Valna funkcija čestice. Fizičko značenje valne funkcije

> Valna funkcija

Pročitaj o valna funkcija i teorija vjerojatnosti kvantne mehanike: bit Schrödingerove jednadžbe, stanje kvantne čestice, harmonijski oscilator, shema.

Riječ je o amplitudi vjerojatnosti u kvantnoj mehanici, koja opisuje kvantno stanje čestice i njezino ponašanje.

Zadatak učenja

• Kombinirajte valnu funkciju i gustoću vjerojatnosti detekcije čestica.

Ključne točke

• |ψ| 2 (x) odgovara gustoći vjerojatnosti otkrivanja čestice na određenom mjestu iu određenom trenutku.
• Zakoni kvantne mehanike karakteriziraju evoluciju valne funkcije. Schrödingerova jednadžba objašnjava njezin naziv.
• Valna funkcija mora zadovoljiti mnoga matematička ograničenja za računanje i fizikalnu interpretaciju.

Pojmovi

• Schrödingerova jednadžba je parcijalni diferencijal koji karakterizira promjenu stanja fizičkog sustava. Formulirao ga je 1925. Erwin Schrödinger.
• Harmonijski oscilator je sustav koji, kada se pomakne iz svog prvobitnog položaja, doživljava utjecaj sile F proporcionalne pomaku x.

Unutar kvantne mehanike, valna funkcija odražava amplitudu vjerojatnosti koja karakterizira kvantno stanje čestice i njezino ponašanje. Obično je vrijednost složeni broj. Najčešći simboli valne funkcije su ψ (x) ili Ψ(x). Iako je ψ kompleksan broj, |ψ| 2 je realan i odgovara gustoći vjerojatnosti pronalaska čestice na određenom mjestu iu određenom vremenu.

Ovdje su putanje harmonijskog oscilatora prikazane u klasičnom (A-B) i kvantnom (C-H) mehanika. U kvantnoj kugli valna funkcija prikazana je s realnim dijelom plavom bojom, a imaginarnim crvenim. TrajektorijeC-F su primjeri stojnih valova. Svaka takva frekvencija bit će proporcionalna mogućoj razini energije oscilatora

Zakoni kvantne mehanike evoluiraju tijekom vremena. Valna funkcija nalikuje drugima, poput valova u vodi ili struni. Činjenica je da je Schrödingerova formula vrsta valne jednadžbe u matematici. To dovodi do dualnosti valnih čestica.

Valna funkcija mora biti u skladu s ograničenjima:

• uvijek konačno.
• uvijek kontinuirano i kontinuirano diferencijabilno.
• zadovoljava odgovarajući uvjet normalizacije tako da čestica postoji sa 100% sigurnošću.

Ako zahtjevi nisu zadovoljeni, tada se valna funkcija ne može interpretirati kao amplituda vjerojatnosti. Ako zanemarimo te pozicije i upotrijebimo valnu funkciju za određivanje opažanja kvantnog sustava, nećemo dobiti konačne i definitivne vrijednosti.

korpuskularno-valni dualizam u kvantnoj fizici opisuje stanje čestice pomoću valne funkcije ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funkcija).

Definicija 1

valna funkcija je funkcija koja se koristi u kvantnoj mehanici. Opisuje stanje sustava koji ima dimenzije u prostoru. To je vektor stanja.

Ova je funkcija složena i formalno ima valna svojstva. Kretanje bilo koje čestice mikrosvijeta određeno je probabilističkim zakonima. Distribucija vjerojatnosti otkriva se pri velikom broju promatranja (mjerenja) ili velikom broju čestica. Dobivena raspodjela slična je raspodjeli intenziteta valova. To jest, na mjestima s najvećim intenzitetom, zabilježen je maksimalan broj čestica.

Skup argumenata valne funkcije određuje njenu reprezentaciju. Dakle, moguć je prikaz koordinate: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, prikaz momenta: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$, itd.

U kvantnoj fizici cilj nije točno predvidjeti događaj, već procijeniti vjerojatnost događaja. Znajući veličinu vjerojatnosti, pronađite prosječne vrijednosti fizičkih veličina. Valna funkcija omogućuje pronalaženje sličnih vjerojatnosti.

Dakle, vjerojatnost prisutnosti mikročestice u volumenu dV u trenutku t može se definirati kao:

gdje je $\psi^*$ kompleksna funkcija konjugirana funkciji $\psi.$ Gustoća vjerojatnosti (vjerojatnost po jedinici volumena) je:

Vjerojatnost je veličina koja se može promatrati u pokusu. Istovremeno, valna funkcija nije dostupna za promatranje, jer je složena (u klasičnoj fizici, parametri koji karakteriziraju stanje čestice dostupni su za promatranje).

