Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva. Nod i nok dvaju brojeva, Euklidov algoritam

Razmotrite rješenje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm.Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj će oboje napraviti cijeli broj koraka.

Riješenje. Cijeli put koji će dečki proći mora biti djeljiv sa 60 i 70 bez ostatka, jer svaki mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo ispisati sve višekratnike, za broj 75. Dobit ćemo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Sada napišimo brojeve koji će biti višekratnik 60. Dobivamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada pronalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

• Uobičajeni višekratnici brojeva bit će brojevi, 300, 600 itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju, on će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Vraćajući se na uvjet zadatka, najmanja udaljenost na kojoj dečki naprave cijeli broj koraka bit će 300 cm.Dječak će ovaj put proći u 4 koraka, a djevojka će trebati napraviti 5 koraka.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• Najmanji zajednički višekratnik dvaju prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva, nije potrebno zapisati sve višekratnike tih brojeva u nizu.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo, trebate rastaviti ove brojeve na proste faktore.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapišimo sada sve faktore koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodamo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobivamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Umnožak tih brojeva bit će najmanji zajednički faktor za te brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• 1. Rastaviti brojeve na proste faktore.
• 2. Napiši proste faktore koji su dio jednog od njih.
• 3. Ovim faktorima dodajte sve one koji su u razgradnji ostatka, ali ne i u odabranom.
• 4. Pronađite umnožak svih napisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.

Višekratnik broja je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svakim brojem u grupi. Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik, trebate pronaći proste faktore zadanih brojeva. Također, LCM se može izračunati korištenjem niza drugih metoda koje su primjenjive na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Niz višestrukih

Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja koja su oba manja od 10. Ako su navedeni veliki brojevi, upotrijebite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa se ova metoda može koristiti.

1. Višekratnik broja je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. U tablici množenja može se naći više brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapiši niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Učinite to ispod višekratnika prvog broja kako biste usporedili dva reda brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika. Možda ćete morati napisati dugačke nizove višekratnika da biste pronašli ukupni iznos. Najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika brojeva 5 i 8 je 40. Stoga je 40 najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8.

   Rastavljanje na proste faktore

   1. Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja koja su oba veća od 10. Ako su dani manji brojevi, upotrijebite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, pa se ova metoda može koristiti.

   2. Faktoriziraj prvi broj. Odnosno, trebate pronaći takve proste brojeve, kada se pomnože, dobivate zadani broj. Nakon što ste pronašli proste faktore, zapišite ih kao jednakost.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) i 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti faktori broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Zapiši ih kao izraz: .

   3. Rastavite drugi broj na proste faktore. Učinite to na isti način kao što ste rastavili prvi broj na faktore, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dobiti ovaj broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) i 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti faktori broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapiši ih kao izraz: .

   4. Zapiši faktore zajedničke obama brojevima. Zapišite takve faktore kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, prekrižite ga u oba izraza (izrazi koji opisuju rastavljanje brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\times ) i prekrižite 2 u oba izraza.
      • Zajednički faktor za oba broja je još jedan faktor od 2, pa napiši 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) a drugo 2 precrtajte u oba izraza.

   5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu prekriženi u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) oba dvojca (2) su prekrižena jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije prekrižen, pa operaciju množenja zapišite na sljedeći način: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) prekrižene su i obje dvojke (2). Čimbenici 7 i 3 nisu prekriženi, pa operaciju množenja zapišite na sljedeći način: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Izračunaj najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u napisanoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84 je 420.

      Pronalaženje zajedničkih djelitelja

      1. Nacrtajte mrežu kao za igru ​​tic-tac-toe. Takva se mreža sastoji od dvije paralelne crte koje se sijeku (pod pravim kutom) s dvije druge paralelne crte. To će rezultirati s tri retka i tri stupca (mreža dosta sliči znaku #). Napišite prvi broj u prvi red i drugi stupac. Napišite drugi broj u prvi red i treći stupac.

         • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30. Napišite 18 u prvi red i drugi stupac, a napišite 30 u prvi red i treći stupac.

      2. Pronađite zajednički djelitelj oba broja. Zapišite to u prvi red i prvi stupac. Bolje je tražiti proste djelitelje, ali to nije preduvjet.

         • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa im je zajednički djelitelj 2. Dakle, napišite 2 u prvi red i prvi stupac.

      3. Svaki broj podijelite prvim djeliteljem. Svaki kvocijent upiši ispod odgovarajućeg broja. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

         • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa ispod 18 napiši 9.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa napišite 15 ispod 30.

      4. Pronađite zajednički djelitelj obama kvocijentima. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, zapišite djelitelj u drugi red i prvi stupac.

         • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi s 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

      5. Svaki kvocijent podijeli s drugim djeliteljem. Svaki rezultat dijeljenja upiši ispod odgovarajućeg kvocijenta.

         • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa ispod 9 napiši 3.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa ispod 15 napiši 5.

      6. Ako je potrebno, dopunite rešetku dodatnim ćelijama. Ponavljajte gornje korake dok količnici ne dobiju zajednički djelitelj.

      7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i zadnjem retku rešetke. Zatim napiši označene brojeve kao operaciju množenja.

         • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u zadnjem redu, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).

      8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.

         • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30 je 90.

      Euklidov algoritam

      1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Djelitelj je broj kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji ostane kada se dva broja podijele.

         • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odmor. 3:
           15 je djeljiv
           6 je djelitelj
           2 je privatno
           3 je ostatak.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djeliteljom od $a$, a broj $a$ višekratnikom od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva $a$ i $b$, a za njegovu oznaku koristi se oznaka:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​ili \ D \ (a;b)$

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva:

1. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Odredite NNO brojeva $121$ i $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

Rastavimo brojeve na proste faktore

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje tih brojeva

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pronađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, pomoću skupa djelitelja brojeva.

Primjer 3

Odredite NNO brojeva $48$ i $60$.

Riješenje:

Pronađite skup djelitelja od $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$

Pronađimo sada skup djelitelja od $60$:$\ \lijevo\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\)$

Pronađimo presjek ovih skupova: $\lijevo\((\rm 1,2,3,4,6,12)\desno\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.

Definicija NOC-a

Definicija 3

zajednički višekratnik prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Zajednički višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi s originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.

Najmanji zajednički višekratnik nazivat ćemo najmanji zajednički višekratnik i označavati ga s LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Rastavite brojeve na proste faktore
2. Ispiši faktore koji su dio prvog broja i dodaj im faktore koji su dio drugog, a ne idu u prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

Rastavite brojeve na proste faktore

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite čimbenike uključene u prvi

dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu prvom

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

Tvrdnje na kojima se temelji Euklidov algoritam:

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vtočkice b$, onda je $D(a;b)=b$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koje razmatramo dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv s drugim. Tada će manji od tih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
2. Ako $a\vtočke b$ , tada je K$(a;b)=a$

Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, onda je K$(am;bm)=km$

Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ako $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

Za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi jednakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Svaki zajednički djelitelj od $a$ i $b$ je djelitelj od $D(a;b)$

Materijal prikazan u nastavku logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju posvetiti rješavanju primjera. Pokažimo prvo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u smislu GCD tih brojeva. Zatim razmislite o pronalaženju najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također obratiti pažnju na izračun LCM-a negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućuje vam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrite primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

Riješenje.

U ovom primjeru a=126 , b=70 . Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM tih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) pomoću Euklidovog algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Odgovor:

LCM(126, 70)=630.

Primjer.

Što je LCM(68, 34)?

Riješenje.

Jer 68 je ravnomjerno djeljiv s 34 , tada je gcd(68, 34)=34 . Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odgovor:

LCM(68, 34)=68.

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore

Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih faktora tih brojeva, nakon čega iz tog umnoška isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. S druge strane, gcd(a, b) jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd korištenjem dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog umnoška izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u razvitku broja 75 i u razvitku broja 210 (takvi su faktori 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon rastavljanja brojeva 441 i 700 na proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Riješenje.

Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo umnožak svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Na ovaj način, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odgovor:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz proširenja broja a dodamo faktore koji nedostaju iz proširenja broja b, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja na proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz rastavljanja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz rastavljanja broja 210, dobivamo umnožak 2 3 5 5 7 čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Riješenje.

Prvo dobivamo rastavljanje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz rastavljanja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz rastavljanja broja 648, dobivamo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Odgovor:

LCM(84, 648)=4 536 .

Pronalaženje LCM tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetite se odgovarajućeg teorema koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.

Primjer.

Odredite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Riješenje.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo nalazimo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , koji je također određen Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18 , odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Odnosno, m 3 \u003d 3 780.

Preostalo pronaći m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) pomoću Euklidovog algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Odnosno, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik originalna četiri broja je 94 500.

Odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva lako se pronalazi korištenjem prostih faktora zadanih brojeva. U ovom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja pribrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći broj se dodaje dobivenim faktorima, i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću rastavljanja brojeva na proste faktore.

Primjer.

Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Riješenje.

Prvo, dobivamo proširenja ovih brojeva na proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prostih faktora) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2 , 2 , 3 i 7 ) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6 . Proširenje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u razvitku prvog broja 84 . Nadalje faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržan u njemu. Na kraju faktorima 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143 . Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .

Počnimo proučavati najmanji zajednički višekratnik dva ili više brojeva. U odjeljku ćemo dati definiciju pojma, razmotriti teorem koji uspostavlja odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja te dati primjere rješavanja zadataka.

