За характером функціонування САР поділяють на 4 класи: Системи автоматичної стабілізації характеризуються тим, що в процесі роботи системи вплив залишається постійним. Системи програмного регулювання задає вплив змінюється заздалегідь встановленому законуяк функція часу та координат системи. Слідкуючі системи задає вплив є величиною змінної але математичний описза часом не може бути встановлено т. Адаптивні або самоналаштовуються такі системи автоматично...

Поділіться роботою у соціальних мережах

Якщо ця робота Вам не підійшла внизу сторінки, є список схожих робіт. Також Ви можете скористатися кнопкою пошук

Лекція №2. Класифікація та Вимоги до САР. Лінійні та нелінійні САР. Загальний методлінеаризації

(Слайд 1)

2.1. Класифікація САР

(Слайд 2)

САР класифікуються за різними ознаками. За характером функціонування САР поділяють на 4 класи:

• Системи автоматичної стабілізації(характеризуються тим, що в процесі роботи системи вплив, що задає, залишається постійним).Приклад: стабілізатор швидкості обертання двигуна.
• Системи програмного регулювання(що впливає змінюється по заздалегідь встановленому закону, як функція часу і координат системи).приклад: автопілот.
• Слідчі системи (що впливає величиною змінної, але математичне опис у часі може бути встановлено, т.к. джерелом сигналу є зовнішній вплив, Закон переміщення якого наперед не відомий).Приклад: станція радіолокації супроводу літака.
• Адаптивні або самонастроювальні системи (такі системи автоматично вибирають оптимальний закон регулювання і можуть у процесі роботи змінювати характеристики регулятора).Приклад: комп'ютерна граіз нелінійним сюжетом.

(Слайд 3)

Також САР поділяють характером сигналів у пристрої управління:

• Безперервні (вхідний та вихідний сигнал безперервні функціїчасу).приклад: компаратори, операційні підсилювачі.
• Релейні (якщо в системі є хоча б один елемент із релейною характеристикою).Приклад: різні реле, аналогові ключі та мультиплексори.
• Імпульсні (характеризується наявністю хоча б одного імпульсного елемента).приклад: тиристори, цифрові схеми.

Всі САР можна розділити залежно від вихідних характеристик від вхідних налінійні та нелінійні.

2.2. Вимоги до САР

(Слайд 4)

1. Регульована величина має підтримуватись на заданому рівні незалежно від обурення. Перехідний процес представляється динамічною характеристикою, якою можна будувати висновки про якості роботи системи.

2. Повинна виконуватися умова стійкості, тобто. система повинна мати запас стійкості.

3. Швидкодія час перехідного процесу, що характеризує швидкість реакції системи.

(Слайд 5)

4. Повинні виконуватись норми перерегулювання. Для визначення величини перерегулювання використовуються два основні параметри:

• Коефіцієнт перерегулювання

де y m максимальне відхилення вихідної величини під час перехідного процесу, y ∞ значення вихідної величини в режимі, що встановився. Припустиме значення = 0  25%.

(Слайд 6)

• Міра коливання процесу - кількість коливань за час перехідного процесу (не більше 2-х)

5. Повинні виконання вимоги статичної точності. Якщо у системі процеси випадкові, то забезпечення точності вводяться вероятностные характеристики.

2. 3 . Лінійні та нелінійні САР

Динамічні процеси у системах регулювання описуються диференціальними рівняннями.

(Слайд 7)

У лінійних системах процеси описуються за допомогоюлінійних диференціальнихрівнянь. У нелінійних системахпроцеси описуються рівняннями, що містять будь-якінелінійності . Розрахунки лінійних систем добре розроблені та простіші для практичного застосування. Розрахунки ж нелінійних систем часто пов'язані з великими труднощами.

Щоб система регулювання була лінійною, необхідно (але недостатньо) мати статичні характеристики всіх ланок як прямих ліній. Насправді реальні статичні показники найчастіше є прямолінійними. Тому, щоб розрахувати реальну систему як лінійну, необхідно усі криволінійні статичні характеристики ланок на робочих ділянках, що використовуються в даному процесі регулювання, замінити прямолінійними відрізками. Це називаєтьсялінеаризацією . Більшість систем безперервного регулювання піддається такій лінеаризації.

(Слайд 8)

Лінійні системи поділяються напрості лінійні системиі на Спеціальні лінійні системи.До перших належать такі системи, всі ланки яких описуються звичайними лінійними диференціальними рівняннями з незмінними коефіцієнтами.

(Слайд 9)

До особливих лінійних систем належать:

а) системи зі змінними за часом параметрами, які описуються лінійними диференціальнимирівняннями із змінними коефіцієнтами;

б) системи з розподіленими параметрами, де доводиться мати справу з рівняннями в приватних похідних, та системи з тимчасовим запізненням, що описуються рівняннями із запізнюючим аргументом;

(Слайд 10)

в) імпульсні системиде доводиться мати справу з різницевими рівняннями.

(Слайд 11)

Рис. 2.1. Характеристики нелінійних елементів

У нелінійних системах під час аналізу процесу регулювання доводиться враховувати нелінійність статичної характеристики хоча у одному її ланці чи якісь нелінійні диференціальні залежності у рівняннях динаміки системи. Іноді нелінійні ланки спеціально вводяться у систему задля забезпечення найбільшого швидкодії чи інших бажаних якостей.

До нелінійних систем належать передусім релейні системи, оскількирелейна характеристика(рис. 2.1, а і б ) не може бути замінена однією прямою лінією. Нелінійною буде ланка, в характеристиці якої єзона нечутливості(Рис. 2.1, в).

