Zbrajanje i množenje vjerojatnosti uvjetna vjerojatnost. Teorem zbrajanja za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja

Vjerojatnost događaja A je omjer broja m ishoda testa koji pogoduju početku događaja A prema ukupnom broju n svih jednako mogućih nekompatibilnih ishoda: P(A)=m/n.

Uvjetna vjerojatnost događaja A (ili vjerojatnost događaja A, pod uvjetom da se događaj B dogodio), je broj P B (A) \u003d P (AB) / P (B), gdje su A i B dva slučajna događaja istog testa .

Zbroj konačnog broja događaja naziva se događaj koji se sastoji u pojavi barem jednog od njih. Zbroj dvaju događaja označen je s A+B.

Pravila zbrajanja vjerojatnosti :

zajednički događaji A i B:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), gdje je P(A) vjerojatnost događaja A, P(B) je vjerojatnost događaja B, P(A+B ) je vjerojatnost pojave barem jednog od dva događaja, P(AB) je vjerojatnost zajedničke pojave dva događaja.
pravilo sabiranja nespojivi događaji A i B:
P(A+B) = P(A)+P(B), gdje je P(A) vjerojatnost događaja A, P(B) je vjerojatnost događaja B.

Umnožak konačnog broja događaja naziva se događaj koji se sastoji u činjenici da će se svaki od njih dogoditi. Umnožak dva događaja označen je AB.

Pravila množenja vjerojatnosti :

ovisni događaji A i B:
R(AV)= R(A)*R A (V)= R(V)*R V (A), gdje je R A (V) uvjetna vjerojatnost pojavljivanja događaja B, ako se događaj A već dogodio, R V (A ) je uvjetna vjerojatnost pojave događaja A, ako se događaj B već dogodio;
pravilo množenja vjerojatnosti nezavisni događaji A i B:
P(AB) = P(A)*P(B), gdje je P(A) vjerojatnost događaja A, P(B) je vjerojatnost događaja B.

Primjeri rješavanja zadataka na temu “Operacije nad događajima. Pravila za zbrajanje i množenje vjerojatnosti"

Zadatak 1 . U kutiji se nalazi 250 žarulja od kojih je 100 od 90W, 50 od 60W, 50 od 25W i 50 od 15W. Odredite vjerojatnost da snaga bilo koje nasumce uzete žarulje neće premašiti 60 vata.

Riješenje.

A \u003d (snaga žarulje je 90 W), vjerojatnost P (A) \u003d 100/250 \u003d 0,4;
B \u003d (snaga žarulje je 60W);
C \u003d (snaga žarulje je 25W);
D = (snaga žarulje je 15W).

2. Događaji A, B, C, D obrazac kompletan sustav , budući da su svi nespojivi i jedan od njih će se sigurno pojaviti u ovom eksperimentu (odabir žarulje). Vjerojatnost pojave jednog od njih je pouzdan događaj, tada je R(A)+R(V)+R(S)+R(D)=1.

3. Događaji (snaga žarulje ne veća od 60W) (tj. manja ili jednaka 60W) i (snaga žarulje veća od 60W) (u ovom slučaju - 90W) su suprotni. Po svojstvu suprotnih brojeva P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. S obzirom da je P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), dobivamo P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Zadatak 2 . Vjerojatnost da prvi strijelac pogodi metu jednim hicem je 0,7, a drugi strijelac 0,9. Nađite vjerojatnost da
a) metu će pogoditi samo jedan strijelac;
b) metu će pogoditi najmanje jedan strijelac.

Riješenje.
1. Razmotrite sljedeće događaje:
A1 = (prvi strijelac pogađa metu), R(A1)=0,7 iz uvjeta zadatka;
A1 = (prvi strijelac je promašio), dok je R(A1)+R(Ā1) = 1, jer su A1 i Ā1 suprotni događaji. Stoga R(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (drugi strijelac pogađa metu), R(A2)=0,9 iz uvjeta zadatka;
A2 = (drugi strijelac je promašio), dok je R(Ā2)=1-0,9=0,1.

2. Događaj A=(metu pogodio samo jedan strijelac) znači da se dogodio jedan od dva nekompatibilna događaja: A1A2 ili A1A2.
Prema pravilu zbrajanja vjerojatnosti R(A)= R(A1A2) + R(A1A2).

R(A1Ā2)= R(A1)*R(Ā2)= 0,7*0,1=0,07;
R(Ā1A2)= R(Ā1)*R(A2)=0,3*0,9=0,27.
Tada je R(A)= R(A1A2)+R(A±1A2)=0,07+0,27=0,34.

3. Događaj B=(metu pogodio najmanje jedan strijelac) znači da je ili prvi strijelac pogodio metu, ili drugi strijelac pogodio metu, ili su oba strijelca pogodila metu.

Događaj B̄=(ni jedan strijelac nije pogodio metu) je suprotan događaju B, što znači P(B)=1-P(B̄).
Događaj B̄ znači istodobnu pojavu neovisnih događaja Ā1 i Ā2, stoga je P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Tada je R(V)=1-R(B̄)=1-0,3=0,7.

Zadatak 3 . Ispitni rad sastoji se od tri pitanja. Vjerojatnost da će student odgovoriti na prvo pitanje je 0,7; na drugom - 0,9; na trećem - 0,6. Nađite vjerojatnost da će student, birajući kartu, odgovoriti:
a) sva pitanja
d) najmanje dva pitanja.

