Tablica sinusa i kosinusa u radijanima. Trigonometrijske funkcije

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ovi izračuni odnosili su se na sfernu trigonometriju, dok se u školskom tečaju proučava omjer stranica i kut ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom stranica i kutova trokuta.

Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere, znanje se proširilo od starog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je takve funkcije kao što su tangens i kotangens, sastavio je prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojam sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Mnogo je pažnje posvećeno trigonometriji u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorejske hlače, jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao umnožak sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, tada ćemo dobiti sljedeće formule za tangens i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se odnos navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će biti sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Uz α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova je vrijednost uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; kada se računa u radijanima, stvarna duljina polumjera u cm nije važna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrite usporednu tablicu svojstava za sinusni val i kosinusni val:

Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako su predznaci isti, funkcija je parna; u protivnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoide i kosinusnog vala omogućuju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcije za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangentoida

Grafovi funkcija tangensa i kotangensa bitno se razlikuju od sinusoide i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

1. Y = tgx.
2. Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
3. Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangentoida u nastavku teksta.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliku od sinusne i kosinusne funkcije, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
4. Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivacija (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fiks

TABLICA VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sastavljena je za kutove od 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stupnjeva i njihove odgovarajuće kutove u radijanima. Od trigonometrijskih funkcija u tablici su prikazani sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Radi praktičnosti rješavanja školskih primjera, vrijednosti trigonometrijskih funkcija u tablici napisane su kao razlomak uz očuvanje znakova izvlačenja kvadratnog korijena iz brojeva, što vrlo često pomaže smanjiti složene matematičke izraze. Za tangens i kotangens ne mogu se odrediti vrijednosti nekih kutova. Za vrijednosti tangensa i kotangensa takvih kutova postoji crtica u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Općenito je prihvaćeno da su tangens i kotangens takvih kutova jednaki beskonačno. Na posebnoj stranici nalaze se formule za redukciju trigonometrijskih funkcija.

Tablica vrijednosti za trigonometrijsku funkciju sinus prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 u stupnjevima , što odgovara sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. Školska tablica sinusa.

Za trigonometrijsku kosinusnu funkciju tablica prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 u stupnjevima, što odgovara cos 0 pi, cos pi do 6, cos pi za 4, cos pi za 3, cos pi za 2, cos pi, cos 3 pi za 2, cos 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. Školska tablica kosinusa.

Trigonometrijska tablica za tangentu trigonometrijske funkcije daje vrijednosti za sljedeće kutove: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 u stupnjevima, što odgovara tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih funkcija tangente nisu definirane tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Za kotangens trigonometrijske funkcije u trigonometrijskoj tablici date su vrijednosti sljedećih kutova: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 u stupnjskoj mjeri, što odgovara ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 u radijanskoj mjeri kutova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih kotangensnih funkcija nisu definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija sekans i kosekans date su za iste kutove u stupnjevima i radijanima kao sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih kutova prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kutove u stupnjevima 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stupnja i u radijanima pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radijana. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija izražene su razlomcima i kvadratnim korijenima kako bi se pojednostavilo smanjivanje razlomaka u školskim primjerima.

Još tri čudovišta trigonometrije. Prvi je tangens od 1,5 stupnjeva i pol, ili pi podijeljen sa 120. Drugi je kosinus pi podijeljen s 240, pi/240. Najduži je kosinus pi podijeljen sa 17, pi/17.

Trigonometrijski krug vrijednosti funkcija sinusa i kosinusa vizualno predstavlja znakove sinusa i kosinusa ovisno o veličini kuta. Posebno za plavuše, kosinusne vrijednosti su podvučene zelenom crticom kako bi se manje zbunile. Također je vrlo jasno prikazana konverzija stupnjeva u radijane, kada se radijani izražavaju kroz pi.

Ova trigonometrijska tablica predstavlja vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kutove od 0 nula do 90 devedeset stupnjeva u intervalima od jednog stupnja. Za prvih četrdeset i pet stupnjeva nazive trigonometrijskih funkcija morate pogledati na vrhu tablice. Prvi stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata ispisane su u sljedeća četiri stupca.

