Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe 1. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike od 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe obično se rješavaju formulama. Dopustite mi da vas podsjetim da se sljedeće trigonometrijske jednadžbe nazivaju najjednostavnijim:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je kut koji treba pronaći,
a je bilo koji broj.

A evo i formula s kojima možete odmah zapisati rješenja ovih najjednostavnijih jednadžbi.

Za sinuse:

Za kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Za tangentu:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Za kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Zapravo, ovo je teorijski dio rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. I, cijeli!) Baš ništa. Međutim, broj pogrešaka na ovu temu samo se vrti. Pogotovo, s malim odstupanjem primjera od predloška. Zašto?

Da, jer puno ljudi piše ova pisma, a da uopće ne razumije njihovo značenje! Sa strepnjom zapisuje, bez obzira kako se nešto dogodi ...) S tim se treba pozabaviti. Trigonometrija za ljude, ili ipak ljudi za trigonometriju!?)

Idemo to shvatiti?

Jedan kut će biti jednak arccos a, drugi: -arccos a.

I tako će uvijek raditi. Za bilo koje a.

Ako mi ne vjerujete, prijeđite mišem preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj a na neke negativne. U svakom slučaju, imamo jedan kut arccos a, drugi: -arccos a.

Stoga se odgovor uvijek može napisati kao dva niza korijena:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ove dvije serije spajamo u jednu:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

I sve stvari. Dobili smo opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.

Ako shvaćate da to nije neka super-znanstvena mudrost, ali samo skraćeni zapis dva niza odgovora, ti i zadaci "C" će biti na ramenu. S nejednakostima, s odabirom korijena iz zadanog intervala ... Tu odgovor s plus / minus ne valja. A ako odgovor tretirate poslovno i podijelite ga na dva odvojena odgovora, sve je odlučeno.) Zapravo, za ovo razumijemo. Što, kako i gdje.

U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi

sinx = a

također dobiti dva niza korijena. Je uvijek. A mogu se i ove dvije serije snimiti jedna linija. Samo će ova linija biti pametnija:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno konstruirali formulu kako bi napravili jedan umjesto dva zapisa nizova korijena. I to je to!

Provjerimo matematičare? I to nije dovoljno...)

U prethodnoj lekciji detaljno je analizirano rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:

Pokazalo se da su odgovor dva niza korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ako riješimo istu jednadžbu pomoću formule, dobit ćemo odgovor:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Zapravo, ovo je polugotov odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π /6. Pun odgovor bi bio:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Ovdje se postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je točan odgovor!) i kroz usamljenog x (i ovo je točan odgovor!) - isto, ili ne? Saznajmo sada.)

Zamjena u odgovoru sa x 1 vrijednosti n =0; jedan; 2; itd., smatramo, dobivamo niz korijena:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 i tako dalje.

S istom zamjenom kao odgovor na x 2 , dobivamo:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 i tako dalje.

A sada zamjenjujemo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u opću formulu za usamljene x . Odnosno, dižemo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu i tako dalje. I, naravno, zamijenimo 0 u drugi član; jedan; 2 3; 4 itd. I mislimo. Dobivamo niz:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tako dalje.

To je sve što možete vidjeti.) Opća formula nam daje potpuno iste rezultatešto su dva odgovora zasebno. Sve odjednom, redom. Matematičari nisu prevarili.)

Također se mogu provjeriti formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s tangensom i kotangensom. Ali nemojmo.) Tako su nepretenciozni.

Namjerno sam slikao svu ovu zamjenu i provjeru. Ovdje je važno razumjeti jednu jednostavnu stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, samo sažetak odgovora. Za ovu kratkoću, morao sam umetnuti plus/minus u rješenje kosinusa i (-1) n u rješenje sinusa.

Ovi umeci ni na koji način ne smetaju u zadacima u kojima samo trebate napisati odgovor na elementarnu jednadžbu. Ali ako trebate riješiti nejednadžbu ili trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ itd., ovi umetci mogu lako uznemiriti osobu.

I što učiniti? Da, ili obojite odgovor u dvije serije ili riješite jednadžbu/nejednadžbu u trigonometrijskom krugu. Tada ti umeci nestaju i život postaje lakši.)

Možete sažeti.

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi postoje gotove formule odgovora. Četiri komada. Dobri su za trenutno pisanje rješenja jednadžbe. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:

sinx = 0,3

Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Lako: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Jedan ostao: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ako ti, sjajeći znanjem, odmah napišeš odgovor:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

onda već sijaš, ovo ... ono ... iz lokve.) Točan odgovor je: nema rješenja. Ne razumijem zašto? Pročitajte što je arkosinus. Osim toga, ako na desnoj strani izvorne jednadžbe postoje tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 itd. - odgovor će kroz lukove nedorečen. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.

A ako već naiđete na nejednakost, npr

onda je odgovor:

x πn, n ∈ Z

postoji rijetka besmislica, da ...) Ovdje je potrebno odlučiti o trigonometrijskom krugu. Što ćemo učiniti u odgovarajućoj temi.

