Asimptote grafa funkcije

Duh asimptote je dugo lutao sajtom da bi se konačno materijalizirao u jednom članku i izazvao posebno oduševljenje začuđenih čitatelja studija pune funkcije. Pronalaženje asimptota grafa jedan je od rijetkih dijelova navedenog zadatka koji se u školskom tečaju obrađuje samo preglednim redom, jer se događaji vrte oko izračuna granice funkcije, ali ipak pripadaju višoj matematici. Posjetitelji koji su slabo upućeni u matematičku analizu, mislim da je nagovještaj razumljiv ;-) ... stani-stani, gdje ćeš? granice- to je lako!

Primjeri asimptota upoznali smo se odmah u prvoj lekciji o grafovi elementarnih funkcija, a sada se tema detaljno razmatra.

Dakle, što je asimptota?

Zamisliti promjenjiva točka, koji "putuje" po grafu funkcije. Asimptota je ravno, na koje neograničeno blizu graf funkcije se približava dok njezina varijabilna točka ide u beskonačnost.

Bilješka : definicija je smislena, ako trebate formulaciju u notaciji matematičke analize, pogledajte udžbenik.

Na ravnini se asimptote klasificiraju prema njihovom prirodnom rasporedu:

1) Vertikalne asimptote, koje su dane jednadžbom oblika , gdje je "alfa" realan broj. Popularni predstavnik definira samu y-osu,
uz napadaj blage mučnine prisjećamo se hiperbola.

2) Kose asimptote tradicionalno napisano jednadžba ravne linije s faktorom nagiba. Ponekad se poseban slučaj izdvaja kao posebna skupina - horizontalne asimptote. Na primjer, ista hiperbola s asimptotom.

Brzo, idemo na temu kratkim automatskim rafalom:

Koliko asimptota može imati graf funkcije?

Nijedan, jedan, dva, tri... ili beskonačan broj. Nećemo ići daleko za primjerima, prisjetit ćemo se elementarne funkcije. Parabola, kubna parabola, sinusoida uopće nemaju asimptote. Graf eksponencijalne, logaritamske funkcije ima jednu asimptotu. Arktangens, arkotangens ih ima dva, a tangens, kotangens ima beskonačan broj. Nije neuobičajeno da graf ima horizontalne i vertikalne asimptote. Hiperbola, uvijek ću te voljeti.

Što znači ?

Vertikalne asimptote grafa funkcije

Vertikalna asimptota grafa obično je u točki beskonačnosti funkcije. Jednostavno je: ako u nekoj točki funkcija pretrpi beskonačni prekid, tada je ravna linija dana jednadžbom okomita asimptota grafikona.

Bilješka : imajte na umu da se oznaka koristi za označavanje dvaju potpuno različitih pojmova. Točka se podrazumijeva ili jednadžba ravne linije - ovisi o kontekstu.

Dakle, da bi se utvrdilo postojanje vertikalne asimptote u točki, dovoljno je to pokazati najmanje jedan od jednostranih ograničenja beskrajan. Najčešće je to točka u kojoj je nazivnik funkcije jednak nuli. Zapravo, već smo pronašli vertikalne asimptote u posljednjim primjerima lekcije. o neprekidnosti funkcije. Ali u nekim slučajevima postoji samo jedna jednostrana granica, a ako je beskonačna, onda opet - volite i favorizirajte vertikalnu asimptotu. Najjednostavnija ilustracija: i y-os (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija).

Iz navedenog proizlazi i očita činjenica: ako je funkcija neprekidno uključena, tada nema vertikalnih asimptota. Iz nekog razloga, parabola mi je pala na pamet. Doista, gdje možete "zalijepiti" ravnu liniju ovdje? ... da ... razumijem ... sljedbenici ujaka Freuda su se zgužvali u histeriji =)

Obratna tvrdnja općenito nije točna: npr. funkcija nije definirana na cijelom realnom pravcu, ali je potpuno lišena asimptota.

Kose asimptote grafa funkcije

Kose (kao poseban slučaj - horizontalne) asimptote mogu se nacrtati ako argument funkcije teži "plus beskonačno" ili "minus beskonačno". Zato graf funkcije ne može imati više od dvije kose asimptote. Na primjer, graf eksponencijalne funkcije ima jednu horizontalnu asimptotu na , a graf ark tangente na ima dvije takve asimptote, i to različite.

Kad se graf tu i tamo približi jedinoj kosoj asimptoti, tada je uobičajeno objediniti “beskonačnosti” pod jednim unosom. Na primjer, ... dobro ste pogodili: .