Za kutove od četrdeset pet stupnjeva do devedeset stupnjeva nazivi trigonometrijskih funkcija ispisani su na dnu tablice. Posljednji stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti kosinusa, sinusa, kotangenata i tangensa ispisane su u prethodna četiri stupca. Treba biti oprezan jer se nazivi trigonometrijskih funkcija u donjem dijelu trigonometrijske tablice razlikuju od naziva u gornjem dijelu tablice. Sinusi i kosinusi se zamjenjuju, baš kao tangens i kotangens. To je zbog simetrije vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Predznaci trigonometrijskih funkcija prikazani su na gornjoj slici. Sinus ima pozitivne vrijednosti od 0 do 180 stupnjeva ili od 0 do pi. Negativne vrijednosti sinusa su od 180 do 360 stupnjeva ili od pi do 2 pi. Vrijednosti kosinusa su pozitivne od 0 do 90 i 270 do 360 stupnjeva, ili od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangens i kotangens imaju pozitivne vrijednosti od 0 do 90 stupnjeva i od 180 do 270 stupnjeva, što odgovara vrijednostima od 0 do 1/2 pi i od pi do 3/2 pi. Negativni tangens i kotangens su 90 do 180 stupnjeva i 270 do 360 stupnjeva, ili 1/2 pi prema pi i 3/2 pi prema 2 pi. Pri određivanju predznaka trigonometrijskih funkcija za kutove veće od 360 stupnjeva ili 2 pi, treba koristiti svojstva periodičnosti tih funkcija.

Trigonometrijske funkcije sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije. Vrijednosti ovih funkcija za negativne kutove bit će negativne. Kosinus je parna trigonometrijska funkcija - vrijednost kosinusa za negativan kut bit će pozitivna. Pri množenju i dijeljenju trigonometrijskih funkcija morate se pridržavati pravila znakova.

1. Tablica vrijednosti za trigonometrijsku funkciju sinus prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove

   Dokument

   Zasebna stranica sadrži formule lijevanja trigonometrijskifunkcije. NA stolvrijednostizatrigonometrijskifunkcijesinusdanovrijednostizaSljedećikutovi: grijeh 0, grijeh 30, grijeh 45 ...

2. Predloženi matematički aparat je potpuni analog kompleksnog računa za n-dimenzionalne hiperkompleksne brojeve s bilo kojim brojem stupnjeva slobode n i namijenjen je matematičkom modeliranju nelinearnih

   Dokument

   ... funkcije jednaki funkcije Slike. Iz ove teoreme trebao bi, što za nalaženje koordinata U, V, dovoljno je izračunati funkcija... geometrija; polinaran funkcije(višedimenzionalni analozi dvodimenzionalnog trigonometrijskifunkcije), njihova svojstva, stolovi i primjena; ...

3. Pažnja!
   Postoje dodatni
   materijal u posebnom odjeljku 555.
   Za one koji jako "ne baš..."
   I za one koji "jako...")

   Prije svega, dopustite mi da vas podsjetim na jednostavan, ali vrlo koristan zaključak iz lekcije "Što su sinus i kosinus? Što su tangens i kotangens?"

   Evo tog izlaza:

   Sinus, kosinus, tangens i kotangens usko su povezani sa svojim kutovima. Znamo jedno, pa znamo nešto drugo.

   Drugim riječima, svaki kut ima svoj fiksni sinus i kosinus. I gotovo svatko ima svoj tangens i kotangens. Zašto skoro? Više o tome u nastavku.

   Ovo znanje će vam puno pomoći! Postoje mnogi zadaci u kojima morate ići od sinusa do kuta i obrnuto. Za ovo postoji tablica sinusa. Slično, za poslove s kosinusom - tablica kosinusa. I, pogađate, postoji tangentna tablica i tablica kotangensa.)

   Stolovi su različiti. One duge, gdje možete vidjeti čemu je, recimo, sin37 ° 6 'jednak. Otvorimo Bradisove tablice, tražimo kut od trideset sedam stupnjeva šest minuta i vidimo vrijednost od 0,6032. Naravno, pamćenje ovog broja (i tisuća drugih tabličnih vrijednosti) apsolutno nije potrebno.

   Zapravo, u naše vrijeme duge tablice kosinusa, sinusa, tangensa i kotangenata zapravo nisu potrebne. Jedan dobar kalkulator ih potpuno zamjenjuje. Ali ne boli znati o postojanju takvih tablica. Za opću erudiciju.)

   Zašto onda ova lekcija? - pitaš.

