Uputa

Upotrijebite pi da pronađete polumjer iz poznatog područja kruga. Ova konstanta određuje omjer između promjera kruga i duljine njegovog ruba (kruga). Opseg kruga je najveća površina ravnine koja se njime može pokriti, a promjer je jednak dvama polumjerima, dakle, površina s polumjerom također korelira jedna s drugom s omjerom koji se može izraziti u pojmovi Pi. Ova konstanta (π) definirana je kao površina (S) i kvadrat polumjera (r) kružnice. Iz ovoga slijedi da se radijus može izraziti kao kvadratni korijen kvocijenta dijeljenja površine s brojem Pi: ​​r=√(S/π).

Erastofen je dugo vremena bio na čelu Aleksandrijske knjižnice, najpoznatije knjižnice antičkog svijeta. Osim što je izračunao veličinu našeg planeta, došao je do niza važnih izuma i otkrića. Izumio jednostavnu metodu za određivanje prostih brojeva, koja se sada naziva "Erastotenovo sito".

Nacrtao je "kartu svijeta", na kojoj je prikazao sve dijelove svijeta koji su u to vrijeme poznavali stari Grci. Karta se smatrala jednom od najboljih za svoje vrijeme. Razvio je sustav zemljopisne dužine i širine te kalendar koji je uključivao prijestupne godine. Izumio je armilarnu sferu, mehaničku napravu koju su rani astronomi koristili za demonstraciju i predviđanje prividnog kretanja zvijezda na nebu. Sastavio je i katalog zvijezda koji je uključivao 675 zvijezda.

Izvori:

• Grčki znanstvenik Eratosten iz Cirene prvi je put u svijetu izračunao polumjer Zemlje
• Eratosten "Izračunavanje Zemljinog opsega".
• Eratosten

Kružni kalkulator je usluga posebno dizajnirana za online izračunavanje geometrijskih dimenzija figura. Zahvaljujući ovoj usluzi, možete jednostavno odrediti bilo koji parametar figure na temelju kruga. Na primjer: znate obujam sfere, ali trebate saznati njezinu površinu. Nema ništa lakše! Odaberite odgovarajuću opciju, unesite brojčanu vrijednost i kliknite gumb Izračunaj. Usluga ne samo da prikazuje rezultate izračuna, već također pruža formule prema kojima su napravljeni. Pomoću našeg servisa možete jednostavno izračunati radijus, promjer, opseg (opseg kruga), površinu kruga i lopte te volumen lopte.

Izračunajte radijus

Zadatak izračunavanja vrijednosti polumjera jedan je od najčešćih. Razlog za to je vrlo jednostavan, jer znajući ovaj parametar, lako možete odrediti vrijednost bilo kojeg drugog parametra kruga ili lopte. Naša stranica je izgrađena upravo na takvoj shemi. Bez obzira koji početni parametar odaberete, prvo se izračunava vrijednost radijusa i na njoj se temelje svi sljedeći izračuni. Za veću točnost izračuna, stranica koristi broj Pi zaokružen na 10. decimalu.

Izračunajte promjer

Izračun promjera je najjednostavniji tip izračuna koji naš kalkulator može izvesti. Dobivanje vrijednosti promjera uopće nije teško i ručno, za to uopće ne morate pribjeći pomoći Interneta. Promjer je jednak vrijednosti polumjera pomnoženoj s 2. Promjer je najvažniji parametar kruga, koji se iznimno često koristi u svakodnevnom životu. Apsolutno svatko bi ga trebao moći ispravno izračunati i koristiti. Koristeći mogućnosti naše stranice, izračunat ćete promjer s velikom točnošću u djeliću sekunde.

Odredi opseg kruga

Ne možete ni zamisliti koliko okruglih predmeta oko nas i kakvu važnu ulogu imaju u našim životima. Sposobnost izračunavanja opsega potrebna je svima, od običnog vozača do vodećeg inženjera dizajna. Formula za izračunavanje opsega je vrlo jednostavna: D=2Pr. Izračun se može jednostavno izvesti i na komadu papira i uz pomoć ovog internetskog pomoćnika. Prednost potonjeg je što će sve izračune ilustrirati crtežima. A uz sve ostalo, druga metoda je puno brža.

