Je li niz monotono padajući. Nizovi brojeva

Monotonost niza

monoton niz- niz koji zadovoljava jedan od sljedećih uvjeta:

Među monotonim nizovima postoje strogo monotono sekvence koje zadovoljavaju jedan od sljedećih uvjeta:

Ponekad se koristi varijanta terminologije u kojoj se izraz "rastući niz" smatra sinonimom za pojam "neopadajući niz", a pojam "opadajući niz" smatra se sinonimom za pojam "neopadajući niz". rastući niz". U takvom slučaju, rastući i opadajući niz iz gornje definicije nazivaju se "strogo rastući" odnosno "strogo opadajući".

Neke generalizacije

Može se pokazati da gornji uvjeti nisu ispunjeni za sve brojeve, već samo za brojeve iz određenog raspona

(ovdje je moguće obrnuti desnu granicu N+ do beskonačnosti). U ovom slučaju se poziva niz monoton na intervalu ja , i raspon ja nazvao interval monotonosti sekvence.

Primjeri

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "Monotoničnost niza" u drugim rječnicima:

Grana matematike koja se bavi proučavanjem svojstava različitih funkcija. Teorija funkcija dijeli se na dva područja: teoriju funkcija realne varijable i teoriju funkcija kompleksne varijable, među kojima je razlika tolika da ... ... Collier Encyclopedia

Testiranje pseudoslučajnih nizova je skup metoda za određivanje mjere blizine danog pseudoslučajnog niza slučajnom. Takva mjera obično je prisutnost jednolike distribucije, velike ... ... Wikipedije

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Mjera. Mjera skupa je nenegativna vrijednost, intuitivno interpretirana kao veličina (volumen) skupa. Zapravo, mjera je neka numerička funkcija koja odgovara svakoj ... ... Wikipediji

Poznati pisac. Rod. u Orlu 1871. god.; otac mu je bio geodet. Studirao je u orlovskoj gimnaziji te na sveučilištima u Petrogradu i Moskvi, na Pravnom fakultetu. Bio sam u velikoj potrebi za studentom. Tada je napisao svoju prvu priču "o ... ... Velika biografska enciklopedija

Numeričke metode rješavanja metode koje zamjenjuju rješenje rubnog problema rješenjem diskretnog problema (vidi Linearni rubni problem; numeričke metode za rješavanje i Nelinearna jednadžba; numeričke metode za rješavanje). U mnogim slučajevima, posebno kada se uzme u obzir... Matematička enciklopedija

Voynichev rukopis napisan je nepoznatim sustavom pisanja Voynichev rukopis (eng. Voyni ... Wikipedia

Napisan nepoznatim sustavom pisma. Voynichov rukopis misteriozna je knjiga koju je prije otprilike 500 godina napisao nepoznati autor, na nepoznatom jeziku, koristeći nepoznati alfabet. Voynichov rukopis ... ... Wikipedia

Sigismondo d'India (tal. Sigismondo d India, oko 1582., Palermo? do 19. travnja 1629., Modena) talijanski je skladatelj. Sadržaj 1 Biografija 2 Kreativnost ... Wikipedia

Modernizacija- (Modernizacija) Modernizacija je proces mijenjanja nečega u skladu sa zahtjevima modernosti, prijelaz u naprednije uvjete, uvođenjem različitih novih ažuriranja.Teorija modernizacije, vrste modernizacije, organske ... ... Enciklopedija investitora

Jedan od temeljnih matematičkih pojmova čije je značenje s razvojem matematike bilo podvrgnuto nizu generalizacija. I. Čak iu "Elementima" Euklida (3. stoljeće pr. Kr.), svojstva V. su jasno formulirana, sada se nazivaju, da se razlikuju od ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Svrha: Dati koncept, definiciju niza, konačnog, beskonačnog, različite načine određivanja nizova, njihovu razliku, naučiti kako se primjenjivati ​​pri rješavanju primjera.

Oprema: stolovi.

Napredak lekcije

I. Organizacijski trenutak.

II. Frontalna provjera domaće zadaće:

1) zadatak učenika na ploči br. 2.636 (iz II. dijela Zbirke zadataka za pismeni ispit u 9. razredu)

2) učenik. Grafikon izgradnje

3) frontalno s cijelim razredom br. 2.334 (a).

III. Objašnjenje novog gradiva.

Školsko predavanje je oblik organiziranja obrazovnog procesa koji usmjerava učenike na glavnu stvar pri proučavanju određene teme i uključuje široku demonstraciju osobnog stava nastavnika i učenika prema obrazovnom materijalu. Jer lekcija-predavanje predviđa prezentaciju gradiva velikog bloka od strane nastavnika, tada je verbalna komunikacija nastavnika i učenika glavna stvar u njegovoj tehnologiji. Učiteljeva riječ djeluje emocionalno, estetski i stvara određeni stav prema predmetu. Uz pomoć predavanja usmjeravaju se različiti oblici aktivnosti učenika u nastavi, a kroz znanja, vještine i sposobnosti oblikuje se znanje kao temelj obrazovnog djelovanja.

