Kut je pozitivan i negativan. Negativan kut

Brojanje kutova na trigonometrijskoj kružnici.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Gotovo je isto kao u prethodnoj lekciji. Tu su sjekire, krug, kut, sve je čin-čina. Dodani brojevi četvrtina (u uglovima velikog kvadrata) - od prve do četvrte. I onda odjednom tko ne zna? Kao što vidite, četvrtine (također se nazivaju lijepom riječju "kvadranti") numerirane su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dodane vrijednosti kuta na osi. Sve je pregledno, bez ikakvih detalja.

I dodao zelenu strelicu. S plusom. Što ona znači? Dopustite mi da vas podsjetim da je fiksna strana kuta stalno pribijen na pozitivnu os OH. Dakle, ako uvrnemo pokretnu stranu kuta plus strelica, tj. u rastućim četvrtinama, kut će se smatrati pozitivnim. Na primjer, slika prikazuje pozitivan kut od +60°.

Ako odgodimo kutove u suprotnom smjeru, u smjeru kazaljke na satu, kut će se smatrati negativnim. Zadržite pokazivač iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu), vidjet ćete plavu strelicu s minusom. Ovo je smjer negativnog očitanja kutova. Negativan kut (-60°) prikazan je kao primjer. Također ćete vidjeti kako su se brojevi na osi promijenili ... Također sam ih preveo u negativne kutove. Numeriranje kvadranata se ne mijenja.

Tu obično počinju prvi nesporazumi. Kako to!? A ako se negativni kut na kružnici poklapa s pozitivnim!? I općenito, ispada da se isti položaj pomične stranice (ili točke na brojevnoj kružnici) može nazvati i negativnim i pozitivnim kutom!?

Da. Točno. Recimo da pozitivni kut od 90 stupnjeva zauzima kružnicu točno isto položaj kao negativni kut od minus 270 stupnjeva. Uzima se pozitivan kut, na primjer +110° stupnjeva točno isto položaju jer je negativni kut -250°.

Nema problema. Sve je točno.) Izbor pozitivnog ili negativnog izračuna kuta ovisi o uvjetu zadatka. Ako stanje ne kaže ništa čisti tekst o predznaku kuta, (kao "odredi najmanji pozitivan kut", itd.), tada radimo s vrijednostima koje nam odgovaraju.

Iznimka (a kako bez njih?!) su trigonometrijske nejednakosti, ali tu ćemo savladati ovaj trik.

A sada pitanje za vas. Kako mogu znati da je položaj kuta od 110° isti kao položaj kuta od -250°?
Nagovijestit ću da je to zbog punog prometa. U 360°... Nije jasno? Zatim nacrtamo krug. Crtamo na papiru. Označavanje kuta oko 110°. I vjerovati koliko ostaje do punog okreta. Još samo 250°...

kužiš A sada - pozor! Ako kutovi 110° i -250° zauzimaju krug isti položaj, što onda? Da, činjenica da su kutovi 110 ° i -250 ° točno isto sinus, kosinus, tangens i kotangens!
Oni. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tako dalje. Sada je ovo stvarno važno! I samo po sebi - postoji puno zadataka u kojima je potrebno pojednostaviti izraze, a kao osnovu za kasniji razvoj formula redukcije i drugih zamršenosti trigonometrije.

Naravno, uzeo sam 110 ° i -250 ° nasumce, čisto za primjer. Sve ove jednakosti vrijede za sve kutove koji zauzimaju isti položaj na kružnici. 60° i -300°, -75° i 285°, i tako dalje. Odmah napominjem da su uglovi u ovim parovima - razne. Ali imaju trigonometrijske funkcije - isto.

Mislim da razumijete što su negativni kutovi. Sasvim je jednostavno. U smjeru suprotnom od kazaljke na satu pozitivan je broj. Usput je negativan. Uzmite u obzir pozitivan ili negativan kut ovisi o nama. Od naše želje. Pa, i još od zadatka, naravno... Nadam se da razumijete kako se trigonometrijske funkcije pomiču iz negativnih u pozitivne kutove i obrnuto. Nacrtaj krug, približan kut, pa vidi koliko nedostaje do punog okreta, tj. do 360°.

Kutovi veći od 360°.

Pozabavimo se kutovima većim od 360°. I takve stvari se događaju? Postoje, naravno. Kako ih nacrtati u krug? Nije problem! Pretpostavimo da moramo razumjeti u kojoj će četvrtini pasti kut od 1000 °? Lako! Napravimo jedan puni okret suprotno od kazaljke na satu (kut nam je dan pozitivan!). Premotaj 360°. Pa idemo dalje! Još jedan okret - već je ispalo 720 °. Koliko je ostalo? 280°. Nije dovoljno za puni okret ... Ali kut je veći od 270 ° - a to je granica između treće i četvrte četvrtine. Dakle, naš kut od 1000° pada u četvrtu četvrtinu. Sve.

Kao što vidite, prilično je jednostavno. Još jednom da vas podsjetim da su kut od 1000° i kut od 280°, koje smo dobili odbacivanjem "viška" punih zavoja, strogo govoreći, razne kutovi. Ali trigonometrijske funkcije ovih kutova točno isto! Oni. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Da sam sinus, ne bih primijetio razliku između ova dva ugla...