Općenito pravilo:

Ako postoje dva konačni ograničiti , tada je pravac kosa asimptota grafa funkcije na . Ako a najmanje jedan gornjih limita beskonačan, tada nema kose asimptote.

Bilješka : formule ostaju važeće ako "x" teži samo "plus beskonačno" ili samo "minus beskonačno".

Pokažimo da parabola nema kosih asimptota:

Limit je beskonačan, pa nema kose asimptote. Imajte na umu da u pronalaženju granice više ne treba jer je odgovor već primljen.

Bilješka : ako imate (ili ćete imati) poteškoća s razumijevanjem znakova plus-minus, minus-plus, pogledajte pomoć na početku lekcije
o infinitezimalnim funkcijama, gdje sam rekao kako pravilno protumačiti ove znakove.

Očito je da svaka kvadratna, kubna funkcija, polinom 4. i viših stupnjeva također nema kose asimptote.

A sada se uvjerimo da na grafu također nema kose asimptote. Da bismo otkrili nesigurnost, koristimo L'Hopitalovo pravilo:
, što je trebalo provjeriti.

Međutim, kada funkcija raste neograničeno, ne postoji takva ravna linija kojoj bi se njezin graf približio beskrajno blizu.

Prijeđimo na praktični dio lekcije:

Kako pronaći asimptote grafa funkcije?

Ovako je formuliran tipičan zadatak, a uključuje pronalaženje SVIH asimptota grafa (okomito, koso / vodoravno). Iako, da budemo precizniji u formuliranju pitanja, govorimo o studiji prisutnosti asimptota (uostalom, možda ih uopće nema). Počnimo s nečim jednostavnim:

Primjer 1

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje Pogodno je podijeliti ga u dvije točke:

1) Prvo provjeravamo postoje li vertikalne asimptote. Nazivnik nestaje na , i odmah je jasno da u ovom trenutku funkcija trpi beskrajni jaz, a ravna crta dana jednadžbom je vertikalna asimptota grafa funkcije . Ali prije nego što se donese takav zaključak, potrebno je pronaći jednostrana ograničenja:

Podsjećam vas na tehniku ​​izračuna, o kojoj sam također govorio u članku Kontinuitet funkcije. točke prekida. U izrazu ispod znaka granice, umjesto "x" zamijenimo . U brojniku nema ništa zanimljivo:
.

Ali u nazivniku ispada infinitezimalni negativni broj:
, određuje sudbinu granice.

Lijeva granica je beskonačna i, u načelu, već je moguće donijeti presudu o prisutnosti vertikalne asimptote. Ali jednostrana ograničenja nisu potrebna samo za ovo - ona POMAŽU RAZUMIJEVATI, KAKO nalazi se graf funkcije i iscrtajte ga ISPRAVNO. Stoga moramo izračunati i desnu granicu:

Zaključak: jednostrane granice su beskonačne, što znači da je pravac okomita asimptota grafa funkcije na .

Prva granica konačan, što znači da je potrebno “nastaviti razgovor” i pronaći drugu granicu:

I druga granica konačan.

Dakle, naša asimptota je:

Zaključak: ravna crta dana jednadžbom horizontalna je asimptota grafa funkcije na .

Za pronalaženje horizontalne asimptote
Možete koristiti pojednostavljenu formulu:

Ako postoji konačan granica , tada je linija horizontalna asimptota grafa funkcije na .

Lako je vidjeti da brojnik i nazivnik funkcije jedan red rasta, što znači da će željena granica biti konačna:

Odgovor:

Prema stanju, nije potrebno dovršiti crtež, ali ako je u punom jeku istraživanje funkcije, zatim na nacrtu odmah napravimo skicu:

Na temelju tri pronađene granice pokušajte samostalno odgonetnuti kako se može locirati graf funkcije. Prilično teško? Pronađite 5-6-7-8 točaka i označite ih na crtežu. Međutim, graf ove funkcije je konstruiran pomoću transformacije grafa elementarne funkcije, a čitatelji koji su pažljivo pregledali primjer 21 ovog članka lako će pogoditi o kakvoj se krivulji radi.

Primjer 2

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo je primjer "uradi sam". Proces je, podsjećam vas, prikladno podijeljen u dvije točke - okomite asimptote i kose asimptote. U rješenju uzorka horizontalna asimptota nalazi se pomoću pojednostavljene sheme.

