Kako nacrtati izometrijsku figuru. Implementacija pravokutne izometrije, pravokutne dimetrije za određene poglede

Da biste izvršili izometrijsku projekciju bilo kojeg dijela, morate znati pravila za konstrukciju izometrijskih projekcija ravnih i volumetrijskih geometrijskih oblika.

Pravila za izradu izometrijskih projekcija geometrijskih oblika. Konstrukcija bilo koje ravne figure trebala bi započeti s osi izometrijskih projekcija.

Pri konstruiranju izometrijske projekcije kvadrata (slika 109), od točke O po aksonometrijskim osima polaže se u oba smjera polovica duljine stranice kvadrata. Kroz dobivene serife povlače se ravne linije paralelne s osi.

Prilikom konstruiranja izometrijske projekcije trokuta (slika 110), segmenti jednaki polovici stranice trokuta polažu se duž osi X od točke 0 na obje strane. Na os Y od točke O nanese se visina trokuta. Povežite dobivene serife ravnim segmentima.

Riža. 109. Pravokutna i izometrijska projekcija kvadrata

Riža. 110. Pravokutna i izometrijska projekcija trokuta

Prilikom konstruiranja izometrijske projekcije šesterokuta (slika 111), od točke O, duž jedne od osi, odložite (u oba smjera) radijus opisane kružnice, a duž druge - H / 2. Kroz dobivene serife povlače se ravne linije paralelne s jednom od osi, a na njih se postavlja duljina stranice šesterokuta. Povežite dobivene serife ravnim segmentima.

Riža. 111. Pravokutna i izometrijska projekcija šesterokuta

Riža. 112. Pravokutna i izometrijska projekcija kružnice

Prilikom konstruiranja izometrijske projekcije kruga (slika 112), segmenti jednaki njegovom polumjeru iscrtavaju se duž koordinatnih osi iz točke O. Kroz dobivene serife povlače se ravne linije paralelne s osi, dobivajući aksonometrijsku projekciju kvadrata. Iz vrhova 1, 3 povučeni su lukovi CD i KL polumjera 3C. Spojite točke 2 s 4, 3 s C i 3 s D. Na sjecištima ravnih linija dobivaju se središta a i b malih lukova nakon čijeg crtanja dobivaju oval koji zamjenjuje aksonometrijsku projekciju kružnice.

Korištenjem opisanih konstrukcija moguće je izvoditi aksonometrijske projekcije jednostavnih geometrijskih tijela (tablica 10).

10. Izometrijske projekcije jednostavnih geometrijskih tijela

Metode za konstrukciju izometrijske projekcije dijela:

1. Metoda konstruiranja izometrijske projekcije dijela s površine za oblikovanje koristi se za dijelove čiji oblik ima ravnu površinu, nazvanu lice za oblikovanje; širina (debljina) dijela je ista u cijelosti, nema utora, rupa i drugih elemenata na bočnim površinama. Redoslijed za konstrukciju izometrijske projekcije je sljedeći:

1) konstrukcija osi izometrijskih projekcija;

2) konstrukcija izometrijske projekcije lica za oblikovanje;

3) konstrukcija projekcija preostalih lica pomoću slike rubova modela;

Riža. 113. Izrada izometrijske projekcije dijela, polazeći od oblikovane plohe

4) potez izometrijske projekcije (sl. 113).

Metoda konstruiranja izometrijske projekcije koja se temelji na sekvencijalnom uklanjanju volumena koristi se u slučajevima kada se prikazani oblik dobiva kao rezultat uklanjanja bilo kojeg volumena iz izvornog oblika (slika 114).
Metoda konstruiranja izometrijske projekcije koja se temelji na sekvencijalnom povećanju (zbrajanju) volumena koristi se za izvođenje izometrijske slike dijela, čiji se oblik dobiva iz nekoliko volumena međusobno povezanih na određeni način (slika 115). .
Kombinirana metoda konstruiranja izometrijske projekcije. Izometrijska projekcija dijela, čiji je oblik dobiven kombinacijom različitih metoda oblikovanja, izvodi se kombiniranom metodom konstrukcije (slika 116).

Aksonometrijska projekcija dijela može se izvesti sa slikom (slika 117, a) i bez slike (slika 117, b) nevidljivih dijelova obrasca.

