Riješite sustav jednadžbi kalkulatorom matrične metode. Matrična metoda online

Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica naziva sustavom forme

gdje aij i b i (ja=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks ja označava broj jednadžbe, a drugi j je broj nepoznanice na kojoj stoji ovaj koeficijent.

Koeficijenti za nepoznanice bit će napisani u obliku matrice , koju ćemo nazvati matrica sustava.

Brojevi na desnim stranama jednadžbi b 1 ,…,b m nazvao besplatni članovi.

Agregat n brojevima c 1 ,…,c n nazvao odluka ovog sustava, ako svaka jednadžba sustava postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.

Naš će zadatak biti pronaći rješenja za sustav. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:

Sustav linearnih jednadžbi koji ima barem jedno rješenje naziva se spojnica. Inače, t.j. ako sustav nema rješenja, tada se poziva nekompatibilan.

Razmotrite načine pronalaženja rješenja za sustav.

MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI

Matrice omogućuju da se ukratko zapiše sustav linearnih jednadžbi. Neka je dan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:

Razmotrite matricu sustava i matrični stupci nepoznatih i slobodnih članova

Pronađimo proizvod

oni. kao rezultat umnoška dobivamo lijeve strane jednadžbi ovog sustava. Tada se, koristeći definiciju jednakosti matrica, ovaj sustav može napisati kao

ili kraće A∙X=B.

Ovdje matrice A i B su poznati, a matrica x nepoznato. Nju treba pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s matricom A-1, inverz matrice A: . Jer A -1 A = E i E∙X=X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi je jednak broju nepoznanica. Međutim, matrični zapis sustava moguć je i u slučaju kada broj jednadžbi nije jednak broju nepoznanica, tada matrica A nije kvadrat i stoga je nemoguće pronaći rješenje sustava u obliku X = A -1 B.

Primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi.

CRAMEROVO PRAVILO

Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sustava, tj. sastavljen od koeficijenata pri nepoznanicama,

nazvao sustavna odrednica.

Još tri determinante sastavljamo na sljedeći način: redom 1, 2 i 3 stupac u determinanti D zamijenimo stupcem slobodnih članova.

Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.

Teorem (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada razmatrani sustav ima jedno i samo jedno rješenje, a

Dokaz. Dakle, razmotrite sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožite 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednadžbe:

Razmotrite svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Po teoremu o proširenju determinante po elementima 1. stupca

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako vidjeti

Tako dobivamo jednakost: .

Posljedično,.

Jednakosti i izvode se slično, odakle slijedi tvrdnja teorema.

Dakle, napominjemo da ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sustava jednaka nuli, tada sustav ili ima beskonačan skup rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilan.

Primjeri. Riješite sustav jednadžbi

GAUSSOVA METODA

Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sustava u kojima se broj jednadžbi podudara s brojem nepoznanica, a determinanta sustava mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i prikladna je za sustave s bilo kojim brojem jednadžbi. Sastoji se od uzastopnog uklanjanja nepoznanica iz jednadžbi sustava.

Razmotrimo ponovno sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Prvu jednadžbu ostavljamo nepromijenjenu, a iz 2. i 3. izuzimamo članove koji sadrže x 1. Da bismo to učinili, drugu jednadžbu podijelimo s a 21 i pomnožite s - a 11, a zatim zbrojite s 1. jednadžbom. Slično, treću jednadžbu dijelimo na a 31 i pomnožite s - a 11, a zatim ga dodajte prvom. Kao rezultat, izvorni sustav će imati oblik:

Sada, iz posljednje jednadžbe, eliminiramo izraz koji sadrži x2. Da biste to učinili, treću jednadžbu podijelite s , pomnožite s i dodajte drugoj. Tada ćemo imati sustav jednadžbi:

Stoga je iz posljednje jednadžbe lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednadžbe x2 i konačno od 1. x 1.

Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.

Često se, umjesto da napišu novi sustav jednadžbi, ograniče na ispisivanje proširene matrice sustava:

a zatim ga elementarnim transformacijama dovesti do trokutastog ili dijagonalnog oblika.

Do elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:

permutacija redaka ili stupaca;
množenje niza brojem različitim od nule;
dodajući jednom retku druge retke.

Primjeri: Rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom.

Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja.

Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije koje se izvode s matricama. Matematička matrica – tablica elemenata. O stolu gdje m linije i n stupaca, oni kažu da ova matrica ima dimenziju m na n.

Opći pogled na matricu:

Za matrična rješenja morate razumjeti što je matrica i znati njene glavne parametre. Glavni elementi matrice:

Glavna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 11, a 22 ..... a mn.
Bočna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 1n ,a 2n-1 …..a m1.

Glavne vrste matrica:

Kvadrat - takva matrica, gdje je broj redaka = broj stupaca ( m=n).
Nula - gdje su svi elementi matrice = 0.
Transponirana matrica - Matrica NA, koji je dobiven iz originalne matrice A zamjenom redaka stupcima.
Jednostruki - svi elementi glavne dijagonale = 1, svi ostali = 0.
Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži s izvornom matricom, daje matricu identiteta.

Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sporednu dijagonalu. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, tada je matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične.

Metode rješavanja matrica.

Gotovo sve metode matričnog rješenja su pronaći njegovu odrednicu n reda i većina ih je prilično glomazna. Za pronalaženje determinante 2. i 3. reda postoje i drugi, racionalniji načini.

Pronalaženje determinanti 2. reda.

Za izračunavanje determinante matrice ALI 2. reda potrebno je od produkta elemenata glavne dijagonale oduzeti umnožak elemenata sporedne dijagonale:

Metode određivanja determinanti 3. reda.

Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda.

Pojednostavljeno pravilo trokuta kao jedno od metode matričnog rješenja, može se predstaviti na sljedeći način:

Drugim riječima, umnožak elemenata u prvoj determinanti koji su povezani linijama uzima se sa znakom "+"; također, za 2. odrednicu - odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi:

Na rješavanje matrica po Sarrusovom pravilu, desno od determinante dodaju se prva 2 stupca i umnošci odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su s njom paralelne uzimaju se znakom "+"; i umnoške odgovarajućih elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-":

Proširenje determinante u red ili stupac pri rješavanju matrica.

Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata retka determinante i njihovih algebarskih komplemenata. Obično se izabere red/stupac u kojem se nalaze nule. Redak ili stupac na kojem se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.

Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica.

Na rješavanje matrica svođenjem determinante na trokutasti oblik, rade ovako: najjednostavnijim transformacijama na recima ili stupcima determinanta postaje trokutasta i tada će njezina vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka umnošku elemenata koji stoje na glavnoj dijagonali.

Laplaceov teorem za rješavanje matrica.

Kod rješavanja matrica pomoću Laplaceovog teorema potrebno je neposredno poznavati sam teorem. Laplaceov teorem: Neka Δ je odrednica n-ti red. Biramo bilo koji k redaka (ili stupaca). k≤ n - 1. U ovom slučaju, zbroj umnožaka svih minora k redoslijed sadržan u odabranom k redova (stupaca), njihovi algebarski dodaci bit će jednaki determinanti.

Rješenje inverzne matrice.

Redoslijed radnji za rješenja inverzne matrice:

Utvrdite je li navedena matrica kvadratna. U slučaju negativnog odgovora postaje jasno da za njega ne može postojati inverzna matrica.
Računamo algebarska sabiranja.
Sastavljamo savezničku (međusobnu, pripojenu) matricu C.
Inverznu matricu sastavljamo od algebarskih sabiranja: svih elemenata adjungirane matrice C podijeliti s determinantom početne matrice. Rezultirajuća matrica bit će željena inverzna matrica u odnosu na zadanu.
Provjeravamo obavljeni posao: množimo matricu početne i rezultirajuće matrice, rezultat bi trebala biti matrica identiteta.

Rješenje matričnih sustava.

Za rješenja matričnih sustava najčešće se koristi Gaussova metoda.

Gaussova metoda je standardna metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) i sastoji se u tome da se varijable sukcesivno eliminiraju, tj. uz pomoć elementarnih promjena sustav jednadžbi se dovodi u ekvivalentni sustav jednadžbi. trokutasti oblik i iz njega redom, počevši od zadnjeg (po broju), pronaći svaki element sustava.

Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat za pronalaženje matričnih rješenja. Ako sustav ima beskonačan broj rješenja ili je sustav nekompatibilan, tada se ne može riješiti Cramerovim pravilom i matričnom metodom.

Gaussova metoda također podrazumijeva izravne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobivanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnute (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) poteze. Pomak prema naprijed je Gaussova metoda, obrnuti je Gauss-Jordanova metoda. Gauss-Jordanova metoda razlikuje se od Gaussove samo u redoslijedu eliminacije varijabli.

Jednadžbe općenito, linearne algebarske jednadžbe i njihovi sustavi, kao i metode za njihovo rješavanje, zauzimaju posebno mjesto u matematici, kako teorijskoj tako i primijenjenoj.

To je zbog činjenice da se velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih pa čak i pedagoških problema može opisati i riješiti korištenjem raznih jednadžbi i njihovih sustava. Nedavno je matematičko modeliranje steklo posebnu popularnost među istraživačima, znanstvenicima i praktičarima u gotovo svim predmetnim područjima, što se objašnjava njegovim očitim prednostima u odnosu na druge dobro poznate i dokazane metode za proučavanje objekata različite prirode, posebno tzv. sustava. Postoji velika raznolikost različitih definicija matematičkog modela koje su dali znanstvenici u različitim vremenima, ali po našem mišljenju najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model je ideja izražena jednadžbom. Dakle, sposobnost sastavljanja i rješavanja jednadžbi i njihovih sustava sastavna je karakteristika modernog stručnjaka.

Za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi najčešće se koriste metode: Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.