Uvjet normalizacije za $\psi$-funkcije

Valna funkcija je definirana do proizvoljnog konstantnog faktora. Ova činjenica ne utječe na stanje čestice, koje $\psi$-funkcija opisuje. Međutim, valna funkcija je odabrana na takav način da zadovoljava uvjet normalizacije:

gdje se integral uzima po cijelom prostoru ili po području u kojem valna funkcija nije jednaka nuli. Uvjet normalizacije (2) znači da je u cijelom području gdje je $\psi\ne 0$ čestica pouzdano prisutna. Valna funkcija koja ispunjava uvjet normalizacije naziva se normalizirana. Ako je $(\left|\psi\right|)^2=0$, onda ovaj uvjet znači da sigurno nema čestica u području koje se proučava.

Normalizacija oblika (2) moguća je za diskretni spektar svojstvenih vrijednosti.

Uvjet normalizacije možda neće biti izvediv. Dakle, ako je $\psi$ de Broglieva ravna valna funkcija i vjerojatnost pronalaska čestice je ista za sve točke u prostoru. Ovi se slučajevi smatraju idealnim modelom u kojem je čestica prisutna u velikom, ali ograničenom području prostora.

Princip superpozicije valne funkcije

Ovaj princip je jedan od glavnih postulata kvantne teorije. Njegovo značenje je sljedeće: ako su za neki sustav moguća stanja opisana valnim funkcijama $\psi_1\ (\rm u)\ $$\psi_2$, tada za taj sustav postoji stanje:

gdje su $C_(1\ )i\ C_2$ konstantni koeficijenti. Načelo superpozicije potvrđeno je empirijski.

Možemo govoriti o dodavanju bilo kojeg broja kvantnih stanja:

gdje je $(\left|C_n\right|)^2$ vjerojatnost da se sustav nađe u stanju opisanom valnom funkcijom $\psi_n.$

Stacionarna stanja

U kvantnoj teoriji posebnu ulogu imaju stacionarna stanja (stanja u kojima se svi vidljivi fizikalni parametri ne mijenjaju u vremenu). (Sama valna funkcija je fundamentalno nevidljiva). U stacionarnom stanju $\psi$-funkcija ima oblik:

gdje $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ne ovisi o vremenu, $E$ je energija čestice. U obliku (3) valne funkcije, gustoća vjerojatnosti ($P$) je vremenska konstanta:

Iz fizičkih svojstava stacionarnih stanja slijede matematički zahtjevi za valnu funkciju $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Matematički zahtjevi za valnu funkciju za stacionarna stanja

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - funkcija mora biti u svim točkama:

• stalan,
• nedvosmislen,
• konačan.

Ako potencijalna energija ima površinu diskontinuiteta, tada na takvim površinama funkcija $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ i njezina prva derivacija moraju ostati kontinuirane. U području prostora gdje potencijalna energija postaje beskonačna, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ mora biti jednak nuli. Kontinuitet funkcije $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ zahtijeva da $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ na bilo kojoj granici ovog područja. Uvjet kontinuiteta nametnut je na parcijalne derivacije valne funkcije ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ djelomični z)$).

Primjer 1

Vježba: Za neku česticu dana je valna funkcija oblika: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, gdje je $r$ udaljenost od čestice do centar sile (slika 1), $a=const$. Primijenite uvjet normalizacije, pronađite faktor normalizacije A.

Slika 1.

Riješenje:

Uvjet normalizacije za naš slučaj zapisujemo u obliku:

\[\int((\lijevo|\psi\desno|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\lijevo(1,1\desno)))\]

gdje je $dV=4\pi r^2dr$ (vidi sl.1. Iz uvjeta je jasno da problem ima sfernu simetriju). Iz uvjeta problema imamo:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\lijevo(1,2\desno).\]

Zamijenimo $dV$ i valne funkcije (1.2) u uvjet normalizacije:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ pravo).)\]

Integrirajmo s lijeve strane:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\lijevo(1,4\desno).)\]

Iz formule (1.4) izražavamo željeni koeficijent:

Odgovor:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Primjer 2

Vježba: Koja je najvjerojatnija udaljenost ($r_B$) elektrona od jezgre ako se valna funkcija koja opisuje osnovno stanje elektrona u atomu vodika može definirati kao: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, gdje je $ r$ udaljenost od elektrona do jezgre, $a$ je prvi Bohrov radijus?

