Matematički znak između. Matematička notacija

Apstraktna algebra u velikoj mjeri koristi simbole za pojednostavljenje i skraćivanje teksta, kao i standardne notacije za neke skupine. Slijedi popis najčešćih algebarskih zapisa, odgovarajućih naredbi u ... Wikipediji

Matematičke oznake su simboli koji se koriste za pisanje matematičkih jednadžbi i formula na kompaktan način. Osim brojeva i slova raznih abeceda (latinica, uključujući goticu, grčku i hebrejsku), ... ... Wikipedia

Članak sadrži popis često korištenih kratica za matematičke funkcije, operatore i druge matematičke izraze. Sadržaj 1 Kratice 1.1 Latinica 1.2 Grčka abeceda ... Wikipedia

Unicode ili Unicode (eng. Unicode) je standard za kodiranje znakova koji vam omogućuje predstavljanje znakova gotovo svih pisanih jezika. Standard je 1991. godine predložila neprofitna organizacija Unicode Consortium (eng. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Popis specifičnih simbola koji se koriste u matematici možete vidjeti u članku Tablica matematičkih simbola Matematička notacija ("jezik matematike") složen je grafički sustav notacije koji se koristi za predstavljanje apstraktnih ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Plus minus (značenja). ± ∓ Znak plus minus (±) je matematički simbol koji se stavlja ispred nekog izraza i znači da vrijednost tog izraza može biti i pozitivna i ... Wikipedia

Potrebno je provjeriti kvalitetu prijevoda i članak uskladiti sa stilskim pravilima Wikipedije. Možete pomoći ... Wikipedia

Ili su matematički simboli znakovi koji svojim argumentima simboliziraju određene matematičke operacije. Najčešći su: Plus: + Minus:, - Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja::, ∕, ÷ Znak za izlaganje na ... ... Wikipedia

Operacijski znakovi ili matematički simboli su znakovi koji svojim argumentima simboliziraju određene matematičke operacije. Najčešći su: Plus: + Minus:, - Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja::, ∕, ÷ Znak konstrukcije ... ... Wikipedia

od dva), 3 > 2 (tri je veće od dva), itd.

Razvoj matematičke simbolike bio je usko povezan s općim razvojem pojmova i metoda matematike. Prvi Matematički znakovi postojali su znakovi za prikaz brojeva - brojevima, čiji je nastanak, očito, prethodio pisanju. Najstariji sustavi numeriranja - babilonski i egipatski - pojavili su se već 3 1/2 tisućljeća pr. e.

Prvi Matematički znakovi jer su se proizvoljne vrijednosti pojavile mnogo kasnije (počevši od 5.-4. stoljeća prije Krista) u Grčkoj. Veličine (površina, obujmi, kutovi) prikazane su kao segmenti, a umnožak dviju proizvoljnih homogenih veličina - kao pravokutnik izgrađen na odgovarajućim segmentima. U "Počecima" Euklid (3. st. pr. Kr.) količine su označene s dva slova - početnim i završnim slovom odgovarajućeg segmenta, a ponekad čak i jednim. Na Arhimed (3. st. pr. Kr.) potonja metoda postaje uobičajena. Takvo označavanje sadržavalo je mogućnosti za razvoj doslovnog računa. Međutim, u klasičnoj staroj matematici, doslovni račun nije stvoren.

Počeci predstavljanja slova i računa nastaju u kasnoj helenističkoj eri kao rezultat oslobađanja algebre od geometrijskog oblika. Diofant (vjerojatno 3. stoljeće) zapisao nepoznati ( x) i njegove stupnjeve sa sljedećim predznacima:

[ - od grčkog izraza dunamiV (dynamis - snaga), koji označava kvadrat nepoznatog, - od grčkog cuboV (k_ybos) - kocka]. Desno od nepoznatog ili njegovih stupnjeva, Diofant je napisao koeficijente, na primjer, prikazano je 3x5

(gdje je = 3). Pri zbrajanju Diofant je međusobno pripisivao pojmove, za oduzimanje je koristio poseban znak; Diofant je jednakost označavao slovom i [od grčkog isoV (isos) - jednak]. Na primjer, jednadžba

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =x

Diofant bi to napisao ovako:

(ovdje

znači da jedinica nema množitelj u obliku potencije nepoznanice).

Nekoliko stoljeća kasnije, Indijanci su uveli razne Matematički znakovi za više nepoznanica (skraćenice za nazive boja koje označavaju nepoznanice), kvadrat, kvadratni korijen, oduzeti broj. Dakle, jednadžba

3x 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

U snimanju Brahmagupta (7. stoljeće) izgledalo bi ovako:

Ya va 3 ya 10 ru 8

Ya va 1 ya 0 ru 1

(ya - od yavat - tawat - nepoznato, va - od varga - kvadratni broj, ru - od rupa - novčić rupija - slobodan član, točka iznad broja označava broj koji se oduzima).

Stvaranje moderne algebarske simbolike seže u 14.-17. stoljeće; određivali su ga uspjesi praktične aritmetike i proučavanja jednadžbi. U raznim zemljama pojavljuju se spontano Matematički znakovi za neke radnje i za potencije nepoznate količine. Prolaze mnoga desetljeća, pa čak i stoljeća prije nego što se razvije jedan ili drugi prikladan simbol. Dakle, krajem 15. i. N. Šuke i L. Pacioli koristio znakove za zbrajanje i oduzimanje

(od lat. plus i minus), njemački matematičari uveli su moderni + (vjerojatno skraćenica od lat. et) i -. Još u 17.st zna nabrojati desetak Matematički znakovi za operaciju množenja.

bili različiti i Matematički znakovi nepoznato i njegovi stupnjevi. U 16. - ranom 17.st. samo za kvadrat nepoznatog natjecalo se, primjerice, više od deset nota se(od cenzus - latinski izraz koji je poslužio kao prijevod grčkog dunamiV, Q(od kvadrata), , A (2), , Aii, aa, a 2 itd. Dakle, jednadžba

x 3 + 5 x = 12

talijanski matematičar G. Cardano (1545.) imao bi oblik:

od njemačkog matematičara M. Stiefela (1544.):

od talijanskog matematičara R. Bombellija (1572.):

Francuski matematičar F. Vieta (1591.):

od engleskog matematičara T. Harriota (1631.):

U 16. i početkom 17.st u upotrebu ulaze znakovi jednakosti i zagrade: kvadrat (R. Bombelli , 1550), okruglo (N. Tartaglia, 1556), kovrčava (F. viet, 1593). U 16. stoljeću moderni oblik preuzima zapis razlomaka.

