Trigonometrijska tablica. Pa, probajmo ove formule za okus, vježbajući pronalaženje točaka na kružnici? Predloženi matematički aparat je potpuni analog kompleksnog računa za n-dimenzionalne hiperkompleksne brojeve s bilo kojim brojem stupnjeva s

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Prije svega, dopustite mi da vas podsjetim na jednostavan, ali vrlo koristan zaključak iz lekcije "Što su sinus i kosinus? Što su tangens i kotangens?"

Evo tog izlaza:

Sinus, kosinus, tangens i kotangens usko su povezani sa svojim kutovima. Znamo jedno, pa znamo nešto drugo.

Drugim riječima, svaki kut ima svoj fiksni sinus i kosinus. I gotovo svatko ima svoj tangens i kotangens. Zašto skoro? Više o tome u nastavku.

Ovo znanje će vam puno pomoći! Postoje mnogi zadaci u kojima morate ići od sinusa do kuta i obrnuto. Za ovo postoji tablica sinusa. Slično, za poslove s kosinusom - tablica kosinusa. I, pogađate, postoji tangentna tablica i tablica kotangensa.)

Stolovi su različiti. One duge, gdje možete vidjeti čemu je, recimo, sin37 ° 6 'jednak. Otvorimo Bradisove tablice, tražimo kut od trideset sedam stupnjeva šest minuta i vidimo vrijednost od 0,6032. Naravno, zapamtiti ovaj broj (i tisuće drugih tablične vrijednosti) uopće nije potrebno.

Zapravo, u naše vrijeme duge tablice kosinusa, sinusa, tangensa i kotangenata zapravo nisu potrebne. Jedan dobar kalkulator ih potpuno zamjenjuje. Ali ne boli znati o postojanju takvih tablica. Za opću erudiciju.)

Zašto onda ova lekcija? - pitaš.

Ali zašto. Među beskonačnim brojem kutova postoje poseban, o čemu bi trebao znati sve. Sva školska geometrija i trigonometrija izgrađena je na tim kutovima. Ovo je neka vrsta "tablice množenja" trigonometrije. Ako ne znate koliko je npr. sin50°, nitko vas neće osuđivati.) Ali ako ne znate koliko je jednako sin30°, pripremite se na zasluženu dvojku...

Takav poseban kutovi su također pristojno tipkani. Školski udžbenici obično se ljubazno nude na učenje napamet. tablica sinusa i tablica kosinusa za sedamnaest kutova. I naravno, tablica tangensa i tablica kotangensa za istih sedamnaest uglova... To je. predlaže se pamćenje 68 vrijednosti. Koji su, usput, vrlo slični jedni drugima, ponavljaju se i mijenjaju znakove s vremena na vrijeme. Za osobu bez idealne vizualne memorije - to je drugi zadatak ...)

Mi ćemo ići drugim putem. Zamijenimo mehaničko pamćenje logikom i domišljatošću. Zatim moramo zapamtiti 3 (tri!) vrijednosti za tablicu sinusa i tablicu kosinusa. I 3 (tri!) vrijednosti za tablicu tangensa i tablicu kotangenata. I to je to. Mislim da je šest vrijednosti lakše zapamtiti nego 68...)

ostalo tražene vrijednosti izvući ćemo se iz ovih šest sa snažnom pravnom varalicom - trigonometrijski krug. Ako niste proučavali ovu temu, idite na vezu, nemojte biti lijeni. Ovaj krug nije samo za ovu lekciju. On je nezamjenjiv za svu trigonometriju odjednom. Ne koristiti takav alat jednostavno je grijeh! Ne želite? To je tvoja stvar. zapamtiti tablica sinusa. tablica kosinusa. Tangentna tablica. Tablica kotangensa. Svih 68 vrijednosti za različite kutove.)

Dakle, počnimo. Za početak, podijelimo sve te posebne kutove u tri skupine.

Prva skupina kutova.

Razmotrimo prvu skupinu kutovi od sedamnaest poseban. To je 5 kutova: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Ovako izgleda tablica sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata za ove kutove:

Kut x (u stupnjevima)	0	90	180	270	360
Kut x (u radijanima)	0
grijeh x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	ne imenica	0	ne imenica	0
ctg x	ne imenica	0	ne imenica	0	ne imenica

Tko se želi sjećati - pamti. Ali moram odmah reći da su mi sve te jedinice i nule jako zbrkane u glavi. Mnogo jače nego što želite.) Stoga uključujemo logiku i trigonometrijski krug.

