D'Alembertov princip za primjere mehaničkih sustava. Kako formulirati d'Alembertov princip

Kada se materijalna točka giba, njezino je ubrzanje u svakom trenutku vremena takvo da zadane (aktivne) sile primijenjene na točku, reakcije veza i fiktivna d'Alembertova sila F = - čine uravnoteženi sustav sila.

Dokaz. Promotrimo gibanje neslobodne materijalne točke s masom t u inercijalnom referentnom okviru. Prema osnovnom zakonu dinamike i principu oslobađanja od obveznica imamo:

gdje je F rezultanta zadanih (aktivnih) sila; N je rezultanta reakcija svih veza nametnutih točki.

Lako je transformirati (13.1) u oblik:

Vektor F = - da naziva se d'Alembertova sila tromosti, sila tromosti ili jednostavno d'Alembertova moć. U nastavku ćemo koristiti samo posljednji izraz.

Jednadžba (13.3), koja izražava d'Alembertov princip u simboličkom obliku, naziva se kinetostatička jednadžba materijalna točka.

Lako je dobiti generalizaciju d'Alembertova principa za mehanički sustav (sustav P materijalne točke).

Za bilo koje do točki mehaničkog sustava, jednakost (13.3) je zadovoljena:

gdje ? do - rezultanta zadanih (aktivnih) sila koje djeluju na do-ta točka; N do - rezultanta reakcija superponiranih veza k-ti točka; F k \u003d - to k- d'Alembertova sila do-ta točka.

Očito, ako su uvjeti ravnoteže (13.4) ispunjeni za svaku trojku sila F*, N* : , F* (do = 1,. .., P), zatim cijeli sustav 3 P snage

je uravnotežen.

Posljedično, tijekom gibanja mehaničkog sustava u svakom trenutku vremena, aktivne sile koje djeluju na njega, reakcije veza i d'Alembertove sile točaka sustava čine uravnoteženi sustav sila.

Sile sustava (13.5) više nisu konvergentne, stoga, kao što je poznato iz statike (odjeljak 3.4), potrebni i dovoljni uvjeti za njegovu ravnotežu imaju sljedeći oblik:

Jednadžbe (13.6) nazivamo jednadžbama kinetostatike mehaničkog sustava. Za izračune se koriste projekcije ovih vektorskih jednadžbi na osi koje prolaze kroz trenutnu točku O.

Napomena 1. Budući da je zbroj svih unutarnjih sila sustava, kao i zbroj njihovih momenata u odnosu na bilo koju točku, jednak nuli, tada je u jednadžbama (13.6) dovoljno uzeti u obzir samo reakcije vanjski veze.

Jednadžbe kinetostatike (13.6) obično se koriste za određivanje reakcija ograničenja mehaničkog sustava kada je zadano gibanje sustava, a time i ubrzanja točaka sustava i d'Alembertovih sila koje o njima ovise. su poznati.

Primjer 1 Pronađite reakcije podrške ALI i NA vratilo sa svojim ravnomjernim okretanjem pri frekvenciji od 5000 o/min.

Točkaste mase su kruto povezane s osovinom gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. Veličine poznate AC - CD - DB = 0,4 m h= 0,01 m. Masu osovine smatrajte zanemarivom.

Riješenje. Da bismo upotrijebili d'Alembertov princip za mehanički sustav koji se sastoji od dvije točkaste mase, na dijagramu (sl. 13.2) označimo zadane sile (gravitacije) Gi, G 2, reakciju veza N4, N # i d 'Alembertove snage F|, F 2.

Smjerovi Dalambresovih sila suprotni su akceleracijama točkastih masa t b t 2g koji jednoliko opisuju kružnice radijusa h oko osi AB vratilo.

Nalazimo veličine sila gravitacije i Dalambresovih sila:

Ovdje je kutna brzina osovine su- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Az, dobivamo uvjete ravnoteže za ravni sustav paralelnih sila Gi, G 2 , 1Chd, N tf , F ʹ F 2:

Iz jednadžbe momenata nalazimo N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, a iz jednadžbe projekcije dalje

os Ay: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Jednadžbe kinetostatike (13.6) također se mogu koristiti za dobivanje diferencijalnih jednadžbi gibanja sustava, ako su sastavljene na takav način da su isključene reakcije veza i, kao rezultat, postaje moguće dobiti ovisnosti ubrzanja na zadane sile.