Riješenje:

Koristimo se formulom koja određuje vjerojatnost prisutnosti mikročestice u volumenu $dV$ u trenutku $t$:

gdje je $dV=4\pi r^2dr.\ $Slijedom toga, imamo:

U ovom slučaju, $p=\frac(dP)(dr)$ može se napisati kao:

Za određivanje najvjerojatnije udaljenosti izjednačavamo derivaciju $\frac(dp)(dr)$ s nulom:

\[(\lijevo.\frac(dp)(dr)\desno|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\lijevo(-\frac(2)(a)\desno)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\lijevo(1- \frac(r)(a)\desno)=0(2,4)\]

Budući da nam rješenje $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ ne odgovara, ono se odbija:

Otkriće valnih svojstava mikročestica pokazalo je da klasična mehanika ne može dati točan opis ponašanja takvih čestica. Teorija koja pokriva sva svojstva elementarnih čestica mora uzeti u obzir ne samo njihova korpuskularna svojstva, već i valna. Iz prethodno razmatranih eksperimenata proizlazi da snop elementarnih čestica ima svojstva ravnog vala koji se širi u smjeru brzine čestica. U slučaju širenja duž osi, ovaj se valni proces može opisati de Broglieovom valnom jednadžbom (7.43.5):

(7.44.1)

gdje je energija, a je impuls čestice. Kod širenja u proizvoljnom smjeru:

(7.44.2)

Nazovimo funkciju valnom funkcijom i doznajmo njeno fizikalno značenje usporedbom ogiba svjetlosnih valova i mikročestica.

Prema valnim idejama o prirodi svjetlosti, intenzitet difrakcijskog uzorka proporcionalan je kvadratu amplitude svjetlosnog vala. Prema konceptima fotonske teorije, intenzitet je određen brojem fotona koji padaju u danu točku difrakcijskog uzorka. Posljedično, broj fotona u danoj točki u difrakcijskom uzorku dan je kvadratom amplitude svjetlosnog vala, dok za jedan foton kvadrat amplitude određuje vjerojatnost da će foton pogoditi određenu točku.

Difrakcijski uzorak opažen za mikročestice također je karakteriziran nejednakom raspodjelom tokova mikročestica. Prisutnost maksimuma u difrakcijskom uzorku sa stajališta valne teorije znači da ti smjerovi odgovaraju najvećem intenzitetu de Broglie valova. Intenzitet je veći tamo gdje je veći broj čestica. Dakle, difrakcijski uzorak za mikročestice je manifestacija statističke pravilnosti, i možemo reći da poznavanje de Broglie valnog oblika, tj. Ψ -funkcije, omogućuje procjenu vjerojatnosti jednog ili drugog od mogućih procesa.

Dakle, u kvantnoj mehanici stanje mikročestica opisuje se na bitno nov način - uz pomoć valne funkcije, koja je glavni nositelj informacija o njihovim korpuskularnim i valnim svojstvima. Vjerojatnost pronalaska čestice u elementu volumena je

(7.44.3)

Vrijednost

(7.44.4)

ima značenje gustoće vjerojatnosti, tj. određuje vjerojatnost pronalaska čestice u jedinici volumena u blizini dane točke. Dakle, nije sama funkcija ta koja ima fizičko značenje, već kvadrat njezinog modula, koji određuje intenzitet de Broglie valova. Vjerojatnost pronalaženja čestice odjednom u konačnom volumenu, prema teoremu o zbrajanju vjerojatnosti, jednaka je

(7.44.5)

Budući da čestica postoji, ona se nužno nalazi negdje u svemiru. Tada je vjerojatnost određenog događaja jednaka jedinici

. (7.44.6)

Izraz (7.44.6) naziva se uvjetom normalizacije vjerojatnosti. Valna funkcija koja karakterizira vjerojatnost otkrivanja djelovanja mikročestice u elementu volumena mora biti konačna (vjerojatnost ne može biti veća od jedan), jednoznačna (vjerojatnost ne može biti dvosmislena vrijednost) i kontinuirana (vjerojatnost se ne može naglo mijenjati).

valna funkcija
valna funkcija

valna funkcija (ili vektor stanja) je složena funkcija koja opisuje stanje kvantnog mehaničkog sustava. Njegovo poznavanje omogućuje dobivanje najcjelovitijih informacija o sustavu, što je fundamentalno moguće postići u mikrosvijetu. Dakle, uz njegovu pomoć možete izračunati sve mjerljive fizičke karakteristike sustava, vjerojatnost njegovog postojanja na određenom mjestu u prostoru i evoluciju u vremenu. Valna funkcija može se pronaći rješavanjem Schrödingerove valne jednadžbe.
Valna funkcija ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) točkaste bezstrukturne čestice složena je funkcija koordinata te čestice i vremena. Najjednostavniji primjer takve funkcije je valna funkcija slobodne čestice s količinom gibanja i ukupnom energijom E (ravni val)

.