   Ali zašto. Među beskonačnim brojem kutova postoje poseban, o čemu bi trebao znati svi. Sva školska geometrija i trigonometrija izgrađena je na tim kutovima. Ovo je neka vrsta "tablice množenja" trigonometrije. Ako ne znate koliko je npr. sin50°, nitko vas neće osuđivati.) Ali ako ne znate koliko je jednako sin30°, pripremite se na zasluženu dvojku...

   Takav poseban kutovi su također pristojno tipkani. Školski udžbenici obično se ljubazno nude na učenje napamet. tablica sinusa i tablica kosinusa za sedamnaest kutova. I naravno, tablica tangensa i tablica kotangensa za istih sedamnaest uglova... To je. predlaže se pamćenje 68 vrijednosti. Koji su, usput, vrlo slični jedni drugima, ponavljaju se i mijenjaju znakove s vremena na vrijeme. Za osobu bez idealne vizualne memorije - to je drugi zadatak ...)

   Mi ćemo ići drugim putem. Zamijenimo mehaničko pamćenje logikom i domišljatošću. Zatim moramo zapamtiti 3 (tri!) vrijednosti za tablicu sinusa i tablicu kosinusa. I 3 (tri!) vrijednosti za tablicu tangensa i tablicu kotangenata. I to je to. Mislim da je šest vrijednosti lakše zapamtiti nego 68...)

   Dobit ćemo sve ostale potrebne vrijednosti iz ovih šest pomoću moćne pravne varalice. - trigonometrijski krug. Ako niste proučavali ovu temu, idite na vezu, nemojte biti lijeni. Ovaj krug nije samo za ovu lekciju. On je nezamjenjiv za svu trigonometriju odjednom. Ne koristiti takav alat jednostavno je grijeh! Ne želite? To je tvoja stvar. zapamtiti tablica sinusa. tablica kosinusa. Tangentna tablica. Tablica kotangensa. Svih 68 vrijednosti za različite kutove.)

   Dakle, počnimo. Za početak, podijelimo sve te posebne kutove u tri skupine.

   Prva skupina kutova.

   Razmotrimo prvu skupinu kutovi od sedamnaest poseban. To je 5 kutova: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

   Ovako izgleda tablica sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata za ove kutove:

   Kut x (u stupnjevima)	0	90	180	270	360
   Kut x (u radijanima)	0
   grijeh x	0	1	0	-1	0
   cos x	1	0	-1	0	1
   tg x	0	ne imenica	0	ne imenica	0
   ctg x	ne imenica	0	ne imenica	0	ne imenica

   Tko se želi sjećati - pamti. Ali moram odmah reći da su mi sve te jedinice i nule jako zbrkane u glavi. Mnogo jače nego što želite.) Stoga uključujemo logiku i trigonometrijski krug.

   Nacrtamo kružnicu i na njoj označimo te iste kutove: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Označio sam ove uglove crvenim točkama:

   

   Odmah se vidi koja je posebnost ovih kutaka. Da! Ovo su kutovi koji padaju točno na koordinatnoj osi! Zapravo, zato se ljudi zbunjuju... Ali mi se nećemo zbuniti. Smislimo kako pronaći trigonometrijske funkcije ovih kutova bez puno učenja napamet.

   Usput, položaj kuta je 0 stupnjeva potpuno podudara s kutom od 360 stupnjeva. To znači da su sinusi, kosinusi, tangensi ovih kutova potpuno isti. Označio sam kut od 360 stupnjeva da dovršim krug.

   Pretpostavimo da ste u teškom stresnom okruženju Jedinstvenog državnog ispita nekako sumnjali ... Čemu je jednak sinus od 0 stupnjeva? Čini se kao nula ... Što ako je jedinica?! Mehanička memorija je takva stvar. U teškim uvjetima, sumnje počinju gristi ...)

   Mirno, samo mirno!) Reći ću vam praktičnu tehniku ​​koja će vam dati 100% točan odgovor i potpuno otkloniti sve sumnje.

   Kao primjer, shvatimo kako jasno i pouzdano odrediti, recimo, sinus od 0 stupnjeva. I u isto vrijeme, kosinus 0. Upravo u tim vrijednostima, čudno, ljudi se često zbunjuju.

