Površina romba je umnožak dijagonala. Četiri formule za izračunavanje površine romba

Romb je poseban slučaj paralelograma. To je ravna četverokutna figura u kojoj su sve stranice jednake. Ovo svojstvo određuje da rombovi imaju paralelne nasuprotne strane i jednake nasuprotne kutove. Dijagonale romba sijeku se pod pravim kutom, točka njihova sjecišta je u sredini svake dijagonale, a uglovi iz kojih izlaze podijeljeni su na pola. To jest, one su dijagonale romba simetrale kutova. Na temelju navedenih definicija i navedenih svojstava rombova može se na različite načine odrediti njihova površina.

1. Ako su poznate obje dijagonale romba AC i BD, tada se površina romba može odrediti kao polovica umnoška dijagonala.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

gdje su AC, BD duljine dijagonala romba.

Da biste razumjeli zašto je to tako, možete mentalno upisati pravokutnik u romb na takav način da su stranice potonjeg okomite na dijagonale romba. Postaje očito da će površina romba biti jednaka polovici površine pravokutnika upisanog na ovaj način u romb, čija će duljina i širina odgovarati veličini dijagonala romba.

2. Po analogiji s paralelopipedom, područje romba može se pronaći kao proizvod njegove strane, visinom okomice sa suprotne strane spuštene na danu stranu.

S = a ∙ h

gdje je a stranica romba;
h je visina okomice puštene na zadanu stranicu.

3. Površina romba također je jednaka kvadratu njegove strane pomnoženoj sa sinusom kuta α.

S = a2 ∙ grijeh α

gdje je a stranica romba;
α je kut između stranica.

4. Također, područje romba može se pronaći kroz njegovu stranu i polumjer kruga upisanog u njega.

S=2 ∙ a ∙ r

gdje je a stranica romba;
r je polumjer kružnice upisane u romb.

Zanimljivosti
Riječ romb dolazi od starogrčke riječi rombus, što znači "tamburin". Tada su tambure doista imale oblik dijamanta, a ne okrugle, kako smo ih danas navikli vidjeti. Od tog vremena javlja se i naziv kartaške boje "tamburin". U heraldici se vrlo široko koriste rombovi raznih vrsta.

Romb je posebna figura u geometriji. Zbog svojih posebnih svojstava, ne postoji jedna, već nekoliko formula za izračunavanje površine romba. Koja su to svojstva i koje su najčešće formule za pronalaženje područja ove figure? Hajdemo shvatiti.

Koji se geometrijski lik naziva romb

Prije nego što saznate koja je površina romba, vrijedi znati kakva je to figura.

Još od vremena euklidske geometrije, romb se naziva simetrični četverokut, čije su sve četiri stranice jednake duljine i paralelne u parovima.

Podrijetlo pojma

Naziv ove figure došao je u većinu modernih jezika iz grčkog, posredstvom latinskog. "Pratka" riječi "romb" bila je grčka imenica ῥόμβος (tamburina). Iako su stanovnici dvadesetog stoljeća, naviknuti na okrugle tambure, teško ih je zamisliti u drugačijem obliku, ali među Helenima ti su se glazbeni instrumenti tradicionalno izrađivali ne u okruglom, već u obliku dijamanta.

U većini suvremenih jezika koristi se ovaj matematički izraz, kao u latinskom: rombus. Međutim, na engleskom se dijamanti ponekad nazivaju dijamant (dijamant ili dijamant). Ova figura dobila je takav nadimak zbog svog posebnog oblika, koji podsjeća na dragi kamen. U pravilu se sličan izraz ne koristi za sve rombove, već samo za one u kojima je kut sjecišta njegovih dviju strana šezdeset ili četrdeset pet stupnjeva.

Po prvi put se ova brojka spominje u spisima grčkog matematičara koji je živio u prvom stoljeću nove ere - Heron iz Aleksandrije.

Koja su svojstva ovog geometrijskog lika

Da biste pronašli područje romba, prvo morate znati koje značajke ima određena geometrijska figura.

