Primjeri proračuna apsolutne i relativne pogreške. Apsolutna pogreška mjerenja

Mjerenja se nazivaju ravno, ako se vrijednosti veličina određuju izravno instrumentima (npr. mjerenje duljine ravnalom, određivanje vremena štopericom i sl.). Mjerenja se nazivaju neizravni, ako je vrijednost izmjerene veličine određena izravnim mjerenjima drugih veličina koje su povezane s izmjerenim specifičnim odnosom.

Slučajne pogreške u izravnim mjerenjima

Apsolutna i relativna greška. Neka se drži N mjerenja iste količine x u nedostatku sustavne pogreške. Pojedinačni rezultati mjerenja izgledaju ovako: x 1 ,x 2 , …,x N. Prosječna vrijednost izmjerene veličine odabrana je kao najbolja:

Apsolutna pogreška pojedinačno mjerenje naziva se razlika oblika:

Prosječna apsolutna greška N pojedinačna mjerenja:

(2)

nazvao prosječna apsolutna greška.

Relativna greška je omjer prosječne apsolutne pogreške i prosječne vrijednosti izmjerene veličine:

. (3)

Pogreške instrumenata u izravnim mjerenjima

Ako nema posebnih uputa, pogreška instrumenta jednaka je polovici njegove vrijednosti podjele (ravnalo, menzura).

Pogreška instrumenata opremljenih nonijusom jednaka je vrijednosti podjele nonijusa (mikrometar - 0,01 mm, kaliper - 0,1 mm).

Pogreška tabličnih vrijednosti jednaka je polovici jedinice posljednje znamenke (pet jedinica sljedećeg reda nakon posljednje značajne znamenke).

Pogreška električnih mjernih instrumenata izračunava se prema razredu točnosti IZ naznačeno na skali instrumenta:

Na primjer:
i
,

gdje U max i ja max– granica mjerenja uređaja.

Pogreška uređaja s digitalnom indikacijom jednaka je jedinici zadnje znamenke indikacije.

Nakon procjene slučajne i instrumentalne pogreške, u obzir se uzima ona čija je vrijednost veća.

Proračun pogrešaka u neizravnim mjerenjima

Većina mjerenja je neizravna. U ovom slučaju, željena vrijednost X je funkcija nekoliko varijabli a,b, c… , čije se vrijednosti mogu pronaći izravnim mjerenjima: H = f( a, b, c…).

Aritmetička sredina rezultata neizravnih mjerenja bit će jednaka:

X = f( a, b, c…).

Jedan od načina izračunavanja pogreške je način diferenciranja prirodnog logaritma funkcije X = f( a, b, c...). Ako je npr. željena vrijednost X određena relacijom X = , tada nakon logaritmiranja dobivamo: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Diferencijal ovog izraza je:

S obzirom na izračun približnih vrijednosti, može se napisati za relativnu pogrešku u obliku:

 =
. (4)

Apsolutna pogreška u ovom slučaju izračunava se formulom:

H = H(5)

Dakle, izračun pogrešaka i izračun rezultata za neizravna mjerenja provode se sljedećim redoslijedom:

1) Provedite mjerenja svih veličina uključenih u izvornu formulu kako biste izračunali konačni rezultat.

2) Izračunajte aritmetičke sredine svake izmjerene vrijednosti i njihove apsolutne pogreške.

3) Zamijenite u izvornoj formuli prosječne vrijednosti svih izmjerenih vrijednosti i izračunajte prosječnu vrijednost željene vrijednosti:

X = f( a, b, c…).

4) Uzmite logaritam izvorne formule X = f( a, b, c...) i zapišite izraz za relativnu pogrešku u obliku formule (4).

5) Izračunajte relativnu pogrešku  = .

6) Izračunajte apsolutnu pogrešku rezultata pomoću formule (5).

7) Konačni rezultat je zapisan kao:

X \u003d X cf X

Apsolutne i relativne pogreške najjednostavnijih funkcija dane su u tablici:

Apsolutno

greška

Relativni

greška

a+ b

Često u životu imamo posla s raznim približnim vrijednostima. Približni izračuni su uvijek izračuni s nekom greškom.

