Zoek een vergelijking voor twee punten. Verschillende vergelijkingen van een rechte lijn

Definitie. Elke lijn in het vlak kan worden gegeven door een vergelijking van de eerste orde

Ah + Wu + C = 0,

en de constanten A, B zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul. Deze eerste orde vergelijking heet de algemene vergelijking van een rechte lijn. Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B en C zijn de volgende bijzondere gevallen mogelijk:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - de lijn gaat door de oorsprong

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Ox-as

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Oy-as

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - de rechte lijn valt samen met de Oy-as

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - de rechte lijn valt samen met de Ox-as

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van een gegeven beginconditie.

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een normaalvector

Definitie. In een cartesiaans rechthoekig coördinatenstelsel staat een vector met componenten (A, B) loodrecht op de lijn die wordt gegeven door de vergelijking Ax + By + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A(1, 2) loodrecht op (3, -1) gaat.

Oplossing. Bij A = 3 en B = -1 stellen we de vergelijking van een rechte lijn op: 3x - y + C = 0. Om de coëfficiënt C te vinden, vervangen we de coördinaten van het gegeven punt A in de resulterende uitdrukking. 3 - 2 + C = 0, dus C = -1 . Totaal: de gewenste vergelijking: 3x - y - 1 \u003d 0.

Vergelijking van een lijn die door twee punten gaat

Laat twee punten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2) in de ruimte worden gegeven, dan is de vergelijking van een rechte die door deze punten gaat:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de corresponderende teller gelijk zijn aan nul. Op het vlak is de hierboven geschreven rechte-lijnvergelijking vereenvoudigd:

als x 1 ≠ x 2 en x = x 1 als x 1 = x 2.

Breuk = k heet hellingsfactor Rechtdoor.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Oplossing. Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn vanuit een punt en een helling

Als het totaal Ax + Wu + C = 0 leidt tot de vorm:

en aanwijzen , dan heet de resulterende vergelijking vergelijking van een rechte lijn met een hellingk.

Vergelijking van een rechte lijn met een punt- en richtingsvector

Naar analogie met het punt dat de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector beschouwt, kun je de toewijzing van een rechte lijn door een punt en een richtingsvector van een rechte lijn invoeren.

Definitie. Elke vector die niet nul is (α 1, α 2), waarvan de componenten voldoen aan de voorwaarde A α 1 + B α 2 = 0 wordt de richtingsvector van de lijn genoemd

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn met richtingsvector (1, -1) en die door punt A (1, 2) gaat.

Oplossing. We zoeken de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm: Ax + By + C = 0. Volgens de definitie moeten de coëfficiënten voldoen aan de voorwaarden:

1 * A + (-1) * B = 0, d.w.z. A = B.

Dan heeft de vergelijking van een rechte de vorm: Ax + Ay + C = 0, of x + y + C / A = 0. voor x = 1, y = 2 krijgen we C / A = -3, d.w.z. gewenste vergelijking:

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten

Als in de algemene vergelijking van de rechte Ah + Wu + C = 0 C≠0, dan krijgen we, gedeeld door –C: of

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt a is de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de x-as, en b- de coördinaat van het snijpunt van de rechte met de Oy-as.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze lijn in de segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normaalvergelijking van een rechte lijn

Als beide zijden van de vergelijking Ax + Vy + C = 0 worden vermenigvuldigd met het getal , Wat genoemd wordt als normaliserende factor, dan krijgen we

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normaalvergelijking van een rechte lijn. Het teken ± van de normalisatiefactor moet zo gekozen worden dat μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn 12x - 5y - 65 = 0. Het is vereist om verschillende soorten vergelijkingen voor deze lijn te schrijven.

de vergelijking van deze rechte lijn in segmenten:

de vergelijking van deze lijn met de helling: (delen door 5)

; cos = 12/13; zonde = -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen evenwijdig aan de assen of door de oorsprong.