D'Alembertov princip omogućuje smanjenje procesa sastavljanja jednadžbi dinamike na sastavljanje jednadžbi statike.

Ovaj princip, koji ćemo ovdje predstaviti za slobodnu materijalnu točku i za točku koja se kreće po površini ili duž krivulje, primjenjiv je na bilo koji problem dinamike. To će nam omogućiti da sažmemo cijelu teoriju gibanja točke.

Promotrimo materijalnu točku mase M pod djelovanjem sila čija rezultanta ima projekcije. Jednadžbe gibanja te točke mogu se napisati na sljedeći način:

Razmotrit ćemo, uz vektore koji predstavljaju sile koje djeluju na točku M, vektor s projekcijama - Taj vektor, brojčano jednak umnošku mase i akceleracije i usmjeren suprotno od akceleracije, naziva se sila tromosti, iako to ni na koji način neće biti sila primijenjena na točku. Tada jednadžbe izražavaju da je geometrijski zbroj vektora i jednak nuli, odnosno da u svakom trenutku vremena postoji ravnoteža između sile tromosti i sila koje stvarno djeluju na točku.

Izvođenje jednadžbi gibanja iz d'Alembertova principa. Na temelju ovoga što je upravo rečeno, da bismo pronašli jednadžbe gibanja točke pod bilo kojim uvjetima, dovoljno je izraziti da postoji ravnoteža između svih sila koje djeluju na točku i sile tromosti. Ali to se može učiniti pomoću statičkih metoda. Može se, na primjer, primijeniti teorem mogućeg rada. Da bi se to postiglo, potrebno je razlikovati sile primijenjene na točku, dane sile i reakcije veza. Kroz označavamo projekcije zadanih sila.

Da bismo napisali da postoji ravnoteža između sila koje djeluju na točku i sile tromosti, dovoljno je napisati da na

sva moguća kretanja dopuštena trenutno postojećim vezama, zbroj rada zadanih sila i sile tromosti jednak je nuli:

Treba razlikovati tri slučaja:

1°. Slobodan bod. proizvoljan. Ako se, kao u paragrafu 282, koristi proizvoljni koordinatni sustav, tada, zamjenom s varijacijama, dobivamo:

gdje su proizvoljne.

Zamjenom u jednakost (2) i izjednačavanjem rezultata s nulom za proizvoljne dobivamo jednadžbe gibanja u obliku navedenom u § 282, iz kojih smo izveli Lagrangeove jednadžbe za slobodnu točku.

2°. točka na površini. Neka

je jednadžba površine, za koju se, radi općenitosti, pretpostavlja da se kreće. Dajući varijabli određenu vrijednost, vidimo da moramo zadovoljiti uvjet

izražavajući da je moguće kretanje dopušteno vezom koja postoji u ovom trenutku. Ako, kao u paragrafu 263, izrazimo koordinate površinske točke u funkcijama dva parametra, tada dobivamo

a relacija (2) mora vrijediti kakva god bila.Na taj način će se dobiti jednadžbe gibanja u obliku (4) n. 263. 3°. Točka na krivulji. Neka

Definicija 1

D'Alembertov princip je jedan od glavnih principa dinamike u teorijskoj mehanici. Prema ovom principu, ako se sila inercije doda silama i reakcijama superponiranih veza koje aktivno djeluju na točke mehaničkog sustava, dobiva se uravnotežen sustav.

Ovo je načelo nazvano u čast francuskog znanstvenika J. d'Alemberta, koji je prvi predložio njegovu formulaciju u svom djelu "Dinamika".

Definicija d'Alembertova principa

Napomena 1

D'Alembertov princip je sljedeći: ako se na aktivnu silu koja djeluje na tijelo primijeni dodatna sila tromosti, tijelo će biti u ravnoteži. U tom slučaju, ukupna vrijednost svih sila koje djeluju u sustavu, dopunjena vektorom inercije, dobit će nultu vrijednost.

Prema ovom principu, za svaku i-tu točku sustava vrijedi jednakost:

$F_i+N_i+J_i=0$, gdje je:

• $F_i$ - sila koja aktivno djeluje na ovu točku,
• $N_i$ - reakcija veze nametnute na točku;
• $J_i$ - sila tromosti definirana formulom $J_i=-m_ia_i$ (usmjerena je suprotno od ove akceleracije).

