Економіко-математичні методи включають. Моделювання економічних систем

Евристичні методи

Методи дослідження операцій

Математична теорія оптимальних процесів

Методи економічної кібернетики

Класичні методи математичного аналізу

Методи математичної статистики

Економетричні методи

Методи математичного програмування

Економіко-математичні методи аналізу господарської діяльності

Методи елементарної математикивикористовуються у звичайних традиційних економічних розрахунках при обґрунтуванні потреб у ресурсах, обліку витрат на виробництво, розробці планів, проектів, при балансових розрахунках і т. д. Виділення методів класичної вищої математикина схемі зумовлено тим, що вони застосовуються не тільки в рамках інших методів, наприклад, методів математичної статистикиіматематичного програмування, але й окремо. Так, факторний аналіз зміни багатьох економічних показників може бути здійснений за допомогою диференціювання та інтегрування.

Методи математичної статистикишироко використовуються в економічному аналізі. Вони використовуються в тих випадках, коли зміна аналізованих показників можна як випадковим процес. Статистичні методи, будучи основним засобом вивчення масових, повторюваних явищ,грають важливу роль у прогнозуванні поведінки економічних показників.Коли зв'язок між аналізованими характеристиками не детермінований, а стохастичний, то статистичні та імовірнісні методи – це практично єдиний інструмент дослідження. Найбільшого поширення з математико-статистичних методів в економічному аналізі набули методи множинного та парного кореляційного аналізу.

Для вивчення одновимірних статистичних сукупностейвикористовуються: варіаційний ряд, закони розподілу, вибірковий метод. Для вивчення багатовимірних статистичних сукупностейзастосовують кореляції, регресії, дисперсійний, підступний, спектральний, компонентний, факторний види аналізу, що вивчаються в курсах теорії статистики.

Наступна група економіко-математичних методів – економетричні методи.Економетрія- наукова дисципліна, що вивчає кількісні сторони економічних явищ та процесів засобами математичного та статистичного аналізу на основі моделювання економічних процесів. Відповідно економетричні методи будуються на синтезі трьох галузей знань: економіки, математики та статистики. Основою економетрії є економічна модель,під якою розуміється схематичне уявлення економічного явища чи процесу за допомогою наукової абстракції, відображення їх характерних рис. З еко неметричних методів найбільшого поширенняу сучасній економіці отримав метод аналізу "витрати – випуск". За його розробку видатний економіст В. Леонтьєв у 1973 отримав Нобелівську премію. Метод аналізу "витрати-випуск"- це економетричний метод аналізу, що полягає у побудові матричних (балансових) моделей, за шаховою схемою і дозволяють у найбільш компактній формі уявити взаємозв'язок витрат і результатів виробництва. Зручність розрахунків та чіткість економічної інтерпретації – головні переваги використання матричних моделей. Це важливо під час створення систем механізованої обробки даних, під час планування виробництва з використанням ЕОМ.

Методи математичного програмування економіки- це численні методи вирішення завдань оптимізації виробничо-господарської та передусім планової діяльності господарюючого суб'єкта. По суті ці методи - засіб планових розрахунків. Цінність їх для економічного аналізу виконання бізнес-планів полягає в тому, що вони дозволяють оцінювати напруженість планових завдань, визначати групи обладнання, що лімітують, види сировини і матеріалів, отримувати оцінки дефіцитності виробничих ресурсів тощо.

Під дослідженням операційрозуміється метод цілеспрямованих дій (операцій), кількісна оцінка отриманих рішень та вибір із них найкращого. Предметом дослідження операцій є економічні системи, зокрема виробничо-господарську діяльність підприємств. Метою є таке поєднання структурних взаємозалежних елементів систем, яке найбільше відповідає задачі отримання найкращого економічного показника з низки можливих.

Як розділ дослідження операцій теорія ігор- це теорія побудови математичних моделей для прийняття оптимальних рішеньв умовах невизначеності чи конфлікту кількох сторін, що мають різні інтереси.

Теорія масового обслуговування - це теорія, яка розробляє математичні методи кількісної оцінки процесів масового обслуговування з урахуванням теорії ймовірності. Так, кожен із структурних підрозділів промислового підприємства можна як об'єкт системи обслуговування.

Загальною особливістю всіх завдань, пов'язаних із масовим обслуговуванням, є випадковий характердосліджуваних явищ. Кількість вимог на обслуговування та часові інтервали між їх надходженням мають випадковий характер, їх не можна передбачити з однозначною визначеністю. Однак у своїй сукупності безліч таких вимог підпорядковується певним статистичним закономірностям, кількісне вивчення яких є предметом теорії масового обслуговування.

Методи економічної кібернетики розробляються економічною кібернетикою -науковою дисципліною, що аналізує економічні явища та процеси як дуже складні системи, з погляду законів і механізмів управління та руху інформації в них. З методів економічної кібернетики найбільшого поширення в економічному аналізі набули

31методи моделювання та системного аналізу.

У Останніми рокамив економічній науці посилився інтерес до методів емпіричного пошуку оптимальних умов перебігу процесу, які використовують людський досвід та інтуїцію. Це знайшло відображення у застосуванні евристичних методів (рішень),які являють собою неформалізовані методи вирішення економічних завдань, пов'язаних із господарською ситуацією, що склалася, на основі інтуїції, минулого досвіду, експертних оцінокспеціалістів тощо.

Для аналізу виробничо-господарської, комерційної діяльності багато методів із наведеної зразкової схеми не знайшли практичного застосування і тільки розробляються в теорії економічного аналізу. У той же час у цій схемі не знайшли відображення деякі економіко-математичні методи, що розглядаються у спеціальній літературі з економічного аналізу: теорія нечітких множин, теорія катастрофта ін У цьому навчальному посібникуувага зосереджена на основних економіко-математичних методах, які вже отримали широке застосування в практиці економічного аналізу.

Застосування того чи іншого математичного методу в економічному аналізі спирається на методологію економіко- математичного моделюваннягосподарських процесівта науково обґрунтовану класифікацію методів та завдань аналізу.

За класифікаційною ознакою оптимальності всі економіко-математичні методи (завдання) поділяються на дві групи: оптимізаційні та неоптимізаційні. Оптимізаційні методи- Група економіко-математичних методів аналізу, що дозволяють шукати розв'язання задачі за заданим критерієм оптимальності. Неоптимізаційні методи- Група економіко-математичних методів аналізу, що використовуються для вирішення завдань без критерію оптимальності.

За ознакою отримання точного рішення, всі економіко-математичні методи діляться на точні і наближені. До точним методамвідносять групу економіко-математичних методів, алгоритм яких дозволяє отримати лише одне рішення за заданим критерієм оптимальності або без нього. До наближеним методамвідносять групу економіко-математичних методів, що застосовуються у разі, коли при пошуку рішення використовується стохастична інформація та розв'язання задачі можна отримати з будь-яким ступенем точності, а також такі, при застосуванні яких не гарантується отримання єдиного рішення за заданим критерієм оптимальності або без нього.

Таким чином, на основі використання тільки двох ознак класифікації, всі економіко-математичні методи поділяються на чотири групи:

1) оптимізаційні точні методи;

2) оптимізаційні наближені методи;

3) неоптимізаційні точні методи;

4) неоптимізаційні наближені методи.

Так, до оптимізаційним точним методамможна віднести методи теорії оптимальних процесів, деякі методи математичного програмування та методи дослідження операцій. До оптимізаційним наближеним методамналежать: окремі методи математичного програмування; методи дослідження операцій; методи економічної кібернетики; методи математичної теорії планування екстремальних експериментів; евристичні методи. До неоптимізаційним точним методамналежать: методи елементарної математики та класичні методи математичного аналізу, економетричні методи. До неоптимізаційним наближеним методамналежать: метод статистичних випробувань та інші методи математичної статистики.

З представлених нами укрупнених груп економіко-математичних методів, деякі методи цих груп використовуються на вирішення різних завдань - як оптимізаційних, і неоптимізаційних; як точних, і наближених.

2 . Методи лінійного програмування. Усі економічні завдання, які вирішуються із застосуванням методів лінійного програмування, відрізняються альтернативністю рішення та певними обмежувальними умовами. Вирішити таке завдання - означає вибрати зі значної кількості всіх допустимих варіантів найкращий, оптимальний. У цьому полягає важливість та цінність використання в економіці методів лінійного програмування. За допомогою інших способів вирішувати такі завдання практично неможливо.

Лінійне програмування ґрунтується на вирішенні системи лінійних рівнянь(з перетворенням на рівняння та нерівності), коли залежність між досліджуваними явищами суворо функціональна. Для нього характерні: математичний вираз змінних величин, Певний порядок, послідовність розрахунків (алгоритм), логічний аналіз Застосовувати його можна тільки в тих випадках, коли змінні величини, що вивчаються, і фактори мають математичну визначеність і кількісну обмеженість, коли в результаті відомої послідовності розрахунків відбувається взаємозамінність факторів, коли логіка в розрахунках, математична логіка поєднуються з логічно обґрунтованим розумінням сутності досліджуваного явища.

За допомогою методів лінійного програмування в промислове виробництвонаприклад, обчислюється оптимальна загальна продуктивність машин, агрегатів, потокових ліній (при заданому асортименті продукції та інших заданих величинах), вирішується завдання раціонального розкрою матеріалів (з оптимальним виходом заготовок). У сільському господарствівони використовуються для визначення мінімальної вартості кормових раціонів при заданій кількості кормів (за видами та поживними речовинами, що містяться в них). Завдання про суміші може знайти застосування й у ливарному виробництві (склад металургійної шихти). Цими методами вирішуються транспортне завдання, завдання раціонального прикріплення підприємств-споживачів до підприємств-виробників.

3. Методи динамічного програмування. Методи динамічного програмування застосовуються під час вирішення оптимізаційних завдань, у яких цільова функція та/або обмеження, характеризуються нелінійними залежностями.

Ознаками нелінійності є, зокрема, наявність змінні/, у яких показник ступеня відрізняється від одиниці, а також наявність змінної у показнику ступеня, під коренем, під знаком логарифму.