Явища насичення або механічного обмеження ходуприводять до характеристики з обмеженням лінійної залежності кінцях (рис. 2.1, г ). Ця характеристика повинна вважатися нелінійною, якщо розглядаються такі процеси, коли робоча точка виходить за межі лінійної ділянки характеристики.

До нелінійних залежностей відносяться такожгістерезисна крива(Рис. 2.1, д ), характеристиказазору в механічній передачі(рис. 2.1, е), сухе тертя (рис. 2.1, ж), квадратичне тертя(рис. 2.1, та ) та ін. В останніх двох характеристиках x 1 позначає швидкість переміщення, а x 2 силу чи момент тертя.

Нелінійною є взагалі будь-яка криволінійна залежність між вихідною та вхідною величинами ланки (рис. 2.1,до ). Це нелінійність найпростішого типу. Крім того, нелінійності можуть входити до диференціальних рівнянь у вигляді твору змінних величинта їх похідних, а також у вигляді складніших функціональних залежностей.

Не всі нелінійні залежності піддаються простій лінеаризації. Так, наприклад, лінеаризація не може бути зроблена для характеристик, зображених на рис. 2.1, або на рис. 2.1, е. Подібні складні випадкибудуть розглянуті в розд. 9.

2.4. Загальний метод лінеаризації

(Слайд 12)

Найчастіше можна лінеаризувати нелінійні залежності, використовуючи метод малих відхилень чи варіацій. Для розгляду його звернемося до деякої ланки системи автоматичного регулювання(Рис. 2.2). Вхідна та вихідна величини позначені через X 1 та X 2 , а зовнішнє обурення через F(t).

Припустимо, що ланка описується деякою нелінійною диференціальним рівняннямвиду

. (2.1)

Для складання такого рівняння потрібно використати відповідну галузь технічних наук(наприклад електротехніку, механіку, гідравліку тощо), що вивчає цей конкретний вид пристрою.

(Слайд 13)

Підставою для лінеаризації є припущення про достатню небагато відхилень всіх змінних, що входять до рівняння динаміки ланки, тому що саме на досить малій ділянці криволінійну характеристику можна замінити відрізком прямої. Відхилення змінних відраховуються при цьому від їх значень у процесі або в певному рівноважному стані системи. Нехай, наприклад, встановлений процес характеризується постійним значенням змінноїХ 1 , яке позначимоХ 10 . У процесі регулювання (рис. 2.3) зміннаХ 1 буде мати значення

де позначає відхилення змінної X 1 від значення, що встановилосяХ 10 .

Аналогічні співвідношення вводяться інших змінних. Для даного випадку маємо:

а також

Усі відхилення передбачаються досить малими. Це математичне припущення не суперечить фізичного змістузавдання, оскільки сама ідея автоматичного регулювання вимагає, щоб усі відхилення регульованої величини у процесі регулювання були досить малими.

Установлений стан ланки визначається значеннямиХ 10 , Х 20 та F 0 . Тоді рівняння (2.1) може бути записано для встановленого стану у вигляді

. (2.2)

(Слайд 15)

Розкладемо ліву частину рівняння (2.1) у ряд Тейлора

(2.3)

де  ¦ члени вищого порядку. Індекс 0 при приватних похідних означає, що після взяття похідної в її вираз треба підставити значення всіх змінних, що встановилося.

; ; ; .

До складу членів вищого порядку у формулі (2.3) входять вищі приватні похідні, помножені на квадрати, куби та більше високі ступенівідхилень, і навіть твори відхилень. Вони будуть малими вищого порядку порівняно із самими відхиленнями, які є малими першого порядку.

(Слайд 16)

Рівняння (2.3) є рівнянням динаміки ланки, як і (2.1), але записано у інший формі. Відкинемо в цьому рівнянні малі вищого порядку, після чого з рівняння (2.3) віднімемо рівняння стану (2.2). В результаті отримаємо наступне наближене рівняння динаміки ланки в малих відхиленнях:

(2.4)

До цього рівняння всі змінні та його похідні входять лінійно, тобто у першому ступені. Усі приватні похідні є деякі постійні коефіцієнтиу разі, якщо досліджується система з постійними параметрами. Якщо ж система має змінні параметри, то рівняння (2.4) матиме змінні коефіцієнти. Розглянемо лише випадок постійних коефіцієнтів.

(Слайд 17)

Отримання рівняння (2.4) є метою виконаної лінеаризації. Теоретично автоматичного регулювання прийнято записувати рівняння всіх ланок те щоб у лівої частини рівняння була вихідна величина, проте інші члени переносяться в праву частину. При цьому всі члени рівняння поділяються на коефіцієнт вихідної величини. В результаті рівняння (2.4) набуває вигляду

, (2.5)

де введені такі позначення

(Слайд 18)

Крім того, для зручності прийнято всі диференціальні рівняння записувати в операторній формі з позначками

І т.д.

Тоді диференціальне рівняння (2.5) запишеться як

, (2.6)

Цей запис називатимемо стандартною формою запису рівняння динаміки ланки.

Коефіцієнти Т 1 та Т 2 мають розмірність часу | секунди. Це випливає з того, що всі складові в рівнянні (2.6) повинні мати однакову розмірність, наприклад, розмірність (або p x 2 ) відрізняється від розмірностіх 2 на секунду в мінус першого ступеня (з 1 ). Тому коефіцієнтиТ 1 та Т 2 називають постійними часу.

