Tri otvorena ugla. Prošireno, tupo, okomito i neprošireno: vrste uglova geometrije

Ovaj članak će razmotriti jedan od glavnih geometrijskih oblika - kut. Nakon općeg uvoda u ovaj koncept, usredotočit ćemo se na određenu vrstu takve figure. Ravni kut je važan koncept u geometriji i bit će u središtu ovog članka.

Upoznavanje s pojmom geometrijskog kuta

U geometriji postoji niz objekata koji čine temelj cijele znanosti. Kut se samo odnosi na njih i određuje se pomoću pojma zrake, pa počnimo s njim.

Također, prije nego što prijeđete na definiciju samog kuta, morate zapamtiti nekoliko jednako važnih objekata u geometriji - ovo je točka, ravna linija na ravnini i sama ravnina. Prava linija je najjednostavniji geometrijski lik, koji nema ni početka ni kraja. Ravnina je površina koja ima dvije dimenzije. Pa, zraka (ili poluprava) u geometriji je dio ravne linije koja ima početak, ali nema kraj.

Korištenjem ovih pojmova možemo ustvrditi da je kut geometrijski lik koji u potpunosti leži u određenoj ravnini i sastoji se od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim ishodištem. Takve zrake nazivamo stranicama kuta, a zajednički početak stranica je njegov vrh.

Vrste uglova i geometrija

Znamo da kutovi mogu biti prilično različiti. Stoga će u nastavku biti dana mala klasifikacija koja će vam pomoći da bolje razumijete vrste kutova i njihove glavne značajke. Dakle, u geometriji postoji nekoliko vrsta kutova:

Pravi kut. Karakterizira ga vrijednost od 90 stupnjeva, što znači da su njegove stranice uvijek okomite jedna na drugu.
Oštar kut. Ovi kutovi uključuju sve njihove predstavnike, koji imaju veličinu manju od 90 stupnjeva.
Tup kut. Ovdje mogu biti i svi kutovi s vrijednostima od 90 do 180 stupnjeva.
Prošireni kut. Ima veličinu od strogo 180 stupnjeva, a izvana njegove strane čine jednu ravnu liniju.

Pojam ravnog kuta

Sada pogledajmo detaljnije razvijeni kut. To je slučaj kada obje strane leže na istoj pravoj liniji, što se jasno vidi na donjoj slici. To znači da možemo sa sigurnošću reći da je jedna njegova strana zapravo nastavak druge.

Vrijedno je zapamtiti činjenicu da se takav kut uvijek može podijeliti pomoću zrake koja izlazi iz njegova vrha. Kao rezultat toga, dobivamo dva kuta, koji se u geometriji nazivaju susjednim.

Također, razvijeni kut ima nekoliko značajki. Da bismo govorili o prvom od njih, morate se sjetiti pojma "simetrala kuta". Podsjetimo se da je ovo zraka koja dijeli bilo koji kut strogo na pola. Što se tiče ravnog kuta, njegova simetrala ga dijeli na takav način da se formiraju dva prava kuta od 90 stupnjeva. Ovo je vrlo lako matematički izračunati: 180˚ (stupnjevi ispravljenog kuta): 2 = 90˚.

Ako razvijeni kut podijelimo s potpuno proizvoljnom zrakom, tada kao rezultat uvijek dobivamo dva kuta, od kojih će jedan biti oštar, a drugi tup.

Svojstva ravnog kuta

Bit će zgodno razmotriti ovaj kut, okupljajući sva njegova glavna svojstva, što smo učinili na ovom popisu:

Stranice ravnog kuta su antiparalelne i tvore ravnu liniju.
Vrijednost razvijenog kuta je uvijek 180˚.
Dva susjedna kuta zajedno uvijek čine ravni kut.
Puni kut, koji iznosi 360˚, sastoji se od dva raspoređena i jednak je njihovom zbroju.
Pola ispravljenog kuta je pravi kut.

Dakle, znajući sve ove karakteristike ove vrste kuta, možemo ih koristiti za rješavanje niza geometrijskih problema.

Problemi s ravnim kutovima

Kako biste shvatili jeste li svladali pojam ravnog kuta, pokušajte odgovoriti na nekoliko od sljedećih pitanja.