Riješenje. 1. Razmotrite sljedeće događaje:
A1 = (učenik je odgovorio na prvo pitanje), R(A1)=0,7 iz uvjeta zadatka;
A1 = (učenik nije odgovorio na prvo pitanje), dok je P(A1) + P(Ā1) = 1, jer su A1 i Ā1 suprotni događaji. Stoga R(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (učenik je odgovorio na drugo pitanje), R(A2)=0,9 iz uvjeta zadatka;
A2 = (učenik nije odgovorio na drugo pitanje), dok je R(Ā2)=1-0,9=0,1;
A3 = (učenik je odgovorio na treće pitanje), R(A3)=0,6 iz uvjeta zadatka;
A3 = (učenik nije odgovorio na treće pitanje), dok je R(Ā3)=1-0,6=0,4.

2. Događaj A = (učenik je odgovorio na sva pitanja) označava istodobnu pojavu neovisnih događaja A1, A2 i A3, tj. R(A)= R(A1A2A3).Prema pravilu množenja vjerojatnosti nezavisnih događaja: R(A1A2A3)= R(A1)*R(A2)*R(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Tada je P(A)=P(A1A2A3)=0,378.

3. Događaj D = (učenik je odgovorio na najmanje dva pitanja) znači da se daje odgovor na bilo koja dva pitanja ili na sva tri, tj. dogodio se jedan od četiri nekompatibilna događaja: ili A1A2Ā3, ili A1Ā2A3, ili A1A2A3, ili A1A2A3.
Prema pravilu zbrajanja vjerojatnosti nekompatibilnih događaja: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1Ā2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Prema pravilu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:
R(A1A2Ā3)= R(A1)*R(A2)*R(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
R(A1Ā2A3)= R(A1)*R(Ā2)*R(A3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P (A1A2A3) \u003d P (A1) * P (A2) * P (A3) \u003d 0,7 * 0,9 * 0,6 \u003d 0,378.
Tada je R(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Teorem zbrajanja

Razmotrite nekompatibilne slučajne događaje.

Poznato je da nekompatibilni slučajni događaji $A$ i $B$ u istom pokusu imaju vjerojatnosti $P\left(A\right)$ odnosno $P\left(B\right)$. Nađimo vjerojatnost zbroja $A+B$ tih događaja, tj. vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od njih.

Pretpostavimo da je u ovom testu broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n$. Od ovih događaja $A$ i $B$ favoriziraju $m_(A)$ odnosno $m_(B)$ elementarni događaji. Budući da su događaji $A$ i $B$ nekompatibilni, događaj $A+B$ favoriziraju $m_(A) +m_(B)$ elementarni događaji. Imamo $P\lijevo(A+B\desno)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\lijevo(A\desno)+P\lijevo(B\desno)$.

Teorem 1

Vjerojatnost zbroja dvaju nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti.

Napomena 1

Posljedica 1. Vjerojatnost zbroja bilo kojeg broja nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.

Posljedica 2. Zbroj vjerojatnosti potpune skupine nekompatibilnih događaja (zbroj vjerojatnosti svih elementarnih događaja) jednak je jedinici.

Posljedica 3. Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja jednak je jedan, budući da čine potpunu skupinu nekompatibilnih događaja.

Primjer 1

Vjerojatnost da neko vrijeme u gradu nikada neće padati kiša je $p=0,7$. Nađite vjerojatnost $q$ da će tijekom istog vremena u gradu barem jednom pasti kiša.

Suprotni su događaji "u gradu neko vrijeme nikad nije padala kiša" i "neko vrijeme u gradu barem jednom". Prema tome $p+q=1$, odakle $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Razmotrite zajedničke slučajne događaje.

Poznato je da zajednički slučajni događaji $A$ i $B$ u istom pokusu imaju vjerojatnosti $P\lijevo(A\desno)$ odnosno $P\lijevo(B\desno)$. Nađimo vjerojatnost zbroja $A+B$ tih događaja, tj. vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od njih.

Pretpostavimo da je u ovom testu broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n$. Od ovih događaja $A$ i $B$ favoriziraju $m_(A)$ odnosno $m_(B)$ elementarni događaji. Budući da su događaji $A$ i $B$ zajednički, tada od ukupnog broja $m_(A) +m_(B) $ elementarnih događaja, određeni broj $m_(AB) $ favorizira oba događaja $A$ i događaj $B$, odnosno njihovo zajedničko zbivanje (produkt događaja $A\cdot B$). Ova količina $m_(AB)$ ušla je i u $m_(A)$ i u $m_(B)$. Dakle, događaj $A+B$ favorizira $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ elementarni događaji. Imamo: $P\lijevo(A+B\desno)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\lijevo(A\desno)+P\lijevo(B\desno)-P\lijevo(A\ctočka B\ desno )$.

Teorem 2

Vjerojatnost zbroja dvaju zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja umanjenom za vjerojatnost njihovog umnoška.

Komentar. Ako su događaji $A$ i $B$ nekompatibilni, tada je njihov umnožak $A\cdot B$ nemoguć događaj čija je vjerojatnost $P\left(A\cdot B\right)=0$. Stoga je formula za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja poseban slučaj formule za zbrajanje vjerojatnosti zajedničkih događaja.