Zašto je sve ovo potrebno? Zašto trebamo prevesti kutove iz jednog u drugi? Da, svi za isto.) Kako bismo pojednostavili izraze. Pojednostavljenje izraza, naime, glavni je zadatak školske matematike. Pa, usput, glava trenira.)

Pa, hoćemo li vježbati?)

Odgovaramo na pitanja. Na prvu jednostavno.

1. U koju četvrtinu pada kut -325°?

2. U koju četvrtinu pada kut 3000°?

3. U koju četvrtinu pada kut -3000°?

Imamo problem? Ili nesigurnost? Idemo na odjeljak 555, Praktičan rad s trigonometrijskom kružnicom. Tamo, u prvoj lekciji ovog vrlo "Praktičnog rada ..." sve je detaljno ... U takav pitanja neizvjesnosti ne bi trebalo!

4. Koji je znak grijeha555°?

5. Koji je predznak tg555°?

Odlučan? izvrsno! Sumnjati? Neophodno je u Odjeljku 555 ... Usput, tamo ćete naučiti kako nacrtati tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici. Vrlo korisna stvar.

A sad pametnija pitanja.

6. Izraz sin777° dovedite na sinus najmanjeg pozitivnog kuta.

7. Dovedite izraz cos777° na kosinus najvećeg negativnog kuta.

8. Izraz cos(-777°) pretvorite u kosinus najmanjeg pozitivnog kuta.

9. Izraz sin777° dovedite na sinus najvećeg negativnog kuta.

Što, pitanja 6-9 zbunjena? Navikni se, nema takvih formulacija na ispitu... Neka bude, prevest ću. Samo za tebe!

Riječi "smanjiti izraz na ..." znače transformirati izraz tako da njegova vrijednost nije se promijenilo a izgled se mijenjao u skladu sa zadatkom. Dakle, u zadacima 6 i 9 moramo dobiti sinus unutar kojeg je najmanji pozitivni kut. Sve ostalo nije bitno.

Odgovorit ću redom (kršeći naša pravila). Ali što da radite, postoje samo dva znaka, a samo četiri četvrtine ... Nećete se razbacivati opcijama.

6. grijeh57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Pretpostavljam da su odgovori na pitanja 6-9 neke ljude zbunili. Posebno -sin(-57°), zar ne?) Doista, u elementarnim pravilima za brojanje kutova ima mjesta za pogreške ... Zato sam morao napraviti lekciju: "Kako odrediti znakove funkcija i dati kutove na trigonometrijskom krugu?" U odjeljku 555. Tamo su razvrstani zadaci 4 - 9. Dobro sortirano, sa svim zamkama. I oni su ovdje.)

U sljedećoj lekciji bavit ćemo se misterioznim radijanima i brojem "Pi". Naučite kako jednostavno i ispravno pretvoriti stupnjeve u radijane i obrnuto. I bit ćemo iznenađeni kada otkrijemo da su ove osnovne informacije na mjestu dosta je više riješiti neke nestandardne trigonometrijske zagonetke!

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

U prošloj lekciji uspješno smo savladali (ili ponovili - kako tko voli) ključne pojmove cijele trigonometrije. to trigonometrijski krug , kut na kružnici , sinus i kosinus ovog kuta a i svladao predznaci trigonometrijskih funkcija u četvrtinama . Naučeno u detalje. Na prste, moglo bi se reći.

Ali ovo još uvijek nije dovoljno. Kako bismo sve ove jednostavne koncepte uspješno primijenili u praksi, potrebna nam je još jedna korisna vještina. Naime, ispravan rad s uglovima u trigonometriji. Bez ove vještine u trigonometriji - ništa. Čak iu najprimitivnijim primjerima. Zašto? Da, jer je kut ključna glumačka figura u cijeloj trigonometriji! Ne, ne trigonometrijske funkcije, ne sinus s kosinusom, ne tangens s kotangensom, naime sam kutak. Nema kuta - nema trigonometrijskih funkcija, da ...

Kako raditi s kutovima na krugu? Da bismo to učinili, moramo ironično naučiti dvije stvari.

1) Kako Broje li se kutovi na kružnici?

2) Što da li se broje (izmjere)?

Odgovor na prvo pitanje je tema današnje lekcije. Prvim pitanjem bavit ćemo se detaljno upravo ovdje i sada. Odgovor na drugo pitanje ovdje nećemo dati. Jer je dosta razvijen. Kao i samo drugo pitanje, vrlo je sklisko, da.) Za sada neću ulaziti u detalje. Ovo je tema sljedeće zasebne lekcije.

Hoćemo li početi?

Kako se izračunavaju kutovi na kružnici? Pozitivni i negativni kutovi.

Onima koji pročitaju naslov odlomka možda se već diže kosa na glavi. Kako to?! Negativni kutovi? Je li ovo uopće moguće?

na negativno brojevima već smo se navikli. Možemo ih prikazati na numeričkoj osi: pozitivno desno od nule, negativno lijevo od nule. Da, i povremeno gledamo na termometar izvan prozora. Pogotovo zimi, po mrazu.) A novac na telefonu je u "minusu" (tj. dužnost) ponekad nestane. Sve je poznato.