Pod kojim uvjetima je paralelogram romb?

Kao što znate, svaki romb je paralelogram, ali nije svaki paralelogram romb. Kako bismo točno ustvrdili da je prikazana figura doista romb, a ne jednostavan paralelogram, mora odgovarati jednoj od tri glavne značajke koje razlikuju romb. Ili sva tri odjednom.

1. Dijagonale paralelograma sijeku se pod kutom od devedeset stupnjeva.
2. Dijagonale dijele uglove na dva dijela, djelujući kao njihove simetrale.
3. Ne samo paralelne, već i susjedne stranice imaju istu duljinu. Ovo je, usput, jedna od glavnih razlika između romba i paralelograma, budući da druga figura ima samo paralelne strane koje su iste duljine, ali ne i susjedne.

Pod kojim uvjetima je romb kvadrat?

Prema svojim svojstvima, u nekim slučajevima, romb može istovremeno postati kvadrat. Da biste vizualno potvrdili ovu izjavu, dovoljno je samo rotirati kvadrat u bilo kojem smjeru za četrdeset pet stupnjeva. Dobivena figura bit će romb, čiji je svaki kut jednak devedeset stupnjeva.

Također, kako biste potvrdili da je kvadrat romb, možete usporediti znakove ovih figura: u oba slučaja sve su strane jednake, a dijagonale su simetrale i sijeku se pod kutom od devedeset stupnjeva.

Kako pronaći površinu romba koristeći njegove dijagonale

U suvremenom svijetu na Internetu možete pronaći gotovo sve materijale za izvođenje potrebnih izračuna. Dakle, postoji mnogo resursa opremljenih programima za automatsko izračunavanje površine određene figure. Štoviše, ako (kao u slučaju romba) postoji nekoliko formula za to, tada je moguće odabrati koja će biti najprikladnija za korištenje. Međutim, prije svega, morate sami moći izračunati površinu romba bez pomoći računala i kretati se formulama. Za romb ih ima mnogo, ali najpoznatija su četiri.

Jedan od najlakših i najčešćih načina da saznate područje ove figure je ako imate informacije o duljini njezinih dijagonala. Ako problem sadrži ove podatke, u ovom slučaju možete primijeniti sljedeću formulu za pronalaženje površine: S = KM x LN / 2 (KM i LN su dijagonale KLMN romba).

Valjanost ove formule možete provjeriti u praksi. Recimo da KLMN romb ima duljinu jedne od svojih dijagonala KM - 10 cm, a drugi LN - 8 cm Zatim zamijenimo ove podatke u gornjoj formuli i dobivamo sljedeći rezultat: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Formula za izračunavanje površine paralelograma

Postoji još jedna formula. Kao što je gore spomenuto u definiciji romba, to nije samo četverokut, već i paralelogram, i ima sve značajke ove figure. U ovom slučaju, da biste pronašli njegovu površinu, prilično je preporučljivo koristiti formulu koja se koristi za paralelogram: S \u003d KL x Z. U ovom slučaju, KL je duljina stranice paralelograma (romba), a Z je duljina visine povučene na ovu stranu.

U nekim zadacima nije zadana duljina stranice, ali je poznat opseg romba. Budući da je formula za pronalaženje navedena gore, može se koristiti i za određivanje duljine stranice. Dakle, opseg figure je 10 cm Duljina stranice može se pronaći preokretanjem formule perimetra i dijeljenjem 10 sa 4. Rezultat će biti 2,5 cm - to je željena duljina stranice romba.

Sada vrijedi pokušati zamijeniti ovaj broj u formulu, znajući da je duljina visine povučene na stranu također 2,5 cm. Sada pokušajmo staviti ove vrijednosti u gornju formulu za područje \u200b\ u200b paralelogram. Ispada da je površina romba S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Drugi načini za izračunavanje površine romba

Oni koji su već savladali sinuse i kosinuse mogu koristiti formule koje ih sadrže kako bi pronašli područje romba. Klasičan primjer je sljedeća formula: S = KM 2 x Sin KLM. U ovom slučaju, površina figure jednaka je proizvodu dviju strana romba, pomnoženom sa sinusom kuta između njih. A budući da su u rombu sve strane iste, lakše je jednu stranu odmah pretvoriti u kvadrat, kao što je prikazano u formuli.