Valna funkcija sustava čestica A sadrži koordinate svih čestica: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Kvadratni modul valne funkcije pojedine čestice | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) daje vjerojatnost otkrivanja čestice u trenutku t u točki u prostoru opisanoj koordinatama, naime, | ψ (,t)| 2dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz je vjerojatnost pronalaska čestice u području prostora s volumenom dv = dxdydz oko točke x, y, z. Slično, vjerojatnost da se u trenutku t pronađe sustav čestica A s koordinatama 1 , 2 ,..., A u elementu volumena višedimenzionalnog prostora dana je s | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Valna funkcija u potpunosti određuje sve fizičke karakteristike kvantnog sustava. Dakle, prosječna promatrana vrijednost fizikalne veličine F za sustav dana je izrazom

,

gdje je operator ove veličine i integracija se provodi po cijelom području višedimenzionalnog prostora.
Umjesto koordinata čestica x, y, z, njihovi momenti p x , p y , p z ili drugi skupovi fizikalnih veličina mogu se odabrati kao nezavisne varijable valne funkcije. Ovaj izbor ovisi o reprezentaciji (koordinata, moment ili drugo).
Valna funkcija ψ (,t) čestice ne uzima u obzir njezine unutarnje karakteristike i stupnjeve slobode, tj. opisuje njezino gibanje kao cjelovitog besstrukturnog (točkastog) objekta po određenoj putanji (orbiti) u prostoru. Te unutarnje karakteristike čestice mogu biti njezin spin, helicitet, izospin (za čestice s jakom interakcijom), boja (za kvarkove i gluone) i neke druge. Unutarnje karakteristike čestice dane su posebnom valnom funkcijom njezina unutarnjeg stanja φ. U ovom slučaju, ukupna valna funkcija čestice Ψ može se prikazati kao umnožak funkcije orbitalnog gibanja ψ i unutarnje funkcije φ:

jer obično unutarnje karakteristike čestice i njezini stupnjevi slobode, koji opisuju orbitalno gibanje, ne ovise jedno o drugome.
Kao primjer, ograničili smo se na slučaj kada je jedina unutarnja karakteristika koju funkcija uzima u obzir spin čestice, a taj spin je jednak 1/2. Čestica s takvim spinom može biti u jednom od dva stanja - sa projekcijom spina na os z jednakom +1/2 (spin gore), i sa projekcijom spina na os z jednakom -1/2 (spin dolje). Ova dualnost opisana je spinskom funkcijom koja se uzima kao dvokomponentni spinor:

Tada će valna funkcija Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ opisati gibanje čestice sa spinom 1/2 usmjerenim prema gore po putanji određenoj funkcijom ψ , a valna funkcija Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ će opisati gibanje po istoj putanji iste čestice, ali sa spinom usmjerenim prema dolje.
Zaključno, napominjemo da su u kvantnoj mehanici moguća takva stanja koja se ne mogu opisati valnom funkcijom. Takva se stanja nazivaju mješovita stanja i opisuju se u smislu složenijeg pristupa korištenjem koncepta matrice gustoće. Stanja kvantnog sustava opisana valnom funkcijom nazivaju se čistima.

Za opis korpuskularno-valnih svojstava elektrona u kvantnoj mehanici koristi se valna funkcija koja se označava grčkim slovom psi (T). Glavna svojstva valne funkcije su:

• u bilo kojoj točki prostora s koordinatama x, y, z ima određeni predznak i amplitudu: NPV:, na, G);
• kvadratni modul valne funkcije | FH, y,z)| 2 jednaka je vjerojatnosti pronalaska čestice u jedinici volumena, tj. gustoća vjerojatnosti.

Gustoća vjerojatnosti pronalaska elektrona na različitim udaljenostima od jezgre atoma prikazana je na nekoliko načina. Često ga karakterizira broj točaka po jedinici volumena (Sl. 9.1, a). Bitmapa gustoće vjerojatnosti nalikuje oblaku. Govoreći o elektronskom oblaku, treba imati na umu da je elektron čestica koja istodobno pokazuje i korpuskularnu i valnu

Riža. 9.1.

Svojstva. Područje vjerojatnosti detekcije elektrona nema jasne granice. Međutim, moguće je odabrati prostor gdje je vjerojatnost njegove detekcije visoka ili čak maksimalna.