Primjer 2

Odredite vjerojatnost da će se pri istodobnom bacanju dvije kocke broj 5 pojaviti barem jednom.

Pri istovremenom bacanju dvije kocke, broj svih jednako mogućih elementarnih događaja je $n=36$, jer na svaku znamenku prve kocke može pasti šest znamenki druge kocke. Od toga se događaj $A$ - broj 5 bačen na prvoj kockici - pojavljuje 6 puta, događaj $B$ - broj 5 bačen na drugoj kockici - također se pojavljuje 6 puta. Od svih dvanaest puta, broj 5 pojavljuje se jednom na obje kockice. Dakle $P\lijevo(A+B\desno)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Teorem množenja vjerojatnosti

Razmotrite neovisne događaje.

Događaji $A$ i $B$ koji se javljaju u dva uzastopna pokušaja nazivaju se neovisnima ako vjerojatnost pojavljivanja događaja $B$ ne ovisi o tome je li se događaj $A$ dogodio ili nije.

Na primjer, pretpostavimo da se u urni nalaze 2 bijele i 2 crne kugle. Test je izvlačenje lopte. Događaj $A$ je "bijela kuglica izvučena u prvom pokušaju". Vjerojatnost $P\lijevo(A\desno)=\frac(1)(2) $. Nakon prvog testa, lopta je vraćena i obavljen je drugi test. Događaj $B$ -- ``bijela kuglica izvučena u drugom pokušaju''. Vjerojatnost $P\lijevo(B\desno)=\frac(1)(2) $. Vjerojatnost $P\lijevo(B\desno)$ ne ovisi o tome je li se događaj $A$ dogodio ili nije, stoga su događaji $A$ i $B$ neovisni.

Poznato je da neovisni slučajni događaji $A$ i $B$ dvaju uzastopnih pokušaja imaju vjerojatnosti $P\left(A\right)$ odnosno $P\left(B\right)$. Nađimo vjerojatnost umnoška $A\cdot B$ tih događaja, odnosno vjerojatnost njihove zajedničke pojave.

Pretpostavimo da je u prvom pokušaju broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n_(1) $. Od ovih, $A$ ima prednost $m_(1)$ elementarnih događaja. Pretpostavimo također da je u drugom testu broj svih jednako mogućih elementarnih događaja $n_(2) $. Od njih, događaj $B$ favoriziraju $m_(2)$ elementarni događaji. Sada razmotrite novi elementarni događaj, koji se sastoji od uzastopnog pojavljivanja događaja iz prvog i drugog pokušaja. Ukupan broj takvih jednako vjerojatnih elementarnih događaja jednak je $n_(1) \cdot n_(2) $. Budući da su događaji $A$ i $B$ neovisni, od ovog broja zajedničko pojavljivanje događaja $A$ i događaja $B$ (produkti događaja $A\cdot B$) favorizira $m_( 1) \cdot m_(2) $ događaji . Imamo: $P\lijevo(A\cdot B\desno)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\lijevo(A\desno)\cdot P\lijevo(B\desno)$.

Teorem 3

Vjerojatnost umnoška dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja.

Razmotrite ovisne događaje.

U dva uzastopna pokušaja događaju se događaji $A$ i $B$. Kaže se da je događaj $B$ ovisan o događaju $A$ ako vjerojatnost pojavljivanja događaja $B$ ovisi o tome je li se događaj $A$ dogodio ili nije. Tada se vjerojatnost događaja $B$, koja je izračunata pod uvjetom da se događaj $A$ dogodio, naziva uvjetna vjerojatnost događaja $B$ pod uvjetom $A$ i označava se s $P\left (B/A\desno)$.

Na primjer, pretpostavimo da se u urni nalaze 2 bijele i 2 crne kugle. Test je izvlačenje lopte. Događaj $A$ je "bijela kuglica izvučena u prvom pokušaju". Vjerojatnost $P\lijevo(A\desno)=\frac(1)(2) $. Nakon prvog testa, lopta se ne vraća i izvodi se drugi test. Događaj $B$ -- ``bijela kuglica izvučena u drugom pokušaju''. Ako je u prvom pokušaju izvučena bijela kuglica, tada je vjerojatnost $P\lijevo(B/A\desno)=\frac(1)(3) $. Ako je u prvom pokušaju izvučena crna kuglica, tada je vjerojatnost $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Dakle, vjerojatnost događaja $B$ ovisi o tome je li se događaj $A$ dogodio ili nije, dakle, događaj $B$ ovisi o događaju $A$.

Pretpostavimo da se događaji $A$ i $B$ pojavljuju u dva uzastopna pokušaja. Poznato je da događaj $A$ ima vjerojatnost pojavljivanja $P\left(A\right)$. Također je poznato da je događaj $B$ ovisan o događaju $A$ i da je njegova uvjetna vjerojatnost pod uvjetom $A$ jednaka $P\left(B/A\right)$.

Teorem 4

Vjerojatnost umnoška događaja $A$ i o njemu ovisnog događaja $B$, odnosno vjerojatnost njihove zajedničke pojave, može se pronaći po formuli $P\left(A\cdot B\right)= P\lijevo(A\desno)\cdot P\lijevo(B/A\desno)$.