Izračunajte površinu kruga

Područje kruga - kao i svi parametri navedeni u ovom članku, temelj je moderne civilizacije. Biti u stanju izračunati i znati površinu kruga korisno je za sve segmente stanovništva bez iznimke. Teško je zamisliti područje znanosti i tehnologije u kojem ne bi bilo potrebno znati područje kruga. Formula za izračun opet nije teška: S=PR 2 . Ova formula i naš online kalkulator pomoći će vam da bez napora pronađete površinu bilo kojeg kruga. Naša stranica jamči visoku točnost izračuna i njihovo munjevito izvršenje.

Izračunajte površinu kugle

Formula za izračunavanje površine lopte nije ništa kompliciranija od formula opisanih u prethodnim odlomcima. S=4Pr 2 . Ovaj jednostavan skup slova i brojki već dugi niz godina daje ljudima mogućnost točnog izračunavanja površine sfere. Gdje se može primijeniti? Da, posvuda! Na primjer, znate da je površina globusa 510.100.000 četvornih kilometara. Beskorisno je nabrajati gdje se znanje o ovoj formuli može primijeniti. Opseg formule za izračunavanje površine lopte je preširok.

Izračunaj obujam kugle

Za izračun volumena lopte upotrijebite formulu V=4/3(Pr 3). Korišten je za izradu naše online usluge. Stranica stranice omogućuje izračunavanje volumena lopte u nekoliko sekundi, ako znate bilo koji od sljedećih parametara: radijus, promjer, opseg, površina kruga ili površina lopte. Možete ga koristiti i za inverzne izračune, na primjer, da biste saznali volumen lopte, dobili vrijednost njezina radijusa ili promjera. Zahvaljujemo na kratkom pregledu mogućnosti našeg kalkulatora kruga. Nadamo se da ste uživali u boravku kod nas i da ste već dodali stranicu u svoje oznake.

Krugovi zahtijevaju pažljiviji pristup i puno su rjeđi u B5 zadacima. U isto vrijeme, opća shema rješenja još je jednostavnija nego u slučaju poligona (vidi lekciju "Poligonalna područja na koordinatnoj mreži").

Sve što je potrebno u takvim zadacima je pronaći polumjer kružnice R . Tada možete izračunati površinu kruga pomoću formule S = πR 2 . Iz ove formule također slijedi da je za otopinu dovoljno pronaći R 2 .

Da biste pronašli naznačene vrijednosti, dovoljno je na krugu označiti točku koja leži na sjecištu linija mreže. I onda upotrijebite Pitagorin teorem. Razmotrite konkretne primjere izračuna polumjera:

Zadatak. Odredi polumjere tri kružnice prikazane na slici:

Izvršimo dodatne konstrukcije u svakom krugu:

U svakom slučaju točka B je odabrana na kružnici koja leži na sjecištu linija mreže. Točka C u krugovima 1 i 3 dovršava lik u pravokutni trokut. Ostaje pronaći polumjere:

Promotrimo trokut ABC u prvom krugu. Prema Pitagorinoj teoremi: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 = 8.

Za drugi krug sve je očito: R = AB = 2.

Treći slučaj je sličan prvom. Iz trokuta ABC prema Pitagorinom teoremu: R 2 \u003d AB 2 = AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Sada znamo kako pronaći polumjer kruga (ili barem kvadrata). Prema tome, možemo pronaći područje. Postoje zadaci u kojima je potrebno pronaći područje sektora, a ne cijelog kruga. U takvim slučajevima lako je saznati koji je dio kruga ovaj sektor, a time i područje.

Zadatak. Nađite površinu S osjenčanog sektora. U odgovoru navedite S / π.

Očito, sektor je jedna četvrtina kruga. Dakle, S = 0,25 S kružnice.

Ostaje pronaći S kruga - područje kruga. Da bismo to učinili, izvršit ćemo dodatnu konstrukciju:

Trokut ABC je pravokutni trokut. Po Pitagorinom teoremu imamo: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 = 8.

Sada nalazimo područje kruga i sektora: S kruga = πR 2 = 8π; S = 0,25 S krug = 2π.

Konačno, željena vrijednost je jednaka S /π = 2.

Područje sektora s nepoznatim radijusom

Ovo je potpuno nova vrsta zadatka, ništa slično nije bilo 2010.-2011. Po uvjetu nam je dana kružnica određene površine (naime površine, a ne polumjera!). Zatim se unutar ovog kruga dodjeljuje sektor čije područje je potrebno pronaći.