Voorbeeld. De rechte lijn snijdt gelijke positieve segmenten op de coördinaatassen af. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn als het gebied van de driehoek gevormd door deze segmenten 8 cm 2 is.

Oplossing. De lineaire vergelijking heeft de vorm: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Voorbeeld. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A (-2, -3) en de oorsprong gaat.

Oplossing. De vergelijking van een rechte heeft de vorm: , waarbij x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Hoek tussen lijnen op een vlak

Definitie. Als twee lijnen worden gegeven y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dan wordt de scherpe hoek tussen deze lijnen gedefinieerd als

.

Twee lijnen zijn evenwijdig als k 1 = k 2 . Twee lijnen staan ​​loodrecht op elkaar als k 1 = -1/ k 2 .

Stelling. De rechte lijnen Ax + Vy + C \u003d 0 en A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 zijn evenwijdig als de coëfficiënten A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB proportioneel zijn. Als ook С 1 = λС, dan vallen de lijnen samen. De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen worden gevonden als oplossing van het stelsel vergelijkingen van deze lijnen.

Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt loodrecht op een gegeven lijn gaat

Definitie. De lijn die door het punt M 1 (x 1, y 1) en loodrecht op de lijn y \u003d kx + b gaat, wordt weergegeven door de vergelijking:

Afstand van punt tot lijn

Stelling. Als een punt M(x 0, y 0) wordt gegeven, wordt de afstand tot de lijn Ax + Vy + C \u003d 0 gedefinieerd als

.

Een bewijs. Laat het punt M 1 (x 1, y 1) de basis zijn van de loodlijn die van het punt M naar de gegeven lijn is gevallen. Dan is de afstand tussen de punten M en M 1:

(1)

De x 1 en y 1 coördinaten zijn te vinden als oplossing van het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een rechte lijn die door een bepaald punt M 0 loodrecht op een bepaalde rechte lijn gaat. Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan krijgen we bij het oplossen:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) substitueren, vinden we:

De stelling is bewezen.

Voorbeeld. Bepaal de hoek tussen de lijnen: y = -3 x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Voorbeeld. Laat zien dat de lijnen 3x - 5y + 7 = 0 en 10x + 6y - 3 = 0 loodrecht op elkaar staan.

Oplossing. We vinden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, daarom staan ​​de lijnen loodrecht.

Voorbeeld. De hoekpunten van de driehoek A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) zijn gegeven. Zoek de vergelijking voor de hoogte getrokken vanaf hoekpunt C.

Oplossing. We vinden de vergelijking van de zijde AB: ; 4x = 6 y - 6;

2x – 3j + 3 = 0;

De gewenste hoogtevergelijking is: Ax + By + C = 0 of y = kx + b. k = . Dan y = . Omdat de hoogte gaat door punt C, dan voldoen de coördinaten aan deze vergelijking: vandaar b = 17. Totaal: .

Antwoord: 3x + 2j - 34 = 0.

De lijn die door het punt K(x 0; y 0) en evenwijdig aan de lijn y = kx + a gaat, wordt gevonden door de formule:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Waar k de helling van de rechte lijn is.

Alternatieve formule:
De lijn die door het punt M 1 (x 1 ; y 1) en evenwijdig aan de lijn Ax+By+C=0 gaat, wordt weergegeven door de vergelijking

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Schrijf de vergelijking van een rechte lijn door het punt K( ;) evenwijdig aan de lijn y = x + .

Voorbeeld 1. Stel de vergelijking op van een rechte lijn die door het punt M 0 (-2.1) gaat en tegelijkertijd:
a) evenwijdig aan de rechte 2x+3y -7 = 0;
b) loodrecht op de lijn 2x+3y -7 = 0.
Oplossing . Laten we de hellingsvergelijking voorstellen als y = kx + a . Om dit te doen, zullen we alle waarden behalve y naar de rechterkant overzetten: 3y = -2x + 7 . Dan delen we de rechterkant door de coëfficiënt 3 . We krijgen: y = -2/3x + 7/3
Zoek de vergelijking NK die door het punt K(-2;1) gaat, evenwijdig aan de rechte lijn y = -2 / 3 x + 7 / 3
Vervanging door x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 krijgen we:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
of
y = -2 / 3 x - 1 / 3 of 3y + 2x +1 = 0