Коефіцієнт k 1 має розмірність вихідний величини, поділену на розмірність вхідний. Він називаєтьсякоефіцієнтом передачіланки. Для ланок, у яких вихідна і вхідна величини мають однакову розмірність, використовуються також такі терміни: коефіцієнт посилення для ланки, що являє собою підсилювач або має у своєму складі підсилювач; передатне число для редукторів, дільників напруги, масштабуючих пристроїв і т. п.

Коефіцієнт передачі характеризує статичні властивості ланки, оскільки в стані. Отже, він визначає крутість статичної характеристики при малих відхиленнях. Якщо зобразити всю реальну статичну характеристику ланки, лінеаризація дає або. Коефіцієнт передачі k 1 буде тангенс кута нахилу дотичної в тій точці C (див. рис. 2.3), від якої відраховуються малі відхиленнях 1 та х 2 .

З малюнка видно, що лінеаризація рівняння, виконана вище, справедлива для процесів регулювання, що захоплюють таку ділянку характеристики.АВ , на якому дотична мало відрізняється від кривої.

(Слайд 19)

Крім того, звідси випливає інший, графічний спосіблінеаризації. Якщо відома статична характеристика та точка C , Яка визначає стан, у якого відбувається процес регулювання, то коефіцієнт передачі в рівнянні ланки визначається графічно з креслення по залежності k 1 = tg  c з урахуванням масштабів креслення та розмірності x 2 . У багатьох випадкахграфічний метод лінеаризаціївиявляється зручнішим і швидше призводить до мети.

(Слайд 20)

Розмірність коефіцієнта k 2 дорівнює розмірності коефіцієнта передачі k 1 , помноженої на якийсь час. Тому часто рівняння (2.6) записують як

де постійна часу.

Постійні часуТ 1 , Т 2 та Т 3 визначають динамічні властивості ланки. Це питання буде розглянуто докладно нижче.

Коефіцієнт k 3 являє собою коефіцієнт передачі із зовнішнього обурення.

PAGE 1

Інші схожі роботи, які можуть вас зацікавити.
13570.		Лінійні та нелінійні режими лазерного нагрівання	333.34 KB
	Лінійні режими лазерного нагріву Для аналізу лінійних режимів лазерного нагріву розглянемо процеси впливу на напівпростір експоненційно спадаючим з глибиною тепловим джерелом. Тому ідеалізація властивостей теплових джерел, що часто допускається в розрахункових схемах для зменшення математичних труднощів, може призводити до помітних відхилень розрахункових даних від експериментальних. Для непрозорих матеріалів у більшості випадків нагрівання чи джерела тепла можуть вважатися поверхневими коефіцієнт поглинання α 104  105...
16776.		Вимоги до податкової політики держави в умовах кризи	21.72 KB
	Вимоги, що висуваються до податкової політики держави в умовах кризи Для розвитку підприємницької діяльностіу сучасних економічних умовНеобхідна наявність певних умов у тому числі: - Наявність ефективної податкової системи стимулюючої розвиток підприємництва; - Наявність певної сукупності прав і свобод вибір виду господарської діяльностіпланування джерел фінансування доступ до ресурсів організація та управління компанією тощо. Таким чином для поступального розвитку...
7113.		Метод гармонійної лінеаризації	536.48 KB
	Метод гармонійної лінеаризації Оскільки цей метод є наближеним, то отримані результати будуть близькі до істини тільки при виконанні певних припущень: Нелінійна система повинна містити тільки одну нелінійність; Лінійна частина системи повинна являти собою фільтр низьких частот, що послаблює вищі гармоніки, що виникають у граничному циклі; Метод застосовується лише до автономних систем. Вивчається вільний рухсистеми тобто рух при ненульових початкових умовахвідсутність зовнішніх впливів.
12947.		МЕТОД ГАРМОНІЧНОЇ ЛІНЕАРИЗАЦІЇ	338.05 KB
	Переходячи безпосередньо до розгляду методу гармонійної лінеаризації вважатимемо, що досліджувана нелінійна система приведена до виду показаного на. Нелінійний елемент може мати будь-яку характеристику, аби вона була інтегрованою без розривів другого роду. Перетворення цієї змінної для прикладу нелінійним елементом із зоною нечутливості показано на рис.
2637.		Аплікаційні лікарські препарати. Загальна характеристика. Класифікація. Основні вимоги. Технологія нанесення адгезивів на підкладку під час виробництва аплікаційних лікарських препаратів	64.04 KB
	Аплікаційні лікарські засобипластирі мозольні лейкопластири перцеві пластирі шкірні клеї рідкі пластирі плівки ТТС та ін. Загальна характеристикаі класифікація пластирів Пластирі Emplstr лікарська форма для зовнішнього застосування має здатність прилипати до шкіри, що впливає на шкіру підшкірні тканини і в ряді випадків загальний вплив на організм. Пластирі одна з найстаріших лікарських формвідома з дуже давніх часів прабатьки сучасних препаратівчетвертого покоління...
7112.		НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ	940.02 KB
	Фізичні законируху навколишнього світу такі що всі об'єкти управління нелінійні. Інші нелінійності, звані структурними, вводяться в систему навмисно для отримання необхідних характеристик системи. Якщо нелінійності виражені слабо, то поведінка нелінійної системи незначно відрізняється від поведінки лінійної системи. Створити точну модель реальної системинеможливо.
21761.		Загальний пантеон богів стародавньої Месопотамії. Боги стародавнього Шумера	24.7 KB
	Стародавня релігіянародів Месопотамії, незважаючи на власний консерватизм, поступово, в ході суспільного розвитку, зазнавала змін, що відбивають у собі і політичні, і соціально-економічні процеси, що відбуваються на території Месопотамії.
11507.		формування фінансового результату та загальний аналіз фінансово-господарської діяльності організації	193.55 KB
	Для глибшого ознайомлення з діяльністю будь-якого підприємства виникає необхідність у вивченні його з усіх можливих сторін у формуванні найбільш об'єктивної думкияк про позитивні так і негативних сторонаху роботі у виявленні найбільш уразливих місць та способи їх усунення. Для фінансового аналізу використовують спеціальний інструментарій звані фінансові коефіцієнти. Використовуючи необхідну інформаціюоб'єктивно та найбільш точно оцінити фінансовий стан організації його прибутку та збитки зміни...
13462.		Статистичний аналіз ризикових активів. Нелінійні моделі	546.54 KB
	Однак реальні дані для багатьох фінансових часових рядів показують, що лінійні моделіякий завжди адекватно відбивають справжню картину поведінки цін. Якщо мати на увазі розкладання Дуба в якому залучаються умовні математичні очікуванняцілком природним є припущення про те, що умовні розподіли є гауссівськими...
4273.		Лінійні математичні моделі	3.43 KB
	Лінійні математичні моделі. Вище зазначалося, що будь-яка математична модельможе розглядатися як деякий оператор А, який є алгоритмом або визначається сукупністю рівнянь - алгебраїчних...