Riža. 114. Konstrukcija izometrijske projekcije dijela na temelju sekvencijalnog uklanjanja volumena

Riža. 115 Konstrukcija izometrijske projekcije dijela na temelju uzastopnog povećanja volumena

Riža. 116. Korištenje kombinirane metode konstruiranja izometrijske projekcije dijela

Riža. 117. Varijante slike izometrijskih projekcija dijela: a - sa slikom nevidljivih dijelova;
b - bez slike nevidljivih dijelova

Pravokutna izometrija naziva se aksonometrijska projekcija, kod koje su koeficijenti izobličenja duž sve tri osi jednaki, a kutovi između aksonometrijskih osi iznose 120. Na sl. Slika 1 prikazuje položaj aksonometrijskih osi pravokutne izometrije i metode za njihovu konstrukciju.

Riža. 1. Konstrukcija aksonometrijskih osi pravokutne izometrije pomoću: a) segmenata; b) kompas; c) ugla ili kutomjer.

U praktičnim konstrukcijama preporučuje se da koeficijent izobličenja (K) duž aksonometrijskih osi prema GOST 2.317-2011 bude jednak jedan. U ovom slučaju slika se dobiva veća od teorijske ili točne slike uz faktore izobličenja od 0,82. Povećanje je 1,22. Na sl. Slika 2 prikazuje primjer slike dijela u pravokutnoj izometrijskoj projekciji.

Riža. 2. Izometrijski detalj.

Konstrukcija u izometriji ravnih likova

Zadan je pravilan šesterokut ABCDEF koji se nalazi paralelno s horizontalnom ravninom projekcije H (P 1).

a) Gradimo izometrijske osi (sl. 3).

b) Koeficijent izobličenja duž osi u izometriji jednak je 1, stoga, od točke O 0 duž osi, izdvajamo prirodne vrijednosti segmenata: A 0 O 0 \u003d AO; O 0 D 0 = OD; K 0 O 0 \u003d KO; O 0 P 0 \u003d ILI.

c) Pravci paralelni s koordinatnim osima također se crtaju izometrijski paralelno s odgovarajućim izometrijskim osima u punoj veličini.

U našem primjeru, stranice BC i FE paralelno s osi x.

U izometriji se također crtaju paralelno s osi X u punoj veličini B 0 C 0 \u003d BC; F 0 E 0 = FE.

d) Spajanjem dobivenih točaka dobivamo izometrijsku sliku šesterokuta u H (P 1) ravnini.

Riža. 3. Izometrijska projekcija šesterokuta na crtežu

a u horizontalnoj ravnini projiciranja

Na sl. Slika 4 prikazuje projekcije najčešćih ravnih likova u različitim ravninama projekcija.

Najčešći oblik je krug. Izometrijska projekcija kruga općenito je elipsa. Elipsa je izgrađena od točaka i iscrtana duž uzorka, što je vrlo nezgodno u praksi crtanja. Stoga se elipse zamjenjuju ovalima.

Na sl. 5 ugrađena izometrijska kocka s kružnicama upisanim u svaku stranu kocke. Kod izometrijskih konstrukcija važno je ispravno postaviti osi ovala ovisno o ravnini u kojoj se krug treba nacrtati. Kao što se vidi na sl. 5, glavne osi ovala nalaze se duž veće dijagonale rombova u koje su projicirane stranice kocke.

Riža. 4 Izometrijski prikaz ravnih likova

a) na crtežu; b) na H ravnini; c) na ravnini V; d) na ravnini W.

Za pravokutnu aksonometriju bilo koje vrste, pravilo za određivanje glavnih osi ovalne elipse u koju je projicirana kružnica, koja leži u bilo kojoj ravnini projekcije, može se formulirati na sljedeći način: glavna os ovala je okomita na aksonometrijsku os koja je odsutan u ovoj ravnini, a manji se podudara sa smjerom ove osi. Oblik i veličina ovala u svakoj ravnini izometrijskih projekcija su isti.

Da bi se dobila aksonometrijska projekcija predmeta (sl. 106), potrebno je mentalno: postaviti predmet u koordinatni sustav; odabrati ravninu aksonometrijske projekcije i postaviti predmet ispred nje; odabrati smjer paralelnih projiciranih zraka, koji se ne bi trebao podudarati ni s jednom od aksonometrijskih osi; usmjeriti projicirajuće zrake kroz sve točke predmeta i koordinatne osi dok se ne sijeku s ravninom aksonometrijske projekcije, čime se dobiva slika projiciranog predmeta i koordinatnih osi.

Na ravnini aksonometrijske projekcije dobiva se slika - aksonometrijska projekcija predmeta, kao i projekcije osi koordinatnih sustava, koje se nazivaju aksonometrijske osi.

Aksonometrijska projekcija je slika dobivena na aksonometrijskoj ravnini kao rezultat paralelne projekcije objekta zajedno s koordinatnim sustavom, koji jasno prikazuje njegov oblik.