Pojam apsolutne greške

Apsolutna pogreška približne vrijednosti je modul razlike između točne i približne vrijednosti.
Odnosno, od točne vrijednosti trebate oduzeti približnu vrijednost i uzeti rezultirajući broj modulo. Stoga je apsolutna pogreška uvijek pozitivna.

Kako izračunati apsolutnu pogrešku

Pokazat ćemo kako bi to moglo izgledati u praksi. Na primjer, imamo graf određene vrijednosti, neka to bude parabola: y=x^2.

Iz grafikona možemo odrediti približnu vrijednost u nekim točkama. Na primjer, pri x=1,5, vrijednost y je približno 2,2 (y≈2,2).

Pomoću formule y=x^2 možemo pronaći točnu vrijednost u točki x=1,5 y= 2,25.

Sada izračunavamo apsolutnu pogrešku naših mjerenja. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Apsolutna greška je 0,05. U takvim slučajevima također kažu da se vrijednost izračunava s točnošću od 0,05.

Često se događa da se točna vrijednost ne može uvijek pronaći, pa stoga ni apsolutnu pogrešku nije uvijek moguće pronaći.

Na primjer, ako pomoću ravnala izračunamo udaljenost između dviju točaka ili pomoću kutomjera kut između dviju ravnih linija, tada ćemo dobiti približne vrijednosti. Ali točna vrijednost se ne može izračunati. U tom slučaju možemo navesti broj koji ne može premašiti vrijednost apsolutne pogreške.

U primjeru s ravnalom to će biti 0,1 cm, budući da je vrijednost podjele na ravnalu 1 milimetar. U primjeru za kutomjer, 1 stupanj je zato što je skala kutomjera graduirana za svaki stupanj. Dakle, vrijednosti apsolutne pogreške u prvom slučaju su 0,1, au drugom slučaju 1.

Kao što je ranije spomenuto, kada uspoređujemo točnost mjerenja neke približne vrijednosti, koristimo apsolutnu pogrešku.

Pojam apsolutne greške

Apsolutna pogreška približne vrijednosti je modul razlike između točne i približne vrijednosti.
Apsolutna pogreška se može koristiti za usporedbu točnosti aproksimacija istih veličina, a ako ćemo uspoređivati točnost aproksimacija različitih veličina, onda sama apsolutna pogreška nije dovoljna.

Na primjer: Duljina lista A4 papira je (29,7 ± 0,1) cm, a udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve je (650 ± 1) km. Apsolutna pogreška u prvom slučaju ne prelazi jedan milimetar, au drugom - jedan kilometar. Pitanje je usporediti točnost tih mjerenja.

Ako mislite da se duljina lima mjeri preciznije jer apsolutna pogreška ne prelazi 1 mm. Onda ste u krivu. Ove se vrijednosti ne mogu izravno uspoređivati. Hajdemo malo zaključiti.

Prilikom mjerenja duljine lista, apsolutna pogreška ne prelazi 0,1 cm za 29,7 cm, odnosno u postotku je 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% izmjerene vrijednosti.

Kada mjerimo udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve, apsolutna pogreška ne prelazi 1 km na 650 km, što je 1/650 * 100% = 0,15% izmjerene vrijednosti kao postotak. Vidimo da se udaljenost između gradova mjeri točnije od duljine A4 lista.

Pojam relativne pogreške

Ovdje je za procjenu kvalitete aproksimacije uveden novi koncept relativne pogreške. Relativna greška je kvocijent dijeljenja apsolutne pogreške s modulom približnih vrijednosti izmjerene veličine. Obično se relativna pogreška izražava u postocima. U našem primjeru dobili smo dvije relativne pogreške jednake 0,33% i 0,15%.

Kao što ste možda pogodili, vrijednost relativne pogreške uvijek je pozitivna. To proizlazi iz činjenice da je apsolutna greška uvijek pozitivna, a dijelimo je s modulom, a modul je također uvijek pozitivan.

Zbog grešaka svojstvenih mjernom instrumentu, odabranoj metodi i mjernoj tehnici, različitosti vanjskih uvjeta u kojima se mjerenje izvodi od utvrđenih i drugih razloga, rezultat gotovo svakog mjerenja opterećen je greškom. Ta se pogreška izračunava ili procjenjuje i pripisuje dobivenom rezultatu.

