Definicija i formule krivocrtnog gibanja. Sažetak lekcije "Pravocrtno i krivocrtno gibanje

Ova će se tema usredotočiti na složeniju vrstu kretanja − KRIVOLINIJSKI. Kako je lako pogoditi krivocrtno je kretanje čija je putanja kriva linija. A kako je to gibanje kompliciranije od pravocrtnog, onda za njegov opis više nema dovoljno fizikalnih veličina koje su navedene u prethodnom poglavlju.

Za matematički opis krivocrtnog gibanja postoje 2 skupine veličina: linearne i kutne.

LINEARNE VRIJEDNOSTI.

1. kreće se. U odjeljku 1.1 nismo naveli razliku između koncepta

Slika 1.3 staze (udaljenosti) i koncept pomaka,

jer kod pravocrtnog gibanja ovi

razlike ne igraju temeljnu ulogu, i

Ove vrijednosti su označene istim slovom

zavijati S. Ali kada se radi o krivocrtnom kretanju,

ovo pitanje treba razjasniti. Dakle, koji je put

(ili udaljenost)? - Ovo je duljina putanje

pokret. To jest, ako pratite putanju

kretanje tijela i izmjerite ga (u metrima, kilometrima itd.), dobit ćete vrijednost koja se zove put (ili udaljenost) S(vidi sl. 1.3). Dakle, put je skalarna vrijednost, koju karakterizira samo broj.

Sl.1.4 A pomak je najkraća udaljenost između

početna točka puta i krajnja točka puta. I zato što

kretanje ima striktan smjer od početka

Put do svog kraja, onda je to vektorska veličina

a karakterizira ga ne samo brojčana vrijednost, već i

smjeru (sl.1.3). Lako je pogoditi da ako

tijelo se kreće po zatvorenoj stazi, zatim do

u trenutku kada se vrati u početni položaj, pomak će biti jednak nuli (vidi sl. 1.4).

2 . Brzina linije. U odjeljku 1.1 dali smo definiciju ove veličine i ona ostaje važeća, iako tada nismo specificirali da je ova brzina linearna. Koji je smjer linearnog vektora brzine? Pogledajmo sliku 1.5. Evo fragmenta

krivocrtna putanja tijela. Svaka zakrivljena linija je veza između lukova različitih kružnica. Na slici 1.5 prikazana su samo dva od njih: kružnica (O 1, r 1) i kružnica (O 2, r 2). U trenutku prolaska tijela duž luka ove kružnice, njegovo središte postaje privremeno središte rotacije polumjera jednakog polumjeru te kružnice.

Vektor povučen od središta rotacije do točke u kojoj se tijelo trenutno nalazi naziva se radijus vektor. Na slici 1.5 radijus vektori su predstavljeni vektorima i . Ova slika također prikazuje linearne vektore brzine: linearni vektor brzine uvijek je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru gibanja. Stoga je kut između vektora i radijus vektora povučenih na danu točku putanje uvijek 90°. Ako se tijelo giba konstantnom linearnom brzinom, tada se modul vektora neće mijenjati, dok se njegov smjer mijenja cijelo vrijeme ovisno o obliku putanje. U slučaju prikazanom na sl. 1.5 kretanje se odvija promjenjivom linearnom brzinom, pa se modul vektora mijenja. No, budući da se smjer vektora uvijek mijenja tijekom krivocrtnog gibanja, iz ovoga slijedi vrlo važan zaključak:

Krivocrtno gibanje uvijek ima ubrzanje! (Čak i ako se kretanje odvija konstantnom linearnom brzinom.) Štoviše, akceleraciju o kojoj je riječ u ovom slučaju, u nastavku ćemo zvati linearna akceleracija.

3 . Linearno ubrzanje. Dopustite mi da vas podsjetim da ubrzanje nastaje kada se brzina mijenja. Prema tome, linearna akceleracija se pojavljuje u slučaju promjene linearne brzine. A linearna brzina tijekom krivocrtnog gibanja može promijeniti i modulo i smjer. Dakle, puno linearno ubrzanje se rastavlja na dvije komponente, od kojih jedna utječe na smjer vektora, a druga na njegov modul. Razmotrite ova ubrzanja (slika 1.6). U ovoj slici

riža. 1.6

prikazano je tijelo koje se kreće po kružnoj stazi sa središtem rotacije u točki O.