Zapravo, zasebno za svaku razmatranu materijalnu točku $ma$ se prenosi s desna na lijevo (drugi Newtonov zakon):

$F=ma$, $F-ma=0$.

$ma$ naziva se d'Alembertova inercijska sila.

Takav koncept kao što je sila inercije uveo je Newton. Prema razmišljanju znanstvenika, ako se točka pomiče pod utjecajem sile $F=ma$, tijelo (ili sustav) postaje izvor te sile. U tom slučaju, prema zakonu jednakosti djelovanja i reakcije, ubrzana točka će djelovati na tijelo koje se ubrzava silom $F=-ma$. Newton je takvoj sili dao naziv točkasti inercijski sustav.

Sile $F$ i $F$ bit će jednake i suprotne, ali primijenjene na različita tijela, što isključuje njihovo zbrajanje. Sila tromosti ne djeluje izravno na točku, jer za nju predstavlja fiktivnu silu. U tom bi slučaju točka mirovala ako bi na točku osim sile $F$ djelovala i sila $F$.

Napomena 2

D'Alembertov princip omogućuje primjenu jednostavnijih metoda statike u rješavanju problema dinamike, što objašnjava njegovu široku upotrebu u inženjerskoj praksi. Na ovom se principu temelji kinetostatička metoda. Posebno je pogodan za korištenje za utvrđivanje reakcija ograničenja u situaciji kada je zakon tekućeg kretanja poznat ili se dobiva rješavanjem odgovarajućih jednadžbi.

Varijacija d'Alembertovog principa je Hermann-Eulerov princip, koji je zapravo predstavljao oblik ovog principa, ali je otkriven prije objave znanstvenikova rada 1743. godine. Istodobno, Eulerovo načelo njegov autor nije smatrao (za razliku od d'Alembertova načela) temeljem opće metode za rješavanje problema gibanja mehaničkih sustava s ograničenjima. D'Alembertov princip smatra se svrsishodnijim u primjeni ako je potrebno odrediti nepoznate sile (za rješavanje prvog problema dinamike).

d'Alembertov princip za materijalnu točku

Raznolikost tipova problema koji se rješavaju u mehanici zahtijeva razvoj učinkovitih metoda za sastavljanje jednadžbi gibanja mehaničkih sustava. Jedna od takvih metoda, koja omogućuje opisivanje gibanja proizvoljnih sustava pomoću jednadžbi, u teorijskoj mehanici smatra se d'Alembertovim principom.

Na temelju drugog zakona dinamike za neslobodnu materijalnu točku pišemo formulu:

$m\bar(a)=\bar(F)+\bar(R)$,

gdje $R$ predstavlja reakciju veze.

Uzimanje vrijednosti:

$\bar(F)=-m\bar(a)$, gdje je $F$ sila inercije, dobivamo:

$\bar(F)+\bar(R)+\bar(F)=0$

Ova formula je izraz d'Alembertova principa za materijalnu točku, prema kojem, za točku koja se kreće u bilo kojem trenutku, geometrijski zbroj aktivnih sila koje djeluju na nju i sile tromosti postaje nula. Ovaj princip omogućuje pisanje jednadžbi statike za pokretnu točku.

d'Alembertov princip za mehanički sustav

Za mehanički sustav koji se sastoji od $n$-točaka, mogu se napisati $n$-jednadžbe oblika:

$\bar(F_i)+ \bar(R_i)+\bar(F_i)=0$

Kada se zbroje sve ove jednadžbe i uvede sljedeći zapis:

koji su glavni vektori vanjskih sila, reakcija veza odnosno sila tromosti, dobivamo:

$\sum(F_i)+\sum(R_i)+\sum(F_i)=0$, tj.

$FE + R + F = 0$

Uvjet za ravnotežno stanje čvrstog tijela je nulta vrijednost glavnog vektora i momenta djelujućih sila. Uzimajući u obzir ovu situaciju i Varignonov teorem o momentu rezultante, kao rezultat, zapisujemo sljedeću relaciju:

$\sum(riF_i)+\sum(riR_i)+\sum(riF_i) = 0$

prihvaćamo sljedeće oznake:

$\sum(riF_i)=MOF$

$\sum(riR_i)=MOR$

$\sum(riF_i)=MOF$

glavni momenti vanjskih sila, reakcije veza odnosno sile tromosti.

