Kako je oduzimanje vektora u fizici. Pravila zbrajanja kolinearnih vektora

standardna definicija: "Vektor je usmjereni segment." To je obično granica znanja diplomanta o vektorima. Kome trebaju nekakvi "režirani segmenti"?

Ali zapravo, što su vektori i zašto jesu?
Vremenska prognoza. "Vjetar sjeverozapadni, brzina 18 metara u sekundi." Slažem se, i smjer vjetra (odakle puše) i modul (tj. apsolutna vrijednost) njegovu brzinu.

Veličine koje nemaju smjer nazivaju se skalari. težina, rad, električno punjenje nije nigdje poslano. Karakterizirani su samo brojčana vrijednost- “koliko kilograma” ili “koliko džula”.

Fizičke veličine koje imaju ne samo apsolutna vrijednost, ali i pravac, nazivaju se vektor.

Brzina, sila, ubrzanje - vektori. Za njih je važno "koliko" i važno je "gdje". Na primjer, ubrzanje slobodan pad usmjeren na površinu Zemlje, a njegova vrijednost je 9,8 m / s 2. zamah, napetost električno polje, indukcija magnetsko polje su također vektorske veličine.

Sjećaš li se toga fizikalne veličine označena slovima, latinskim ili grčkim. Strelica iznad slova označava da je količina vektor:

Evo još jedan primjer.
Auto se kreće od A do B. Krajnji rezultat je njegovo kretanje od točke A do točke B, odnosno kretanje vektorom.

Sada je jasno zašto je vektor usmjeren segment. Obratite pozornost, kraj vektora je mjesto gdje je strelica. Duljina vektora naziva se duljina ovog segmenta. Određeno: ili

Do sada smo radili sa skalarnim veličinama, prema pravilima aritmetike i elementarne algebre. Vektori su novi koncept. Ovo je druga klasa matematički objekti. Imaju svoja pravila.

Nekad davno nismo ni znali za brojke. Poznanstvo s njima počelo je u niže razrede. Pokazalo se da se brojevi međusobno mogu uspoređivati, zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Naučili smo da postoji broj jedan i broj nula.
Sada upoznajemo vektore.

Koncepti "veće od" i "manje od" ne postoje za vektore - uostalom, njihovi smjerovi mogu biti različiti. Možete uspoređivati samo duljine vektora.

Ali koncept jednakosti za vektore jest.
Jednak nazivaju se vektori koji imaju iste dužine i isti smjer. To znači da se vektor može pomaknuti paralelno sa samim sobom u bilo koju točku u ravnini.
singl naziva se vektor čija je duljina 1 . Nula - vektor čija je duljina jednaka nuli, odnosno njegov početak se poklapa s krajem.

Najprikladnije je raditi s vektorima pravokutni sustav koordinate – isti onaj u kojem crtamo grafove funkcija. Svakoj točki u koordinatnom sustavu odgovaraju dva broja - njezine x i y koordinate, apscisa i ordinata.
Vektor je također dan s dvije koordinate:

Ovdje su koordinate vektora napisane u zagradama - u x i u y.
Lako ih je pronaći: koordinata kraja vektora minus koordinata njegovog početka.

Ako su zadane koordinate vektora, njegova se duljina nalazi po formuli

Vektorski dodatak

Postoje dva načina dodavanja vektora.

jedan . pravilo paralelograma. Da bismo dodali vektore i , postavljamo ishodišta oba u istu točku. Dovršavamo paralelogram i iz iste točke povlačimo dijagonalu paralelograma. Ovo će biti zbroj vektora i .

Sjećate li se bajke o labudu, raku i štuci? Jako su se trudili, ali nikako nisu pomaknuli kolica. Uostalom, vektorski zbroj sila koje su oni djelovali na kolica bio je jednak nuli.

2. Drugi način dodavanja vektora je pravilo trokuta. Uzmimo iste vektore i . Na kraj prvog vektora dodajemo početak drugog. Sada spojimo početak prve i kraj druge. Ovo je zbroj vektora i .

Prema istom pravilu, možete dodati nekoliko vektora. Pričvršćujemo ih jedan po jedan, a zatim povezujemo početak prvog s krajem posljednjeg.

Zamislite da idete od točke A do točke B, od B do C, od C do D, zatim do E i onda do F. Krajnji rezultat ovih radnji je pomak od A do F.

Zbrajanjem vektora i dobivamo:

Vektorsko oduzimanje

Vektor je usmjeren suprotno od vektora . Duljine vektora i su jednake.

Sada je jasno što je oduzimanje vektora. Razlika vektora i je zbroj vektora i vektora .