Ubrzanje koje mijenja smjer vektora naziva se normalan i označava se. Naziva se normala jer je usmjerena okomito (normalno) na tangentu, tj. duž radijusa do središta zavoja . Naziva se i centripetalno ubrzanje.

Ubrzanje koje mijenja modul vektora naziva se tangencijalni i označava se. Leži na tangenti i može biti usmjeren i prema smjeru vektora i suprotno od njega. :

Ako je brzina linije raste, tada > 0 i njihovi vektori su susmjerni;

Ako je brzina linije smanjuje se, dakle< 0 и их вектора противоположно

usmjerena.

Dakle, ova dva ubrzanja uvijek međusobno tvore pravi kut (90º) i komponente su ukupnog linearnog ubrzanja, tj. ukupno linearno ubrzanje je vektorski zbroj normalnog i tangencijalnog ubrzanja:

Napominjem da je u ovom slučaju riječ o vektorskoj sumi, ali ni u kom slučaju o skalarnoj sumi. Da biste pronašli numeričku vrijednost, znajući i , potrebno je koristiti Pitagorin teorem (kvadrat hipotenuze trokuta brojčano je jednak zbroju kvadrata nogu ovog trokuta):

(1.8).

Iz čega slijedi:

(1.9).

Po kojim formulama izračunati i razmotriti malo kasnije.

KUTNE VRIJEDNOSTI.

1 . Kut rotacije φ . Kod krivuljastog gibanja, tijelo ne samo da putuje nekom putanjom i čini neki pokret, već se također okreće za određeni kut (vidi sliku 1.7 (a)). Stoga se za opis takvog gibanja uvodi veličina koja se naziva kut zakreta koji se označava grčkim slovom φ (čitaj "fi"). U SI sustavu, kut rotacije se mjeri u radijanima (označava se "rad"). Podsjetit ću vas da je jedan puni okret jednak 2π radijana, a broj π je konstanta: π ≈ 3,14. na sl. 1.7 (a) prikazuje putanju tijela duž kruga polumjera r sa središtem u točki O. Sam kut rotacije je kut između radijus vektora tijela u nekim trenucima vremena.

2 . Kutna brzina ω – ovo je vrijednost koja pokazuje kako se kut rotacije mijenja po jedinici vremena. (ω - grčko slovo, čita se "omega".) Na sl. 1.7 (b) prikazuje položaj materijalne točke koja se kreće po kružnoj stazi sa središtem u točki O, u vremenskim intervalima Δt . Ako su kutovi za koje tijelo rotira tijekom tih intervala jednaki, tada je kutna brzina konstantna, pa se to kretanje može smatrati jednolikim. A ako su kutovi rotacije različiti, tada je kretanje neravnomjerno. A budući da kutna brzina pokazuje koliko radijana

tijelo se okrene u jednoj sekundi, tada je njegova mjerna jedinica radijan u sekundi

(označeno sa " rad/s »).

riža. 1.7

a). b). Δt

Δt

O φ O Δt

3 . Kutno ubrzanje ε je vrijednost koja pokazuje kako se mijenja po jedinici vremena. A budući da kutno ubrzanje ε pojavljuje se pri promjeni kutne brzine ω , onda možemo zaključiti da se kutno ubrzanje javlja samo u slučaju nejednolikog krivuljastog gibanja. Jedinica za kutno ubrzanje je " rad/s 2 ” (radijan po sekundi na kvadrat).

Stoga se tablica 1.1 može dopuniti s još tri vrijednosti:

Tablica 1.2

№	fizička količina	određivanje količine	oznaka količine	jedinica
1.	staza	je put koji prijeđe tijelo tijekom svog gibanja	S	m (metar)
2.	ubrzati	je udaljenost koju tijelo prijeđe u jedinici vremena (npr. 1 sekunda)	υ	m/s (metar u sekundi)
3.	ubrzanje	je iznos za koji se mijenja brzina tijela u jedinici vremena	a	m/s 2 (metar po sekundi na kvadrat)
4.	vrijeme		t	s (drugi)
5.	kut rotacije	je kut za koji se tijelo okreće u procesu krivuljastog gibanja	φ	rad (radijan)
6.	kutna brzina	je kut za koji se tijelo okrene u jedinici vremena (na primjer, u 1 sekundi)	ω	rad/s (radijani u sekundi)
7.	kutno ubrzanje	je iznos za koji se mijenja kutna brzina po jedinici vremena	ε	rad/s 2 (radijan po sekundi na kvadrat)

Sada možete ići izravno na razmatranje svih vrsta krivuljastih kretanja, a postoje samo tri od njih.

