beskonačnog broja članova a 1 , a 2 , ..., a n , ... zove se limit sume S n prvi P brojevi kada P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Granica (2), naravno, može, ali i ne mora postojati. Prema tome, kaže se da zbroj (1) postoji ili ne postoji.

Kako saznati postoji li zbroj (1) u svakom pojedinom slučaju? Općenito rješenje ovog pitanja daleko nadilazi opseg našeg programa. Međutim, postoji jedan važan poseban slučaj koji sada moramo razmotriti. Govorit ćemo o zbrajanju članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Neka a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... je beskonačno padajuća geometrijska progresija. To znači da | q |< 1. Сумма первых P članovi ove progresije jednaki su

Iz osnovnih teorema o granicama varijabli (vidi § 136) dobivamo:

Ali 1 = 1, a q n = 0. Prema tome

Dakle, zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije jednak je prvom članu ove progresije podijeljen s jedan minus nazivnik ove progresije.

1) Zbroj geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je

a zbroj geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3/2 , ... jednako

2) Jednostavni periodični razlomak 0,454545 ... pretvoriti u obični.

Da bismo riješili ovaj problem, predstavit ćemo ovaj razlomak kao beskonačnu sumu:

Desna strana ove jednakosti je zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije, čiji je prvi član 45/100, a nazivnik 1/100. Zato

Na opisani način može se dobiti i opće pravilo za pretvaranje prostih periodičnih razlomaka u obične (vidi II. poglavlje, § 38):

Da biste pretvorili jednostavnu periodičnu frakciju u običnu, morate postupiti na sljedeći način: stavite razdoblje decimalnog razlomka u brojnik, au nazivnik - broj koji se sastoji od devetki uzetih onoliko puta koliko ima znamenki u razdoblju decimalnog razlomka.

3) Mješoviti periodični razlomak 0,58333 .... pretvoriti u obični razlomak.

Predstavimo ovaj razlomak kao beskonačnu sumu:

Na desnoj strani ove jednakosti svi članovi, počevši od 3/1000, tvore beskonačno padajuću geometrijsku progresiju, čiji je prvi član 3/1000, a nazivnik 1/10. Zato

Na opisani način može se dobiti i opće pravilo za pretvorbu mješovitih periodičnih razlomaka u obične (vidi II. poglavlje, § 38). Namjerno ga ne uključujemo ovdje. Nema potrebe učiti napamet ovo glomazno pravilo. Mnogo je korisnije znati da se svaki mješoviti periodički razlomak može prikazati kao zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije i nekog broja. I formula

za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije, treba se, naravno, sjetiti.

Kao vježbu, pozivamo vas da, uz probleme br. 995-1000 u nastavku, još jednom okrenete problem br. 301 § 38.

Vježbe

995. Kako se zove zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije?

996. Odredi zbrojeve beskonačno padajućih geometrijskih progresija:

997. Za koje vrijednosti x napredovanje

beskonačno opada? Nađite zbroj takve progresije.

998. U jednakostraničnom trokutu sa stranicom a upisuje se novi trokut spajanjem središta njegovih stranica; u taj se trokut na isti način upisuje novi trokut i tako u nedogled.

a) zbroj opsega svih tih trokuta;

b) zbroj njihovih površina.

999. U kvadratu sa stranicom a upisuje se novi kvadrat spajanjem središta njegovih stranica; kvadrat je upisan u ovaj kvadrat na isti način, i tako dalje ad infinitum. Odredite zbroj opsega svih tih kvadrata i zbroj njihovih površina.

1000. Napravite beskonačno padajuću geometrijsku progresiju, tako da je njezin zbroj jednak 25/4, a zbroj kvadrata njegovih članova jednak 625/24.

Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije, odnosno svaki se član razlikuje od prethodnog za q puta. (Pretpostavit ćemo da je q ≠ 1, inače je sve previše trivijalno). Lako je vidjeti da je opća formula n-tog člana geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; članovi s brojevima b n i b m razlikuju se q n – m puta.