Pomnožite vektor s brojem

Množenje vektora s brojem k rezultira vektorom čija je duljina k puta različita od duljine . Istosmjeran je s vektorom ako je k Iznad nule, a usmjeren je suprotno ako je k manji od nule.

Točkasti umnožak vektora

Vektori se mogu množiti ne samo brojevima, već i međusobno.

Skalarni umnožak vektora umnožak je duljina vektora i kosinusa kuta između njih.

Obratite pozornost – pomnožili smo dva vektora, dobili smo skalar, odnosno broj. Na primjer, u fizici mehanički rad jednaka je skalarnom umnošku dva vektora - sile i pomaka:

Ako su vektori okomiti, njihov točkasti produkt je nula.
I ovako se skalarni umnožak izražava u smislu koordinata vektora i:

Iz formule za točkasti proizvod možete pronaći kut između vektora:

Ova je formula posebno prikladna u stereometriji. Na primjer, u problemu 14 profilni ispit u matematici morate pronaći kut između pravaca koji se sijeku ili između pravca i ravnine. Zadatak 14 često se vektorskom metodom rješava nekoliko puta brže nego klasičnom.

NA školski plan i program u matematici se proučava samo skalarni produkt vektora.
Ispada da, osim skalara, postoji i vektorski proizvod, kada se vektor dobije kao rezultat množenja dva vektora. Tko položi ispit iz fizike, zna što je Lorentzova sila i Amperova sila. Formule za pronalaženje tih sila uključuju točno vektorske produkte.

Vektori su vrlo koristan matematički alat. U to ćete se uvjeriti na prvom tečaju.

Definicija

Zbrajanje vektora i provodi se prema pravilo trokuta.

iznos dva vektora a naziva se takav treći vektor čiji se početak podudara s početkom, a kraj s krajem, pod uvjetom da se kraj vektora i početak vektora podudaraju (sl. 1).

Za dodatak vektori Također vrijedi pravilo paralelograma.

Definicija

pravilo paralelograma- ako dva nekolinearna vektora u vode u zajedničko ishodište, tada se vektor podudara s dijagonalom paralelograma izgrađenog na vektorima u (slika 2). Štoviše, početak vektora podudara se s početkom zadanih vektora.

Definicija

Vektor se zove suprotni vektor vektoru ako ga kolinearni vektor , jednak mu po duljini, ali usmjeren u suprotnom smjeru od vektora.

Operacija zbrajanja vektora ima sljedeća svojstva:

Definicija

razlika vektori a vektor se naziva takav da je zadovoljen uvjet: (slika 3).

Pomnožite vektor s brojem

Definicija

raditi vektor po broju naziva se vektor koji zadovoljava uvjete:

Svojstva množenja vektora brojem:

Ovdje su u proizvoljni vektori, a proizvoljni brojevi.

Euklidski prostor(također Euklidski prostor) - u izvornom smislu prostor čija se svojstva opisuju aksiomi euklidska geometrija. U ovom slučaju se pretpostavlja da prostor ima dimenzija jednako 3.

U suvremenom smislu, u općenitijem smislu, može označavati jedan od sličnih i blisko povezanih objekata: konačnodimenzionalni stvaran vektorski prostor s pozitivno određenim skalarni proizvod, ili metrički prostor koji odgovara takvom vektorskom prostoru. U ovom članku će se prva definicija uzeti kao početna.

Često se koristi i dimenzionalni euklidski prostor (ako je iz konteksta jasno da prostor ima euklidsku strukturu).

Za definiranje euklidskog prostora najlakše ga je uzeti kao glavni pojam točkasti proizvod. Euklidski vektorski prostor je definiran kao konačnodimenzionalni vektorski prostor iznad polje realni brojevi, na čijim vektorima funkcija realne vrijednosti sa sljedeća tri svojstva:

afini prostor, koji odgovara takvom vektorskom prostoru, naziva se Euklidski afini prostor ili jednostavno Euklidski prostor .

Primjer euklidskog prostora je koordinatni prostor koji se sastoji od svih mogućih n-ok realni brojevi skalarni umnožak u kojem se određuje formulom

Bazisne i vektorske koordinate

Osnova (drugi grčkiβασις, osnova) - skup takvih vektori u vektorski prostor da se svaki vektor ovog prostora može jedinstveno prikazati kao linearna kombinacija vektori iz ovog skupa - bazni vektori.