Zajednički višekratnici - definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo zajednički višekratnici cijelih brojeva osim nule.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih zadanih brojeva. Zapravo, to je svaki cijeli broj koji se može podijeliti s bilo kojim od zadanih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gornjoj definiciji za broj 12, zajednički višekratnici su 3 i 2. Također će broj 12 biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 su zajednički višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

U isto vrijeme, zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3 bit će brojevi 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 i niz bilo kojih drugih.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem u paru, a ne djeljivi drugim, tada takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16 , − 27 , 5009 , 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva različitih od nule.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti s obzirom na suprotne brojeve, tada se ispostavlja da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik tih brojeva na isti način kao i broj -k. To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Je li moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik može se pronaći za bilo koji cijeli broj.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dano k cijeli brojevi a 1 , a 2 , … , a k. Broj koji dobijemo množenjem brojeva a 1 a 2 … a k prema svojstvu djeljivosti, podijelit će se svakim od faktora koji su bili uključeni u izvorni proizvod. To znači da umnožak brojeva a 1 , a 2 , … , a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ti cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajedničkih višekratnika. Zapravo, njihov je broj beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k . Tada će umnožak brojeva k · z , gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z . S obzirom da je broj brojeva beskonačan, onda je i broj zajedničkih višekratnika beskonačan.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) - definicija, simbol i primjeri

Prisjetite se koncepta najmanjeg broja iz zadanog skupa brojeva, koji smo razmatrali u odjeljku Usporedba cijelih brojeva. Imajući ovaj koncept na umu, formulirajmo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji ima najveću praktičnu vrijednost među svim zajedničkim višekratnicima.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik zadanih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj zadanih brojeva. Kratica NOK je najčešće korištena za označavanje pojma u referentnoj literaturi. Skraćenica za najmanji zajednički višekratnik za brojeve a 1 , a 2 , … , a kće izgledati kao LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 7 je 42. Oni. LCM(6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik četiriju brojeva - 2, 12, 15 i 3 bit će jednak 60. Stenografija će biti LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​​​= 60 .

Nije za sve skupine zadanih brojeva najmanji zajednički višekratnik očit. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC i NOD

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj su povezani. Odnos između pojmova utvrđuje se teoremom.

Teorem 1

Najmanji zajednički višekratnik dva prirodna broja a i b jednak je umnošku brojeva a i b podijeljenog najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva a i b , odnosno LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Dokaz 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M koji je višekratnik brojeva a i b . Ako je broj M djeljiv s a , postoji i neki cijeli broj z , pod kojim je jednakost M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M također djeljiv sa b, pa onda a k podjeljeno sa b.

Ako uvedemo novi zapis za gcd (a , b) as d, tada možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d . U ovom slučaju, obje jednakosti će biti međusobno prosti brojevi.

To smo već gore utvrdili a k podjeljeno sa b. Sada se ovaj uvjet može napisati na sljedeći način:
a 1 d k podjeljeno sa b 1 d, što je ekvivalentno stanju a 1 k podjeljeno sa b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema svojstvu relativno prostih brojeva, ako a 1 i b 1 su međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljiv sa b 1 usprkos činjenici da a 1 k podjeljeno sa b 1, onda b 1 treba dijeliti k.

U ovom slučaju bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od b1=b:d, onda k = b: d t.

Sada umjesto k staviti u ravnopravnost M = a k izraz forme b: d t. To nam omogućuje da dođemo do ravnopravnosti M = a b: d t. Na t=1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednak a b: d, uz uvjet da su brojevi a i b pozitivan.

Dakle, dokazali smo da je LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućuje vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dvaju ili više zadanih brojeva.

Definicija 3

Teorem ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva jednaki su zajedničkim višekratnicima ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom umnošku.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran je jednakošću M = LCM (a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Kako su a i b međusobno prosti, tada je gcd (a, b) = 1, dakle, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate sukcesivno pronaći LCM dvaju brojeva.

Teorem 2

Hajdemo to pretvarati a 1 , a 2 , … , a k su neki pozitivni cijeli brojevi. Za izračunavanje LCM m k ove brojeve moramo izračunati uzastopno m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1, a k) .

Dokaz 2

Prvi korolar prvog teorema koji se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo točnost drugog teorema. Obrazloženje je izgrađeno prema sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 i a 2 podudaraju s višekratnicima svog LCM-a, zapravo se podudaraju s višekratnicima broja m2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 i a 3 m2 i a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1 , a 2 , … , a k podudaraju se sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 i a k, dakle, podudaraju se s višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , … , a k je m k.

Dakle, dokazali smo teorem.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter