Числа фібоначчі в природі та житті людини. Золотий перетин Фібоначчі

Ви чули коли-небудь, що математику називають царицею всіх наук? Чи погоджуєтесь ви з таким твердженням? Поки математика залишається вам набором нудних завдань у підручнику, навряд можна відчути красу, універсальність і навіть гумор цієї науки.

Але є в математиці такі теми, які допомагають зробити цікаві спостереження за звичайними нам речами і явищами. І навіть спробувати проникнути за завісу таємниці створення нашого Всесвіту. У світі є цікаві закономірності, які можна описати з допомогою математики.

Представляємо вам числа Фібоначчі

Числами Фібоначчіназивають елементи числової послідовності. У ній кожне наступне число в ряду виходить підсумовуванням двох попередніх чисел.

Приклад послідовності: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Записати це можна так:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2

Можна починати ряд чисел Фібоначчі та з негативних значень n. При цьому послідовність у такому випадку є двосторонньою (тобто охоплює негативні та позитивні числа) і прагне нескінченності в обох напрямках.

Приклад такої послідовності: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Формула в цьому випадку виглядає так:

F n = F n+1 - F n+2або інакше можна так: F -n = (-1) n+1 Fn.

Те, що ми зараз знаємо під назвою "числа Фібоначчі", було відомо давньоіндійським математикам задовго до того, як ними почали користуватися в Європі. А з цією назвою взагалі один суцільний історичний анекдот. Почнемо з того, що сам Фібоначчі за життя ніколи не називав себе Фібоначчі – це ім'я почали застосовувати до Леонардо Пізанського лише через кілька століть після його смерті. Але давайте про все по порядку.

Леонардо Пізанський, він же Фібоначчі

Син торговця, який став математиком, а згодом отримав визнання нащадків як перший великий математик Європи періоду Середніх віків. Не в останню чергузавдяки числам Фібоначчі (які тоді, нагадаємо, ще так не називалися). Які він у початку XIIIстоліття описав у своїй праці "Liber abaci" ("Книга абака", 1202).

Подорожую разом з батьком на Схід, Леонардо вивчав математику в арабських вчителів (а вони в ті часи були в цій справі, та й у багатьох інших науках, одними з найкращих фахівців). Праці математиків Античності та Стародавню Індіювін прочитав у арабських перекладах.

Як слід осмисливши все прочитане і підключивши власний допитливий розум, Фібоначчі написав кілька наукових трактатів з математики, включаючи згадану вище «Книгу абака». Крім неї створив:

"Practica geometriae" ("Практика геометрії", 1220);
«Flos» («Квітка», 1225 – дослідження, присвячене кубічним рівнянням);
«Liber quadratorum» («Книга квадратів», 1225 – завдання про невизначені квадратні рівняння).

Був великим любителем математичних турнірів, у своїх трактатах багато уваги приділяв розбору різних математичних завдань.

Про життя Леонардо залишилося дуже мало біографічних відомостей. Що ж до імені Фібоначчі, під яким він увійшов в історію математики, то воно закріпилося за ним тільки в XIX столітті.

Фібоначчі та його завдання

Після Фібоначчі залишилось велике числозадач, які були дуже популярні серед математиків і наступні століття. Ми з вами розглянемо завдання про кроликів, у вирішенні якої використовуються числа Фібоначчі.

Кролики – не тільки цінне хутро

Фібоначчі поставив такі умови: існує пара новонароджених кроликів (самець і самка) такої цікавої породи, що вони регулярно (починаючи з другого місяця) виробляють потомство – завжди одну нову парукролів. Теж, як можна здогадатися, самця та самку.

Ці умовні зайчики поміщені в замкнутий простір і із захопленням розмножуються. Зазначається також, що жоден кролик не вмирає від якоїсь загадкової кролячої хвороби.

Треба вирахувати, скільки кроликів ми отримаємо за рік.

На початку 1 місяця ми маємо 1 пара кроликів. Наприкінці місяця вони спаровуються.
Другий місяць – у нас вже 2 пари кроликів (у пари – батьки + 1 пара – їхнє потомство).
Третій місяць: Перша пара народжує нову пару, друга пара спарюється. Разом – 3 пари кроликів.
Четвертий місяць: Перша пара народжує нову пару, друга пара часу не втрачає і теж народжує нову пару, третя пара поки що тільки спарюється. Разом – 5 пар кроликів.

Число кроликів у n-ий місяць = кількість пар кроликів з попереднього місяця + число новонароджених пар (їх стільки ж, скільки пар кроликів було за 2 місяці до цього моменту). І все це описується формулою, яку ми вже навели вище: F n = F n-1 + F n-2.

Таким чином, отримуємо рекурентну (пояснення про рекурсії- Нижче) числову послідовність. У якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Продовжувати послідовність можна довго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Але оскільки ми задали конкретний термін – рік, нас цікавить результат, отриманий на 12-му «ході». Тобто. 13-й член послідовності: 377.

Відповідь у завданні: 377 кроликів буде отримано за дотримання всіх заявлених умов.

Одна з властивостей послідовності чисел Фібоначчі дуже цікава. Якщо взяти дві послідовні пари з ряду та розділити більша кількістьна менше, результат буде поступово наближатися до золотого перерізу(прочитати про нього докладніше ви зможете далі у статті).

Говорячи мовою математики, «межа відносин a n+1до a nдорівнює золотому перерізу».

Ще завдання з теорії чисел

Знайдіть число, яке можна поділити на 7. Крім того, якщо поділити його на 2, 3, 4, 5, 6, у залишку вийде одиниця.
Знайдіть квадратне число. Про нього відомо, що якщо додати до нього 5 або відібрати 5, знову вийде квадратне число.

Відповіді на ці завдання ми пропонуємо пошукати самостійно. Свої варіанти ви можете залишати нам у коментарях до цієї статті. А ми потім підкажемо, чи були правильними ваші обчислення.

Пояснення про рекурсію

Рекурсія– визначення, опис, зображення об'єкта чи процесу, у якому міститься сам цей об'єкт чи процес. Тобто по суті об'єкт чи процес є частиною самого себе.

Рекурсія знаходить широке застосування в математиці та інформатиці, і навіть у мистецтві та масовій культурі.

Числа Фібоначчі визначаються за допомогою рекурентного співвідношення. Для числа n>2 n-е число дорівнює (n – 1) + (n – 2).

Пояснення про золотий переріз

Золотий перетин – розподіл цілого (наприклад, відрізка) на такі частини, які співвідносяться наступного принципу: більша частинавідноситься до меншої так само, як і вся величина (наприклад, сума двох відрізків) до більшої частини.

Першу згадку про золотий переріз можна зустріти у Евкліда в його трактаті «Початку» (приблизно 300 років до н.е.). У контексті побудови правильного прямокутника.

Звичний нам термін в 1835 ввів в обіг німецький математик Мартін Ом.

Якщо описувати золотий переріз приблизно, воно є пропорційним розподілом на дві нерівних частини: приблизно 62% і 38%. У числовому вираженнізолотий переріз є числом 1,6180339887 .

Золотий перетин знаходить практичне застосуванняв образотворчому мистецтві(картини Леонардо да Вінчі та інших живописців Ренесансу), архітектурі, кінематографі («Броненосець «Потьомкін» С. Езенштейна) та інших областях. Довгий час вважалося, що золотий переріз – найестетичніша пропорція. Така думка популярна і сьогодні. Хоча за результатами досліджень візуально більшість людей не сприймають таку пропорцію найвдалішим варіантом і вважають надто витягнутою (непропорційною).

Довжина відрізка з = 1, а = 0,618, b = 0,382.
Ставлення здо а = 1, 618.
Ставлення здо b = 2,618

А тепер повернемося до числа Фібоначчі. Візьмемо два наступні один за одним члени з його послідовності. Розділимо більше на менше і отримаємо приблизно 1,618. А тепер задіємо те ж більше число і наступний за ним член ряду (тобто ще більше) - їх відношення рано 0,618.

Ось приклад: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 та 233/377 = 0,618

До речі, якщо ви спробуєте зробити той самий експеримент із числами з початку послідовності (наприклад, 2, 3, 5), нічого не вийде. Ну майже. Правило золотого перерізу майже дотримується початку послідовності. Але в міру просування вздовж ряду і зростання чисел працює добре.

І для того, щоб обчислити весь ряд чисел Фібоначчі, достатньо знати три члени послідовності, що йдуть один за одним. Можете переконатись у цьому самі!

Золотий прямокутник та спіраль Фібоначчі

Ще одну цікаву паралель між числами Фібоначчі та золотим перерізом дозволяє провести так званий «золотий прямокутник»: його сторони співвідносяться в пропорції 1,618 до 1. Але ж ми вже знаємо, що за число 1,618, чи не так?

Наприклад, візьмемо два послідовні члени ряду Фібоначчі - 8 і 13 - і побудуємо прямокутник зі наступними параметрами: ширина = 8, довжина = 13

А потім розіб'ємо великий прямокутник на менші. Обов'язкова умова: довжини сторін прямокутників повинні відповідати числам Фібоначчі. Тобто. довжина сторони більшого прямокутника має бути рівної сумісторін двох менших прямокутників.

Так як це виконано на цьому малюнку (для зручності фігури підписані латинськими літерами).

До речі, будувати прямокутники можна і в зворотному порядку. Тобто. почати побудову з квадратів зі стороною 1. До яких, керуючись озвученим вище принципом, добудовуються фігури зі сторонами, рівними числамиФібоначчі. Теоретично продовжувати так можна нескінченно довго – адже й низка Фібоначчі формально нескінченна.

Якщо з'єднати плавною лінією кути одержаних малюнку прямокутників, отримаємо логарифмічну спіраль. Точніше, її окремий випадок- спіраль Фібоначчі. Вона характеризується, зокрема, тим, що немає кордонів і змінює форми.

Подібна спіраль часто зустрічається у природі. Раковини молюсків – один із самих яскравих прикладів. Більше того, спіральну форму мають деякі галактики, які можна розглянути із Землі. Якщо ви звертаєте увагу на прогнози погоди по телевізору, могли помітити, що подібну спіральну форму мають циклони при зйомці їх з супутників.

Цікаво, як і спіраль ДНК підпорядковується правилу золотого перерізу – відповідну закономірність можна побачити у інтервалах її вигинів.

Такі дивовижні «збіги» не можуть не хвилювати розуми і не породжувати розмови про єдиний алгоритм, якому підкоряються всі явища в житті Всесвіту. Тепер ви знаєте, чому ця стаття називається саме так? І двері в які дивовижні світиздатна відкрити вам математика?

Числа Фібоначчі у живій природі

Зв'язок чисел Фібоначчі та золотого перерізу наводить на думки про цікаві закономірності. Настільки цікавих, що виникає спокуса спробувати відшукати подібні числа Фібоначчі послідовності в природі і навіть у ході історичних подій. І природа дійсно дає привід для таких припущень. Але чи все у нашому житті можна пояснити та описати за допомогою математики?

Приклади живої природи, які можуть бути описані за допомогою послідовності Фібоначчі:

порядок розташування листя (і гілок) у рослин – відстані між ними співвідносні з числами Фібоначчі (філотаксис);

розташування насіння соняшника (насіння розташовується двома рядами спіралей, закручених у різному напрямку: один ряд за годинниковою стрілкою, інший – проти);

розташування лусочок соснових шишок;
пелюстки квітів;
осередки ананаса;
співвідношення довжин фаланг пальців на руці людини (приблизно) і т.д.

Завдання з комбінаторики

Числа Фібоначчі знаходять широке застосування під час вирішення завдань з комбінаторики.

Комбінаторика- Це розділ математики, який займається дослідженням вибірки певного заданого числа елементів з позначеної множини, перерахуванням і т.п.