U slučaju kada je baza beskonačna, potrebno je pojasniti pojam "linearne kombinacije". To dovodi do dvije glavne vrste definicija:

Hamelova osnova, čija definicija razmatra samo konačne linearne kombinacije. Hamelova baza koristi se uglavnom u apstraktnoj algebri (osobito u linearnoj algebri).

Schauderova osnova, čija definicija također razmatra beskonačne linearne kombinacije, naime, širenje u činovi. Ova se definicija koristi uglavnom u funkcionalnoj analizi, posebno za Hilbertov prostor,

U konačnodimenzionalnim prostorima obje se vrste baze podudaraju.

Vektorske koordinate su koeficijenti jedinog mogućeg linearna kombinacija Osnovni, temeljni vektori u odabranom koordinatni sustav jednak zadanom vektoru.

gdje su koordinate vektora.

Skalarni produkt.

operacija na dva vektori, čiji je rezultat broj[kada se vektori razmatraju, brojevi se često nazivaju skalari], koji ne ovisi o koordinatnom sustavu i karakterizira duljine vektora faktora i kutak između njih. Ova operacija odgovara množenju duljina vektor x na projekcija vektor g po vektoru x. Ova se operacija obično smatra komutativni i linearni za svaki faktor.

Skalarni produkt dva vektora jednaka je zbroju proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata:

vektorski proizvod

ovo je pseudovektor, okomito ravnina konstruirana od dva faktora, što je rezultat binarna operacija"množenje vektora" preko vektori u 3D euklidski prostor. Vektorski proizvod nema svojstva komutativnost i asocijativnost(je antikomutativni) i, za razliku od točkasti umnožak vektora, je vektor. Široko se koristi u mnogim tehničkim i fizičkim primjenama. Na primjer, kutni moment i Lorentzova sila matematički zapisan kao vektorski produkt. Križni produkt koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - modul križnog produkta dvaju vektora jednak je produktu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

vektorski proizvod dva vektora mogu se izračunati pomoću determinanta matrice

mješoviti proizvod

Mješoviti proizvod vektori -skalarni proizvod vektor na vektorski proizvod vektori i:

Ponekad se zove trostruki skalarni produkt vektora, očito zbog činjenice da je rezultat skalar(točnije - pseudoskalarno).

Geometrijski smisao: Modul miješanog proizvoda brojčano je jednak volumenu paralelopiped obrazovan vektori .mješoviti proizvod preko determinante mogu se pronaći tri vektora

Avion u svemiru

Avion - algebarska površina prvi red: u Kartezijev koordinatni sustav ravnina se može postaviti jednadžba prvi stupanj.

Neka karakteristična svojstva ravnine

avion - površinski, koji sadrži potpuno svaki direktno, povezivanje bilo kojeg bodova;

Dvije ravnine su ili paralelne ili se sijeku pravocrtno.

Pravac je ili paralelan s ravninom, ili je siječe u jednoj točki, ili je na ravnini.

Dva pravca okomita na istu ravninu međusobno su paralelna.

Dvije ravnine okomite na isti pravac međusobno su paralelne.

Na sličan način segment i interval, ravnina koja ne uključuje ekstremne točke može se nazvati intervalnom ravninom ili otvorenom ravninom.

Opća jednadžba (potpuna) ravnine

gdje su i konstante, au isto vrijeme nisu jednake nuli; u vektor oblik:

gdje je radijus vektor točke, vektor okomito na ravninu (normalni vektor). Vodičikosinusima vektor:

Vektor \(\overrightarrow(AB)\) može se promatrati kao pomicanje točke iz položaja \(A\) (početak kretanja) u položaj \(B\) (kraj kretanja). Odnosno, putanja kretanja u ovom slučaju nije važna, važni su samo početak i kraj!

\(\blacktriangleright\) Dva vektora su kolinearna ako leže na istom pravcu ili na dva paralelna pravca.
Inače, vektori se nazivaju nekolinearnim.

\(\blacktriangleright\) Za dva kolinearna vektora kažemo da su susmjerna ako su im smjerovi isti.
Ako su im smjerovi suprotni, onda se nazivaju suprotno usmjerenim.

Pravila dodavanja kolinearni vektori:

susmjerni kraj prvi. Tada je njihov zbroj vektor čiji se početak podudara s početkom prvog vektora, a kraj s krajem drugog (slika 1).

\(\blacktriangleright\) Za dodavanje dva suprotnih smjerova vektora, možete odgoditi drugi vektor od početak prvi. Tada je njihov zbroj vektor, čiji se početak podudara s početkom oba vektora, duljina je jednaka razlici duljina vektora, smjer se podudara sa smjerom duljeg vektora (slika 2).