Značajan korak naprijed u razvoju matematičke simbolike bio je Vietin uvod (1591.) Matematički znakovi za proizvoljne konstante u obliku velikih suglasnika latinične abecede B, D, što mu je omogućilo da prvi put zapiše algebarske jednadžbe s proizvoljnim koeficijentima i njima operira. Nepoznati Viet prikazuje samoglasnike velikim slovima A, E, ... Na primjer, zapis Vieta

U našim simbolima to izgleda ovako:

x 3 + 3bx = d.

Viet je bio tvorac algebarskih formula. R. Descartes (1637) dao je znakovima algebre moderan izgled, označavajući nepoznanice zadnjim slovima lat. abeceda x, y, z, a proizvoljno zadane količine - početnim slovima a, b, c. Također posjeduje trenutni zapis o diplomi. Descartesov zapis imao je veliku prednost pred svim prethodnim. Stoga su ubrzo dobili univerzalno priznanje.

Daljnji razvoj Matematički znakovi bio je usko povezan sa stvaranjem infinitezimalne analize, za razvoj simbolizma čiji je temelj već bio u velikoj mjeri pripremljen u algebri.

Datumi pojavljivanja nekih matematičkih znakova

znak	značenje	Tko je uveo	Kad se predstavio
Znakovi pojedinačnih objekata
¥	beskonačnost	J. Wallis	1655
e	baza prirodnih logaritama	L. Euler	1736
str	omjer opsega i promjera	W. Jones L. Euler	1706
ja	kvadratni korijen iz -1	L. Euler	1777. (u tisku 1794.)
ja j k	jedinični vektori, orts	W. Hamilton	1853
P (a)	kut paralelizma	N.I. Lobačevski	1835
Znakovi varijabilnih objekata
x,y,z	nepoznanice ili varijable	R. Descartes	1637
r	vektor	O. Koshy	1853
Znakovi pojedinih operacija
+	dodatak	njemački matematičari	Kasno 15. stoljeće
–	oduzimanje
´	množenje	W. Outred	1631
×	množenje	G. Leibniz	1698
:	podjela	G. Leibniz	1684
a 2 , a 3 ,…, a n	stupnjeva	R. Descartes	1637
		I. Newton	1676
	korijenje	K. Rudolph	1525
		A. Girard	1629
Dnevnik	logaritam	I. Kepler	1624
log		B. Cavalieri	1632
grijeh	sinus	L. Euler	1748
cos	kosinus
tg	tangens	L. Euler	1753
arc grijeh	arcsinus	J. Lagrange	1772
Sh	hiperbolički sinus	V. Riccati	1757
CH	hiperbolički kosinus
dx, ddx, …	diferencijal	G. Leibniz	1675. (u tisku 1684.)
d2x, d3x,…
	sastavni	G. Leibniz	1675. (u tisku 1686.)
	izvedenica	G. Leibniz	1675
¦¢x	izvedenica	J. Lagrange	1770, 1779
da
¦¢(x)
Dx	razlika	L. Euler	1755
	djelomična derivacija	A. Legendre	1786
	određeni integral	J. Fourier	1819-22
	iznos	L. Euler	1755
P	raditi	K. Gaussa	1812
!	faktorijel	K. Crump	1808
|x|	modul	K. Weierstrassa	1841
lim	ograničiti	W. Hamilton, mnogi matematičari	1853, početkom 20. stoljeća
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x	zeta funkcija	B. Riemann	1857
G	gama funkcija	A. Legendre	1808
NA	beta funkcija	J. Bineta	1839
D	delta (Laplaceov operator)	R. Murphy	1833
Ñ	nabla (Hamiltonov operator)	W. Hamilton	1853
Predznaci varijabilnih operacija
jx	funkcija	I. Bernoulli	1718
f(x)		L. Euler	1734
Znakovi individualnih odnosa
=	jednakost	R. Zapisnik	1557
>	više	T. Harriot	1631
<	manje
º	usporedivost	K. Gaussa	1801
	paralelizam	W. Outred	1677
^	okomitost	P. Erigon	1634

I. Newton u svojoj metodi fluksova i fluenta (1666. i sljedeće godine) uveo je znakove za uzastopne fluksije (derivacije) veličine (u obliku

a za infinitezimalni prirast o. Nešto ranije J. Wallis (1655) predložio je znak beskonačnosti ¥.

Tvorac moderne simbolike diferencijalnog i integralnog računa je G. Leibniz. On, posebno, pripada trenutno korištenim Matematički znakovi diferencijali

dx, d 2 x, d 3 x

i integralni

Ogromna zasluga u stvaranju simbolike moderne matematike pripada L. Euler. Uveo je (1734.) u opću uporabu prvi znak operacije varijable, naime znak funkcije f(x) (od lat. functio). Nakon Eulerova rada, znakovi za mnoge pojedinačne funkcije, poput trigonometrijskih funkcija, dobili su standardni karakter. Euler posjeduje notaciju za konstante e(baza prirodnih logaritama, 1736), p [vjerojatno od grčkog perijereia (periphereia) - opseg, periferija, 1736], imaginarna jedinica

(od francuskog imaginaire - imaginaran, 1777., objavljen 1794.).

U 19. stoljeću raste uloga simbolike. U ovom trenutku, predznaci apsolutne vrijednosti |x| (DO. Weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), determinator

(ALI. Cayley, 1841) i dr. Mnoge teorije nastale u 19. stoljeću, poput Tenzorskog računa, ne bi se mogle razviti bez odgovarajuće simbolike.

Uz navedeni proces standardizacije Matematički znakovi u modernoj literaturi često se može naći Matematički znakovi koriste pojedini autori samo u okviru ove studije.

S gledišta matematičke logike, među Matematički znakovi mogu se ocrtati sljedeće glavne skupine: A) znakovi objekata, B) znakovi operacija, C) znakovi odnosa. Na primjer, znakovi 1, 2, 3, 4 prikazuju brojeve, odnosno objekte koji se proučavaju aritmetikom. Znak sabiranja + sam po sebi ne predstavlja nikakav objekt; predmetni sadržaj dobiva kada se naznači koji se brojevi zbrajaju: zapis 1 + 3 prikazuje broj 4. Znak > (veći od) znak je odnosa između brojeva. Znak odnosa dobiva sasvim određen sadržaj kad se naznači između kojih se predmeta odnos razmatra. Na navedene tri glavne skupine Matematički znakovi nadovezuje se na četvrti: D) pomoćni znakovi koji uspostavljaju redoslijed kombinacije glavnih znakova. Dovoljna ideja o takvim znakovima daje se zagradama koje označavaju redoslijed kojim se radnje izvode.