Kao rezultat toga dobivamo:

$\bar(F^E)+\bar(R)+\bar(F)=0$

$\bar(M_0^F)+\bar(M_0^R)+\bar(M_0^F)=0$

Ove dvije formule izraz su d'Alembertova principa za mehanički sustav. U bilo kojem trenutku vremena za pokretni mehanički sustav, geometrijski zbroj glavnog vektora reakcija ograničenja, vanjskih sila i sila tromosti dobiva nultu vrijednost. Također će nula biti geometrijski zbroj glavnih momenata od sila inercije, vanjskih sila i reakcija ograničenja.

Dobivene formule su diferencijalne jednadžbe drugog reda zbog prisutnosti u svakoj od njih ubrzanja u silama inercije (druga derivacija zakona gibanja točke).

D'Alembertov princip omogućuje rješavanje problema dinamike pomoću metoda statike. Za mehanički sustav jednadžbe gibanja mogu se napisati u obliku jednadžbi ravnoteže. Iz takvih jednadžbi mogu se odrediti nepoznate sile, posebice reakcije stezanja (prvi problem dinamike).

Pogled: ovaj članak je pročitan 44027 puta

Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratki osvrt

Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika

Opća načela dinamike

Hermannovo - Eulerovo - d'Alembertovo načelo

sila inercije

D'Alembertov princip (načelo kinetostatike) jedno je od općih načela mehanike, uz pomoć kojeg se jednadžbama dinamike daje oblik jednadžbi statike u obliku. Princip je predložio Hermann 1716., a generalizirao Euler 1737.

Materijalna točka M giba se ubrzano pod djelovanjem primijenjenih sila. Treći zakon dinamike odražava dvostranost mehaničkih procesa u prirodi. Kada dva tijela međusobno djeluju, sile koje djeluju na svako od njih su jednake po apsolutnoj vrijednosti i suprotno usmjerene. Budući da te sile djeluju na različita tijela, one nisu u ravnoteži. Na primjer, u međudjelovanju nekog tijela ALI i bodova M, koji ima masu m, točka se ubrzava. Tijelo ALI djeluje na točku M sa silom F=-ma. Prema zakonu akcije i reakcije, materijalna točka M djeluje na tijelo ALI sa silom F=-F=-ma, koja se naziva sila tromosti.

Inercijska sila ili d'Alembertova sila- vektorska veličina koja ima dimenziju sile, modulo jednaku umnošku mase točke i njezine akceleracije, a usmjerena je suprotno od te akceleracije.

d'Alembertov princip za materijalnu točku

Ako se u bilo kojem trenutku sila tromosti doda silama koje stvarno djeluju na materijalnu točku, tada će rezultirajući sustav sila biti uravnotežen.

To znači da je za rješavanje problema dinamike prema principu Hermanna - Eulera - d'Alemberta, osim sila koje djeluju na točku, potrebno na tu točku uvjetno djelovati i sila tromosti. primjena inercijske sile na točku je uvjetna tehnika koja reducira problem dinamike samo u obliku rješenja problema statike.

d'Alembertov princip za sustav materijalnih točaka

Ako u bilo kojem trenutku vremena na svaku od točaka sustava, osim vanjskih i unutarnjih sila koje na nju stvarno djeluju, djeluju i odgovarajuće sile tromosti, tada će rezultirajući sustav sila biti u ravnoteži i sve jednadžbe na njega se može primijeniti statika.

d'Alembertov princip za neslobodni mehanički sustav

U bilo kojem trenutku, za svaku točku neslobodnog mehaničkog sustava, uz sile koje stvarno djeluju na nju, dodajte odgovarajuće sile tromosti, tada će rezultirajući sustav sila biti uravnotežen i sve jednadžbe statike mogu se primijeniti na to.

Odnosno, u bilo kojem trenutku vremena za svaku točku neslobodnog mehaničkog sustava geometrijski zbroj glavnih vektora zadanih sila, reakcija oslonaca i sila tromosti materijalnih točaka sustava jednak je nuli.

U bilo kojem trenutku vremena za bilo koju točku neslobodnog mehaničkog sustava, geometrijski zbroj glavnih momenata zadanih sila, reakcija oslonaca i sila tromosti materijalnih točaka sustava u odnosu na bilo koje fiksno središte jednaka je nuli.

Generalizirani oblik jednadžbi ravnoteže prema d'Alembertovom principu

Privođenje sila tromosti točaka krutog tijela na najjednostavniji oblik.