Uz pomoć ove lekcije moći ćete samostalno proučavati temu „Pravocrtno i krivocrtno gibanje. Gibanje tijela po kružnici konstantnom modulo brzinom. Prvo, karakteriziramo pravocrtno i krivocrtno gibanje razmatrajući kako su u ovim vrstama gibanja povezani vektor brzine i sila primijenjena na tijelo. Zatim razmatramo poseban slučaj kada se tijelo giba po kružnici konstantnom modulo brzinom.

U prethodnoj lekciji razmatrali smo pitanja vezana uz zakon univerzalne gravitacije. Tema današnje lekcije usko je povezana s ovim zakonom, obratit ćemo se jednolikom gibanju tijela u krugu.

Ranije smo to rekli promet - ovo je promjena položaja tijela u prostoru u odnosu na druga tijela tijekom vremena. Kretanje i smjer kretanja karakteriziraju, između ostalog, i brzina. Promjena brzine i sama vrsta kretanja povezana je s djelovanjem sile. Ako na tijelo djeluje sila, tada tijelo mijenja svoju brzinu.

Ako je sila usmjerena paralelno s gibanjem tijela, tada će takvo kretanje biti izravna(Sl. 1).

Riža. 1. Pravocrtno gibanje

krivolinijski takvo kretanje će biti kada su brzina tijela i sila primijenjena na ovo tijelo usmjerene jedna prema drugoj pod određenim kutom (slika 2). U tom će slučaju brzina promijeniti smjer.

Riža. 2. Krivocrtno gibanje

Dakle, u pravocrtno gibanje vektor brzine usmjeren je u istom smjeru kao i sila koja djeluje na tijelo. ALI krivocrtno kretanje je takvo kretanje kada se vektor brzine i sila koja djeluje na tijelo nalaze pod nekim kutom jedan prema drugom.

Razmotrimo poseban slučaj krivocrtnog gibanja, kada se tijelo kreće po kružnici konstantnom brzinom u apsolutnoj vrijednosti. Kada se tijelo kreće po kružnici stalnom brzinom, mijenja se samo smjer brzine. Modulo ona ostaje konstantna, ali se smjer brzine mijenja. Takva promjena brzine dovodi do prisutnosti akceleracije u tijelu, koja se zove centripetalni.

Riža. 6. Kretanje po zakrivljenoj stazi

Ako je putanja gibanja tijela krivulja, onda se može prikazati kao skup gibanja duž lukova kružnica, kao što je prikazano na sl. 6.

Na sl. 7 prikazuje kako se mijenja smjer vektora brzine. Brzina pri takvom gibanju usmjerena je tangencijalno na kružnicu po čijem se luku tijelo giba. Stoga se njegov smjer stalno mijenja. Čak i ako modulo brzina ostane konstantna, promjena brzine dovodi do ubrzanja:

U ovom slučaju ubrzanje bit će usmjerena prema središtu kruga. Zato se naziva centripetalna.

Zašto je centripetalna akceleracija usmjerena prema središtu?

Podsjetimo se da ako se tijelo giba duž zakrivljene putanje, tada je njegova brzina tangencijalna. Brzina je vektorska veličina. Vektor ima numeričku vrijednost i smjer. Brzina dok se tijelo giba neprestano mijenja svoj smjer. To jest, razlika u brzinama u različitim točkama u vremenu neće biti jednaka nuli (), za razliku od pravocrtnog ravnomjernog gibanja.

Dakle, imamo promjenu brzine u određenom vremenskom razdoblju. Odnos prema je ubrzanje. Dolazimo do zaključka da, čak i ako se brzina ne mijenja u apsolutnoj vrijednosti, tijelo koje se jednoliko giba po kružnici ima akceleraciju.