Znakovi svake od tri skupine A), B) i C) su dvije vrste: 1) pojedinačni znakovi dobro definiranih objekata, operacija i odnosa, 2) opći znakovi "neponavljajućih" ili "nepoznatih" objekata. , operacije i odnosi.

Mogu poslužiti primjeri znakova prve vrste (vidi i tablicu):

A 1) Zapisivanje prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transcendentni brojevi e i p; imaginarna jedinica ja

B 1) Predznaci računskih operacija +, -, ·, ´,:; vađenje korijena, diferencijacija

predznaci zbroja (unije) È i umnoška (presjeka) Ç skupova; ovo također uključuje znakove pojedinačnih funkcija sin, tg, log itd.

1) Znakovi jednakosti i nejednakosti =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Znakovi druge vrste prikazuju proizvoljne objekte, operacije i odnose određene klase ili objekte, operacije i odnose podložne nekim unaprijed određenim uvjetima. Na primjer, kada pišete identitet ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 slova a i b označavaju proizvoljne brojeve; pri proučavanju funkcionalne ovisnosti na = x 2 slova x i y - proizvoljni brojevi povezani zadanim omjerom; prilikom rješavanja jednadžbe

x označava bilo koji broj koji zadovoljava zadanu jednadžbu (kao rezultat rješavanja ove jednadžbe saznajemo da samo dvije moguće vrijednosti +1 i -1 odgovaraju ovom uvjetu).

S logičke točke gledišta, legitimno je nazvati takve opće znakove znakovima varijabli, kao što je uobičajeno u matematičkoj logici, ne bojeći se okolnosti da bi se moglo pokazati da se "područje promjene" varijable sastoji od jednog objekt ili čak “prazan” (na primjer, u slučaju jednadžbi bez rješenja). Daljnji primjeri takvih znakova su:

A 2) Označavanje točaka, pravaca, ravnina i složenijih geometrijskih oblika slovima u geometriji.

B 2) Notni zapis f, , j za funkcije i zapis operatorskog računa, kada je jedno slovo L prikazuju, na primjer, proizvoljan operator oblika:

Oznaka za "varijabilne omjere" je manje uobičajena i koristi se samo u matematičkoj logici (usp. Algebra logike ) i u relativno apstraktnim, uglavnom aksiomatskim, matematičkim studijama.

Lit.: Cajori, Povijest matematičkih zapisa, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Članak o riječi Matematički znakovi" u Velikoj sovjetskoj enciklopediji pročitan je 39765 puta

Kao što znate, matematika voli točnost i sažetost - nije bez razloga da jedna formula može zauzeti odlomak u verbalnom obliku, a ponekad i cijelu stranicu teksta. Stoga su grafički elementi koji se koriste diljem svijeta u znanosti dizajnirani da povećaju brzinu pisanja i kompaktnost prikaza podataka. Osim toga, standardiziranu grafiku može prepoznati izvorni govornik bilo kojeg jezika koji ima osnovno znanje u relevantnom području.

Povijest matematičkih znakova i simbola seže stoljećima unatrag - neki od njih su izmišljeni nasumično i namijenjeni su označavanju drugih pojava; drugi su postali proizvod aktivnosti znanstvenika koji namjerno formiraju umjetni jezik i vode se isključivo praktičnim razmatranjima.

Plus i minus

Povijest podrijetla simbola koji označavaju najjednostavnije aritmetičke operacije nije pouzdano poznata. Međutim, postoji prilično vjerojatna hipoteza o podrijetlu znaka plus, koji izgleda kao prekrižene vodoravne i okomite crte. U skladu s njim, simbol dodavanja potječe iz latinske unije et, što se na ruski prevodi kao "i". Postupno, kako bi se ubrzao proces pisanja, riječ je svedena na okomito orijentirani križ, nalik slovu t. Najraniji pouzdani primjer takve redukcije potječe iz 14. stoljeća.

Općeprihvaćeni znak minus pojavio se, očito, kasnije. U 14., pa čak i u 15. stoljeću, u znanstvenoj literaturi koristio se niz simbola koji su označavali operaciju oduzimanja, a tek u 16. stoljeću su se "plus" i "minus" u svom modernom obliku počeli pojavljivati ​​zajedno u matematičkim djelima .

Množenje i dijeljenje

Ironično, matematički znakovi i simboli za ove dvije aritmetičke operacije danas nisu u potpunosti standardizirani. Popularna oznaka za množenje je dijagonalni križ koji je predložio matematičar Oughtred u 17. stoljeću, a koji se može vidjeti, na primjer, na kalkulatorima. Na satovima matematike u školi ista se operacija obično prikazuje kao točka - ovu je metodu u istom stoljeću predložio Leibniz. Drugi način predstavljanja je zvjezdica, koja se najčešće koristi u računalnim prikazima raznih izračuna. Predloženo je da se sve to koristi u istom 17. stoljeću, Johann Rahn.

Za operaciju dijeljenja predviđen je znak kose crte (predložio Ougtred) i vodoravna crta s točkama iznad i ispod (simbol je uveo Johann Rahn). Prva verzija oznake je popularnija, ali druga je također prilično česta.

Matematički znakovi i simboli te njihova značenja ponekad se mijenjaju tijekom vremena. Međutim, sva tri načina grafičkog prikaza množenja, kao i oba načina dijeljenja, donekle su dosljedni i aktualni danas.

Jednakost, identitet, jednakost

Kao i kod mnogih drugih matematičkih znakova i simbola, oznaka jednakosti izvorno je bila verbalna. Dugo je općeprihvaćena oznaka bila kratica ae od latinskog aequalis ("jednak"). Međutim, u 16. stoljeću, velški matematičar po imenu Robert Record predložio je dvije vodoravne linije, jednu ispod druge, kao simbol. Prema znanstveniku, nemoguće je smisliti nešto što je međusobno jednakije od dva paralelna segmenta.