Обговоримо ще раз вибір масштабу для представлення цих даних графічному вигляді(Див. рис.30). Максимальна мітка °С, що відповідає осі температур Х, дуже непогано укладається на 40 клітинах, що відповідає дуже зручному поділу по 10 клітин на кожних 50°С. А скільки треба додаткових рисок? В цьому випадку пропоную розставити їх через 2 клітини, що додасть простоти визначення координати, так як інтервал між такими ризиками буде відповідати 10°С, що дуже зручно.

А ось на осі Y я розставив ризики через 5 клітин на кожних 500 Ом опору, що призвело до неповному використаннюплощі паперу. Але, поміркуйте самі, якщо розділити вісь по 6 або 7 клітин, було б незручно знаходити координату, а якщо по 8 клітин, то максимальна ризику, що відповідає 2000 Ом, не помістилася б на осі.

Тепер слід обговорити вид теоретичної кривої. Відкриємо методичні вказівкипо виконанню лабораторних робіт на сторінці 28 і знайдемо фомулу 3, що описує залежність опору напівпровідника від темеператури ,

де – ширина забороненої зони; постійна Больцмана, - Деяка константа, що має розмірність опору, і, нарешті, температура, виражена в Кельвінах. Почнемо оформляти нову таблицю. По-перше, температуру переведемо до Кельвінів. По-друге, поставимо собі завдання як намалювати новий графік , а й знайти з допомогою графіка ширину забороненої зони. Для цього прологарифмуємо експоненційну залежність та отримаємо

Позначимо , , та . Тоді отримаємо лінійну залежність,

яку ми і зображатимемо на графіку. Дані, що відповідають значенням та , запишемо в таблицю 9.

Таблиця 9. Перерахунок даних таблиці 8.

номер точки
T, K
1/T, 10 -3 K -1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
ln R, Ом	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Якщо за даними таблиці 9 побудувати графік залежності на рис.31, всі експериментальні точки займуть зовсім небагато місця на аркуші при великому порожньому просторі. Чому так вийшло? Тому що по осях Х і Y мітки розставлені від 0, хоча значення, наприклад, починаються тільки зі значення . Чи обов'язково робити початкову мітку рівну 0? Відповідь це питання залежить від поставлених завдань. У прикладі з маятником Обербека (див. рис.28) було дуже важливо знайти перетин осі Х теоретичної прямої в точці з координатою Y = 0, що відповідало значенню . А в цьому завданні треба знайти тільки ширину забороненої зони, яка пов'язана з постійною , що відповідає коефіцієнту нахилу прямої на рис.31, тому зовсім не обов'язково розставляти мітки на осях, починаючи з 0.

Вивчаючи дані з табл.9 та підбираючи зручний масштаб, можна з упевненістю сказати, що орієнтацію міліметрового паперу потрібно змінити, як показано на рис.32. Самостійно вивчіть обраний масштаб і переконайтеся, що він дуже зручний для роботи з графіком. На теоретичній прямій (проведеній на око найкращим способомміж експериментальними точками) поставимо дві точки А і з координатами і . Коефіцієнт нахилу виразимо через координати цих точок за формулою

І, нарешті, обчислюємо ширину забороненої зони

Методом парних точок розрахуємо той самий коефіцієнт та її похибка , при цьому розглянемо пари точок з таблиці 9:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 та 7–10.

Розрахуємо для цих пар точок коефіцієнти нахилу прямих, які проходять через них

Середнє значення

,

Тепер розрахуємо ширину забороненої зони та її похибку.

Таким чином ми дійшли відповіді

еВ

Самостійна робота.

Пропоную вам зробити самостійні розрахунки, побудови та обробку графіків у наступній віртуальній лабораторної роботипід кодовою назвою"Визначити жорсткість пружини". Але піднімемо планку Експерименту на більш високий рівень: треба не просто отримати число, але порівняти два методи вимірювання жорсткості пружини – статичний та динамічний.

Стисло розглянемо ці методи.

Статичний метод.

Якщо підвісити до закріпленої вертикальної пружини вантаж масою, то пружина розтягнеться згідно із законом Гука, де – довжина розтягнутої пружини, а – довжина нерозтягнутої пружини (початкова довжина).

Примітка: закон Гука свідчить про пропорційність сили пружності пружини абсолютного подовження, тобто. , де - Коефіцієнт пружності (або жорсткість) пружини.