Voorbeeld #2. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn evenwijdig aan de rechte 2x + 5y = 0 en vorm samen met de coördinaatassen een driehoek met een oppervlakte van 5.
Oplossing . Omdat de lijnen evenwijdig zijn, is de vergelijking van de gewenste lijn 2x + 5y + C = 0. Het gebied van een rechthoekige driehoek, waarbij a en b de benen zijn. Zoek de snijpunten van de gewenste lijn met de coördinaatassen:
;
.
Dus A(-C/2,0), B(0,-C/5). Vervang in de formule voor het gebied: . We krijgen twee oplossingen: 2x + 5y + 10 = 0 en 2x + 5y - 10 = 0 .

Voorbeeld #3. Schrijf de vergelijking van de lijn die door het punt (-2; 5) en de parallelle lijn 5x-7y-4=0 gaat.
Oplossing. Deze rechte lijn kan worden weergegeven door de vergelijking y = 5/7 x – 4/7 (hier a = 5/7). De vergelijking van de gewenste lijn is y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), d.w.z. 7(y-5)=5(x+2) of 5x-7y+45=0 .

Voorbeeld #4. Als we voorbeeld 3 (A=5, B=-7) oplossen met formule (2), vinden we 5(x+2)-7(y-5)=0.

Voorbeeld nummer 5. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn door het punt (-2;5) en een parallelle rechte 7x+10=0.
Oplossing. Hier A=7, B=0. Formule (2) geeft 7(x+2)=0, d.w.z. x+2=0. Formule (1) is niet van toepassing, omdat deze vergelijking niet kan worden opgelost met betrekking tot y (deze rechte lijn loopt evenwijdig aan de y-as).

Eigenschappen van een rechte lijn in Euclidische meetkunde.

Er zijn oneindig veel lijnen die door elk punt kunnen worden getrokken.

Door twee niet-samenvallende punten is er maar één rechte lijn.

Twee niet-samenvallende lijnen in het vlak snijden elkaar in een enkel punt, of zijn

parallel (volgt uit de vorige).

In de driedimensionale ruimte zijn er drie opties voor de relatieve positie van twee lijnen:

• lijnen kruisen;

• rechte lijnen zijn evenwijdig;

• rechte lijnen kruisen elkaar.

Rechtdoor lijn- algebraïsche kromme van de eerste orde: in het cartesiaanse coördinatenstelsel, een rechte lijn

wordt gegeven op het vlak door een vergelijking van de eerste graad (lineaire vergelijking).

Algemene vergelijking van een rechte lijn.

Definitie. Elke lijn in het vlak kan worden gegeven door een vergelijking van de eerste orde

Ah + Wu + C = 0,

en constant A, B tegelijkertijd niet gelijk aan nul. Deze eerste orde vergelijking heet algemeen

rechte lijn vergelijking. Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B en VAN De volgende bijzondere gevallen zijn mogelijk:

. C = 0, A 0, B ≠ 0- de lijn gaat door de oorsprong

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Door + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as Oh

. B = 0, A 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as OU

. B = C = 0, EEN ≠ 0- de lijn valt samen met de as OU

. A = C = 0, B ≠ 0- de lijn valt samen met de as Oh

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van een gegeven

begincondities.

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een normaalvector.

Definitie. In een cartesiaans rechthoekig coördinatenstelsel is een vector met componenten (A, B)

loodrecht op de lijn gegeven door de vergelijking

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Vind de vergelijking van een rechte lijn die door een punt gaat EEN(1, 2) loodrecht op de vector (3, -1).