Unatoč činjenici da je sličan znak korišten za označavanje paralelizma linija, novi simbol jednakosti postupno je stekao popularnost. Usput, znakovi poput "više" i "manje", koji prikazuju krpelje okrenute u različitim smjerovima, pojavili su se tek u 17.-18. stoljeću. Danas se svakom učeniku čine intuitivnima.

Nešto složeniji znakovi ekvivalencije (dvije valovite crte) i identiteti (tri horizontalne paralelne crte) ušli su u upotrebu tek u drugoj polovici 19. stoljeća.

Znak nepoznatog - "X"

Povijest nastanka matematičkih znakova i simbola također poznaje vrlo zanimljive slučajeve promišljanja grafike kako se znanost razvija. Simbol za nepoznato, danas nazvan "x", potječe s Bliskog istoka u osvit prošlog milenija.

Još u 10. stoljeću, u arapskom svijetu, poznatom po svojim znanstvenicima u tom povijesnom razdoblju, pojam nepoznatog označavao se riječju koja se doslovno prevodi kao “nešto” i počinje glasom “Sh”. Radi uštede materijala i vremena, riječ se u raspravama počela svoditi na prvo slovo.

Mnogo desetljeća kasnije, pisani radovi arapskih znanstvenika završili su u gradovima Pirenejskog poluotoka, na području današnje Španjolske. Znanstvene rasprave počele su se prevoditi na nacionalni jezik, ali pojavila se poteškoća - u španjolskom ne postoji fonem "Sh". Posuđene arapske riječi koje počinju njime pisane su prema posebnom pravilu i ispred njih je stajalo slovo X. Znanstveni jezik tog vremena bio je latinski, u kojem se odgovarajući znak naziva "X".

Dakle, znak, na prvi pogled, kao samo nasumično odabran simbol, ima duboku povijest i izvorno je skraćenica arapske riječi za "nešto".

Bilježenje ostalih nepoznanica

Za razliku od "X", Y i Z, koji su nam poznati iz škole, kao i a, b, c, imaju mnogo prozaičniju povijest nastanka.

U 17. stoljeću objavljena je Descartesova knjiga pod nazivom "Geometrija". U ovoj knjizi autor je predložio standardizaciju simbola u jednadžbama: u skladu s njegovom idejom, posljednja tri slova latinične abecede (počevši od "X") počela su označavati nepoznate, a prva tri - poznate vrijednosti.

Trigonometrijski pojmovi

Povijest takve riječi kao što je "sine" doista je neobična.

Odgovarajuće trigonometrijske funkcije izvorno su nazvane u Indiji. Riječ koja odgovara konceptu sinusa doslovno je značila "niz". U doba procvata arapske znanosti, indijske rasprave su prevođene, a koncept, koji nije imao analoga na arapskom, je transkribiran. Igrom slučaja, ono što se dogodilo u pismu nalikovalo je stvarnoj riječi "šupalj", čija semantika nije imala nikakve veze s izvornim izrazom. Kao rezultat toga, kada su arapski tekstovi prevedeni na latinski u 12. stoljeću, pojavila se riječ "sine", što znači "depresija" i fiksirana kao novi matematički koncept.

Ali matematički znakovi i simboli za tangens i kotangens još uvijek nisu standardizirani - u nekim zemljama obično se pišu kao tg, au drugima - kao tan.

Neki drugi znakovi

Kao što se može vidjeti iz gore opisanih primjera, pojava matematičkih znakova i simbola uglavnom se dogodila u 16.-17. stoljeću. U istom razdoblju pojavili su se danas uobičajeni oblici bilježenja pojmova kao što su postotak, kvadratni korijen, stupanj.

Postotak, tj. stoti dio, dugo se označavao kao cto (skraćeno od latinskog cento). Vjeruje se da se danas općeprihvaćen znak pojavio kao rezultat tiskarske pogreške prije otprilike četiri stotine godina. Rezultirajuća slika percipirana je kao dobar način smanjenja i ukorijenila se.

Znak korijena izvorno je bilo stilizirano slovo R (skraćenica za latinsku riječ radix, "korijen"). Gornja linija, pod kojom je izraz danas napisan, služila je kao zagrada i bila je zaseban znak, odvojen od korijena. Zagrade su izumljene kasnije - ušle su u široku cirkulaciju zahvaljujući aktivnostima Leibniza (1646-1716). Zahvaljujući vlastitom radu, u znanost je uveden i simbol integrala koji izgleda kao izduženo slovo S - kratica za riječ "sum".

Konačno, znak za potenciranje izumio je Descartes, a doradio Newton u drugoj polovici 17. stoljeća.

Kasnije oznake

Uzimajući u obzir da su poznate grafičke slike "plus" i "minus" puštene u optjecaj tek prije nekoliko stoljeća, ne čini se iznenađujućim da su se matematički znakovi i simboli koji označavaju složene pojave počeli koristiti tek u pretprošlom stoljeću.

Dakle, faktorijel, koji izgleda kao uskličnik iza broja ili varijable, pojavio se tek početkom 19. stoljeća. Otprilike u isto vrijeme pojavilo se veliko "P" za označavanje djela i simbol granice.

Pomalo je čudno da su se znakovi za broj Pi i algebarski zbroj pojavili tek u 18. stoljeću - kasnije od, primjerice, integralnog simbola, iako se intuitivno čini da su češći. Grafički prikaz omjera opsega kruga i njegovog promjera dolazi od prvog slova grčkih riječi koje znače "opseg" i "opseg". A znak "sigma" za algebarski zbroj predložio je Euler u posljednjoj četvrtini 18. stoljeća.

Nazivi simbola na različitim jezicima

Kao što znate, jezik znanosti u Europi stoljećima je bio latinski. Fizikalni, medicinski i mnogi drugi pojmovi često su se posuđivali u obliku transkripcija, znatno rjeđe u obliku paus papira. Stoga se mnogi matematički znakovi i simboli na engleskom nazivaju gotovo isto kao na ruskom, francuskom ili njemačkom. Što je suština fenomena složenija, to je veća vjerojatnost da će na različitim jezicima imati isto ime.

Računalni zapis matematičkih simbola

Najjednostavniji matematički znakovi i simboli u Wordu označeni su uobičajenom kombinacijom tipki Shift + broj od 0 do 9 u ruskom ili engleskom rasporedu. Odvojeni ključevi rezervirani su za neke široko korištene znakove: plus, minus, jednakost, kosa crta.