Dobra vijest je da su ovi zadaci najlakši od svih zadataka u kvadratu koji su na ispitu iz matematike. Osim toga, krug i sektor uvijek se postavljaju na koordinatnu mrežu. Stoga, da biste naučili kako riješiti takve probleme, samo pogledajte sliku:

Neka izvorni krug ima površinu S kruga = 80. Tada se može podijeliti na dva sektora površine S = 40 svaki (vidi korak 2). Slično, svaki od ovih "polovica" sektora može se ponovno podijeliti na pola - dobivamo četiri sektora površine S = 20 svaki (vidi korak 3). Na kraju, svaki od ovih sektora možete podijeliti u još dva - dobivamo 8 sektora - "komadića". Površina svakog od ovih "komada" bit će S = 10.

Napomena: ni u jednom USE zadatku iz matematike nema manje podjele! Dakle, algoritam za rješavanje problema B-3 je sljedeći:

1. Izrežite izvorni krug u 8 sektora - "komada". Površina svakog od njih je točno 1/8 površine cijelog kruga. Na primjer, ako prema uvjetu krug ima površinu S kruga = 240, tada „grude“ imaju površinu S = 240: 8 = 30;
2. Saznajte koliko "gruda" stane u izvorni sektor, čije područje želite pronaći. Na primjer, ako naš sektor sadrži 3 "grude" s površinom od 30, tada je površina željenog sektora S = 3 30 = 90. To će biti odgovor.

To je sve! Problem se rješava praktično usmeno. Ako vam još nešto nije jasno, kupite pizzu i izrežite je na 8 komada. Svaki takav komad će biti isti sektor - "komad" koji se može kombinirati u veće dijelove.

A sada pogledajmo primjere s probnog ispita:

Zadatak. Na kariranom papiru nacrtan je krug površine 40. Pronađite površinu osjenčane figure.

Dakle, površina kruga je 40. Podijelite ga na 8 sektora - svaki s površinom S = 40: 5 = 8. Dobivamo:

Očito, osjenčani sektor sastoji se od točno dva "mala" sektora. Stoga je njegova površina 2 5 = 10. To je cijelo rješenje!

Zadatak. Na kariranom papiru nacrtan je krug površine 64. Pronađite površinu osjenčane figure.

Ponovo podijelite cijeli krug na 8 jednakih sektora. Očito, područje jednog od njih samo treba pronaći. Prema tome, njegova površina je S = 64: 8 = 8.

Zadatak. Na kariranom papiru nacrtan je krug površine 48. Pronađite površinu osjenčane figure.

Ponovo podijelite krug na 8 jednakih sektora. Područje svakog od njih je jednako S = 48: 8 = 6. Točno tri sektora - "mala" postavljena su u željeni sektor (vidi sliku). Dakle, površina željenog sektora je 3 6 = 18.

- Ovo je ravna figura, koja je skup točaka jednako udaljenih od središta. Svi su na istoj udaljenosti i tvore krug.

Odsječak koji spaja središte kružnice s točkama na njenom obodu naziva se radius. U svakoj kružnici svi radijusi su međusobno jednaki. Pravac koji spaja dvije točke kružnice i prolazi središtem naziva se promjer. Formula za površinu kruga izračunava se pomoću matematičke konstante - broja π ..

Zanimljivo je : Broj pi. je omjer opsega kruga i duljine njegovog promjera i konstantna je vrijednost. Vrijednost π = 3,1415926 korištena je nakon rada L. Eulera 1737. godine.

Površina kruga može se izračunati pomoću konstante π. a polumjer kruga. Formula za površinu kruga u smislu polumjera izgleda ovako:

Razmotrite primjer izračuna površine kruga pomoću polumjera. Neka je dana kružnica polumjera R = 4 cm. Nađimo površinu figure.

Površina našeg kruga bit će jednaka 50,24 četvornih metara. cm.

Postoji formula površina kruga kroz promjer. Također se široko koristi za izračunavanje potrebnih parametara. Ove formule se mogu koristiti za pronalaženje .

Razmotrite primjer izračuna površine kruga kroz promjer, znajući njegov polumjer. Neka je dana kružnica s polumjerom R = 4 cm.Najprije ćemo pronaći promjer koji je, kao što znate, dvostruko veći od polumjera.