Ali što je s uglovima? Ispada da negativni kutovi u matematici također se dogoditi! Sve ovisi o tome kako izračunati ovaj kut ... ne, ne na brojevnoj liniji, već na brojevnoj kružnici! Mislim, u krug. Krug - evo ga, analog brojevnog pravca u trigonometriji!

Tako, Kako se izračunavaju kutovi na kružnici? Ne može se ništa učiniti, prvo ćemo morati nacrtati ovaj krug.

Nacrtat ću ovu prekrasnu sliku:

Vrlo je sličan slikama iz prethodne lekcije. Postoje osi, postoji krug, postoji kut. Ali ima i novih informacija.

Također sam dodao brojeve za 0°, 90°, 180°, 270° i 360° na osi. Ovo je još zanimljivije.) Koji su ovi brojevi? Ispravno! Ovo su vrijednosti kutova mjerenih s naše fiksne strane, koje padaju na koordinatnim osama. Podsjećamo da je fiksna stranica kuta uvijek čvrsto vezana za pozitivnu poluos OX. Svaki kut u trigonometriji se mjeri od ove poluosi. Ironično, ovo osnovno podrijetlo kutova mora se imati na umu. A osi - sijeku se pod pravim kutom, zar ne? Dakle, dodajemo 90 ° u svakoj četvrtini.

I još dodano crvena strelica. S plusom. Crvena je namjerno da upada u oči. I dobro mi se usjeklo u sjećanje. Jer ovo se mora pouzdano zapamtiti.) Što znači ova strelica?

Tako ispada, ako okrenemo svoj ugao plus strelica(u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tijekom numeriranja četvrtina), zatim kut smatrat će se pozitivnim! Na slici je kao primjer prikazan kut od +45°. Usput, imajte na umu da su aksijalni kutovi 0°, 90°, 180°, 270° i 360° također premotani precizno u plusu! Uz crvenu strelicu.

Sada pogledajmo drugu sliku:

Ovdje je gotovo sve isto. Numerirani su samo kutovi na osi obrnuto. U smjeru kazaljke na satu. I imaju znak minus.) plava strelica. Također s minusom. Ova strelica je smjer negativnog očitanja kutova na krugu. Ona nam to pokazuje ako odgodimo svoj kut u smjeru kazaljke na satu, onda kut će se smatrati negativnim. Na primjer, pokazao sam kut od -45°.

Usput, imajte na umu da se numeriranje četvrtina nikada ne mijenja! Nije bitno hoćemo li zavoje zavijati u plusu ili minusu. Uvijek strogo suprotno od kazaljke na satu.)

Zapamtiti:

1. Početak brojanja kutova je od pozitivne poluosi OH. Po satu - "minus", protiv sata - "plus".

2. Numeriranje četvrtina je uvijek suprotno od kazaljke na satu, bez obzira na smjer izračunavanja kutova.

Usput, označavanje kutova na osi 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, pri svakom crtanju kruga, uopće nije uvjet. Ovo je čisto radi razumijevanja suštine. Ali ti brojevi moraju biti prisutni u tvojoj glavi pri rješavanju bilo kojeg problema iz trigonometrije. Zašto? Da, jer to elementarno znanje daje odgovore na mnoga druga pitanja u cijeloj trigonometriji! Najvažnije pitanje je u koju četvrtinu pada kut koji nas zanima? Vjerovali ili ne, točan odgovor na ovo pitanje rješava lavovski dio svih ostalih problema s trigonometrijom. Ovom važnom lekcijom (raspodjela kutova po četvrtinama) bavit ćemo se u istoj lekciji, ali malo kasnije.

Vrijednosti kutova koji leže na koordinatnim osima (0°, 90°, 180°, 270° i 360°) moraju se zapamtiti! Zapamtite čvrsto, do automatizma. I u plusu i u minusu.

Ali od ovog trenutka počinju prva iznenađenja. I zajedno s njima škakljiva pitanja upućena meni, da ...) A što će se dogoditi ako je negativni kut na kružnici odgovarati pozitivnom? Ispostavilo se da ista točka na krugu se može označiti kao pozitivan kut, a kao negativan ???

Prilično točno! Tako je.) Na primjer, pozitivni kut od +270° zauzima kružnicu isti položaj , što je negativni kut -90°. Ili, na primjer, pozitivni kut od +45° na krugu će zauzeti isti položaj , što je negativni kut -315°.

Gledamo sljedeću sliku i vidimo sve:

Slično tome, pozitivni kut od +150° ide tamo gdje negativni kut od -210°, pozitivan kut od +230° ide na isto mjesto kao i negativni kut od -130°. I tako dalje…

I što sad mogu učiniti? Kako točno brojati kutove, ako je moguće ovako i onako? Kako u redu?

Odgovor: svejedno točno! Matematika ne zabranjuje nijedan od dva smjera za brojanje kutova. A izbor određenog smjera ovisi isključivo o zadatku. Ako zadatak ne kaže ništa u običnom tekstu o predznaku kuta (kao npr "odrediti najveći negativan kut" itd.), tada radimo s najprikladnijim kutovima za nas.