Pravila za dodavanje nekolinearnih vektora \(\overrightarrow (a)\) i \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) Pravilo trokuta (slika 3).

Potrebno je odgoditi vektor \(\strelica udesno (b)\) od kraja vektora \(\strelica udesno (a)\) . Tada je zbroj vektor čiji se početak poklapa s početkom vektora \(\strelica preko desno (a)\) , a kraj se poklapa s krajem vektora \(\strelica preko desno (b)\) .

\(\blacktriangleright\) Pravilo paralelograma (slika 4).

Potrebno je odgoditi vektor \(\strelica prekodesno (b)\) od početka vektora \(\strelica prekodesno (a)\) . Zatim zbroj \(\strelica iznad desno (a)+\strelica iznad desno (b)\) je vektor koji koincidira s dijagonalom paralelograma izgrađenog na vektorima \(\strelica udesno (a)\) i \(\strelica udesno (b)\) (čiji se početak podudara s početkom oba vektora).

\(\blacktriangleright\) Za pronalaženje razlike dvaju vektora \(\strelica iznad desno(a)-\strelica iznaddesno(b)\), trebate pronaći zbroj vektora \(\strelica prekodesna (a)\) i \(-\strelica prekodesno(b)\) : \(\strelica preko desne(a)-\strelica preko desne(b)=\strelica preko desne(a)+(-\strelica preko desne(b))\)(slika 5).

1. zadatak #2638

Razina zadatka: Teža od ispita

Zadan je pravokutni trokut \(ABC\) s pravim kutom \(A\) , točka \(O\) je središte opisane kružnice oko zadanog trokuta. Vektorske koordinate \(\desna strelica(AB)=\(1;1\)\), \(\desna strelica(AC)=\(-1;1\)\). Pronađite zbroj koordinata vektora \(\overrightarrow(OC)\) .

Jer trokut \(ABC\) je pravokutan, tada središte opisane kružnice leži u sredini hipotenuze, tj. \(O\) je sredina \(BC\) .

primijeti da \(\desna strelica(BC)=\desnastrelica(AC)-\desnastrelica(AB)\), Posljedično, \(\desna strelica(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

Jer \(\desna strelica(OC)=\dfrac12 \desnastrelica(BC)\), onda \(\desna strelica(OC)=\(-1;0\)\).

Stoga je zbroj koordinata vektora \(\overrightarrow(OC)\) jednak \(-1+0=-1\) .

Odgovor: -1

2. zadatak #674

Razina zadatka: Teža od ispita

\(ABCD\) je četverokut čije stranice sadrže vektore \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow(DA) \) . Nađi duljinu vektora \(\strelica preko desno(AB) + \strelica preko desno(BC) + \strelica preko desno(CD) + \strelica preko desno(DA)\).

\(\strelica iznad desno(AB) + \strelica iznaddesno(BC) = \strelica iznaddesno(AC)\), \(\strelica preko desno(AC) + \strelica preko desno(CD) = \strelica iznaddesno(AD)\), onda
\(\strelica preko desne strane(AB) + \strelica preko desne strane(BC) + \strelica preko desne strane(CD) + \strelica preko desne strane(DA) = \strelica preko desne strane(AC) + \strelica preko desne strane(CD) + \strelica preko desne strane(DA)= \strelice preko desne strane(AD) + \strelica iznad desno(DA) = \strelica iznaddesno(AD) - \strelica iznaddesno(AD) = \vec(0)\).
Nulti vektor ima duljinu jednaku \(0\) .

Dakle, vektor se može smatrati pomakom \(\desna strelica(AB) + \desnastrelica(BC)\)- prelazak iz \(A\) u \(B\) , a zatim iz \(B\) u \(C\) - na kraju je to prelazak iz \(A\) u \(C\) .

Ovim tumačenjem postaje jasno da \(\strelica preko desno(AB) + \strelica preko desno(BC) + \strelica preko desno(CD) + \strelica preko desno(DA) = \vec(0)\), jer smo se kao rezultat toga pomaknuli iz točke \(A\) u točku \(A\) , odnosno duljina takvog kretanja jednaka je \(0\) , što znači da je vektor od samo takvo kretanje je \(\vec(0)\) .

Odgovor: 0

Zadatak 3 #1805

Razina zadatka: Teža od ispita

Dan je paralelogram \(ABCD\) . Dijagonale \(AC\) i \(BD\) sijeku se u točki \(O\) . Neka, dakle \(\desna strelica(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\desna strelica(OA) = \frac(1)(2)\desnastrelica(CA) = \frac(1)(2)(\desnastrelica(CB) + \desnastrelica(BA)) = \frac(1)( 2)(\desnastrelica(DA) + \desnastrelica(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\desna strelica\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\desna strelica\) \(x + y = - jedan\) .