Kamo je to ubrzanje usmjereno? Razmotrite sl. 3. Neko se tijelo giba krivocrtno (lučno). Brzina tijela u točkama 1 i 2 je tangencijalna. Tijelo se giba jednoliko, odnosno moduli brzina su jednaki: , ali se smjerovi brzina ne podudaraju.

Riža. 3. Kretanje tijela po krugu

Oduzmite brzinu od i dobijete vektor. Da biste to učinili, morate spojiti početke oba vektora. Paralelno pomičemo vektor na početak vektora . Gradimo do trokuta. Treća stranica trokuta bit će vektor razlike brzina (slika 4).

Riža. 4. Vektor razlike brzina

Vektor je usmjeren prema kružnici.

Promotrimo trokut sastavljen od vektora brzine i vektora razlike (slika 5).

Riža. 5. Trokut formiran od vektora brzine

Ovaj trokut je jednakokračan (moduli brzina su jednaki). Dakle, kutovi na bazi su jednaki. Napišimo jednadžbu za zbroj kutova trokuta:

Utvrdite kamo je usmjereno ubrzanje u određenoj točki putanje. Da bismo to učinili, počinjemo približavati točku 2 točki 1. S takvom neograničenom marljivošću, kut će težiti na 0, a kut - na. Kut između vektora promjene brzine i samog vektora brzine je . Brzina je usmjerena tangencijalno, a vektor promjene brzine usmjeren je prema središtu kružnice. To znači da je akceleracija također usmjerena prema središtu kruga. Zato se ovo ubrzanje zove centripetalni.

Kako pronaći centripetalno ubrzanje?

Razmotrimo putanju kojom se tijelo kreće. U ovom slučaju, to je luk kružnice (slika 8).

Riža. 8. Kretanje tijela po krugu

Slika prikazuje dva trokuta: trokut koji čine brzine i trokut koji čine radijusi i vektor pomaka. Ako su točke 1 i 2 vrlo blizu, tada će vektor pomaka biti isti kao i vektor staze. Oba su trokuta jednakokračna s jednakim vršnim kutovima. Dakle, trokuti su slični. To znači da su odgovarajuće stranice trokuta u istom omjeru:

Pomak je jednak umnošku brzine i vremena: . Zamjenom ove formule možete dobiti sljedeći izraz za centripetalno ubrzanje:

Kutna brzina označava se grčkim slovom omega (ω), označava za koji kut se tijelo okrene u jedinici vremena (slika 9). Ovo je veličina luka, u stupnjevima, koji prijeđe tijelo u nekom vremenu.

Riža. 9. Kutna brzina

Imajte na umu da ako kruto tijelo rotira, tada će kutna brzina bilo koje točke na tom tijelu biti konstantna vrijednost. Točka je bliže središtu rotacije ili dalje - nije bitno, odnosno ne ovisi o polumjeru.

Mjerna jedinica u ovom slučaju bit će ili stupnjevi u sekundi (), ili radijani u sekundi (). Često se riječ "radijan" ne piše, već jednostavno piše. Na primjer, saznajmo kolika je kutna brzina Zemlje. Zemlja napravi puni krug za jedan sat, au tom slučaju možemo reći da je kutna brzina jednaka:

Također obratite pozornost na odnos između kutne i linearne brzine:

Linearna brzina izravno je proporcionalna polumjeru. Što je veći radijus, to je veća linearna brzina. Dakle, udaljavajući se od središta rotacije, povećavamo našu linearnu brzinu.

Treba napomenuti da je gibanje po kružnici stalnom brzinom poseban slučaj gibanja. Međutim, kružno kretanje može biti i neravnomjerno. Brzina se može mijenjati ne samo u smjeru i ostati ista u apsolutnoj vrijednosti, već i u svojoj vrijednosti, tj. osim promjene smjera dolazi i do promjene modula brzine. U ovom slučaju govorimo o tzv. ubrzanom kružnom gibanju.

Što je radijan?

Postoje dvije jedinice za mjerenje kutova: stupnjevi i radijani. U fizici je u pravilu radijanska mjera kuta glavna.