Slučajevi svođenja sustava sila tromosti krutog tijela na najjednostavniji oblik.

translatorno kretanje

Tijekom translatornog gibanja inercijske sile krutog tijela svode se na jednu rezultantu, koja prolazi kroz središte mase tijela, a po apsolutnoj vrijednosti jednaka je umnošku mase tijela i modula ubrzanja njegova središta mase i usmjerena suprotno od ove akceleracije.

Nema rotacije oko središta mase, pa je moment tromosti jednak nuli.

Rotacijsko kretanje tijela oko osi koja prolazi kroz središte mase tijela.

Ako tijelo rotira oko nepomične osi koja prolazi kroz središte mase tijela, tada se sile tromosti svode na jedan par sila koji leži u ravnini okomitoj na os rotacije.

Budući da se centar mase ne pomiče, glavni vektor inercijalnih sila je nula.

Kretanje aviona

Kod ravnog gibanja tijela sustav inercijskih sila svodi se na silu koja djeluje u središtu mase tijela i par sila. Smjer momenta tromosti suprotan je kutnoj akceleraciji tijela.

Princip mogućih kretanja

Načelo mogućih pomaka u općem obliku određuje uvjete ravnoteže bilo kojeg mehaničkog sustava, odnosno omogućuje rješavanje problema statike, kao problema dinamike.

Kretanje točaka neslobodnog mehaničkog sustava ograničeno je postojećim vezama. Položaj točaka sustava određuje se postavljanjem neovisnih koordinata.

Nezavisne veličine, čije dodjeljivanje može jedinstveno odrediti položaj svih točaka mehaničkog sustava, nazivaju se generalizirane koordinate ovaj sustav. U pravilu je broj generaliziranih koordinata mehaničkog sustava jednak broju stupnjeva slobode tog sustava. Na primjer, položaj svih točaka koljenastog mehanizma određuje se postavljanjem kuta rotacije koljenastog mehanizma.

Mogući ili virtualni pokreti

Moguća ili virtualna premještanja sustava su imaginarni infinitezimalni pomaci točaka sustava, dopušteni u ovom trenutku ograničenjima nametnutim sustavu.

Krivolinijski pomaci točaka zamijenjeni su ravnim segmentima položenim tangencijalno na putanje točaka.

Broj nezavisnih mogućih kretanja sustava naziva se broj stupnjeva slobode ovaj sustav.

Moguć ili virtualni rad

Moguć (ili virtualni) posao je elementarni rad koji sila koja djeluje na materijalnu točku može izvršiti pri pomaku koji se podudara s mogućim pomakom te točke.

Princip mogućih gibanja mehaničkog sustava

Za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbroj svih aktivnih sila za svaki mogući pomak sustava bude jednak nuli.

Jednadžba mogućih radova je matematički izraz potrebnih i dovoljnih uvjeta za ravnotežu bilo kojeg mehaničkog sustava.

Jednadžba opće dinamike

Opća jednadžba dinamike (d'Alembertov - Lagrangeov princip)

Načelo mogućih pomaka, koje daje opću metodu za rješavanje problema statike, može se primijeniti i na rješavanje problema dinamike. Na temelju načela Hermann-Euler-D'Alemberta za neslobodan mehanički sustav u bilo kojem trenutku, geometrijski zbroj rezultantnih danih sila, rezultanta reakcija ograničenja i inercijske sile za svaku točku Mn mehaničke sustav jednak nuli.

Ako sustav dobije mogući pomak, u kojem svaka točka ima mogući pomak, tada zbroj rada tih sila na pomak mora biti jednak nuli.

Opća jednadžba dinamike za sustav s idealnim ograničenjima

Pretpostavimo da su sve veze u razmatranom mehaničkom sustavu dvostrane i idealne (sile trenja, ako ih ima, odnose se na broj zadanih sila). Tada je zbroj radova reakcija veza na moguće pomake sustava jednak nuli.

Kada se mehanički sustav giba s idealnim ograničenjima u bilo kojem trenutku, zbroj elementarnih robota svih aktivnih (zadanih) sila i svih inercijskih sila pri svakom mogućem pomaku sustava jednak je nuli.