Oplossing. Laten we bij A \u003d 3 en B \u003d -1 de vergelijking van de rechte lijn opstellen: 3x - y + C \u003d 0. Om de coëfficiënt C te vinden

we vervangen de coördinaten van het gegeven punt A in de resulterende uitdrukking. We krijgen: 3 - 2 + C = 0, dus

C = -1. Totaal: de gewenste vergelijking: 3x - y - 1 \u003d 0.

Vergelijking van een rechte lijn die door twee punten gaat.

Laat twee punten worden gegeven in de ruimte M 1 (x 1 , y 1 , z 1) en M2 (x 2, y 2 , z 2), dan rechte lijn vergelijking,

door deze punten gaan:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de bijbehorende teller gelijk zijn aan nul. Op de

vlak, is de vergelijking van een rechte lijn die hierboven is geschreven vereenvoudigd:

als x 1 x 2 en x = x 1, als x 1 = x 2 .

Fractie = k genaamd hellingsfactor Rechtdoor.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Oplossing. Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een helling.

Als de algemene vergelijking van een rechte lijn Ah + Wu + C = 0 breng naar het formulier:

en aanwijzen , dan heet de resulterende vergelijking

vergelijking van een rechte lijn met helling k.

De vergelijking van een rechte lijn op een punt en een richtende vector.

Naar analogie met het punt dat de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector beschouwt, kun je de taak invoeren

een rechte lijn door een punt en een richtingsvector van een rechte.

Definitie. Elke niet-nul vector (α 1 , 2), waarvan de componenten voldoen aan de voorwaarde

Aα 1 + Bα 2 = 0 genaamd richtingsvector van de rechte lijn.

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn met richtingsvector (1, -1) en die door punt A (1, 2) gaat.

Oplossing. We zoeken de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm: Bijl + Door + C = 0. Volgens de definitie is

coëfficiënten moeten voldoen aan de voorwaarden:

1 * A + (-1) * B = 0, d.w.z. A = B.

Dan heeft de vergelijking van een rechte lijn de vorm: Bijl + Ay + C = 0, of x + y + C / A = 0.

Bij x=1, y=2 we krijgen C/A = -3, d.w.z. gewenste vergelijking:

x + y - 3 = 0

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten.

Als in de algemene vergelijking van de rechte Ah + Wu + C = 0 C≠0, dan krijgen we, gedeeld door -C:

of waar

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt a de coördinaat is van het snijpunt

recht met as Oh, a b- de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de as OE.

Voorbeeld. De algemene vergelijking van een rechte lijn wordt gegeven x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze rechte lijn in segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normaalvergelijking van een rechte lijn.

Als beide zijden van de vergelijking Ah + Wu + C = 0 delen door getal , Wat genoemd wordt als

normaliserende factor, dan krijgen we

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normaalvergelijking van een rechte lijn.

Het teken ± van de normalisatiefactor moet zo worden gekozen dat * C< 0.

R- de lengte van de loodlijn die van de oorsprong naar de lijn is gevallen,

a φ - de hoek die deze loodlijn vormt met de positieve richting van de as Oh.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van een rechte lijn 12x - 5j - 65 = 0. Vereist om verschillende soorten vergelijkingen te schrijven

deze rechte lijn.

De vergelijking van deze rechte lijn in segmenten:

De vergelijking van deze lijn met helling: (delen door 5)

Vergelijking van een rechte lijn:

cos = 12/13; zonde = -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen,

evenwijdig aan de assen of door de oorsprong.

Hoek tussen lijnen in een vlak.

Definitie. Als er twee regels worden gegeven y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, dan is de scherpe hoek tussen deze lijnen

zal worden gedefinieerd als

Twee lijnen zijn evenwijdig als k 1 = k 2. Twee lijnen staan ​​loodrecht op elkaar

als k 1 \u003d -1 / k 2 .

Stelling.

direct Ah + Wu + C = 0 en A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 zijn evenwijdig als de coëfficiënten proportioneel zijn

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Als ook С 1 \u003d, dan vallen de lijnen samen. Coördinaten van het snijpunt van twee lijnen

worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen van deze lijnen.

De vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat, staat loodrecht op een gegeven lijn.

Definitie. Een lijn die door een punt gaat M1 (x 1, y 1) en loodrecht op de lijn y = kx + b

weergegeven door de vergelijking:

De afstand van een punt tot een lijn.

Stelling. Als een punt wordt gegeven M(x 0, y 0), dan de afstand tot de lijn Ah + Wu + C = 0 gedefinieerd als:

Een bewijs. laat het punt M1 (x 1, y 1)- de basis van de loodlijn viel van het punt M voor een gegeven

direct. Dan de afstand tussen de punten M en M 1:

(1)

Coördinaten x 1 en 1 kan worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een rechte lijn die loodrecht door een bepaald punt M 0 gaat

gegeven lijn. Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan krijgen we bij het oplossen:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) substitueren, vinden we:

De stelling is bewezen.

Vergelijking van een lijn op een vlak.

Zoals bekend wordt elk punt op het vlak bepaald door twee coördinaten in een of ander coördinatensysteem. Coördinatenstelsels kunnen verschillen, afhankelijk van de keuze van de basis en oorsprong.

Definitie. Lijnvergelijking is de relatie y = f(x) tussen de coördinaten van de punten waaruit deze lijn bestaat.

Merk op dat de lijnvergelijking op een parametrische manier kan worden uitgedrukt, dat wil zeggen dat elke coördinaat van elk punt wordt uitgedrukt door een onafhankelijke parameter t.

Een typisch voorbeeld is de baan van een bewegend punt. In dit geval speelt tijd de rol van een parameter.

Vergelijking van een rechte lijn in een vlak.

Definitie. Elke lijn in het vlak kan worden gegeven door een vergelijking van de eerste orde

Ah + Wu + C = 0,

bovendien zijn de constanten A, B niet tegelijkertijd gelijk aan nul, d.w.z. A 2 + B 2  0. Deze eerste-orde vergelijking heet de algemene vergelijking van een rechte lijn.

Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B en C zijn de volgende bijzondere gevallen mogelijk:

C \u003d 0, A  0, B  0 - de lijn gaat door de oorsprong

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Ox-as

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Oy-as

B \u003d C \u003d 0, A  0 - de rechte lijn valt samen met de Oy-as

A \u003d C \u003d 0, B  0 - de rechte lijn valt samen met de Ox-as

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van een gegeven beginconditie.

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een normaalvector.

Definitie. In een cartesiaans rechthoekig coördinatenstelsel staat een vector met componenten (A, B) loodrecht op de lijn die wordt gegeven door de vergelijking Ax + By + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn door het punt A (1, 2) loodrecht op de vector (3, -1).

Laten we bij A \u003d 3 en B \u003d -1 de vergelijking van de rechte lijn opstellen: 3x - y + C \u003d 0. Om de coëfficiënt C te vinden, vervangen we de coördinaten van het gegeven punt A in de resulterende uitdrukking.

We krijgen: 3 - 2 + C \u003d 0, dus C \u003d -1.

Totaal: de gewenste vergelijking: 3x - y - 1 \u003d 0.

Vergelijking van een rechte lijn die door twee punten gaat.

Laat twee punten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2) in de ruimte worden gegeven, dan is de vergelijking van een rechte die door deze punten gaat:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de bijbehorende teller gelijk zijn aan nul.

Op een vlak is de vergelijking van een rechte lijn die hierboven is geschreven vereenvoudigd:

als x 1  x 2 en x \u003d x 1, als x 1 \u003d x 2.

Fractie
=k heet hellingsfactor Rechtdoor.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een helling.

Als de algemene vergelijking van de rechte lijn Ax + Vy + C = 0 leidt tot de vorm:

en aanwijzen
, dan heet de resulterende vergelijking vergelijking van een rechte lijn met een hellingk.

De vergelijking van een rechte lijn op een punt en een richtende vector.