Naravno, na primjer, u tako cool temama kao što su trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe, smjer izračuna kutova može imati veliki utjecaj na odgovor. A u relevantnim temama razmotrit ćemo ove zamke.

Zapamtiti:

Svaka točka na kružnici može se označiti i pozitivnim i negativnim kutovima. Bilo tko! Što želimo.

Sada razmislimo o ovome. Saznali smo da je kut od 45° potpuno jednak kutu od -315°? Kako sam saznao za te iste 315° ? Zar ne možete pogoditi? Da! Kroz puni okret.) Za 360°. Imamo kut od 45°. Koliko nedostaje do punog okreta? Oduzmi 45° od 360° - ovdje dobivamo 315° . Navijamo u negativnom smjeru - i dobivamo kut od -315 °. Još uvijek nejasno? Zatim ponovno pogledajte gornju sliku.

I to uvijek treba učiniti kada pozitivne kutove prevodite u negativne (i obrnuto) - nacrtajte krug, napomenu oko zadanom kutu, smatramo koliko stupnjeva nedostaje do punog zaokreta, a dobivenu razliku namotamo u suprotnom smjeru. I to je to.)

Što je još zanimljivo o kutovima koji zauzimaju isti položaj na krugu, što mislite? A činjenica da takvi kutovi točno isto sinus, kosinus, tangens i kotangens! Je uvijek!

Na primjer:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

A sada je ovo izuzetno važno! Za što? Da, svi za isto!) Da pojednostavimo izraze. Jer pojednostavljenje izraza je ključni postupak za uspješno rješenje bilo koji zadaci iz matematike. I trigonometrija također.

Dakle, shvatili smo opće pravilo za brojanje kutova na krugu. Pa, ako smo ovdje nagovijestili pune okrete, oko četvrtine, onda bi bilo vrijeme da zaokrenemo i iscrtamo ove kutove. Hoćemo li crtati?)

Počnimo s pozitivan kutovi. Bit će ih lakše crtati.

Nacrtajte kutove unutar jednog okreta (između 0° i 360°).

Nacrtajmo, na primjer, kut od 60°. Ovdje je sve jednostavno, bez dodataka. Crtamo koordinatne osi, krug. Možete izravno rukom, bez ikakvog šestara i ravnala. Crtamo shematski O: Nemamo izradu s vama. Nema potrebe pridržavati se GOST-ova, neće biti kažnjeni.)

Možete (za sebe) označiti vrijednosti kutova na osi i označiti strelicom u smjeru protiv vremena. Uostalom, uštedjet ćemo novac kao plus?) Ne možete to učiniti, ali morate sve imati u glavi.

A sada crtamo drugu (pokretnu) stranu ugla. Koja četvrtina? U prvom, naravno! Za 60 stupnjeva je striktno između 0° i 90°. Dakle, remizirali smo u prvoj četvrtini. pod kutom oko 60 stupnjeva prema fiksnoj strani. Kako brojati oko 60 stupnjeva bez kutomjera? Lako! 60° je dvije trećine pravog kuta! Prvu četvrtinu kruga mentalno podijelimo na tri dijela, dvije trećine uzimamo za sebe. I crtamo ... Koliko zapravo stignemo tamo (ako pričvrstimo kutomjer i izmjerimo ga) - 55 stupnjeva ili 64 - nije važno! Važno je da još uvijek negdje oko 60°.

Dobivamo sliku:

To je sve. I nije bio potreban nikakav alat. Razvijamo oko! Dobro će vam doći u geometrijskim problemima.) Ovaj neugledni crtež može biti nezamjenjiv kada morate na brzinu zagrebati krug i kut, a da pritom ne razmišljate o ljepoti. Ali u isto vrijeme škrabati pravo, bez grešaka, sa svim potrebnim podacima. Na primjer, kao pomoć pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.

Sada nacrtajmo kut, na primjer, 265°. Pogodite gdje bi to moglo biti? Dobro, jasno je da ni u prvoj četvrtini, a ni u drugoj: završavaju na 90 i 180 stupnjeva. Možete misliti da je 265° 180° plus još 85°. To jest, negativnoj poluosi OX (gdje je 180 °) mora se dodati oko 85°. Ili, još lakše, pogoditi da 265° ne dopire do negativne poluosi OY (gdje je 270°) nekih nesretnih 5°. Jednom riječju, u trećoj četvrtini će biti ovaj korner. Vrlo blizu negativne osi OY, do 270 stupnjeva, ali ipak u trećini!

Crtati:

Opet, ovdje nije potrebna apsolutna preciznost. Neka je u stvarnosti ovaj kut, recimo, 263 stupnja. Ali najvažnije pitanje (koji kvartal?) odgovorili smo točno. Zašto je ovo najvažnije pitanje? Da, jer svaki rad s kutom u trigonometriji (bez obzira crtali taj kut ili ne) počinje upravo odgovorom na ovo pitanje! Je uvijek. Ako zanemarite ovo pitanje ili pokušate mentalno odgovoriti na njega, pogreške su gotovo neizbježne, da ... Treba li vam?