Greška mjerenja(ukratko - pogreška mjerenja) - odstupanje rezultata mjerenja od prave vrijednosti mjerene veličine.

Prava vrijednost količine zbog prisutnosti pogrešaka ostaje nepoznata. Koristi se u rješavanju teorijskih problema mjeriteljstva. U praksi se koristi stvarna vrijednost količine koja zamjenjuje pravu vrijednost.

Pogreška mjerenja (Δx) nalazi se formulom:

x = x mjer. - x stvarno (1.3)

gdje x mjeri. – vrijednost količine dobivena na temelju mjerenja; x stvarno je vrijednost veličine uzeta kao stvarna.

Prava vrijednost za pojedinačna mjerenja često se uzima kao vrijednost dobivena uz pomoć uzornog mjernog instrumenta, za ponovljena mjerenja - aritmetička sredina vrijednosti pojedinačnih mjerenja uključenih u ovu seriju.

Pogreške mjerenja mogu se klasificirati prema sljedećim kriterijima:

Po prirodi manifestacije - sustavno i slučajno;

Po načinu izražavanja - apsolutni i relativni;

Prema uvjetima promjene izmjerene veličine - statički i dinamički;

Prema načinu obrade brojnih mjerenja - aritmetičkih i srednjih kvadrata;

Prema cjelovitosti obuhvata mjernog zadatka - privatne i cjelovite;

U odnosu na jedinicu fizikalne veličine - pogreška reprodukcije jedinice, pohranjivanja jedinice i prijenosa veličine jedinice.

Sustavna pogreška mjerenja(ukratko - sustavna pogreška) - komponenta pogreške mjernog rezultata, koja ostaje konstantna za određeni niz mjerenja ili se redovito mijenja tijekom ponovljenih mjerenja iste fizikalne veličine.

Prema prirodi manifestacije sustavne pogreške dijele se na stalne, progresivne i periodične. Trajne sustavne pogreške(ukratko - konstantne pogreške) - pogreške koje zadržavaju svoju vrijednost dugo vremena (na primjer, tijekom cijelog niza mjerenja). Ovo je najčešća vrsta pogreške.

Progresivne sustavne pogreške(ukratko - progresivne pogreške) - pogreške koje se kontinuirano povećavaju ili smanjuju (na primjer, pogreške zbog istrošenosti mjernih vrhova koji dolaze u kontakt tijekom brušenja s dijelom kada njime upravlja aktivni kontrolni uređaj).

Periodična sustavna pogreška(ukratko - periodična pogreška) - pogreška čija je vrijednost funkcija vremena ili funkcija kretanja kazaljke mjernog uređaja (na primjer, prisutnost ekscentriciteta u goniometrima s kružnom ljestvicom uzrokuje sustavnu pogrešku koja se mijenja prema periodičnom zakonu).

Prema razlozima nastanka sustavnih pogrešaka razlikuju se instrumentalne pogreške, pogreške metode, subjektivne pogreške i pogreške zbog odstupanja vanjskih uvjeta mjerenja od utvrđenih metoda.

Greška instrumentalnog mjerenja(ukratko - instrumentalna pogreška) rezultat je niza razloga: istrošenost dijelova instrumenta, preveliko trenje u mehanizmu instrumenta, netočni udarci na skali, odstupanje između stvarne i nazivne vrijednosti mjere i dr.

Greška metode mjerenja(ukratko - pogreška metode) može nastati zbog nesavršenosti metode mjerenja ili njezinih pojednostavljenja, utvrđenih postupkom mjerenja. Na primjer, takva pogreška može biti posljedica nedovoljne brzine mjernih instrumenata koji se koriste pri mjerenju parametara brzih procesa ili neuračunatih nečistoća pri određivanju gustoće tvari na temelju rezultata mjerenja njezine mase i volumena.

Subjektivna greška mjerenja(ukratko - subjektivna greška) je posljedica individualnih grešaka operatera. Ponekad se ova greška naziva osobnom razlikom. To je uzrokovano, na primjer, kašnjenjem ili napretkom u prihvaćanju signala od strane operatera.