Simetrična formula $P\lijevo(A\cdot B\desno)=P\lijevo(B\desno)\cdot P\lijevo(A/B\desno)$ također je važeća, gdje se pretpostavlja da je događaj $A$ biti ovisan o događaju $ B$.

Za uvjete posljednjeg primjera nalazimo vjerojatnost da će bijela kuglica biti izvučena u oba pokušaja. Takav događaj je proizvod događaja $A$ i $B$. Njegova vjerojatnost je $P\lijevo(A\cdot B\desno)=P\lijevo(A\desno)\cdot P\lijevo(B/A\desno)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Ovaj će se članak usredotočiti na rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti. Ranije smo već analizirali neke od najjednostavnijih zadataka, za njihovo rješavanje dovoljno je znati i razumjeti formulu (savjetujem vam da je ponovite).

Postoje zadaci koji su malo kompliciraniji, za njihovo rješavanje potrebno je poznavati i razumjeti: pravilo zbrajanja vjerojatnosti, pravilo množenja vjerojatnosti, pojmove zavisnih i nezavisnih događaja, suprotnih događaja, zajedničkih i nekompatibilnih događaja. Nemojte se bojati definicija, sve je jednostavno)).U ovom ćemo članku razmotriti upravo takve zadatke.

Nekoliko važnih i jednostavnih teorija:

nekompatibilan ako pojava jednog od njih isključuje pojavu ostalih. To jest, može se dogoditi samo jedan određeni događaj ili drugi.

Klasičan primjer: kod bacanja kocke (kocke) može ispasti samo jedna, ili samo dvije, ili samo tri itd. Svaki od ovih događaja je nekompatibilan s ostalima, a pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog (u jednom testu). Isto je i s novčićem - gubitak "orla" eliminira mogućnost gubitka "repa".

To vrijedi i za složenije kombinacije. Na primjer, upaljene su dvije svjetiljke. Svaki od njih može, ali i ne mora izgorjeti neko vrijeme. Postoje opcije:

Prvi pregori, a drugi izgori
Prvi izgori, a drugi ne izgori
Prvi ne izgori, a drugi izgori
Prvi ne izgori, a drugi izgori.

Sve ove 4 varijante događaja su nespojive - jednostavno se ne mogu dogoditi zajedno i nijedna ni s jednom drugom...

Definicija: Događaji se nazivaju spojnica ako pojava jedne od njih ne isključuje pojavu druge.

Primjer: dama će se uzeti iz špila karata, a karta pik će se uzeti iz špila karata. Razmatraju se dva događaja. Ovi događaji se međusobno ne isključuju - možete izvući Pikovu damu i tako će se dogoditi oba događaja.

Na zbroju vjerojatnosti

Zbroj dva događaja A i B naziva se događaj A + B, koji se sastoji u tome da će se ili događaj A ili događaj B ili oba dogoditi u isto vrijeme.

Ako se pojave nekompatibilan događaja A i B, tada je vjerojatnost zbroja tih događaja jednaka zbroju vjerojatnosti događaja:

Primjer kocke:

Bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da dobijete broj manji od četiri?

Brojevi manji od četiri su 1,2,3. Znamo da je vjerojatnost da ćemo dobiti 1 1/6, 2 je 1/6, a 3 je 1/6. To su nespojivi događaji. Možemo primijeniti pravilo zbrajanja. Vjerojatnost da dobijete broj manji od četiri je:

Doista, ako pođemo od koncepta klasične vjerojatnosti: tada je broj mogućih ishoda 6 (broj svih stranica kocke), broj povoljnih ishoda je 3 (jedan, dva ili tri). Željena vjerojatnost je 3 do 6 ili 3/6 = 0,5.

* Vjerojatnost zbroja dvaju zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez uzimanja u obzir njihove zajedničke pojave: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB )

O množenju vjerojatnosti

Neka se dogode dva nekompatibilna događaja A i B, njihove su vjerojatnosti P(A) i P(B). Umnožak dva događaja A i B naziva se takav događaj A B, koji se sastoji u tome da će se ti događaji dogoditi zajedno, odnosno dogodit će se i događaj A i događaj B. Vjerojatnost takvog događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti događaja A i B.Izračunava se prema formuli:

Kao što ste već primijetili, logički veznik "I" označava množenje.

Primjer s istom kockom:Baci kocku dvaput. Kolika je vjerojatnost bacanja dvije šestice?

Vjerojatnost da prvi put bacite šesticu je 1/6. Drugi put je također jednak 1/6. Vjerojatnost da dobijete šesticu i prvi i drugi put jednaka je umnošku vjerojatnosti:

Jednostavnim rječnikom rečeno: kada se događaj dogodi u jednom testu, A zatim se dogodi drugi (ostali), tada je vjerojatnost da će se oni dogoditi zajedno jednaka umnošku vjerojatnosti tih događaja.

Zadatke smo rješavali kockicama, ali smo koristili samo logično razmišljanje, nismo koristili formulu proizvoda. U problemima koji se razmatraju u nastavku ne može se bez formula, odnosno s njima će biti lakše i brže dobiti rezultat.

Vrijedno je spomenuti još jednu nijansu. Pri rasuđivanju u rješavanju problema koristi se koncept ISTOVREMENOSTI događaja. Događaji se događaju ISTOVREMENO – to ne znači da se događaju u jednoj sekundi (u jednom trenutku vremena). To znači da se javljaju u određenom vremenskom razdoblju (s jednim testom).

