Uvod

Svi dijelovi deskriptivne geometrije koriste istu metodu - metodu projekcije, stoga se crteži koji se koriste ne samo u deskriptivnoj geometriji nazivaju projekcijski crteži.

Metoda projiciranja leži u činjenici da se bilo koja od točaka skupa točaka u prostoru može projicirati pomoću projiciranih zraka na bilo koju površinu. Da biste to učinili, zamislite neku zadanu površinu (slika 1) i točku ALI u svemiru. Kod provođenja snopa S kroz točku ALI u smjeru površine, potonja će je presijecati u točki ALI jedan . Točka ALI nazvao projektirana točka. Ravnina α na koju se dobiva projekcija naziva se ravnina projekcije. Točka presjeka zrake s ravninom naziva se projekcija točke ALI. Ravno ALIALI 1 (greda), tzv projektirajuća zraka.

Sl. 1.

Metoda središnje (stožaste ili polarne) projekcije temelji se na činjenici da pri projiciranju na ravninu niz točaka ( ALI, B, C itd.) sve izbočene zrake prolaze kroz jednu točku, tzv projekcijski centar, ili pol.

Zamislite trokut u svemiru ABC i projiciranje zraka koje prolaze kroz dani pol S i kroz točke ABC trokuta povučenih do presjeka s ravninom α. Trokut ALI 1 B 1 C 1 će biti središnja projekcija trokuta ABC(slika 2).

Metoda centralne projekcije ne zadovoljava niz uvjeta potrebnih za tehnički crtež, a to su: ne daje jednoličnu sliku, potpunu jasnoću svih geometrijskih oblika, nema čitljivost, nema jednostavnost slike.

Metoda paralelnog (kosog) projiciranja je da sve projicirajuće zrake koje prolaze kroz točke trokuta ABC, bit će međusobno paralelne (slika 3). Ova metoda proizlazi iz metode središnje projekcije, dok se stup mora odmaknuti na beskonačnu udaljenost od ravnine na koju se projicira predmet.

Metoda ortogonalne (pravokutne) projekcije - metoda kada su projicirajuće zrake međusobno paralelne i okomite na ravninu projekcije (slika 4). Ova metoda je poseban slučaj paralelne projekcije.

Tako se svaka točka u prostoru može projicirati na ravninu projekcije: na horizontalu P 1 , frontal P 2 i profil P 3 . Označava se horizontalna projekcija točke ALI 1 ili ALI′, frontalno ALI 2 ili ALI" profil ALI 3 ili ALI′” (slika 5).

Paralelna projekcija može se smatrati posebnim slučajem središnje projekcije.

Ako se središte projekcija na središnjem projekcijskom aparatu pomakne u beskonačnost, tada se projicirajuće zrake mogu smatrati paralelnima. Dakle, aparat za paralelno projiciranje sastoji se od ravnine projiciranja P i pravca R. Kod središnjeg projiciranja zrake koje projiciraju izlaze iz jedne točke, a kod paralelnog projiciranja one su međusobno paralelne.

Ovisno o smjeru greda projiciranja, paralelno projiciranje može biti koso, kada su grede projiciranja nagnute prema ravnini projiciranja, i pravokutno (ortogonalno), kada su grede projiciranja okomite na ravninu projiciranja.

Razmotrimo primjer kose paralelne projekcije.

Konstruiramo paralelnu projekciju A1B1 segmenta AB, na ravninu P1, za zadani pravac projekcije P ne P1. Za to je potrebno povući projicne pravce kroz točke A i B paralelne s pravcem projiciranja P. Kada se projicirajuće pravce presjeku s ravninom P1, dobit će se paralelne projekcije A1 i B1 točaka A i B. Spajanjem paralelne projekcije A1 i B1, dobivamo paralelnu projekciju A1B1 odsječka AB.

Slično, moguće je konstruirati paralelnu projekciju A1V1S1D1 četverokuta ABCD na ravninu P1, pri čemu zadani smjer projekcije P nije okomit na P1.

Za to je potrebno povući projicirajuće pravce kroz točke A, B, C, D, paralelne sa smjerom projekcije P. Kada se projicirajući pravci sijeku s ravninom P1, paralelne projekcije A1, B1, C1, D1 točaka Dobit će se A, B, C, D. Spajanjem paralelnih projekcija A1, B1, C1, D1 dobivamo paralelnu projekciju A1B1C1D1 četverokuta ABCD.