Ovu shemu provjeravamo u praksi, a ne samo prema rombu, već i prema kvadratu, u kojem su, kao što znate, svi kutovi pravi, što znači da su jednaki devedeset stupnjeva. Pretpostavimo da je jedna od strana 15 cm. Također je poznato da je sinus kuta od 90 ° jednak jedan. Zatim, prema formuli, S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 \u003d 255 cm 2.

Osim gore navedenog, u nekim se slučajevima koristi druga formula, koristeći sinus za određivanje površine romba: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. U ovoj verziji koristi se polumjer kruga upisanog u romb. Podigne se na potenciju kvadrata i pomnoži s četiri. I cijeli rezultat je podijeljen sa sinusom kuta uz upisanu figuru.

Kao primjer, radi jednostavnosti izračuna, uzmimo opet kvadrat (sinus njegovog kuta uvijek će biti jednak jedan). Polumjer kruga upisanog u njega je 4,4 cm. Tada će se površina romba izračunati na sljedeći način: S \u003d 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° \u003d 77,44 cm 2

Gornje formule za pronalaženje polumjera romba daleko su od jedine takve vrste, ali ih je najlakše razumjeti i izvesti izračune.

Što je Rhombus? Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama.

Romb, lik na ravnini, četverokut s jednakim stranicama. Romb je poseban slučaj PARALELELOGRAMA u kojem su ili dvije susjedne stranice jednake, ili se dijagonale sijeku pod pravim kutom, ili dijagonala raspolavlja kut. Romb s pravim kutovima naziva se kvadrat.

Klasična formula za područje romba je izračun vrijednosti kroz visinu. Površina romba jednaka je umnošku stranice i visine povučene na tu stranicu.

1. Površina romba jednaka je proizvodu stranice i visine povučene na ovu stranu:

\[ S = a \cdot h \]

2. Ako je poznata stranica romba (sve strane romba su jednake) i kut između stranica, tada se površina može pronaći pomoću sljedeće formule:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Površina romba također je jednaka poluproizvodu dijagonala, to jest:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Ako je poznat polumjer r kruga upisanog u romb, a stranica romba a, tada se njegova površina izračunava po formuli:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Svojstva romba

Na gornjoj slici, \(ABCD \) je romb, \(AC = DB = CD = AD \) . Budući da je romb paralelogram, on ima sva svojstva paralelograma, ali postoje i svojstva koja su jedinstvena za romb.

U svaki romb se može upisati kružnica. Središte kružnice upisane u romb je sjecište njegovih dijagonala. Polumjer kruga jednaka polovini visine romba:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Svojstva romba

Dijagonale romba su okomite;

Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova.

Znakovi romba

Paralelogram čije se dijagonale sijeku pod pravim kutom je romb;

Paralelogram čije su dijagonale simetrale njegovih kutova je romb.

Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!

- ovo je paralelogram u kojem su sve strane jednake, tada za njega vrijede sve iste formule kao i za paralelogram, uključujući formulu za pronalaženje površine kroz umnožak visine i stranice.

Područje romba može se pronaći tako da se poznaju i njegove dijagonale. Dijagonale dijele romb na četiri potpuno identična pravokutna trokuta. Ako ih poredamo tako da dobijemo pravokutnik, tada će njegova duljina i širina biti jednaka jednoj cijeloj dijagonali i polovici druge dijagonale. Stoga se površina romba nalazi množenjem dijagonala romba, smanjenih za dva (kao površina dobivenog pravokutnika).