Pogreška odstupanja(u jednom smjeru) vanjski uvjeti mjerenja od onih koji su uspostavljeni mjernim postupkom dovodi do pojave sustavne komponente pogreške mjerenja.

Sustavne pogreške iskrivljuju rezultat mjerenja, pa ih je potrebno otkloniti, koliko je to moguće, uvođenjem korekcija ili podešavanjem instrumenta kako bi se sustavne pogreške svele na prihvatljivi minimum.

Neisključena sustavna pogreška(ukratko - neisključena pogreška) - to je pogreška mjernog rezultata zbog pogreške u izračunu i uvođenju korekcije za učinak sustavne pogreške ili mala sustavna pogreška za koju se korekcija ne uvodi zbog malenkost.

Ova vrsta pogreške ponekad se naziva neisključeni ostaci pristranosti(ukratko - neisključena stanja). Na primjer, pri mjerenju duljine linijskog metra u valnim duljinama referentnog zračenja otkriveno je nekoliko neisključenih sustavnih pogrešaka (i): zbog netočnog mjerenja temperature - 1 ; zbog netočnog određivanja indeksa loma zraka - 2, zbog netočne vrijednosti valne duljine - 3.

Obično se u obzir uzima zbroj neisključenih sustavnih pogrešaka (određene su im granice). Uz broj članova N ≤ 3, granice neisključenih sustavnih pogrešaka izračunavaju se formulom

Kada je broj članova N ≥ 4, formula se koristi za izračun

(1.5)

gdje je k koeficijent ovisnosti neisključenih sustavnih pogrešaka o odabranoj vjerojatnosti povjerenja P s njihovom ravnomjernom raspodjelom. Pri P = 0,99, k = 1,4, pri P = 0,95, k = 1,1.

Slučajna pogreška mjerenja(ukratko - slučajna pogreška) - komponenta pogreške rezultata mjerenja, koja se nasumično mijenja (u znaku i vrijednosti) u nizu mjerenja iste veličine fizičke veličine. Uzroci slučajnih pogrešaka: pogreške zaokruživanja pri očitavanju očitanja, varijacije očitanja, promjene uvjeta mjerenja slučajne prirode itd.

Slučajne pogreške uzrokuju disperziju rezultata mjerenja u seriji.

Teorija pogrešaka temelji se na dvije odredbe, potvrđene praksom:

1. Kod velikog broja mjerenja jednako se često javljaju slučajne pogreške iste brojčane vrijednosti, ali različitog predznaka;

2. Velike (u apsolutnoj vrijednosti) pogreške su rjeđe od malih.

Iz prvog stava proizlazi važan zaključak za praksu: s povećanjem broja mjerenja, slučajna pogreška rezultata dobivenog nizom mjerenja opada, budući da zbroj pogrešaka pojedinačnih mjerenja ovog niza teži nuli, tj.

(1.6)

Na primjer, kao rezultat mjerenja, dobiven je niz vrijednosti električnog otpora (koje su ispravljene za učinke sustavnih pogrešaka): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 \u003d 15,4 Ohma, R 4 \u003d 15, 6 Ohma i R 5 = 15,4 Ohma. Stoga je R = 15,5 ohma. Odstupanja od R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm i R 5 = -0,1 Ohm) su slučajne pogreške pojedinačnih mjerenja u date serije. Lako je vidjeti da je zbroj R i = 0,0. To znači da su pogreške pojedinih mjerenja ove serije ispravno izračunate.

Unatoč činjenici da s povećanjem broja mjerenja zbroj slučajnih pogrešaka teži nuli (u ovom primjeru se slučajno pokazalo da je nula), slučajna pogreška rezultata mjerenja nužno se procjenjuje. U teoriji slučajnih varijabli, disperzija o2 služi kao karakteristika disperzije vrijednosti slučajne varijable. "| / o2 \u003d a naziva se standardna devijacija opće populacije ili standardna devijacija.

Pogodniji je od disperzije, jer se njegova dimenzija podudara s dimenzijom izmjerene veličine (na primjer, vrijednost količine se dobiva u voltima, standardna devijacija će također biti u voltima). Budući da se u praksi mjerenja radi s pojmom "pogreška", izraz "rms pogreška" izveden iz njega trebao bi se koristiti za karakterizaciju niza mjerenja. Niz mjerenja može se okarakterizirati pogreškom aritmetičke sredine ili rasponom rezultata mjerenja.