Ako želite koristiti grafički prikaz integrala, algebarskog zbroja ili umnoška, ​​broja Pi i sl., trebate otvoriti karticu "Umetni" u Wordu i pronaći jedan od dva gumba: "Formula" ili "Simbol". U prvom slučaju otvorit će se konstruktor koji omogućuje izgradnju cijele formule unutar jednog polja, au drugom će se otvoriti tablica simbola u kojoj možete pronaći bilo koje matematičke simbole.

Kako zapamtiti matematičke simbole

Za razliku od kemije i fizike, gdje broj simbola koje treba zapamtiti može premašiti stotinu jedinica, matematika operira s relativno malim brojem simbola. Najjednostavnije od njih učimo u ranom djetinjstvu, učeći zbrajati i oduzimati, a tek na sveučilištu u određenim specijalnostima upoznajemo se s nekoliko složenih matematičkih znakova i simbola. Slike za djecu pomažu u nekoliko tjedana da postignu trenutno prepoznavanje grafičke slike potrebne operacije, može biti potrebno mnogo više vremena da se svlada vještina same provedbe ovih operacija i razumije njihova bit.

Dakle, proces pamćenja znakova odvija se automatski i ne zahtijeva puno truda.

Konačno

Vrijednost matematičkih znakova i simbola leži u činjenici da ih lako razumiju ljudi koji govore različitim jezicima i nositelji su različitih kultura. Iz tog je razloga iznimno korisno razumjeti i moći reproducirati grafičke prikaze različitih pojava i operacija.

Visoka razina standardizacije ovih znakova uvjetuje njihovu primjenu u raznim područjima: u području financija, informatičkih tehnologija, inženjeringa itd. Za sve koji se žele baviti poslovima vezanim uz brojeve i izračune, poznavanje matematičkih znakova i simbola te njihovih značenja. postaje vitalna potreba..

Matematička notacija("jezik matematike") - složeni grafički zapis koji služi za prikaz apstraktnih matematičkih ideja i prosudbi u obliku čitljivom za čovjeka. On čini (u svojoj složenosti i raznolikosti) značajan udio negovornih znakovnih sustava koje koristi čovječanstvo. Ovaj članak opisuje općeprihvaćenu međunarodnu notaciju, iako su različite kulture u prošlosti imale svoje, a neke od njih do sada imaju ograničenu upotrebu.

Imajte na umu da se matematička notacija, u pravilu, koristi zajedno s pisanim oblikom nekih prirodnih jezika.

Osim u fundamentalnoj i primijenjenoj matematici, matematička notacija ima široku primjenu u fizici, kao i (u svom nepotpunom opsegu) u tehnici, informatici, ekonomiji, dapače u svim područjima ljudske djelatnosti gdje se koriste matematički modeli. O razlikama između pravilnog matematičkog i primijenjenog stila notacije bit će riječi u tijeku teksta.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Prijavite se / u matematici

✪ Matematika 3. razred. Tablica znamenaka višeznamenkastih brojeva

✪ Skupovi u matematici

✪ Matematika 19. Matematička zabava - Šiškinova škola

titlovi

Zdravo! Ovaj video nije o matematici, već o etimologiji i semiotici. Ali siguran sam da će ti se svidjeti. Ići! Jeste li svjesni da je potraga za rješenjem kubičnih jednadžbi u općem obliku matematičarima trajala nekoliko stoljeća? To je djelomično zašto? Jer nije bilo jasnih simbola za jasne misli, bilo da je naše vrijeme. Toliko je likova da se možete zbuniti. Ali ne možete nas prevariti, idemo shvatiti. Ovo je obrnuto veliko slovo A. Ovo je zapravo englesko slovo, navedeno je prvo u riječima "all" i "any". Na ruskom se ovaj simbol, ovisno o kontekstu, može čitati ovako: za bilo koga, svakoga, svakoga, svakoga i tako dalje. Takav hijeroglif nazvat ćemo univerzalni kvantifikator. I evo još jednog kvantifikatora, ali već postojanja. Englesko slovo e odražavalo se u Paintu s lijeva na desno, nagovještavajući tako prekomorski glagol "postojati", po našem mišljenju čitat ćemo: postoji, postoji, postoji još jedan sličan način. Uskličnik bi takvom egzistencijalnom kvantifikatoru dodao jedinstvenost. Ako je ovo jasno, idemo dalje. Vjerojatno ste se u jedanaestom razredu susreli s neodređenim integralima, pa bih vas podsjetio da ovo nije samo neka antiderivacija, već skup svih antiderivacija integranda. Stoga ne zaboravite na C - konstantu integracije. Inače, sama integralna ikona je samo izduženo slovo s, odjek latinske riječi sum. Upravo je to geometrijsko značenje određenog integrala: potraga za područjem figure ispod grafikona zbrajanjem infinitezimalnih vrijednosti. Za mene je ovo najromantičnija aktivnost u kalkulaciji. Ali školska geometrija je najkorisnija jer uči logičkoj strogosti. Do prvog tečaja trebali biste imati jasno razumijevanje što je posljedica, što je ekvivalencija. Pa, ne možete se zbuniti između nužnosti i dostatnosti, razumijete? Pokušajmo čak i kopati malo dublje. Ako se odlučite baviti višom matematikom, onda zamišljam kako loše stvari stoje s vašim osobnim životom, ali zato ćete sigurno pristati svladati malu vježbu. Ovdje postoje tri točke, svaka ima lijevu i desnu stranu, koje trebate spojiti s jednim od tri nacrtana simbola. Molim vas, zastanite, isprobajte sami, a zatim poslušajte što imam za reći. Ako je x=-2, onda je |x|=2, ali s lijeva na desno, tako da je izraz već izgrađen. U drugom paragrafu s lijeve i desne strane piše apsolutno isto. I treća točka može se komentirati na sljedeći način: svaki pravokutnik je paralelogram, ali nije svaki paralelogram pravokutnik. Da, znam da više nisi mali, ali svejedno moj aplauz onima koji su se snašli u ovoj vježbi. Pa dobro, dosta, prisjetimo se skupova brojeva. U brojanju se koriste prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4 i tako dalje. U prirodi -1 jabuka ne postoji, ali, usput, cijeli brojevi vam omogućuju da razgovarate o takvim stvarima. Slovo ℤ vrišti nam o važnoj ulozi nule, skup racionalnih brojeva označava se slovom ℚ, a to nije slučajnost. Na engleskom jeziku riječ "kvocijent" znači "stav". Inače, ako vam negdje u Brooklynu priđe Afroamerikanac i kaže: "Keep it real!", budite sigurni da ste matematičar, obožavatelj realnih brojeva. Pa treba pročitati nešto o kompleksnim brojevima, bit će korisnije. Sada ćemo se vratiti, vratiti u prvi razred najobičnije grčke škole. Ukratko, prisjetimo se drevne abecede. Prvo slovo je alfa, zatim betta, ova udica je gama, zatim delta, zatim epsilon, i tako dalje, do posljednjeg slova omega. Možete biti sigurni da i Grci imaju velika slova, ali nećemo sada o tužnim stvarima. Bolji smo o veselju - o granicama. Ali ovdje jednostavno nema zagonetki, odmah je jasno iz koje se riječi pojavio matematički simbol. Pa, dakle, možemo prijeći na završni dio videa. Pokušajte zvučati definiciju granice niza brojeva, koja je sada napisana ispred vas. Kliknite radije pauzirajte i razmislite i neka vam je sreća kao jednogodišnje dijete koje je naučilo riječ "mama". Ako za bilo koji epsilon veći od nule postoji prirodan broj N, takav da za sve brojeve numeričkog niza veće od N vrijedi nejednakost |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Opće informacije