Zapamtiti:

Svaki rad s kutom (uključujući i crtanje tog kuta na kružnici) uvijek počinje određivanjem četvrtine u koju taj kut pada.

Sada se nadam da ćete ispravno nacrtati kutove, na primjer, 182°, 88°, 280°. NA ispravitičetvrtine. U trećem, prvom i četvrtom, ako ništa ...)

Četvrta četvrtina završava pod kutom od 360°. Ovo je jedan puni okret. Pepperu je jasno da ovaj kut zauzima isti položaj na kružnici kao 0° (tj. referentna točka). Ali uglovi tu ne završavaju, da...

Što učiniti s kutovima većim od 360°?

"Postoje li takve stvari?"- pitaš. Ima ih, kako! To se događa, na primjer, pod kutom od 444 °. A ponekad, recimo, kut od 1000 °. Postoje sve vrste kutova.) Samo vizualno, takvi egzotični kutovi se percipiraju malo kompliciranije od uobičajenih kutova unutar jednog okreta. Ali također morate znati nacrtati i izračunati takve kutove, da.

Da biste ispravno nacrtali takve kutove na krugu, morate učiniti istu stvar - saznati u koju četvrtinu pada interesni kut. Ovdje je sposobnost točnog određivanja četvrtine mnogo važnija nego za kutove od 0 ° do 360 °! Sama procedura određivanja četvrtine komplicirana je u samo jednom koraku. Koji, vidjet ćete uskoro.

Tako, na primjer, trebamo saznati u koju četvrtinu pada kut od 444°. Počinjemo vrtjeti. Gdje? Kao plus, naravno! Dali su nam pozitivan kut! +444°. Vrtimo, vrtimo ... Zakrenuli smo jedan okret - stigli smo do 360 °.

Koliko je ostalo do 444°?Brojimo preostali rep:

444°-360° = 84°.

Dakle, 444° je jedan puni okret (360°) plus još 84°. Očito, ovo je prvi kvartal. Dakle, kut 444° pada u prvom kvartalu. Napola gotovo.

Sada ostaje prikazati ovaj kut. Kako? Jako jednostavno! Napravimo jedan puni okret duž crvene (plus) strelice i dodamo još 84 °.

Kao ovo:

Ovdje nisam zatrpao crtež - potpišite četvrtine, nacrtajte kutove na osi. Sva ta dobrota trebala mi je odavno biti u glavi.)

Ali pokazao sam "pužem" ili spiralom kako točno nastaje kut od 444° od kutova od 360° i 84°. Isprekidana crvena linija je jedan puni okret. Na koji su dodatno pričvršćeni 84° (puna linija). Usput, imajte na umu da ako se ovaj puni okret odbaci, to ni na koji način neće utjecati na položaj našeg kuta!

Ali ovo je važno! Položaj kuta 444° potpuno podudara s položajem kuta od 84°. Nema čuda, jednostavno se dogodi.)

Je li moguće odbaciti ne jedan puni krug, već dva ili više?

Zašto ne? Ako je kut težak, onda to nije samo moguće, već čak i potrebno! Kut se neće promijeniti! Točnije, sam kut će se, naravno, promijeniti u veličini. Ali njegov položaj na krugu – nikako!) Zato oni puna zamah, da bez obzira koliko kopija dodate, bez obzira koliko oduzmete, i dalje ćete pogoditi istu točku. Lijepo, zar ne?

Zapamtiti:

Dodamo li (oduzmemo) kutu bilo koji cijeli broj potpunih okretaja, položaj izvornog kuta na krugu se NEĆE promijeniti!

Na primjer:

U koju četvrtinu pada kut 1000°?

Nema problema! Uzimamo u obzir koliko punih okretaja ima tisuću stupnjeva. Jedan okret je 360°, drugi je već 720°, treći je 1080°… Stop! Poprsje! Dakle, pod kutom od 1000 ° sjedi dva puni promet. Izbacite ih iz 1000° i izračunajte ostatak:

1000° - 2 360° = 280°

Dakle, položaj kuta 1000° na kružnici isti, što je jednako kutu od 280°. S kojim je već puno ugodnije raditi.) A gdje pada ovaj kut? Pada u četvrtu četvrtinu: 270° (negativna poluos OY) plus još deset.

Crtati:

Ovdje više nisam nacrtao dva puna zavoja s točkastom spiralom: ispada da je bolno dugo. Upravo sam nacrtao ostatak konjskog repa od nule, odbacivanje svi dodatni okreti. Kao da nisu ni postojali.)

Ponovno. U dobrom smislu, kutovi 444° i 84°, kao i 1000° i 280° su različiti. Ali za sinus, kosinus, tangens i kotangens, ovi kutovi jesu isto!

Kao što vidite, da biste radili s kutovima većim od 360°, morate definirati koliko punih okretaja ima u određenom velikom kutu. Ovo je dodatni korak koji se mora učiniti prije rada s takvim kutovima. Ništa komplicirano, zar ne?

Ispuštanje punih okretaja je, naravno, ugodno iskustvo.) Ali u praksi, kada radite s apsolutno strašnim kutovima, također se javljaju poteškoće.