I. Napiši uzlaznim redom dvoznamenkaste brojeve koji završavaju na 3.

13; 23; 33;………….93.

Za svaki serijski broj od 1 do 9 spojite određeni dvoznamenkasti broj:

1->13; 2->23;………9->93.

Uspostavljena je podudarnost između skupa prvih devet prirodnih brojeva i skupa dvoznamenkastih brojeva koji završavaju brojem 3. Ovo dopisivanje je funkcija.

Domena definicije je (1; 2; 3;……..9)

Skup vrijednosti (13; 23; 33;…….93).

Ako je korespondencija označena sa f, tada

Ovaj slijed se može postaviti pomoću par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; jedan; 0; jedan; 0

Tablica br. 1

a)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =; …

g(60) =

Funkcija dana na skupu prirodnih brojeva naziva se beskonačni niz.

u 2; četiri; 6; osam; deset;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

su članovi niza.

Napomena: treba razlikovati pojam skupa i pojam niza.

a) (10; 20; 30; 40)

Isti set.

{40; 30; 20; 10}

b) međutim, nizovi 10; dvadeset; trideset; 40

Razno:

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

III. Razmotrite slijed:

13; 5; 7; 9; jedanaest;……. -> beskonačan, rastući

2) 10; 9; osam; 7; 6. -> završni, silazni.

a)

Niz se naziva rastućim ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od svog prethodnog.

b)

Dana je definicija padajućeg niza.

Rastući ili padajući nizovi nazivaju se monotoni.

jedan; 0; jedan; 0; jedan; 0. - fluktuirajući;

5; 5; 5; 5; ….. - konstantno.

IV. Nizovi se mogu prikazati geometrijski. Jer niz je funkcija čija je domena definicije skup N, onda je graf, očigledno, skup točaka u ravnini (x; y).

Primjer: -3; -2; -jedan; 0; jedan; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Nacrtajmo ovaj niz

Slika 1.

Primjer: Dokažite da niz zadan u ovom obliku

99; 74; 49; 24; -1;……………

se smanjuje.

V. Metode postavljanja sekvenci.

Jer niz je funkcija definirana na skupu N, tada postoji pet načina za specificiranje nizova:

I. Tablični

II. Način opisa

III. Analitički

IV. Grafički

V. Ponavljajuće

I. Tabularno - vrlo nezgodno. Napravimo tablicu i pomoću nje odredimo koji član? koje mjesto zauzima……..

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169

II. metoda opisa.

Primjer: Niz je takav da je svaki član napisan brojem 4, a broj znamenki jednak je broju rednog broja.

III. Analitička metoda (pomoću formule).

Formula koja izražava svaki član niza preko njegovog broja n naziva se formula n člana niza.

na primjer:

a učenici slažu te nizove i obrnuto: biraju formulu za članove nizova:

a) 1; ; ;…………..
b) ...
u)
G)
e) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. Grafička metoda također nije baš zgodna, obično se ne koristi.

Weierstrassov teorem o limitu monotonog niza

Bilo koji monotoni ograničeni niz ( x n ) ima konačnu granicu jednaku točnoj gornjoj granici, sup ( x n ) za neopadajuću i točnu donju granicu, inf ( x n ) za nerastući niz.
Svaki monotoni neograničeni niz ima beskonačnu granicu jednaku plus beskonačnosti za neopadajući niz i minus beskonačnosti za nerastući niz.

Dokaz

1) neopadajući ograničeni niz.

(1.1) .

Budući da je niz ograničen, ima točnu gornju granicu
.
To znači da:

• za sve n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Ovdje smo također koristili (1.3). Kombinirajući s (1.2), nalazimo:
u .
Jer, dakle
,
ili
u .
Prvi dio teorema je dokazan.

2) Sada neka bude redoslijed nerastući ograničeni niz:
(2.1) za sve n.

Budući da je niz ograničen, ima točnu donju granicu
.
To znači sljedeće:

• za sve n vrijede sljedeće nejednakosti:
  (2.2) ;
• za bilo koji pozitivan broj , postoji broj koji ovisi o ε za koji
  (2.3) .

.
Ovdje smo također koristili (2.3). Uzimajući u obzir (2.2), nalazimo:
u .
Jer, dakle
,
ili
u .
To znači da je broj granica niza.
Drugi dio teorema je dokazan.

Sada razmotrite neograničene nizove.
3) Neka slijed bude neograničeni neopadajući niz.

Budući da je niz neopadajući, za sve n vrijede sljedeće nejednakosti:
(3.1) .

Budući da je niz neopadajući i neomeđen, neomeđen je s desne strane. Tada za bilo koji broj M postoji broj ovisan o M za koji
(3.2) .

Pošto je niz neopadajući, tada za imamo:
.
Ovdje smo također koristili (3.2).

.
To znači da je granica niza plus beskonačno:
.
Treći dio teorema je dokazan.

4) Na kraju, razmotrite slučaj kada neograničeni nerastući niz.

Kao i gore, budući da niz nije rastući, onda
(4.1) za sve n.

Budući da je niz nerastući i neomeđen, on je neomeđen na lijevoj strani. Tada za bilo koji broj M postoji broj ovisan o M za koji
(4.2) .

Pošto je niz nerastući, tada za imamo:
.

Dakle, za svaki broj M postoji prirodan broj koji ovisi o M, tako da za sve brojeve vrijede sljedeće nejednakosti:
.
To znači da je granica niza minus beskonačnost:
.
Teorem je dokazan.

Primjer rješenja problema

Koristeći Weierstrassov teorem dokažite konvergenciju niza:
, , . . . , , . . .
Zatim pronađite njegovu granicu.

Predstavimo niz u obliku rekurentnih formula:
,
.

Dokažimo da je zadani niz omeđen odozgo vrijednošću
(P1) .
Dokaz se provodi metodom matematičke indukcije.
.
Neka . Zatim
.
Nejednakost (A1) je dokazana.

Dokažimo da je niz monotono rastući.
;
(P2) .
Budući da je , tada su nazivnik razlomka i prvi faktor u brojniku pozitivni. Budući da su članovi niza ograničeni nejednakošću (P1), drugi faktor je također pozitivan. Zato
.
To jest, slijed se strogo povećava.

Budući da je niz rastući i ograničen odozgo, on je ograničen niz. Stoga, prema Weierstrassovom teoremu, ima granicu.

Pronađimo ovu granicu. Označimo to sa:
.
Iskoristimo što
.
Ovo primjenjujemo na (P2) koristeći aritmetička svojstva limita konvergentnih nizova:
.
Korijen zadovoljava uvjet.

Ako je svakom prirodnom broju n pridružen neki realni broj x n , onda to kažemo brojčani niz

x 1 , x 2 , … x n , …

Broj x 1 naziva se član niza sa brojem 1 ili prvi član niza, broj x 2 - član niza sa brojem 2 ili drugi član niza, i tako dalje. Broj x n naziva se član niza s brojem n.

Postoje dva načina za specificiranje numeričkih nizova - korištenje i korištenje rekurentna formula.

Nizanje sa slijed opći pojam formule je sekvenciranje

x 1 , x 2 , … x n , …

pomoću formule koja izražava ovisnost člana x n o njegovom broju n .

Primjer 1. Numerički niz

1, 4, 9, … n 2 , …

dana formulom općeg pojma

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Određivanje niza pomoću formule koja izražava član niza x n u smislu članova niza s prethodnim brojevima naziva se sekvenciranje korištenjem rekurentna formula.

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao uzlazni niz, više prethodni član.

Drugim riječima, za sve n

x n + 1 >x n

Primjer 3. Niz prirodnih brojeva

1, 2, 3, … n, …

je uzlazni niz.

Definicija 2. Brojevni niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao silazni niz, ako svaki član ovog niza manje prethodni član.

Drugim riječima, za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

x n + 1 < x n

Primjer 4 . Naknadna slijed

zadan formulom

je silazni niz.

Primjer 5. Numerički niz

1, - 1, 1, - 1, …

zadan formulom

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nije niti se povećava niti smanjuje slijed.

Definicija 3. Rastući i opadajući numerički nizovi nazivaju se monotoni nizovi.

Ograničene i neograničene sekvence

Definicija 4. Brojevni niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao ograničeno odozgo ako postoji broj M takav da svaki član ovog niza manje brojevi M.

Drugim riječima, za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

Definicija 5. Numerički niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao ograničena odozdo ako postoji broj m takav da svaki član ovog niza više brojevi m.

Drugim riječima, za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

Definicija 6. Brojevni niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazivaju ograničenim ako to omeđen i gore i dole.

Drugim riječima, postoje brojevi M i m takvi da za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

m< x n < M

Definicija 7. Brojevni nizovi koji nisu ograničeni, nazvao neograničene sekvence.

Primjer 6 . Numerički niz

1, 4, 9, … n 2 , …

zadan formulom

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ograničena odozdo, primjerice, broj 0. Međutim, ovaj niz neograničeno odozgo.

Primjer 7. Naknadna slijed

zadan formulom

je ograničeni niz, jer za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

Na našoj web stranici također se možete upoznati s obrazovnim materijalima koje su razvili nastavnici centra za obuku Resolventa za pripremu za jedinstveni državni ispit i OGE iz matematike.

Za učenike koji se žele dobro pripremiti i položiti KORIŠTENJE iz matematike ili ruskog jezika za visoku ocjenu provodi trening centar "Resolventa".

pripremni tečajevi za učenike 10. i 11. razreda