Raspon rezultata mjerenja (ukratko - raspon) je algebarska razlika između najvećeg i najmanjeg rezultata pojedinačnog mjerenja koji čine niz (ili uzorak) od n mjerenja:

R n \u003d X max - X min (1,7)

gdje je Rn raspon; X max i X min - najveća i najmanja vrijednost količine u određenom nizu mjerenja.

Na primjer, od pet mjerenja promjera rupe d, vrijednosti R 5 = 25,56 mm i R 1 = 25,51 mm pokazale su se kao njegove maksimalne i minimalne vrijednosti. U ovom slučaju, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. To znači da su preostale pogreške ove serije manje od 0,05 mm.

Prosječna aritmetička pogreška jednog mjerenja u nizu(ukratko - pogreška aritmetičke sredine) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste vrijednosti), uključenih u niz od n jednako točnih neovisnih mjerenja, izračunava se formulom

(1.8)

gdje je X i rezultat i-tog mjerenja uključenog u niz; x je aritmetička sredina n vrijednosti veličine: |X i - X| je apsolutna vrijednost pogreške i-tog mjerenja; r je greška aritmetičke sredine.

Prava vrijednost pogreške aritmetičke sredine p određuje se iz omjera

p = lim r, (1.9)

Uz broj mjerenja n > 30, između aritmetičke sredine (r) i srednje kvadratne (s) postoje korelacije

s = 1,25r; r i = 0,80 s. (1.10)

Prednost pogreške aritmetičke sredine je jednostavnost njezina izračuna. Ali ipak češće odredite srednju kvadratnu pogrešku.

Srednja kvadratna pogreška pojedinačno mjerenje u nizu (ukratko - korijen srednje kvadratne pogreške) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste vrijednosti) uključenih u niz P jednako precizna neovisna mjerenja, izračunata formulom

(1.11)

Korijen srednje kvadratne pogreške za opći uzorak o, koji je statistička granica za S, može se izračunati za /i-mx > formulom:

Σ = lim S (1.12)

U stvarnosti, broj dimenzija je uvijek ograničen, tako da se ne izračunava σ , i njegovu približnu vrijednost (ili procjenu), koja je s. Više P,što je s bliže svojoj granici σ .

Uz normalnu distribuciju, vjerojatnost da pogreška jednog mjerenja u nizu neće premašiti izračunatu korijen srednje kvadratne pogreške je mala: 0,68. Stoga u 32 slučaja od 100 ili 3 slučaja od 10 stvarna pogreška može biti veća od izračunate.

Slika 1.2 Smanjenje vrijednosti slučajne pogreške rezultata višestrukih mjerenja s povećanjem broja mjerenja u nizu

U nizu mjerenja postoji odnos između efektivne pogreške pojedinačnog mjerenja s i efektivne pogreške aritmetičke sredine S x:

koja se često naziva "pravilom Y n". Iz ovog pravila proizlazi da se pogreška mjerenja zbog djelovanja slučajnih uzroka može smanjiti za n puta ako se izvrši n mjerenja iste veličine bilo koje veličine, a kao konačni rezultat uzima se aritmetička sredina (sl. 1.2. ).

Izvođenje najmanje 5 mjerenja u seriji omogućuje smanjenje učinka slučajnih pogrešaka za više od 2 puta. S 10 mjerenja učinak slučajne pogreške smanjuje se za faktor 3. Daljnje povećanje broja mjerenja nije uvijek ekonomski izvedivo i, u pravilu, provodi se samo za kritična mjerenja koja zahtijevaju visoku točnost.

Korijen srednje kvadratne pogreške jednog mjerenja iz niza homogenih dvostrukih mjerenja S α izračunava se formulom

(1.14)

gdje su x" i i x"" i i-ti rezultati mjerenja iste veličine veličine u smjeru naprijed i nazad jednim mjernim instrumentom.

Kod nejednakih mjerenja, srednja kvadratna pogreška aritmetičke sredine u seriji određena je formulom

(1.15)

gdje je p i težina i-tog mjerenja u nizu nejednakih mjerenja.