Već u starom Egiptu poznavali su ne samo aritmetiku, već i geometrijsku progresiju. Evo, na primjer, zadatka iz papirusa Rhind: “Sedam lica ima sedam mačaka; svaka mačka pojede sedam miševa, svaki miš pojede sedam klasova, iz svakog klasa može izrasti sedam mjera ječma. Koliki su brojevi u ovom nizu i njihov zbroj?

Riža. 1. Staroegipatski problem geometrijske progresije

Taj se zadatak ponavljao mnogo puta s različitim varijacijama među drugim narodima u drugim vremenima. Na primjer, u napisanom u XIII stoljeću. "Knjiga o abakusu" Leonarda iz Pize (Fibonacci) ima problem u kojem se pojavljuje 7 starica na putu za Rim (očito hodočasnika), od kojih svaka ima 7 mazgi, od kojih svaka ima 7 torbi, od kojih svaka ima 7 kruhova, od kojih svaki ima 7 noževa, od kojih je svaki u 7 korica. Problem pita koliko ima stavki.

Zbroj prvih n članova geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Ova se formula može dokazati, na primjer, na sljedeći način: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Dodajmo S n broj b 1 q n i dobijemo:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Stoga S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), i dobivamo potrebnu formulu.

Već na jednoj od glinenih ploča drevnog Babilona, ​​koja datira iz VI stoljeća. PRIJE KRISTA e., sadrži zbroj 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Istina, kao i u nizu drugih slučajeva, ne znamo gdje je ova činjenica bila poznata Babiloncima .

Brzi rast geometrijske progresije u nizu kultura, posebno u Indiji, opetovano se koristi kao jasan simbol neizmjernosti svemira. U poznatoj legendi o pojavi šaha, vladar daje izumitelju šaha mogućnost da sam odabere nagradu, a traži onoliki broj zrna pšenice koliko će se dobiti ako se jedno stavi na prvu ćeliju šaha. šahovskoj ploči, dva na drugoj, četiri na trećoj, osam na četvrtoj itd., svaki put kad se broj udvostruči. Vladyka je mislio da je to najviše nekoliko vreća, ali se prevario. Lako je vidjeti da je za sva 64 polja šahovske ploče izumitelj trebao dobiti (2 64 - 1) zrna, što je izraženo 20-znamenkastim brojem; čak i kad bi se zasijala cijela površina Zemlje, trebalo bi najmanje 8 godina da se prikupi potreban broj zrna. Ova se legenda ponekad tumači kao referenca na gotovo neograničene mogućnosti skrivene u igri šaha.

Činjenicu da je ovaj broj stvarno 20-znamenkasti lako je vidjeti:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (točniji izračun daje 1,84 10 19). Ali pitam se možete li saznati kojom znamenkom ovaj broj završava?

Geometrijska progresija je rastuća ako je nazivnik apsolutne vrijednosti veći od 1, odnosno pada ako je manji od jedan. U potonjem slučaju, broj q n može postati proizvoljno malen za dovoljno velik n. Dok rastući eksponencijal raste neočekivano brzo, opadajući eksponencijal se smanjuje jednako brzo.

Što je n veći, to se broj q n slabije razlikuje od nule i što je zbroj n članova geometrijske progresije S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) bliži broju S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tako je obrazložio, na primjer, F. Viet). Broj S naziva se zbrojem beskonačno padajuće geometrijske progresije. Međutim, stoljećima matematičarima nije bilo dovoljno jasno pitanje koje je značenje zbrajanja SVIH geometrijskih progresija, sa svojim beskonačnim brojem članova.

Opadajuća geometrijska progresija može se vidjeti, primjerice, u Zenonovim aporijama "Grizanje" i "Ahilej i kornjača". U prvom slučaju jasno je pokazano da je cijela cesta (pretpostavimo duljinu 1) zbroj beskonačnog broja segmenata 1/2, 1/4, 1/8 itd. To je, naravno, slučaj od gledište ideja o konačnom zbroju beskonačna geometrijska progresija. Pa ipak - kako to može biti?