U praksi se najčešće susreću frakcijsko-racionalne funkcije, a nakon vježbanja na hiperbolama zakomplicirat ćemo zadatak:

Primjer 3

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: Jedan, dva i gotovo:

1) Nađene su okomite asimptote u točkama beskonačnog diskontinuiteta, pa morate provjeriti ide li nazivnik na nulu. Mi ćemo odlučiti kvadratna jednadžba:

Diskriminant je pozitivan, tako da jednadžba ima dva realna korijena, a rad se značajno dodaje =)

Kako bi se dalje pronalazile jednostrane granice, zgodno je faktorizirati kvadratni trinom:
(za kompaktni zapis, "minus" je uveden u prvu zagradu). Za sigurnosnu mrežu izvršit ćemo provjeru, mentalno ili na propuhu, otvarajući zagrade.

Prepišimo funkciju u obliku

Pronađite jednostrana ograničenja u točki:

I na mjestu:

Dakle, ravne linije su vertikalne asimptote grafa funkcije koja se razmatra.

2) Ako pogledate funkciju , tada je sasvim očito da će granica biti konačna i da imamo horizontalnu asimptotu. Pokažimo to ukratko:

Dakle, pravac (apscisa) je horizontalna asimptota grafa ove funkcije.

Odgovor:

Pronađene granice i asimptote daju puno informacija o grafu funkcije. Pokušajte mentalno zamisliti crtež, uzimajući u obzir sljedeće činjenice:

Skicirajte svoju verziju grafikona na nacrtu.

Naravno, pronađene granice ne određuju jednoznačno vrstu grafa i možete pogriješiti, ali sama vježba će vam biti od neprocjenjive pomoći tijekom studija pune funkcije. Točna slika je na kraju lekcije.

Primjer 4

Odredite asimptote grafa funkcije

Primjer 5

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo su zadaci za samostalno rješavanje. Oba grafa ponovno imaju horizontalne asimptote, koje se odmah otkrivaju po sljedećim značajkama: u primjeru 4 red rasta nazivnik više nego redoslijed rasta brojnika, a u primjeru 5 brojnika i nazivnika jedan red rasta. U rješenju uzorka, prva funkcija se istražuje na prisutnost kosih asimptota u cijelosti, a druga - kroz granicu.

Horizontalne asimptote, po mom subjektivnom dojmu, osjetno su češće od onih koje su "istinski nagnute". Dugo očekivani opći slučaj:

Primjer 6

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: klasici žanra:

1) Budući da je nazivnik pozitivan, funkcija stalan na cijelom brojevnom pravcu, a nema okomitih asimptota. …Je li to dobro? Nije prava riječ - super! Stavka #1 je zatvorena.

2) Provjerite prisutnost kosih asimptota:

Prva granica konačan, pa idemo dalje. Tijekom izračuna drugog ograničenja eliminirati neizvjesnost "beskonačno minus beskonačno" dovodimo izraz na zajednički nazivnik:

I druga granica konačan, dakle, graf funkcije koja se razmatra ima kosu asimptotu:

Zaključak:

Dakle, za graf funkcije beskrajno blizu približava ravnoj liniji:

Imajte na umu da on siječe svoju kosu asimptotu u ishodištu, a takve sjecišne točke su sasvim prihvatljive - važno je da je u beskonačnosti "sve normalno" (zapravo, upravo tamo govorimo o asimptotama).

Primjer 7

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: nema se što puno komentirati, pa ću napraviti okvirni uzorak konačnog rješenja:

1) Vertikalne asimptote. Istražimo poantu.

Ravna linija je okomita asimptota za dijagram na .

2) Kose asimptote:

Ravna linija je kosa asimptota za graf na .

Odgovor:

Pronađene jednostrane granice i asimptote omogućuju nam da s velikom sigurnošću pretpostavimo kako izgleda graf ove funkcije. Ispravno crtanje na kraju lekcije.

Primjer 8

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo je primjer za neovisno rješenje, radi praktičnosti izračuna nekih granica, možete podijeliti brojnik s nazivnikom po član po izraz. I opet, analizirajući rezultate, pokušajte nacrtati graf ove funkcije.

Očito su vlasnici "pravih" kosih asimptota grafovi onih razlomačko-racionalnih funkcija kojima je najviši stupanj brojnika još jedan najviši stupanj nazivnika. Ako je više, neće biti kose asimptote (na primjer, ).

Ali u životu se događaju i druga čuda:

Primjer 9

Primjer 11

Ispitajte graf funkcije za asimptote

Riješenje: to je očito , stoga razmatramo samo desnu poluravninu, gdje se nalazi graf funkcije.