Ako su dostupni samo kut i strana, tada se možete naoružati dijagonalom kao pomoćnikom i nacrtati je nasuprot poznatog kuta. Zatim će romb podijeliti na dva sukladna trokuta, čija će nam ukupna površina dati površinu romba. Površina svakog od trokuta bit će jednaka polovici umnoška kvadrata stranice i sinusa poznatog kuta, kao površina jednakokračnog trokuta. Budući da postoje dva takva trokuta, koeficijenti se poništavaju, ostavljajući samo stranicu na drugom stupnju i sinus:

Ako je unutar romba upisan krug, tada će se njegov polumjer odnositi na stranicu pod kutom od 90°, što znači da će dvostruki radijus biti jednak visini romba. Zamjenom umjesto visine h=2r u prethodnoj formuli dobivamo površinu S=ha=2ra

Ako uz polumjer upisane kružnice nije dana stranica, nego kut, tada najprije morate pronaći stranicu crtanjem visine na način da dobijete pravokutni trokut sa zadanim kutom. Tada se stranica a može pronaći iz trigonometrijskih relacija po formuli . Zamjenom ovog izraza u istu standardnu ​​formulu za područje romba, ispada

Romb (od starogrčkog ῥόμβος i od latinskog rombus "tamburin") je paralelogram koji karakterizira prisutnost stranica iste duljine. U slučaju kada su kutovi 90 stupnjeva (ili pravi kut), takva se geometrijska figura naziva kvadratom. Romb je geometrijska figura, vrsta četverokuta. Može biti i kvadrat i paralelogram.

Podrijetlo pojma

Razgovarajmo malo o povijesti ove figure, koja će vam pomoći da malo otkrijete tajanstvene tajne drevnog svijeta. Nama poznata riječ, koja se često nalazi u školskoj literaturi, “romb”, potječe od starogrčke riječi “tamburin”. U staroj Grčkoj ti su se glazbeni instrumenti izrađivali u obliku romba ili kvadrata (za razliku od modernih instrumenata). Sigurno ste primijetili da kartaško odijelo - tambura - ima rombični oblik. Formiranje ovog odijela datira iz vremena kada se okrugli dijamanti nisu koristili u svakodnevnom životu. Stoga je romb najstarija povijesna figura koju je čovječanstvo izmislilo davno prije pojave kotača.

Po prvi put takvu riječ kao "romb" koristile su tako poznate ličnosti kao što su Heron i aleksandrijski papa.

Svojstva romba

1. Budući da su stranice romba jedna nasuprot drugoj i po parovima paralelne, romb je nedvojbeno paralelogram (AB || CD, AD || BC).
2. Rombske dijagonale sijeku se pod pravim kutom (AC ⊥ BD), pa su stoga okomite. Stoga sjecište raspolavlja dijagonale.
3. Simetrale rombskih kutova su dijagonale romba (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD itd.).
4. Iz istovjetnosti paralelograma slijedi da je zbroj svih kvadrata dijagonala romba broj kvadrata stranice koji se pomnoži s 4.

Znakovi romba

Romb je u tim slučajevima paralelogram ako ispunjava sljedeće uvjete:

1. Sve stranice paralelograma su jednake.
2. Dijagonale romba sijeku se pod pravim kutom, odnosno međusobno su okomite (AC⊥BD). Time je dokazano pravilo triju stranica (stranice su jednake i zaklapaju se pod kutom od 90 stupnjeva).
3. Dijagonale paralelograma podjednako dijele kutove jer su stranice jednake.

Područje romba

1. Površina romba jednaka je broju koji je polovina proizvoda svih njegovih dijagonala.
2. Budući da je romb vrsta paralelograma, površina romba (S) je broj umnoška stranice paralelograma i njegove visine (h).
3. Osim toga, površina romba može se izračunati pomoću formule koja je umnožak kvadrata stranice romba i sinusa kuta. Sinus kuta je alfa - kut između stranica izvornog romba.
4. Formula koja je umnožak dvostrukog kuta alfa i polumjera upisane kružnice (r) smatra se sasvim prihvatljivom za ispravno rješenje.