В економіці взагалі і в економіці підприємства, зокрема прикладів нелінійних залежностей досить багато. Так, економічна ефективність виробництва зростає або зменшується непропорційно до зміни масштабів виробництва; величина витрат за виробництво партії деталей зростає разом із збільшенням розмірів партії, але з пропорційно їм. Нелінійним зв'язком характеризується зміна величини зносу виробничого обладнання в залежності від часу його роботи, питома витрата бензину (на 1 км шляху) - від швидкості руху автотранспорту та багато інших господарських ситуацій.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

Державне освітня установавищого професійної освіти

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГІВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСЬКА ФІЛІЯ

(ТФ ГОУ ВПО РДТЕУ)

Реферат з математики на тему:

"Економіко-математичні моделі"

Виконали:

Студентки 2 курсу

"Фінанси і кредит"

денне відділення

Максимова Христина

Вітка Наталія

Перевірив:

Лікар технічних наук,

професор С.В. Юдін _____________

Вступ

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

1.2 Економіко-математичні методи

Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Висновок

Список літератури

Вступ

Актуальність.Моделювання в наукових дослідженняхстало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові області наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію та, нарешті, громадські науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної наукиприніс методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина системапонять, єдина термінологія Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методунаукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльностіі має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або подумки об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригінал.

Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Економіко-математичне моделювання є невід'ємною частиною будь-якого дослідження в галузі економіки. Бурхливий розвиток математичного аналізу, дослідження операцій, теорії ймовірностей та математичної статистики сприяло формуванню різноманітних моделей економіки.

Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики ефективного рішеннязавдань, що виникають у сфері економіки, з використанням, як правило, сучасної обчислювальної техніки.

Чому можна говорити про ефективність застосування методів моделювання у цій галузі? По-перше, економічні об'єкти різного рівня (починаючи з рівня простого підприємства і закінчуючи макрорівнем - економікою країни чи навіть світовою економікою) можна розглядати з позицій системного підходу. По-друге, такі характеристики поведінки економічних систем як:

-мінливість (динамічність);

-суперечливість поведінки;

-тенденція до погіршення показників;

-схильність до впливу довкілля

визначають вибір методу їх дослідження.

Проникнення математики на економічну науку пов'язані з подоланням значних труднощів. У цьому частково була "винна" математика, що розвивається протягом кількох століть в основному у зв'язку з потребами фізики та техніки. Але головні причини лежать все ж таки в природі економічних процесів, у специфіці економічної науки.

Складність економіки іноді розглядалася як обґрунтування неможливості її моделювання, вивчення засобами математики. Але така думка в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. І саме складні об'єкти представляють найбільший інтересдля моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна отримати іншими засобами дослідження.

Мета цієї роботи- розкрити поняття економіко-математичних моделей та вивчити їх класифікацію та методи, на яких вони базуються, а також розглянути їх застосування в економіці.

Завдання даної роботи:систематизація, накопичення та закріплення знань про економіко-математичні моделі.

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

У процесі дослідження об'єкта часто буває недоцільним або навіть неможливо мати справу безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним даному в тих аспектах, які важливі даному дослідженні. У загальному вигляді Модельможна визначити як умовний образ реального об'єкта (процесів), що створюється для глибшого вивчення дійсності. Метод дослідження, що базується на розробці та використанні моделей, називається моделюванням. Необхідність моделювання обумовлена ​​складністю, а часом і неможливістю прямого вивчення реального об'єкта (процесів). Значно доступніше створювати та вивчати прообрази реальних об'єктів (процесів), тобто. моделі. Можна сказати що теоретичне знанняпро що-небудь, як правило, є сукупністю різних моделей. Ці моделі відображають суттєві властивості реального об'єкта (процесів), хоча насправді дійсність значно змістовніша і багатша.

Модель- це уявна чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна замінювати його так, що її вивчення дає нову інформаціюпро цей об'єкт.

На сьогоднішній день загальновизнаної єдиної класифікації моделей немає. Однак з багатьох моделей можна виділити словесні, графічні, фізичні, економіко-математичні та деякі інші типи моделей.

Економіко-математичні моделі- це моделі економічних об'єктів чи процесів, під час опису яких використовуються математичні засоби. Цілі їх створення різноманітні: вони будуються для аналізу тих чи інших передумов та положень економічної теорії, логічного обґрунтування економічних закономірностей, обробки та приведення до системи емпіричних даних У практичному планіекономіко-математичні моделі використовуються як інструмент прогнозу, планування, управління та вдосконалення різних сторін економічної діяльностітовариства.

Економіко-математичні моделі відбивають найбільш суттєві властивості реального об'єкта чи процесу з допомогою системи рівнянь. Єдиної класифікації економіко-математичних моделей немає, хоча можна назвати найбільш значні їх групи залежно від ознаки класифікації.

За цільовим призначенняммоделі діляться на:

· Теоретико-аналітичні (використовуються у дослідженні загальних властивостейта закономірностей економічних процесів);

· Прикладні (застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань, таких як завдання економічного аналізу, прогнозування, управління).

З урахуванням фактора часумоделі поділяються на:

· Динамічні (описують економічну систему у розвитку);

· Статистичні (економічна система описана в статистиці, стосовно одного певного моменту часу; це як би знімок, зріз, фрагмент динамічної системив якийсь час).

За тривалістю аналізованого періоду часурозрізняють моделі:

· Короткострокового прогнозування чи планування (до року);

· Середньострокового прогнозування чи планування (до 5 років);

· Довгострокового прогнозування чи планування (понад 5 років).

За метою створення та застосуваннярозрізняють моделі:

В· Балансові;

· Економетричні;

· Оптимізаційні;

·Мережеві;

· систем масового обслуговування;

· Імітаційні (експертні).

У балансовихмоделях відображається вимога відповідності наявності ресурсів та їх використання.

Параметри економетричнихмоделей оцінюються за допомогою методів математичної статистики Найбільш поширені моделі, що являють собою системи регресійних рівнянь. У цих рівняннях відбивається залежність ендогенних (залежних) змінних від екзогенних (незалежних) змінних. Ця залежністьв основному виражається через тренд (тривалу тенденцію) основних показників моделюваної економічної системи. Економетричні моделі використовуються для аналізу та прогнозування конкретних економічних процесів з використанням реальної статистичної інформації.

Оптимізаційнімоделі дозволяють знайти з безлічі можливих (альтернативних) варіантів найкращий варіант виробництва, розподілу чи споживання. Обмежені ресурси при цьому будуть використані найкращим чиномзадля досягнення поставленої мети.

Мережевімоделі найбільше широко використовуються в управлінні проектами. Мережева модель відображає комплекс робіт (операцій) та подій, та їх взаємозв'язок у часі. Зазвичай мережева модель призначена для виконання робіт у такій послідовності, щоб терміни виконання проекту були мінімальними. І тут ставиться завдання перебування критичного шляху. Однак існують і такі мережеві моделі, які орієнтовані не на критерій часу, а, наприклад, мінімізацію вартості робіт.

Моделі систем масового обслуговуваннястворюються для мінімізації витрат часу на очікування у черзі та часу простоїв каналів обслуговування.

Імітаційнамодель, поруч із машинними рішеннями, містить блоки, де рішення приймаються людиною (експертом). Замість безпосередньої участі людини у прийнятті рішень може бути база знань. У цьому випадку персональний комп'ютер, спеціалізований програмне забезпечення, база даних та база знань утворюють експертну систему. Експертнасистема призначена на вирішення однієї чи низки завдань шляхом імітації дій людини, експерта у цій галузі.

З урахуванням фактора невизначеностімоделі поділяються на:

· Детерміновані (з однозначно певними результатами);

· Стохастичні (імовірнісні; з різними, імовірнісними результатами).

За типом математичного апарату розрізняють моделі:

· Лінійного програмування (оптимальний план досягається в крайній точцігалузі зміни змінних величин системи обмежень);

· Нелінійне програмування (оптимальних значень цільової функціїможе бути кілька);

· Кореляційно-регресійні;

·Матричні;

·Мережеві;

В· Теорії ігор;

· Теорії масового обслуговування тощо.

З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації моделей ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей та нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типівбільш складні модельні конструкції.

моделювання математичний стохастичний

1.2 Економіко-математичні методи

Як і всяке моделювання, економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів, по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників, по-третє, вироблення управлінських рішеньвсіх рівнях управління.

Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі соціально-економічних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей, які слід розуміти як продукт процесу економіко-математичного моделювання, а економіко-математичні методи – як інструмент.

Розглянемо питання класифікації економіко-математичних методів. Ці методи є комплексом економіко-математичних дисциплін, які є сплавом економіки, математики та кібернетики. Тому класифікація економіко-математичних методів зводиться до класифікації наукових дисциплін, що входять до їх складу.

З певною часткою умовності класифікацію цих методів можна так.

· Економічна кібернетика: системний аналізекономіки, теорія економічної інформації та теорія керуючих систем.

· Математична статистика: економічні програми цієї дисципліни - вибірковий метод, дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, регресійний аналіз, багатовимірний статистичний аналіз, теорія індексів та ін.

· Математична економія та вивчаюча ті ж питання з кількісної сторони економетрію: теорія економічного зростання, теорія виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки, аналіз попиту та споживання, регіональний та просторовий аналіз, глобальне моделювання.

· Методи прийняття оптимальних рішень, зокрема дослідження операцій економіки. Це найбільш об'ємний розділ, що включає такі дисципліни і методи: оптимальне (математичне) програмування, мережеві методипланування та управління, теорію та методи управління запасами, теорію масового обслуговування, теорію ігор, теорію та методи прийняття рішень.

В оптимальне програмування в свою чергу входять лінійне та нелінійне програмування, динамічне програмування, дискретне (цілочисленне) програмування, стохастичне програмування та ін.

· Методи та дисципліни, специфічні окремо як для централізовано запланованої економіки, так і для ринкової (конкурентної) економіки. До перших можна віднести теорію оптимального ціноутворення функціонування економіки, оптимальне планування, теорію оптимального ціноутворення, моделі матеріально-технічного постачання та ін. . Багато з методів, розроблених для централізовано планованої економіки, можуть бути корисними і при економіко-математичному моделюванні в умовах ринкової економіки.

· Методи експериментального вивченняекономічних явищ. До них відносять, як правило, математичні методи аналізу та планування економічних експериментів, методи машинної імітації (імітаційне моделювання), ділові ігри. Сюди можна віднести і методи експертних оцінок, розроблені з метою оцінки явищ, які піддаються безпосередньому виміру.

В економіко-математичних методах застосовуються різні розділи математики, математичної статистики, математичної логіки. Велику роль вирішенні економіко-математичних завдань грають обчислювальна математика, теорія алгоритмів та інші дисципліни. Використання математичного апарату принесло відчутні результати під час вирішення завдань аналізу процесів розширеного виробництва, визначення оптимальних темпів зростання капіталовкладень, оптимального розміщення, спеціалізації та концентрації виробництва, завдань вибору оптимальних способіввиробництва, визначення оптимальної послідовності запуску у виробництво, завдання підготовки виробництва методами мережевого планування та багатьох інших.

Для вирішення стандартних проблем характерна чіткість мети, можливість заздалегідь виробити процедури та правила ведення розрахунків.

Існують такі передумови використання методів економіко-математичного моделювання, найважливішими з яких є високий рівеньзнання економічної теорії, економічних процесів та явищ, методології їх якісного аналізу, а також високий рівень математичної підготовки, володіння економіко-математичними методами.

Перш ніж приступити до розробки моделей, необхідно ретельно проаналізувати ситуацію, виявити цілі та взаємозв'язки, проблеми, які потребують вирішення, та вихідні дані для їх вирішення, вести систему позначень і лише тоді описати ситуацію у вигляді математичних співвідношень.

2. Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

Процес економіко-математичного моделювання – це опис економічних та соціальних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей. Цей різновид моделювання має поряд суттєвих особливостей, пов'язаних як з об'єктом моделювання, так і з застосовуваним апаратом та засобами моделювання. Тому доцільно детальніше проаналізувати послідовність та зміст етапів економіко-математичного моделювання, виділивши наступні шість етапів:

.Постановка економічної проблемиі її якісний аналіз;

2.Побудова математичної моделі;

.Математичний аналізмоделі;

.Підготовка вихідної інформації;

.Чисельне рішення;

Розглянемо кожен із етапів докладніше.

1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, допущення, що приймаються, і ті питання, на які потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2.Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактіввраховує модель, тим вона краще «працює» та дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо.

Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не лише реальні можливостіінформаційного та математичного забезпечення, а й зіставляти витрати на моделювання з одержуваним ефектом.

Одна з важливий особливостейматематичних моделей - потенційна можливістьїх використання на вирішення різноякісних проблем. Тому, навіть зіштовхуючись із новим економічним завданням, не потрібно прагнути «винаходити» модель; Спершу необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

.Математичний аналіз моделі.Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найбільш важливий момент- доказ існування рішень у сформульованій моделі. Якщо вдається довести, що математична задачане має рішення, то необхідність у подальшій роботі з первісному варіантімоделі відпадає і слід скоригувати або постановку економічного завдання, або методи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (незвісні) можуть входити в рішення, які будуть співвідношення між ними, в яких межах і в залежності від вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і т.д. буд. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

4.Підготовка вихідної інформації.Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У той же час реальні можливості отримання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. При цьому береться до уваги не лише важлива можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів.

Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях є результатом функціонування інших моделей.

5.Чисельне рішення.Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного рішеннязавдання, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені, передусім, великий розмірністю економічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Дослідження, яке проводиться чисельними методамиможе істотно доповнити результати аналітичного дослідження, а для багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас завдань, доступних аналітичному дослідженню.

6.Аналіз чисельних результатів та їх застосування.На цьому заключному етапіциклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичної застосування останніх.

Математичні методиперевірки можуть виявити некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Основу ефективності банківського менеджменту становить планомірний контроль за оптимальністю, збалансованістю та стійкістю функціонування у розрізі всіх елементів, що формують ресурсний потенціалта визначальних перспективи динамічного розвитку кредитної установи. Його методи та інструменти вимагають модернізації з урахуванням змін економічних умов. Водночас необхідність удосконалення механізму реалізації нових банківських технологій зумовлює доцільність наукового пошуку.

Використовувані в існуючих методикінтегральні коефіцієнти фінансової стійкості (КФУ) комерційних банків найчастіше характеризують збалансованість їхнього стану, але не дозволяють дати повну характеристикутенденції розвитку. Слід враховувати, що результат (КФУ) залежить від багатьох випадкових причин (ендогенного та екзогенного характеру), які не можуть бути повністю враховані.

У зв'язку з цим виправдано розглядати можливі результати дослідження сталого стану банків як випадкових величин, що мають однаковий розподіл ймовірностей, оскільки дослідження проводяться за однією і тією самою методикою з використанням однакового підходу. З іншого боку, вони взаємно незалежні, тобто. Результат кожного окремого коефіцієнта залежить від значень інших.

Зваживши на те, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, укладаємо, що події x1 , x2 , …, xnутворюють повну групу, отже, сума їх ймовірностей дорівнюватиме 1: p1 +p2 +…+pn=1 .

Дискретна випадкова величина X- Коефіцієнт фінансової стійкості банку «А», Y- Банку «В», Z- Банку "С" за заданий період. З метою отримання результату, що дає підстави зробити висновок про стійкість розвитку банків, оцінка була здійснена на базі 12-річного ретроспективного періоду (табл.1).

Таблиця 1

Порядковий номеррокуБанк "А"Банк "В"Банк "С"11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,113 2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3280,4

Для кожної вибірки за певним банком значення розбиті на Nінтервалів, визначено мінімальне та максимальне значення. Процедура визначення оптимальної кількості груп полягає в застосуванні формули Стерджесса:

N= 1 +3,322 * ln N;

N= 1 +3,322 * ln12 = 9,525?10,

Де n- Число груп;

N- Число сукупності.

h=(КФУmax- КФУmin) / 10.

Таблиця 2

Межі інтервалів значень дискретних випадкових величин X, Y, Z (коефіцієнтів фінансової стійкості) та частоти появи даних значень у зазначених межах

Номер інтервалуМежі інтервалівЧастота появи (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Виходячи із знайденого кроку інтервалу, були розраховані межі інтервалів шляхом додавання до мінімального значеннязнайденого кроку. Отримане значення – це межа першого інтервалу (ліва межа – LG). Для знаходження другого значення (правої межі PG) до знайденої першої межі знову додає я крок і т.д. Кордон останнього інтервалу збігається з максимальним значенням:

LG1 = КФУmin;

PG1 = КФУmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 = КФУmax.

Дані за частотою влучення коефіцієнтів фінансової стійкості (дискретних випадкових величин X, Y, Z) згруповані в інтервали, і визначена ймовірність влучення їх значень у задані межі. При цьому ліве значеннякордону входить у інтервал, а праве - немає (табл.3).

Таблиця 3

Розподіл дискретних випадкових величин X, Y, Z

ПоказникЗначення показникаБанк «А»X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

По частоті появи значень nзнайдено їх ймовірності (частота появи ділиться на 12, виходячи з одиниць сукупності), а також як значення дискретних випадкових величин були використані середини інтервалів. Закони їх розподілу:

Pi= ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

З розподілу можна будувати висновки про ймовірність нестійкого розвитку кожного банка:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так із ймовірністю 0,083 банк «А» може досягти значення коефіцієнта фінансової стійкості, що дорівнює 0,853. Інакше кажучи, ймовірність те, що його витрати перевищать доходи, становить 8,3 %. По банку «В» ймовірність падіння коефіцієнта нижче одиниці також склала 0,083, проте з урахуванням динамічного розвитку організації це зниження все ж таки виявиться незначним - до 0,926. Нарешті, висока ймовірність (16,7%), що діяльність банку «С» за інших рівних умов охарактеризується значенням фінансової стійкості, рівним 0,835.

У той самий час у таблицях розподілів можна побачити ймовірність сталого розвитку банків, тобто. суму ймовірностей, де варіанти коефіцієнтів мають значення, більше 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можна спостерігати, що найменш сталий розвиток очікується у банку «С».

У цілому нині закон розподілу задає випадкову величину, проте частіше доцільніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно. Їх називають числовими характеристиками випадкової величини, до них належать математичне очікування. Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини і воно тим більше наближається до середнього значення, чим більше було проведено випробувань.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів усіх можливих величин з її ймовірності:

M(X) = x1 p1 +x2 p2 +…+xnpn

Результати розрахунків значень математичних очікувань випадкових величин наведено в табл.4.

Таблиця 4

Числові характеристики дискретних випадкових величин X, Y, Z

БанкМатематичне очікуванняДисперсіяСереднє квадратичне відхилення"А" M(X) = 1,187D(X) = 0,027 ?(x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010 ?(y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012? (z) = 0,112

Отримані математичні очікування дозволяють оцінити середні значення ймовірних значень коефіцієнта фінансової стійкості в майбутньому.

Так, за розрахунками, можна судити, що математичне очікування сталого розвитку банку «А» становить 1,187. Математичне очікування банків «В» та «С» складає 1,124 та 1,037 відповідно, що відображає передбачувану дохідність їх роботи.

Однак, знаючи лише математичне очікування, що показує «центр» передбачуваних можливих значень випадкової величини - КФУ, ще не можна судити ні про його можливі рівні, ні про ступінь їх розсіяності навколо отриманого математичного очікування.

Інакше кажучи, математичне очікування через свою природу повністю стійкості розвитку банку не характеризує. З цієї причини виникає необхідність обчислення інших числових характеристик: дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Які дозволяють оцінити рівень розсіяності можливих значень коефіцієнта фінансової стійкості. Математичні очікування та середні квадратичні відхилення дозволяють оцінити інтервал, в якому будуть знаходитись можливі значення коефіцієнтів фінансової стійкості кредитних організацій.

При порівняно високому характерному значенні математичного очікування стійкості банку «А» середнє квадратичне відхилення становило 0,164, що свідчить, що стійкість банку може або підвищитися цю величину, або знизитися. При негативній зміні стійкості (що все ж таки малоймовірно, враховуючи отриману ймовірність збиткової діяльності, рівну 0,083) коефіцієнт фінансової стійкості банку залишиться позитивним - 1,023 (див. табл. 3)

Діяльність банку «В» при математичному очікуванні 1,124, характеризується меншим розмахом значень коефіцієнта. Так, навіть за несприятливого збігу обставин банк залишиться стійким, оскільки середнє квадратичне відхилення від прогнозованого значення склало 0, 101, що дозволить йому залишитися в позитивній зоні доходності. Отже, можна дійти невтішного висновку про стійкість розвитку цього банку.

Банк «С», навпаки, за невисокого математичного очікування своєї надійності (1, 037) зіткнеться за інших рівних умов з неприпустимим йому відхиленням, рівним 0,112. За несприятливої ​​ситуації, а також з огляду на високий відсоток ймовірності збиткової діяльності (16,7%), дана кредитна організація, швидше за все, знизить свою фінансову стійкість до 0,925.

Важливо зауважити, що, зробивши висновки про стійкість розвитку банків, не можна заздалегідь впевнено передбачити, яке з можливих значень прийме коефіцієнт фінансової стійкості в результаті випробування; це залежить від багатьох причин, врахувати які неможливо. З цієї позиції про кожну випадкову величину ми маємо дуже скромні відомості. У зв'язку з чим навряд чи можна встановити закономірності поведінки та суми досить великої кількості випадкових величин.

Однак виявляється, що за деяких порівняно широких умов сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.

Оцінюючи стійкість розвитку банків, залишається оцінити ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування не перевищує абсолютної величини позитивного числа ?.Дати цікаву для нас оцінку дозволяє нерівність П.Л. Чебишева. Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування за абсолютною величиною менше позитивного числа ? не менше як :

або у випадку зворотної ймовірності:

Враховуючи ризик, пов'язаний із втратою стійкості, проведемо оцінку ймовірності відхилення дискретної випадкової величини від математичного очікування в меншу сторону і, вважаючи рівноймовірними відхилення від центрального значення як меншу, так і більшу сторону, перепишемо нерівність ще раз:

Далі, виходячи з поставленого завдання необхідно оцінити ймовірність того, що майбутнє значення коефіцієнта фінансової стійкості не виявиться нижчим за 1 від пропонованого математичного очікування (для банку «А» значення ?приймемо рівне 0,187, для банку "В" - 0,124, для "С" - 0.037) і зробимо розрахунок даної ймовірності:

банк «А»:

банк «С»:

Відповідно до нерівності П.Л. Чебишева, найстійкішим у розвитку є банк «В», оскільки ймовірність відхилення очікуваних значень випадкової величини від її математичного очікування невисока (0,325), у своїй порівняно менше, ніж у іншим банкам. На другому місці за порівняльною стійкістю розвитку розташовується банк «А», де коефіцієнт цього відхилення дещо вищий, ніж у першому випадку (0,386). У третьому банку ймовірність того, що значення коефіцієнта фінансової стійкості відхилитися в ліву сторону від математичного очікування більше ніж на 0,037 є практично достовірною подією. Тим більше, якщо врахувати, що ймовірність не може бути більшою за 1, що перевищують значення, згідно з доказом Л.П. Чебишева, необхідно приймати за 1. Іншими словами, факт того, що розвиток банку може перейти в нестійку зону, що характеризується коефіцієнтом фінансової стійкості менше 1, є достовірною подією.

Таким чином, характеризуючи фінансовий розвиток комерційних банків, можна зробити такі висновки: математичне очікування дискретної випадкової величини (середнє очікуване значення коефіцієнта фінансової стійкості) банку А дорівнює 1,187. Середнє відхилення цієї дискретної величини становить 0,164, що об'єктивно характеризує невеликий розкид значень коефіцієнта від середнього числа. Однак ступінь нестійкості цього ряду підтверджується досить високою ймовірністю негативного відхилення коефіцієнта фінансової стійкості від 1, що дорівнює 0,386.

Аналіз діяльності другого банку показав, що математичне очікування КФУ дорівнює 1,124 за середнього квадратичного відхилення 0,101. Отже, діяльність кредитної організації характеризується невеликим розкидом значень коефіцієнта фінансової стійкості, тобто. є більш концентрованою та стабільною, що підтверджується порівняно низькою ймовірністю (0,325) переходу банку до зони збитковості.

Стійкість банку «С» характеризується невисоким значенням математичного очікування (1,037) і навіть невеликим розкидом значень (середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,112). Нерівність Л.П. Чебишева доводить те що, що можливість отримання негативного значення коефіцієнта фінансової стійкості дорівнює 1, тобто. очікування позитивної динаміки його розвитку за інших рівних умов буде дуже необгрунтованим. Таким чином, запропонована модель, що базується на визначенні існуючого розподілу дискретних випадкових величин (значень коефіцієнтів фінансової стійкості комерційних банків) і підтверджується оцінкою їхнього рівноймовірнісного позитивного або негативного відхилення від отриманого математичного очікування, дозволяє визначити її поточний та перспективний рівень.

Висновок

Застосування математики в економічній науці дало поштовх у розвитку як самої економічної науці, так і прикладної математики в частині методів економіко-математичної моделі. Прислів'я каже: «Сім разів відміряй – Один раз відріж». Використання моделей є час, сили, матеріальні засоби. Крім того, розрахунки за моделями протистоять вольовим рішенням, оскільки дозволяють заздалегідь оцінити наслідки кожного рішення, відкинути неприпустимі варіанти та рекомендувати найбільш вдалі. Економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичним завданням економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів; по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників; по-третє, вироблення управлінських рішень всіх рівнях управління.

У роботі було з'ясовано, що економіко-математичні моделі можна поділити за ознаками:

· цільового призначення;

· урахування фактора часу;

· тривалості аналізованого періоду;

· мети створення та застосування;

· урахування фактора невизначеності;

· типу математичного апарату;

Опис економічних процесів та явищ як економіко-математичних моделей базується на використанні одного з економіко-математичних методів, які застосовуються на всіх рівнях управління.

Особливо велику роль набувають економіко-математичних методів у міру впровадження інформаційних технологій у всіх галузях практики. Також було розглянуто основні етапи процесу моделювання, а саме:

· постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

· побудова математичної моделі;

· математичний аналіз моделі;

· підготовка вихідної інформації;

· чисельне рішення;

· аналіз чисельних результатів та їх застосування.

У роботі було представлено статтю кандидата економічних наук, доцента кафедри фінансів та кредиту С.В. Бойко, в якій наголошується, що перед вітчизняними кредитними організаціями, що піддаються впливу зовнішнього середовища, стоїть завдання пошуку управлінських інструментів, що передбачають реалізацію раціональних антикризових заходів, спрямованих на стабілізацію темпів зростання базових показників їхньої діяльності. У зв'язку з цим підвищується важливість адекватного визначення фінансової стійкості за допомогою різних методик і моделей, одним із різновидів яких є стохастичні (імовірнісні) моделі, що дозволяють не тільки виявити передбачувані фактори зростання або зниження стійкості, але й сформувати комплекс превентивних заходів щодо її збереження.

Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів та процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при цьому рівні економічних та математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формалізованості економічних проблем, завжди існуватимуть ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективне.

Список літератури

1)Красс М.С. Математика для економічних спеціальностей: Підручник. -4-е вид., Випр. - М.: Справа, 2003.

)Іванілов Ю.П., Лотов А.В. Математичні моделі економіки. - М: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введення у математичну економіку. - М: Наука, 1984.

)Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т.М. та ін Математичне моделювання економічних процесів. - М: Агропромиздат, 1990.

)За ред. Федосєєва В.В. Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навчальний посібник для ВНЗ. - М: ЮНІТІ, 2001.

)Савицька Г.В. Економічний аналіз: Підручник. - 10-те вид., Випр. - М: Нове знання, 2004.

)Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. М: Вища школа, 2002

)Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія: навч. посібник для вузів/Є.С. Вентцель. - 4-те вид., стереотип. - М.: Дроф, 2006. - 206, с. : іл.

)Математика економіки: навчальний посібник/ С.В.Юдин. - М: Вид-во РГТЕУ, 2009.-228 с.

)Кочетигів А.А. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. Посібник/Тул. Держ. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, ймовірні моделі в оцінці фінансової стійкості кредитних організацій / С.В. Бойко// Фінанси та кредит. – 2011. N 39. –

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.

При побудові економічних моделей виявляються суттєві чинники та відкидаються деталі несуттєві на вирішення поставленого завдання.

До економічних моделей можуть належати моделі:

• економічного зростання
• споживчого вибору
• рівноваги на фінансовому та товарному ринку та багато інших.

Модель— це логічний або математичний опис компонентів і функцій, що відображають суттєві властивості об'єкта або процесу, що моделюються.

Модель використовується як умовний образ, сконструйований спрощення дослідження об'єкта чи процесу.

Природа моделей може бути різною. Моделі поділяються на: речові, знакові, словесний та табличний опис та ін.

Економіко-математична модель

В управлінні господарськими процесами найбільше значення мають насамперед економіко-математичні моделі, що часто об'єднуються в системи моделей.

Економіко-математична модель(ЕММ) - це математичний опис економічного об'єкта або процесу з метою їх дослідження та управління ними. Це математичний запис вирішуваного економічного завдання.

• Екстраполяційні моделі
• Факторні економетричні моделі
• Оптимізаційні моделі
• Балансові моделі, модель Міжгалузевого Балансу (МОБ)
• Експертні оцінки
• Теорія ігор
• Мережеві моделі
• Моделі систем масового обслуговування

Економіко-математичні моделі та методи, що застосовуються в економічному аналізі

R a = ПП / ВА + ОА,

В узагальненому вигляді змішана модель може бути представлена ​​такою формулою:

Отже, спочатку слід збудувати економіко-математичну модель, що описує вплив окремих чинників на узагальнюючі економічні показники діяльності організації. Велике поширення в аналізі господарської діяльності набули багатофакторні мультиплікативні моделіТак як вони дозволяють вивчити вплив значної кількості факторів на узагальнюючі показники і тим самим досягти більшої глибини та точності аналізу.

Після цього потрібно вибрати спосіб розв'язання цієї моделі. Традиційні способи: спосіб ланцюгових підстановок, способи абсолютних і відносних різниць, балансовий спосіб, індексний метод, а також методи кореляційно-регресійного, кластерного, дисперсійного аналізу та ін. Поряд з цими способами та методами в економічному аналізі використовуються і специфічно математичні способи та методи.

Інтегральний метод економічного аналізу

Одним із таких способів (методів) є інтегральний. Він знаходить застосування щодо впливу окремих чинників з використанням мультиплікативних, кратних, і змішаних (кратно-адитивних) моделей.

В умовах застосування інтегрального методу є можливість отримання більш обґрунтованих результатів обчислення впливу окремих факторів, ніж при використанні методу ланцюгових підстановок та його варіантів. Метод ланцюгових підстановок та її варіанти, і навіть індексний метод мають істотні недоліки: 1) результати розрахунків впливу чинників залежить від прийнятої послідовності заміни базисних величин окремих чинників на фактичні; 2) додатковий приріст узагальнюючого показника, викликаний взаємодією чинників, як нерозкладного залишку приєднується до суми впливу останнього чинника. При використанні інтегрального методу цей приріст ділиться порівну між усіма факторами.

Інтегральний метод встановлює загальний підхід до розв'язання моделей різних видів, причому незалежно від кількості елементів, що входять до цієї моделі, а також незалежно від форми зв'язку між цими елементами.

Інтегральний метод факторного економічного аналізу має у своїй основі підсумовування прирощень функції, визначеної як приватна похідна, помножена на збільшення аргументу на нескінченно малих проміжках.

У процесі застосування інтегрального методу необхідне дотримання кількох умов. По-перше, має дотримуватися умова безперервної диференційованості функції, де як аргумент береться якийсь економічний показник. По-друге, функція між початковою та кінцевою точками елементарного періоду повинна змінюватися по прямій Г е. Нарешті, по-третє, повинне мати місце сталість співвідношення швидкостей зміни величин факторів

d y / d x = const

При використанні інтегрального методу обчислення певного інтеграла за заданою підінтегральною функцією та заданим інтервалом інтегрування здійснюється за наявною стандартною програмою із застосуванням сучасних засобів обчислювальної техніки.