Svojstva projekcija u paralelnoj projekciji:

Prvih šest svojstava središnje projekcije vrijede i za paralelnu projekciju. Navodimo još nekoliko svojstava svojstvenih paralelnoj projekciji:

1. Projekcije paralelnih pravaca su paralelne.

Sa slike je vidljivo da linije AA 1, BB 1, SS 1 i DD 1čine dvije paralelne ravnine a i b. Ove dvije ravnine se sijeku P 1. Prema tome, linije njihova sjecišta A 1 B 1 i C 1 D 1 bit će paralelna.

2. Ako točka dijeli duljinu segmenta u odnosu na m:n, tada projekcija te točke dijeli duljinu projekcije segmenta u istom omjeru.

Neka točka IZ pripada segmentu AB, i |AC| : |CB| = 2:1. Izgradimo paralelnu projekciju A 1 B 1 segment AB. Točka od 1 A 1 B 1. Idemo trošiti AC' || A 1 C 1 i CB' || C 1 B 1, dobivamo dva slična trokuta ACC' i CBB'. Iz njihove sličnosti slijedi proporcionalnost strana: |AC| : |CB| = |AC'| : |CB'|, ali |CB'| = |S1V1|, a |AC'| = |A 1 C 1 |, stoga |AC| : |CB| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. Ravna figura paralelna s ravninom projekcije projicira se bez izobličenja.

Uzmimo trokut ABC te ga projicirati na dvije paralelne ravnine projiciranja P 1 ' i P 1. Budući da su duljine odsječaka jednake |A 1 A 1 '| = |B 1 B 1 ‘| = |C 1 C 1 ‘| a segmenti su paralelni, zatim četverokuti A 1 A 1 'B 1 B 1 ', B 1 B 1 ' C 1 C 1 ', C 1 C 1 'A 1 A 1 ' su paralelogrami. Stoga su im suprotne stranice jednake duljine. | A 1 B 1 | = | A 1 ‘B 1 ‘|, | B 1 C 1 | = |B 1 ‘C 1 ‘|, |A 1 C 1 | = |A 1 ‘C 1 ‘|, pa su trokuti sukladni.

Slično, isto se može dokazati za bilo koju drugu ravnu figuru. Paralelna projekcija, za razliku od središnje, ima manju jasnoću, ali omogućuje jednostavnost konstrukcije i veći odnos s izvornikom.

Paralelna projekcija(Sl. 1.6) može se smatrati posebnim slučajem središnje projekcije, u kojoj je središte projekcije uklonjeno u beskonačnost ( S∞). Kod paralelnog projiciranja koriste se paralelne projicirajuće linije povučene u određenom smjeru u odnosu na ravninu projiciranja

cije. Ako je smjer projiciranja okomit na ravninu projiciranja, tada se projekcije nazivaju pravokutnim ili ortogonalnim. u drugim slučajevima - koso (na slici 1.6 smjer projekcije označen je strelicom pod kutom prema ravnini projekcije).

Paralelna projekcija zadržava sva svojstva središnje projekcije, a također uvodi sljedeća nova svojstva.

1. Paralelne projekcije međusobno paralelnih pravaca su paralelne, a omjer duljina odsječaka takvih pravaca jednak je omjeru duljina njihovih projekcija.

Ako je ravno MN i KL(sl. 1.7) paralelne, tada su projicirajuće ravnine i paralelne, jer su sjecište u tim ravninama međusobno paralelne: - prema uvjetu,

Prema tome, projekcije i paralelne su kao i presjecišta paralelnih ravnina p i y s ravninom l.

Napomena na ravnoj liniji MN proizvoljni segment A B a na ravnoj liniji KL proizvoljni segment CD. Kroz točku nacrtaj ravninu p ALI pravac i u ravnini y kroz točku C pravac C - . Segmenti kao segmenti paralele između paralela. Segmenti i, prema tome, . Segmenti, jer su im sve stranice međusobno paralelne. Iz sličnosti trokuta slijedi:

Iz onoga što je razmotreno slijedi:

a) ako je duljina segmenta ravne linije podijeljena točkom u bilo kojem omjeru, tada je duljina projekcije segmenta podijeljena projekcijom ove točke u istom omjeru (slika 1.8):

b) projekcije odsječaka međusobno paralelnih pravaca jednakih duljina međusobno su paralelne i jednake duljine.