   Da biste to učinili, nacrtajte krug proizvoljan kutak x. U prvom kvartalu, tako da nije bilo daleko od 0 stupnjeva. Zabilježite na osi sinus i kosinus ovog kuta X, sve je činar. Kao ovo:

   A sada - pozor! Smanjite kut x, dovedite pokretnu stranu do osi OH. Zadržite pokazivač iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i pogledajte sve.

   Sada uključite elementarnu logiku!. Gledajte i razmislite: Kako se sinx ponaša kada se kut x smanjuje? Kako se kut približava nuli? Smanjuje se! A cosx - povećava! Ostaje shvatiti što će se dogoditi sa sinusom kada se kut potpuno sruši? Kada će se pokretna stranica kuta (točka A) umiriti na osi OX i kut postati jednak nuli? Očito će i sinus kuta ići na nulu. A kosinus će se povećati na ... na ... Kolika je duljina pomične strane kuta (polumjer trigonometrijske kružnice)? Jedinstvo!

   Evo odgovora. Sinus od 0 stupnjeva je 0. Kosinus od 0 stupnjeva je 1. Apsolutno čvrsto i bez ikakve sumnje!) Jednostavno jer inače ne može biti.

   Na potpuno isti način možete saznati (ili razjasniti) sinus od 270 stupnjeva, na primjer. Ili kosinus 180. Nacrtaj krug, proizvoljan kut u četvrtini uz koordinatnu os koja nas zanima, mentalno pomaknite stranicu kuta i uhvatite što će sinus i kosinus postati kada se stranica kuta smjesti na os. To je sve.

   Kao što vidite, za ovu skupinu kutova nema potrebe ništa pamtiti. nije potrebno ovdje sinusna tablica... da i tablica kosinusa- također.) Usput, nakon nekoliko primjena trigonometrijskog kruga, sve ove vrijednosti se same pamte. A ako se zaborave, ja sam za 5 sekundi nacrtao krug i pojasnio. Mnogo lakše nego nazvati prijatelja iz WC-a uz rizik potvrde, zar ne?)

   Što se tiče tangensa i kotangensa, sve je isto. Na kružnicu nacrtamo liniju tangente (kotangens) - i sve je odmah vidljivo. Gdje su jednaki nuli, a gdje ih nema. Što, zar ne znaš o linijama tangensa i kotangensa? Ovo je tužno, ali se može popraviti.) Posjetili ste odjeljak 555 Tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici - i nema problema!

   Ako razumijete kako jasno definirati sinus, kosinus, tangens i kotangens za ovih pet kutova - čestitamo! Za svaki slučaj, obavještavam vas da sada možete definirati funkcije sve kutove koji padaju na os. A ovo je 450°, i 540°, i 1800°, pa čak i beskonačan broj ...) Izbrojao sam (ispravno!) Kut na krugu - i nema problema s funkcijama.

   No, upravo kod brojanja kutova javljaju se problemi i greške... Kako ih izbjeći piše u lekciji: Kako nacrtati (brojiti) bilo koji kut na trigonometrijskoj kružnici u stupnjevima. Elementarno, ali vrlo korisno u borbi protiv grešaka.)

   A evo lekcije: Kako nacrtati (izbrojati) bilo koji kut na trigonometrijskoj kružnici u radijanima - bit će oštrije. Što se tiče mogućnosti. Recimo, odredite na koju od četiri poluosi kut pada

   možete za par sekundi. Ne šalim se! Samo za par sekundi. Pa, naravno, ne samo 345 "pi" ...) I 121, i 16, i -1345. Svaki cjelobrojni koeficijent je dobar za trenutni odgovor.

   Što ako kut

   Razmišljati! Točan odgovor dobiva se za 10 sekundi.Za bilo koju razlomačku vrijednost radijana s nazivnikom dva.

   Zapravo, to je ono za što je trigonometrijski krug dobar. Činjenica da sposobnost rada sa neki kutovima na koje se automatski proširuje beskonačan skup kutovi.

   Dakle, s pet kornera od sedamnaest - shvatili ste.

   Druga skupina kutova.

   Sljedeća skupina kutova su kutovi od 30°, 45° i 60°. Zašto baš ove, a ne npr. 20, 50 i 80? Da, nekako se dogodilo ovako ... Povijesno.) Dalje će se vidjeti koliko su ti kutovi dobri.