Na primjer:

U koju četvrtinu pada kut 31240°?

I što, dodavat ćemo 360 stupnjeva mnogo, mnogo puta? Moguće je, ako ne gori posebno. Ali ne možemo samo zbrajati.) Možemo i dijeliti!

Dakle, podijelimo naš ogromni kut na 360 stupnjeva!

Ovom radnjom samo saznajemo koliko se punih okretaja krije u naših 31240 stupnjeva. Možete dijeliti kutak, možete (šapnuti na uho :)) na kalkulatoru.)

Dobivamo 31240:360 = 86,777777….

Činjenica da se broj pokazao razlomkom nije zastrašujuća. Mi smo samo cijeli Zanimaju me prometi! Stoga nema potrebe dijeliti do kraja.)

Dakle, u našem čupavom kutu sjedi čak 86 punih okretaja. Užas…

U stupnjevima će biti86 360° = 30960°

Kao ovo. Toliko se stupnjeva može bezbolno izbaciti iz zadanog kuta od 31240°. Ostaci:

31240° - 30960° = 280°

Sve! Kutna pozicija 31240° potpuno identificirana! Na istom mjestu kao i 280°. Oni. četvrta četvrtina.) Čini se da smo već prije prikazali ovaj kut? Kada je nacrtan kut od 1000°?) Tu smo također otišli 280 stupnjeva. Koincidencija.)

Dakle, moral priče je sljedeći:

Ako nam je dodijeljen užasan teški kut, onda:

1. Odredite koliko punih okretaja ima u ovom kutu. Da biste to učinili, podijelite izvorni kut s 360 i odbacite frakcijski dio.

2. Uzimamo u obzir koliko stupnjeva ima primljeni broj okretaja. Da biste to učinili, pomnožite broj okretaja s 360.

3. Oduzmite te okretaje od izvornog kuta i radite s uobičajenim kutom u rasponu od 0° do 360°.

Kako raditi s negativnim kutovima?

Nema problema! Na isti način kao i kod pozitivnih, samo s jednom jedinom razlikom. Što? Da! Trebate okrenuti uglove obrnuta strana, minus! u smjeru kazaljke na satu.)

Nacrtajmo, na primjer, kut od -200°. U početku je sve kao i obično za pozitivne kutove - osi, krug. Nacrtajmo plavu strelicu s minusom i na drugi način potpišemo kutove na osi. I oni će se, naravno, morati računati u negativnom smjeru. To će svi biti isti kutovi, koji prelaze 90°, ali računajući u suprotnom smjeru, minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Slika će izgledati ovako:

Pri radu s negativnim kutovima često postoji osjećaj blage zbunjenosti. Kako to?! Ispada da je ista os i, recimo, +90° i -270°? Ne, tu nešto nije u redu...

Da, sve je čisto i transparentno! Uostalom, već znamo da se svaka točka na kružnici može nazvati i pozitivnim i negativnim kutom! Apsolutno bilo koji. Uključujući i neke od koordinatnih osi. U našem slučaju, trebamo negativan računanje kutova. Dakle, odsječemo sve uglove na minus.)

Sada crtanje pravog kuta od -200° nije problem. Ovo je -180° i minus još 20°. Počinjemo navijati od nule do minusa: letimo kroz četvrtu četvrtinu, treća je također prošla, dostižemo -180 °. Gdje namotati preostalih dvadeset? Da, tu je sve u redu! Po satu.) Ukupni kut -200° spada u drugičetvrtina.

Sada razumijete koliko je važno zapamtiti kutove na koordinatnim osima?

Kutovi na koordinatnim osima (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) moraju se precizno upamtiti kako bi se točno odredila četvrtina u kojoj kut pada!

A ako je kut velik, s nekoliko punih okreta? U redu je! Kakve veze ima gdje se vrte te pune brzine - u plus ili minus? Točka na kružnici neće promijeniti svoj položaj!

Na primjer:

U koji kvadrant pada kut -2000°?

Sve isto! Za početak, razmatramo koliko punih okretaja stoji u ovom zlom kutu. Da ne bismo petljali u predznacima, ostavimo za sada minus i samo podijelimo 2000 sa 360. Dobivamo 5 s repom. Rep nam još ne smeta, računat ćemo ga malo kasnije kad povučemo kut. Vjerujemo pet puni okretaji u stupnjevima:

5 360° = 1800°

Voot. Toliko dodatnih stupnjeva možete sigurno izbaciti iz našeg kuta bez štete po zdravlje.

Brojimo preostali rep:

2000° – 1800° = 200°

A sada se možete sjetiti i minusa.) Gdje ćemo namotati rep 200 °? Mana, naravno! Dan nam je negativan kut.)

2000° = -1800° - 200°

Dakle, crtamo kut od -200 °, samo bez dodatnih zavoja. Upravo sam ga nacrtao, ali, neka bude, slikat ću ga još jednom. Ručno.

Papar je jasno da zadani kut -2000 °, kao i -200 °, spada u druga četvrtina.