Якщо ми здійснюємо рішення мультиплікативної моделі, то розрахунку впливу окремих чинників на узагальнюючий економічний показник можна використовувати такі формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x *Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

При вирішенні кратної моделі для розрахунку впливу факторів скористаємося такими формулами:

Z = x / y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Існує два основних типи завдань, які вирішуються за допомогою інтегрального методу: статичний та динамічний. При першому типі відсутня інформація про зміну факторів, що аналізуються, протягом даного періоду. Прикладами таких завдань можуть бути аналіз виконання бізнес-планів чи аналіз зміни економічних показників проти попереднім періодом. Динамічний тип завдань має місце за наявності інформації про зміну аналізованих чинників протягом цього періоду. До цього типу завдань належать обчислення, пов'язані з вивченням часових рядів економічних показників.

Такими є найважливіші риси інтегрального методу факторного економічного аналізу.

Метод логарифмування

Крім цього, в аналізі знаходить застосування також метод (спосіб) логарифмування. Він використовується під час проведення факторного аналізу, коли вирішуються мультиплікативні моделі. Сутність аналізованого методу полягає в тому, що при його використанні має місце логарифмічно пропорційний розподіл величини спільної дії факторів між останніми, тобто ця величина розподіляється між факторами пропорційно частці впливу кожного окремого фактора на суму узагальнюючого показника. При інтегральному методі згадана величина розподіляється між чинниками однаковою мірою. Тому метод логарифмування робить розрахунки впливу факторів обґрунтованішими порівняно з інтегральним методом.

У процесі логарифмування знаходять застосування не абсолютні величини приросту економічних показників, як і при інтегральному методі, а відносні, тобто індекси зміни цих показників. Наприклад, узагальнюючий економічний показник визначається у вигляді добутку трьох факторів - співмножників f = x y z.

Знайдемо вплив кожного із цих чинників на узагальнюючий економічний показник. Так, вплив першого фактора може бути визначений за такою формулою:

Δf x = Δf · lg (x 1 / x 0) / lg (f 1 / f 0)

Яким був вплив наступного чинника? Для знаходження його впливу скористаємося такою формулою:

Δf y = Δf · lg (y 1 / y 0) / lg (f 1 / f 0)

Нарешті, щоб обчислити вплив третього чинника, застосуємо формулу:

Δf z = Δf · lg (z 1 / z 0) / lg (f 1 / f 0)

Таким чином, загальна сума зміни узагальнюючого показника розчленовується між окремими факторами відповідно до пропорцій відносин логарифмів окремих факторних індексів до логарифму узагальнюючого показника.

При застосуванні даного методу можуть бути використані будь-які види логарифмів - як натуральні, так і десяткові.

Метод диференціального обчислення

При проведенні факторного аналізу знаходить застосування метод диференціального обчислення. Останній передбачає, що загальна зміна функції, тобто узагальнюючого показника, поділяється на окремі доданки, значення кожного з яких обчислюється як добуток певної приватної похідної на збільшення змінної, за якою визначена ця похідна. Визначимо вплив окремих чинників на узагальнюючий показник, використовуючи як приклад функцію двох змінних.

Задано функцію Z = f(x, y). Якщо ця функція є диференційованою, то її зміна може бути виражена такою формулою:

Пояснимо окремі елементи цієї формули:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- величина зміни функції;

Δx = (x 1 - x 0)- Величина зміни одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0)-величина зміни іншого чинника;

- нескінченно мала величина вищого порядку, ніж

У цьому прикладі вплив окремих факторів xі yна зміну функції Z(узагальнюючого показника) обчислюється так:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сума впливу обох цих факторів - це головна, лінійна щодо збільшення даного фактора частина збільшення диференційованої функції, тобто узагальнюючого показника.

Спосіб пайової участі

В умовах рішення адитивних, а також кратно-адитивних моделей для обчислення впливу окремих факторів на зміну узагальнюючого показника використовується також спосіб пайової участі. Його сутність у тому, що спочатку визначається частка кожного чинника у сумі їх змін. Потім ця частка множиться на загальну величину зміни узагальнюючого показника.

Припустимо, що ми визначаємо вплив трьох факторів. а,bі зна узагальнюючий показник y. Тоді для фактора, а визначення його частки та множення її на загальну величину зміни узагальнюючого показника можна здійснити за такою формулою:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в аналізована формула матиме такий вигляд:

Δy b = Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Нарешті, для фактора маємо:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Така сутність способу пайової участі, що використовується для цілей факторного аналізу.

Метод лінійного програмування

Теорія масового обслуговування

Теорія ігор

Знаходить застосування також теорія ігор. Так само, як і теорія масового обслуговування, теорія ігор є одним із розділів прикладної математики. Теорія ігор вивчає оптимальні варіанти рішень, можливі ситуаціях ігрового характеру. Сюди належать такі ситуації, пов'язані з вибором оптимальних управлінських рішень, із вибором найбільш доцільних варіантів взаємовідносин коїться з іншими організаціями, тощо.

Для вирішення подібних завдань у теорії ігор використовуються методи алгебри, які базуються на системі лінійних рівнянь і нерівностей, ітераційні методи, а також методи зведення даного завдання до певної системи диференціальних рівнянь.

Одним із економіко-математичних методів, що застосовуються в аналізі господарської діяльності організацій, є так званий аналіз чутливості. Цей метод найчастіше застосовується у процесі аналізу інвестиційних проектів, і навіть у цілях прогнозування суми прибутку, що залишається у розпорядженні цієї організації.

З метою оптимального планування та прогнозування діяльності організації необхідно заздалегідь передбачати зміни, які у майбутньому можуть статися з аналізованими економічними показниками.

Наприклад, слід заздалегідь прогнозувати зміна величин тих чинників, які впливають розмір прибутку: рівень покупних ціни покупні матеріальні ресурси, рівень продажних ціни продукцію цієї організації, зміна попиту покупців цієї продукції.

Аналіз чутливості полягає у визначенні майбутнього значення узагальнюючого економічного показника за умови, що величина одного або кількох факторів, що впливають на цей показник, зміниться.

Так, наприклад, встановлюють, на яку величину зміниться прибуток у перспективі за умови зміни кількості продукції, що продається на одиницю. Цим самим ми аналізуємо чутливість чистого прибутку до зміни одного з факторів, що впливають на неї, тобто в даному випадку обсягу продажів. Інші чинники, які впливають величину прибутку, є у своїй незмінними. Можна визначити величину прибутку також і за одночасної зміни у майбутньому впливу кількох чинників. Таким чином, аналіз чутливості дає можливість встановити силу реагування узагальнюючого економічного показника на зміну окремих факторів, що впливають на цей показник.

Матричний метод

Поряд із вищевикладеними економіко-математичними методами в аналізі господарської діяльності знаходять застосування також. Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі.

Метод мережного планування

Екстраполяційний аналіз

Крім розглянутих методів, використовується також екстраполяційний аналіз. Він включає розгляд змін стану аналізованої системи та екстраполяцію, тобто продовження наявних характеристик цієї системи на майбутні періоди. У процесі здійснення цього виду аналізу можна виділити такі основні етапи: первинна обробка та перетворення вихідного ряду наявних даних; вибір типу емпіричних функцій; визначення основних властивостей цих функцій; екстраполяція; встановлення рівня достовірності проведеного аналізу.

У економічному аналізі використовується також спосіб основних компонент. Вони застосовується з метою порівняльного аналізу окремих складових частин, тобто властивостей проведеного аналізу діяльності організації. Головні компоненти є найважливішими характеристиками лінійних комбінацій складових частин, тобто параметрів проведеного аналізу, які мають найзначніші величини дисперсії, а саме, найбільші абсолютні відхилення від середніх величин.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

Державний освітній заклад вищої професійної освіти

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГІВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСЬКА ФІЛІЯ

(ТФ ГОУ ВПО РДТЕУ)

Реферат з математики на тему:

"Економіко-математичні моделі"

Виконали:

Студентки 2 курсу

"Фінанси і кредит"

денне відділення

Максимова Христина

Вітка Наталія

Перевірив:

Доктор технічних наук,

професор С.В. Юдін _____________

Вступ

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

1.2 Економіко-математичні методи

Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Висновок

Список літератури

Вступ

Актуальність.Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові галузі наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної науки принесли методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності та має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або подумки об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригінал.

Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Економіко-математичне моделювання є невід'ємною частиною будь-якого дослідження в галузі економіки. Бурхливий розвиток математичного аналізу, дослідження операцій, теорії ймовірностей та математичної статистики сприяло формуванню різноманітних моделей економіки.

Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики для найбільш ефективного вирішення завдань, що виникають у сфері економіки, з використанням, як правило, сучасної обчислювальної техніки.

Чому можна говорити про ефективність застосування методів моделювання у цій галузі? По-перше, економічні об'єкти різного рівня (починаючи з рівня простого підприємства і закінчуючи макрорівнем - економікою країни або навіть світовою економікою) можна розглядати з системного підходу. По-друге, такі характеристики поведінки економічних систем як:

-мінливість (динамічність);

-суперечливість поведінки;

-тенденція до погіршення показників;

-схильність до впливу навколишнього середовища

визначають вибір методу їх дослідження.

Проникнення математики на економічну науку пов'язані з подоланням значних труднощів. У цьому частково була "винна" математика, що розвивається протягом кількох століть в основному у зв'язку з потребами фізики та техніки. Але головні причини лежать все ж таки в природі економічних процесів, у специфіці економічної науки.

Складність економіки іноді розглядалася як обґрунтування неможливості її моделювання, вивчення засобами математики. Але така думка в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. І саме складні об'єкти становлять найбільший інтерес для моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна отримати іншими засобами дослідження.

Мета цієї роботи- розкрити поняття економіко-математичних моделей та вивчити їх класифікацію та методи, на яких вони базуються, а також розглянути їх застосування в економіці.

Завдання даної роботи:систематизація, накопичення та закріплення знань про економіко-математичні моделі.

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

У процесі дослідження об'єкта часто буває недоцільним або навіть неможливо мати справу безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним до цього в тих аспектах, які важливі в даному дослідженні. Загалом Модельможна визначити як умовний образ реального об'єкта (процесів), що створюється для глибшого вивчення дійсності. Метод дослідження, що базується на розробці та використанні моделей, називається моделюванням. Необхідність моделювання обумовлена ​​складністю, а часом і неможливістю прямого вивчення реального об'єкта (процесів). Значно доступніше створювати та вивчати прообрази реальних об'єктів (процесів), тобто. моделі. Можна сказати, що теоретичне знання про щось, як правило, є сукупністю різних моделей. Ці моделі відображають суттєві властивості реального об'єкта (процесів), хоча насправді дійсність значно змістовніша і багатша.