Sustav se povijesno razvio poput prirodnih jezika (vidi povijest matematičke notacije) i organiziran je poput pisma prirodnih jezika, posuđujući odatle i mnoge simbole (prvenstveno iz latinske i grčke abecede). Simboli se, kao i u običnom pisanju, prikazuju kontrastnim linijama na jednoličnoj podlozi (crno na bijelom papiru, svijetlo na tamnoj ploči, kontrastno na monitoru itd.), a njihovo značenje određeno je prvenstveno oblikom i relativnim položaj. Boja se ne uzima u obzir i obično se ne koristi, ali kada se koriste slova, njihove karakteristike kao što su stil, pa čak i tip slova, koje ne utječu na značenje u običnom pisanju, mogu igrati semantičku ulogu u matematičkom zapisu.

Struktura

Uobičajena matematička notacija (osobito tzv matematičke formule) općenito se pišu u nizu slijeva nadesno, ali ne moraju nužno činiti uzastopni niz znakova. Odvojeni blokovi znakova mogu se nalaziti u gornjoj ili donjoj polovici retka, čak iu slučaju kada se znakovi ne preklapaju vertikalno. Također, neki dijelovi se nalaze potpuno iznad ili ispod crte. S gramatičke strane, gotovo svaka "formula" može se smatrati hijerarhijski organiziranom strukturom stabla.

Standardizacija

Matematička notacija predstavlja sustav u smislu odnosa njegovih komponenti, ali općenito, nečine formalni sustav (u razumijevanju same matematike). Oni se, u svakom kompliciranom slučaju, ne mogu niti programski rastaviti. Kao i svaki prirodni jezik, “jezik matematike” je pun nedosljednih oznaka, homografija, različitih (među njegovim govornicima) tumačenja onoga što se smatra ispravnim, itd. Ne postoji čak ni neka predvidljiva abeceda matematičkih simbola, a posebno zato što pitanje nije uvijek nedvosmisleno riješeno treba li dvije oznake smatrati različitim znakovima ili različitim načinima pisanja jednog znaka.

Neki od matematičkih zapisa (uglavnom koji se odnose na mjerenja) standardizirani su u ISO 31 -11, ali općenito ne postoji standardizacija zapisa.

Elementi matematičke notacije

Brojke

Ako je potrebno, primijeniti brojevni sustav s bazom manjom od deset, baza se piše u indeksu: 20003 8 . Brojevni sustavi s bazama većim od deset ne koriste se u općeprihvaćenom matematičkom zapisu (iako ih, naravno, proučava sama znanost), jer za njih nema dovoljno brojeva. U vezi s razvojem računalne znanosti aktualan je postao heksadecimalni brojevni sustav u kojem se brojevi od 10 do 15 označavaju s prvih šest latiničnih slova od A do F. Za označavanje takvih brojeva u računalnoj znanosti koristi se nekoliko različitih pristupa. , ali se ne prenose u matematiku.

Superskript i subscript znakovi

Zagrade, slični simboli i razdjelnici

Koriste se zagrade "()":

Uglate zagrade "" često se koriste u grupiranju značenja kada morate koristiti mnogo parova zagrada. U ovom slučaju, oni su postavljeni izvana i (s urednom tipografijom) imaju veću visinu od zagrada koje su unutra.

Uglate "" i okrugle "()" zagrade koriste se za označavanje zatvorenih odnosno otvorenih prostora.

Vitičaste zagrade "()" obično se koriste za , iako se na njih odnosi isto upozorenje kao i za uglate zagrade. Lijevi "(" i desni ")" zagrade mogu se koristiti zasebno; opisana je njihova namjena.

Simboli uglatih zagrada " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» s urednom tipografijom trebaju imati tupe kutove i po tome se razlikovati od sličnih koji imaju pravi ili oštar kut. U praksi se tome ne treba nadati (pogotovo kod ručnog pisanja formula) i treba ih razlikovati uz pomoć intuicije.

Parovi simetričnih (u odnosu na okomitu os) simbola, uključujući i one koji nisu navedeni, često se koriste za isticanje dijela formule. Opisana je svrha parnih zagrada.

Indeksi

Ovisno o položaju, razlikuju se nadnaslovi i podnaslovi. Superskript može značiti (ali ne mora nužno) potenciranje na , o drugim upotrebama .

Varijable

U znanostima postoje skupovi veličina, a bilo koji od njih može uzeti ili skup vrijednosti i nazvati se varijabla vrijednost (varijanta), ili samo jednu vrijednost i nazvati konstantom. U matematici se količine često skreću s fizičkog značenja, a onda se varijabla pretvara u sažetak(ili numerička) varijabla, označena nekim simbolom koji nije zauzet gore spomenutom posebnom oznakom.

Varijabilna x smatra se danim ako je naveden skup vrijednosti koje uzima (x). Konstantnu vrijednost zgodno je smatrati varijablom za koju odgovarajući skup (x) sastoji se od jednog elementa.

Funkcije i operatori

Matematički gledano, nema značajne razlike između operater(unarni), preslikavanje i funkcija.