Koliki je ravni kut ako njegove stranice tvore okomitu crtu?
Hoće li dva kuta biti susjedna ako je magnituda prvog 72˚, a drugog 118˚?
Ako se puni kut sastoji od dva ravna kuta, koliko ima pravih kutova?
Ravni kut podijeljen je gredom na dva takva kuta da su njihove stupnjeve mjere u omjeru 1:4. Izračunajte dobivene kutove.

Rješenja i odgovori:

Bez obzira kako se ravni kut nalazi, on je uvijek po definiciji jednak 180˚.
Susjedni uglovi imaju jednu zajedničku stranicu. Stoga, da biste izračunali veličinu kuta koji su sastavili, samo trebate dodati vrijednost njihovih stupnjeva. Dakle, 72 +118 = 190. Ali po definiciji, ravni kut je 180˚, što znači da dva zadana kuta ne mogu biti susjedna.
Ravni kut sadrži dva prava kuta. A budući da u punoj postoje dvije raspoređene, to znači da će u njoj biti 4 ravne linije.
Ako željene kutove nazovemo a i b, onda neka x bude koeficijent proporcionalnosti za njih, što znači da je a \u003d x, a prema tome b \u003d 4x. Ravni kut u stupnjevima je 180˚. A prema njegovim svojstvima, da je stupanjska mjera kuta uvijek jednaka zbroju stupnjevanih mjera onih kutova na koje ga dijeli bilo koja proizvoljna zraka koja prolazi između njegovih stranica, možemo zaključiti da je x + 4x = 180 ˚, što znači 5x = 180˚. Odavde nalazimo: x=a=36˚ i b = 4x = 144˚. Odgovor: 36˚ i 144˚.

Ako ste uspjeli odgovoriti na sva ova pitanja bez upita i bez zavirivanja u odgovore, onda ste spremni prijeći na sljedeću lekciju geometrije.

S pojmom kuta učenici se upoznaju u osnovnoj školi. Ali kao geometrijski lik s određenim svojstvima, počinju ga proučavati od 7. razreda geometrije. Čini se, prilično jednostavnog oblikašto se o njoj može reći. No, stječući nova znanja, školarci sve više shvaćaju da o njoj možete saznati vrlo zanimljive činjenice.

U kontaktu s

Kada se proučavaju

Školski tečaj geometrije podijeljen je u dva dijela: planimetrija i geometrija tijela. Svaki od njih ima puno pažnje. s obzirom na uglove:

U planimetriji se daje njihov osnovni pojam, odvija se upoznavanje s njihovim vrstama u veličini. Detaljnije se proučavaju svojstva svake vrste trokuta. Pojavljuju se nove definicije za učenike - to su geometrijski oblici formirani na sjecištu dviju linija jedna s drugom i na sjecištu nekoliko linija sekante.
U stereometriji se proučavaju prostorni kutovi - diedarski i triedarski.

Pažnja! Ovaj članak govori o svim vrstama i svojstvima kutova u planimetriji.

Definicija i mjerenje

Počinjući učiti, prvo odredi, što je kut u planimetriji.

Ako uzmemo određenu točku na ravnini i iz nje povučemo dvije proizvoljne zrake, dobit ćemo geometrijski lik - kut koji se sastoji od sljedećih elemenata:

vrh - točka iz koje su zrake izvučene, označena je velikim slovom latinične abecede;
stranice su polucrte povučene od vrha.

Svi elementi koji tvore lik koji razmatramo dijele ravninu na dva dijela:

unutarnji - u planimetriji ne prelazi 180 stupnjeva;
vanjski.

Princip mjerenja kutova u planimetriji intuitivno objašnjeno. Za početak se učenici upoznaju s pojmom razvijenog kuta.

Važno! Za kut se kaže da je razvijen ako polupravci koji izlaze iz njegova vrha tvore ravnu crtu. Rasklopljeni kut su svi ostali slučajevi.

Ako je podijeljen na 180 jednakih dijelova, tada je uobičajeno smatrati mjeru jednog dijela jednakom 10. U ovom slučaju kažu da se mjerenje vrši u stupnjevima, a mjera stupnja takve figure je 180 stupnjeva.

Glavne vrste

Vrste kutova podijeljene su prema kriterijima kao što su stupnjevi, priroda njihovog formiranja i dolje navedene kategorije.