Odgovor: -1

4. zadatak #1806

Razina zadatka: Teža od ispita

Dan je paralelogram \(ABCD\) . Točke \(K\) i \(L\) leže na stranicama \(BC\) odnosno \(CD\), a \(BK:KC = 3:1\) i \(L\) je središte \ (CD\) . Neka \(\desna strelica(AB) = \vec(a)\), \(\desna strelica(AD) = \vec(b)\), onda \(\desna strelica(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), gdje su \(x\) i \(y\) neki brojevi. Pronađite broj jednak \(x + y\) .

\[\strelica preko desne strane(KL) = \strelica preko desne strane(KC) + \strelica preko desne strane(CL) = \frac(1)(4)\strelica preko desne strane(BC) + \frac(1)(2)\strelica preko desne strane(CD) = \frac (1)(4)\desnastrelica(AD) + \frac(1)(2)\desnastrelica(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (a)\]\(\desna strelica\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\desna strelica\) \(x + y = -0 ,25\) .

Odgovor: -0,25

Zadatak 5 #1807

Razina zadatka: Teža od ispita

Dan je paralelogram \(ABCD\) . Točke \(M\) i \(N\) leže na stranicama \(AD\) odnosno \(BC\), gdje su \(AM:MD = 2:3\) i \(BN:NC = 3 ): jedan\) . Neka \(\desna strelica(AB) = \vec(a)\), \(\desna strelica(AD) = \vec(b)\), onda \(\desna strelica(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\strelica preko desne strane(MN) = \strelica preko desne strane(MA) + \strelica preko desne strane(AB) + \strelica preko desne strane(BN) = \frac(2)(5)\strelica preko desne strane(DA) + \strelica preko desne strane(AB) + \frac(3 )(4)\strelica udesno(BC) = - \frac(2)(5)\strelica udesno(AD) + \strelica udesno(AB) + \frac(3)(4)\strelica udesno(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\desna strelica\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\desna strelica\) \(x\cdot y = 0,35\) .

Odgovor: 0,35

6. zadatak #1808

Razina zadatka: Teža od ispita

Dan je paralelogram \(ABCD\) . Točka \(P\) leži na dijagonali \(BD\) , točka \(Q\) leži na stranici \(CD\) , gdje je \(BP:PD = 4:1\) , a \( CQ:QD = 1:9 \) . Neka \(\desna strelica(AB) = \vec(a)\), \(\desna strelica(AD) = \vec(b)\), onda \(\desna strelica(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), gdje su \(x\) i \(y\) neki brojevi. Pronađite broj jednak \(x\cdot y\) .

\[\begin(gathered) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\desnastrelica(BC) + \desnastrelica(CD)) + \frac(9)(10)\desnastrelica(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\desnastrelica(AB) = \frac(1)(5)\desnastrelica(AD) + \frac(7)(10)\desnastrelica(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(sakupljeno)\]

\(\desna strelica\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\desna strelica\) \(x\cdot y = 0, četrnaest\) . i \(ABCO\) je paralelogram; \(AF \paralela BE\) i \(ABOF\) – paralelogram \(\Rightarrow\) \[\strelica preko desno(BC) = \strelica preko desno(AO) = \strelica preko desno(AB) + \strelica preko desno(BO) = \strelica preko desno(AB) + \strelica preko desno(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Desna strelica\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Desna strelica\) \(x + y = 2\) .

Odgovor: 2

Srednjoškolci se pripremaju za položivši ispit u matematici i pritom očekuju pristojne bodove, svakako moraju ponoviti temu “Pravila za zbrajanje i oduzimanje nekoliko vektora”. Kao što je vidljivo iz dugogodišnje prakse, takvi se zadaci svake godine uključuju u certifikacijski test. Ako maturant ima poteškoća sa zadacima iz cjeline “Geometrija u ravnini”, primjerice, u kojima se traži primjena pravila zbrajanja i oduzimanja vektora, svakako bi trebao ponoviti ili ponovno razumjeti gradivo kako bi uspješno proći ispit.

Obrazovni projekt "Shkolkovo" nudi novi pristup u pripremi za certifikacijski test. Naš resurs izgrađen je na takav način da učenici mogu sami prepoznati najteže dijelove i popuniti rupe u znanju. Stručnjaci Shkolkova pripremili su i sistematizirali sav potreban materijal za pripremu za certifikacijski test.