Nacrtamo kružnicu i na njoj označimo te iste kutove: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Označio sam ove uglove crvenim točkama:

Odmah se vidi koja je posebnost ovih kutaka. Da! Ovo su kutovi koji padaju točno na koordinatnoj osi! Zapravo, zato se ljudi zbunjuju... Ali mi se nećemo zbuniti. Smislimo kako pronaći trigonometrijske funkcije ovih kutova bez puno učenja napamet.

Usput, položaj kuta je 0 stupnjeva potpuno podudara s kutom od 360 stupnjeva. To znači da su sinusi, kosinusi, tangensi ovih kutova potpuno isti. Označio sam kut od 360 stupnjeva da dovršim krug.

Pretpostavimo da ste u teškom stresnom okruženju Jedinstvenog državnog ispita nekako sumnjali ... Što jednako sinusu 0 stupnjeva? Čini se kao nula ... Što ako je jedinica?! Mehanička memorija je takva stvar. U teškim uvjetima, sumnje počinju gristi ...)

Mirno, samo mirno!) Reći ću ti praktična tehnika, koji će dati 100% točan odgovor i potpuno otkloniti sve nedoumice.

Kao primjer, shvatimo kako jasno i pouzdano odrediti, recimo, sinus od 0 stupnjeva. I u isto vrijeme, kosinus 0. Upravo u tim vrijednostima, čudno, ljudi se često zbunjuju.

Da biste to učinili, nacrtajte krug proizvoljan kutak x. U prvom kvartalu, tako da nije bilo daleko od 0 stupnjeva. Zabilježite na osi sinus i kosinus ovog kuta X, sve je činar. Kao ovo:

A sada - pozor! Smanjite kut x, dovedite pokretnu stranu do osi OH. Zadržite pokazivač iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i pogledajte sve.

Sada uključite elementarnu logiku!. Gledajte i razmislite: Kako se sinx ponaša kada se kut x smanjuje? Kako se kut približava nuli? Smanjuje se! A cosx - povećava! Ostaje shvatiti što će se dogoditi sa sinusom kada se kut potpuno sruši? Kada će se pokretna stranica kuta (točka A) umiriti na osi OX i kut postati jednak nuli? Očito će i sinus kuta ići na nulu. A kosinus će se povećati na ... na ... Kolika je duljina pomične strane kuta (polumjer trigonometrijske kružnice)? Jedinstvo!

Evo odgovora. Sinus od 0 stupnjeva je 0. Kosinus od 0 stupnjeva je 1. Apsolutno čvrsto i bez ikakve sumnje!) Jednostavno jer inače ne može biti.

Na potpuno isti način možete saznati (ili razjasniti) sinus od 270 stupnjeva, na primjer. Ili kosinus 180. Nacrtaj krug, proizvoljan kut u četvrtini uz koordinatnu os koja nas zanima, mentalno pomaknite stranicu kuta i uhvatite što će sinus i kosinus postati kada se stranica kuta smjesti na os. To je sve.

Kao što vidite, za ovu skupinu kutova nema potrebe ništa pamtiti. nije potrebno ovdje sinusna tablica... da i tablica kosinusa- također.) Usput, nakon nekoliko primjena trigonometrijskog kruga, sve ove vrijednosti se same pamte. A ako se zaborave, ja sam za 5 sekundi nacrtao krug i pojasnio. Mnogo lakše nego nazvati prijatelja iz WC-a uz rizik potvrde, zar ne?)

Što se tiče tangensa i kotangensa, sve je isto. Na kružnicu nacrtamo liniju tangente (kotangens) - i sve je odmah vidljivo. Gdje su jednaki nuli, a gdje ih nema. Što, zar ne znaš o linijama tangensa i kotangensa? Ovo je tužno, ali se može popraviti.) Posjetili ste odjeljak 555 Tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici - i nema problema!

Ako razumijete kako jasno definirati sinus, kosinus, tangens i kotangens za ovih pet kutova - čestitamo! Za svaki slučaj, obavještavam vas da sada možete definirati funkcije sve kutove koji padaju na os. A ovo je 450°, i 540°, i 1800°, pa čak i beskonačan broj ...) Izbrojao sam (ispravno!) Kut na krugu - i nema problema s funkcijama.

No, upravo kod brojanja kutova javljaju se problemi i greške... Kako ih izbjeći piše u lekciji: Kako nacrtati (brojiti) bilo koji kut na trigonometrijskoj kružnici u stupnjevima. Elementarno, ali vrlo korisno u borbi protiv grešaka.)