Metoda matričnog rješenja - metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi s determinantom različitom od nule pomoću inverzne matrice.

Ako ispišemo koeficijente za nepoznate vrijednosti xi u matricu A, sakupimo nepoznate vrijednosti u stupac X vektor, a slobodne članove u stupac B vektor, tada se sustav linearnih algebarskih jednadžbi može napisati u oblik sljedeće matrične jednadžbe A X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U tom slučaju rješenje sustava jednadžbi može se pronaći na sljedeći način x = A-jedan · B, gdje A-1 - inverzna matrica.

Metoda matričnog rješenja je sljedeća.

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s n nepoznato:

Može se prepisati u matričnom obliku: SJEKIRA = B, gdje A- glavna matrica sustava, B i x- stupci besplatnih članova odnosno rješenja sustava:

Pomnožite ovu matričnu jednadžbu s lijeve strane s A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (SJEKIRA) = A -1 B

Jer A -1 A = E, dobivamo x= A -1 B. Desna strana ove jednadžbe dat će stupac rješenja izvornog sustava. Uvjet za primjenjivost ove metode (kao i općenito postojanje rješenja nehomogenog sustava linearnih jednadžbi s brojem jednadžbi jednakim broju nepoznanica) je nedegeneriranost matrice A. Nužan i dovoljan uvjet za to je da determinanta matrice A: det A≠ 0.

Za homogeni sustav linearnih jednadžbi, odnosno kada vektor B = 0 , zapravo suprotno pravilo: sustav SJEKIRA = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako je det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sustava linearnih jednadžbi naziva se Fredholmova alternativa.

Primjer rješenja nehomogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljene od koeficijenata nepoznanica sustava linearnih algebarskih jednadžbi, nije jednaka nuli.

Sljedeći korak je izračunavanje algebarskih komplemenata za elemente matrice koja se sastoji od koeficijenata nepoznanica. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Jednadžbe čovjek koristi od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Matrična metoda omogućuje pronalaženje rješenja za SLAE (sustav linearnih algebarskih jednadžbi) bilo koje složenosti. Cijeli proces rješavanja SLAE svodi se na dva glavna koraka:

Određivanje inverzne matrice na temelju glavne matrice:

Množenje dobivene inverzne matrice s vektorom stupcem rješenja.

Pretpostavimo da nam je dan SLAE sljedećeg oblika:

\[\lijevo\(\begin(matrica) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrica)\desno.\]

Počnimo rješavati ovu jednadžbu ispisivanjem matrice sustava:

Matrica s desne strane:

Definirajmo inverznu matricu. Matricu 2. reda možete pronaći na sljedeći način: 1 - sama matrica mora biti nesingularna; 2 - izmjenjuju se njegovi elementi koji se nalaze na glavnoj dijagonali, a za elemente sporedne dijagonale vršimo promjenu predznaka u suprotno, nakon čega dobivene elemente dijelimo determinantom matrice. Dobivamo:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ početak(pmatrica) -11 \\ 31 \kraj(pmatrica) \]

2 matrice se smatraju jednakima ako su im odgovarajući elementi jednaki. Kao rezultat, imamo sljedeći odgovor SLAE rješenja:

Gdje mogu riješiti sustav jednadžbi pomoću matrične metode online?

Sustav jednadžbi možete riješiti na našoj web stranici. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj grupi Vkontakte.

Ovaj online kalkulator rješava sustav linearnih jednadžbi koristeći matričnu metodu. Dano je vrlo detaljno rješenje. Za rješavanje sustava linearnih jednadžbi odaberite broj varijabli. Odaberite metodu za izračunavanje inverzne matrice. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na gumb "Izračunaj".

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputa za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak mora biti upisan kao a/b, gdje su a i b cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Razmotrimo sljedeći sustav linearnih jednadžbi:

Uzimajući u obzir definiciju inverzne matrice, imamo A −1 A=E, gdje E je matrica identiteta. Stoga se (4) može napisati na sljedeći način:

Stoga je za rješavanje sustava linearnih jednadžbi (1) (ili (2)) dovoljno pomnožiti inverz s A matrica po vektoru ograničenja b.

Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Primjer 1. Riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi koristeći matričnu metodu:

Nađimo inverz matrice A Jordan-Gaussovom metodom. Na desnoj strani matrice A napišite matricu identiteta:

Isključimo elemente 1. stupca matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte retke 2, 3 s redom 1, pomnoženo s -1/3, odnosno -1/3:

Isključimo elemente 2. stupca matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, zbrojite redak 3 s redkom 2 pomnoženim s -24/51:

Isključimo elemente 2. stupca matrice iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 1 s redom 2, pomnoženo s -3/17:

Odvojite desnu stranu matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna od A :

Matrični oblik zapisa sustava linearnih jednadžbi: sjekira=b, gdje

Izračunajte sve algebarske komplemente matrice A:

Inverzna matrica se izračunava iz sljedećeg izraza.