   Tablica sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenata za ove kutove izgleda ovako:

   Kut x (u stupnjevima)	0	30	45	60	90
   Kut x (u radijanima)	0
   grijeh x	0				1
   cos x	1				0
   tg x	0		1		ne imenica
   ctg x	ne imenica		1		0

   Ostavio sam vrijednosti za 0° i 90° iz prethodne tablice radi cjelovitosti.) Kako bi bilo jasno da ovi kutovi leže u prvoj četvrtini i rastu. Od 0 do 90. Ovo će nam dalje biti od koristi.

   Tablične vrijednosti za kutove 30°, 45° i 60° moraju se zapamtiti. Ogrebi ako želiš. Ali i ovdje postoji prilika da si olakšate život.) Obratite pozornost na vrijednosti tablice sinusa ovim kutovima. I usporedite sa vrijednosti tablice kosinusa...

   Da! Oni su isti! Samo obrnutim redoslijedom. Kutovi se povećavaju (0, 30, 45, 60, 90) - i vrijednosti sinusa povećati od 0 do 1. Možete provjeriti pomoću kalkulatora. A vrijednosti kosinusa - smanjenje od 1 do nule. Štoviše, same vrijednosti isti. Za kutove od 20, 50, 80 to se ne bi dogodilo...

   Stoga koristan zaključak. Dovoljno za naučiti tri vrijednosti za kutove 30, 45, 60 stupnjeva. I zapamtite da se povećavaju u sinusu, a smanjuju u kosinusu. Prema sinusu.) Na pola puta (45°) se susreću, tj. sinus od 45 stupnjeva jednak je kosinusu od 45 stupnjeva. A onda se opet razilaze... Tri značenja se mogu naučiti, zar ne?

   Kod tangenti – kotangensa slika je isključivo ista. Jedan na jedan. Samo su vrijednosti različite. Ove vrijednosti (još tri!) također treba naučiti.

   Pa, gotovo je svo pamćenje gotovo. Shvatili ste (nadajmo se) kako odrediti vrijednosti za pet kutova koji padaju na os i naučili vrijednosti za kutove od 30, 45, 60 stupnjeva. Ukupno 8.

   Ostaje obraditi posljednju skupinu od 9 kutova.

   Ovo su kutovi:
   120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Za ove kutove morate znati željeznu tablicu sinusa, tablicu kosinusa itd.

   Noćna mora, zar ne?)

   A ako ovdje dodate kutove, poput: 405 °, 600 ° ili 3000 ° i mnogo, mnogo istih lijepih?)

   Ili kutove u radijanima? Na primjer, o kutovima:

   

   i još mnogo toga što biste trebali znati svi.

   Najsmješnije je znati svi - u principu nemoguće. Ako koristite mehaničku memoriju.

   A to je vrlo jednostavno, zapravo elementarno - ako koristite trigonometrijsku kružnicu. Ako se uvježbate s trigonometrijskim krugom, svi ti grozni kutovi u stupnjevima mogu se lako i elegantno svesti na one dobre stare:

   Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

   Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

   možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

   U članku ćemo u potpunosti razumjeti kako to izgleda tablica trigonometrijskih vrijednosti, sinus, kosinus, tangens i kotangens. Razmotrimo osnovnu vrijednost trigonometrijskih funkcija, pod kutom od 0,30,45,60,90,...,360 stupnjeva. I da vidimo kako koristiti ove tablice u izračunavanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
   Prvo razmislite tablica kosinusa, sinusa, tangensa i kotangensa pod kutom od 0, 30, 45, 60, 90,.. stupnjeva. Definicija ovih veličina omogućuje određivanje vrijednosti funkcija kutova od 0 i 90 stupnjeva:

   sin 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. tg 00 \u003d 0, kotangens od 00 bit će nedefiniran
   sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangens od 90 0 bit će nedefiniran

   Ako uzmemo pravokutne trokute čiji su kutovi od 30 do 90 stupnjeva. Dobivamo:

   sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
   sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
   sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

   Sve dobivene vrijednosti predstavljamo u obrascu trigonometrijska tablica:

   Tablica sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa!

   Ako koristimo formulu cast, naša će se tablica povećati, dodat će se vrijednosti za kutove do 360 stupnjeva. Izgledat će ovako:

   

   Također, na temelju svojstava periodičnosti, tablica se može povećati ako kutove zamijenimo sa 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, u kojem je z cijeli broj. U ovoj tablici moguće je izračunati vrijednost svih kutova koji odgovaraju točkama u jednoj kružnici.