A evo lekcije: Kako nacrtati (izbrojati) bilo koji kut na trigonometrijskoj kružnici u radijanima - bit će oštrije. Što se tiče mogućnosti. Recimo, odredite na koju od četiri poluosi kut pada

možete za par sekundi. Ne šalim se! Samo za par sekundi. Pa, naravno, ne samo 345 "pi" ...) I 121, i 16, i -1345. Svaki cjelobrojni koeficijent je dobar za trenutni odgovor.

Što ako kut

Razmišljati! Točan odgovor dobiva se za 10 sekundi.Za bilo koji frakcijska vrijednost radijana s nazivnikom dva.

Zapravo, ovo je dobro trigonometrijski krug. Činjenica da sposobnost rada sa neki kutovima na koje se automatski proširuje beskonačan skup kutovi.

Dakle, s pet kornera od sedamnaest - shvatili ste.

Druga skupina kutova.

Sljedeća grupa kutovi su 30°, 45° i 60°. Zašto baš ove, a ne npr. 20, 50 i 80? Da, nekako se dogodilo ovako ... Povijesno.) Dalje će se vidjeti koliko su ti kutovi dobri.

Tablica sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenata za ove kutove izgleda ovako:

Kut x (u stupnjevima)	0	30	45	60	90
Kut x (u radijanima)	0
grijeh x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		ne imenica
ctg x	ne imenica		1		0

Ostavio sam vrijednosti za 0° i 90° iz prethodne tablice radi cjelovitosti.) Kako bi bilo jasno da ovi kutovi leže u prvoj četvrtini i rastu. Od 0 do 90. Ovo će nam dalje biti od koristi.

Tablične vrijednosti za kutove 30°, 45° i 60° moraju se zapamtiti. Ogrebi ako želiš. Ali i ovdje postoji prilika da si olakšate život.) Obratite pozornost na vrijednosti tablice sinusa ovim kutovima. I usporedite sa vrijednosti tablice kosinusa...

Da! Oni isti! Nalazi se samo u obrnuti redoslijed. Kutovi se povećavaju (0, 30, 45, 60, 90) - i vrijednosti sinusa povećati od 0 do 1. Možete provjeriti pomoću kalkulatora. A vrijednosti kosinusa - smanjenje od 1 do nule. Štoviše, same vrijednosti isti. Za kutove od 20, 50, 80 to se ne bi dogodilo...

Stoga koristan zaključak. Dovoljno za naučiti tri vrijednosti za kutove 30, 45, 60 stupnjeva. I zapamtite da se povećavaju u sinusu, a smanjuju u kosinusu. Prema sinusu.) Na pola puta (45°) se susreću, tj. sinus od 45 stupnjeva jednak je kosinusu od 45 stupnjeva. A onda se opet razilaze... Tri značenja se mogu naučiti, zar ne?

Kod tangenti – kotangensa slika je isključivo ista. Jedan na jedan. Samo su vrijednosti različite. Ove vrijednosti (još tri!) također treba naučiti.

Pa, gotovo je svo pamćenje gotovo. Shvatili ste (nadajmo se) kako odrediti vrijednosti za pet kutova koji padaju na os i naučili vrijednosti za kutove od 30, 45, 60 stupnjeva. Ukupno 8.

Ostaje obraditi posljednju skupinu od 9 kutova.

Ovo su kutovi:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Za ove kutove morate znati željeznu tablicu sinusa, tablicu kosinusa itd.

Noćna mora, zar ne?)

A ako ovdje dodate kutove, poput: 405 °, 600 ° ili 3000 ° i mnogo, mnogo istih lijepih?)

Ili kutove u radijanima? Na primjer, o kutovima:

i još mnogo toga što biste trebali znati sve.

Najsmješnije je znati sve - u principu nemoguće. Ako koristite mehaničku memoriju.

A to je vrlo jednostavno, zapravo elementarno - ako koristite trigonometrijsku kružnicu. Ako se uvježbate s trigonometrijskim krugom, svi ti grozni kutovi u stupnjevima mogu se lako i elegantno svesti na one dobre stare:

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Proučavanje trigonometrije započinjemo pravokutnim trokutom. Definirajmo što su sinus i kosinus, kao i tangens i kotangens oštrog kuta. Ovo su osnove trigonometrije.

Prisjetite se toga pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva. Drugim riječima, polovica rasklopljenog kuta.

Oštar kut- manje od 90 stupnjeva.

Tup kut- veći od 90 stupnjeva. U odnosu na takav kut, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravokutni trokut. Pravi kut obično se označava . Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je stranica koja leži nasuprot kutu A.

Kut je označen odgovarajućim grčkim slovom.

Hipotenuza Pravokutni trokut je stranica nasuprot pravog kuta.

Noge- strane nasuprot oštrim kutovima.