Konstruirajmo središnji kut , koji se oslanja na luk duljine .

Pojmovi brzine i ubrzanja prirodno se generaliziraju na slučaj gibanja materijalne točke duž krivocrtna putanja. Položaj pomične točke na putanji zadan je radijus vektorom r povučeno do ove točke iz neke fiksne točke O, na primjer, podrijetlo (Sl. 1.2). Neka trenutno t materijalna točka je u položaju M s radijus vektorom r = r (t). Nakon kratkog vremena D t, pomaknut će se na položaj M 1 s radijusom – vektorom r 1 = r (t+ D t). Radijus - vektor materijalne točke dobit će prirast određen geometrijskom razlikom D r = r 1 - r . Prosječna brzina tijekom vremena D t naziva se količina

Smjer prosječne brzine V oženiti se šibice sa smjerom vektora D r .

Ograničenje prosječne brzine na D t® 0, tj. derivacija radijusa - vektora r s vremenom

(1.9)

nazvao pravi ili trenutak brzina materijalne točke. Vektor V usmjerena tangencijalno na putanju pokretne točke.

ubrzanje a naziva se vektor jednak prvoj derivaciji vektora brzine V odnosno druga derivacija radijusa – vektora r s vremenom:

(1.10)

(1.11)

Obratite pažnju na sljedeću formalnu analogiju između brzine i ubrzanja. Iz proizvoljne fiksne točke O 1 nacrtat ćemo vektor brzine V pomične točke u svim mogućim vremenima (slika 1.3).

Kraj vektora V nazvao točka brzine. Geografsko mjesto točaka brzina je krivulja tzv hodograf brzine. Kada materijalna točka opisuje putanju, točka brzine koja joj odgovara kreće se duž hodografa.

Riža. 1.2 razlikuje se od sl. 1.3 samo po oznakama. Radijus - Vektor r zamijenjen vektorom brzine V , materijalna točka - na točku brzine, putanja - na hodograf. Matematičke operacije na vektoru r kod nalaženja brzine i preko vektora V pri pronalaženju akceleracije potpuno su identični.

Ubrzati V usmjeren duž tangentne putanje. Zato ubrzanjea bit će usmjerena tangencijalno na hodograf brzine. Može se reći da ubrzanje je brzina kretanja točke velike brzine duž hodografa. Posljedično,

Ovisno o obliku putanje kretanje se dijeli na pravocrtno i krivocrtno. U stvarnom svijetu najčešće imamo posla s krivocrtnim gibanjem, kada je putanja zakrivljena linija. Primjeri takvog kretanja su putanja tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizont, kretanje Zemlje oko Sunca, kretanje planeta, kraj kazaljke sata na brojčaniku itd.

Slika 1. Putanja i pomak kod krivuljastog gibanja

Definicija

Krivocrtno gibanje je gibanje čija je putanja zakrivljena linija (na primjer, kružnica, elipsa, hiperbola, parabola). Pri kretanju duž krivuljaste putanje vektor pomaka $\overrightarrow(s)$ usmjeren je duž tetive (slika 1), a l je duljina putanje. Trenutna brzina tijela (odnosno brzina tijela u određenoj točki putanje) usmjerena je tangencijalno na onu točku putanje u kojoj se trenutno nalazi tijelo koje se kreće (slika 2).

Slika 2. Trenutna brzina tijekom krivuljastog gibanja

Međutim, prikladniji je sljedeći pristup. Ovo kretanje možete zamisliti kao kombinaciju nekoliko kretanja po lukovima kružnica (vidi sl. 4.). Bit će manje takvih pregrada nego u prethodnom slučaju, osim toga, kretanje po krugu je samo po sebi krivocrtno.

Slika 4. Dijeljenje krivuljastog gibanja na gibanja duž lukova kružnica

Zaključak

Da bi se opisalo krivocrtno gibanje, potrebno je naučiti opisati gibanje po kružnici, a potom proizvoljno gibanje prikazati kao skup gibanja po lukovima kružnica.

Zadatak proučavanja krivocrtnog gibanja materijalne točke je sastaviti kinematičku jednadžbu koja opisuje to gibanje i omogućuje, prema zadanim početnim uvjetima, određivanje svih karakteristika tog gibanja.