У стані рівноваги сила тяжіння вантажу врівноважується силою пружності і ми можемо написати. Розкриємо дужки та побачимо залежність довжини пружини від маси вантажу

Якщо зробити заміну змінних, то вийде рівняння прямої. Не треба робити лінеарізацію!

Отже, перед вами стоїть завдання обробити дані з таблиці 10, які були занесені туди юним Експериментатором (йому набридло кидати цеглу з даху дев'ятиповерхового будинку). Для дослідів він запасся набором вантажів, знайшов десяток-другий пружин і, підвішуючи вантажі різних мас, заміряв довжину розтягнутої пружини за допомогою міліметрової лінійки.

Завдання 1.

1. Виберіть номер пружини з таблиці 10.

2. Складіть свою таблицю із двох стовпців. У перший стовпець занесіть силу тяжіння , де маса вантажу (в кг), м/с 2 . У другому стовпчику перенесіть значення довжин вибраної пружини (в метрах). Передбачте комірки для середніх значень та .

Таблиця 10

m, г	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Таблиця 10 (продовження)

m, г	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Візьміть аркуш міліметрового паперу, нанесіть на ньому осі координат. Відповідно до даних виберіть оптимальниймасштаб і побудуйте графік залежності сили тяжіння від довжини пружини, відкладаючи значення вздовж осі Х, а величини вздовж осі Y.

4. Складіть 7 пар точок: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парних точок розрахуйте 7 коефіцієнтів нахилу за формулою

І т.д.

5. Знайдіть середнє значення, що відповідає середньому значенню коефіцієнта пружності пружини.

6. Знайдіть середньоквадратичне відхилення , довірчий інтервал , (Бо отримано 7 значень ). Подайте результат у вигляді

Додаткове завдання(Необов'язкове)

7. Розрахуйте початкову довжину пружини. Для цього отримайте вираз для коефіцієнта рівняння рівноваги і підставте в нього середні значення

8. Розрахуйте довірчий інтервал для коефіцієнта

9. Враховуючи, що , розрахуйте початкову довжину пружини та довірчий інтервал для неї

,

Динамічний метод

Підвісимо вантаж маси до закріпленої вертикальної пружини жорсткості і штовхнемо його легенько вниз. Почнуться гармонійні коливання, Період яких дорівнює (див., стор 76). Виразимо масу вантажу через період коливань

Частотні методи, які отримали широке розповсюдженняпри аналізі та синтезі лінійних систем, мають ряд переваг перед іншими методами досліджень: по-перше, простота складання та перетворення структурних схем та передавальних функцій; по-друге, зручність та велика наочність розрахунків за допомогою частотних характеристик. Тому природним було бажання використовувати ці методи щодо нелінійних систем. Це виявилося можливим з урахуванням методу гармонійної лінеаризації нелінійних ланок систем автоматичного управління.

Основи методу гармонійної лінеаризації було викладено у працях видатних російських учених М. М. Крилова і М. М. Боголюбова в 1930-х гг. Надалі ідея цього методу стосовно систем автоматичного управління була розвинена Є. П. Поповим та Л. С. Гольдфарбом.

Цей метод дозволяє досліджувати стійкість нелінійних систем з визначенням параметрів (амплітуда, частота) можливих автоколивань, проводити вибір коригувальних ланцюгів, що забезпечують задані характеристики. При цьому передбачається гармонійний характер коливань у нелінійній системі, що визначає вирішення поставлених завдань у першому наближенні. Однак для систем, лінійна частина яких є фільтром низьких частот, допускається похибка невелика, і вона буде тим меншою, чим вище фільтруючі властивості лінійної частини досліджуваної системи.

Основна ідея методу гармонійної лінеаризації полягає у наступному. Система автоматичного управління представляється у вигляді двох частин – лінійної та нелінійної (рис. 10.12). Нехай передатна функціялінійної частини дорівнює

• --- і рівняння лінійної частини має наступний Пр(р)
• (10.30)

Яр(р) = Х(р) = -Мр(р) ір(р).

і= / * (x),

де Р(х) -задана нелінійна функція.

Нелінійна V

Лінійна

Рис. 10.12. Подання АСУ у вигляді нелінійної та лінійної частини

У формулі (10.31) для простоти покладено, що вихідна координата нелінійної ланки залежить тільки від величини вхідного сигналу і не залежить від його похідних або інтегралів, хоча метод, що розглядається, застосовний і до більш складних нелінійних залежностей, а також до систем з кількома нелінійними ланками.

Ставиться завдання знайти параметрів автоколивань нелінійної системи. Автоколивання у нелінійній системі передбачається синусоїдальними, хоча, строго кажучи, ці коливання мають нелінійний характер. Проте помилка такого припущення, як зазначалося, буде незначною, оскільки лікерна частина системи, що є фільтром низьких частот, придушує коливання з високими частотами. Тому знаходимо автоколивання системи у вигляді синусоїди

х = A sin з/.

При вхідному синусоїдальному сигналі на виході нелінійної ланки з'являться деякі періодичні коливання. Їх можна представити у вигляді нескінченного ряду гармонійних складових

U = F(x) =

З 0 + Z), sin з/ + З, cos з/ + D 2 sin 2со/ + З 2 cos з/ + ..., (10.33)

де З 0 , />, З D 2 , З 2 ,... - Коефіцієнти ряду Фур'є.