Opće jednadžbe dinamike omogućuju sastavljanje diferencijalnih jednadžbi gibanja bilo kojeg mehaničkog sustava. Ako se mehanički sustav sastoji od zasebnih krutih tijela, tada se sile tromosti točaka svakog tijela mogu svesti na silu koja djeluje na neku točku tijela i par sila. Sila je jednaka glavnom vektoru sila tromosti točaka ovog tijela, a moment para jednak je glavnom momentu tih sila u odnosu na središte redukcije. Da bismo koristili princip mogućih pomaka, na svako tijelo primjenjuju se zadane sile koje na njega djeluju, a također se uvjetno primjenjuju sila i par, sastavljen od sila tromosti točaka tijela. Tada se sustavu priopćava moguće kretanje, te se za cijeli skup zadanih sila i reduciranih inercijskih sila formira opća jednadžba dinamike

Format: pdf

Veličina: 600KW

Jezik: ruski, ukrajinski

Primjer proračuna čeonog zupčanika
Primjer proračuna čeonog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savojne čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su ucrtani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen opasni presjek i odabrana I-nosača. U problemu se analizira konstrukcija dijagrama pomoću diferencijalnih ovisnosti, provodi se komparativna analiza različitih presjeka grede.

Primjer rješavanja problema torzije vratila
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine za zadani promjer, materijal i dopuštena naprezanja. Tijekom rješavanja izrađuju se dijagrami momenta, posmičnih naprezanja i kutova uvijanja. Vlastita težina osovine nije uzeta u obzir

Primjer rješavanja zadatka napetost-stlačenje štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tijekom rješavanja grade se krivulje uzdužnih sila, normalnih naprezanja i pomaka. Vlastita težina šipke se ne uzima u obzir

Primjena teorema o održanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema primjene teorema o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sustava

D'Alembertov princip omogućuje da se problemi dinamike mehaničkih sustava formuliraju kao problemi statike. U tom slučaju dinamičke diferencijalne jednadžbe gibanja dobivaju oblik jednadžbi ravnoteže. Takva se metoda naziva kinetostatička metoda .

d'Alembertov princip za materijalnu točku: « U svakom trenutku gibanja materijalne točke, aktivne sile koje stvarno djeluju na nju, reakcije veza i sila tromosti uvjetno primijenjena na točku čine uravnoteženi sustav sila»

točka inercije sila vektorska veličina koja ima dimenziju sile jednaku apsolutnoj vrijednosti umnošku mase točke i njezine akceleracije, a usmjerena je suprotno od vektora akceleracije.

. (3.38)

Razmatrajući mehanički sustav kao skup materijalnih točaka, od kojih na svaku, prema d'Alembertovom principu, djeluju uravnoteženi sustavi sila, imamo posljedice iz ovog principa u odnosu na sustav. Glavni vektor i glavni moment u odnosu na bilo koje središte vanjskih sila koje djeluju na sustav i sile tromosti svih njegovih točaka jednaki su nuli:

(3.39)

Ovdje su vanjske sile aktivne sile i reakcije veza.

Glavni vektor inercijskih sila mehaničkog sustava jednaka je umnošku mase sustava i ubrzanja njegova središta mase i usmjerena je u smjeru suprotnom od tog ubrzanja

. (3.40)

Glavni moment sila tromosti sustav u odnosu na proizvoljno središte O jednak vremenskoj derivaciji njegove kutne količine gibanja u odnosu na isto središte

. (3.41)

Za kruto tijelo koje rotira oko nepomične osi Oz, nalazimo glavni moment sila tromosti oko ove osi

. (3.42)

3.8. Elementi analitičke mehanike

U dijelu "Analitička mehanika" razmatraju se opći principi i analitičke metode za rješavanje problema u mehanici materijalnih sustava.

3.8.1. Moguća kretanja sustava. Klasifikacija

neki linkovi

Moguća pomicanja točaka
svi njihovi imaginarni, beskonačno mali pomaci, dopušteni ograničenjima nametnutim sustavu, u fiksnoj vremenskoj točki, nazivaju se mehaničkim sustavima. Po definiciji, broj stupnjeva slobode mehaničkog sustava je broj njegovih nezavisnih mogućih pomaka.