Sada koristimo podatke za primjer izračuna površine kruga pomoću gornje formule:

Kao što vidite, kao rezultat dobivamo isti odgovor kao u prvim izračunima.

Poznavanje standardnih formula za izračunavanje površine kruga pomoći će u budućnosti da se lako odredi područje sektora i lako je pronaći količine koje nedostaju.

Već znamo da se formula za površinu kruga izračunava kroz umnožak konstantne vrijednosti π i kvadrata polumjera kruga. Polumjer se može izraziti u smislu opsega kruga i zamijeniti izraz u formuli za područje kruga u smislu opsega:
Sada zamijenimo ovu jednakost u formulu za izračunavanje površine kruga i dobijemo formulu za pronalaženje površine kruga, kroz opseg

Razmotrite primjer izračuna površine kruga kroz opseg. Neka je dana kružnica duljine l = 8 cm. Zamijenimo vrijednost u izvedenu formulu:

Ukupna površina kruga bit će 5 četvornih metara. cm.

Površina kruga opisanog oko kvadrata

Vrlo je lako pronaći površinu kruga opisanog oko kvadrata.

To će zahtijevati samo stranu kvadrata i poznavanje jednostavnih formula. Dijagonala kvadrata bit će jednaka dijagonali opisane kružnice. Poznavajući stranu a, može se pronaći pomoću Pitagorinog teorema: odavde.
Nakon što nađemo dijagonalu, možemo izračunati polumjer: .
I onda sve zamijenimo u osnovnu formulu za površinu kruga opisanog oko kvadrata:

Kao što znamo iz školskog kurikuluma, uobičajeno je krug nazivati ​​ravnom geometrijskom figurom koja se sastoji od mnogo točaka jednako udaljenih od središta figure. Budući da su svi na istoj udaljenosti, tvore krug.

Zgodna navigacija članaka:

Kalkulator površine kruga

Isječak koji spaja središte kruga i točke na njegovu obodu naziva se polumjer. U ovom slučaju, u svakom krugu, svi radijusi su međusobno jednaki. Promjer kružnice je ravna linija koja spaja dvije točke na kružnici i prolazi kroz njezino središte. Sve ovo trebamo da bismo ispravno izračunali površinu kruga. Osim toga, ova se vrijednost izračunava pomoću broja Pi.

Kako izračunati površinu kruga

Na primjer, imamo krug polumjera četiri centimetra. Izračunajmo njegovu površinu: S=(3,14)*4^2=(3,14)*16=50,24. Dakle, površina kruga je 50,24 četvornih centimetara.

Također, postoji posebna formula za izračunavanje površine kruga kroz promjer: S=(pi/4) d^2.

Pogledajmo primjer takvog izračuna kruga kroz njegov promjer, znajući radijus figure. Na primjer, imamo krug polumjera četiri centimetra. Prvo morate pronaći promjer, koji je dvostruko veći od samog radijusa: d=2R, d=2*4=8.

Sada biste trebali koristiti dobivene podatke za izračunavanje površine kruga pomoću gornje formule: S=((3,14)/4)*8^2=0,785*64=50,24.

Kao što vidite, na kraju dobivamo isti odgovor kao u prvom slučaju.

Poznavanje gore opisanih standardnih formula za ispravan izračun površine kruga pomoći će vam da lako pronađete vrijednosti koje nedostaju i odredite površinu sektora.

Dakle, znamo da se formula za izračunavanje površine kruga izračunava množenjem konstantne vrijednosti Pi s kvadratom polumjera samog kruga. Sam radijus može se izraziti u smislu stvarnog opsega zamjenom izraza u smislu opsega u formulu. To je: R=l/2pi.

Sada ovu jednadžbu trebamo zamijeniti formulom za izračunavanje površine kruga, a kao rezultat dobivamo formulu za pronalaženje površine ove geometrijske figure kroz opseg: S=pi((l/2pi ))^2=l^2/(4pi).

Na primjer, dan nam je krug čiji je opseg osam centimetara. Zamjenjujemo vrijednost u razmatranoj formuli: S=(8^2)/(4*3,14)=64/(12,56)=5. I dobivamo površinu kruga jednaku pet kvadratnih centimetara.