Dakle, ravna linija (y-os) je okomita asimptota za graf funkcije na .

2) Proučavanje kose asimptote može se provesti prema punoj shemi, ali u članku Pravila bolnice L'Hospital otkrili smo da je linearna funkcija višeg reda rasta od logaritamske, dakle: (vidi primjer 1 iste lekcije).

Zaključak: os apscisa je horizontalna asimptota grafa funkcije pri .

Odgovor:
, ako ;
, ako .

Crtež radi jasnoće:

Zanimljivo je da naizgled slična funkcija uopće nema asimptote (tko želi to može provjeriti).

Dva posljednja primjera samoučenja:

Primjer 12

Ispitajte graf funkcije za asimptote

Kako umetnuti matematičke formule na stranicu?

Ako ikada budete trebali dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, onda je to najlakši način da to učinite kako je opisano u članku: matematičke formule se jednostavno umeću na stranicu u obliku slika koje Wolfram Alpha automatski generira. Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost stranice u tražilicama. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je moralno zastario.

Ako stalno koristite matematičke formule na svojoj web stranici, preporučujem vam da koristite MathJax, posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML oznake.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) korištenjem jednostavnog koda, možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju stranicu, koja će se automatski učitati s udaljenog poslužitelja u pravo vrijeme (popis poslužitelja); (2) prenesite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda je složenija i dugotrajnija te će vam omogućiti da ubrzate učitavanje stranica vaše stranice, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vašu vlastitu stranicu. Unatoč tim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i u roku od 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.

Skriptu biblioteke MathJax možete povezati s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili sa stranice dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake . Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako zalijepite drugi kod, tada će se stranice učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju gornjeg koda za učitavanje u njega i postavite widget bliže početak predloška (usput, to uopće nije potrebno jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML, LaTeX i ASCIIMathML i spremni ste ugraditi matematičke formule u svoje web stranice.

Svaki fraktal izgrađen je prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: originalna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Ispada set koji se sastoji od 20 preostalih manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces na neodređeno vrijeme, dobivamo Mengerovu spužvu.

Ovako je formuliran tipičan zadatak, a uključuje pronalaženje SVIH asimptota grafa (okomito, koso / vodoravno). Iako, da budemo precizniji u formuliranju pitanja, govorimo o studiji prisutnosti asimptota (uostalom, možda ih uopće nema).

Počnimo s nečim jednostavnim:

Primjer 1

Riješenje Pogodno je podijeliti ga u dvije točke:

1) Prvo provjeravamo postoje li vertikalne asimptote. Nazivnik nestaje na , i odmah je jasno da u ovom trenutku funkcija trpi beskrajni jaz, a ravna crta dana jednadžbom je vertikalna asimptota grafa funkcije . Ali prije nego što se donese takav zaključak, potrebno je pronaći jednostrana ograničenja:

Podsjećam vas na tehniku ​​izračuna, o kojoj sam također govorio u članku kontinuitet funkcije. točke prekida. U izrazu ispod znaka granice, umjesto "x" zamijenimo . U brojniku nema ništa zanimljivo:
.

Ali u nazivniku ispada infinitezimalni negativni broj:
, određuje sudbinu granice.

Lijeva granica je beskonačna i, u načelu, već je moguće donijeti presudu o prisutnosti vertikalne asimptote. Ali jednostrana ograničenja nisu potrebna samo za to - ona POMAŽU RAZUMIJEVATI KAKO nalazi se graf funkcije i iscrtajte ga ISPRAVNO. Stoga moramo izračunati i desnu granicu:

Zaključak: jednostrane granice su beskonačne, što znači da je pravac okomita asimptota grafa funkcije na .

Prva granica konačan, što znači da je potrebno “nastaviti razgovor” i pronaći drugu granicu:

I druga granica konačan.

Dakle, naša asimptota je:

Zaključak: ravna crta dana jednadžbom horizontalna je asimptota grafa funkcije na .

Za pronalaženje horizontalne asimptote Možete koristiti pojednostavljenu formulu:

Ako postoji konačna granica, tada je linija horizontalna asimptota grafa funkcije na .

Lako je vidjeti da brojnik i nazivnik funkcije jedan red rasta, što znači da će željena granica biti konačna:

Odgovor:

Prema stanju, nije potrebno dovršiti crtež, ali ako je u punom jeku istraživanje funkcije, zatim na nacrtu odmah napravimo skicu:

Na temelju tri pronađene granice pokušajte samostalno odgonetnuti kako se može locirati graf funkcije. Prilično teško? Pronađite 5-6-7-8 točaka i označite ih na crtežu. Međutim, graf ove funkcije je konstruiran pomoću transformacije grafa elementarne funkcije, a čitatelji koji su pažljivo pregledali primjer 21 ovog članka lako će pogoditi o kakvoj se krivulji radi.