Koordinatni sustav sastoji se od tri ravnine koje se međusobno sijeku i imaju fiksnu točku - ishodište koordinata (točka O) i tri osi (X, Y, Z) koje izlaze iz njega i nalaze se pod pravim kutom jedna prema drugoj. Koordinatni sustav omogućuje vam mjerenje duž osi, određivanje položaja objekata u prostoru.

Riža. 106. Dobivanje aksonometrijske (pravokutne izometrijske) projekcije

Možete dobiti mnogo aksonometrijskih projekcija postavljanjem predmeta ispred ravnine na različite načine i odabirom različitog smjera projiciranih zraka (slika 107).

Najčešće se koristi tzv. pravokutna izometrijska projekcija (u daljnjem tekstu koristit ćemo se njezinim skraćenim nazivom - izometrijska projekcija). Izometrijska projekcija (vidi sl. 107, a) je takva projekcija u kojoj su koeficijenti izobličenja duž sve tri osi jednaki, a kutovi između aksonometrijskih osi su 120 °. Izometrijska projekcija dobiva se pomoću paralelne projekcije.

Riža. 107. Aksonometrijske projekcije utvrđene GOST 2.317-69:
a - pravokutna izometrijska projekcija; b - pravokutna dimetrijska projekcija;
c - kosa frontalna izometrijska projekcija;
d - kosa frontalna dimetrijska projekcija

Riža. 107. Nastavak: e - kosa horizontalna izometrijska projekcija

U tom su slučaju projicirane zrake okomite na ravninu aksonometrijske projekcije, a koordinatne osi jednako su nagnute prema ravnini aksonometrijske projekcije (vidi sl. 106). Usporedimo li linearne dimenzije predmeta i odgovarajuće dimenzije aksonometrijske slike, vidimo da su na slici te dimenzije manje od stvarnih. Vrijednosti koje pokazuju omjer dimenzija projekcija segmenata linije i njihovih stvarnih dimenzija nazivaju se koeficijenti izobličenja. Koeficijenti izobličenja (K) duž izometrijskih projekcijskih osi su isti i jednaki 0,82, međutim, radi praktičnosti konstrukcije, koriste se takozvani praktični koeficijenti izobličenja, koji su jednaki jedan (slika 108).

Riža. 108. Položaj osi i koeficijenti izobličenja izometrijske projekcije

Postoje izometrijske, dimetrijske i trimetrijske projekcije. Izometrijske projekcije su one projekcije koje imaju iste koeficijente distorzije u sve tri osi. Dimetrijske projekcije nazivaju se takve projekcije u kojima su dva koeficijenta izobličenja duž osi jednaka, a vrijednost trećeg se razlikuje od njih. Trimetrijske projekcije uključuju projekcije kod kojih su svi koeficijenti distorzije različiti.

Što je dimetrija

Dimetrija je jedna od vrsta aksonometrijske projekcije. Zahvaljujući aksonometriji, jednom trodimenzionalnom slikom možete promatrati objekt u tri dimenzije odjednom. Budući da su koeficijenti distorzije svih veličina duž 2 osi isti, ova se projekcija naziva dimetrijom.

Pravokutni dimetrija

Kada je Z "os postavljena okomito, dok X" i Y "osi tvore kutove od 7 stupnjeva 10 minuta i 41 stupanj 25 minuta od horizontalnog segmenta. U pravokutnoj dimetriji, koeficijent distorzije duž Y osi bit će 0,47, a po X i Z osi dvostruko više, tj. 0,94.

Da bi se približno izgradile aksonometrijske osi obične dimetrije, potrebno je prihvatiti da je tg 7 stupnjeva 10 minuta 1/8, a tg 41 stupanj 25 minuta 7/8.

Kako izgraditi dimetriju

Prvo morate nacrtati osi za prikaz objekta u dimetriji. U bilo kojoj pravokutnoj dimetriji, kutovi između osi X i Z su 97 stupnjeva 10 minuta, a između osi Y i Z - 131 stupanj 25 minuta i između Y i X - 127 stupnjeva 50 minuta.

Sada je potrebno iscrtati osi na ortogonalnim projekcijama prikazanog objekta, uzimajući u obzir odabrani položaj objekta za crtanje u dimetričnoj projekciji. Nakon što završite prijenos na volumetrijski prikaz ukupnih dimenzija objekta, možete početi crtati manje elemente na površini objekta.