Korijen srednje kvadratne pogreške rezultata neizravnih mjerenja veličine Y, koja je funkcija Y \u003d F (X 1, X 2, X n), izračunava se formulom

(1.16)

gdje su S 1 , S 2 , S n srednje kvadratne pogreške rezultata mjerenja za X 1 , X 2 , X n .

Ako se radi veće pouzdanosti dobivanja zadovoljavajućeg rezultata provede više serija mjerenja, srednja kvadratna pogreška pojedinog mjerenja iz m serije (S m) nalazi se po formuli

(1.17)

Gdje je n broj mjerenja u nizu; N je ukupan broj mjerenja u svim serijama; m je broj serija.

Kod ograničenog broja mjerenja često je potrebno znati RMS grešku. Da biste odredili pogrešku S, izračunatu formulom (2.7), i pogrešku S m , izračunatu formulom (2.12), možete koristiti sljedeće izraze

(1.18)

(1.19)

gdje su S i S m srednje kvadratne pogreške za S i S m, redom.

Na primjer, obradom rezultata niza mjerenja duljine x dobili smo

= 86 mm 2 pri n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm ili S = ±0,7 mm

Vrijednost S = ±0,7 mm znači da je zbog pogreške u izračunu s u rasponu od 2,4 do 3,8 mm, stoga su desetinke milimetra ovdje nepouzdane. U razmatranom slučaju potrebno je zapisati: S = ±3 mm.

Kako bismo imali veću sigurnost u procjeni pogreške mjernog rezultata, izračunava se pogreška pouzdanosti ili granice pouzdanosti pogreške. S normalnim zakonom distribucije, granice pouzdanosti pogreške izračunavaju se kao ±t-s ili ±t-s x, gdje su s i s x korijen srednje kvadratne pogreške, redom, pojedinačnog mjerenja u nizu i aritmetičke sredine; t je broj koji ovisi o razini pouzdanosti P i broju mjerenja n.

Važan koncept je pouzdanost rezultata mjerenja (α), tj. vjerojatnost da željena vrijednost mjerene veličine pada unutar zadanog intervala pouzdanosti.

Na primjer, pri obradi dijelova na alatnim strojevima u stabilnom tehnološkom načinu rada, raspodjela pogrešaka pokorava se normalnom zakonu. Pretpostavimo da je tolerancija duljine dijela postavljena na 2a. U tom slučaju će interval pouzdanosti u kojem se nalazi željena vrijednost duljine dijela a biti (a - a, a + a).

Ako je 2a = ±3s, tada je pouzdanost rezultata a = 0,68, tj. u 32 slučaja od 100 treba očekivati da će veličina dijela prelaziti toleranciju od 2a. Pri ocjeni kvalitete dijela prema toleranciji 2a = ±3s, pouzdanost rezultata bit će 0,997. U ovom slučaju se može očekivati da samo tri dijela od 1000 prelaze utvrđenu toleranciju.Međutim, povećanje pouzdanosti moguće je samo uz smanjenje pogreške u duljini dijela. Dakle, da bi se povećala pouzdanost s a = 0,68 na a = 0,997, pogreška u duljini dijela mora se smanjiti za faktor tri.

Nedavno je izraz "pouzdanost mjerenja" postao široko rasprostranjen. U nekim slučajevima se neopravdano koristi umjesto izraza "točnost mjerenja". Na primjer, u nekim izvorima možete pronaći izraz "uspostavljanje jedinstva i pouzdanosti mjerenja u zemlji". Dok bi ispravnije bilo reći “uspostavljanje jedinstva i potrebne točnosti mjerenja”. Pouzdanost smatramo kvalitativnom karakteristikom koja odražava blizinu nule slučajnih pogrešaka. Kvantitativno se može utvrditi kroz nepouzdanost mjerenja.

Nesigurnost mjerenja(ukratko - nepouzdanost) - procjena odstupanja između rezultata u nizu mjerenja zbog utjecaja ukupnog utjecaja slučajnih pogrešaka (određenih statističkim i nestatističkim metodama), karakterizirana rasponom vrijednosti u gdje se nalazi prava vrijednost mjerene veličine.