Veze nametnute sustavu nazivaju se idealan , ako je zbroj elementarnih radova njihovih reakcija na bilo koji od mogućih pomaka točaka sustava jednak nuli

. (3. 43)

Pozivaju se veze za koje su nametnuta ograničenja sačuvana na bilo kojoj poziciji sustava zadržavajući se . Relacije koje se ne mijenjaju u vremenu, čije jednadžbe izričito ne uključuju vrijeme, nazivaju se stacionarni . Veze koje ograničavaju samo pomake točaka sustava nazivaju se geometrijski , a granične brzine su kinematička . Ubuduće ćemo razmatrati samo geometrijske odnose i one kinematičke koji se integracijom mogu svesti na geometrijske.

3.8.2. Princip mogućih kretanja

Za ravnotežu mehaničkog sustava s ograničenim idealnim i stacionarnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da

zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila koje djeluju na njega, na sve moguće pomake sustava, bio je jednak nuli

. (3.44)

U projekcijama na koordinatnim osima:

. (3.45)

Načelo mogućih pomaka omogućuje nam da u općem obliku uspostavimo uvjete za ravnotežu bilo kojeg mehaničkog sustava, bez razmatranja ravnoteže njegovih pojedinačnih dijelova. U ovom slučaju uzimaju se u obzir samo aktivne sile koje djeluju na sustav. Nepoznate reakcije idealnih veza nisu uključene u ove uvjete. Istodobno, ovaj princip omogućuje određivanje nepoznatih reakcija idealnih veza odbacivanjem tih veza i uvođenjem njihovih reakcija u broj aktivnih sila. Kada se odbace veze čije reakcije treba odrediti, sustav dodatno dobiva odgovarajući broj stupnjeva slobode.

Primjer 1 . Pronađite odnos između sila i dizalica, ako se zna da svakim okretanjem ručice AB = l, vijak IZ proteže se do mjere h(Slika 3.3).

Riješenje

Moguća kretanja mehanizma su rotacija ručke  i kretanje tereta  h. Uvjet jednakosti nuli elementarnog rada sila:

pl– Ph = 0;

Zatim
. Od h 0, dakle

3.8.3. Opća varijacijska jednadžba dinamike

Razmotrimo gibanje sustava koji se sastoji od n bodova. Na njega djeluju aktivne sile i reakcije veza .(k = 1,…,n) Ako djelujućim silama dodamo sile tromosti točaka
, tada će, prema d'Alembertovom načelu, rezultirajući sustav sila biti u ravnoteži i stoga vrijedi izraz napisan na temelju načela mogućih pomaka (3.44):

. (3.46)

Ako su sve veze idealne, tada je 2. zbroj jednak nuli i u projekcijama na koordinatne osi jednakost (3.46) će izgledati ovako:

Posljednja jednakost je opća varijacijska jednadžba dinamike u projekcijama na koordinatne osi, koja omogućuje sastavljanje diferencijalnih jednadžbi gibanja mehaničkog sustava.

Opća varijacijska jednadžba dinamike je matematički izraz d'Alembert-Lagrangeov princip: « Kada je sustav u gibanju, podložan stacionarnim, idealnim, ograničavajućim ograničenjima, u bilo kojem trenutku vremena, zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila primijenjenih na sustav i sila tromosti na bilo koji mogući pomak sustava je jednaka nuli».

Primjer 2 . Za mehanički sustav (slika 3.4), koji se sastoji od tri tijela, odredite ubrzanje tereta 1 i napetost kabela 1-2 ako: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; radijus vrtnje bloka 2 ja = 1,5r 2. Valjak 3 je kontinuirani homogeni disk.

Riješenje

Oslikajmo sile koje vrše elementarni rad na mogući pomak  s opterećenje 1:

Moguće pomake svih tijela zapisujemo kroz mogući pomake tereta 1:

Linearnu i kutnu akceleraciju svih tijela izražavamo preko željene akceleracije tereta 1 (omjeri su isti kao i kod mogućih pomaka):

.

Opća varijacijska jednadžba za ovaj problem ima oblik:

Zamjenom prethodno dobivenih izraza za aktivne sile, sile inercije i moguće pomake, nakon jednostavnih transformacija dobivamo

Od  s 0, stoga je izraz u zagradama koji sadrži akceleraciju jednak nuli a 1 , gdje a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Da bismo odredili napetost kabela koji drži teret, otpuštamo teret s kabela, zamjenjujući njegovo djelovanje željenom reakcijom . Pod utjecajem zadanih sila ,i sila inercije koja djeluje na teret
on je u ravnoteži. Stoga je d’Alembertov princip primjenjiv na razmatrano opterećenje (točku), tj. to pišemo
. Odavde
.

