eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe. Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi

U ovoj lekciji ćemo razmotriti razne eksponencijalne nejednadžbe i naučiti ih rješavati na temelju metode za rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije

Prisjetite se definicije i glavnih svojstava eksponencijalne funkcije. Na svojstvima se temelji rješavanje svih eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stupanj i Ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y - zavisna varijabla, funkcija.

Riža. 1. Graf eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastući i opadajući eksponent, ilustrirajući eksponencijalnu funkciju na bazi većoj od jedan odnosno manjoj od jedan, ali većoj od nule.

Obje krivulje prolaze kroz točku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste kao , pada kao .

Monotona funkcija uzima svaku svoju vrijednost s jednom vrijednošću argumenta.

Kada , kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule, ne uključujući, do plus beskonačnosti, tj. za dane vrijednosti argumenta, imamo monotono rastuću funkciju (). Kada, naprotiv, kada argument raste od minus do plus beskonačnosti, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, uključujući, tj. za dane vrijednosti argumenta, imamo monotono opadajuću funkciju ().

2. Najjednostavnije eksponencijalne nejednadžbe, tehnika rješavanja, primjer

Na temelju navedenog predstavljamo metodu za rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi:

Metoda rješavanja nejednakosti:

Izjednačiti baze stupnjeva;

Usporedite indikatore, zadržavajući ili mijenjajući predznak nejednakosti na suprotni.

Rješavanje složenih eksponencijalnih nejednadžbi sastoji se u pravilu u njihovom svođenju na najjednostavnije eksponencijalne nejednadžbe.

Baza stupnja je veća od jedan, što znači da je znak nejednakosti sačuvan:

Transformirajmo desnu stranu prema svojstvima stupnja:

Baza stupnja manja je od jedan, znak nejednakosti mora biti obrnut:

Da bismo riješili kvadratnu nejednadžbu, rješavamo odgovarajuću kvadratnu jednadžbu:

Po Vietinom teoremu nalazimo korijene:

Grane parabole usmjerene su prema gore.

Dakle, imamo rješenje nejednadžbe:

Lako je pogoditi da se desna strana može prikazati kao potencija s eksponentom nula:

Baza stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti se ne mijenja, dobivamo:

Prisjetite se postupka rješavanja takvih nejednadžbi.

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju:

Traženje domene definicije:

Nalazimo korijene funkcije:

Funkcija ima jedan korijen,

Izdvojimo intervale predznaka i na svakom intervalu odredimo predznake funkcije:

Riža. 2. Intervali predznaka

Pa smo dobili odgovor.

Odgovor:

3. Rješenje tipičnih eksponencijalnih nejednadžbi

Razmotrite nejednadžbe s istim eksponentima, ali različitim bazama.

Jedno od svojstava eksponencijalne funkcije je da uzima strogo pozitivne vrijednosti za bilo koju vrijednost argumenta, što znači da se može podijeliti na eksponencijalnu funkciju. Podijelimo datu nejednadžbu desnom stranom:

Baza stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan.

Ilustrirajmo rješenje:

Na slici 6.3 prikazani su grafovi funkcija i . Očito, kada je argument veći od nule, graf funkcije se nalazi više, ova funkcija je veća. Kada su vrijednosti argumenta negativne, funkcija prolazi ispod, to je manje. Ako je vrijednost argumenta jednaka, tada je zadana točka ujedno i rješenje zadane nejednadžbe.

Riža. 3. Ilustracija primjera 4

Zadanu nejednadžbu transformiramo prema svojstvima stupnja:

Evo sličnih članova:

Podijelimo oba dijela na:

Sada nastavljamo rješavati slično primjeru 4, oba dijela dijelimo sa:

Baza stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan:

4. Grafičko rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi

Primjer 6 - nejednadžbu riješiti grafički:

Razmotrite funkcije s lijeve i desne strane i iscrtajte svaku od njih.

Funkcija je eksponent, raste u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Funkcija je linearna, opadajuća u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Ako se te funkcije sijeku, odnosno sustav ima rješenje, tada je takvo rješenje jedinstveno i lako se može pogoditi. Da biste to učinili, ponovite cijele brojeve ()

Lako je vidjeti da je korijen ovog sustava:

Dakle, grafovi funkcija sijeku se u točki s argumentom jednakim jedan.

Sada moramo dobiti odgovor. Značenje zadane nejednakosti je da eksponent mora biti veći ili jednak linearnoj funkciji, odnosno mora joj biti veći ili jednak. Odgovor je očit: (Slika 6.4)

Riža. 4. Ilustracija primjera 6

Dakle, razmotrili smo rješenja raznih tipičnih eksponencijalnih nejednadžbi. Zatim prelazimo na razmatranje složenijih eksponencijalnih nejednakosti.

Bibliografija

Mordkovich A. G. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Droplja. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu P. i dr. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Prosvjeta.

matematika md . Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.

Domaća zadaća

1. Algebra i počeci analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990., br. 472, 473;

2. Riješite nejednadžbu:

3. Riješite nejednadžbu.

a x = b je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. U njemu a veći od nule i a nije jednako jedan.

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi

Iz svojstava eksponencijalne funkcije znamo da je njezin raspon vrijednosti ograničen na pozitivne realne brojeve. Tada ako je b = 0, jednadžba nema rješenja. Ista situacija događa se u jednadžbi gdje je b

Sada pretpostavimo da je b>0. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veći od jedan, tada će funkcija rasti u cijeloj domeni definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu a zadovoljen je sljedeći uvjet 0

Na temelju toga i primjenom teorema o korijenu, dobivamo da jednadžba a x = b ima jedan jedini korijen, za b>0 i pozitivan a nije jednako jedan. Da biste ga pronašli, trebate predstaviti b u obliku b = a c .
Onda je očito da S bit će rješenje jednadžbe a x = a c .