Noga nasuprot kutu se zove suprotan(u odnosu na kut). Druga noga, koja leži s jedne strane ugla, zove se susjedni.

Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Kosinus oštri kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne noge i hipotenuze:

Tangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer suprotne noge prema susjednoj:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

Kotangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne noge prema suprotnoj (ili, ekvivalentno, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pozornost na osnovne omjere za sinus, kosinus, tangens i kotangens, koji su navedeni u nastavku. Oni će nam biti od koristi u rješavanju problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i napisali formule. Ali zašto su nam potrebni sinus, kosinus, tangens i kotangens?

Mi to znamo zbroj kutova bilo kojeg trokuta je.

Znamo odnos između stranke pravokutni trokut. Ovo je Pitagorin teorem: .

Ispada da znajući dva kuta u trokutu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. Dakle, za kutove - njihov omjer, za strane - vlastite. Ali što učiniti ako su u pravokutnom trokutu poznati jedan kut (osim pravog) i jedna strana, ali morate pronaći druge strane?

S tim su se ljudi suočavali u prošlosti, izrađujući karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve strane trokuta.

Sinus, kosinus i tangens - oni se također nazivaju trigonometrijske funkcije kuta- dati omjer između stranke i kutovi trokut. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za "dobre" kutove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tablici. Za odgovarajuće vrijednosti kutova tangens i kotangens ne postoje.

Analizirajmo nekoliko problema iz trigonometrije iz zadataka Banke FIPI.

1. U trokutu je kut , . Pronaći .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Jer , .

2. U trokutu, kut je , , . Pronaći .

Nađimo po Pitagorinom teoremu.

Problem riješen.

Često u problemima postoje trokuti s kutovima i ili s kutovima i . Napamet naučite osnovne omjere za njih!

Za trokut s kutovima i krakom nasuprot kutu na jednak je polovica hipotenuze.

Trokut s kutovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od katete.

Razmatrali smo probleme za rješavanje pravokutnih trokuta - odnosno za pronalaženje nepoznate stranke ili uglovi. Ali to nije sve! NA USE opcije u matematici postoji mnogo problema u kojima se pojavljuje sinus, kosinus, tangens ili kotangens vanjskog kuta trokuta. Više o tome u sljedećem članku.

Glavni stol trigonometrijske funkcije za kutove 0, 30, 45, 60, 90, … stupnjeva

Iz trigonometrijskih definicija funkcija $\sin$, $\cos$, $\tan$ i $\cot$ mogu se pronaći njihove vrijednosti za kutove $0$ i $90$ stupnjeva:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nije definirano;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nije definirano.

NA školski tečaj geometrije u proučavanju pravokutnih trokuta nalaze trigonometrijske funkcije kutova $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ i $90°$.

Pronađene vrijednosti trigonometrijskih funkcija za navedene kutove u stupnjevima odnosno radijanima ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) radi lakšeg pamćenja i korištenja unose se u tablicu tzv. trigonometrijska tablica, tablica osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija itd.

Kada koristite formule redukcije, trigonometrijska tablica može se proširiti na $360°$ odnosno $2\pi$ radijana:

Primjenom svojstava periodičnosti trigonometrijskih funkcija svaki kut koji se razlikuje od već poznatog za $360°$ može se izračunati i zabilježiti u tablicu. Na primjer, trigonometrijska funkcija za kut $0°$ imat će istu vrijednost za kut $0°+360°$, i za kut $0°+2 \cdot 360°$, i za kut $0°+3 \ cdot 360°$ itd.

Pomoću trigonometrijske tablice možete odrediti vrijednosti svih kutova jedinične kružnice.

U školskom tečaju geometrije potrebno je naučiti napamet osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija prikupljenih u trigonometrijskoj tablici, radi lakšeg rješavanja trigonometrijski problemi.

Pomoću tablice

U tablici je dovoljno pronaći potrebnu trigonometrijsku funkciju i vrijednost kuta ili radijana za koju tu funkciju treba izračunati. Na sjecištu retka s funkcijom i stupca s vrijednošću dobivamo željenu vrijednost trigonometrijske funkcije zadanog argumenta.

Na slici možete vidjeti kako pronaći vrijednost $\cos⁡60°$ koja je jednaka $\frac(1)(2)$.

Slično se koristi proširena trigonometrijska tablica. Prednost njegove uporabe je, kao što je već spomenuto, izračun trigonometrijske funkcije gotovo bilo kojeg kuta. Na primjer, možete lako pronaći vrijednost $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

Bradisove tablice osnovnih trigonometrijskih funkcija

Mogućnost izračuna trigonometrijske funkcije apsolutno bilo koje vrijednosti kuta za cijeli broj stupnjeva i cijeli broj minuta daje korištenje Bradisovih tablica. Na primjer, pronađite vrijednost $\cos⁡34°7"$. Tablice su podijeljene u 2 dijela: tablica vrijednosti $\sin$ i $\cos$ i tablica $\tan$ i $\ cot$ vrijednosti.