Na primjer:

Dvije lampe pregore u roku od godinu dana (može se reći - istovremeno u roku od godinu dana)

Dva automata se pokvare u mjesec dana (može se reći istovremeno u mjesec dana)

Kocka se baca tri puta (bodovi ispadaju istovremeno, znači u jednom testu)

Biatlonac izvodi pet hitaca. Događaji (pucnji) se događaju tijekom jednog testa.

Događaji A i B su neovisni ako vjerojatnost jednog od njih ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju drugog događaja.

Razmotrite zadatke:

Dvije tvornice proizvode ista stakla za automobilska svjetla. Prva tvornica proizvodi 35% ovih naočala, druga - 65%. Prva tvornica proizvodi 4% neispravnih naočala, a druga - 2%. Nađite vjerojatnost da će čaša slučajno kupljena u trgovini biti neispravna.

Prva tvornica proizvodi 0,35 proizvoda (čaše). Vjerojatnost kupnje neispravnog stakla iz prve tvornice je 0,04.

Druga tvornica proizvodi 0,65 stakla. Vjerojatnost kupnje neispravnog stakla iz druge tvornice je 0,02.

Vjerojatnost da je staklo kupljeno u prvoj tvornici I da će u isto vrijeme biti neispravno je 0,35∙0,04 = 0,0140.

Vjerojatnost da je staklo kupljeno u drugoj tvornici I da će u isto vrijeme biti neispravno je 0,65∙0,02 = 0,0130.

Kupnja neispravnog stakla u trgovini podrazumijeva da je ono (neispravno staklo) kupljeno ILI od prve tvornice ILI od druge. To su nekompatibilni događaji, odnosno zbrajamo dobivene vjerojatnosti:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Odgovor: 0,027

Ako velemajstor A. igra belom, tada on pobjeđuje velemajstora B. s vjerojatnošću 0,62. Ako A. igra crno, tada A. pobjeđuje B. s vjerojatnošću 0,2. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj partiji mijenjaju boju figura. Odredite vjerojatnost da A. pobijedi oba puta.

Šanse za pobjedu u prvoj i drugoj igri neovisne su jedna o drugoj. Kaže se da velemajstor mora pobijediti oba puta, odnosno pobijediti prvi put I istovremeno pobijediti drugi put. U slučaju kada se neovisni događaji moraju dogoditi zajedno, vjerojatnosti tih događaja se množe, odnosno koristi se pravilo množenja.

Vjerojatnost stvaranja ovih događaja bit će jednaka 0,62∙0,2 = 0,124.

Odgovor: 0,124

Na ispitu iz geometrije student dobiva jedno pitanje iz liste ispitnih pitanja. Vjerojatnost da je ovo pitanje upisane kružnice je 0,3. Vjerojatnost da je ovo pitanje paralelograma je 0,25. Ne postoje pitanja vezana uz ove dvije teme u isto vrijeme. Nađite vjerojatnost da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Odnosno, potrebno je pronaći vjerojatnost da će učenik dobiti pitanje ILI na temu “Upisana kružnica”, ILI na temu “Paralelogram”. U ovom slučaju, vjerojatnosti se zbrajaju, budući da su ti događaji nekompatibilni i može se dogoditi bilo koji od ovih događaja: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Disjunktni događaji su događaji koji se ne mogu dogoditi u isto vrijeme.

Odgovor: 0,55

Biatlonac puca pet puta u mete. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,9. Nađite vjerojatnost da je biatlonac prva četiri puta pogodio mete, a zadnji promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotinku.

Budući da biatlonac pogađa metu s vjerojatnošću 0,9, promašuje s vjerojatnošću 1 - 0,9 = 0,1

*Promašaj i pogodak su događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno s jednim hicem, zbroj vjerojatnosti tih događaja je 1.

Riječ je o počinjenju više (neovisnih) događaja. Ako se događaj dogodi, a istovremeno se dogodi drugi (naknadni) u isto vrijeme (test), tada se vjerojatnosti tih događaja umnožavaju.

Vjerojatnost stvaranja neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti.

Dakle, vjerojatnost događaja "pogodio, pogodio, pogodio, pogodio, promašio" jednaka je 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Zaokružujući na stotinke, dobivamo 0,07

Odgovor: 0,07

Trgovina ima dva automata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan s vjerojatnošću od 0,07, neovisno o drugom automatu. Odredite vjerojatnost da je barem jedan automat ispravan.

Odredite vjerojatnost da su oba automata neispravna.

Ovi događaji su neovisni, pa će vjerojatnost biti jednaka umnošku vjerojatnosti tih događaja: 0,07∙0,07 = 0,0049.

To znači da će vjerojatnost da oba automata rade ili jedan od njih biti jednaka 1 - 0,0049 = 0,9951.

* Oba su ispravna, a neki potpuno - ispunjavaju uvjet "barem jedan".

Moguće je predstaviti vjerojatnosti svih (neovisnih) događaja za testiranje:

1. "neispravan-neispravan" 0,07∙0,07 = 0,0049

2. “Dobar-neispravan” 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "Neispravan-neispravan" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. “zdravo-zdravo” 0,93∙0,93 = 0,8649

Da bi se odredila vjerojatnost da je barem jedan automat u dobrom stanju, potrebno je zbrojiti vjerojatnosti neovisnih događaja 2,3 i 4: određeni događaj Događajem se naziva događaj koji će se sigurno dogoditi kao rezultat iskustva. Događaj se zove nemoguće ako se nikada ne dogodi kao rezultat iskustva.