U skladu s preporukama Međunarodnog ureda za utege i mjere, nesigurnost se izražava kao ukupna standardna pogreška mjerenja - Su uključujući standardnu pogrešku S (određenu statističkim metodama) i standardnu pogrešku u (određenu nestatističkim metodama) ), tj.

(1.20)

Granična pogreška mjerenja(ukratko - granična pogreška) - najveća pogreška mjerenja (plus, minus), čija vjerojatnost ne prelazi vrijednost P, dok je razlika 1 - P beznačajna.

Na primjer, uz normalnu distribuciju, vjerojatnost slučajne pogreške od ±3 s je 0,997, a razlika 1-P = 0,003 je beznačajna. Stoga se u mnogim slučajevima kao granica uzima pogreška pouzdanosti ±3s, tj. pr = ±3s. Ako je potrebno, pr također može imati druge odnose sa s za dovoljno veliko P (2s, 2,5s, 4s, itd.).

U vezi s činjenicom da se u GSI standardima umjesto pojma "korijen srednje kvadratne pogreške" koristi izraz "korijen srednje kvadratne devijacije", u daljnjem obrazloženju ćemo se pridržavati ovog pojma.

Apsolutna pogreška mjerenja(ukratko - apsolutna pogreška) - pogreška mjerenja, izražena u jedinicama izmjerene vrijednosti. Dakle, pogreška X mjerenja duljine dijela X, izražena u mikrometrima, je apsolutna pogreška.

Ne treba brkati pojmove "apsolutna pogreška" i "vrijednost apsolutne pogreške", što se podrazumijeva kao vrijednost pogreške bez uzimanja u obzir predznaka. Dakle, ako je apsolutna pogreška mjerenja ±2 μV, tada će apsolutna vrijednost pogreške biti 0,2 μV.

Relativna greška mjerenja(ukratko - relativna pogreška) - pogreška mjerenja, izražena kao dio vrijednosti izmjerene vrijednosti ili kao postotak. Relativna pogreška δ nalazi se iz omjera:

(1.21)

Na primjer, postoji stvarna vrijednost duljine dijela x = 10,00 mm i apsolutna vrijednost pogreške x = 0,01 mm. Relativna greška bit će

Statička greška je pogreška rezultata mjerenja zbog uvjeta statičkog mjerenja.

Dinamička pogreška je pogreška mjernog rezultata zbog uvjeta dinamičkog mjerenja.

Pogreška reprodukcije jedinice- pogreška rezultata mjerenja izvedenih pri reprodukciji jedinice fizičke veličine. Dakle, pogreška u reprodukciji jedinice pomoću državnog standarda naznačena je u obliku njegovih komponenti: neisključena sustavna pogreška, karakterizirana svojom granicom; slučajna pogreška karakterizirana standardnom devijacijom s i godišnjom nestabilnošću ν.

Pogreška prijenosa veličine jedinice je pogreška u rezultatu mjerenja izvedenih prilikom prijenosa veličine jedinice. Pogreška prijenosa veličine jedinice uključuje neisključene sustavne pogreške i slučajne pogreške metode i sredstava prijenosa veličine jedinice (na primjer, komparator).

U praksi, obično su brojke na kojima se rade izračuni približne vrijednosti određenih veličina. Radi sažetosti, približna vrijednost veličine naziva se približan broj. Prava vrijednost veličine naziva se točan broj. Približan broj ima praktičnu vrijednost samo kada možemo utvrditi s kojim je stupnjem točnosti dan, tj. procijeniti njegovu grešku. Prisjetiti se osnovnih pojmova iz općeg tečaja matematike.

Označiti: x- točan broj (prava vrijednost količine), a- približan broj (približna vrijednost neke količine).

Definicija 1. Pogreška (ili stvarna pogreška) približnog broja je razlika između broja x i njegovu približnu vrijednost a. Približna pogreška a označit ćemo . Tako,

Točan broj x najčešće je nepoznata, stoga nije moguće pronaći prave i apsolutne pogreške. S druge strane, može biti potrebno procijeniti apsolutnu pogrešku, tj. označite broj koji apsolutna pogreška ne može prijeći. Na primjer, kada ovim alatom mjerimo duljinu predmeta, moramo biti sigurni da pogreška dobivene numeričke vrijednosti neće prijeći određeni broj, npr. 0,1 mm. Drugim riječima, moramo znati granicu apsolutne pogreške. Ova granica će se zvati granična apsolutna greška.