Bradisove tablice omogućuju dobivanje približne vrijednosti trigonometrijskih funkcija s točnošću do 4 decimalna mjesta.

Korištenje Bradisovih tablica

Koristeći Bradyjeve tablice za sinuse, nalazimo $\sin⁡17°42"$. Da bismo to učinili, u stupcu s lijeve strane tablice sinusa i kosinusa nalazimo vrijednost stupnjeva - $17°$, a u u gornjem redu nalazimo vrijednost minuta - $42"$. Na njihovom sjecištu dobivamo željenu vrijednost:

$\sin17°42"=0,304$.

Da biste pronašli vrijednost $\sin17°44"$, trebate upotrijebiti ispravak na desnoj strani tablice. U ovaj slučaj vrijednosti $42"$, koja je u tablici, trebate dodati korekciju za $2"$, što je jednako $0,0006$. Dobivamo:

$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.

Da bismo pronašli vrijednost $\sin17°47"$, također koristimo korekciju na desnoj strani tablice, samo u ovom slučaju uzimamo vrijednost $\sin17°48"$ kao osnovu i oduzimamo korekciju za $1"$:

$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.

Pri izračunavanju kosinusa izvodimo slične radnje, ali gledamo stupnjeve u desnom stupcu, a minute u donjem stupcu tablice. Na primjer, $\cos20°=0,9397$.

Nema korekcija za vrijednosti tangensa do $90°$ i kotangens malog kuta. Na primjer, pronađimo $\tan 78°37"$, što prema tablici iznosi $4,967$.

1. Trigonometrijske funkcije predstavljati elementarne funkcije, čiji je argument kutak. Uz pomoć trigonometrijskih funkcija utvrđuju se odnosi između stranica i oštri kutovi u pravokutnom trokutu. Područja primjene trigonometrijskih funkcija iznimno su raznolika. Tako se, primjerice, svaki periodički proces može prikazati kao zbroj trigonometrijskih funkcija (Fourierov red). Te se funkcije često pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih i funkcionalnih jednadžbi.

2. Trigonometrijske funkcije uključuju sljedećih 6 funkcija: sinus, kosinus, tangens,kotangens, sječna i kosekant. Za svaki od navedene funkcije postoji inverzna trigonometrijska funkcija.

3. Geometrijska definicija trigonometrijske funkcije prikladno se uvode pomoću jedinični krug. Slika ispod prikazuje kružnicu radijusa r=1. Na kružnici je označena točka M(x,y). Kut između radijus vektora OM i pozitivnog smjera osi Ox je α.

4. sinus kut α je omjer ordinate y točke M(x,y) i polumjera r:
sinα=y/r.
Kako je r=1, onda je sinus jednak ordinati točke M(x,y).

5. kosinus kut α je omjer apscise x točke M(x,y) i polumjera r:
cosα=x/r

6. tangens kut α je omjer ordinate y točke M(x,y) i njene apscise x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens kut α je omjer apscise x točke M(x,y) i njene ordinate y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sjekant kut α je omjer polumjera r i apscise x točke M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekant kut α je omjer polumjera r i ordinate y točke M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Ulaz jedinični krug projekcije x, y točke M(x,y) i polumjer r tvore pravokutni trokut u kojem su x,y katete, a r hipotenuza. Stoga se gornje definicije trigonometrijskih funkcija primjenjuju na pravokutni trokut formulirani su na ovaj način:
sinus kut α je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.
kosinus kut α je omjer susjedne katete i hipotenuze.
tangens kut α naziva se suprotni krak susjednom.
Kotangens kut α naziva se susjedni krak suprotnom.
Sjekant kut α je omjer hipotenuze i susjednog kraka.
Kosekant kut α je omjer hipotenuze i suprotnog kraka.

11. graf sinusne funkcije
y=sinx, domena: x∈R, domena: −1≤sinx≤1

12. Graf kosinusne funkcije
y=cosx, domena: x∈R, raspon: −1≤cosx≤1

13. graf funkcije tangente
y=tanx, domena: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domena: −∞

14. Graf kotangens funkcije
y=cotx, domena: x∈R,x≠kπ, domena: −∞

15. Graf funkcije sekante
y=secx, domena: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domena: secx∈(−∞,−1]∪∪)