Надалі для спрощення вважаємо, що постійна складова на виході нелінійної ланки відсутня. Це означає, що нелінійна характеристика симетрична щодо початку координат та вхідний вплив не містить постійної складової. Враховуючи фільтруючі властивості лінійної частини, можна знехтувати всіма вищими гармонійними складовими ряду Фур'є. Тому приблизно вихідний сигнал нелінійного елемента можна виразити через першу гармоніку ряду (10.33):

U = D. sin з/ + С. cosco/. 1 §

З (10.32) знаходимо:

sin з/ = -; cos зі/ = А

Підставивши (10.35) у (10.34), отримаємо:

З, Ах

Ася сІ

Якщо позначити (2 ((Л)) = -0 2 (Л) =-, то будуть справедливі-

ливи такі вирази:

ОЛА) =

• 0ЛА) =

| /ХЛзіпф^іпфг/ф;

• (10.37)

| / г (Л8ІПф)С08фС/ф,

де ф = СО/.

Рівняння (10.36) в операторній формі набуває вигляду:

і (1р) = 01 (А) Х (р) + Я2Шр.х (р). (10.38)

В результаті проведених перетворень нелінійне рівняння (10.31) замінюється наближеним рівнянням першої гармоніки (10.38), схожим на лінеаризоване рівняння. Відмінність полягає в тому, що коефіцієнти отриманого рівняння не є постійними величинами, а залежать від амплітуди Аі частоти з потрібних властивостей автоколивань.

Така заміна рівнянь називається гармонійною лінеаризацією. Коефіцієнти рівняння (10.38) О^А)і звуться гармонійних коефіцієнтів посилення нелінійної ланки.

Зробимо гармонійну лінеаризацію характеристики нелінійного елемента (рис. 10.13).

Рис. 10.13.

Для цього необхідно знайти вирази для гармонійних коефіцієнтів посилення нелінійної ланки Q(A)і Q 2 (A)(10:37). На рис. 10.14 графічно визначено вид функції F^sincp) при вхідному синусоїдальному сигналі нелінійного елемента x(t) = ylsintp, cp = з/. Отримуємо:

• (2, (А) = - [ F(A sin vp)sin v) )di = кА j 0
• - Г csin ldl = -(-COSV | /) | J *= -- (-cosy 2 + cosy,), кА J до АУ| я A

так як у 2 = я - у 2 то cosy 2 =-cosy, і Q) (A) =-cosy,.

Визначаємо 0 2 (Л):

Таким чином, рівняння (10.38) має наступний вигляд

Використовуючи гармонійну лінеаризацію характеристики нелінійного елемента, можна визначити частоту та амплітуду можливих автоколивань системи.

Після підстановки (10.38) у (10.30) знаходимо рівняння вільних коливаньу замкнутій нелінійній системі:

Про р (р) Х (р) + М р (р) = 0. (10.39)

На підставі (10.39) характеристичне рівняння всієї замкнутої системи матиме вигляд:

• (10.40)

Тепер необхідно знайти періодичне рішення х = / 4 $ тсо / вихідного рівняння (10.39). Періодичне рухв системі можливе тільки в тому випадку, якщо відповідне характеристичне рівняння (10.40) матиме кілька уявних коренів. Для відшукання умов, за яких характеристичне рівняння матиме уявне коріння, можна скористатися будь-яким критерієм стійкості лінійних систем.

Розглянемо критерій стійкості Михайлова. Вираз для кривої Михайлова визначається характеристичним рівняннямсистеми (10.40) при підстановці X = jQ.

»,№) + М/>П)0, (4)+, (10.41)

де П – поточне значення частоти.

Вираз (10.41) можна переписати у вигляді

D(jQ) =і ] (П,а>,А)+ уТ, (П, с, / 1).

Слід зазначити, що амплітуда та частота автоколивань (А,з) входять як параметри рівняння кривої Михайлова. Для того, щоб система вийшла на межу коливальної стійкості, крива Михайлова повинна пройти через початок координат (рис. 10.15).

Відомо, що частота, за якої крива Михайлова пройде через початок координат, визначає частоту незагасаючих коливаньв системі. І тут Q = с.

Таким чином, амплітуда та частота періодичних коливань у нелінійній системі л: = A sin зі tможуть бути визначені при вирішенні системи рівнянь:

?/,(з,/!)-0; (10.43)

Е, (з, а) = 0.

Якщо отримані значення для Аі з речові та позитивні, то це означає, що в досліджуваній системі можливі автоколивання зі знайденими значеннями параметрів. В іншому випадку автоколивання в системі виникнути не можуть.

Після того, як параметри можливих автоколивань будуть визначені, необхідно зробити перевірку на стійкість цього періодичного рішення, тобто з'ясувати, чи сходиться перехідний процес до періодичним коливаннямчи ні (рис. 10.16). Для цього повідомляють системі відхилення від періодичного ре-

Рис. 10.16.а- Рішення сходиться; б- рішення розходиться

шення з амплітуди (А+ А а).Це призведе до відхилення кривої Михайлова від початку координат у той чи інший бік (рис. 10.17). Стійким періодичним коливань відповідає становище 1, а нестійким - становище II деформованої кривої Михайлова. Для стійкості автоколивань необхідно, щоб при АЛ > 0 крива відхилялася положення I, а при АА

До 8А)

де індекс зірочка означає, що приватні похідні, взяті від загальних виразів (10.42), обчислюються під час встановлення параметрів А, О. =з періодичного рішення, що перевіряється. Якщо нерівність (10.44) не виконується, це відповідає нестійкому періодичному рішенню. Умова (10.44) справедлива щодо систем до 4 порядку включно. Для систем більше високого порядкупотрібно переглядати хід всієї кривої Михайлова.