Do USE zadaci, u kojem je potrebno primijeniti pravila zbrajanja i oduzimanja dvaju vektora, nije izazvalo poteškoće, preporučamo da prije svega osvježite pamćenje Osnovni koncepti. Studenti mogu pronaći ovaj materijal u odjeljku "Teorijska literatura".

Ako ste se već prisjetili vektorskog pravila oduzimanja i osnovnih definicija na ovu temu, predlažemo da svoje znanje učvrstite rješavanjem odgovarajućih vježbi koje su odabrali stručnjaci edukativni portal"Školkovo". Za svaki problem stranica predstavlja algoritam rješenja i daje točan odgovor. Tema "Pravila zbrajanja vektora" predstavlja razne vježbe; nakon što obave dva ili tri relativno laka zadatka, učenici mogu sukcesivno prijeći na teže.

Usavršiti vlastite vještine u takvim zadacima, na primjer, kao školarci imaju priliku online, biti u Moskvi ili bilo kojem drugom gradu u Rusiji. Ako je potrebno, zadatak se može spremiti u odjeljak "Favoriti". Zahvaljujući tome, možete brzo pronaći primjere od interesa i razgovarati o algoritmima za pronalaženje točnog odgovora s učiteljem.

U matematici i fizici studenti i školarci često se susreću sa zadacima za vektorske veličine i izvođenje raznih operacija nad njima. Koja je razlika između vektorskih veličina i nama poznatih skalarnih veličina, čija je jedina karakteristika numerička vrijednost? Jer imaju smjer.

Upotreba vektorskih veličina najjasnije je objašnjena u fizici. po najviše jednostavni primjeri su sile (sila trenja, elastična sila, težina), brzina i ubrzanje, jer osim brojčanih vrijednosti imaju i smjer djelovanja. Za usporedbu, uzmimo primjer skalari : to može biti udaljenost između dvije točke ili masa tijela. Zašto je potrebno izvoditi operacije nad vektorskim veličinama kao što su zbrajanje ili oduzimanje? To je neophodno kako bi se mogao odrediti rezultat djelovanja vektorskog sustava koji se sastoji od 2 ili više elemenata.

Definicije vektorske matematike

Predstavimo glavne definicije koje se koriste u implementaciji linijske operacije.

Vektor je usmjeren segment (koji ima početnu i krajnju točku).
Duljina (modul) je duljina usmjerenog segmenta.
Kolinearni vektori su dva vektora koji su ili paralelni s istim pravcem ili leže istovremeno na njemu.
Suprotno usmjereni vektori nazivaju se kolinearnim i ujedno su usmjereni unutra različite strane. Ako im se smjer podudara, tada su susmjerni.
Vektori su jednaki kada su susmjerni i imaju istu apsolutnu vrijednost.
Zbroj dvaju vektora a i b je takav vektor c, čiji se početak podudara s početkom prvog, a kraj - s krajem drugog, pod uvjetom da b počinje na istoj točki na kojoj završava a.
Vektorska razlika a i b nazvati zbroj a i ( - b ), gdje ( - b ) - suprotno od vektora b. Također se definicija razlike dvaju vektora može dati na sljedeći način: razlikom c par vektora a i b nazovi ovo c, koji, kada se doda subtrahendu b tvori smanjenu a.

Analitička metoda

Analitička metoda uključuje dobivanje koordinata razlike prema formuli bez konstrukcije. Moguće je izračunati za stan (2D), volumen (3D) ili n-dimenzionalni prostor.

Za dvodimenzionalni prostor i vektorske veličine a {a₁;a₂) i b {b1;b₂} izračuni će biti sljedeći pogled: c {c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

U slučaju dodavanja treće koordinate, izračun će se provesti na sličan način, i za a {a₁;a₂; a₃) i b {b1;b₂; b₃) koordinate razlike također ćemo dobiti oduzimanjem u paru: c {c1; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b3}.

Grafičko izračunavanje razlike

Kako bi se konstruirala razlika grafički, koristite pravilo trokuta. Da biste to učinili, morate izvršiti sljedeći niz radnji:

Po zadane koordinate konstruirajte vektore za koje trebate pronaći razliku.
Spojite njihove krajeve (tj. konstruirajte dva usmjerena segmenta jednaka zadanim, koji će završavati u istoj točki).
Spojite početke oba usmjerena segmenta i označite smjer; rezultirajući će započeti na istoj točki gdje je počeo vektor koji se umanjuje i završiti na početnoj točki vektora koji se oduzima.

Rezultat operacije oduzimanja prikazan je na donjoj slici..