Модель- це уявна чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна замінювати його так, що її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт.

На сьогоднішній день загальновизнаної єдиної класифікації моделей немає. Однак з багатьох моделей можна виділити словесні, графічні, фізичні, економіко-математичні та деякі інші типи моделей.

Економіко-математичні моделі- це моделі економічних об'єктів чи процесів, під час опису яких використовуються математичні засоби. Цілі їх створення різноманітні: вони будуються для аналізу тих чи інших передумов та положень економічної теорії, логічного обґрунтування економічних закономірностей, обробки та приведення до системи емпіричних даних. У практичному плані економіко-математичні моделі використовуються як інструмент прогнозу, планування, управління та вдосконалення різних сторін економічної діяльності суспільства.

Економіко-математичні моделі відбивають найбільш суттєві властивості реального об'єкта чи процесу з допомогою системи рівнянь. Єдиної класифікації економіко-математичних моделей немає, хоча можна назвати найбільш значні їх групи залежно від ознаки класифікації.

За цільовим призначенняммоделі діляться на:

· Теоретико-аналітичні (використовуються у дослідженні загальних властивостей та закономірностей економічних процесів);

· Прикладні (застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань, таких як завдання економічного аналізу, прогнозування, управління).

З урахуванням фактора часумоделі поділяються на:

· Динамічні (описують економічну систему у розвитку);

· Статистичні (економічна система описана в статистиці, стосовно одного певного моменту часу; це як би знімок, зріз, фрагмент динамічної системи в якийсь момент часу).

За тривалістю аналізованого періоду часурозрізняють моделі:

· Короткострокового прогнозування чи планування (до року);

· Середньострокового прогнозування чи планування (до 5 років);

· Довгострокового прогнозування чи планування (понад 5 років).

За метою створення та застосуваннярозрізняють моделі:

· Балансові;

· Економетричні;

· Оптимізаційні;

· Мережеві;

· систем масового обслуговування;

· Імітаційні (експертні).

У балансовихмоделях відображається вимога відповідності наявності ресурсів та їх використання.

Оптимізаційнімоделі дозволяють знайти з безлічі можливих (альтернативних) варіантів найкращий варіант виробництва, розподілу чи споживання. Обмежені ресурси при цьому будуть використані якнайкраще для досягнення поставленої мети.

Мережевімоделі найбільше широко використовуються в управлінні проектами. Мережева модель відображає комплекс робіт (операцій) та подій, та їх взаємозв'язок у часі. Зазвичай мережева модель призначена для виконання робіт у такій послідовності, щоб терміни виконання проекту були мінімальними. І тут ставиться завдання перебування критичного шляху. Однак існують і такі мережеві моделі, які орієнтовані не на критерій часу, а, наприклад, мінімізацію вартості робіт.

Моделі систем масового обслуговуваннястворюються для мінімізації витрат часу на очікування у черзі та часу простоїв каналів обслуговування.

Імітаційнамодель, поруч із машинними рішеннями, містить блоки, де рішення приймаються людиною (експертом). Замість безпосередньої участі людини у прийнятті рішень може бути база знань. І тут персональний комп'ютер, спеціалізоване програмне забезпечення, база даних, і база знань утворюють експертну систему. Експертнасистема призначена на вирішення однієї чи низки завдань шляхом імітації дій людини, експерта у цій галузі.

З урахуванням фактора невизначеностімоделі поділяються на:

· детерміновані (з однозначно визначеними результатами);

· Стохастичні (імовірнісні; з різними, імовірнісними результатами).

За типом математичного апаратурозрізняють моделі:

· Лінійне програмування (оптимальний план досягається в крайній точці області зміни змінних величин системи обмежень);

· Нелінійне програмування (оптимальних значень цільової функції може бути декілька);

· Кореляційно-регресійні;

· Матричні;

· Мережеві;

· Теорії ігор;

· Теорії масового обслуговування тощо.

З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації моделей ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей та нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типів у більш складні модельні конструкції.

моделювання математичний стохастичний

1.2 Економіко-математичні методи

Як і всяке моделювання, економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів, по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників, по-третє, вироблення управлінських рішень на всіх рівнях управління.

Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі соціально-економічних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей, які слід розуміти як продукт процесу економіко-математичного моделювання, а економіко-математичні методи – як інструмент.

Розглянемо питання класифікації економіко-математичних методів. Ці методи є комплексом економіко-математичних дисциплін, які є сплавом економіки, математики та кібернетики. Тому класифікація економіко-математичних методів зводиться до класифікації наукових дисциплін, що входять до їхнього складу.

З певною часткою умовності класифікацію цих методів можна так.

· Економічна кібернетика: системний аналіз економіки, теорія економічної інформації та теорія керуючих систем.

· Математична статистика: економічні програми цієї дисципліни - вибірковий метод, дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, регресійний аналіз, багатовимірний статистичний аналіз, теорія індексів та ін.

· Математична економія та вивчає ті ж питання з кількісної сторони економетрію: теорія економічного зростання, теорія виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки, аналіз попиту та споживання, регіональний та просторовий аналіз, глобальне моделювання.

· Методи прийняття оптимальних рішень, зокрема дослідження операцій економіки. Це найбільш об'ємний розділ, що включає наступні дисципліни та методи: оптимальне (математичне) програмування, мережеві методи планування та управління, теорію та методи управління запасами, теорію масового обслуговування, теорію ігор, теорію та методи прийняття рішень.

У оптимальне програмування своєю чергою входять лінійне і нелінійне програмування, динамічне програмування, дискретне (цілочисленне) програмування, стохастичне програмування та інших.

· Методи та дисципліни, специфічні окремо як для централізовано запланованої економіки, так і для ринкової (конкурентної) економіки. До перших можна віднести теорію оптимального ціноутворення функціонування економіки, оптимальне планування, теорію оптимального ціноутворення, моделі матеріально-технічного постачання та ін. . Багато з методів, розроблених для централізовано планованої економіки, можуть бути корисними і при економіко-математичному моделюванні в умовах ринкової економіки.

· Методи експериментального вивчення економічних явищ. До них відносять, як правило, математичні методи аналізу та планування економічних експериментів, методи машинної імітації (імітаційне моделювання), ділові ігри. Сюди можна віднести і методи експертних оцінок, розроблені з метою оцінки явищ, які піддаються безпосередньому виміру.

В економіко-математичних методах застосовуються різноманітні розділи математики, математичної статистики, математичної логіки. Велику роль вирішенні економіко-математичних завдань грають обчислювальна математика, теорія алгоритмів та інші дисципліни. Використання математичного апарату принесло відчутні результати при вирішенні завдань аналізу процесів розширеного виробництва, визначення оптимальних темпів зростання капіталовкладень, оптимального розміщення, спеціалізації та концентрації виробництва, завдань вибору оптимальних способів виробництва, визначення оптимальної послідовності запуску у виробництво, завдання підготовки виробництва методами мережного планування та багатьох інших .

Для вирішення стандартних проблем характерна чіткість мети, можливість заздалегідь виробити процедури та правила ведення розрахунків.

Існують такі передумови використання методів економіко-математичного моделювання, найважливішими з яких є високий рівень знання економічної теорії, економічних процесів та явищ, методологія їх якісного аналізу, а також високий рівень математичної підготовки, володіння економіко-математичними методами.

Перш ніж приступити до розробки моделей, необхідно ретельно проаналізувати ситуацію, виявити цілі та взаємозв'язки, проблеми, які потребують вирішення, та вихідні дані для їх вирішення, вести систему позначень і лише тоді описати ситуацію у вигляді математичних співвідношень.

2. Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

Процес економіко-математичного моделювання – це опис економічних та соціальних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей. Цей різновид моделювання має ряд істотних особливостей, пов'язаних як з об'єктом моделювання, так і з застосовуваним апаратом та засобами моделювання. Тому доцільно детальніше проаналізувати послідовність та зміст етапів економіко-математичного моделювання, виділивши наступні шість етапів:

.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

2.Побудова математичної моделі;

.Математичний аналіз моделі;

.Підготовка вихідної інформації;

.Чисельне рішення;

.

Розглянемо кожен із етапів докладніше.

1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, допущення, що приймаються, і ті питання, на які потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2.Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактів враховує модель, тим вона краще «працює» і дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо.

Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не тільки реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом.

Однією з важливих особливостей математичних моделей є потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому, навіть зіштовхуючись із новим економічним завданням, не потрібно прагнути «винаходити» модель; Спершу необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

.Математичний аналіз моделі.Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найважливіший момент – доказ існування рішень у сформульованій моделі. Якщо вдається довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у наступній роботі за первісним варіантом моделі відпадає і слід скоригувати або постановку економічного завдання, або способи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (незвісні) можуть входити в рішення, які будуть співвідношення між ними, в яких межах і в залежності від вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і т.д. буд. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

4.Підготовка вихідної інформації.Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У той самий час реальні можливості отримання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. У цьому береться до уваги як принципова можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів.

Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.

5.Чисельне рішення.Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного розв'язання задачі, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені, передусім, великий розмірністю економічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Дослідження, проведене чисельними методами, може суттєво доповнити результати аналітичного дослідження, а багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас завдань, доступних аналітичному дослідженню.

6.Аналіз чисельних результатів та їх застосування.На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичного застосування останніх.

Математичні методи перевірки можуть виявити некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Основу ефективності банківського менеджменту становить планомірний контроль за оптимальністю, збалансованістю та стійкістю функціонування у розрізі всіх елементів, що формують ресурсний потенціал та визначають перспективи динамічного розвитку кредитної установи. Його методи та інструменти вимагають модернізації з урахуванням економічних умов, що змінюються. Водночас необхідність удосконалення механізму реалізації нових банківських технологій зумовлює доцільність наукового пошуку.

Інтегральні коефіцієнти фінансової стійкості (КФУ) комерційних банків, що використовуються в існуючих методиках, часто характеризують збалансованість їх стану, але не дозволяють дати повну характеристику тенденції розвитку. Слід враховувати, що результат (КФУ) залежить від багатьох випадкових причин (ендогенного та екзогенного характеру), які не можуть бути повністю враховані.

У зв'язку з цим виправдано розглядати можливі результати дослідження сталого стану банків як випадкові величини, що мають однаковий розподіл ймовірностей, оскільки дослідження проводяться за однією і тією самою методикою з використанням однакового підходу. З іншого боку, вони взаємно незалежні, тобто. Результат кожного окремого коефіцієнта залежить від значень інших.