Vrijedno je zapamtiti da su krugovi u svakoj dimetričnoj ravnini prikazani odgovarajućim elipsama. U dimetričnoj projekciji bez izobličenja duž X i Z osi, glavna os naše elipse u sve 3 ravnine projekcije bit će 1,06 promjera nacrtane kružnice. A mala os elipse u ravnini XOZ iznosi 0,95 promjera, a u ravninama ZOY i XOY 0,35 promjera. U dimetričnoj projekciji s distorzijom duž osi X i Z, velika os elipse jednaka je promjeru kružnice u svim ravninama. U ravnini XOZ mala os elipse iznosi 0,9 promjera, dok u ravninama ZOY i XOY iznosi 0,33 promjera.

Da biste dobili detaljniju sliku, potrebno je prorezati detalje na dimetru. Sjenčanje pri brisanju izreza treba primijeniti paralelno s dijagonalom projekcije odabranog kvadrata na traženu ravninu.

Što je izometrija

Izometrija je jedna od vrsta aksonometrijske projekcije, gdje su udaljenosti pojedinačnih segmenata na sve 3 osi iste. Izometrijska projekcija aktivno se koristi u inženjerskim crtežima za prikaz izgleda objekata, kao iu raznim računalnim igrama.

U matematici je izometrija poznata kao transformacija metričkog prostora koja čuva udaljenost.

Pravokutna izometrija

U pravokutnoj (ortogonalnoj) izometriji, aksonometrijske osi međusobno stvaraju kutove koji su jednaki 120 stupnjeva. Os Z je u okomitom položaju.

Kako crtati izometriju

Konstrukcija izometrije objekta omogućuje dobivanje najizrazitije ideje o prostornim svojstvima prikazanog objekta.

Prije nego počnete graditi crtež u izometrijskoj projekciji, morate odabrati takav raspored prikazanog objekta tako da njegova prostorna svojstva budu što vidljivija.

Sada morate odlučiti o vrsti izometrije koju ćete nacrtati. Postoje dvije vrste: pravokutni i vodoravni kosi.

Nacrtajte osi laganim, tankim linijama tako da je slika u sredini lista. Kao što je ranije spomenuto, kutovi u pravokutnom izometrijskom pogledu trebaju biti 120 stupnjeva.

Počnite crtati izometriju točno od gornje površine slike objekta. Iz uglova rezultirajuće vodoravne površine potrebno je nacrtati dvije okomite ravne crte i na njima odvojiti odgovarajuće linearne dimenzije objekta. U izometrijskoj projekciji, sve linearne dimenzije duž sve tri osi ostat će višekratnik jedan. Zatim je potrebno uzastopno povezati stvorene točke na okomitim linijama. Rezultat je vanjska kontura objekta.

Treba imati na umu da će pri prikazivanju bilo kojeg objekta u izometrijskoj projekciji vidljivost krivocrtnih detalja nužno biti iskrivljena. Krug mora biti nacrtan kao elipsa. Segment između točaka kruga (elipse) duž osi izometrijske projekcije mora biti jednak promjeru kruga, a osi elipse neće se podudarati s osi izometrijske projekcije.

Ako prikazani objekt ima skrivene šupljine ili složene elemente, pokušajte zasjeniti. Može biti jednostavna ili stepenasta, sve ovisi o složenosti elemenata.

Imajte na umu da se sva konstrukcija mora izvoditi strogo pomoću alata za crtanje. Koristite nekoliko olovaka različite tvrdoće.

Aksonometrija

Aksonometrija (od grč. axcon- os i metreo- mjerim) daje vizualnu sliku predmeta na jednoj ravnini.

Aksonometrijska slika objekta dobiva se projiciranjem paralelno na jednu ravninu projekcije zajedno s osi pravokutnih koordinata na koje se taj objekt odnosi.

Koeficijenti izobličenja duž osi u aksonometriji određuje se omjerom aksonometrijskih koordinatnih segmenata prema njihovoj prirodnoj vrijednosti s istim mjernim jedinicama.

Koeficijenti prirodnog izobličenja znače:

duž osi x – u ;
duž osi g – v ;
duž osi z – w .

Ovisno o usporednoj vrijednosti koeficijenata izobličenja duž osi, postoje tri vrste aksonometrije:

izometrija- sva tri koeficijenta distorzije su međusobno jednaka: u=v=w .

Dimetrija- dva koeficijenta distorzije su međusobno jednaka i razlikuju se od trećeg u=v≠w ; v=w≠u ; u=w≠v .

Trimetrija- sva tri koeficijenta distorzije nisu međusobno jednaka: u≠v≠w .