Za one koji su herojski čitali do ovih redaka. Jednostavno ne mogu a da ne cijenim vaš golemi trud. ti bonus.)

Bonus:

Kada pišu formule u tjeskobnoj borbenoj situaciji, čak i okorjeli štreberi često se zbune gdje pn, I gdje 2πn. Evo jednostavnog trika za vas. U svi formule pn. Osim jedine formule s ark kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva pien. ključna riječ - dva. U istoj jedinstvenoj formuli su dva znak na početku. Plus i minus. Tu i tamo - dva.

Pa ako si napisao dva znak ispred ark kosinusa, lakše je zapamtiti što će se dogoditi na kraju dva pien. I obrnuto se događa. Preskoči znak čovjeka ± , doći do kraja, napisati ispravno dva pien, da, i uhvati ga. Ispred nečega dva znak! Osoba će se vratiti na početak, ali će ispraviti grešku! Kao ovo.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Jednom sam svjedočio razgovoru između dva kandidata:

– Kada treba dodati 2πn, a kada - πn? Ne mogu se sjetiti!

- I ja imam isti problem.

Htio sam im reći: "Nije potrebno učiti napamet, već razumjeti!"

Ovaj je članak prvenstveno namijenjen srednjoškolcima i nadam se da će im pomoći u "shvaćanju" rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

Brojevni krug

Uz pojam brojevnog pravca postoji i pojam brojevnog kruga. Kao što znamo, u pravokutnom koordinatnom sustavu kružnica sa središtem u točki (0; 0) i polumjerom 1 naziva se jedinična kružnica. Zamislite brojevnu liniju s tankom niti i namotajte je oko ovog kruga: referentnu točku (točka 0), pričvrstite je na "desnu" točku jedinične kružnice, omotajte pozitivnu poluos u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnu poluos u smjeru ( Sl. 1). Takav jedinični krug naziva se brojevni krug.

Svojstva brojevnog kruga

Svaki realni broj nalazi se u jednoj točki brojevnog kruga.
Na svakoj točki brojevnog kruga nalazi se beskonačno mnogo realnih brojeva. Budući da je duljina jedinične kružnice 2π, razlika između bilo koja dva broja u jednoj točki kružnice jednaka je jednom od brojeva ±2π; ±4π; ±6π; …

Zaključimo: znajući jedan od brojeva točke A, možemo pronaći sve brojeve točke A.

Nacrtajmo AC promjer (sl. 2). Kako je x_0 jedan od brojeva točke A, onda brojevi x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... i samo će oni biti brojevi točke C. Odaberimo jedan od ovih brojeva, recimo x_0+π, i njime zapišimo sve brojeve točke C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Imajte na umu da se brojevi u točkama A i C mogu kombinirati u jednu formulu: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (za k = 0; ±2; ±4; ... dobivamo brojeve točka A, a za k = ±1, ±3, ±5, … su brojevi točke C).

Zaključimo: znajući jedan od brojeva na jednoj od točaka A ili C promjera AC, možemo pronaći sve brojeve na tim točkama.

Dva suprotna broja nalaze se u točkama kružnice koje su simetrične u odnosu na apscisnu os.

Nacrtajmo okomitu tetivu AB (slika 2). Budući da su točke A i B simetrične u odnosu na os Ox, broj -x_0 nalazi se u točki B i stoga su svi brojevi točke B dani formulom: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Brojeve u točkama A i B zapisujemo jednom formulom: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Zaključimo: znajući jedan od brojeva u jednoj od točaka A ili B okomite tetive AB, možemo pronaći sve brojeve u tim točkama. Promotrimo horizontalnu tetivu AD i pronađimo brojeve točke D (slika 2). Budući da je BD promjer, a broj -x_0 pripada točki B, tada je -x_0 + π jedan od brojeva točke D i stoga su svi brojevi te točke dani formulom x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Brojevi u točkama A i D mogu se napisati pomoću jedne formule: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (za k= 0; ±2; ±4; ... dobivamo brojeve točke A, a za k = ±1; ±3; ±5; ... - brojeve točke D).

Zaključimo: znajući jedan od brojeva u jednoj od točaka A ili D horizontalne tetive AD, možemo pronaći sve brojeve u tim točkama.

Šesnaest glavnih točaka kruga brojeva

U praksi se rješavanje većine najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi povezuje sa šesnaest točaka kružnice (slika 3). Što su ove točkice? Crvene, plave i zelene točke dijele krug na 12 jednakih dijelova. Budući da je duljina polukružnice π, duljina luka A1A2 je π/2, duljina luka A1B1 je π/6, a duljina luka A1C1 je π/3.

Sada možemo odrediti jedan broj na točkama:

π/3 na S1 i

Vrhovi narančastog kvadrata su središta lukova svake četvrtine, pa je duljina luka A1D1 jednaka π/4, pa je stoga π/4 jedan od brojeva točke D1. Koristeći svojstva brojevnog kruga, pomoću formula možemo zapisati sve brojeve na svim označenim točkama našeg kruga. Na slici su prikazane i koordinate tih točaka (izostavljamo opis njihova dobivanja).