Po veličini

S obzirom na veličinu, kutovi se dijele na:

raspoređen;
ravno;
glupo;
začinjeno.

Gore je prikazano koji se kut naziva raspoređenim. Definirajmo pojam ravne linije.

Može se dobiti dijeljenjem raspoređenog na dva jednaka dijela. U ovom slučaju, lako je odgovoriti na pitanje: pravi kut, koliko je stupnjeva?

Podijelite 180 stupnjeva s 2 da dobijete pravi kut je 90 stupnjeva. Ovo je prekrasna figura, budući da su mnoge činjenice u geometriji povezane s njom.

Također ima svoje karakteristike u označavanju. Da bi se na slici prikazao pravi kut, on nije označen lukom, već kvadratom.

Kutovi koji se dobivaju dijeljenjem proizvoljne zrake pravca nazivaju se šiljastima. Prema logici stvari, slijedi da je oštar kut manji od pravog kuta, ali je njegova mjera različita od 0 stupnjeva. Odnosno, ima vrijednost od 0 do 90 stupnjeva.

Tupi kut je veći od pravog kuta, ali manji od ravnog kuta. Njegova mjera stupnja varira od 90 do 180 stupnjeva.

Ovaj se element može podijeliti na različite vrste figura koje se razmatraju, isključujući proširenu.

Bez obzira kako je nerotirani kut slomljen, uvijek se koristi osnovni aksiom planimetrije - "glavno svojstvo mjerenja".

Na dijeleći kut jednom zrakom ili nekoliko, stupanjska mjera dane figure jednaka je zbroju mjera kutova na koje je podijeljena.

Na razini 7. razreda završavaju vrste kutova po veličini. Ali da bi se povećala erudicija, može se dodati da postoje i druge sorte koje imaju mjeru stupnja veću od 180 stupnjeva.Oni se nazivaju konveksnim.

Slike na sjecištu linija

Sljedeće vrste kutova s kojima se učenici upoznaju su elementi koji nastaju sijekom dvaju pravaca. Likovi koji su postavljeni jedan nasuprot drugom nazivaju se okomitima. Njihova razlikovna karakteristika je da su jednaki.

Elementi koji su susjedni istoj liniji nazivaju se susjednim. Teorem koji preslikava njihovo svojstvo to kaže Zbroj susjednih kutova iznosi 180 stupnjeva.

Elementi u trokutu

Ako lik smatramo elementom u trokutu, tada se kutovi dijele na unutarnje i vanjske. Trokut je omeđen s tri segmenta i sastoji se od tri vrha. Kutovi koji se nalaze unutar trokuta na svakom vrhu, naziva internim.

Ako uzmemo bilo koji unutarnji element na bilo kojem vrhu i produžimo bilo koju stranu, tada se kut koji je formiran i koji je susjedan unutarnjem naziva vanjskim. Ovaj par elemenata ima sljedeće svojstvo: njihov zbroj je 180 stupnjeva.

Sjecište dviju ravnih linija

Sjecište linija

Kada se dvije ravne linije sijeku, nastaju i kutovi, koji se obično raspoređuju u parovima. Svaki par elemenata ima svoje ime. Ovako izgleda:

unutarnji poprečni položaj: ∟4 i ∟6, ∟3 i ∟5;
unutarnje jednostrano: ∟4 i ∟5, ∟3 i ∟6;
odgovarajuće: ∟1 i ∟5, ∟2 i ∟6, ∟4 i ∟8, ∟3 i ∟7.

U slučaju kada sekansa siječe dva pravca, svi ti parovi kutova imaju određena svojstva:

Unutarnji križno ležeći i odgovarajući likovi međusobno su jednaki.
Unutarnji jednostrani elementi zbroje do 180 stupnjeva.

Proučavamo kutove u geometriji, njihova svojstva

Vrste uglova u matematici

Zaključak

Ovaj članak predstavlja sve glavne vrste kutova koji se nalaze u planimetriji i proučavaju se u sedmom razredu. U svim narednim kolegijima svojstva koja se odnose na sve razmatrane elemente osnova su za daljnje proučavanje geometrije. Na primjer, proučavajući, bit će potrebno prisjetiti se svih svojstava kutova formiranih na sjecištu dviju paralelnih linija sekante. Proučavajući značajke trokuta, potrebno je zapamtiti što su susjedni kutovi. Nakon prelaska na stereometriju, svi trodimenzionalni likovi proučavat će se i graditi na temelju planimetrijskih likova.