Na primjer, ako je jedna kuglica nasumično izvučena iz kutije koja sadrži samo crvene i zelene kuglice, tada je pojava bijele kuglice među izvučenim kuglicama nemoguć događaj. Pojava crvene i pojava zelene kuglice čine zaokruženu skupinu događaja.

Definicija: Događaji se zovu jednako moguće , ako nema razloga vjerovati da će se jedan od njih pojaviti kao rezultat pokusa s većom vjerojatnošću.

U gornjem primjeru pojavljivanje crvenih i zelenih kuglica jednako je vjerojatan događaj ako kutija sadrži isti broj crvenih i zelenih kuglica. Ako u kutiji ima više crvenih kuglica nego zelenih, manja je vjerojatnost pojave zelene kuglice od pojave crvene.

U nastavku ćemo razmotriti još problema u kojima se koriste zbroj i umnožak vjerojatnosti događaja, nemojte to propustiti!

To je sve. Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Marija Ivanovna prekori Vasju:
Petrov, zašto nisi bio jučer u školi?!
Mama mi je jučer prala hlače.
- Pa što?
- A ja sam prolazio kraj kuće i vidio da tvoji vise. Mislio sam da nećeš doći.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Na Za procjenu vjerojatnosti pojavljivanja bilo kojeg slučajnog događaja vrlo je važno unaprijed imati dobru predodžbu o tome ovisi li vjerojatnost () događanja događaja koji nas zanima o tome kako se drugi događaji razvijaju.

U slučaju klasične sheme, kada su svi ishodi jednako vjerojatni, već možemo sami procijeniti vrijednosti vjerojatnosti pojedinog događaja koji nas zanima. To možemo učiniti čak i ako je događaj složen skup nekoliko elementarnih ishoda. A ako se nekoliko slučajnih događaja dogodi istovremeno ili uzastopno? Kako to utječe na vjerojatnost događaja koji nas zanima?

Ako bacim kockicu nekoliko puta i želim dobiti šesticu i uvijek nemam sreće, znači li to da bih trebao povećati svoj ulog jer ću, prema teoriji vjerojatnosti, uskoro imati sreće? Nažalost, teorija vjerojatnosti ne kaže ništa slično. Nema kockica, nema karata, nema novčića ne mogu se sjetiti što su nam prošli put pokazali. Uopće im nije važno hoću li danas prvi ili deseti put iskušati svoju sudbinu. Svaki put kad ponovno bacam, znam samo jedno: ovaj put je vjerojatnost ponovnog bacanja "šestice" jedna šestina. Naravno, to ne znači da broj koji trebam nikada neće ispasti. To samo znači da su moj gubitak nakon prvog bacanja i nakon bilo kojeg drugog bacanja neovisni događaji.

Događaji A i B se nazivaju nezavisna, ako provedba jednog od njih ni na koji način ne utječe na vjerojatnost drugog događaja. Na primjer, vjerojatnosti pogotka mete s prvim od dva oružja ne ovise o tome je li drugo oružje pogodilo metu, tako da su događaji "prvi top pogodio metu" i "drugi top pogodio metu" neovisni.

Ako su dva događaja A i B neovisna, a poznata je vjerojatnost svakog od njih, tada se vjerojatnost istodobne pojave i događaja A i događaja B (označenih s AB) može izračunati pomoću sljedećeg teorema.

Teorem množenja vjerojatnosti za neovisne događaje

P(AB) = P(A)*P(B)- vjerojatnost istodobna dva nezavisna događanja je raditi vjerojatnosti ovih događaja.

Primjer.Vjerojatnosti pogađanja cilja pri pucanju iz prvog i drugog oružja jednake su: p 1 =0,7; p2 =0,8. Odredite vjerojatnost pogotka jednim udarcem oba oružja istovremeno.

Riješenje: Kao što smo već vidjeli, događaji A (pogodak iz prve puške) i B (pogodak iz druge puške) su neovisni, tj. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Što se događa s našim procjenama ako početni događaji nisu neovisni? Promijenimo malo prethodni primjer.

Primjer.Dva strijelca na natjecanju pucaju u mete, a ako jedan od njih pogodi precizno, onda protivnik počinje biti nervozan, a rezultati mu se pogoršavaju. Kako ovu svakodnevnu situaciju pretvoriti u matematički problem i zacrtati načine za njegovo rješavanje? Intuitivno je jasno da je potrebno nekako razdvojiti dva scenarija, sastaviti, zapravo, dva scenarija, dva različita zadatka. U prvom slučaju, ako protivnik promaši, scenarij će biti povoljan za nervoznog sportaša i njegova će točnost biti veća. U drugom slučaju, ako je protivnik pristojno realizirao svoju priliku, smanjena je vjerojatnost pogađanja mete za drugog sportaša.

Za izdvajanje mogućih scenarija (često ih nazivamo hipotezama) razvoja događaja često ćemo koristiti shemu "stabla vjerojatnosti". Ovaj je dijagram po značenju sličan stablu odlučivanja s kojim ste se vjerojatno već morali suočiti. Svaka grana je zaseban scenarij, samo što sada ima svoje značenje tzv uvjetno vjerojatnosti (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Ova shema je vrlo zgodna za analizu uzastopnih slučajnih događaja.