Давайте розглянемо приклади завдань із комбінаторики, розрахованих до рівня старшої школи(Джерело - http://www.problems.ru/).

Завдання №1:

Льоша піднімається сходами з 10 сходинок. За один раз він стрибає нагору або на одну сходинку, або на дві сходинки. Скільки способами Льоша може піднятися сходами?

Число способів, якими Льоша може піднятися на сходи з nсходинок, позначимо а n.Звідси слідує що a 1 = 1, a 2= 2 (адже Льоша стрибає або одну, або через дві сходинки).

Обговорено також, що Льоша стрибає сходами з n > 2 сходинок. Припустимо, з першого разу він стрибнув на дві сходинки. Отже, за умовою завдання йому потрібно застрибнути ще на n – 2сходинки. Тоді кількість способів закінчити підйом описується як a n–2. А якщо вважати, що вперше Льоша стрибнув лише на одну сходинку, тоді кількість способів закінчити підйом опишемо як a n–1.

Звідси отримуємо таку рівність: a n = a n-1 + a n-2(виглядає знайомо, чи не так?).

Якщо ми знаємо a 1і a 2і пам'ятаємо, що сходинок за умовою задачі 10, обчисли по порядку все а n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Відповідь: 89 способів.

Завдання №2:

Потрібно знайти кількість слів завдовжки 10 літер, які складаються лише з літер «а» та «б» і не повинні містити дві літери «б» поспіль.

Позначимо за a nкількість слів довжиною в nлітер, які складаються лише з літер «а» та «б» та не містять двох літер «б» поспіль. Значить, a 1= 2, a 2= 3.

У послідовності a 1, a 2, <…>, a nми висловимо кожен наступний її член через попередні. Отже, кількість слів завдовжки в nлітер, які до того ж не містять подвоєної літери «б» і починаються з літери «а», це a n–1. А якщо слово довжиною в nлітер починається з літери «б», логічно, що наступна літера в такому слові – «а» (адже двох «б» не може за умовою завдання). Отже, кількість слів завдовжки в nбукв у цьому випадку позначимо як a n–2. І в першому, і в другому випадку далі може слідувати будь-яке слово (довжиною в n – 1і n – 2букв відповідно) без подвоєних "б".

Ми змогли довести, чому a n = a n-1 + a n-2.

Обчислимо тепер a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. І отримаємо знайому нам послідовність Фібоначчі.

Відповідь: 144.

Завдання №3:

Уявіть, що є стрічка, розбита на клітини. Вона йде праворуч і триває нескінченно довго. На першу клітинку стрічки помістимо коника. На якій би із клітин стрічки він не знаходився, він може переміщатися лише праворуч: або на одну клітинку, або на дві. Скільки існує способів, якими коник може дострибати від початку стрічки до n-ї клітини?

Позначимо кількість способів переміщення коника по стрічці до n-ої клітини як a n. В такому випадку a 1 = a 2= 1. Також у n + 1-ую клітину коник може потрапити або з n-ой клітини, або перестрибнувши її. Звідси a n + 1 = a n – 1 + a n. Звідки a n = F n – 1.

Відповідь: F n – 1.

Ви можете і самі скласти подібні завдання та спробувати вирішити їх на уроках математики разом із однокласниками.

Числа Фібоначчі у масовій культурі

Зрозуміло, таке незвичайне явище, Як числа Фібоначчі, не може не привертати увагу. Є все ж таки в цій строго вивіреній закономірності щось привабливе і навіть таємниче. Не дивно, що послідовність Фібоначчі так чи інакше «засвітилася» у багатьох сучасних творах. масової культуринайрізноманітніших жанрів.

Ми розповімо вам про деякі з них. А ви спробуйте пошукати самі ще. Якщо знайдете, поділіться з нами в коментарях – адже нам теж цікаво!

Числа Фібоначчі згадуються в бестселері Дена Брауна "Код да Вінчі": послідовність Фібоначчі служить кодом, за допомогою якого головні герої книги відкривають сейф.
У американському фільмі 2009 року «Пан Ніхто» в одному з епізодів адреса будинку є частиною послідовності Фібоначчі – 12358. Крім цього, в іншому епізоді головний геройповинен зателефонувати телефонному номеру, що насправді – та сама, але трохи спотворена (зайва цифра після цифри 5) послідовність: 123-581-1321.
У серіалі 2012 року «Зв'язок» головний герой, хлопчик, який страждає на аутизм, здатний розрізняти закономірності в подіях, що відбуваються у світі. У тому числі за допомогою чисел Фібоначчі. І керувати цими подіями також за допомогою чисел.
Розробники java-ігри для мобільних телефонів Doom RPG помістили на одному з рівнів секретні двері. Код, що її відкриває - послідовність Фібоначчі.
У 2012 році російський рок-гурт «Сплін» випустив концептуальний альбом «Обман зору». Восьмий трек зветься «Фібоначчі». У віршах лідера групи Олександра Васильєва обіграно послідовність чисел Фібоначчі. На кожен із дев'яти послідовних членів припадає відповідна кількість рядків (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Рушнув у дорогу склад

1 Клацнув один суглоб

1 Здригнувся один рукав

2 Все, діставайте стафф

Все, діставайте стафф

3 Проханням про окроп

Потяг іде до річки

Потяг йде у тайзі<…>.

лімерик ( короткий вірш певної форми– зазвичай це п'ять рядків, з певною схемою римування, жартівливе за змістом, в якому перший і останній рядок повторюються або частково дублюють один одного) Джеймса Ліндона також використовує відсилання до послідовності Фібоначчі як гумористичний мотив:

Щільна їжа дружин Фібоначчі

Тільки на користь їм йшла не інакше.

Важили дружини, згідно з мовою,

Кожна – як попередні дві.