Naar analogie met het punt dat de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector beschouwt, kun je de toewijzing van een rechte lijn door een punt en een richtingsvector van een rechte lijn invoeren.

Definitie. Elke niet-nul vector ( 1 ,  2), waarvan de componenten voldoen aan de voorwaarde A 1 + B 2 = 0 wordt de richtingsvector van de lijn genoemd

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Vind de vergelijking van een rechte lijn met een richtingsvector (1, -1) en door het punt A(1, 2).

We zoeken de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm: Ax + By + C = 0. Volgens de definitie moeten de coëfficiënten voldoen aan de voorwaarden:

1A + (-1)B = 0, d.w.z. A = B.

Dan heeft de vergelijking van een rechte lijn de vorm: Ax + Ay + C = 0, of x + y + C/A = 0.

bij x = 1, y = 2 krijgen we С/A = -3, d.w.z. gewenste vergelijking:

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten.

Als in de algemene vergelijking van de rechte lijn Ah + Wu + C = 0 C 0, dan krijgen we, gedeeld door –C:
of

, waar

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt a is de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de x-as, en b- de coördinaat van het snijpunt van de rechte met de Oy-as.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze lijn in de segmenten.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normaalvergelijking van een rechte lijn.

Als beide zijden van de vergelijking Ax + Wy + C = 0 gedeeld door het getal
, Wat genoemd wordt als normaliserende factor, dan krijgen we

xcos + ysin - p = 0 –

normaalvergelijking van een rechte lijn.

Het teken  van de normaliserende factor moet zo worden gekozen dat С< 0.

p is de lengte van de loodlijn die van de oorsprong naar de rechte lijn valt, en  is de hoek die door deze loodlijn wordt gevormd met de positieve richting van de Ox-as.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn 12x - 5y - 65 = 0. Het is vereist om verschillende soorten vergelijkingen voor deze lijn te schrijven.

de vergelijking van deze rechte lijn in segmenten:

de vergelijking van deze lijn met de helling: (delen door 5)

normaalvergelijking van een rechte lijn:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen evenwijdig aan de assen of door de oorsprong.

Voorbeeld. De rechte lijn snijdt gelijke positieve segmenten op de coördinaatassen af. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn als het gebied van de driehoek gevormd door deze segmenten 8 cm 2 is.

De vergelijking van een rechte heeft de vorm:
, een = b = 1; ab/2 = 8; een = 4; -vier.

a = -4 past niet bij de toestand van het probleem.

Totaal:
of x + y - 4 = 0.

Voorbeeld. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A (-2, -3) en de oorsprong gaat.

De vergelijking van een rechte heeft de vorm:
, waarbij x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Hoek tussen lijnen in een vlak.

Definitie. Als twee lijnen worden gegeven y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dan wordt de scherpe hoek tussen deze lijnen gedefinieerd als

.

Twee lijnen zijn evenwijdig als k 1 = k 2 .

Twee lijnen staan ​​loodrecht als k 1 = -1/k 2 .

Stelling. Rechte lijnen Ax + Vy + C = 0 en A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 zijn parallel wanneer de coëfficiënten A proportioneel zijn 1 =  A, B 1 =  B. Als ook C 1 =  C, dan vallen de lijnen samen.

De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen worden gevonden als oplossing van het stelsel vergelijkingen van deze lijnen.

Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat

loodrecht op deze lijn.

Definitie. De lijn die door het punt M 1 (x 1, y 1) en loodrecht op de lijn y \u003d kx + b gaat, wordt weergegeven door de vergelijking:

De afstand van een punt tot een lijn.

Stelling. Als een punt M(x 0 , ja 0 ), dan wordt de afstand tot de lijn Ax + Vy + C = 0 gedefinieerd als

.

Een bewijs. Laat het punt M 1 (x 1, y 1) de basis zijn van de loodlijn die van het punt M naar de gegeven lijn is gevallen. Dan is de afstand tussen de punten M en M 1:

De x 1 en y 1 coördinaten zijn te vinden als oplossing van het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een rechte lijn die door een bepaald punt M 0 loodrecht op een bepaalde rechte lijn gaat.

Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan krijgen we bij het oplossen:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) substitueren, vinden we:

.

De stelling is bewezen.

Voorbeeld. Bepaal de hoek tussen de lijnen: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Voorbeeld. Laat zien dat de lijnen 3x - 5y + 7 = 0 en 10x + 6y - 3 = 0 loodrecht op elkaar staan.

We vinden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, daarom staan ​​de lijnen loodrecht.

Voorbeeld. De hoekpunten van de driehoek A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) zijn gegeven. Zoek de vergelijking voor de hoogte getrokken vanaf hoekpunt C.

We vinden de vergelijking van de zijde AB:
; 4x = 6j - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

De gewenste hoogtevergelijking is: Ax + By + C = 0 of y = kx + b.

k = . Dan y =
. Omdat de hoogte gaat door punt C, dan voldoen de coördinaten aan deze vergelijking:
vandaar b = 17. Totaal:
.

Antwoord: 3x + 2j - 34 = 0.

Analytische meetkunde in de ruimte.

Lijnvergelijking in de ruimte.

De vergelijking van een rechte lijn in de ruimte door een punt en

richtingsvector.

Neem een ​​willekeurige lijn en een vector (m, n, p) evenwijdig aan de gegeven lijn. Vector genaamd gids vector Rechtdoor.

Laten we twee willekeurige punten M 0 (x 0 , y 0 , z 0) en M(x, y, z) op de rechte lijn nemen.

z

M1

Laten we de straalvectoren van deze punten aanduiden als en , het is duidelijk dat - =
.

Omdat vectoren
en collineair zijn, dan is de relatie waar
= t, waarbij t een parameter is.

In totaal kunnen we schrijven: = + t.

Omdat aan deze vergelijking wordt voldaan door de coördinaten van een willekeurig punt op de lijn, dan is de resulterende vergelijking parametrische vergelijking van een rechte lijn.

Deze vectorvergelijking kan in coördinaatvorm worden weergegeven:

Door dit systeem te transformeren en de waarden van de parameter t gelijk te stellen, verkrijgen we de canonieke vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte:

.

Definitie. Richting cosinus direct zijn de richtingscosinus van de vector , die kan worden berekend met de formules:

;

.

Vanaf hier krijgen we: m: n: p = cos : cos : cos.

De getallen m, n, p heten hellingsfactoren Rechtdoor. Omdat is een vector die niet nul is, kunnen m, n en p niet tegelijkertijd nul zijn, maar een of twee van deze getallen kunnen nul zijn. In dit geval moeten in de vergelijking van een rechte lijn de bijbehorende tellers worden gelijkgesteld aan nul.

Vergelijking van een rechte lijn in het passeren van de ruimte

door twee punten.

Als twee willekeurige punten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2) op een rechte lijn in de ruimte zijn gemarkeerd, dan moeten de coördinaten van deze punten voldoen aan de vergelijking van de rechte lijn hierboven verkregen:

.

Bovendien kunnen we voor punt M 1 schrijven:

.

Als we deze vergelijkingen samen oplossen, krijgen we:

.

Dit is de vergelijking van een rechte lijn die door twee punten in de ruimte gaat.

Algemene vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte.

De vergelijking van een rechte lijn kan worden beschouwd als de vergelijking van een snijlijn van twee vlakken.

Zoals hierboven besproken, kan een vlak in vectorvorm worden gegeven door de vergelijking:

+ D = 0, waarbij

- vlak normaal; - straal-vector van een willekeurig punt van het vlak.

De canonieke vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte zijn vergelijkingen die een rechte lijn definiëren die door een bepaald punt collineair naar een richtingsvector gaat.

Laat een punt en een richtingsvector gegeven zijn. Een willekeurig punt ligt op een lijn ik alleen als de vectoren en collineair zijn, d.w.z. ze voldoen aan de voorwaarde:

.