Ostaje razjasniti još jedno važno pitanje: gdje su početne vrijednosti vjerojatnosti stvarne situacije ? Uostalom, teorija vjerojatnosti ne funkcionira s istim novčićima i kockicama, zar ne? Obično se te procjene uzimaju iz statistike, a kada statistika nije dostupna, provodimo vlastito istraživanje. I često ga moramo započeti ne s prikupljanjem podataka, već s pitanjem koje su nam informacije općenito potrebne.

Primjer.U gradu od 100 000 stanovnika, pretpostavimo da trebamo procijeniti veličinu tržišta za novi nebitni proizvod, kao što je regenerator za farbanu kosu. Razmotrimo shemu "stabla vjerojatnosti". U ovom slučaju trebamo približno procijeniti vrijednost vjerojatnosti na svakoj "grani". Dakle, naše procjene kapaciteta tržišta:

1) 50% svih stanovnika grada su žene,

2) od svih žena samo 30% često boji kosu,

3) od toga samo 10% koristi balzame za farbanu kosu,

4) od njih samo 10% može skupiti hrabrosti isprobati novi proizvod,

5) 70% njih obično ne kupuje sve od nas, već od naše konkurencije.

Riješenje: Prema zakonu množenja vjerojatnosti, određujemo vjerojatnost događaja koji nas zanima A \u003d (stanovnik grada kupuje ovaj novi balzam od nas) \u003d 0,00045.

Pomnožite ovu vrijednost vjerojatnosti s brojem stanovnika grada. Zbog toga imamo samo 45 potencijalnih kupaca, a s obzirom da jedna bočica ovog proizvoda traje nekoliko mjeseci, trgovina nije baš živa.

Ipak, ima koristi od naših procjena.

Prvo, možemo usporediti predviđanja različitih poslovnih ideja, one će imati različite "rašlje" na dijagramima i, naravno, vrijednosti vjerojatnosti također će biti različite.

Drugo, kao što smo već rekli, slučajna varijabla se ne naziva slučajnom jer uopće ne ovisi ni o čemu. Samo ona točno vrijednost nije unaprijed poznata. Znamo da se prosječan broj kupaca može povećati (npr. oglašavanjem novog proizvoda). Dakle, ima smisla fokusirati se na one "rašlje" gdje nam raspodjela vjerojatnosti posebno ne odgovara, na one faktore na koje možemo utjecati.

Razmotrimo još jedan kvantitativni primjer istraživanja ponašanja potrošača.

Primjer. U prosjeku 10.000 ljudi dnevno posjeti tržnicu hrane. Vjerojatnost da posjetitelj tržnice uđe u mliječni paviljon je 1/2. Poznato je da se u ovom paviljonu u prosjeku dnevno proda 500 kg raznih proizvoda.

Može li se tvrditi da prosječna kupovina u paviljonu teži samo 100 g?

Rasprava. Naravno da ne. Jasno je da nisu svi koji su ušli u paviljon tamo nešto i kupili.

Kao što je prikazano na dijagramu, da bismo odgovorili na pitanje o prosječnoj kupovnoj težini, moramo pronaći odgovor na pitanje kolika je vjerojatnost da osoba koja uđe u paviljon tamo nešto kupi. Ako takvim podacima ne raspolažemo, a potrebni su nam, morat ćemo ih pribaviti sami, nakon što neko vrijeme promatramo posjetitelje paviljona. Pretpostavimo da naša promatranja pokazuju da samo petina posjetitelja paviljona nešto kupuje.

Čim dobijemo ove procjene, zadatak postaje već jednostavan. Od 10.000 ljudi koji su došli na tržnicu, u paviljon mliječnih proizvoda ići će njih 5.000, kupovina će biti samo 1.000, prosječna težina kupovine je 500 grama. Zanimljivo je primijetiti da, kako bismo izgradili cjelovitu sliku onoga što se događa, logika uvjetnog "grananja" mora biti definirana u svakoj fazi našeg razmišljanja tako jasno kao da radimo s "konkretnom" situacijom, a ne s vjerojatnostima.

Zadaci za samotestiranje

1. Neka postoji električni krug koji se sastoji od n serijski spojenih elemenata od kojih svaki radi neovisno o drugima.

Poznata je vjerojatnost p nepostojanja kvara svakog elementa. Odredite vjerojatnost ispravnog rada cijelog dijela kruga (događaj A).

2. Student zna 20 od 25 ispitnih pitanja. Odredite vjerojatnost da učenik zna tri pitanja koja mu je postavio ispitivač.

3. Proizvodnja se sastoji od četiri uzastopne faze, od kojih svaka radi s opremom za koju su vjerojatnosti kvara unutar sljedećeg mjeseca p 1 , p 2 , p 3 i p 4 . Nađite vjerojatnost da za mjesec dana neće doći do prekida proizvodnje zbog kvara na opremi.

Osnovni koncepti
Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom pokusu. Inače se nazivaju zglob.
Potpuna grupa je skup događaja čija je kombinacija pouzdan događaj.
Suprotnosti su dva jedinstveno moguća događaja koji tvore potpunu skupinu.
Događaji se nazivaju ovisnim ako vjerojatnost pojavljivanja jednog od njih ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju drugih događaja.
Događaji se nazivaju neovisnima ako vjerojatnost jednog od njih ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju drugih.
Teorem zbrajanja za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja
P(A+B)=P(A)+P(B),
gdje su A, B nekompatibilni događaji.