Riža. 2. Progresija s faktorom 1/2

U aporiji o Ahileju situacija je malo kompliciranija, jer ovdje nazivnik progresije nije jednak 1/2, već nekom drugom broju. Neka, na primjer, Ahilej trči brzinom v, kornjača se kreće brzinom u, a početna udaljenost između njih je l. Ahilej će pretrčati tu udaljenost za vrijeme l/v, kornjača će prijeći udaljenost lu/v za to vrijeme. Kada Ahilej prođe kroz ovaj segment, udaljenost između njega i kornjače postat će jednaka l (u / v) 2, itd. Ispada da sustizanje kornjače znači pronalaženje zbroja beskonačno padajuće geometrijske progresije s prvim član l i nazivnik u / v. Ovaj zbroj - segment koji će Ahilej na kraju pretrčati do točke susreta s kornjačom - jednak je l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . No, opet, kako taj rezultat treba tumačiti i zašto on uopće ima smisla, dugo nije bilo jasno.

Riža. 3. Geometrijska progresija s koeficijentom 2/3

Zbroj geometrijske progresije koristio je Arhimed pri određivanju površine segmenta parabole. Neka je zadani isječak parabole omeđen tetivom AB i neka je tangenta u točki D parabole paralelna s AB. Neka je C polovište AB, E polovište AC, F polovište CB. Nacrtaj pravce paralelne s DC kroz točke A, E, F, B; neka tangenta povučena u točki D , te se linije sijeku u točkama K , L , M , N . Nacrtajmo i segmente AD i DB. Neka pravac EL siječe pravac AD u točki G, a parabolu u točki H; pravac FM siječe pravac DB u točki Q, a parabolu u točki R. Prema općoj teoriji stožastih presjeka, DC je promjer parabole (to jest, segment paralelan s njezinom osi); ona i tangenta u točki D mogu poslužiti kao koordinatne osi x i y, u kojoj je jednadžba parabole napisana kao y 2 \u003d 2px (x je udaljenost od D do bilo koje točke zadanog promjera, y je duljina segment paralelan zadanoj tangenti od ove točke promjera do neke točke na samoj paraboli).

Na temelju jednadžbe parabole, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a budući da je DK = 2DL , tada je KA = 4LH . Kako je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole jednaka je površini trokuta ΔADB i površinama segmenata AHD i DRB zajedno. S druge strane, površina segmenta AHD jednako je površini trokuta AHD i preostalih segmenata AH i HD, sa svakim od kojih se može izvesti ista operacija - podijeliti u trokut (Δ) i dva preostala segmenta (), itd.:

Površina trokuta ΔAHD jednaka je polovici površine trokuta ΔALD (imaju zajedničku bazu AD, a visine se razlikuju 2 puta), što je pak jednako polovici površine ​trokuta ΔAKD, a time i polovice površine trokuta ΔACD. Dakle, površina trokuta ΔAHD jednaka je četvrtini površine trokuta ΔACD. Isto tako, površina trokuta ΔDRB jednaka je četvrtini površine trokuta ΔDFB. Dakle, površine trokuta ∆AHD i ∆DRB, uzeti zajedno, jednake su četvrtini površine trokuta ∆ADB. Ponavljanje ove operacije primijenjene na segmente AH, HD, DR i RB također će odabrati trokute iz njih, čija će površina, uzeta zajedno, biti 4 puta manja od površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzetih zajedno, dakle 16 puta manje od površine trokuta ΔADB . I tako dalje:

Tako je Arhimed dokazao da je "svaki segment zatvoren između ravne crte i parabole četiri trećine trokuta koji ima istu osnovicu i jednaku visinu s njom."

>>Matematika: Geometrijska progresija

Radi praktičnosti čitatelja, ovaj odjeljak slijedi točno isti plan koji smo slijedili u prethodnom odjeljku.

1. Osnovni pojmovi.

Definicija. Brojevni niz čiji su svi članovi različiti od 0 i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobiva iz prethodnog člana množenjem s istim brojem, zove se geometrijska progresija. U tom se slučaju broj 5 naziva nazivnik geometrijske progresije.

Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (b n) zadan rekurzivno relacijama

Može li se promatranjem niza brojeva utvrditi radi li se o geometrijskoj progresiji? Limenka. Ako ste uvjereni da je omjer bilo kojeg člana niza prema prethodnom članu konstantan, tada imate geometrijsku progresiju.
Primjer 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Primjer 2

Ovo je geometrijska progresija koja
Primjer 3

Ovo je geometrijska progresija koja
Primjer 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ovo je geometrijska progresija gdje je b 1 - 8, q = 1.

Imajte na umu da je ovaj niz također aritmetička progresija (vidi primjer 3 iz § 15).

Primjer 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Očito, geometrijska progresija je rastući niz ako je b 1 > 0, q > 1 (vidi primjer 1), a padajući niz ako je b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Da bi se označilo da je niz (b n) geometrijska progresija, ponekad je prikladna sljedeća oznaka:

Ikona zamjenjuje izraz "geometrijska progresija".
Primjećujemo jedno zanimljivo i ujedno prilično očito svojstvo geometrijske progresije:
Ako slijed je geometrijska progresija, onda niz kvadrata, tj. je geometrijska progresija.
U drugoj geometrijskoj progresiji, prvi član je jednak a jednako q 2.
Ako eksponencijalno odbacimo sve članove koji slijede b n, tada ćemo dobiti konačnu geometrijsku progresiju
U sljedećim paragrafima ovog odjeljka razmotrit ćemo najvažnija svojstva geometrijske progresije.

2. Formula n-tog člana geometrijske progresije.

Razmotrimo geometrijsku progresiju nazivnik q. Imamo:

Nije teško pogoditi da za svaki broj n jednakost

Ovo je formula za n-ti član geometrijske progresije.

Komentar.

Ako ste pročitali važnu napomenu iz prethodnog paragrafa i razumjeli je, pokušajte formulu (1) dokazati matematičkom indukcijom, kao što je to učinjeno za formulu n-tog člana aritmetičke progresije.

Prepišimo formulu n-tog člana geometrijske progresije

i uvesti oznaku: Dobivamo y \u003d mq 2, ili, detaljnije,
Argument x sadržan je u eksponentu, pa se takva funkcija naziva eksponencijalnom funkcijom. To znači da se geometrijska progresija može smatrati eksponencijalnom funkcijom zadanom na skupu N prirodnih brojeva. Na sl. 96a prikazuje graf funkcije sa sl. 966 - graf funkcije U oba slučaja imamo izolirane točke (s apscisama x = 1, x = 2, x = 3 itd.) koje leže na nekoj krivulji (obje slike prikazuju istu krivulju, samo različito smještenu i prikazanu u različitim mjerilima). Ova krivulja se naziva eksponent. Više o eksponencijalnoj funkciji i njezinom grafu bit će riječi u kolegiju algebre za 11. razred.

Vratimo se na primjere 1-5 iz prethodnog paragrafa.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Napravimo formulu za n-ti član
2) Ovo je geometrijska progresija, u kojoj formuliramo n-ti član

Ovo je geometrijska progresija koja Sastavite formulu za n-ti član
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ovo je geometrijska progresija u kojoj je b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Napravimo formulu za n-ti član
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ovo je geometrijska progresija u kojoj je b 1 = 2, q = -1. Sastavite formulu za n-ti član

Primjer 6

S obzirom na geometrijsku progresiju

U svim slučajevima rješenje se temelji na formuli n-tog člana geometrijske progresije

a) Stavljajući n = 6 u formulu n-tog člana geometrijske progresije, dobivamo

b) Imamo

Budući da je 512 \u003d 2 9, dobivamo n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Imamo

Primjer 7

Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 48, zbroj petog i šestog člana progresije je također 48. Nađite dvanaesti član ove progresije.

Prva razina. Izrada matematičkog modela.

Uvjeti zadatka mogu se ukratko napisati na sljedeći način:

Koristeći formulu n-tog člana geometrijske progresije, dobivamo:
Tada se drugi uvjet zadatka (b 7 - b 5 = 48) može napisati kao

Treći uvjet zadatka (b 5 +b 6 = 48) može se napisati kao

Kao rezultat, dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije varijable b 1 i q:

što je u kombinaciji s gore napisanim uvjetom 1) matematički model problema.