De bovenstaande vergelijkingen zijn de canonieke vergelijkingen van de lijn.

Cijfers m , n en p zijn projecties van de richtingsvector op de coördinaatassen. Aangezien de vector niet nul is, zijn alle getallen m , n en p kan niet tegelijkertijd nul zijn. Maar een of twee ervan kunnen nul zijn. In analytische meetkunde is bijvoorbeeld de volgende notatie toegestaan:

,

wat betekent dat de projecties van de vector op de assen Oy en Ozo zijn gelijk aan nul. Daarom staan ​​zowel de vector als de rechte die door de canonieke vergelijkingen wordt gegeven loodrecht op de assen Oy en Ozo, d.w.z. vliegtuigen yOz .

voorbeeld 1 Stel vergelijkingen op van een rechte lijn in de ruimte loodrecht op een vlak en door het snijpunt van dit vlak met de as gaan Ozo .

Oplossing. Vind het snijpunt van het gegeven vlak met de as Ozo. Aangezien elk punt op de as Ozo, heeft coördinaten , dan aangenomen in de gegeven vergelijking van het vlak x=y= 0 , we krijgen 4 z- 8 = 0 of z= 2 . Daarom is het snijpunt van het gegeven vlak met de as Ozo heeft coördinaten (0; 0; 2) . Omdat de gewenste lijn loodrecht op het vlak staat, is deze evenwijdig aan zijn normaalvector. Daarom kan de normaalvector dienen als de richtingsvector van de rechte lijn vliegtuig gegeven.

Nu schrijven we de gewenste vergelijkingen van de rechte lijn die door het punt gaat EEN= (0; 0; 2) in de richting van de vector :

Vergelijkingen van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat

Een rechte lijn kan worden gedefinieerd door twee punten die erop liggen en In dit geval kan de richtingsvector van de rechte lijn de vector zijn. Dan hebben de canonieke vergelijkingen van de lijn de vorm

.

De bovenstaande vergelijkingen definiëren een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat.

Voorbeeld 2 Schrijf de vergelijking van een rechte lijn in de ruimte die door de punten en gaat.

Oplossing. We schrijven de gewenste vergelijkingen van de rechte lijn in de hierboven gegeven vorm in de theoretische referentie:

.

Aangezien , dan staat de gewenste lijn loodrecht op de as Oy .

Recht als een snijlijn van vlakken

Een rechte lijn in de ruimte kan worden gedefinieerd als een snijlijn van twee niet-parallelle vlakken en, d.w.z. als een verzameling punten die voldoen aan een stelsel van twee lineaire vergelijkingen

De vergelijkingen van het systeem worden ook wel de algemene vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte genoemd.

Voorbeeld 3 Stel canonieke vergelijkingen op van een rechte lijn in de ruimte die wordt gegeven door algemene vergelijkingen

Oplossing. Om de canonieke vergelijkingen van een rechte lijn te schrijven of, wat hetzelfde is, de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, moet je de coördinaten van twee willekeurige punten op de rechte lijn vinden. Dit kunnen bijvoorbeeld de snijpunten zijn van een rechte lijn met twee willekeurige coördinaatvlakken yOz en xOz .

Snijpunt van een lijn met een vlak yOz heeft een abscis x= 0 . Daarom, ervan uitgaande dat in dit systeem van vergelijkingen x= 0 , we krijgen een systeem met twee variabelen:

Haar beslissing ja = 2 , z= 6 samen met x= 0 definieert een punt EEN(0; 2; 6) van de gewenste regel. Ervan uitgaande dat dan in het gegeven stelsel vergelijkingen ja= 0 , we krijgen het systeem

Haar beslissing x = -2 , z= 0 samen met ja= 0 definieert een punt B(-2; 0; 0) snijpunt van een lijn met een vlak xOz .

Nu schrijven we de vergelijkingen van een rechte lijn die door de punten gaat EEN(0; 2; 6) en B (-2; 0; 0) :

,

of na het delen van de noemers door -2:

,