Postoji i metoda za konstruiranje razlike, malo drugačija od prethodne. Njegova bit leži u primjeni teorema o razlici vektora, koji je formuliran na sljedeći način: da bi se pronašla razlika para usmjerenih segmenata, dovoljno je pronaći zbroj prvog od njih sa segmentom nasuprot na drugu. Algoritam izgradnje će izgledati ovako:

Konstruirajte početne usmjerene segmente.
Onaj koji je subtrahend mora se reflektirati, tj. konstruirati suprotno usmjeren i jednak segment; zatim spojite njegov početak sa smanjenim.
Konstruirajte zbroj: spojite početak prvog segmenta s krajem drugog.

Rezultat ove odluke prikazan je na slici:

Rješavanje problema

Kako bismo učvrstili vještinu, analizirat ćemo nekoliko zadataka u kojima je potrebno izračunati razliku analitički ili grafički.

Zadatak 1. Na ravnini se nalaze 4 točke: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Odredite koordinate vektora q = AB - CD, a također izračunajte njegovu duljinu.

Riješenje. Prvo morate pronaći koordinate AB i CD. Da biste to učinili, oduzmite koordinate početnih točaka od koordinata krajnjih točaka. Za AB početak je A(1; -3), a kraj - B(0; 4). Izračunajte koordinate usmjerenog segmenta:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Sličan izračun se izvodi za CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Sada, znajući koordinate, možete pronaći razliku vektora. Formula za analitičko rješenje ravni zadaci već se raspravljalo: c = a- b koordinate izgledaju ovako ( c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Za konkretan slučaj možete napisati:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Da bismo pronašli duljinu q, koristimo formulu | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Zadatak 2. Na slici su prikazani vektori m, n i p.

Za njih je potrebno konstruirati razlike: str- n; m- n; m-n- str. Utvrdite koji od njih ima najmanji modul.

Riješenje. Zadatak zahtijeva tri konstrukcije. Pogledajmo detaljnije svaki dio zadatka.

1. dio. U cilju portretiranja str-n, Poslužimo se pravilom trokuta. Da bismo to učinili, koristeći paralelni prijevod, povezujemo segmente tako da se njihova krajnja točka podudara. Sada spojimo početne točke i odredimo smjer. U našem slučaju vektor razlike počinje na istom mjestu kao i oduzeti. n.

2. dio. Hajdemo portretirati m-n. Sada za rješenje koristimo teorem o razlici vektora. Da biste to učinili, konstruirajte vektor nasuprot n, a zatim pronađite njegov zbroj s m. Rezultat će izgledati ovako:

dio 3 Kako bismo pronašli razliku m-n-p, podijeliti izraz u dva koraka. Jer u vektorska algebra postoje zakoni slični zakonima aritmetike, tada su moguće sljedeće opcije:

m-(n+p): u ovom slučaju prvo se gradi zbroj n+p, koji se zatim oduzima od m;
(m-n)-p: ovdje prvo morate pronaći m-n, a zatim oduzmite od ove razlike str;
(m-p)-n: prva radnja je određena m-p, nakon čega od rezultata trebate oduzeti n.

Budući da smo u prethodnom dijelu zadatka već pronašli razliku m-n, možemo samo oduzeti od toga str. Konstruirajmo razliku dva zadana vektora koristeći teorem razlike. Odgovor je prikazan na slici ispod (crvena boja označava međurezultat, a zelena - konačna).

Ostaje odrediti koji od segmenata ima najmanji modul. Podsjetimo se da su koncepti duljine i modula u vektorskoj matematici identični. Vizualno procijenite duljine str- n, m-n i m-n-str. Očito je da je odgovor u zadnjem dijelu zadatka najkraći i ima najmanji modul, naime m-n-str.

Zbroj vektora. Duljina vektora. Dragi prijatelji, postoji grupa zadataka s vektorima u vrstama zadnjeg ispita. Prilično širok raspon zadataka (važno je znati teorijska osnova). Većina se rješava usmeno. Pitanja se odnose na nalaženje duljine vektora, zbroja (razlike) vektora, skalarnog umnoška. Tu su i mnogi zadaci, u čijem je rješenju potrebno izvršiti radnje s koordinatama vektora.

Teorija iza vektora je jednostavna i treba je dobro razumjeti. U ovom ćemo članku analizirati zadatke povezane s pronalaženjem duljine vektora, kao i zbroja (razlike) vektora. Neke teorijske točke:

Koncept vektora

Vektor je usmjereni segment.

Svi vektori koji imaju isti smjer i jednake duljine su jednaki.