Nakon što smo naučili gore navedeno, sada imamo dovoljno pripreme za rješavanje posebnih slučajeva (za devet vrijednosti broja a) najjednostavnije jednadžbe.

Riješite jednadžbe

1)sinx=1⁄(2).

– Što se od nas traži?

– Pronađite sve one brojeve x čiji je sinus 1/2.

Podsjetimo se definicije sinusa: sinx - ordinata točke brojčane kružnice, na kojoj se nalazi broj x. Na kružnici imamo dvije točke čija je ordinata jednaka 1/2. Ovo su krajevi horizontalne tetive B1B2. To znači da je zahtjev “riješi jednadžbu sinx=1⁄2” ekvivalentan zahtjevu “nađi sve brojeve u točki B1 i sve brojeve u točki B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Moramo pronaći sve brojeve u točkama C4 i C3.

3) sinx=1. Na kružnici imamo samo jednu točku s ordinatom 1 - točku A2 i stoga trebamo pronaći samo sve brojeve te točke.

Odgovor: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Samo točka A_4 ima ordinatu -1. Svi brojevi ove točke bit će konji jednadžbe.

Odgovor: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

Na kružnici imamo dvije točke s ordinatom 0 - točke A1 i A3. Brojeve možete odrediti na svakoj od točaka zasebno, ali s obzirom da su te točke dijametralno suprotne, bolje ih je spojiti u jednu formulu: x=πk ,k∈Z .

Odgovor: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Prisjetimo se definicije kosinusa: cosx - apscisa točke numeričke kružnice na kojoj se nalazi broj x. Na kružnici imamo dvije točke s apscisom √2⁄2 - krajeve horizontalne tetive D1D4. Moramo pronaći sve brojeve u ovim točkama. Zapisujemo ih spajanjem u jednu formulu.

Odgovor: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Moramo pronaći brojeve u točkama C_2 i C_3.

Odgovor: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Samo točke A2 i A4 imaju apscisu 0, što znači da će svi brojevi u svakoj od tih točaka biti rješenja jednadžbe.
.

Rješenja jednadžbe sustava su brojevi u točkama B_3 i B_4. Nejednadžba cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odgovor: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Imajte na umu da je za bilo koju dopuštenu vrijednost x, drugi faktor pozitivan i, prema tome, jednadžba je ekvivalentna sustavu

Rješenja jednadžbe sustava su broj točaka D_2 i D_3. Brojevi točke D_2 ne zadovoljavaju nejednakost sinx≤0.5, ali brojevi točke D_3 zadovoljavaju.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema !!!

Jednadžba koja sadrži nepoznanicu ispod predznaka trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tg x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednadžbe su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` kut koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Napišimo korijenske formule za svaki od njih.

1. Jednadžba `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

S `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednadžba `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

S `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednadžba `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednadžba `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici

Za sinuse:
Za kosinus:
Za tangens i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi

Rješenje svake trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

pomoću pretvaranja u najjednostavniji;
riješite dobivenu jednostavnu jednadžbu koristeći gornje formule za korijene i tablice.

Razmotrimo glavne metode rješenja koristeći primjere.

algebarska metoda.

U ovoj metodi vrši se zamjena varijable i njena supstitucija u jednakost.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

izvršite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x+cos x=1`.

Riješenje. Pomakni ulijevo sve članove jednakosti: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svođenje na homogenu jednadžbu

Prvo morate ovu trigonometrijsku jednadžbu dovesti u jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednadžba prvog stupnja) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednadžba drugog stupnja).

Zatim podijelite oba dijela s `cos x \ne 0` za prvi slučaj i s `cos^2 x \ne 0` za drugi. Dobivamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje se moraju riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Riješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja, dijeljenjem njezine lijeve i desne strane s `cos^2 x \ne 0` dobivamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Uvedimo zamjenu `tg x=t`, kao rezultat `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su "t_1=-2" i "t_2=1". Zatim:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \u Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Idi na poluugao

Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riješenje. Primjenom formule dvostrukog kuta rezultat je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom gore opisane algebarske metode dobivamo:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Uvođenje pomoćnog kuta

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x varijabla, oba dijela dijelimo sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbroj njihovih kvadrata jednak je 1 i njihov modul nije veći od 1. Označite ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, zatim:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Riješenje. Podijelimo li obje strane jednadžbe sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobivamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označite `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Budući da je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni kut. Zatim našu jednakost zapišemo u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbroj kutova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedećem obliku:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovor. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcijsko-racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti s razlomcima, u čijim su brojnicima i nazivnicima trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednadžbu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Riješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednadžbe s "(1+cos x)". Kao rezultat toga dobivamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da nazivnik ne može biti nula, dobivamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačite brojnik razlomka s nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Zatim `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovor. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \u Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Učenje počinje u 10. razredu, zadataka za ispit uvijek ima, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam dobro doći!

Međutim, ne morate ih čak ni pamtiti, glavna stvar je razumjeti suštinu i moći zaključiti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se i sami gledajući video.