За відсутності автоколивальних режимів поведінка досліджуваної системи може бути різною. В даний час є наближені способи визначення перехідного процесу в нелінійних системах за певних вхідних впливів.

Розглянемо приклад. Для цього скористаємось системою, розглянутою у п. 10.3. На підставі рівнянь (10.21) та (10.23) складається структурна схема досліджуваної системи (рис. 10.18) та визначається передатна функція лінійної частини:

Р(ЧР + 1)

м Р(р)

О р (р) "

			р(Ър+)

Рис. 10.18. Приклад досліджуваної системи

Для характеристики нелінійного елемента (рис. 10.11???) знаходимо вирази для гармонійних коефіцієнтів посилення нелінійної ланки:

Характеристичне рівняння замкнутої системи (10.40) з урахуванням (10.45) та (10.46) має такий вигляд:

Х(Т(до + !) + &,

4СД X- ? -- ??

до А 2 зі

Після підстановки X= вусів (10.47) і поділу дійсної та уявної частин отримуємо рівняння (10.43) для визначення амплітуди та частоти коливань у нелінійній системі:

Рішення отриманих рівнянь щодо Аі дає шукані параметри автоколивань.

Контрольні питання

• 1. Які припущення під час використання методу гармонійної лінеаризації?
• 2. Виконати гармонійну лінеаризацію характеристики нелінійного елемента (рис. 10.7, г)з параметрами Ь = 1,5; з = 5.

Загальний метод лінеаризації

Найчастіше можна лінеаризувати нелінійні залежності, використовуючи метод малих відхилень чи варіацій. Для розгляду цього звернемося до деякому ланці системи автоматичного регулювання (рис. 2.2). Вхідна та вихідна величини позначені через X1 та X2, а зовнішнє обурення – через F(t).

Припустимо, що ланка описується деяким нелінійним диференціальним рівнянням виду

Для складання такого рівняння потрібно використовувати відповідну галузь технічних наук (наприклад електротехніку, механіку, гідравліку тощо), що вивчає цей вид пристрою.

Підставою для лінеаризації є припущення про достатню небагато відхилень всіх змінних, що входять до рівняння динаміки ланки, тому що саме на досить малій ділянці криволінійну характеристику можна замінити відрізком прямої. Відхилення змінних відраховуються при цьому від їх значень у процесі або в певному рівноважному стані системи. Нехай, наприклад, процес, що встановився, характеризується постійним значенням змінної Х1, яке позначимо Х10. У процесі регулювання (рис. 2.3) змінна Х1 матиме значення де позначає відхилення змінної X 1 від значення Х10, що встановилося.

Аналогічні співвідношення вводяться інших змінних. Для даного випадку маємо також .

Усі відхилення передбачаються досить малими. Це математичне припущення не суперечить фізичному змісту завдання, оскільки сама ідея автоматичного регулювання вимагає, щоб усі відхилення регульованої величини у процесі регулювання були досить малими.

Станок ланки, що встановився, визначається значеннями Х10, Х20 і F0. Тоді рівняння (2.1) має бути записано для встановленого стану у вигляді

Розкладемо ліву частину рівняння (2.1) у ряд Тейлора

де D - Члени вищого порядку. Індекс 0 при приватних похідних означає, що після взяття похідної у її вираз треба підставити значення всіх змінних .

До складу членів вищого порядку у формулі (2.3) входять вищі приватні похідні, помножені на квадрати, куби та вищі відхилення, а також твори відхилень. Вони будуть малими вищого порядку порівняно із самими відхиленнями, які є малими першого порядку.

Рівняння (2.3) є рівнянням динаміки ланки, як і (2.1), але записано у інший формі. Відкинемо в даному рівняннімалі вищого порядку, після чого з рівняння (2.3) віднімемо рівняння встановленого стану (2.2). В результаті отримаємо наступне наближене рівняння динаміки ланки в малих відхиленнях

До цього рівняння всі змінні та його похідні входять лінійно, тобто у першому ступені. Усі приватні похідні являють собою деякі постійні коефіцієнти в тому випадку, якщо досліджується система з постійними параметрами. Якщо система має змінні параметри, то рівняння (2.4) матиме змінні коефіцієнти. Розглянемо лише випадок постійних коефіцієнтів.

Загальний метод лінеаризації - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Загальний метод лінеаризації" 2015, 2017-2018.

Лінеаризація є найпоширенішим способом зниження рівня складності ММ і є основою застосування лінійної теорії.

Суть будь-якої лінеаризації полягає в наближеноюзаміні вихідної нелінійної залежності (нелінійності) деякої лінійною залежністювідповідно до певної умови (критерію) еквівалентності. Серед можливих методів найчастіше застосовують метод дотичних(лінеаризація в малій околиці заданої точки). Цей метод не залежить від виду перетворюваних сигналів і може однаково успішно використовуватись для різнихтипів нелінійностей, які можуть бути одновимірними та багатовимірними; безінерційними (статичними) та динамічними.

Безінерційні нелінійностівстановлюють функціональну залежність між значеннями входу u(t) та виходу y(t) в один і той же поточний моментчасу tі можуть задаватися або явно(формулами, графіками, таблицями), або неявно(алгебраїчними рівняннями). на структурних схемахїм відповідають безінерційні(без пам'яті) нелінійні ланки.

Динамічні нелінійностіописуються математично нелінійними диференціальними рівняннями та на структурних схемах їм відповідають нелінійні динамічні ланки. При цьому значення виходу y(t) в даний момент часу tзалежать не тільки від значень входу в цей момент часу, але і від похідних, інтегралів або будь-яких інших значень.