*Sva četiri gornja vektora su jednaka!

To jest, ako koristimo paralelnu translaciju za pomicanje vektora koji nam je dan, uvijek ćemo dobiti vektor jednak originalnom. Dakle, može postojati beskonačno mnogo jednakih vektora.

Vektorski zapis

Vektor se može označiti latinicom velika slova, na primjer:

Kod ovog oblika zapisa prvo se piše slovo koje označava početak vektora, a zatim slovo koje označava kraj vektora.

Drugi vektor je označen jednim slovom latinica(velika slova):

Moguća je i oznaka bez strelica:

Zbroj dvaju vektora AB i BC bit će vektor AC.
Zapisuje se kao AB + BC \u003d AC.

Ovo pravilo se zove - pravilo trokuta.

To jest, ako imamo dva vektora - nazovimo ih uvjetno (1) i (2), a kraj vektora (1) podudara se s početkom vektora (2), tada će zbroj ovih vektora biti vektor čiji se početak poklapa s početkom vektora (1) , a kraj s krajem vektora (2).

Zaključak: ako imamo dva vektora na ravnini, uvijek možemo pronaći njihov zbroj. Koristeći paralelno prevođenje, možete premjestiti bilo koji od ovih vektora i povezati njegov početak s krajem drugog. Na primjer:

Pomaknimo vektor b, ili na drugi način - konstruirat ćemo mu jednako:

Kako se nalazi zbroj nekoliko vektora? Po istom principu:

* * *

pravilo paralelograma

Ovo pravilo je posljedica navedenog.

Za vektore sa zajednički početak njihov zbroj je predstavljen dijagonalom paralelograma izgrađenog na tim vektorima.

Izgradimo vektor jednak vektoru b tako da se njegov početak poklapa s krajem vektora a, i možemo izgraditi vektor koji će biti njihov zbroj:

Nešto više važna informacija potrebno za rješavanje problema.

Vektor jednake duljine izvornom, ali suprotno usmjeren, također je označen, ali ima suprotan predznak:

Ova informacija je izuzetno korisna za rješavanje problema u kojima se radi o pronalaženju razlike vektora. Kao što vidite, razlika vektora je isti zbroj u modificiranom obliku.

Neka su dana dva vektora, pronađite njihovu razliku:

Sagradili smo vektor nasuprot vektoru b i pronašli razliku.

Vektorske koordinate

Da biste pronašli koordinate vektora, trebate oduzeti odgovarajuće početne koordinate od krajnjih koordinata:

To jest, koordinate vektora su par brojeva.

Ako a

A koordinate vektora izgledaju ovako:

Tada je c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Ako a

Tada je c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

Vektorski modul

Modul vektora je njegova duljina, određena formulom:

Formula za određivanje duljine vektora ako su poznate koordinate njegovog početka i kraja:

Razmotrite zadatke:

Dvije stranice pravokutnika ABCD su 6 i 8. Dijagonale se sijeku u točki O. Odredi duljinu razlike vektora AO i BO.

Nađimo vektor koji će biti rezultat AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

Odnosno razlika između vektora AO i VO će biti vektor AB. A duljina mu je osam.

Dijagonale romba ABCD su 12 i 16. Odredite duljinu vektora AB +AD.

Nađimo vektor koji će biti zbroj vektora AD i AB BC jednaka vektoru OGLAS. Dakle, AB+AD=AB+BC=AC

AC je duljina dijagonale romba AU, jednako je 16.

Dijagonale romba ABCD sijeku se u jednoj točki O a jednaki su 12 i 16. Odredi duljinu vektora AO + BO.

Nađimo vektor koji će biti zbroj vektora AO i BO BO jednak vektoru OD,

AD je duljina stranice romba. Problem je pronaći hipotenuzu u pravokutni trokut AOD. Izračunajmo noge:

Prema Pitagorinoj teoremi:

Dijagonale romba ABCD sijeku se u točki O i jednake su 12 i 16. Nađi duljinu vektora AO – BO.

Nađimo vektor koji će biti rezultat AO - VO:

AB je duljina stranice romba. Problem se svodi na pronalaženje hipotenuze AB u pravokutnom trokutu AOB. izračunajte noge:

Prema Pitagorinoj teoremi:

Stranke pravokutni trokut ABC su 3.

Odredite duljinu vektora AB -AC.

Nađimo rezultat razlike vektora:

CB je jednako tri, jer uvjet kaže da je trokut jednakostraničan i da su mu stranice jednake 3.

27663. Odredi duljinu vektora a (6; 8).

27664. Odredi kvadrat duljine vektora AB.