Druga faza.

Rad s kompiliranim modelom. Izjednačavanjem lijevih dijelova obiju jednadžbi sustava dobivamo:

(obje strane jednadžbe podijelili smo u izraz b 1 q 4 koji je različit od nule).

Iz jednadžbe q 2 - q - 2 = 0 nalazimo q 1 = 2, q 2 = -1. Zamjenom vrijednosti q = 2 u drugu jednadžbu sustava dobivamo
Zamjenom vrijednosti q = -1 u drugu jednadžbu sustava dobivamo b 1 1 0 = 48; ova jednadžba nema rješenja.

Dakle, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ovaj par je rješenje sastavljenog sustava jednadžbi.

Sada možemo zapisati o kojoj je geometrijskoj progresiji riječ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Treća faza.

Odgovor na problemsko pitanje. Potrebno je izračunati b 12 . Imamo

Odgovor: b 12 = 2048.

3. Formula za zbroj članova konačne geometrijske progresije.

Neka postoji konačna geometrijska progresija

Označimo sa S n zbroj njegovih članova, tj.

Izvedimo formulu za pronalaženje tog zbroja.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je q = 1. Tada se geometrijska progresija b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn sastoji od n brojeva jednakih b 1 , tj. progresija je b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Zbroj ovih brojeva je nb 1 .

Neka je sada q = 1. Za pronalaženje S n koristimo se umjetnom metodom: izvršimo neke transformacije izraza S n q. Imamo:

Izvodeći transformacije, prvo smo koristili definiciju geometrijske progresije, prema kojoj (vidi treći redak razmišljanja); drugo, dodavali su i oduzimali zašto se značenje izraza, naravno, nije promijenilo (vidi četvrti redak razmišljanja); treće, upotrijebili smo formulu n-tog člana geometrijske progresije:

Iz formule (1) nalazimo:

Ovo je formula za zbroj n članova geometrijske progresije (za slučaj kada je q = 1).

Primjer 8

S obzirom na konačnu geometrijsku progresiju

a) zbroj članova progresije; b) zbroj kvadrata njegovih članova.

b) Gore (vidi str. 132) smo već napomenuli da ako se svi članovi geometrijske progresije kvadriraju, tada će se dobiti geometrijska progresija s prvim članom b 2 i nazivnikom q 2. Zatim će se izračunati zbroj šest članova nove progresije

Primjer 9

Pronađite 8. član geometrijske progresije za koji

Zapravo, dokazali smo sljedeći teorem.

Numerički niz je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog njegovog člana, osim prvog (i posljednjeg, u slučaju konačnog niza), jednak umnošku prethodnog i sljedećeg člana (karakteristično svojstvo geometrijske progresije).

Razmotrimo sada pitanje zbrajanja beskonačne geometrijske progresije. Nazovimo djelomični zbroj dane beskonačne progresije zbrojem njegovih prvih članova. Parcijalni zbroj označimo simbolom

Za svaki beskonačni napredak

može se sastaviti (također beskonačan) niz njegovih parcijalnih suma

Neka niz s neograničenim porastom ima limit

U tom slučaju broj S, tj. limit parcijalnih zbrojeva progresije, nazivamo zbrojem beskonačne progresije. Dokazat ćemo da beskonačna padajuća geometrijska progresija uvijek ima zbroj i izvesti formulu za taj zbroj (također možemo pokazati da za beskonačnu progresiju nema zbroja, ne postoji).

Zapisujemo izraz za parcijalni zbroj kao zbroj članova progresije prema formuli (91.1) i razmatramo limit parcijalnog zbroja na

Iz teorema točke 89 poznato je da za padajuću progresiju; dakle, primjenom teorema granice razlike, nalazimo

(ovdje se također koristi pravilo: faktor konstante se izbacuje iz predznaka granice). Postojanje je dokazano, a ujedno je dobivena formula za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije:

Jednakost (92.1) se također može napisati kao

Ovdje se može činiti paradoksalnim da je dobro definirana konačna vrijednost dodijeljena zbroju beskonačnog skupa članova.