   

   Pogledajmo jasno kako koristiti tablicu u rješenju.
   Sve je vrlo jednostavno. Budući da se vrijednost koju trebamo nalazi na sjecištu ćelija koje su nam potrebne. Na primjer, uzmimo kut od 60 stupnjeva, u tablici će izgledati ovako:

   

   U konačnoj tablici glavnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija djelujemo na isti način. Ali u ovoj tablici moguće je saznati kolika će biti tangensa iz kuta od 1020 stupnjeva, to je = -√3 Provjerimo 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Pronađimo stol.

   

   Bradis stol. Za sinus, kosinus, tangens i kotangens.

   Bradyjeve tablice su podijeljene u nekoliko dijelova, sastoje se od tablica kosinusa i sinusa, tangensa i kotangensa - koji je podijeljen na dva dijela (tg kuta do 90 stupnjeva i ctg malih kutova).

   Sinus i kosinus

   
   
   

   kut tg od 00 do 760, kut ctg od 140 do 900.

   
   
   

   tg do 900 i ctg malih kutova.

   
   

   Hajde da shvatimo kako koristiti Bradisove tablice u rješavanju problema.

   Pronađimo oznaku sin (oznaka u stupcu s lijevog ruba) 42 minute (oznaka je u gornjem retku). Križanjem tražimo oznaku, to je = 0,3040.
   
   Vrijednosti minuta su naznačene s intervalom od šest minuta, što ako vrijednost koja nam je potrebna spada unutar ovog intervala. Uzmimo 44 minute, au tablici ih je samo 42. Uzimamo 42 kao osnovu i koristimo dodatne stupce s desne strane, uzimamo 2. ispravak i zbrajamo 0,3040 + 0,0006 i dobivamo 0,3046.
   
   Uz sin 47 min, uzimamo 48 min kao osnovu i od njega oduzimamo 1 korekciju, tj. 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
   
   Pri izračunavanju cos radimo slično kao i sin, samo što za osnovu uzimamo donji red tablice. Na primjer cos 20 0 = 0,9397
   
   Vrijednosti tg kuta do 90 0 i cot malog kuta su ispravne i u njima nema korekcija. Na primjer, pronađite tg 78 0 37min = 4,967
   
   
   i ctg 20 0 13 min = 25,83
   
   

   Pa, ovdje smo razmotrili glavne trigonometrijske tablice. Nadamo se da su vam ove informacije bile izuzetno korisne. Vaša pitanja o stolovima, ako ih ima, svakako napišite u komentarima!

   Napomena: Zidni bokobrani - bokobranska ploča za zaštitu zidova. Slijedite vezu bokobrani bez okvira bez zidova (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) i saznajte više.

   U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

   Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

   Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.

   S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo konstantne jedinice vremena na recipročne. S fizičke strane to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

   Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

   Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:

   U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača puzati sto koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

   Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

   Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

   Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku, uvijek miruje.

   U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još uvijek su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba miješati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

   Srijeda, 4. srpnja 2018

   Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

   Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, kod kojih je um odsutan od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

   Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta za vrijeme ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

   Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

   Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i rasporedimo ga na stolu u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzmemo po jednu novčanicu i damo matematičaru njegovu "matematičku plaću". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.

   Prije svega, proradit će zastupnička logika: "možete na druge, ali ne na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar izbezumljeno prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki je novčić jedinstven...

   I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ni blizu.

   Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir nazive istih stadiona, dobivamo puno, jer su nazivi različiti. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup u isto vrijeme. Kako u redu? I tu matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

   Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

   Nedjelja, 18.03.2018

   Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

   Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to elementarno mogu.

   Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

   1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u brojčani grafički simbol. Ovo nije matematička operacija.

   2. Jednu primljenu sliku režemo na više slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

   3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

   4. Dobivene brojeve zbrojite. E sad, to je matematika.

   Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

   Sa stajališta matematike nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima brojeva zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavarati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

   Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

   Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nisu samo brojke.

   Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.

   Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko izvodi tu radnju.
   

   Znak na vratima Otvara vrata i kaže:

   Joj! Nije li ovo ženski WC?
   - Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neograničene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

   Žensko... Aureola na vrhu i strelica prema dolje je muško.

   Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

   Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

   Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

   1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.