Međutim, podrazumijeva se da ako je za snimanje vrijednosti preslikavanja iz danih argumenata potrebno navesti , tada simbol ovog preslikavanja označava funkciju, u drugim slučajevima vjerojatnije je govoriti o operatoru. Simboli nekih funkcija jednog argumenta koriste se sa i bez zagrada. Mnoge elementarne funkcije, na primjer sin ⁡ x (\displaystyle \sin x) ili sin ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), ali uvijek se pozivaju elementarne funkcije funkcije.

Operatori i relacije (unarni i binarni)

Funkcije

Funkcija se može nazvati u dva smisla: kao izraz svoje vrijednosti sa zadanim argumentima (pismeno f (x) , f (x , y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) itd.) ili zapravo kao funkcija. U potonjem slučaju stavlja se samo simbol funkcije, bez zagrada (iako ga često pišu nasumično).

Postoje mnoge oznake za uobičajene funkcije koje se koriste u matematičkom radu bez daljnjih objašnjenja. Inače se funkcija mora nekako opisati, au fundamentalnoj matematici se bitno ne razlikuje od te se također označava proizvoljnim slovom na isti način. Slovo f je najpopularnije za varijabilne funkcije, g i većina grčkih također se često koriste.

Predefinirane (rezervirane) oznake

Međutim, oznake od jednog slova mogu, po želji, dobiti drugačije značenje. Na primjer, slovo i često se koristi kao indeks u kontekstu u kojem se ne koriste složeni brojevi, a slovo se može koristiti kao varijabla u nekim kombinatorikama. Također, simboli teorije skupova (kao što je " ⊂ (\displaystyle \subset )" i " ⊃ (\displaystyle \supset )") i propozicijski račun (kao što je " ∧ (\displaystyle \wedge )" i " ∨ (\displaystyle\vee )”) može se koristiti u drugom smislu, obično kao relacija reda odnosno binarna operacija.

Indeksiranje

Indeksiranje je iscrtano (obično dolje, ponekad gore) i to je, u neku ruku, način da se proširi sadržaj varijable. Međutim, koristi se u tri malo različita (iako se preklapaju) smisla.

Zapravo brojke

Možete imati više različitih varijabli označavajući ih istim slovom, slično korištenju . Na primjer: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Obično su povezani nekim zajedništvom, ali općenito to nije potrebno.

Štoviše, kao "indekse" možete koristiti ne samo brojeve, već i bilo koje znakove. Međutim, kada je druga varijabla i izraz napisan kao indeks, ovaj unos se tumači kao "varijabla s brojem određen vrijednošću indeksnog izraza."

U tenzorskoj analizi

U linearnoj algebri se piše tenzorska analiza, diferencijalna geometrija s indeksima (u obliku varijabli).

Tečaj koristi geometrijski jezik, sastavljen od oznaka i simbola usvojenih u matematičkom tečaju (osobito u novom tečaju geometrije u srednjoj školi).

Cjelokupna raznolikost oznaka i simbola, kao i veza između njih, može se podijeliti u dvije skupine:

skupina I - oznake geometrijskih likova i odnosi među njima;

skupina II oznake logičkih operacija, koje čine sintaktičku osnovu geometrijskog jezika.

Slijedi potpuni popis matematičkih simbola koji se koriste u ovom tečaju. Posebna pažnja posvećena je simbolima koji se koriste za označavanje projekcija geometrijskih oblika.

Grupa I

SIMBOLI OZNAČUJU GEOMETRIJSKE FIGURE I ODNOSE MEĐU NJIMA

A. Označavanje geometrijskih oblika

1. Geometrijski lik je označen - F.

2. Bodovi se označavaju velikim slovima latinične abecede ili arapskim brojevima:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Pravci proizvoljno smješteni u odnosu na ravnine projekcija označeni su malim slovima latinične abecede:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Označene su linije razine: h - vodoravno; f- frontalni.

Za ravne linije također se koristi sljedeća oznaka:

(AB) - pravac koji prolazi kroz točke A i B;

[AB) - zraka s početkom u točki A;

[AB] - isječak ravne linije omeđen točkama A i B.

4. Površine se označavaju malim slovima grčkog alfabeta:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Da biste naglasili način na koji je površina definirana, trebate navesti geometrijske elemente kojima je definirana, na primjer:

α(a || b) - ravnina α određena je paralelnim pravcima a i b;

β(d 1 d 2 gα) - ploha β određena je vodilicama d 1 i d 2 , generatrisom g i ravninom paralelizma α.

5. Kutovi su naznačeni:

∠ABC - kut s vrhom u točki B, kao i ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Kutni: vrijednost (stupnjevna mjera) označena je znakom koji se nalazi iznad kuta:

Vrijednost kuta ABC;

Vrijednost kuta φ.

Pravi kut označen je kvadratom s točkom unutar njega

7. Udaljenosti između geometrijskih likova označene su s dva okomita segmenta - ||.

Na primjer:

|AB| - udaljenost između točaka A i B (duljina segmenta AB);

|Aa| - udaljenost od točke A do pravca a;

|Aα| - udaljenosti od točke A do površine α;

|ab| - razmak između pravaca a i b;

|αβ| udaljenost između površina α i β.

8. Za ravnine projekcije prihvaćaju se sljedeće oznake: π 1 i π 2, gdje je π 1 horizontalna ravnina projekcije;

π 2 -fryuntalna ravnina projekcija.

Prilikom zamjene ravnina projekcija ili uvođenja novih ravnina, potonje označavaju π 3, π 4 itd.

9. Osi projekcije su označene: x, y, z, gdje je x os x; y je y-os; z - aplicirana os.

Konstantna linija Mongeovog dijagrama označena je s k.

10. Projekcije točaka, linija, površina, bilo koje geometrijske figure označene su istim slovima (ili brojevima) kao i izvornik, uz dodatak gornjeg indeksa koji odgovara ravnini projekcije na kojoj su dobiveni:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalne projekcije točaka; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontalne projekcije točaka; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalne projekcije pravaca; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... frontalne projekcije pravaca; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površina; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontalne projekcije ploha.

11. Tragovi ravnina (ploha) označavaju se istim slovima kao horizontala ili frontala, uz dodatak indeksa 0α, čime se naglašava da te linije leže u ravnini projekcije i pripadaju ravnini (plohi) α.

Dakle: h 0α - horizontalni trag ravnine (plohe) α;

f 0α - frontalni trag ravnine (plohe) α.