Зваживши на те, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, укладаємо, що події x1 , x2 , …, xnутворюють повну групу, отже, сума їх ймовірностей дорівнюватиме 1: p1 +p2 +…+pn=1 .

Дискретна випадкова величина X- Коефіцієнт фінансової стійкості банку «А», Y- Банку «В», Z- Банку "С" за заданий період. З метою отримання результату, що дає підстави зробити висновок про стійкість розвитку банків, оцінка була здійснена на базі 12-річного ретроспективного періоду (табл.1).

Таблиця 1

Порядковий номер року Банк «А» Банк «В» Банк «С»11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,113 2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3280,4

Для кожної вибірки за певним банком значення розбиті на Nінтервалів, визначено мінімальне та максимальне значення. Процедура визначення оптимальної кількості груп полягає в застосуванні формули Стерджесса:

N= 1 +3,322 * ln N;

N= 1 +3,322 * ln12 = 9,525-10,

Де n- Число груп;

N- Число сукупності.

h=(КФУmax- КФУmin) / 10.

Таблиця 2

Межі інтервалів значень дискретних випадкових величин X, Y, Z (коефіцієнтів фінансової стійкості) та частоти появи даних значень у зазначених межах

Номер інтервалуМежі інтервалівЧастота появи (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Виходячи зі знайденого кроку інтервалу, було розраховано межі інтервалів шляхом додавання до мінімального значення знайденого кроку. Отримане значення – це межа першого інтервалу (ліва межа – LG). Для знаходження другого значення (правої межі PG) до знайденої першої межі знову додає я крок і т.д. Кордон останнього інтервалу збігається з максимальним значенням:

LG1 = КФУmin;

PG1 = КФУmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 = КФУmax.

Дані за частотою влучення коефіцієнтів фінансової стійкості (дискретних випадкових величин X, Y, Z) згруповані в інтервали, і визначена ймовірність влучення їх значень у задані межі. У цьому ліве значення кордону входить у інтервал, а праве - немає (табл.3).

Таблиця 3

Розподіл дискретних випадкових величин X, Y, Z

ПоказникЗначення показникаБанк «А»X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

По частоті появи значень nзнайдено їх ймовірності (частота появи ділиться на 12, виходячи з одиниць сукупності), а також як значення дискретних випадкових величин були використані середини інтервалів. Закони їх розподілу:

Pi= ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

З розподілу можна будувати висновки про ймовірність нестійкого розвитку кожного банка:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так із ймовірністю 0,083 банк «А» може досягти значення коефіцієнта фінансової стійкості, що дорівнює 0,853. Інакше кажучи, ймовірність те, що його витрати перевищать доходи, становить 8,3 %. По банку «В» ймовірність падіння коефіцієнта нижче одиниці також склала 0,083, проте з урахуванням динамічного розвитку організації це зниження все ж таки виявиться незначним - до 0,926. Нарешті, висока ймовірність (16,7%), що діяльність банку «С» за інших рівних умов охарактеризується значенням фінансової стійкості, рівним 0,835.

У той самий час у таблицях розподілів можна побачити ймовірність сталого розвитку банків, тобто. суму ймовірностей, де варіанти коефіцієнтів мають значення, більше 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можна спостерігати, що найменш сталий розвиток очікується у банку «С».

У цілому нині закон розподілу задає випадкову величину, проте частіше доцільніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно. Їх називають числовими характеристиками випадкової величини, до них належать математичне очікування. Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини і воно тим більше наближається до середнього значення, чим більше було проведено випробувань.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів усіх можливих величин з її ймовірності:

M(X) = x1 p1 +x2 p2 +…+xnpn

Результати розрахунків значень математичних очікувань випадкових величин наведено в табл.4.

Таблиця 4

Числові характеристики дискретних випадкових величин X, Y, Z

БанкМатематичне очікуванняДисперсіяСереднє квадратичне відхилення"А" M(X) = 1,187D(X) = 0,027 σ (x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010 σ (y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012 σ (z) = 0,112

Отримані математичні очікування дозволяють оцінити середні значення ймовірних значень коефіцієнта фінансової стійкості в майбутньому.

Так, за розрахунками, можна судити, що математичне очікування сталого розвитку банку «А» становить 1,187. Математичне очікування банків «В» та «С» складає 1,124 та 1,037 відповідно, що відображає передбачувану дохідність їх роботи.

Однак, знаючи лише математичне очікування, що показує «центр» передбачуваних можливих значень випадкової величини - КФУ, ще не можна судити ні про його можливі рівні, ні про ступінь їх розсіяності навколо отриманого математичного очікування.

Інакше кажучи, математичне очікування через свою природу повністю стійкості розвитку банку не характеризує. З цієї причини виникає необхідність обчислення інших числових характеристик: дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Які дозволяють оцінити рівень розсіяності можливих значень коефіцієнта фінансової стійкості. Математичні очікування та середні квадратичні відхилення дозволяють оцінити інтервал, в якому будуть знаходитись можливі значення коефіцієнтів фінансової стійкості кредитних організацій.

При порівняно високому характерному значенні математичного очікування стійкості банку «А» середнє квадратичне відхилення становило 0,164, що свідчить, що стійкість банку може або підвищитися цю величину, або знизитися. При негативній зміні стійкості (що все ж таки малоймовірно, враховуючи отриману ймовірність збиткової діяльності, рівну 0,083) коефіцієнт фінансової стійкості банку залишиться позитивним - 1,023 (див. табл. 3)

Діяльність банку «В» при математичному очікуванні 1,124, характеризується меншим розмахом значень коефіцієнта. Так, навіть за несприятливого збігу обставин банк залишиться стійким, оскільки середнє квадратичне відхилення від прогнозованого значення склало 0, 101, що дозволить йому залишитися в позитивній зоні доходності. Отже, можна дійти невтішного висновку про стійкість розвитку цього банку.

Банк «С», навпаки, за невисокого математичного очікування своєї надійності (1, 037) зіткнеться за інших рівних умов з неприпустимим йому відхиленням, рівним 0,112. За несприятливої ​​ситуації, а також з огляду на високий відсоток ймовірності збиткової діяльності (16,7%), дана кредитна організація, швидше за все, знизить свою фінансову стійкість до 0,925.

Важливо зауважити, що, зробивши висновки про стійкість розвитку банків, не можна заздалегідь впевнено передбачити, яке з можливих значень прийме коефіцієнт фінансової стійкості в результаті випробування; це залежить від багатьох причин, врахувати які неможливо. З цієї позиції про кожну випадкову величину ми маємо дуже скромні відомості. У зв'язку з чим навряд чи можна встановити закономірності поведінки та суми досить великої кількості випадкових величин.

Однак виявляється, що за деяких порівняно широких умов сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.

Оцінюючи стійкість розвитку банків, залишається оцінити ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування не перевищує абсолютної величини позитивного числа ε. Дати цікаву для нас оцінку дозволяє нерівність П.Л. Чебишева. Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування за абсолютною величиною менше позитивного числа ε не менше як :

або у випадку зворотної ймовірності:

Враховуючи ризик, пов'язаний із втратою стійкості, проведемо оцінку ймовірності відхилення дискретної випадкової величини від математичного очікування в меншу сторону і, вважаючи рівноймовірними відхилення від центрального значення як меншу, так і більшу сторону, перепишемо нерівність ще раз:

Далі, виходячи з поставленого завдання необхідно оцінити ймовірність того, що майбутнє значення коефіцієнта фінансової стійкості не виявиться нижчим за 1 від пропонованого математичного очікування (для банку «А» значення ε приймемо рівне 0,187, для банку "В" - 0,124, для "С" - 0.037) і зробимо розрахунок даної ймовірності:

банк «А»:

банк «С»:

Відповідно до нерівності П.Л. Чебишева, найстійкішим у розвитку є банк «В», оскільки ймовірність відхилення очікуваних значень випадкової величини від її математичного очікування невисока (0,325), у своїй порівняно менше, ніж у іншим банкам. На другому місці за порівняльною стійкістю розвитку розташовується банк «А», де коефіцієнт цього відхилення дещо вищий, ніж у першому випадку (0,386). У третьому банку ймовірність того, що значення коефіцієнта фінансової стійкості відхилитися в ліву сторону від математичного очікування більше ніж на 0,037 є практично достовірною подією. Тим більше, якщо врахувати, що ймовірність не може бути більшою за 1, що перевищують значення, згідно з доказом Л.П. Чебишева, необхідно приймати за 1. Іншими словами, факт того, що розвиток банку може перейти в нестійку зону, що характеризується коефіцієнтом фінансової стійкості менше 1, є достовірною подією.

Таким чином, характеризуючи фінансовий розвиток комерційних банків, можна зробити такі висновки: математичне очікування дискретної випадкової величини (середнє очікуване значення коефіцієнта фінансової стійкості) банку А дорівнює 1,187. Середнє відхилення цієї дискретної величини становить 0,164, що об'єктивно характеризує невеликий розкид значень коефіцієнта від середнього числа. Однак ступінь нестійкості цього ряду підтверджується досить високою ймовірністю негативного відхилення коефіцієнта фінансової стійкості від 1, що дорівнює 0,386.

Аналіз діяльності другого банку показав, що математичне очікування КФУ дорівнює 1,124 за середнього квадратичного відхилення 0,101. Отже, діяльність кредитної організації характеризується невеликим розкидом значень коефіцієнта фінансової стійкості, тобто. є більш концентрованою та стабільною, що підтверджується порівняно низькою ймовірністю (0,325) переходу банку до зони збитковості.

Стійкість банку «С» характеризується невисоким значенням математичного очікування (1,037) і навіть невеликим розкидом значень (середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,112). Нерівність Л.П. Чебишева доводить те що, що можливість отримання негативного значення коефіцієнта фінансової стійкості дорівнює 1, тобто. очікування позитивної динаміки його розвитку за інших рівних умов буде дуже необгрунтованим. Таким чином, запропонована модель, що базується на визначенні існуючого розподілу дискретних випадкових величин (значень коефіцієнтів фінансової стійкості комерційних банків) і підтверджується оцінкою їхнього рівноймовірнісного позитивного або негативного відхилення від отриманого математичного очікування, дозволяє визначити її поточний та перспективний рівень.

Висновок

Застосування математики в економічній науці дало поштовх у розвитку як самої економічної науці, так і прикладної математики в частині методів економіко-математичної моделі. Прислів'я каже: «Сім разів відміряй – Один раз відріж». Використання моделей є час, сили, матеріальні засоби. Крім того, розрахунки за моделями протистоять вольовим рішенням, оскільки дозволяють заздалегідь оцінити наслідки кожного рішення, відкинути неприпустимі варіанти та рекомендувати найбільш вдалі. Економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичним завданням економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів; по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників; по-третє, вироблення управлінських рішень всіх рівнях управління.