Za objašnjenje ove situacije može se dati jasna ilustracija. Promotrimo kvadrat sa stranicom jednakom jedan (slika 72). Taj kvadrat podijelimo vodoravnom crtom na dva jednaka dijela i gornji dio nanesemo na donji tako da dobijemo pravokutnik sa stranicama 2 i . Nakon toga desnu polovicu ovog pravokutnika ponovno podijelimo na pola vodoravnom linijom i pričvrstimo gornji dio na donji (kao što je prikazano na slici 72). Nastavljajući ovaj proces, izvorni kvadrat s površinom jednakom 1 neprestano transformiramo u figure jednake veličine (poprimajući oblik stubišta s tanjim stepenicama).

Beskonačnim nastavkom ovog procesa, cijela površina kvadrata se rastavlja na beskonačan broj članova - površine pravokutnika s bazama jednakim 1 i visinama. Površine pravokutnika samo tvore beskonačnu opadajuću progresiju , njegov zbroj

tj., kao što se i očekivalo, jednak je površini kvadrata.

Primjer. Pronađite zbrojeve sljedećih beskonačnih progresija:

Rješenje, a) Primjećujemo da ova progresija Dakle, formulom (92.2) nalazimo

b) Ovdje to znači da istom formulom (92.2) imamo

c) Nalazimo da je ova progresija Dakle, ova progresija nema zbroj.

U odjeljku 5 prikazana je primjena formule za zbroj članova beskonačno opadajuće progresije na pretvorbu periodičkog decimalnog razlomka u obični razlomak.

Vježbe

1. Zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije je 3/5, a zbroj njezina prva četiri člana je 13/27. Pronađite prvi član i nazivnik progresije.

2. Nađite četiri broja koji čine izmjeničnu geometrijsku progresiju, u kojoj je drugi član manji od prvog za 35, a treći veći od četvrtog za 560.

3. Pokažite slijed što ako

tvori beskonačno padajuću geometrijsku progresiju, zatim niz

za bilo koji oblik beskonačno opadajuća geometrijska progresija. Vrijedi li ova tvrdnja za

Izvedite formulu za umnožak članova geometrijske progresije.

Matematika je štoljudi kontroliraju prirodu i sebe.

Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijska progresija.

Uz zadatke za aritmetičke progresije, zadaci vezani uz pojam geometrijske progresije također su česti na prijemnim ispitima iz matematike. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate poznavati svojstva geometrijske progresije i imati dobre vještine u njihovoj upotrebi.

Ovaj članak posvećen je prikazu glavnih svojstava geometrijske progresije. Također daje primjere rješavanja tipičnih problema, posuđene iz zadataka prijemnih ispita iz matematike.

Preliminarno zabilježimo glavna svojstva geometrijske progresije i prisjetimo se najvažnijih formula i izjava, povezan s ovim pojmom.

Definicija. Numerički niz naziva se geometrijskom progresijom ako je svaki njegov broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem. Broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

Za geometrijsku progresijuformule vrijede

, (1)

gdje . Formula (1) naziva se formulom općeg člana geometrijske progresije, a formula (2) je glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki član progresije podudara se s geometrijskom sredinom svojih susjednih članova i .

Bilješka, da se upravo zbog tog svojstva dotična progresija naziva "geometrijskom".

Gore navedene formule (1) i (2) sažete su kako slijedi:

, (3)

Za izračunavanje zbroja prvi članovi geometrijske progresijeprimjenjuje se formula

Ako odredimo

gdje . Kako je , formula (6) je generalizacija formule (5).

U slučaju kada i geometrijska progresijabeskonačno opada. Za izračunavanje zbrojasvih članova beskonačno padajuće geometrijske progresije koristi se formula

. (7)

Na primjer , pomoću formule (7) može se pokazati, što

gdje . Te se jednakosti dobivaju iz formule (7) uz uvjet da je , (prva jednakost) i , (druga jednakost).

Teorema. Ako tada

Dokaz. Ako tada ,

Teorem je dokazan.

Prijeđimo na razmatranje primjera rješavanja problema na temu "Geometrijska progresija".

Primjer 1 Zadano: , i . Pronaći .

Riješenje. Ako se primijeni formula (5), tada

Odgovor: .

Primjer 2 Neka i . Pronaći .

Riješenje. Kako je i koristimo formule (5), (6) i dobivamo sustav jednadžbi

Ako se druga jednadžba sustava (9) podijeli s prvom, zatim ili . Iz ovoga slijedi . Razmotrimo dva slučaja.

1. Ako , tada iz prve jednadžbe sustava (9) imamo.

2. Ako je , tada .

Primjer 3 Neka , i . Pronaći .

Riješenje. Iz formule (2) slijedi ili . Od , dakle ili .

Po stanju. Međutim dakle . Jer i, onda ovdje imamo sustav jednadžbi

Ako se druga jednadžba sustava podijeli s prvom, tada je ili .

Budući da jednadžba ima jedan odgovarajući korijen. U ovom slučaju prva jednadžba sustava implicira .

Uzimajući u obzir formulu (7), dobivamo.

Odgovor: .

Primjer 4 Zadano: i . Pronaći .

Riješenje. Od tad .

Jer , onda ili

Prema formuli (2) imamo . S tim u vezi, iz jednakosti (10) dobivamo ili .

Međutim, prema uvjetu , dakle .

Primjer 5 Poznato je da . Pronaći .

Riješenje. Prema teoremu imamo dvije jednakosti

Od , dakle ili . Jer dakle .

Odgovor: .

Primjer 6 Zadano: i . Pronaći .

Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo

Od tad . Od , i , tada .

Primjer 7 Neka i . Pronaći .

Riješenje. Prema formuli (1) možemo pisati

Stoga imamo ili . Poznato je da i , dakle i .

Odgovor: .

Primjer 8 Pronađite nazivnik beskonačne padajuće geometrijske progresije ako

i .

Riješenje. Iz formule (7) slijedi i . Odavde i iz uvjeta zadatka dobivamo sustav jednadžbi

Ako je prva jednadžba sustava kvadrirana, a zatim dobivenu jednadžbu podijelite s drugom jednadžbom, onda dobivamo

Ili .

Odgovor: .

Primjer 9 Pronađite sve vrijednosti za koje je niz , , geometrijska progresija.

Riješenje. Neka , i . Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možemo napisati ili .

Odavde dobivamo kvadratnu jednadžbu, čiji su korijeni i .

Provjerimo: ako, zatim , i ; ako , onda , i .

U prvom slučaju imamo i , au drugom - i .

Odgovor: , .

Primjer 10riješiti jednadžbu

, (11)

gdje i .

Riješenje. Lijeva strana jednadžbe (11) je zbroj beskonačne opadajuće geometrijske progresije, u kojoj je i , uz uvjet: i .

Iz formule (7) slijedi, što . S tim u vezi, jednadžba (11) ima oblik ili . prikladan korijen kvadratna jednadžba je

Odgovor: .

Primjer 11. P niz pozitivnih brojevatvori aritmetičku progresiju, a - geometrijska progresija, kakve to ima veze s . Pronaći .

Riješenje. Jer aritmetički niz, onda (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Jer, zatim ili . Iz čega slijedi , da je geometrijska progresija. Prema formuli (2), onda to pišemo .

Od i , dakle . U tom slučaju izraz poprima oblik ili . Po uvjetu, pa iz jednadžbedobivamo jedinstveno rješenje problema koji se razmatra, tj. .

Odgovor: .

Primjer 12. Izračunaj zbroj

. (12)

Riješenje. Obje strane jednakosti (12) pomnožimo s 5 i dobijemo

Ako od dobivenog izraza oduzmemo (12)., onda

ili .

Za izračun zamijenimo vrijednosti u formulu (7) i dobijemo . Od tad .

Odgovor: .

Ovdje navedeni primjeri rješavanja zadataka bit će korisni pristupnicima u pripremi za prijamne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, povezana s geometrijskom progresijom, možete koristiti tutorijale s popisa preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike tehničkim sveučilištima / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.

3. Medynsky M.M. Kompletan tečaj elementarne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. - 208 str.

Imate li kakvih pitanja?

Za pomoć mentora - prijavite se.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.