Підбиваємо підсумки

Ми сподіваємося, що змогли розповісти вам сьогодні багато цікавого та корисного. Ви, наприклад, тепер можете пошукати спіраль Фібоначчі в навколишній природі. Раптом саме вам вдасться розгадати «секрет життя, Всесвіту та взагалі».

Користуйтеся формулою для чисел Фібоначчі під час вирішення завдань з комбінаторики. Ви можете спиратися на приклади, описані у цій статті.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Числа Фібоначчі та золотий перетинскладають основу розгадки навколишнього світу, побудови його форми та оптимального зорового сприйняттялюдиною, за допомогою яких вона може відчувати красу та гармонію.

Принцип визначення розмірів золотого перерізу лежить в основі досконалості цілого світу та його частин у своїй структурі та функціях, його прояв можна бачити у природі, мистецтві та техніці. Вчення про золоту пропорцію було закладено в результаті досліджень давніми вченими природи чисел.

Свідчення використання древніми мислителями золотої пропорції наведено у книзі Евкліда «Початку», написаної ще 3 в. до н.е., який застосовував це правило для побудови правильних 5-кутників. У піфагорійців ця фігура вважається священною, оскільки є одночасно симетричною та асиметричною. Пентаграма символізувала життя та здоров'я.

Числа Фібоначчі

Знаменита книга Liber abaci математика з Італії Леонардо Пізанського, який у подальшому став відомий, як Фібоначчі, побачила світ у 1202 р. У ній учений вперше наводить закономірність чисел, серед яких кожне число є сумою 2-х попередніх цифр. Послідовність чисел Фібоначчі полягає в наступному:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 і т.д.

Також вчений навів низку закономірностей:

Будь-яке число з ряду, розділене на наступне, дорівнюватиме значенню, яке прагне 0,618. Причому перші числа Фібоначчі не дають такого числа, але в міру просування від початку послідовності це співвідношення буде дедалі точнішим.

Якщо ж поділити число із ряду на попереднє, то результат спрямує до 1,618.

Одне число, поділене наступне через одне, покаже значення, що прагне 0,382.

Застосування зв'язку і закономірностей золотого перерізу, числа Фібоначчі (0,618) можна знайти у математиці, а й у природі, історія, архітектурі та будівництві й у багатьох інших науках.

Для практичних цілей обмежуються приблизним значенням Φ = 1,618 або Φ = 1,62. У відсотковому заокругленому значенні золотий переріз - це розподіл будь-якої величини щодо 62% і 38%.

Історично спочатку золотим перерізом називалося розподіл відрізка АВ точкою З дві частини (менший відрізок АС і більший відрізок ВС), щоб для довжин відрізків було правильно AC/BC = BC/AВ. Говорячи простими словами, Золотий переріз відрізок розсічений на дві нерівні частини так, що менша частина відноситься до більшої, як велика до всього відрізку. Пізніше це поняття було поширене довільні величини.

Число Φ називається такожзолотим числом.

Золотий переріз має безліч чудових властивостей, але, крім того, йому приписують і багато вигаданих властивостей.

Тепер подробиці:

Визначення ЗС - це розподіл відрізка на частини у такому співвідношенні, у якому більшість належить до меншої, як його сума (весь відрізок) до більшої.

Тобто, якщо ми приймемо весь відрізок c за 1, то відрізок a дорівнюватиме 0,618, відрізок b - 0,382. Таким чином, якщо взяти будову, наприклад, храм, побудований за принципом ЗС, то при його висоті скажемо 10 метрів, висота барабана з куполом дорівнюватиме 3,82 см, а висота основи будівлі буде 6, 18 см. (зрозуміло, що цифри взяті рівними для наочності)

А який зв'язок між ЗС та числами Фібоначчі?

Числа послідовності Фібоначчі:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Закономірність чисел у тому, що кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 і т.д.,

а відношення суміжних чисел наближається до відношення ЗС.
Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618.

Тобто основу ЗС лежать числа послідовності Фібоначчі.

Вважається, що термін "Золотий перетин" ввів Леонардо Да Вінчі, який говорив, "нехай ніхто, не будучи математиком, не зважиться читати мої праці" і показував пропорції людського тілана своєму знаменитому малюнку «Вітрувіанська людина». "Якщо ми людську фігуру - найдосконаліший витвір Всесвіту - перев'яжемо поясом і відміряємо потім відстань від пояса до ступнів, то ця величина буде відноситися до відстані від того ж пояса до верхівки, як все зростання людини до довжини від пояса до ступнів".

Ряд чисел Фібоначчі наочно моделюється (матеріалізується) у формі спіралі.

А в природі спіраль ЗС виглядає так:

При цьому спіраль спостерігається повсюдно (в природі і не тільки):

Насіння в більшості рослин розташоване по спіралі
- Павук плете павутину по спіралі
- Спіраллю закручується ураган
- Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю.
- Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю. Молекулу ДНК складають дві вертикально переплетені спіралі завдовжки 34 ангстреми та шириною 21 ангстреми. Числа 21 і 34 слідують один за одним у послідовності Фібоначчі.
- Ембріон розвивається у формі спіралі
- Спіраль «равлики у внутрішньому вусі»
- Вода йде в слив по спіралі
- Спіральна динаміка показує розвиток особистості людини та її цінностей по спіралі.
- Ну і звісно, сама Галактика має форму спіралі.

Таким чином, можна стверджувати, що сама природа побудована за принципом Золотого Перетину, тому ця пропорція гармонійніше сприймається людським оком. Вона не вимагає «виправлення» або доповнення одержуваної картинки світу.

фільм. Число Бога. Незаперечний доказ Бога; Номер з God. У беззаперечному розбійнику God.

Золоті пропорції у будові молекули ДНК

Всі відомості про фізіологічних особливостяхживі істоти зберігаються в мікроскопічній молекулі ДНК, будова якої також містить у собі закон золотої пропорції. Молекула ДНК і двох вертикально переплетених між собою спіралей. Довжина кожної з цих спіралей становить 34 ангстреми, ширина 21 ангстреми. (1 ангстрем – одна стомільйонна частка сантиметра).