Primjer 2

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo je primjer "uradi sam". Proces je, podsjećam vas, prikladno podijeljen u dvije točke - okomite asimptote i kose asimptote. U rješenju uzorka horizontalna asimptota nalazi se pomoću pojednostavljene sheme.

U praksi se najčešće susreću frakcijsko-racionalne funkcije, a nakon vježbanja na hiperbolama zakomplicirat ćemo zadatak:

Primjer 3

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: Jedan, dva i gotovo:

1) Nađene su okomite asimptote u točkama beskonačnog diskontinuiteta, pa morate provjeriti ide li nazivnik na nulu. Mi ćemo odlučiti kvadratna jednadžba :

Diskriminant je pozitivan, tako da jednadžba ima dva realna korijena, a rad se značajno dodaje =)

Kako bi se dalje pronalazile jednostrane granice, zgodno je faktorizirati kvadratni trinom:
(za kompaktni zapis, "minus" je uveden u prvu zagradu). Za sigurnosnu mrežu izvršit ćemo provjeru, mentalno ili na propuhu, otvarajući zagrade.

Prepišimo funkciju u obliku

Pronađite jednostrana ograničenja u točki:

I na mjestu:

Dakle, ravne linije su vertikalne asimptote grafa funkcije koja se razmatra.

2) Ako pogledate funkciju , tada je sasvim očito da će granica biti konačna i da imamo horizontalnu asimptotu. Pokažimo to ukratko:

Dakle, pravac (apscisa) je horizontalna asimptota grafa ove funkcije.

Odgovor:

Pronađene granice i asimptote daju puno informacija o grafu funkcije. Pokušajte mentalno zamisliti crtež, uzimajući u obzir sljedeće činjenice:

Skicirajte svoju verziju grafikona na nacrtu.

Naravno, pronađene granice ne određuju jednoznačno vrstu grafa i možete pogriješiti, ali sama vježba će vam biti od neprocjenjive pomoći tijekom studija pune funkcije. Točna slika je na kraju lekcije.

Primjer 4

Odredite asimptote grafa funkcije

Primjer 5

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo su zadaci za samostalno rješavanje. Oba grafa ponovno imaju horizontalne asimptote, koje se odmah otkrivaju po sljedećim značajkama: u primjeru 4 red rasta nazivnik je veći od reda rasta brojnika, au primjeru 5 brojnik i nazivnik jedan red rasta. U rješenju uzorka, prva funkcija se istražuje na prisutnost kosih asimptota u cijelosti, a druga - kroz granicu.

Horizontalne asimptote, po mom subjektivnom dojmu, osjetno su češće od onih koje su "istinski nagnute". Dugo očekivani opći slučaj:

Primjer 6

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: klasici žanra:

1) Budući da je nazivnik pozitivan, funkcija stalan na cijelom brojevnom pravcu, a nema okomitih asimptota. …Je li to dobro? Nije prava riječ - super! Stavka #1 je zatvorena.

2) Provjerite prisutnost kosih asimptota:

Prva granica konačan, pa idemo dalje. Tijekom izračuna drugog ograničenja eliminirati neizvjesnost "beskonačno minus beskonačno" dovodimo izraz na zajednički nazivnik:

I druga granica konačan, dakle, graf funkcije koja se razmatra ima kosu asimptotu:

Zaključak:

Dakle, za graf funkcije beskrajno blizu približava ravnoj liniji:

Imajte na umu da on siječe svoju kosu asimptotu u ishodištu, a takve sjecišne točke su sasvim prihvatljive - važno je da je u beskonačnosti "sve normalno" (zapravo, tamo dolazi do rasprave o asimptotama).

Primjer 7

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: nema se što puno komentirati, pa ću napraviti okvirni uzorak konačnog rješenja:

1) Vertikalne asimptote. Istražimo poantu.

Ravna linija je okomita asimptota za dijagram na .

2) Kose asimptote:

Ravna linija je kosa asimptota za graf na .

Odgovor:

Pronađene jednostrane granice i asimptote omogućuju nam da s velikom sigurnošću pretpostavimo kako izgleda graf ove funkcije. Ispravno crtanje na kraju lekcije.