Dakle, motamo se u krug ... pardon ... na brkove:

Ako je zadan jako veliki negativni kut, tada je prvi dio rada s njim (pronalaženje broja punih okretaja i njihovo odbacivanje) isti kao kod rada s pozitivnim kutom. Znak minus ne igra nikakvu ulogu u ovoj fazi rješenja. Znak se uzima u obzir samo na samom kraju, kada se radi s kutom koji preostane nakon uklanjanja punih zavoja.

Kao što vidite, crtanje negativnih kutova na kružnici nije ništa teže od crtanja pozitivnih.

Sve je isto, samo u drugom smjeru! Po satu!

A sada - najzanimljivije! Pokrili smo pozitivne kutove, negativne kutove, velike kutove, male kutove - cijeli raspon. Također smo saznali da se svaka točka na kružnici može nazvati pozitivnim i negativnim kutom, odbacili smo pune zavoje... Nema razmišljanja? Trebalo bi odgoditi...

Da! Koju god točku na krugu uzmete, ona će odgovarati beskrajni kutovi! Veliki i ne tako, pozitivni i negativni - svi! A razlika između ovih kutova bit će cijeli broj potpunih zavoja. Je uvijek! Tako je trigonometrijski krug uređen, da ...) Zato obrnuti zadatak je pronaći kut prema poznatom sinusu / kosinusu / tangensu / kotangensu - riješen je dvosmisleno. I mnogo teže. Za razliku od izravnog problema - pronaći cijeli skup njegovih trigonometrijskih funkcija za zadani kut. I u ozbiljnijim temama trigonometrije ( lukovi, trigonometrijski jednadžbe i nejednakosti ) stalno ćemo se susretati s ovim čipom. Navikavanje.)

1. U koju četvrtinu pada kut -345°?

2. U koju četvrtinu pada kut 666°?

3. U koju četvrtinu spada kut 5555°?

4. U koju četvrtinu spada kut -3700°?

5. Koji je znakcos999°?

6. Koji je znakctg999°?

I je li uspjelo? Predivno! Imamo problem? Onda ti.

odgovori:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Ovog puta, odgovori su dati redom, kršeći tradiciju. Jer postoje samo četiri četvrtine, a postoje samo dva znaka. Nećeš pobjeći...)

U sljedećoj lekciji pričat ćemo o radijanima, o tajanstvenom broju „pi“, naučit ćemo kako lako i jednostavno pretvoriti radijane u stupnjeve i obrnuto. I iznenadit ćemo se kad otkrijemo da će nam čak i ova jednostavna znanja i vještine biti sasvim dovoljni za uspješno rješavanje mnogih netrivijalnih problema u trigonometriji!

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Par različitih zraka Oa i Ob, koji izlaze iz iste točke O, naziva se kut i označava se simbolom (a, b). Točku O nazivamo vrhom kuta, a zrake Oa u Ob stranicama kuta. Ako su A i B dvije točke zraka Oa i Ob, tada (a, b) također označavamo simbolom AOB (sl. 1.1).

Kut (a, b) naziva se rasklopljenim ako zrake Oa i Ob, koje izlaze iz jedne točke, leže na istoj ravnoj liniji i ne podudaraju se (tj. Suprotno su usmjerene).

sl.1.1

Dva se kuta smatraju jednakima ako se jedan kut može postaviti na drugi tako da se stranice kutova podudaraju. Simetrala kuta je zraka koja počinje u vrhu kuta i dijeli kut na dva jednaka kuta.

Kažu da zraka OS koja izlazi iz vrha kuta AOB leži između njegovih stranica ako siječe segment AB (slika 1.2). Kaže se da točka C leži između stranica kuta ako se kroz tu točku može povući zraka koja počinje u vrhu kuta i leži između stranica kuta. Skup svih točaka ravnine koje leže između stranica kuta čini unutarnje područje kuta (slika 1.3). Skup točaka u ravnini koje ne pripadaju unutarnjem području i stranicama kuta čini vanjsko područje kuta.

Kut (a, b) se smatra većim od kuta (c, d) ako se kut (c, d) može superponirati na kut (a, b) tako da nakon kombiniranja jednog para stranica, druga stranica kut (c, d) nalazit će se između stranica kuta (a, b). Na sl. 1.4 AOB je veći od AOC.

Neka zraka c leži između stranica kuta (a, b) (slika 1.5). Parovi zraka a, c i c, b tvore dva kuta. Za kut (a, b) kažemo da je zbroj dvaju kutova (a, c) i (c, b), a pišu: (a, b) = (a, c) + (c, b).

sl.1.3

Obično se u geometriji radi s kutovima manjim od proširenog. Međutim, kao rezultat dodavanja dva kuta, možete dobiti kut koji je veći od proširenog. U ovom slučaju, taj dio ravnine, koji se smatra unutarnjim područjem kuta, označen je lukom. Na sl. 1.6 unutarnji dio kuta AOB, dobiven kao rezultat zbrajanja kutova AOC i COB i većeg proširenog, označen je lukom.

sl.1.5

Postoje i kutovi veći od 360°. Takvi kutovi nastaju npr. rotacijom propelera zrakoplova, rotacijom bubnja na koji je namotano uže itd.

Ubuduće, pri razmatranju svakog kuta, dogovorit ćemo se da jednu od stranica ovog kuta smatramo njegovom početnom, a drugu krajnjom stranom.