Definicija 3. Granična apsolutna pogreška približnog broja a se zove pozitivan broj takav da je , tj.

Sredstva, x nedostatkom, viškom. Također se koristi sljedeći unos:

(2.5)

Jasno je da se granična apsolutna pogreška određuje višeznačno: ako je određeni broj granična apsolutna pogreška, onda je svaki veći broj također granična apsolutna pogreška. U praksi se pokušava izabrati najmanji mogući i jednostavan (s 1-2 značajne znamenke) broj koji zadovoljava nejednadžbu (2.3).

Primjer.Odredite pravu, apsolutnu i graničnu apsolutnu pogrešku broja a \u003d 0,17, uzetu kao približnu vrijednost broja.

Prava pogreška:

Apsolutna pogreška:

Za graničnu apsolutnu pogrešku možete uzeti broj i bilo koji veći broj. U decimalnom zapisu imat ćemo: Zamjenom ovog broja s velikim i po mogućnosti jednostavnijim zapisom, prihvatit ćemo:

Komentar. Ako a a je približna vrijednost broja x, a granična apsolutna pogreška jednaka je h, onda to kažu a je približna vrijednost broja x do h.

Poznavanje apsolutne pogreške nije dovoljno za karakterizaciju kvalitete mjerenja ili izračuna. Neka se, na primjer, takvi rezultati dobiju pri mjerenju duljine. Udaljenost između dva grada S1=500 1 km i udaljenost dviju zgrada u gradu S2=10 1 km. Iako su apsolutne pogreške oba rezultata iste, međutim, bitno je da u prvom slučaju apsolutna pogreška od 1 km pada na 500 km, u drugom - na 10 km. Kvaliteta mjerenja u prvom slučaju je bolja nego u drugom. Kvalitetu rezultata mjerenja ili izračuna karakterizira relativna pogreška.

Definicija 4. Relativna pogreška približne vrijednosti a brojevima x je omjer apsolutne pogreške broja a na apsolutnu vrijednost broja x:

Definicija 5. Granična relativna pogreška približnog broja a se zove pozitivan broj takav da je .

Budući da , iz formule (2.7) slijedi da se može izračunati iz formule

(2.8)

Ukratko radi, u slučajevima kada to ne uzrokuje nesporazum, umjesto "ograničavajuća relativna pogreška", oni jednostavno kažu "relativna pogreška".

Ograničavajuća relativna pogreška često se izražava kao postotak.

Primjer 1. . Uz pretpostavku da možemo prihvatiti = . Dijeljenjem i zaokruživanjem (obavezno naviše) dobivamo = 0,0008 = 0,08%.

Primjer 2Prilikom vaganja tijela dobiven je rezultat: p=23,4 0,2 g. Imamo = 0,2. . Dijeljenjem i zaokruživanjem dobivamo = 0,9%.

Formula (2.8) određuje odnos između apsolutne i relativne pogreške. Iz formule (2.8) slijedi:

(2.9)

Koristeći formule (2.8) i (2.9), možemo, ako je broj poznat a, prema zadanoj apsolutnoj pogrešci, pronaći relativnu pogrešku i obrnuto.

Imajte na umu da se formule (2.8) i (2.9) često moraju primijeniti čak i kada još ne znamo približan broj a s potrebnom točnošću, ali znamo grubu približnu vrijednost a. Na primjer, potrebno je izmjeriti duljinu objekta s relativnom pogreškom ne većom od 0,1%. Postavlja se pitanje: je li moguće izmjeriti duljinu s potrebnom točnošću pomoću čeljusti koja vam omogućuje mjerenje duljine s apsolutnom pogreškom do 0,1 mm? Iako još nismo izmjerili objekt točnim instrumentom, znamo da je gruba približna vrijednost duljine oko 12 cm. Formulom (1.9) nalazimo apsolutnu pogrešku:

Iz ovoga se vidi da je uz pomoć kalibra moguće izvesti mjerenje s potrebnom točnošću.

U procesu računskog rada često je potrebno prijeći s apsolutne na relativnu pogrešku i obrnuto, što se čini pomoću formula (1.8) i (1.9).