Primjer 8

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo je primjer za neovisno rješenje, radi praktičnosti izračuna nekih granica, možete podijeliti brojnik s nazivnikom po član po izraz. I opet, analizirajući rezultate, pokušajte nacrtati graf ove funkcije.

Očito su vlasnici "pravih" kosih asimptota grafovi onih razlomačko-racionalnih funkcija kojima je najviši stupanj brojnika još jedan najviši stupanj nazivnika. Ako je više, neće biti kose asimptote (na primjer, ).

Ali u životu se događaju i druga čuda:

Primjer 9

Riješenje: funkcija stalan na cijelom brojevnom pravcu, što znači da nema okomitih asimptota. Ali može biti i nagiba. Provjeravamo:

Sjećam se kako sam na sveučilištu naišao na sličnu funkciju i jednostavno nisam mogao vjerovati da ima kosu asimptotu. Dok nisam izračunao drugu granicu:

Strogo govoreći, ovdje postoje dvije nesigurnosti: i , ali na ovaj ili onaj način morate koristiti metodu rješenja, o kojoj se govori u primjerima 5-6 članka o granicama povećane složenosti. Pomnožite i podijelite s konjugiranim izrazom da biste upotrijebili formulu:

Odgovor:

Možda najpopularnija kosa asimptota.

Do sada se beskonačnost uspjela "izrezati istim kistom", no događa se da graf funkcije dvije različite kose asimptote za i za :

Primjer 10

Ispitajte graf funkcije za asimptote

Riješenje: korijenski izraz je pozitivan, što znači domena- bilo koji realni broj, i ne može biti okomitih štapića.

Provjerimo postoje li kose asimptote.

Ako "x" teži "minus beskonačno", tada:
(pri uvođenju "x" ispod kvadratnog korijena morate dodati znak "minus" kako ne biste izgubili negativni nazivnik)

Izgleda neobično, ali ovdje je neizvjesnost "beskonačno minus beskonačno". Pomnožite brojnik i nazivnik pridruženim izrazom:

Dakle, ravna linija je kosa asimptota grafa na .

S "plus beskonačno" sve je trivijalnije:

A ravna crta - na .

Odgovor:

Ako je ;
, ako .

Ne mogu odoljeti grafičkoj slici:


Ovo je jedna od grana hiperbola .

Nije neuobičajeno da je potencijalna prisutnost asimptota u početku ograničena opseg funkcije:

Primjer 11

Ispitajte graf funkcije za asimptote

Riješenje: to je očito , stoga razmatramo samo desnu poluravninu, gdje se nalazi graf funkcije.

1) Funkcija stalan na intervalu , što znači da ako vertikalna asimptota postoji, onda to može biti samo y-os. Proučavamo ponašanje funkcije u blizini točke desno:

Bilješka, ovdje NEMA dvosmislenosti(na takve slučajeve pozornost je usmjerena na početku članka Metode graničnog rješenja).

Dakle, ravna linija (y-os) je okomita asimptota za graf funkcije na .

2) Proučavanje kose asimptote može se provesti prema punoj shemi, ali u članku Lopitalova pravila otkrili smo da je linearna funkcija višeg reda rasta od logaritamske, dakle: (vidi primjer 1 iste lekcije).

Zaključak: os apscisa je horizontalna asimptota grafa funkcije pri .

Odgovor:

Ako je ;
, ako .

Crtež radi jasnoće:

Zanimljivo je da naizgled slična funkcija uopće nema asimptote (tko želi to može provjeriti).

Dva posljednja primjera samoučenja:

Primjer 12

Ispitajte graf funkcije za asimptote

Da bismo testirali vertikalne asimptote, prvo moramo pronaći opseg funkcije, a zatim izračunajte par jednostranih granica na "sumnjivim" točkama. Kose asimptote također nisu isključene, jer je funkcija definirana na "plus" i "minus" beskonačnost.

Primjer 13

Ispitajte graf funkcije za asimptote

I ovdje mogu biti samo kose asimptote, a smjerove treba promatrati odvojeno.

Nadam se da ste pronašli pravu asimptotu =)

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Riješenje :
. Pronađimo jednostrana ograničenja:

Ravno je vertikalna asimptota grafa funkcije at .
2) Kose asimptote.

Ravno .
Odgovor:

Crtanje na primjer 3:

Primjer 4:Riješenje :
1) Vertikalne asimptote. Funkcija trpi beskonačni prekid u jednoj točki . Izračunajmo jednostrana ograničenja:

Bilješka: infinitezimalni negativni broj na parnu potenciju jednak je infinitezimalnom pozitivnom broju: .