Ovo je očito, budući da će (vidi sl. 1.7) biti . Dakle, kosom projekcijom, u općem slučaju, paralelogram, romb, pravokutnik, kvadrat projiciraju se u paralelogram.

• 2. Ravni lik paralelan s ravninom projekcija projicira se tijekom paralelnog projiciranja na tu ravninu u isti lik.
• 3. Paralelno prenošenje lika u prostoru ili u ravnini projekcija ne mijenja vrstu i veličinu projekcije lika.

Paralelne projekcije, poput središnjih s jednim središtem projekcije, također ne osiguravaju reverzibilnost crteža.

Metodama paralelnog projiciranja točke i pravca moguće je graditi paralelne projekcije plohe i tijela.

Paralelne projekcije koriste se za izradu vizualnih slika različitih tehničkih uređaja i njihovih detalja.

Pravokutna (ortogonalna) projekcija

Poseban slučaj paralelnog projiciranja, kod kojeg je smjer projiciranja okomit na ravninu projiciranja, naziva se pravokutan ili ortogonalna projekcija. Pravokutna (ortogonalna) projekcija točke je osnovica okomice povučene iz točke na ravninu projekcije. Pravokutna projekcija D 0 bodova D prikazano na sl. 1.9.

Uz svojstva paralelnih (kosih) projekcija ortogonalna projekcija ima sljedeće svojstvo: ortogonalne projekcije dvaju međusobno okomitih pravaca, od kojih je jedan paralelan s ravninom projiciranja, a drugi nije okomit na nju, međusobno su okomite.

Na sl. 1.10 Dokažimo to

Projicirajući pravac okomit je na ravninu projekcija, projekciju i pravac VA Ravnina ) je okomita na pravac VA, budući da je okomita na dvije ravnine koje se sijeku ove ravnine ( - po uvjetu, ali po konstrukciji). Projekcija je okomita na ravninu, jer . Prema tome, projekcija ravnine na ravninu je pravac KL okomito na projekciju, ali s ravnom crtom KL poklapa se s projekcijom U °C 0, tj. što je trebalo dokazati.

U zadacima iz geometrije uspjeh ne ovisi samo o poznavanju teorije, već io kvalitetnom crtežu.
S ravnim crtežima sve je manje-više jasno. Ali u stereometriji je situacija kompliciranija. Uostalom, potrebno je prikazati trodimenzionalni tijelo na ravan crtež, i to na način da i vi sami i onaj tko gleda vaš crtež vidite isto trodimenzionalno tijelo.

Kako to učiniti?
Naravno, svaka slika trodimenzionalnog tijela na ravnini bit će uvjetna. Međutim, postoji određeni skup pravila. Postoji općeprihvaćeni način konstruiranja nacrta − paralelna projekcija.

Uzmimo čvrsto tijelo.
Izaberimo ravnina projekcije.
Kroz svaku točku volumetrijskog tijela crtamo ravne linije, paralelne jedna s drugom i sijeku ravninu projekcije pod određenim kutom. Svaka od ovih linija u nekom trenutku siječe ravninu projekcije. Zajedno, ove točke tvore projekcija volumetrijsko tijelo na ravnini, odnosno njegova ravna slika.

Kako izgraditi projekcije volumetrijskih tijela?
Zamislite da imate okvir trodimenzionalnog tijela - prizmu, piramidu ili cilindar. Osvijetlivši ga paralelnim snopom svjetlosti, dobivamo sliku – sjenu na zidu ili na ekranu. Imajte na umu da se različite slike dobivaju iz različitih kutova, ali neki obrasci su još uvijek prisutni:

Projekcija segmenta bit će segment.

Naravno, ako je segment okomit na ravninu projekcije, bit će prikazan u jednoj točki.

U općem slučaju, projekcija kruga bit će elipsa.

Projekcija pravokutnika je paralelogram.

Ovako izgleda projekcija kocke na ravninu:

Ovdje su prednja i stražnja strana paralelne s ravninom projekcije

Možete to učiniti drugačije:

Koji god kut odaberemo, projekcije paralelnih segmenata na crtežu također će biti paralelni segmenti. Ovo je jedan od principa paralelne projekcije.