Bilo koji kut, kao što je kut AOB (sl. 1.7), može se dobiti kao rezultat rotacije pokretne grede oko vrha O od početne strane kuta (OA) do njegove završne stranice (OB). Ovaj kut izmjerit ćemo uzimajući u obzir ukupan broj okretaja oko točke O, kao i smjer u kojem se vrtnja dogodila.

Pozitivni i negativni kutovi.

Neka imamo kut koji čine zrake OA i OB (slika 1.8). Pomična greda, rotirajući oko točke O iz svoje početne pozicije (OA), može zauzeti konačnu poziciju (OB) s dva različita smjera rotacije. Ti smjerovi prikazani su na slici 1.8 odgovarajućim strelicama.

sl.1.7

Kao što se na brojevnoj osi jedan od dva smjera smatra pozitivnim, a drugi negativnim, razlikuju se i dva različita smjera rotacije pokretne zrake. Dogovorili smo se da pozitivnim smjerom vrtnje smatramo onaj smjer koji je suprotan smjeru vrtnje u smjeru kazaljke na satu. Smjer rotacije koji se podudara sa smjerom rotacije kazaljke sata smatra se negativnim.

U skladu s ovim definicijama kutovi se također dijele na pozitivne i negativne.

Pozitivan kut je kut koji nastaje rotacijom pomične grede oko početne točke u pozitivnom smjeru.

Slika 1.9 prikazuje neke pozitivne kutove. (Smjer rotacije pokretne zrake prikazan je strelicama na crtežima.)

Negativan kut je kut koji nastaje rotacijom pomične grede oko početne točke u negativnom smjeru.

Slika 1.10 prikazuje neke negativne kutove. (Smjer rotacije pokretne zrake prikazan je strelicama na crtežima.)

Ali dvije zrake koje se podudaraju također mogu formirati kutove +360°n i -360°n (n = 0,1,2,3,...). Označimo s b najmanji mogući nenegativan kut rotacije koji prevodi gredu OA u položaj OB. Ako sada greda OB napravi dodatnu potpunu revoluciju oko točke O, tada ćemo dobiti drugu vrijednost kuta, naime: ABO \u003d b + 360 °.

Mjerenje kutova kružnim lukovima. Jedinice luka i kuta

U nekim slučajevima pogodno je mjeriti kutove pomoću kružnih lukova. Mogućnost takvog mjerenja temelji se na poznatom prijedlogu planimetrije da su u jednoj kružnici (ili u jednakim kružnicama) središnji kutovi i njima odgovarajući lukovi u pravom razmjeru.

Neka se za mjernu jedinicu lukova uzme neki luk zadane kružnice. Središnji kut koji odgovara ovom luku uzet će se kao mjerna jedinica kutova. Pod ovim uvjetom, bilo koji kružni luk i središnji kut koji odgovara tom luku sadržavat će isti broj jedinica. Stoga je mjerenjem lukova kružnice moguće odrediti vrijednost središnjih kutova koji odgovaraju tim lukovima.

Razmotrite dva najčešća sustava za mjerenje lukova i kutova.

Stupnjevna mjera kutova

Kod mjerenja kutova u stupnjevima osnovna mjerna jedinica kutova (referentni kut s kojim se uspoređuju različiti kutovi) uzima se kut od jednog stupnja (označava se s 1?). Kut od jednog stupnja je kut jednak 1/180 ravnog kuta. Kut jednak 1/60 kuta u 1° je kut od jedne minute (označen s 1"). Kut jednak 1/60 kuta u jednoj minuti je kut od jedne sekunde (označen s 1").

Radijanska mjera kutova

Uz stupanjsku mjeru kutova u geometriji i trigonometriji koristi se još jedna mjera kutova, koja se naziva radijan. Promotrimo krug polumjera R sa središtem O. Nacrtaj dva polumjera O A i OB tako da duljina luka AB bude jednaka polumjeru kruga (slika 1.12). Rezultirajući središnji kut AOB bit će kut od jednog radijana. Kao mjerna jedinica za radijansku mjeru kutova uzima se kut od 1 radijana. Kod mjerenja kutova u radijanima razvijeni kut jednak je p radijanima.

Jedinice za mjerenje kutova stupanj i radijan povezane su jednakostima:

1 radijan \u003d 180? / p57 ° 17 "45"; 1? \u003d p / 180 radijana 0,017453 radijana;

1"=p/180*60 radijana0,000291 radijana;

1""=p/180*60*60 radijana0,000005 radijana.

Mjera kuta u stupnju (ili radijanu) naziva se i veličina kuta. Vrijednost kuta AOB ponekad se označava /

Klasifikacija kutova

Kut jednak 90°, ili u radijanskoj mjeri p/2, naziva se pravim kutom; često se označava slovom d. Kut manji od 90° naziva se šiljasti kut; Kut veći od 90°, ali manji od 180° naziva se tupi kut.

Dva kuta koji dijele istu stranicu i zbroj koji iznosi 180° nazivaju se susjednim kutovima. Dva kuta koji dijele istu stranicu i zbroj koji iznosi 90° nazivaju se komplementarnim kutovima.