Ravno je vertikalna asimptota grafa funkcije.
2) Kose asimptote.


Ravno (apscisa) je horizontalna asimptota grafa funkcije at .
Odgovor:

Koliko asimptota može imati graf funkcije?

Nijedan, jedan, dva, tri... ili beskonačan broj. Nećemo ići daleko za primjerima, podsjetit ćemo se na elementarne funkcije. Parabola, kubna parabola, sinusoida uopće nemaju asimptote. Graf eksponencijalne, logaritamske funkcije ima jednu asimptotu. Arktangens, arkotangens ih ima dva, a tangens, kotangens ima beskonačan broj. Nije neuobičajeno da graf ima horizontalne i vertikalne asimptote. Hiperbola, uvijek ću te voljeti.

Što znači pronaći asimptote grafa funkcije?

To znači pronalaženje njihovih jednadžbi i crtanje ravnih linija ako uvjeti problema to zahtijevaju. Proces uključuje pronalaženje granica funkcije.

Vertikalne asimptote grafa funkcije

Vertikalna asimptota grafa je u pravilu u točki beskonačnog diskontinuiteta funkcije. Jednostavno je: ako u nekoj točki funkcija pretrpi beskonačni prekid, tada je ravna linija dana jednadžbom okomita asimptota grafikona.

Napomena: Imajte na umu da se oznaka koristi za označavanje dvaju potpuno različitih pojmova. Točka se podrazumijeva ili jednadžba ravne linije - ovisi o kontekstu.

Dakle, da bi se ustanovila prisutnost vertikalne asimptote u točki, dovoljno je pokazati da je barem jedna od jednostranih granica beskonačna. Najčešće je to točka u kojoj je nazivnik funkcije jednak nuli. Zapravo, već smo pronašli vertikalne asimptote u zadnjim primjerima lekcije o neprekidnosti funkcije. Ali u nizu slučajeva postoji samo jedna jednostrana granica, a ako je beskonačna, onda opet - volite i favorizirajte vertikalnu asimptotu. Najjednostavnija ilustracija: i y-os.

Iz navedenog proizlazi i očita činjenica: ako je funkcija kontinuirana on, tada nema vertikalnih asimptota. Iz nekog razloga, parabola mi je pala na pamet. Doista, gdje možete "zalijepiti" ravnu liniju ovdje? ... da ... razumijem ... sljedbenici ujaka Freuda su se zgužvali u histeriji =)

Obratna tvrdnja općenito nije točna: npr. funkcija nije definirana na cijelom realnom pravcu, ali je potpuno lišena asimptota.

Kose asimptote grafa funkcije

Nagnute (kao poseban slučaj - horizontalne) asimptote mogu se nacrtati ako argument funkcije teži "plus beskonačno" ili "minus beskonačno". Dakle, graf funkcije ne može imati više od 2 kose asimptote. Na primjer, graf eksponencijalne funkcije ima jednu horizontalnu asimptotu na, a graf arktangensa na ima dvije takve asimptote, i to različite.

Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka čija je razlika udaljenosti do dviju zadanih točaka, zvanih žarišta, konstantna vrijednost (ova konstanta mora biti pozitivna i manja od udaljenosti između žarišta).

Označimo tu konstantu s 2a, udaljenost između žarišta označimo s i izaberemo koordinatne osi na isti način kao u § 3. Neka je proizvoljna točka hiperbole.

Po definiciji hiperbole

Na desnoj strani jednakosti trebate odabrati znak plus ako i znak minus ako

Budući da se posljednja jednakost može napisati kao:

Ovo je jednadžba hiperbole u odabranom koordinatnom sustavu.

Oslobađajući se radikala u ovoj jednadžbi (kao u § 3), možemo reducirati jednadžbu na njen najjednostavniji oblik.

Prenoseći prvi radikal na desnu stranu jednakosti i kvadrirajući obje strane, nakon očitih transformacija dobivamo:

Još jednom kvadrirajući obje strane jednakosti, smanjujući slične članove i dijeleći slobodnim članom, dobivamo:

Budući da je vrijednost pozitivna. Označavajući ga kroz , tj. postavljanje

dobivamo kanonsku jednadžbu hiperbole.

Proučavamo oblik hiperbole.

1) Simetrije hiperbole. Budući da jednadžba (3) sadrži samo kvadrate trenutnih koordinata, koordinatne osi su osi simetrije hiperbole (vidi analognu tvrdnju za elipsu). Os simetrije hiperbole, na kojoj se nalaze žarišta, naziva se žarišnom osi. Sjecište osi simetrije – središte simetrije – naziva se središte hiperbole. Za hiperbolu danu jednadžbom (3), žarišna os poklapa se s osi Ox, a ishodište je središte.