Ovisno o smjeru projiciranja, aksonometrijske projekcije se dijele na pravokutan(smjer projiciranja je okomit na ravninu aksonometrijskih projekcija) i kosi(smjer projiciranja nije okomit na ravninu aksonometrijskih projekcija).

Pravokutne projekcije

izometrija

Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na sl.1.

Sl. 1.

Faktor aksijalne distorzije x, g, z jednako 0,82.

Izometrija za jednostavnost, u pravilu, izvodi se bez izobličenja duž osi x, g, z, tj. uzimajući faktor izobličenja jednak 1.

Ovako konstruirana slika bit će 1,22 puta veća od samog objekta, tj. skala slike bit će M 1,22:1.

Kružnice koje leže u ravninama paralelnim s ravninama projekcija projiciraju se na ravninu aksonometrijske projekcije u elipse (slika 2). Ako se izometrijska projekcija izvodi bez iskrivljenja duž osi x, g, z, tada je velika os elipsa 1, 2, 3 jednaka 1,22, a mala os 0,71 promjera kruga. Ako se izvodi izometrijska projekcija s distorzijom duž osi x, g, z, tada je velika os elipsa 1, 2, 3 jednaka promjeru kruga, a mala os 0,58 promjera kruga.

Primjer izometrijske projekcije dijela prikazan je na sl.3.

Dimetrija

Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na sl.4.

sl.4.

Faktor izobličenja osi g jednak je 0,47, a duž osi x i z – 0,94.

Dimetrijska projekcija se u pravilu izvodi bez izobličenja duž osi x i z i s faktorom izobličenja od 0,5 duž osi g.

Aksonometrijsko mjerilo bit će M 1,06:1.

Kružnice koje leže u ravninama paralelnim s ravninama projekcija projiciraju se na ravninu aksonometrijske projekcije u elipse (slika 5). Ako se dimetrijska projekcija izvodi bez izobličenja duž osi x i z, tada je velika os elipsa 1, 2, 3 jednaka 1,06 promjera kruga, a mala os elipse 1 0,95, elipsa 2 i 3 0,35 promjera kruga. Ako se dimetrijska projekcija izvodi s distorzijom po osi x i z, tada je velika os elipsa 1, 2, 3 jednaka promjeru kružnice, a mala os elipse 1 0,9, elipsa 2 i 3 0,33 promjera kružnice.

Primjer dimetrijske projekcije dijela prikazan je na sl.6.

kose projekcije

Izometrijski frontalni

Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na sl.7.

Dopušteno je koristiti frontalne izometrijske projekcije s kutom nagiba osi y 30 i 60 °.

Frontalna izometrijska projekcija izvodi se bez izobličenja duž osi x, g, z.

Kružnice koje leže u ravninama paralelnim s ravninom frontalne projekcije projiciraju se na aksonometrijsku ravninu u kružnicama, a kružnice koje leže u ravninama paralelnim s ravninom horizontalne i profilne projekcije projiciraju se u elipse (slika 8). Velika os elipsa 2 i 3 je 1,3, a mala os 0,54 promjera kruga.

Primjer frontalne izometrijske projekcije dijela prikazan je na sl. 9.

Izometrijska horizontala

Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na sl.10.

Dopušteno je koristiti horizontalne izometrijske projekcije s kutom nagiba osi g 45 i 60°, održavajući kut između osi x i g 90°.

Horizontalna izometrijska projekcija izvodi se bez izobličenja duž osi x, g i z.

Kružnice koje leže u ravninama paralelnim s horizontalnom projekcijskom ravninom projiciraju se na ravninu aksonometrijske projekcije u kružnicama, a kružnice koje leže u ravninama paralelnim s frontalnom i profilnom projekcijskom ravninom projiciraju se u elipse (slika 11). Velika os elipse 1 iznosi 1,37, a mala os 0,37 promjera kruga. Velika os elipse 3 je 1,22, a mala os 0,71 promjera kruga. Osi frontalne dimetrije

Dopušteno je koristiti frontalne dimetrijske projekcije s kutom nagiba osi y 30 i 60 °.

Faktor izobličenja osi g je 0,5, a duž osi x i z – 1.

Kružnice koje leže u ravninama paralelnim s ravninom frontalne projekcije projiciraju se na ravninu aksonometrijske projekcije u kružnicama, a kružnice koje leže u ravninama paralelnim s ravninom horizontalne i profilne projekcije projiciraju se u elipse (slika 14). Velika os elipse 2 i 3 je 1,07, a mala os 0,33 promjera kruga.

Primjer frontalne dimetrijske projekcije dijela prikazan je na sl.15.