21 і 34 - це цифри, що йдуть один за одним у послідовності чисел Фібоначчі, тобто співвідношення довжини та ширини логарифмічної спіралі молекули ДНК несе в собі формулу золотого перерізу 1:1,618

Золотий переріз у будові мікросвітів

Геометричні фігури не обмежуються тільки трикутником, квадратом, п'яти-або шестикутником. Якщо поєднати ці постаті різним чином між собою, то ми отримаємо нові тривимірні. геометричні фігури. Прикладами цього є такі фігури як куб або піраміда. Однак крім них існують також інші тривимірні фігури, з якими нам не доводилося зустрічатися в повсякденному життіі назви яких ми чуємо, можливо, вперше. Серед таких тривимірних фігур можна назвати тетраедр (правильна чотиристороння фігура), октаедр, додекаедр, ікосаедр тощо. Додекаедр складається з 13-ти п'ятикутників, ікосаедр з 20-ти трикутників. Математики відзначають, що ці фігури математично дуже легко трансформуються, і трансформація їх відбувається відповідно до формули логарифмічної спіралі золотого перерізу.

У мікросвіті тривимірні логарифмічні форми, побудовані золотими пропорціями, поширені повсюдно. Наприклад, багато вірусів мають тривимірну. геометричну формуікосаедра. Мабуть, найвідоміший із таких вірусів - вірус Adeno. Білкова оболонка вірусу Адено формується із 252 одиниць білкових клітин, розташованих у певній послідовності. У кожному куті ікосаедра розташовані по 12 одиниць білкових клітин у формі п'ятикутної призми і з цих кутів простягаються шипоподібні структури.

Вперше золотий перетин у будові вірусів виявили у 1950-х роках. вчені з Лондонського Біркбецького Коледжу А.Клуг та Д.Каспар. 13 Першим логарифмічну форму виявив вірус Polyo. Форма цього вірусу виявилася аналогічною формою вірусу Rhino 14.

Виникає питання, як віруси утворюють настільки складні тривимірні форми, пристрій яких містить у собі золотий перетин, які навіть нашим людським розумом сконструювати досить складно? Першовідкривач цих форм вірусів, вірусолог О.Клуг дає такий коментар:

«Доктор Каспар і я показали, що для сферичної оболонки вірусу найоптимальнішою формою є симетрія типу форми ікосаедра. Такий порядок зводить до мінімуму кількість сполучних елементів. Більшість геодезичних напівсферичних кубів Букмінстера Фуллера побудовані за аналогічним геометричному принципу. 14 Монтаж таких кубів потребує надзвичайно точної та докладної схеми-роз'яснення. Тоді як несвідомі віруси самі споруджують собі таку складну оболонку з еластичних, гнучких білкових клітинних одиниць.

Числа Фібоначчі... у природі та житті

Леонардо Фібоначчі – один із найбільших математиківСередньовіччя. В одному і своїх праць "Книга обчислень" Фібоначчі описав індо-арабську систему обчислення та переваги її використання перед римською.

Визначення
Числа Фібоначчі або Послідовність Фібоначчі – числова послідовність, що має низку властивостей. Наприклад, сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного їх (наприклад, 1+1=2; 2+3=5 тощо.), що підтверджує існування про коефіцієнтів Фібоначчі, тобто. постійних співвідношень.

Послідовність Фібоначчі починається так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Повне визначення чисел Фібоначчі

3.

Властивості послідовності Фібоначчі

1. Ставлення кожного числа до наступного більш і більше прагне 0.618 зі збільшенням порядкового номера. Ставлення кожного числа до попереднього прагне до 1.618 (зворотному до 0.618). Число 0.618 називають (ФІ).

2. При розподілі кожного числа на наступне за ним через одне виходить число 0.382; навпаки – відповідно 2.618.

3. Підбираючи таким чином співвідношення, отримуємо основний набір фібоначчієвських коефіцієнтів: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

Зв'язок послідовності Фібоначчі та «золотого перерізу»

Послідовність Фібоначч асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякому постійному співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто являє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дрібній частині. Його неможливо висловити достеменно.

Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевершує, то не досягає його. Але навіть витративши на це Вічність, неможливо дізнатися сотні точно, до останньої десяткової цифри. Короткості ради, ми будемо наводити його у вигляді 1.618. Особливі назви цьому співвідношенню почали давати ще до того, як Лука Пачіолі (середньовічний математик) назвав його Божественною пропорцією. Серед його сучасних назв є такі, як Золотий перетин, Золоте середнє і ставлення квадратів, що обертаються. Кеплер назвав це співвідношення одним із «скарбів геометрії». У алгебрі загальноприйнято його позначення грецькою буквою фі

Подаємо золотий переріз на прикладі відрізка.

Розглянемо відрізок з кінцями A і B. Нехай точка С поділяє відрізок AB так що,

AC/CB = CB/AB або

AB/CB = CB/AC.

Уявити це можна приблизно так: A-C-B

Золотий переріз – це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618…, якщо AB прийняти за одиницю, AC = 0,382.. Як ми знаємо числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі.

Пропорції Фібоначчі та золотого перерізу в природі та історії

10.

Фібоначчі як би нагадав свою послідовність людству. Вона була відома ще давнім грекам та єгиптянам. І справді, з того часу в природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології та багатьох інших областях було знайдено закономірності, що описуються коефіцієнтами Фібоначчі. Просто дивно, скільки постійних можна обчислити за допомогою послідовності Фібоначчі, і як її члени виявляються у величезній кількості поєднань. Однак не буде перебільшенням сказати, що це не просто гра з числами, а найважливіше математичне вираження природних явищз усіх коли-небудь відкритих.

11.

Нижче наведені приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності.

12.

1. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Річ у тім, що відношення вимірів завитків раковини постійно 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

2. Рослини та тварини. Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці насіння соняшника, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Ящірка живородна. У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи – симетрія щодо напрямку зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напрямку зростання. Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

П'єр Kюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію довкілля. Закономірності золотої симетрії виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

3. Космос. З історії астрономії відомо, що І. Тиціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду (Фібоначчі) знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи

Однак один випадок, який, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою піднебіння призвело до відкриття поясу астероїдів. Сталося це після смерті Тіціуса в початку XIXв.

Ряд Фібоначчі використовують широко: з його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, та будова Галактик. Ці факти – свідчення незалежності числового рядувід умов його прояву, що одна із ознак його універсальності.

4. Піраміди. Багато хто намагався розгадати секрети піраміди в Гізі. На відміну від інших єгипетських пірамід це не гробниця, а скоріше нерозв'язна головоломка з числових комбінацій. Чудові винахідливість, майстерність, час і працю архітекторів піраміди, використані ними при зведенні вічного символу, вказують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням. Їхня епоха була дописьменною, доієрогліфічною і символи були єдиним засобом запису відкриттів. Ключ до геометро-математичного секрету піраміди в Гізі, що так довго був для людства загадкою, насправді був переданий Геродоту храмовими жерцями, які повідомили йому, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней дорівнювала квадрату її висоти.

Площа трикутника

356 x 440/2 = 78320

Площа квадрата

280 x 280 = 78400

Довжина ребра основи піраміди в Гізі дорівнює 783.3 фути (238.7 м), висота піраміди -484.4 фути (147.6 м). Довжина ребра основи, поділена на висоту, призводить до співвідношення Ф=1.618. Висота 484.4 фута відповідає 5813 дюймам (5-8-13) – це числа із послідовності Фібоначчі. Ці цікаві спостереження підказують, що конструкція піраміди ґрунтується на пропорції Ф=1,618. Деякі сучасні вчені схиляються до інтерпретації, що стародавні єгиптяни збудували її з єдиною метою – передати знання, які вони хотіли зберегти для майбутніх поколінь. Інтенсивні дослідження піраміди в Гізі показали, наскільки широкими були в ті часи пізнання в математиці та астрології. У всіх внутрішніх та зовнішніх пропорціях піраміди число 1.618 відіграє центральну роль.

Піраміди у Мексиці. Hе тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу, те ж саме явище виявлено і у мексиканських пірамід. Виникає думка, що як єгипетські, так і мексиканські піраміди були зведені приблизно в один час людьми загального походження.

У всесвіті ще багато нерозгаданих таємниць, деякі з яких вчені вже змогли визначити та описати. Числа Фібоначчі та золотий перетин становлять основу розгадки навколишнього світу, побудови його форми та оптимального зорового сприйняття людиною, за допомогою яких вона може відчувати красу та гармонію.

Золотий перетин

В основі його лежить теорія про пропорції та співвідношення поділів відрізків, яке було зроблено ще давнім філософом та математиком Піфагором. Він довів, що при розділенні відрізка на дві частини: X (меншу) і Y (велику), відношення більшого до меншого буде рівним відношенню їх суми (всього відрізка):

В результаті виходить рівняння: х 2 - х - 1 = 0,яке вирішується як х=(1±√5)/2.

Якщо розглянути співвідношення 1/х, воно дорівнює 1,618…

Числа Фібоначчі

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 і т.д.

Також вчений навів низку закономірностей:

Будь-яке число з ряду, розділене на наступне, дорівнюватиме значенню, яке прагне 0,618. Причому перші числа Фібоначчі не дають такого числа, але в міру просування від початку послідовності це співвідношення буде дедалі точнішим.
Якщо ж поділити число із ряду на попереднє, то результат спрямує до 1,618.
Одне число, поділене наступне через одне, покаже значення, що прагне 0,382.

Спіраль Архімеда та золотий прямокутник

Спіралі, дуже поширені у природі, було досліджено Архімедом, який навіть вивів її рівняння. Форма спіралі ґрунтується на законах про золотий переріз. При її розкручуванні виходить довжина, до якої можна застосувати пропорції та числа Фібоначчі, збільшення кроку відбувається рівномірно.

Паралель між числами Фібоначчі та золотим перетином можна побачити і побудувавши «золотий прямокутник», у якого сторони пропорційні, як 1,618:1. Він будується, переходячи від більшого прямокутника до малих так, що довжини сторін дорівнюватимуть числам з ряду. Побудову його можна зробити і у зворотному порядку, починаючи з квадратика «1». При з'єднанні лініями кутів цього прямокутника у центрі їх перетину виходить спіраль Фібоначчі або логарифмічна.

Історія застосування золотих пропорцій

Багато стародавніх пам'яток архітектури Єгипту зведено з використанням золотих пропорцій: знамениті піраміди Хеопса та ін. Стародавню Греціюшироко використовували їх при зведенні архітектурних об'єктів, такі як храми, амфітеатри, стадіони. Наприклад, були застосовані такі пропорції при будівництві античного храму Парфенон, (Афіни) та інших об'єктів, які стали шедеврами стародавнього зодчества, що демонструють гармонію на математичній закономірності.

У пізніші століття інтерес до золотого перетину вщух, і закономірності були забуті, проте знову відновився в епоху Ренесансу разом з книгою францисканського ченця Л. Пачолі ді Борго «Божественна пропорція» (1509). У ній було наведено ілюстрації Леонардо да Вінчі, який і закріпив нову назву «золотий перетин». Також було науково доведено 12 властивостей золотої пропорції, причому автор розповідав про те, як проявляється вона у природі, мистецтві та називав її «принципом побудови світу та природи».

Вітрувіанська людина Леонардо

Малюнок, яким Леонардо да Вінчі в 1492 проілюстрував книгу Вітрувія, зображує фігуру людини в 2-х позиціях з руками, розведеними в сторони. Фігура вписана у коло та квадрат. Цей малюнок прийнято вважати канонічними пропорціями людського тіла (чоловічого), описаними Леонардо з урахуванням вивчення в трактатах римського архітектора Вітрувія.