Adicijski teorem za zajedničke vjerojatnosti događaja
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), gdje su A i B zajednički događaji.

Teorem množenja vjerojatnosti neovisnih događaja
,
gdje su A i B nezavisni događaji.
Teorem množenja vjerojatnosti zavisnih događaja
P (AB) \u003d P (A) PA (B),
gdje je P A (B) vjerojatnost pojavljivanja događaja B, pod uvjetom da se događaj A dogodio; A i B su ovisni događaji.

Zadatak 1.
Strijelac ispaljuje dva hica u metu. Vjerojatnost pogađanja svakog udarca je 0,8. Napravite potpunu grupu događaja i pronađite njihove vjerojatnosti. Riješenje.
Test - U metu se ispaljuju dva hica.
Događaj ALI- nije uspjelo oba puta.
Događaj NA- udari jednom.
Događaj IZ- dobio oba puta.
.

Kontrolirati: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Zadatak 2.
Prema prognozi meteorologa R(kiša)=0,4; P(vjetar)=0,7; P(kiša i vjetar)=0,2. Kolika je vjerojatnost da će padati kiša ili vjetar? Riješenje. Prema teoremu o zbrajanju vjerojatnosti i zbog kompatibilnosti predloženih događaja, imamo:
P (kiša ili vjetar ili oboje) \u003d P (kiša) + P (vjetar) - P (kiša i vjetar) \u003d 0,4 + 0,7-0,2 \u003d 0,9.
Zadatak 3.
Na polaznoj stanici ima 8 naloga za otpremu robe: pet - u zemlji i tri - za izvoz. Kolika je vjerojatnost da su dvije nasumično odabrane narudžbe za domaću potrošnju? Riješenje. Događaj ALI- prva nasumična narudžba - unutar zemlje. Događaj NA- drugi je također namijenjen za domaću potrošnju. Trebamo pronaći vjerojatnost. Tada prema teoremu o množenju vjerojatnosti zavisnih događaja imamo

Zadatak 4.
Iz serije proizvoda trgovac nasumično odabire proizvode najviše kvalitete. Vjerojatnost da će odabrani predmet biti najbolje ocijenjen je 0,8; prvi razred - 0,7; drugi razred - 0,5. Odredite vjerojatnost da će od tri slučajno odabrana proizvoda biti:
a) samo dva vrhunska razreda;
b) svatko je drugačiji. Riješenje. Neka događaj bude proizvod najvišeg stupnja; događaj - proizvod prvog razreda; događaj - proizvod druge klase.
Prema stanju problema; ; Događaji su neovisni.
a) Događaj ALI– tada će samo dva premium proizvoda izgledati ovako

b) Događaj NA- sva tri proizvoda su različita - izražavamo to ovako: , zatim .
Zadatak 5.
Vjerojatnosti pogađanja mete kada se puca iz tri puške su sljedeće: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Pronađite vjerojatnost najmanje jednog pogotka (događaja ALI) jednim rafalom iz svih topova. Riješenje. Vjerojatnost pogotka mete od strane svakog od topova ne ovisi o rezultatima paljbe iz drugih topova, tako da događaji koji se razmatraju (pogodak iz prve puške), (pogodak iz druge puške) i (pogodak iz treće pištolj) neovisni su u agregatu.
Vjerojatnosti događaja suprotnih događajima (tj. vjerojatnosti promašaja) su redom jednake:

Željena vjerojatnost
Zadatak 6.
Tiskara raspolaže s 4 tiskare. Za svaki stroj, vjerojatnost da trenutno radi je 0,9. Nađite vjerojatnost da barem jedan stroj radi u ovom trenutku (događaj ALI). Riješenje. Događaji “stroj radi” i “stroj ne radi” (u ovom trenutku) su suprotni, pa je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak jedan:
Stoga je vjerojatnost da stroj trenutno ne radi jednaka
Željena vjerojatnost. Zadatak 7. U čitaonici se nalazi 6 udžbenika iz teorije vjerojatnosti od kojih su tri uvezana. Knjižničarka je nasumce uzela dva udžbenika. Nađite vjerojatnost da će oba udžbenika biti uvezana.

Riješenje. Razmotrite sljedeće događaje:
A1 - prvi preuzeti udžbenik u uvezu;
A2 je drugi ukoričeni udžbenik.
Događaj koji se sastoji u tome da su oba uzeta udžbenika ukoričena. Događaji A1 i A2 su ovisni, budući da vjerojatnost pojavljivanja događaja A2 ovisi o pojavljivanju događaja A1. Za rješavanje ovog problema koristimo se teoremom množenja vjerojatnosti zavisnih događaja: .
Vjerojatnost pojavljivanja događaja A1 p(A1) u skladu s klasičnom definicijom vjerojatnosti:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Vjerojatnost nastanka događaja A2 određena je uvjetnom vjerojatnošću nastanka događaja A2 pod uvjetom nastanka događaja A1 , tj. (A2)==0,4.
Tada je željena vjerojatnost nastanka događaja:
P(A)=0,5*0,4=0,2.