Crtamo projekcije piramide,

cilindar:

Još jednom ponavljamo osnovni princip paralelnog projiciranja. Odaberemo ravninu projekcije i nacrtamo ravne linije paralelne jedna s drugom kroz svaku točku volumetrijskog tijela. Ove linije sijeku ravninu projekcije pod nekim kutom. Ako je ovaj kut 90°, jest pravokutna projekcija. Uz pomoć pravokutne projekcije grade se crteži trodimenzionalnih dijelova u strojarstvu. U ovom slučaju govorimo o pogledu odozgo, pogledu sprijeda i pogledu sa strane.

Poseban slučaj središnje projekcije sa središtem projekcija smještenim u beskonačnosti (u neprikladnoj točki O). Provodi ga skup zraka određenog smjera S(slika 2).

Aparat za paralelnu projekciju:

  ravnina projekcije;

S- smjer projekcije;

[O  A][ O  B]  S

A  = [OA]  - paralelna projekcija točke A na ravninu;

l  = (AA   BB) je paralelna projekcija pravca na ravninu .

Nema reverzibilnosti. Jedna središnja projekcija točke ne dopušta prosuđivanje položaja točke u prostoru. A = D

Geometrijski likovi projiciraju se na ravninu projekcije, općenito, s izobličenjem. Priroda distorzije ovisi o aparatu za projekciju i položaju projicirane figure u odnosu na ravninu projekcije.

Konkretno, tijekom paralelne projekcije krše se metričke karakteristike geometrijskih figura (linearne i kutne vrijednosti su iskrivljene). Neka su svojstva figure sačuvana na njezinoj projekciji.

Svojstva lika koja su sačuvana u projekciji nazivaju se nezavisnima ili NEPROMJENJIVIMA. Ova invarijantna svojstva često se skraćeno nazivaju invarijantama.

Invarijante paralelne projekcije

Projekcija točke je točka (sl. 1; sl. 2)

Projekcija pravca je pravac (sl. 1; sl. 2)



3 . Projekcija točke koja pripada pravoj pripada projekciji.

ova ravna linija (Sl. 1; Sl. 2)

Projekcija točke sjecišta pravaca određena je sjecištem projekcija tih pravaca (sl. 3)

Projekcije međusobno paralelnih pravaca međusobno su paralelne (sl. 4)

Omjer duljina odsječaka međusobno paralelnih pravaca jednak je omjeru duljina njihovih projekcija (slika 4.)

POSLJEDICA: ako je segment ravne linije podijeljen točkom u bilo kojem omjeru, tada je projekcija segmenta podijeljena projekcijom te točke u istom omjeru (slika 5)

7 . Ravni lik paralelan s ravninom projekcija projicira se na tu ravninu u sukladan lik (slika 6.)

Riža. 3 sl. četiri

Riža. 5 sl. 6

1. Pravokutna (ortogonalna) projekcija

Poseban slučaj paralelnog projiciranja, kod kojeg je smjer projiciranja okomit na ravninu projiciranja (sl. 7)

U nastavku se bezuvjetno koristi ortogonalna projekcija.

Ortografska projekcija zadržava sva svojstva paralelne projekcije. Osim toga, za ortogonalno projiciranje vrijedi teorem o pravokutnoj projekciji (vidi temu br. 6) i primjenjujemo metodu za određivanje udaljenosti između točaka (tj. duljine segmenta, vidi temu br. 3), koja se naziva metoda pravokutnog trokuta.

Riža. 7

DETALJNO...

Položaj predmeta u prostoru određen je njegovim četirima točkama koje ne leže u istoj ravnini. Slika prostornog objekta na crtežu svodi se na konstrukciju projekcija skupa točaka ovog objekta na ravnini R(koja se naziva ravnina projekcije) koristeći ravne linije (projicirajuće zrake) koje prolaze kroz točke objekta i usmjerene su prema središtu projekcije S.

Međutim, da bi se izgradila projekcija objekta, nije potrebno izgraditi sve njegove točke. Dovoljno je pronaći samo projekcije karakterističnih točaka (vrhova, bridova i sl.), koje se zatim povezuju odgovarajućom linijom.

Projicirane zrake zajedno tvore projektirajuća površina. Dakle, pri projiciranju pravca AB projicirajuća ploha je ravnina AB ba(riža.).