2) Točke presjeka s osi simetrije. Pronađite točke presjeka hiperbole s osi simetrije – vrhove hiperbole. Pretpostavljajući da u jednadžbi nalazimo apscise točaka presjeka hiperbole s osi

Prema tome, točke su vrhovi hiperbole (slika 51); udaljenost između njih je 2a. Da bismo pronašli točke presjeka s osi Oy, stavimo u jednadžbu Dobivamo jednadžbu za određivanje ordinata tih točaka

tj. za y smo dobili imaginarne vrijednosti; to znači da y-os ne siječe hiperbole.

U skladu s tim, os simetrije koja siječe hiperbolu naziva se realna os simetrije (žarišna os), a os simetrije koja ne siječe hiperbole naziva se imaginarna os simetrije. Za hiperbolu zadanu jednadžbom (3), realna os simetrije je os, imaginarna os simetrije je os. Isječak koji povezuje vrhove hiperbole, kao i njegova duljina 2a, naziva se realna os hiperbola. Ako su na zamišljenoj osi simetrije hiperbole s obje strane njezina središta O položeni odsječci OB i duljine b, tada se odsječak i njegova duljina nazivaju zamišljena os hiperbole. Veličine a i b nazivamo realnom, odnosno imaginarnom poluosom hiperbole.

3) Oblik hiperbole. Pri proučavanju oblika hiperbole dovoljno je uzeti u obzir pozitivne vrijednosti x i y, jer je krivulja simetrično smještena u odnosu na koordinatne osi.

Budući da iz jednadžbe (3) slijedi da 1, tada može varirati od a do Kada raste od a do tada Y također raste od 0 do Krivulja ima oblik prikazan na sl. 51. Nalazi se izvan trake omeđene ravnim crtama i sastoji se od dva odvojena kraka. Za bilo koju točku M jedne od ovih grana (desna grana), za bilo koju točku M druge grane (lijeva grana).

4) Asimptote hiperbole. Da biste jasnije zamislili oblik hiperbole, razmotrite dvije ravne linije koje su blisko povezane s njom - takozvane asimptote.

Pretpostavljajući da su x i y pozitivni, rješavamo jednadžbu (3) hiperbole s obzirom na y-ordinatu:

Usporedimo jednadžbu s jednadžbom ravne linije, imenujući kao odgovarajuće dvije točke koje se nalaze redom na ovoj liniji i na hiperboli i imaju istu apscisu (slika 51). Očito, razlika Y - na ordinatama odgovarajućih točaka izražava udaljenost između njih, tj.

Pokažimo da dok se udaljenost MN neograničeno povećava, dok ubija, teži nuli. Doista,

Nakon pojednostavljenja dobivamo:

Iz posljednje formule vidimo da se neograničenim porastom apscise udaljenost MN smanjuje i teži nuli. Slijedi da kada se točka M, krećući se po hiperboli u prvom kvadrantu, udaljava u beskonačnost, tada se njezina udaljenost od pravca smanjuje i teži nuli. Ista će se okolnost dogoditi kada se točka M pomiče duž hiperbole u trećem kvadrantu (zbog simetrije oko ishodišta O).

Konačno, zbog simetrije hiperbole u odnosu na os Oy, dobit ćemo drugu ravnicu simetrično smještenu s ravnom linijom, kojoj će se točka M također neograničeno približavati kada se kreće po hiperboli i udaljava u beskonačnost ( u drugom i četvrtom kvadrantu).

Ove dvije ravne linije nazivaju se asimptote hiperbole i, kao što smo vidjeli, imaju jednadžbe:

Očito, asimptote hiperbole nalaze se duž dijagonala pravokutnika, čija je jedna stranica paralelna s osi Ox i jednaka 2a, druga je paralelna s osi Oy i jednaka je s, a središte leži u ishodištu ( vidi sliku 51).

Kod crtanja hiperbole prema njezinoj jednadžbi preporuča se prvo konstruirati njezine asimptote.

Jednakostrana hiperbola. U slučaju hiperbole nazivamo jednakostraničnom; njegova jednadžba se dobiva iz (3) i ima oblik:

Očito je da će nagibi asimptota jednakostraničke hiperbole biti. Stoga su asimptote jednakostraničke hiperbole okomite jedna na drugu i dijele kutove između njezinih osi simetrije.