Центром тіла як рівновіддаленою точкою від кінця рук і ніг вважається пупок, довжина рук прирівнюється до зростання людини, максимальна ширина плечей = 1/8 росту, відстань від верху грудей до волосся = 1/7, від верху грудей до верху голови = 1/6 і т.д.

З того часу малюнок використовується у вигляді символу, що показує внутрішню симетрію тіла людини.

Термін "Золотий перетин" Леонардо використовував для позначення пропорційних відносин у фігурі людини. Наприклад, відстань від пояса до ніг співвідноситься до аналогічної відстані від пупка до верхівки так само, як зростання до першої довжини (від пояса вниз). Ці обчислення виробляється аналогічно співвідношенню відрізків при обчисленні золотої пропорції і прагне 1,618.

Всі ці гармонійні пропорції часто використовуються митцями для створення красивих і вражаючих творів.

Дослідження золотого перерізу у 16-19 століттях

Використовуючи золотий переріз і числа Фібоначчі, дослідницьку роботущодо пропорціях продовжують вже не одне століття. Паралельно з Леонардо да Вінчі німецький художник Альбрехт Дюрер займався також розробкою теорії правильних пропорцій тіла людини. Для цього їм навіть було створено спеціальний циркуль.

У 16 ст. питанню про зв'язок числа Фібоначчі та золотого перерізу були присвячені роботи астронома І. Кеплера, який вперше застосував ці правила для ботаніки.

Нове «відкриття» чекало на золотий перетин у 19 ст. з опублікуванням "Естетичного дослідження" німецького вченого професора Цейзіга. Він звів ці пропорції в абсолют і оголосив у тому, що вони універсальні всім природних явищ. Їм було проведено дослідження величезної кількостілюдей, вірніше їх тілесних пропорцій (близько 2 тис.), за підсумками яких зроблено висновки щодо статистичних підтверджених закономірностей у співвідношеннях різних частинтіла: довжини плечей, передпліч, кистей, пальців тощо.

Були досліджені також предмети мистецтва (вази, архітектурні споруди), музичні тони, Розміри при написанні віршів - все це Цейзіг відобразив через довжини відрізків і цифри, він же ввів термін «математична естетика». Після отримання результатів з'ясувалося, що виходить низка Фібоначчі.

Число Фібоначчі та золотий перетин у природі

У рослинному та тваринному світі існує тенденція до формоутворення у вигляді симетрії, яка спостерігається у напрямку зростання та руху. Поділ на симетричні частини, в яких дотримуються золоті пропорції, така закономірність властива багатьом рослинам і тваринам.

Природа навколо нас може бути описана за допомогою чисел Фібоначчі, наприклад:

розташування листя або гілок будь-яких рослин, а також відстані співвідносяться з рядом наведених чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 і далі;
насіння соняшника (луска на шишках, осередки ананаса), розташовуючись двома рядами по закручених спіралях у різні боки;
співвідношення довжини хвоста та всього тіла ящірки;
форма яйця, якщо провести лінію умовно через його широку частину;
співвідношення розмірів пальців на руці людини.

І, звичайно, найбільш цікаві формипредставляють раковини равликів, що закручуються по спіралі, візерунки на павутині, рух вітру всередині урагану, подвійна спіральв ДНК і структура галактик - всі вони включають послідовність чисел Фібоначчі.

Використання золотого перерізу мистецтво

Дослідники, які займаються пошуком у мистецтві прикладів використання золотого перерізу, докладно досліджують різноманітні архітектурні об'єкти та твори живопису. Відомі знамениті скульптурні роботи, творці яких дотримувалися золотих пропорцій, - статуї Зевса Олімпійського, Аполлона Бельведерського та

Один із творів Леонардо да Вінчі — «Портрет Мони Лізи» — вже багато років є предметом досліджень вчених. Ними було виявлено, що композиція роботи повністю складається із «золотих трикутників», об'єднаних разом у правильний п'ятикутник-зірку. Всі роботи да Вінчі є свідченням того, наскільки глибокими були його пізнання в будові та пропорціях тіла людини, завдяки чому він і зміг вловити неймовірно загадкову усмішку Джоконди.

Золотий перетин в архітектурі

Як приклад вчені досліджували шедеври архітектури, створені за правилами «золотого перерізу»: єгипетські піраміди, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Парі, храм Василя Блаженного та ін.

Парфенон - одна з найкрасивіших будівель у Стародавній Греції (5 ст. до н.е.) - має 8 колон і 17 по різним сторонам, Відношення його висоти до довжини сторін дорівнює 0,618. Виступи на його фасадах зроблено за «золотим перерізом» (фото нижче).

Одним із вчених, який придумав та успішно застосовував удосконалення модульної системи пропорцій для архітектурних об'єктів (так званий «модулер»), був французький архітектор Ле Корбюзьє. В основу модулера покладено вимірювальну систему, пов'язану з умовним розподілом на частини людського тіла.

Російський архітектор М. Козаков, який збудував кілька житлових будинків у Москві, а також будівлі сенату в Кремлі та Голицинській лікарні (зараз 1-а Клінічна ім. М. І. Пирогова), був одним з архітекторів, які використовували при проектуванні та будівництві закони про золотий переріз.

Застосування пропорцій у дизайні

У дизайні одягу всі модельєри роблять нові образи та моделі з урахуванням пропорцій людського тіла та правил золотого перетину, хоча від природи не всі люди мають ідеальні пропорції.

При плануванні ландшафтного дизайнута створення об'ємних паркових композицій за допомогою рослин (дерев та чагарників), фонтанів та малих архітектурних об'єктів також можуть застосовуватися закономірності. божественних пропорцій». Адже композиція парку має бути орієнтована на створення враження на відвідувача, який вільно зможе орієнтуватися у ньому та знаходити композиційний центр.

Всі елементи парку знаходяться в таких співвідношеннях, щоб за допомогою геометричної будови, взаєморозташування, освітлення та світла справити на людину враження гармонії та досконалості.

Застосування золотого перерізу в кібернетиці та техніці

Закономірності золотого перерізу та чисел Фібоначчі виявляються також у переходах енергії, у процесах, що відбуваються з елементарними частинками, складових хімічні сполуки, у космічних системах, у генній структурі ДНК.

Аналогічні процеси відбуваються і в організмі людини, виявляючись у біоритмах його життя, у дії органів, наприклад, головного мозку чи зору.

Алгоритми та закономірності золотих пропорцій широко використовуються в сучасній кібернетиці та інформатиці. Одне з нескладних завдань, яке дають вирішувати програмістам-початківцям, — написати формулу і визначити, суму чисел Фібоначчі до певного числа, використовуючи мови програмування.

Сучасні дослідження теорії про золоту пропорцію

Починаючи з середини 20 століття, інтерес до проблем та впливу закономірностей золотих пропорцій на життя людини різко зростає, причому з боку багатьох вчених різних професій: математиків, дослідників етносу, біологів, філософів, медичних працівників, економістів, музикантів та ін.

У США з 1970-х років починає випускатись журнал The Fibonacci Quarterly, де публікуються роботи на цю тему. У пресі з'являються роботи, у яких узагальнені правила золотого перерізу та ряду Фібоначчі використовують у різних галузях знань. Наприклад, для кодування інформації, хімічних досліджень, біологічних і т.д.

Усе це підтверджує висновки древніх і сучасних вчених у тому, що золота пропорція багатосторонньо пов'язані з фундаментальними питаннями науку й проявляється у симетрії багатьох творінь і явищ навколишнього світу.

Про числа та формули, що зустрічаються в природі. Ну і пару слів про ці числа і формули.

Числа і формули в природі - це камінь спотикання між тими, хто вірить у створення всесвіту кимось, і тими, хто вірить у створення всесвіту сам по собі. Бо питання: «Якби всесвіт виник сам собою, то хіба практично всі живі і неживі об'єкти не були б побудовані за однією і тією ж схемою, за тими самими формулами?»

Ну, на цей філософське питаннями відповідати тут не будемо (формат сайту не той 🙂), а формули озвучимо. І почнемо з чисел Фібоначчі та Золотої спіралі.

Так, числа Фібоначчі - це елементи числової послідовності, в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Тобто, 0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 тощо.

Отже, виходить ряд: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765

Ще один приклад ряду Фібоначчі: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 і таке інше. Чи можете поекспериментувати самі 🙂

Як числа Фібоначчі виявляються у природі? Дуже просто:

Листорозташування у рослин описується послідовністю Фібоначчі. Насіння соняшника, соснові шишки, пелюстки квіток, осередки ананаса також розташовуються згідно з послідовністю Фібоначчі.
Довжини фаланг пальців людини відносяться приблизно до числа Фібоначчі.
Молекулу ДНК складають дві вертикально переплетені спіралі завдовжки 34 ангстреми та шириною 21 ангстреми. Числа 21 і 34 слідують один за одним у послідовності Фібоначчі.

За допомогою чисел Фібоначчі можна збудувати Золоту Спіраль. Так, намалюємо маленький квадратик зі стороною, скажімо, в 1. Далі згадаємо школу. Скільки буде 1 2? Це буде 1. Значить, намалюємо ще один квадратик поруч із першим, впритул. Далі, наступне число Фібоначчі – 2 (1+1). Скільки буде 2 2? Це буде 4. Намалюємо впритул до перших двох квадратів ще один квадрат, але тепер зі стороною 2 та площею 4. Наступне число- Це число 3 (1 +2). Квадрат числа 3 — це 9. Малюємо квадрат зі стороною 3 та площею 9 поряд із уже намальованими. Далі у нас йде квадрат зі стороною 5 та площею 25, квадрат зі стороною 8 та площею 64 — і так далі, до нескінченності.

Настав час для золотої спіралі. З'єднаємо плавною кривою лінією крапки-кордону між квадратами. І отримаємо ту саму золоту спіраль, на основі якої будуються багато живих і неживих об'єктів у природі.

І перед тим, як переходити до золотого перетину, подумаємо. Ось ми побудували спіраль на основі квадратів Фібоначчі послідовності (послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8 і квадрати 1, 1, 4, 9, 25, 64). Але що буде, якщо ми скористаємося не квадратами чисел, а їхніми кубами? Куби виглядатимуть із центру так:

А збоку так:

Ну а при побудові спіралі вийде об'ємна золота спіраль:

Ось так ця об'ємна золота спіраль виглядає збоку:

Але якщо ми візьмемо не куби чисел Фібоначчі, а перейдемо в четвертий вимір?.. Ось це головоломка, так?

Проте, гадки не маю, як у природі проявляється об'ємний золотий перетин на основі кубів чисел Фібоначчі, а тим більше чисел у четвертій мірі. Тому повертаємось до золотого перетину на площині. Так знову подивимося на наші квадрати. Якщо говорити математично, то виходить ось така картинка:

Тобто ми отримуємо золотий перетин — де одна сторона ділиться на дві частини в такому відношенні, при якому менша частина так відноситься до більшої, як більша до всієї величини.

Тобто a: b = b: c або с: b = b: а.

На основі такого ось відношення величин будується, крім іншого, правильний п'ятикутник та пентаграма:

Для довідки: для побудови пентаграми необхідно збудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер (1471…1528). Нехай O – центр кола, A – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, відновлений у точці О, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Загалом, такі закономірності. Причому різноманітних закономірностей набагато більше, ніж описано. І тепер, після всіх цих нудних чисел - обіцяний відео-ролик, де все просто і наочно:

Як бачите, математика справді присутня у природі. Причому не лише в перерахованих у відео об'єктах, а й у багатьох інших областях. Наприклад, коли хвиля набігає на берег і закручується, то вона закручується по Золотій спіралі. Ну і так далі 🙂