Na sl. 9.1, a isprekidana linija označava sfernu površinu unutar koje je vjerojatnost detekcije elektrona 90%. Na sl. 9.1, b prikazuje konturnu sliku gustoće elektrona u atomu vodika. Kontura najbliža jezgri pokriva područje prostora u kojem je vjerojatnost pronalaska elektrona 10%, dok je vjerojatnost pronalaska elektrona unutar druge konture od jezgre 20%, unutar treće - 30% itd. Na sl. 9.1, elektronski oblak je prikazan kao sferna površina unutar koje je vjerojatnost detekcije elektrona 90%.

Na kraju, na sl. 9.1, d i b, vjerojatnost otkrivanja elektrona Is na različitim udaljenostima prikazana je na dva načina G iz jezgre: na vrhu je prikazan "presjek" te vjerojatnosti koja prolazi kroz jezgru, a na dnu - sama funkcija 4lg 2 |U| 2.

Schrödingsrova jednadžba. Ovu temeljnu jednadžbu kvantne mehanike formulirao je austrijski fizičar E. Schrödinger 1926. Ona povezuje ukupnu energiju čestice E, jednak zbroju potencijalne i kinetičke energije, potencijalna energija?„, masa čestice t a valna funkcija 4*. Za jednu česticu, kao što je elektron s masom t e, izgleda ovako:

S matematičkog gledišta, ovo je jednadžba s tri nepoznanice: Y, E i?". Riješite ga, tj. te nepoznanice možete pronaći ako je riješite zajedno s dvije druge jednadžbe (potrebne su tri jednadžbe da biste pronašli tri nepoznanice). Kao takve jednadžbe koriste se jednadžbe za potencijalnu energiju i rubne uvjete.

Jednadžba potencijalne energije ne sadrži valnu funkciju U. Ona opisuje međudjelovanje nabijenih čestica prema Coulombovom zakonu. U međudjelovanju jednog elektrona s jezgrom koja ima naboj +z, potencijalna energija je jednaka

gdje r = Y* 2 + y 2+ z 2 .

To je slučaj takozvanog jednoelektronskog atoma. U složenijim sustavima, kada postoji mnogo nabijenih čestica, jednadžba potencijalne energije sastoji se od zbroja istih Coulombovih članova.

Jednadžba rubnih uvjeta je izraz

To znači da valna funkcija elektrona teži nuli na velikim udaljenostima od jezgre atoma.

Rješavanje Schrödingerove jednadžbe omogućuje vam pronalaženje valne funkcije elektrona? = (x, y, z) kao funkcija koordinata. Ova raspodjela naziva se orbitala.

Orbitalni - je prostorno definirana valna funkcija.

Sustav jednadžbi, koji uključuje Schrödingerovu jednadžbu, jednadžbu potencijalne energije i rubnih uvjeta, nema jedno, nego mnogo rješenja. Svako od rješenja istovremeno uključuje 4 x = (x, y, G) i E, tj. opisuje elektronski oblak i njegovu odgovarajuću ukupnu energiju. Svako rješenje je određeno kvantni brojevi.

Fizičko značenje kvantnih brojeva može se razumjeti razmatranjem vibracija strune, uslijed kojih nastaje stojni val (slika 9.2).

Duljina stojnog vala x i duljina niza b povezani jednadžbom

Duljina stojnog vala može imati samo strogo definirane vrijednosti koje odgovaraju broju P, koji uzima samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti 1,2,3, itd. Kao što je očito iz Sl. 9.2, broj maksimuma amplitude oscilacija, tj. oblik stojnog vala, jedinstveno određen vrijednošću P.

Budući da je val elektrona u atomu složeniji proces od stojnog vala strune, vrijednosti valne funkcije elektrona ne određuju jedan, već četiri

Riža. 9.2.

4 broja, koji se nazivaju kvantni brojevi i označavaju se slovima P, /, t i s. Zadan skup kvantnih brojeva P, /, t istodobno odgovaraju odredenoj valnoj funkciji H "lDl, a ukupna energija E „j. Kvantni broj t na E ne pokazuju, jer u nedostatku vanjskog polja, energija elektrona iz t ne ovisi. Kvantni broj s ne utječe na 4 * n xt, niti na E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*str
• Simboli --, --- znače druge parcijalne derivacije prvih 1 lukova 8z2 H "-funkcija. To su derivacije prvih derivacija. Značenje prve derivacije podudara se s nagibom funkcije H" iz argumenta x, u ili z na grafovima? \u003d j (x), T \u003d / 2 (y), W " \u003d /:! (z).