У роботі було з'ясовано, що економіко-математичні моделі можна поділити за ознаками:

· цільового призначення;

· урахування фактора часу;

· тривалості аналізованого періоду;

· мети створення та застосування;

· урахування фактора невизначеності;

· типу математичного апарату;

Опис економічних процесів та явищ як економіко-математичних моделей базується на використанні одного з економіко-математичних методів, які застосовуються на всіх рівнях управління.

· постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

· побудова математичної моделі;

· математичний аналіз моделі;

· підготовка вихідної інформації;

· чисельне рішення;

· аналіз чисельних результатів та їх застосування.

У роботі було представлено статтю кандидата економічних наук, доцента кафедри фінансів та кредиту С.В. Бойко, в якій наголошується, що перед вітчизняними кредитними організаціями, що піддаються впливу зовнішнього середовища, стоїть завдання пошуку управлінських інструментів, що передбачають реалізацію раціональних антикризових заходів, спрямованих на стабілізацію темпів зростання базових показників їхньої діяльності. У зв'язку з цим підвищується важливість адекватного визначення фінансової стійкості за допомогою різних методик і моделей, одним із різновидів яких є стохастичні (імовірнісні) моделі, що дозволяють не тільки виявити передбачувані фактори зростання або зниження стійкості, але й сформувати комплекс превентивних заходів щодо її збереження.

Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів та процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при цьому рівні економічних та математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формалізованості економічних проблем, завжди існуватимуть ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективне.

Список літератури

1)Красс М.С. Математика для економічних спеціальностей: Підручник. -4-е вид., Випр. - М.: Справа, 2003.

)Іванілов Ю.П., Лотов А.В. Математичні моделі економіки. - М: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введення у математичну економіку. - М: Наука, 1984.

)Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т.М. та ін Математичне моделювання економічних процесів. - М: Агропромиздат, 1990.

)За ред. Федосєєва В.В. Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навчальний посібник для ВНЗ. - М: ЮНІТІ, 2001.

)Савицька Г.В. Економічний аналіз: Підручник. - 10-те вид., Випр. - М: Нове знання, 2004.

)Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. М: Вища школа, 2002

)Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія: навч. посібник для вузів/Є.С. Вентцель. - 4-те вид., стереотип. - М.: Дроф, 2006. - 206, с. : іл.

)Математика економіки: навчальний посібник/ С.В.Юдин. - М: Вид-во РГТЕУ, 2009.-228 с.

)Кочетигів А.А. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. Посібник/Тул. Держ. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, ймовірні моделі в оцінці фінансової стійкості кредитних організацій / С.В. Бойко// Фінанси та кредит. – 2011. N 39. –

1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Список використаних джерел

1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Одним із напрямів удосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів та сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, що вивчаються, обґрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення та мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.

Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обґрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності. Залежно від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях – логарифмування, пайова участь, диференціювання; у стохастичних моделях – кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів та ін.

Стохастичний аналіз – це метод розв'язання широкого класу завдань статистичного оцінювання. Він передбачає вивчення масових емпіричних даних шляхом побудови моделей зміни показників за рахунок факторів, що не перебувають у прямих зв'язках, у прямій взаємозалежності та взаємозумовленості. Стохастичний зв'язок існує між випадковими величинами і проявляється в тому, що при зміні однієї з них змінюється закон розподілу іншої.

В економічному аналізі виділяються такі найбільш типові завдання стохастичного аналізу:

Вивчення наявності та тісноти зв'язку між функцією та факторами, а також між факторами;

Ранжування та класифікація факторів економічних явищ;

Виявлення аналітичної форми зв'язку між явищами, що вивчаються;

Згладжування динаміки зміни рівня показників;

Виявлення параметрів закономірних періодичних коливань рівня показників;

Вивчення розмірності (складності, багатогранності) економічних явищ;

Кількісна зміна інформативних показників;

Кількісна зміна впливу чинників зміну аналізованих показників (економічна інтерпретація отриманих рівнянь).

Стохастичне моделювання та аналіз зв'язків між вивченими показниками починаються з кореляційного аналізу. Кореляція у тому, що середня величина однієї з ознак змінюється залежно від значення іншого. Ознака, від якої залежить інша ознака, прийнято називати факторною. Залежний ознака називають ефективним. У кожному конкретному випадку для встановлення факторної та результативної ознак у неоднакових сукупностях необхідний аналіз природи зв'язку. Так, при аналізі різних ознак в одній сукупності заробітна плата робітників у зв'язку з їх виробничим стажем постає як результативна ознака, а у зв'язку з показниками життєвого рівня або культурними потребами – як факторна. Часто залежності розглядають немає від однієї факторного ознаки, як від кількох. Для цього застосовується сукупність методів та прийомів виявлення та кількісної оцінки взаємозв'язків та взаємозалежностей між ознаками.

При дослідженні масових суспільно-економічних явищ між факторними ознаками проявляється кореляційний зв'язок, при якому на величину результативної ознаки впливає, окрім факторної, безліч інших ознак, що діють у різних напрямках одночасно чи послідовно. Часто кореляційний зв'язок називають неповним статистичним або частковим на відміну від функціонального, що виражається в тому, що при певному значенні змінної (незалежна змінна – аргумент) інша (залежна змінна – функція) набуває строгого значення.

Кореляційний зв'язок можна виявити лише як загальної тенденції при масовому зіставленні фактів. Кожному значенню факторного ознаки відповідатиме одне значення результативного ознаки, які сукупність. У цьому випадку для розтину зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки для кожного факторного значення.

Якщо залежність прямолінійна:

Значення коефіцієнтів а і b знаходиться із системи рівнянь, отриманих за способом найменших квадратів за формулою:

У разі прямолінійної форми зв'язку між показниками, що вивчаються, коефіцієнт кореляції розраховується за формулою:

Якщо коефіцієнт кореляції звести квадрат, то отримаємо коефіцієнт детермінації.

Дисконтування - це процес перерахунку майбутньої вартості капіталу, грошових потоків чи чистого доходу у реальну. Ставка, за якою здійснюється дисконтування, називається ставкою дисконтування (ставкою дисконту). Основна посилка, що лежить в основі поняття дисконтованого потоку реальних грошей, полягає в тому, що гроші мають тимчасову ціну, тобто сума грошей, наявна в даний час, має більшу цінність, ніж така ж сума в майбутньому. Ця різниця може бути виражена як процентна ставка, що характеризує відносні зміни за певний період (зазвичай рівний року).

Багато завдань, із якими доводиться стикатися економісту у повсякденній практиці під час аналізу господарську діяльність підприємств, многовариантны. Так як не всі варіанти однаково хороші, серед безлічі можливих доводиться знаходити оптимальний. Значна частина подібних завдань протягом тривалого часу вирішувалася виходячи зі здорового глузду та досвіду. При цьому не було жодної впевненості, що знайдений варіант є найкращим.

У сучасних умовах навіть незначні помилки можуть призвести до величезних втрат. У зв'язку з цим виникла необхідність залучення до аналізу та синтезу економічних систем оптимізаційних економіко-математичних методів та ЕОМ, що створює основу для ухвалення науково обґрунтованих рішень. Такі методи поєднуються в одну групу під загальною назвою "оптимізаційні методи прийняття рішень в економіці". Щоб розв'язати економічне завдання математичними методами, передусім, необхідно побудувати адекватну їй математичну модель, тобто формалізувати мету і умови завдання як математичних функцій, рівнянь і (чи) нерівностей.

Загалом математична модель оптимізаційної задачі має вигляд:

max (min): Z = Z (x),

при обмеженнях

f i (x) Rb i , i =

де R - відношення рівності, менше чи більше.

Якщо цільова функція та функції, що входять до системи обмежень, лінійні щодо невідомих, що входять до завдання, таке завдання називається завданням лінійного програмування. Якщо цільова функція або система обмежень не лінійна, таке завдання називається завданням нелінійного програмування.

Здебільшого, практично, завдання нелінійного програмування шляхом лінеаризації зводяться до завдання лінійного програмування. p align="justify"> Особливий практичний інтерес серед завдань нелінійного програмування представляють завдання динамічного програмування, які через свою багатоетапність не можна лінеаризувати. Тому ми розглянемо лише ці два види оптимізаційних моделей, для яких в даний час є хороше математичне та програмне забезпечення.

Метод динамічного програмування є особливий математичний прийом оптимізації нелінійних завдань математичного програмування, який спеціально пристосований до багатокрокових процесів. Багатокроковим зазвичай вважають процес, що розвивається в часі і розпадається на ряд кроків, або етапів. Проте метод динамічного програмування використовується й у вирішення завдань, у яких час не фігурує. Деякі процеси розпадаються кроки природним чином (наприклад, процес планування господарську діяльність підприємства у період, що з кількох років). Багато процесів можна розчленувати на етапи штучно.

Суть методу динамічного програмування полягає в тому, що замість пошуку оптимального рішення відразу для всієї складної задачі вважають за краще знаходити оптимальні рішення для декількох більш простих задач аналогічного змісту, на які розчленовується вихідне завдання.

p align="justify"> Метод динамічного програмування також характеризується тим, що вибір оптимального рішення на кожному кроці повинен проводитися з урахуванням наслідків у майбутньому. Це означає, що, оптимізуючи процес на кожному окремому кроці, в жодному разі не можна забувати про всі наступні кроки. Отже, динамічне програмування - це далекоглядне планування з урахуванням перспективи.

Принцип вибору рішення в динамічному програмуванні є визначальним і зветься принципом оптимальності Беллмана. Сформулюємо його так: оптимальна стратегія має тим властивістю, що, які б не були початковий стан і рішення, прийняте в початковий момент, наступні рішення повинні вести до поліпшення ситуації щодо стану, що є результатом початкового рішення.

Таким чином, при вирішенні оптимізаційної задачі методом динамічного програмування необхідно на кожному кроці враховувати наслідки, до яких приведе в майбутньому рішення, яке приймається в даний момент. Винятком є ​​останній крок, яким закінчується процес. Тут можна ухвалювати таке рішення, щоб забезпечити максимальний ефект. Спланувавши оптимальним чином останній крок, можна "прилаштовувати" передостанній так, щоб результат цих двох кроків був оптимальним, і т.д. Саме таким чином – від кінця на початок – можна розгорнути процедуру прийняття рішень. Оптимальне рішення, знайдене за умови, що попередній крок закінчився певним чином, називають умовно-оптимальним рішенням.