3.8.4. Lagrangeova jednadžba 2. vrste

Generalizirane koordinate i generalizirane brzine. Nazivaju se svi međusobno neovisni parametri koji jednoznačno određuju položaj mehaničkog sustava u prostoru generalizirane koordinate . Ove koordinate, označene q 1 ,....q i , može imati bilo koju dimenziju. Konkretno, generalizirane koordinate mogu biti pomaci ili kutovi rotacije.

Za sustave koji se razmatraju, broj generaliziranih koordinata jednak je broju stupnjeva slobode. Položaj svake točke sustava je funkcija generaliziranih koordinata s jednom vrijednošću

Dakle, gibanje sustava u generaliziranim koordinatama određeno je sljedećim ovisnostima:

Prve derivacije generaliziranih koordinata nazivaju se generalizirane brzine :
.

Generalizirane sile. Izraz za elementarni rad sile o mogućem potezu
izgleda kao:

.

Za elementarni rad sustava sila pišemo

Koristeći dobivene ovisnosti, ovaj izraz se može napisati kao:

,

gdje je generalizirana sila koja odgovara ja-ta generalizirana koordinata,

. (3.49)

Na ovaj način, generalizirana sila odgovarajući ja-ta generalizirana koordinata, je koeficijent varijacije ove koordinate u izrazu zbroja elementarnih radova djelatnih sila na mogući pomak sustava. . Da bi se izračunala generalizirana sila, potrebno je obavijestiti sustav o mogućem pomaku, pri čemu se mijenja samo generalizirana koordinata q ja. Koeficijent pri
i bit će željena generalizirana sila.

Jednadžbe gibanja sustava u generaliziranim koordinatama. Neka je zadan mehanički sustav sa s stupnjevi slobode. Poznavajući sile koje na njega djeluju, potrebno je sastaviti diferencijalne jednadžbe gibanja u generaliziranim koordinatama
. Primjenjujemo postupak sastavljanja diferencijalnih jednadžbi gibanja sustava - Lagrangeovih jednadžbi 2. vrste - analogno izvodenju tih jednadžbi za slobodnu materijalnu točku. Na temelju 2. Newtonovog zakona pišemo

Analog ovih jednadžbi dobivamo koristeći oznaku za kinetičku energiju materijalne točke,

Parcijalni izvod kinetičke energije s obzirom na projekciju brzine na os
jednaka je projekciji količine gibanja na ovu os, tj.

Da bismo dobili potrebne jednadžbe, izračunavamo derivacije u odnosu na vrijeme:

Rezultirajući sustav jednadžbi je Lagrangeova jednadžba 2. vrste za materijalnu točku.

Za mehanički sustav Lagrangeove jednadžbe 2. vrste prikazujemo u obliku jednadžbi u kojima umjesto projekcija aktivnih sila P x , P g , P z koristiti generalizirane sile Q 1 , Q 2 ,...,Q i i uzeti u obzir u općem slučaju ovisnost kinetičke energije o generaliziranim koordinatama.

Lagrangeove jednadžbe 2. vrste za mehanički sustav imaju oblik:

. (3.50)

Mogu se koristiti za proučavanje gibanja bilo kojeg mehaničkog sustava s geometrijskim, idealnim i ograničavajućim ograničenjima.

Primjer 3 . Za mehanički sustav (sl. 3.5), čiji su podaci dati u prethodnom primjeru, sastavite diferencijalnu jednadžbu gibanja pomoću Lagrangeove jednadžbe 2. vrste,

Riješenje

Mehanički sustav ima jedan stupanj slobode. Za generaliziranu koordinatu uzimamo linearno kretanje tereta q 1 = s; generalizirana brzina - . Imajući to na umu, pišemo Lagrangeovu jednadžbu 2. vrste

.

Sastavimo izraz za kinetičku energiju sustava

.

Sve kutne i linearne brzine izražavamo u terminima generalizirane brzine:

Sada dobivamo

Izračunajmo generaliziranu silu tako da sastavimo izraz za elementarni rad na mogućem pomaku  s sve aktivne sile. Bez sila trenja, rad u sustavu vrši samo sila težine tereta 1
Zapisujemo generaliziranu silu na  s, kao koeficijent u osnovnom radu Q 1 = 5mg. Dalje nalazimo

Konačno, diferencijalna jednadžba gibanja sustava imat će oblik: