Krivolinijski integral 1. vrste nad zatvorenom konturom. MA

Problem mase krivulje. Neka je u svakoj točki komadično glatke materijalne krivulje L: (AB) dana njegova gustoća. Odredite masu krivulje.

Postupamo na isti način kao kod određivanja mase ravnog područja (dvostruki integral) i prostornog tijela (trostruki integral).

1. Organizirati podjelu regije-luka L na elemente - elementarne lukove tako da ti elementi nemaju zajedničkih unutarnjih točaka i
(stanje A )

2. Označavamo na elementima particije "označene točke" M i i izračunavamo vrijednosti funkcije u njima

3. Konstruirajte integralni zbroj
, gdje - dužina luka (obično se uvode iste oznake za luk i njegovu duljinu). Ovo je približna vrijednost za masu krivulje. Pojednostavljenje je da smo pretpostavili da je gustoća luka konstantna na svakom elementu i uzeli konačan broj elemenata.

Prijelaz do granice pod uvjetom
(stanje B ), dobivamo krivocrtni integral prve vrste kao limes integralnih suma:

.

Teorem egzistencije 10 .

Neka funkcija
kontinuirana je na komadno glatkom luku L 11 . Tada krivolinijski integral prve vrste postoji kao limit integralnih suma.

Komentar. Ova granica ne ovisi o

način odabira particije, sve dok je uvjet A

odabir "označenih točaka" na pregradnim elementima,

metoda za pročišćavanje particije, sve dok je uvjet B zadovoljen

Svojstva krivocrtnog integrala prve vrste.

1. Linearnost a) svojstvo superpozicije

b) svojstvo homogenosti
.

Dokaz. Zapišimo integralne zbrojeve za integrale na lijevoj strani jednakosti. Budući da je broj članova u integralnom zbroju konačan, prijeđimo na integralne zbrojeve za desne strane jednakosti. Zatim prelazimo na limes, prema teoremu o limesu u jednakosti, dobivamo željeni rezultat.

2. Aditivnost. Ako a
, zatim
=
+

Dokaz. Odaberimo particiju domene L tako da niti jedan element particije (u početku i kada se particija pročisti) ne sadrži istovremeno i elemente L 1 i elemente L 2 . To se može učiniti teoremom o postojanju (napomena na teorem). Nadalje, dokaz se provodi u smislu integralnih suma, kao u odjeljku 1.

3.
.Ovdje - dužina luka .

4. Ako na luku nejednakost je tada zadovoljena

Dokaz. Zapišimo nejednakost za integralne zbrojeve i prijeđimo na limes.

Imajte na umu da je, posebice, moguće

5. Teorem o procjeni.

Ako postoje konstante
, nešto

Dokaz. Integriranje nejednakosti
(svojstvo 4), dobivamo
. Po svojstvu 1 konstante
mogu se izvaditi ispod integrala. Koristeći svojstvo 3, dobivamo željeni rezultat.

6. Srednji teorem(vrijednost integrala).

Ima smisla
, što

Dokaz. Budući da funkcija
kontinuirana je na zatvorenom omeđenom skupu , tada njegov infimum postoji
i gornji rub
. Nejednakost je ispunjena. Podijelimo li oba dijela s L, dobivamo
. Ali broj
zatvoren između donje i gornje granice funkcije. Budući da funkcija
kontinuirana na zatvorenom ograničenom skupu L, tada u nekoj točki
funkcija mora uzeti ovu vrijednost. Posljedično,
.

Predavanje 5 Krivolinijski integrali 1. i 2. vrste, njihova svojstva ..

Problem mase krivulje. Krivolinijski integral 1. vrste.

Problem mase krivulje. Neka je u svakoj točki krivulje komadično glatkog materijala L: (AB) dana njegova gustoća. Odredite masu krivulje.

Postupamo na isti način kao kod određivanja mase ravnog područja (dvostruki integral) i prostornog tijela (trostruki integral).

1. Organizirajte podjelu lučne regije L na elemente - elementarne lukove tako da ti elementi nemaju zajedničkih unutarnjih točaka i ( stanje A )

3. Konstruirajmo integralni zbroj , gdje je duljina luka (obično se uvode iste oznake za luk i njegovu duljinu). Ovo je približna vrijednost za masu krivulje. Pojednostavljenje je da smo pretpostavili da je gustoća luka konstantna na svakom elementu i uzeli konačan broj elemenata.

Prijelaz do granice pod uvjetom (stanje B ), dobivamo krivocrtni integral prve vrste kao limes integralnih suma:

.

Teorem postojanja.

Neka je funkcija kontinuirana na komadno glatkom luku L. Tada postoji krivolinijski integral prve vrste kao limes integralnih suma.

Komentar. Ova granica ne ovisi o

Svojstva krivocrtnog integrala prve vrste.

1. Linearnost
a) svojstvo superpozicije

b) svojstvo homogenosti .

Dokaz. Zapišimo integralne zbrojeve za integrale na lijevoj strani jednakosti. Budući da je broj članova u integralnom zbroju konačan, prijeđimo na integralne zbrojeve za desne strane jednakosti. Zatim prelazimo na limes, prema teoremu o limesu u jednakosti, dobivamo željeni rezultat.

2. Aditivnost.
Ako a , zatim = +

3. .Ovdje je duljina luka .

4. Ako je nejednakost zadovoljena na luku, tada

Dokaz. Zapišimo nejednakost za integralne zbrojeve i prijeđimo na limes.

Imajte na umu da je, posebice, moguće

5. Teorem o procjeni.

Ako postoje konstante takve da , onda

Dokaz. Integriranje nejednakosti (svojstvo 4), dobivamo . Po svojstvu 1, konstante se mogu izvući ispod integrala. Koristeći svojstvo 3, dobivamo željeni rezultat.

6. Srednji teorem(vrijednost integrala).

Ima smisla , što

Dokaz. Budući da je funkcija kontinuirana na zatvorenom ograničenom skupu, tada njezin infimum postoji i gornji rub . Nejednakost je ispunjena. Podijelimo li obje strane s L, dobivamo . Ali broj zatvoren između donje i gornje granice funkcije. Budući da je funkcija kontinuirana na zatvorenom ograničenom skupu L, funkcija mora uzeti ovu vrijednost u nekom trenutku. Posljedično, .

Izračun krivocrtnog integrala prve vrste.

Parametariziramo luk L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Neka t 0 odgovara točki A, a t 1 odgovara točki B. Tada se krivuljasti integral prve vrste svodi na određeni integral ( - formula poznata iz 1. semestra za izračunavanje diferencijala duljine luka):

Primjer. Izračunajte masu jednog zavoja homogene (gustoće jednake k) zavojnice: .

Krivolinijski integral 2. vrste.

Problem rada sile.

Koliki rad izvrši sila?F(M) prilikom pomicanja točkeMu lukuAB? Kad bi luk AB bio isječak ravne linije, a sila bi bila konstantna po veličini i smjeru kada se točka M pomiče po luku AB, tada bi se rad mogao izračunati po formuli , gdje je kut između vektora. U općem slučaju, ova se formula može koristiti za konstruiranje integralnog zbroja, uz pretpostavku da je sila konstantna na lučnom elementu dovoljno male duljine. Umjesto duljine malog elementa luka, možete uzeti duljinu tetive koja ga podupire, budući da su te količine pod uvjetom (prvo polugodište) ekvivalentne infinitezimalnim veličinama.

1. Organizirajte podjelu područja-luka AB na elemente - elementarne lukove tako da ti elementi nemaju zajedničkih unutarnjih točaka i ( stanje A )

2. Označavamo na elementima particije "označene točke" M i i izračunavamo vrijednosti funkcije u njima

3. Konstruirajte integralni zbroj , gdje je vektor usmjeren duž tetive koja spaja -luk .

4. Prijelaz do granice pod uvjetom (stanje B ), dobivamo krivuljasti integral druge vrste kao granicu integralnih zbrojeva (i rada sile):

. Često se spominje

Teorem postojanja.

Neka je vektorska funkcija kontinuirana na komadično glatkom luku L. Tada postoji krivocrtni integral druge vrste kao limes integralnih suma.

.

Komentar. Ova granica ne ovisi o

Metoda za odabir particije, sve dok je uvjet A zadovoljen

Odabir "označenih točaka" na pregradnim elementima,

Metoda za pročišćavanje particije, sve dok je uvjet B zadovoljen

Svojstva krivocrtnog integrala 2. vrste.

1. Linearnost
a) svojstvo superpozicije

b) svojstvo homogenosti .

Dokaz. Zapišimo integralne zbrojeve za integrale na lijevoj strani jednakosti. Budući da je broj članova u integralnom zbroju konačan, koristeći svojstvo skalarnog umnoška, ​​prelazimo na integralne zbrojeve za desne strane jednakosti. Zatim prelazimo na limes, prema teoremu o limesu u jednakosti, dobivamo željeni rezultat.

2. Aditivnost.
Ako a , zatim = + .

Dokaz. Odaberimo particiju domene L tako da niti jedan element particije (u početku i kada se particija pročisti) ne sadrži istovremeno i elemente L 1 i elemente L 2 . To se može učiniti teoremom o postojanju (napomena na teorem). Nadalje, dokaz se provodi u smislu integralnih suma, kao u odjeljku 1.

3. Orijentabilnost.

= -

Dokaz. Integral luka –L, tj. u negativnom smjeru zaobilaženja luka postoji granica integralnih zbrojeva, u čijim terminima umjesto toga postoji (). Izuzimanjem "minusa" iz skalarnog umnoška i iz zbroja konačnog broja članova, prelazeći na granicu, dobivamo traženi rezultat.

Teorijski minimum

Krivolinijski i površinski integrali često se pojavljuju u fizici. Dolaze u dvije varijante, od kojih se o prvoj raspravlja ovdje. Ovaj
vrsta integrala konstruirana je prema općoj shemi, prema kojoj se uvode određeni, dvostruki i trostruki integrali. Podsjetimo se ukratko na ovu shemu.
Postoji neki objekt nad kojim se provodi integracija (jednodimenzionalna, dvodimenzionalna ili trodimenzionalna). Ovaj objekt je razbijen na male dijelove,
u svakom od dijelova odabrana je točka. U svakoj od ovih točaka izračunava se vrijednost integranda i množi s mjerom dijela koji
pripada zadana točka (duljina segmenta, površina ili volumen djelomične površine). Zatim se zbroje svi takvi umnošci i granica
prijelaz na dijeljenje objekta na beskonačno male dijelove. Dobivena granica naziva se integral.

1. Definicija krivocrtnog integrala prve vrste

Razmotrimo funkciju definiranu na krivulji. Pretpostavlja se da se krivulja može ispraviti. Prisjetite se što to znači, grubo rečeno,
da se polilinija može upisati u krivulju s proizvoljno malim karikama, au granici beskonačno velikog broja karika mora ostati duljina polilinije
konačni. Krivulja je podijeljena na parcijalne lukove duljine i na svakom od lukova je odabrana točka. Rad se sastavlja
zbrajanje po svim parcijalnim lukovima . Tada se prijelaz do granice provodi s tendencijom duljine najveće
od parcijalnih lukova do nule. Limes je krivocrtni integral prve vrste
.
Važna značajka ovog integrala, koja izravno proizlazi iz njegove definicije, jest neovisnost o smjeru integracije, tj.
.

2. Definicija površinskog integrala prve vrste

Razmotrimo funkciju definiranu na glatkoj ili djelomično glatkoj površini. Površina je razlomljena u djelomične regije
s područjima, točka je odabrana u svakom takvom području. Sastavlja se djelo , zbrajanje
preko svih parcijalnih područja . Zatim se prijelaz do granice provodi s tendencijom promjera najvećeg od svih djelomičnih
područja na nulu. Limes je površinski integral prve vrste
.

3. Izračun krivocrtnog integrala prve vrste

Metoda za izračunavanje krivuljnog integrala prve vrste može se vidjeti već iz njegovog formalnog zapisa, ali zapravo slijedi izravno iz
definicije. Integral se svodi na određeni, samo je potrebno zapisati diferencijal luka krivulje po kojem se provodi integracija.
Počnimo s jednostavnim slučajem integracije duž ravne krivulje zadane eksplicitnom jednadžbom. U ovom slučaju, razlika luka
.
Zatim se u integrandu varijabla mijenja, a integral poprima oblik
,
gdje segment odgovara promjeni varijable duž onog dijela krivulje nad kojim se provodi integracija.

Vrlo često se krivulja postavlja parametarski, tj. jednadžbe tipa. Zatim diferencijalni luk
.
Ovu je formulu vrlo lako opravdati. U osnovi, to je Pitagorin teorem. Diferencijal luka zapravo je duljina infinitezimalnog dijela krivulje.
Ako je krivulja glatka, tada se njezin infinitezimalni dio može smatrati pravocrtnim. Za ravnu liniju, odnos
.
Da bi se to moglo provesti za mali luk krivulje, treba prijeći s konačnih inkremenata na diferencijale:
.
Ako je krivulja dana parametarski, tada se diferencijali jednostavno izračunavaju:
itd.
Prema tome, nakon promjene varijabli u integrandu, krivuljasti integral izračunava se na sljedeći način:
,
pri čemu dio krivulje po kojem se provodi integracija odgovara segmentu promjene parametra .

Situacija je nešto kompliciranija kada je krivulja navedena u krivuljastim koordinatama. Ovo pitanje se obično raspravlja u okviru diferencijala
geometrija. Dajmo formulu za izračun integrala duž krivulje zadane u polarnim koordinatama jednadžbom:
.
Dajmo i opravdanje za luk diferencijal u polarnim koordinatama. Detaljna rasprava o gridiranju polarnog koordinatnog sustava
cm.. Izaberimo mali luk krivulje koji se nalazi u odnosu na koordinatne linije kao što je prikazano na sl. 1. Zbog malenosti svih
ponovno lukove, možete primijeniti Pitagorin teorem i napisati:
.
Odavde slijedi željeni izraz za diferencijal luka.