Počnimo s definiranjem što je kut. Prvo, to je Drugo, tvore ga dvije zrake, koje se nazivaju strane kuta. Treće, potonji izlaze iz jedne točke, koja se naziva vrh ugla. Na temelju ovih znakova možemo dati definiciju: kut je geometrijski lik koji se sastoji od dvije zrake (stranice) koje izlaze iz jedne točke (vrha).

Klasificirani su po stupnjevima, po položaju jedan u odnosu na drugi i u odnosu na krug. Počnimo s vrstama kutova prema njihovoj veličini.

Ima ih nekoliko varijanti. Pogledajmo pobliže svaku vrstu.

Postoje samo četiri glavne vrste kutova - pravi, tupi, oštri i razvijeni kut.

Ravno

Ovako izgleda:

Njegova stupnjevna mjera je uvijek 90 o, drugim riječima, pravi kut je kut od 90 stupnjeva. Imaju ih samo takvi četverokuti kao što su kvadrat i pravokutnik.

Glupo

Ovako izgleda:

Mjera stupnja uvijek je veća od 90 stupnjeva, ali manja od 180 stupnjeva. Može se pojaviti u takvim četverokutima kao što je romb, proizvoljni paralelogram, u poligonima.

Začinjeno

Ovako izgleda:

Stupanjska mjera šiljastog kuta uvijek je manja od 90°. Javlja se u svim četverokutima, osim u kvadratu i proizvoljnom paralelogramu.

raspoređeni

Prošireni kut izgleda ovako:

Ne pojavljuje se u poligonima, ali nije manje važan od svih ostalih. Ravni kut je geometrijska figura čija je stupnjevna mjera uvijek 180º. Možete ga graditi povlačenjem jedne ili više zraka iz njegova vrha u bilo kojem smjeru.

Postoji nekoliko drugih sekundarnih vrsta kutova. Ne proučavaju se u školama, ali je potrebno znati barem za njihovo postojanje. Postoji samo pet sekundarnih vrsta uglova:

1. Nula

Ovako izgleda:

Sam naziv kuta već govori o njegovoj veličini. Njegova unutarnja površina je 0 o, a stranice leže jedna na drugoj kao što je prikazano na slici.

2. Koso

Kosi može biti ravan, i tup, i oštar, i razvijen kut. Njegov glavni uvjet je da ne bude jednak 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konveksan

Konveksni su nulti, pravi, tupi, oštri i razvijeni kutovi. Kao što ste već shvatili, stupanjska mjera konveksnog kuta je od 0 o do 180 o.

4. Nekonveksan

Nekonveksni su kutovi sa stupnjevnom mjerom od 181o do uključivo 359o.

5. Pun

Potpuni kut je 360 stupnjeva.

To su sve vrste kutova prema njihovoj veličini. Sada razmotrite njihove vrste prema položaju u ravnini jedan u odnosu na drugi.

1. Dodatni

To su dva oštra kuta koji tvore jednu ravnu liniju, tj. njihov zbroj je 90 o.

2. Povezano

Susjedni kutovi nastaju ako se zraka povuče u bilo kojem smjeru kroz raspoređenu, točnije kroz njen vrh. Njihov zbroj je 180 o.

3. Okomito

Okomiti kutovi nastaju kada se dvije linije sijeku. Njihove mjere stupnja su jednake.

Sada prijeđimo na vrste kutova koji se nalaze u odnosu na krug. Ima ih samo dva: središnji i ispisani.

1. Središnja

Središnji kut je onaj s vrhom u središtu kružnice. Njegova mjera stupnja jednaka je mjeri stupnja manjeg luka spojenog sa stranicama.

2. Upisano

Upisani kut je onaj čiji vrh leži na kružnici, a stranice je sijeku. Njegova stupanjska mjera jednaka je polovici luka na kojem počiva.

Sve je u kutovima. Sada znate da osim najpoznatijih - oštrih, tupih, ravnih i raspoređenih - u geometriji postoje i mnoge druge vrste.