Razmotrite sljedeći primjer: riješite jednadžbu 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Predstavimo 25 kao 5 2 , dobivamo:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Ili što je ekvivalentno:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Dobivenu kvadratnu jednadžbu rješavamo nekom od poznatih metoda. Dobivamo dva korijena x = 3 i x = -1.

Odgovor: 3;-1.

Riješimo jednadžbu 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Napravimo zamjenu: t=2 x i dobijemo sljedeću kvadratnu jednadžbu:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Ovu jednadžbu rješavamo bilo kojom od poznatih metoda. Dobivamo korijene t1 = 1 t2 = 4

Sada rješavamo jednadžbe 2 x = 1 i 2 x = 4.

Odgovor: 0;2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi

Rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi također se temelji na svojstvima rastućih i padajućih funkcija. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija biti rastuća u cijeloj domeni definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu a sljedeći uvjet je zadovoljen 0, tada će ova funkcija biti opadajuća na cijelom skupu realnih brojeva.

Razmotrite primjer: riješite nejednadžbu (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Primijetimo da je 4 = (0,5) 2 . Tada nejednakost ima oblik (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Dobivamo: 7 - 3*x>-2.

Odavde: x<3.

Odgovor: x<3.

Ako je u nejednakosti baza veća od jedan, tada se kod uklanjanja baze ne bi trebalo mijenjati znak nejednakosti.

Eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe su one jednadžbe i nejednadžbe u kojima je nepoznanica sadržana u eksponentu.

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi često se svodi na rješavanje jednadžbe a x \u003d a b, gdje je a > 0, a ≠ 1, x nepoznanica. Ova jednadžba ima jedan korijen x \u003d b, budući da je sljedeći teorem točan:

Teorema. Ako je a > 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, tada je x 1 = x 2.

Opravdajmo razmatranu tvrdnju.

Pretpostavimo da jednakost x 1 = x 2 nije zadovoljena, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponencijalna funkcija y \u003d a x raste i stoga nejednakost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. U oba slučaja dobili smo kontradikciju s uvjetom a x 1 = a x 2 .

Razmotrimo nekoliko zadataka.

Riješite jednadžbu 4 ∙ 2 x = 1.

Riješenje.

Jednadžbu zapisujemo u obliku 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.

Odgovor. x = -2.

Riješite jednadžbu 2 3x ∙ 3 x = 576.

Riješenje.

Budući da je 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, jednadžba se može napisati u obliku 8 x ∙ 3 x = 24 2 ili u obliku 24 x = 24 2.

Odavde dobivamo x = 2.

Odgovor. x = 2.

Riješite jednadžbu 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.

Riješenje.

Stavljajući zajednički faktor 3 x - 2 u zagrade s lijeve strane, dobivamo 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,

odakle je 3 x - 2 = 1, tj. x - 2 = 0, x = 2.

Odgovor. x = 2.

Riješite jednadžbu 3 x = 7 x.

Riješenje.

Budući da je 7 x ≠ 0, jednadžba se može napisati kao 3 x / 7 x = 1, dakle (3/7) x = 1, x = 0.

Odgovor. x = 0.

Riješite jednadžbu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.

Riješenje.

Zamjenom 3 x \u003d a, ova se jednadžba svodi na kvadratnu jednadžbu a 2 - 4a - 45 \u003d 0.

Rješavajući ovu jednadžbu, nalazimo njene korijene: a 1 \u003d 9 i 2 \u003d -5, odakle 3 x \u003d 9, 3 x = -5.

Jednadžba 3 x \u003d 9 ima korijen 2, a jednadžba 3 x \u003d -5 nema korijene, jer eksponencijalna funkcija ne može imati negativne vrijednosti.

Odgovor. x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi često se svodi na rješavanje nejednadžbi a x > a b ili a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Razmotrimo neke zadatke.

Riješite nejednadžbu 3 x< 81.

Riješenje.

Nejednadžbu zapisujemo u obliku 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada funkcija y \u003d 3 x raste.

Prema tome, za x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Dakle, za x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Odgovor. x< 4.

Riješite nejednadžbu 16 x +4 x - 2 > 0.

Riješenje.

Označimo 4 x = t, tada dobivamo kvadratnu nejednadžbu t2 + t - 2 > 0.

Ova nejednakost vrijedi za t< -2 и при t > 1.

Kako je t = 4 x, dobivamo dvije nejednakosti 4 x< -2, 4 х > 1.

Prva nejednadžba nema rješenja jer je 4 x > 0 za sve x ∈ R.

Drugu nejednadžbu zapisujemo u obliku 4 x > 4 0 , odakle je x > 0.

Odgovor. x > 0.

Grafički riješite jednadžbu (1/3) x = x - 2/3.

Riješenje.

1) Nacrtajmo grafove funkcija y \u003d (1/3) x i y \u003d x - 2/3.

2) Na temelju naše slike možemo zaključiti da se grafovi razmatranih funkcija sijeku u točki s apscisom x ≈ 1. Provjera dokazuje da

x \u003d 1 - korijen ove jednadžbe:

(1/3) 1 = 1/3 i 1 - 2/3 = 1/3.

Drugim riječima, pronašli smo jedan od korijena jednadžbe.

3) Pronađite druge korijene ili dokažite da ih nema. Funkcija (1/3) x pada, a funkcija y \u003d x - 2/3 raste. Stoga, za x> 1, vrijednosti prve funkcije su manje od 1/3, a druge su veće od 1/3; na x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Odgovor. x = 1.

Napominjemo da iz rješenja ovog problema, posebice, slijedi da je nejednakost (1/3) x > x – 2/3 zadovoljena za x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.