Sa čisto teorijske točke gledišta, vrlo je lako razumjeti da se krivuljasti integral prve vrste mora svesti na njegov poseban slučaj -
određeni integral. Doista, mijenjajući uvjetovanu parametrizacijom krivulje duž koje se izračunava integral, uspostavljamo
preslikavanje jedan na jedan između dijela dane krivulje i segmenta promjene parametra. A ovo je redukcija na integral
duž pravca koji se podudara s koordinatnom osi – određeni integral.

4. Izračun površinskog integrala prve vrste

Nakon prethodne točke, trebalo bi biti jasno da je jedan od glavnih dijelova izračuna površinskog integrala prve vrste pisanje površinskog elementa,
nad kojim se vrši integracija. Opet, počnimo s jednostavnim slučajem površine zadane eksplicitnom jednadžbom. Zatim
.
Izvršena je promjena u integrandu, a površinski integral se reducira na dvostruki integral:
,
gdje je područje ravnine u koje se projicira dio površine preko koje se provodi integracija.

Međutim, često je nemoguće zadati površinu eksplicitnom jednadžbom, pa se ona zadaje parametarski, tj. jednadžbe oblika
.
Površinski element u ovom slučaju napisan je složenije:
.
Površinski integral se piše na odgovarajući način:
,
gdje je raspon parametara koji odgovara dijelu površine nad kojim se provodi integracija.

5. Fizičko značenje krivocrtnih i površinskih integrala prve vrste

Integrali o kojima se raspravlja imaju vrlo jednostavno i jasno fizičko značenje. Neka postoji neka krivulja čija linearna gustoća nije
konstanta, a funkcija je točke . Nađimo masu ove krivulje. Razbijmo krivulju na mnogo malih elemenata,
unutar kojih se njegova gustoća može približno smatrati konstantnom. Ako je duljina malog dijela krivulje , tada je njegova masa
, gdje je bilo koja točka odabranog dijela krivulje (bilo koja, budući da je gustoća unutar
ovog komada pretpostavlja se približno konstantnim). Prema tome, masa cijele krivulje dobiva se zbrajanjem masa njezinih pojedinih dijelova:
.
Da bi jednakost postala točna, treba ići do granice cijepanja krivulje na beskonačno male dijelove, ali to je krivocrtni integral prve vrste.

Slično, pitanje ukupnog naboja krivulje je riješeno ako je poznata linearna gustoća naboja .

Ova se razmatranja lako prenose na slučaj neravnomjerno nabijene površine s površinskom gustoćom naboja . Zatim
površinski naboj je površinski integral prve vrste
.

Primjedba . Glomazna formula za površinski element zadan parametarski je nezgodna za pamćenje. Drugi izraz se dobiva u diferencijalnoj geometriji,
koristi se tzv. prvi kvadratni oblik plohe.

Primjeri izračunavanja krivocrtnih integrala prve vrste

Primjer 1 Integral duž pravca.
Izračunaj integral

duž dužine koja prolazi kroz točke i .

Najprije napišemo jednadžbu ravne linije duž koje se provodi integracija: . Pronađimo izraz za:
.
Računamo integral:

Primjer 2 Integral duž krivulje u ravnini.
Izračunaj integral

duž luka parabole od točke do točke.

Zadane točke i omogućuju nam da izrazimo varijablu iz jednadžbe parabole: .

Računamo integral:
.

Međutim, bilo je moguće izvesti izračune na drugi način, koristeći činjenicu da je krivulja dana jednadžbom koja se rješava s obzirom na varijablu .
Ako uzmemo varijablu kao parametar, to će dovesti do male promjene u izrazu za luk diferencijala:
.
Sukladno tome, integral će se nešto promijeniti:
.
Taj se integral lako izračunava podvođenjem varijable pod diferencijal. Rezultat je isti integral kao u prvom načinu izračuna.

Primjer 3 Integral duž krivulje u ravnini (pomoću parametrizacije).
Izračunaj integral

duž gornje polovice opsega .

Možete, naravno, izraziti jednu od varijabli iz kružne jednadžbe, a zatim provesti ostatak izračuna na standardni način. Ali također možete koristiti
parametarska definicija krivulje. Kao što znate, krug se može definirati jednadžbama. Gornji polukrug
odgovara promjeni parametra unutar . Izračunajte razliku luka:
.
Na ovaj način,

Primjer 4 Integral duž krivulje u ravnini zadan u polarnim koordinatama.
Izračunaj integral

uz desni režanj lemniskate .

Gornji crtež prikazuje lemniskatu. Integraciju treba provesti duž desnog režnja. Nađimo diferencijal luka za krivulju :
.
Sljedeći korak je određivanje granica integracije po polarnom kutu. Jasno je da nejednakost mora vrijediti, pa stoga
.
Računamo integral:

Primjer 5 Integral duž krivulje u prostoru.
Izračunaj integral

duž zavoja zavojnice koji odgovara granicama promjene parametra