12. Tragovi ravnih crta (crta) označavaju se velikim slovima, kojima počinju riječi koje određuju naziv (u latiničnoj transkripciji) ravnine projekcije koju pravac siječe, s indeksom koji označava pripadnost pravcu.

Na primjer: H a - horizontalni trag ravne linije (crte) a;

F a - frontalni trag ravne crte (linije) a.

13. Niz točaka, linija (bilo koje figure) označen je indeksima 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α1, α2, α3,...,αn;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n itd.

Pomoćna projekcija točke, dobivena kao rezultat transformacije za dobivanje stvarne vrijednosti geometrijske figure, označena je istim slovom s indeksom 0:

A 0, B 0, C 0, D 0,...

Aksonometrijske projekcije

14. Aksonometrijske projekcije točaka, linija, ploha označene su istim slovima kao i priroda s dodatkom superskripta 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundarne projekcije označene su dodavanjem superskripta 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Kako bi se olakšalo čitanje crteža u udžbeniku, u dizajnu ilustrativnog materijala korišteno je nekoliko boja, od kojih svaka ima određeno semantičko značenje: crne linije (točke) označavaju početne podatke; zelena boja se koristi za linije pomoćnih grafičkih konstrukcija; crvene linije (točke) prikazuju rezultate konstrukcija ili one geometrijske elemente na koje treba obratiti posebnu pozornost.

B. Simboli koji označavaju odnose između geometrijskih figura

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličkog zapisa
1	≡	Podudaranje	(AB) ≡ (CD) - pravac koji prolazi kroz točke A i B, poklapa se s pravcem koji prolazi kroz točke C i D
2	≅	Kongruentan	∠ABC≅∠MNK - kut ABC je sukladan kutu MNK
3	∼	Sličan	ΔABS∼ΔMNK - trokuti ABC i MNK su slični
4	||	Paralelno	α||β - ravnina α je paralelna s ravninom β
5	⊥	Okomito	a⊥b - pravci a i b su okomiti
6		križati	s d - pravci c i d se sijeku
7		Tangente	t l - pravac t je tangenta na pravac l. βα - ravnina β tangenta na površinu α
8	→	Prikazuju se	F 1 → F 2 - slika F 1 se preslikava na sliku F 2
9	S	projekcijski centar. Ako središte projekcije nije odgovarajuća točka, njegov položaj je označen strelicom, koji označava smjer projekcije	-
10	s	Smjer projekcije	-
11	P	Paralelna projekcija	p s α Parallel projection – paralelna projekcija na ravninu α u pravcu s

B. Teorijski skupovi

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličkog zapisa	Primjer simboličkog zapisa u geometriji
1	M,N	Setovi	-	-
2	A,B,C,...	Elementi skupa	-	-
3	{ ... }	Sadrži...	F(A, B, C,... )	F(A, B, C,...) - figura F sastoji se od točaka A, B, C, ...
4	∅	Prazan set	L - ∅ - skup L je prazan (ne sadrži elemente)	-
5	∈	Pripada, element je	2∈N (gdje je N skup prirodnih brojeva) - broj 2 pripada skupu N	A ∈ a - točka A pripada pravcu a (točka A leži na pravcu a)
6	⊂	Uključuje, sadrži	N⊂M - skup N je dio (podskup) skupa M svih racionalnih brojeva	a⊂α - pravac a pripada ravnini α (shvaćeno u smislu: skup točaka pravca a je podskup točaka ravnine α)
7	∪	Udruga	C \u003d A U B - skup C je unija skupova A i B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - izlomljena crta, ABCD je unija segmenata [AB], [BC],
8	∩	Sjecište mnogih	M=K∩L - skup M je presjek skupova K i L (sadrži elemente koji pripadaju i skupu K i skupu L). M ∩ N = ∅- presjek skupova M i N je prazan skup (skupovi M i N nemaju zajedničkih elemenata)	a = α ∩ β - pravac a je sjecište ravnine α i β i ∩ b = ∅ - pravci a i b se ne sijeku (nema dodirnih točaka)

II skupina SIMBOLI KOJI OZNAČAVAJU LOGIČKE OPERACIJE

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličkog zapisa
1	∧	veznik rečenica; odgovara sindikatu "i". Rečenica (p∧q) je istinita ako i samo ako su p i q istiniti	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Sjecište površina α i β je skup točaka (pravac), koja se sastoji od svih onih i samo onih točaka K koje pripadaju i plohi α i plohi β
2	∨	Rastavljanje rečenica; odgovara sindikatu "ili". Rečenica (p∨q) istinito kada je barem jedna od rečenica p ili q istinita (tj. ili p ili q ili oboje).	-
3	⇒	Implikacija je logična posljedica. Rečenica p⇒q znači: "ako je p, onda je q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Ako su dva pravca paralelna s trećim, onda su i međusobno paralelni.
4	⇔	Rečenica (p⇔q) se shvaća u smislu: "ako je p, onda je q; ako je q, onda je p"	A∈α⇔A∈l⊂α. Točka pripada ravnini ako pripada nekom pravcu koji pripada toj ravnini. Vrijedi i obrnuto: ako točka pripada nekom pravcu, pripada ravni, onda pripada i samoj ravni.
5	∀	Opći kvantifikator glasi: za svakoga, za svakoga, za bilo koga. Izraz ∀(x)P(x) znači: "za bilo koji x: svojstvo P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) Za bilo koji (za bilo koji) trokut, zbroj vrijednosti njegovih kutova na vrhovima je 180°
6	∃	Egzistencijalni kvantifikator glasi: postoji. Izraz ∃(x)P(x) znači: "postoji x koji ima svojstvo P(x)"	(∀α)(∃a). Za bilo koju ravninu α postoji pravac a koji ne pripada ravnini α a paralelna s ravninom α
7	∃1	Kvantifikator jedinstvenosti postojanja, glasi: postoji jedinstveno (-th, -th)... Izraz ∃1(x)(Px) znači: "postoji jedinstven (samo jedan) x, ima svojstvo Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za bilo koje dvije različite točke A i B, postoji jedinstvena linija a, prolazeći kroz ove točke.
8	(px)	Negacija iskaza P(x)	ab(∃α )(α⊃a, b). Ako se pravci a i b sijeku, tada ne postoji ravnina a koja ih sadrži
9	\	negativan predznak	≠ - dužina [AB] nije jednaka dužici .a?b - pravac a nije paralelan s pravcem b