Crta raskrižja ab projiciranje ravnine s ravninom R je projekcija prave linije AB, koji se sastoji od projekcija njegovih pojedinačnih točaka.

Projekcija je poput sjene koja pada s objekta osvijetljenog svjetiljkom ili suncem.

Pri projiciranju zakrivljene linije u prvom slučaju, projicirane zrake tvore stožastu plohu s vrhom u točki S, ispada do nička (perspektivna) slika krivulje (slika 2). U drugom slučaju, stožac projiciranih zraka pretvara se u cilindar i stožasta slika postaje cilindrična (paralelna) (slika 2). Projekcija zakrivljene linije se u ovom slučaju smatra linijom presjeka projekcijske plohe s ravninom R.

U perspektivi, predmet je prikazan onako kako izgleda oku promatrača. Očna leća je središte projekcije. Svatko od nas je upoznat sa sljedećim fenomenom: ako gledamo duž željezničke pruge, čini nam se da se tračnice približavaju jedna drugoj i konvergiraju na horizontu u jednu točku (središte), a oslonci duž tračnica se smanjuju dok se udaljavaju.

Paralelna projekcija - poseban slučaj perspektive. Bit paralelne projekcije je sljedeća: ako središte projekcije uvjetno uklonimo u beskonačnost, tada se projicirajuće zrake mogu smatrati paralelnima.

Dakle, izgraditi paralelnu projekciju trokuta ABC(Sl.), trebate postaviti: R- ravnina projiciranja (nije paralelna i ne podudara se sa smjerom projiciranih zraka); S- smjer projiciranih zraka (smjer projiciranja).

Nadalje, projicirane zrake prolaze kroz karakteristične točke objekta Ah,Vb i ss paralelno sa smjerom projekcije, a zatim pronađite točke a,b a od njihova presjeka s ravninom R. Ove točke su željene paralelne projekcije točaka ALI,NA i IZ zadani trokut.

Projekcija abc- crta presjeka projicirane prizmatične plohe s ravninom R. Oblik i dimenzije paralelne projekcije predmeta za zadani pravac projekcije ovise samo o izboru smjera projekcijske ravnine i ne ovise o njezinoj udaljenosti od predmeta. Trokut smješten u ravnini R 1 , paralelna s ravninom projekcije, projicira se jednaka zadanoj. U ovom slučaju ab=AB,prije Krista=PRIJE KRISTA,ak=AC.

Ovisno o kutu nagiba projicirane zrake prema ravnini projekcije, paralelna projekcija se dijeli na dvije vrste: pravokutni i kosi.

PRAVOKUTAN(ili ortogonalna) projekcija naziva se kada je smjer projekcije odabran okomito na ravninu projekcije. Inače se zove KOSI.

Kod pravokutne projekcije (slika 7), vrijednost koeficijenta izobličenja ne može prijeći jedinicu.

U kosim projekcijama (slika 5), ​​koeficijent distorzije ( Do=ab/AB) ovog segmenta AB može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o nagibu segmenta i projiciranih zraka na ravninu projekcije. Konkretno, ako se smjer segmenta podudara sa smjerom projekcije, tada će projekcija ovog segmenta biti točka, a koeficijent distorzije je nula.

Paralelna projekcija čuva osnovna svojstva perspektive su:

1) projekcija točke je točka;

2) projekcija pravca u općem slučaju bit će pravac;

3) svaka točka koja pripada bilo kojem pravcu odgovara projekciji te točke na projekciju tog pravca.

Osim toga, paralelna projekcija ima niz (samo inherentnih) svojstava:

4) ako točka leži na segmentu ravne linije, tada projekcija te točke dijeli projekciju segmenta u istom omjeru kao

točka dijeli segment, tj. AC/CB=as/cb(slika 5);

5) projekcija segmenata koji se sijeku bit će ujedno i segmenti koji se sijeku, a točka njihova sjecišta bit će projekcija sjecišta tih segmenata (slika 3);

6) projekcije paralelnih odsječaka su paralelne, istog smjera, a njihov omjer jednak je omjeru duljina odsječaka, tj. abCD i AB/CD=ab/CD(slika 4);

u pravokutnom projiciranju pravi kut se projicira pod pravim kutom samo ako mu je jedna stranica paralelna s ravninom projiciranja, a druga nije projicirajuća greda (teorem o pravokutnoj projekciji).