Математичною основоюМетодом дотичних є розкладання нелінійної функції в ряд Тейлора в малій околиці деякої «точки лінеаризації» з подальшим відкиданням нелінійних доданків, що містять ступеня відхилень змінних (прирощень) вище за першу.

Суть методу розглянемо на окремих випадках з наступними узагальненнями.

1) Нехай y= F(u) - явно задана одновимірнабезінерційна нелінійність, гладка і безперервна в околиці деякої точки u=u*. Вважаючи, u=u*+D u;y=y*+D y, де y*=F(u*), запишемо ряд Тейлора для цієї функції у вигляді:

Відкидаючи доданки більш високого порядку малості, і залишаючи тільки доданки, що містять D uу першому ступені, отримаємо наближену рівність

. (2)

Цей вираз приблизно описує взаємозв'язок малихприрощень D yта D uу вигляді лінійноїзалежності і є результатом лінеаризації в даному випадку. Тут Домає геометричний зміст кутового коефіцієнтанахилу дотичної до графіка функції у точці з координатою u=u*.

В разі багатовимірноїнелінійності y=F(u), коли y={y i}, F={F i) та u={u j)– вектори, аналогічно отримаємо, що D y=K D u. Тут K={K ij)- матричний коефіцієнт, елементи якого K ijвизначаються як значення приватних похідних функцій F iза змінними u j, обчислених у «точці» u=u*.

2. Нехай безінерційна нелінійність задана неявноза допомогою алгебраїчного рівняння F(y,u)=0 . Необхідно лінеаризувати цю нелінійність у малій околиці деякого відомого приватного рішення ( u*, y*) у припущенні того, що всі нелінійні функції F iв складі Fбезперервні та диференційовані в цій околиці. Виконавши розкладання цієї вектор-функції в ряд Тейлора і, відкинувши доданки другого та вище порядку малості, отримаємо лінійнерівняння першого наближення:

, (3)

де D y=y–y*; D u=u–u*; - матриці приватних похідних, обчислені у точці лінеаризації.

3. Нехай одновимірна динамічнанелінійність задана диференціальним рівнянням «вхід-вихід» n-го порядку:

F(y, y (1) , …, y (n) , u, u (1) , …u (m))=0. (4)

Лінеарізуємо цю нелінійність методом дотичних у малій околиці відомого приватногорозв'язання цього рівняння y*(t), відповідного заданомувходу u*(t). Похідні за часом відповідних порядків від y*(t) та u*(t) також передбачаються відомими.

Припускаючи функцію Fбезперервно-диференційованої за всіма своїми аргументами і слідуючи розглянутій вище загальною методикою(розкладання в ряд та облік тільки лінійних щодо прирощень аргументів доданків), запишемо лінійнерівняння першого наближення для нелінійного рівняння:

(5)

Тут символ (*) означає, що приватні похідні визначені при значеннях змінних та їх похідних, що відповідають приватному рішенню ( y*(t), u*(t)). У загальному випадкуїх значення (коефіцієнти рівняння) залежатимуть від часу та лінеаризована модель буде нестаціонарною. Але якщо приватне рішення відповідає статичного режиму, то ці коефіцієнти будуть постійними.

Для зручності та стислості запису, введемо такі позначення:

= a i; = -b i; D y (i) =D i D y; D u (i) =D i D u; D=d/dt.

Тоді лінеаризованерівняння (5) запишеться у короткій операторній формі:

A(D)D y(t)=B(D)D u(t),

де A(D) – поліном ступеня nщодо оператора диференціювання D;

B(D) – аналогічний операторний поліном m-ого ступеня.

4. Нехай багатовимірна динамічнанелінійність задана нелінійними рівняннямистану виду

(6)

Аналогічно попереднім випадкам, лінеаризуємо цю нелінійність методом дотичних у малій околиці відомого приватногорішення ( x*, y*), відповідного заданомувходу u*(t). При цьому рівняння першого наближення матимуть такий вигляд:

(7)

де - матриці відповідних розмірів. Їхні елементи в загальному випадку будуть функціями часу, але якщо приватне рішення відповідає статичномурежиму, вони будуть постійні.

Зробимо заключні зауваженняпро застосування методу дотичних при лінеаризації ММ всієї САР, що є сукупністю описів взаємодіючих між собою конструктивних блоків.

1) «опорний режим» (*), щодо якого виконується лінеаризація, розраховується для всієї системи за її повною (нелінійною) ММ. Для розрахунку можуть використовуватись як графічні, так і чисельні (комп'ютерні) методи. При цьому коефіцієнти всіх лінеаризованих рівнянь та функціональних залежностей залежатимуть від вибраних точок лінеаризації;

2) усі нелінійні залежності ММ повинні бути безперервними та безперервно диференційованими (гладкими) в малій околиці режиму (*);

3) відхилення змінних від їх значень в опорному режимі мають бути досить малими; для САР та У ця вимога цілком узгоджується з метою управління – регулюванням значень керованих змінних відповідно до запропонованих законів їх зміни;

4) для лінійних рівняньу складі ММ лінеаризація полягає у формальній заміні всіх змінних на їх відхилення (прирощення);

5) для отримання лінеаризованої ММ всієї системи стандартному виглядіНаприклад, у формі рівнянь стану слід спочатку проводити лінеаризацію кожного з рівнянь у складі ММ. Це буде набагато простіше та швидше, ніж спроба отримання нелінійної ММ системи у стандартному вигляді з подальшою її лінеаризацією;

6) за дотримання всіх умов застосування методу дотичних, властивості лінеаризованої ММ дають об'єктивне уявлення про локальні властивості нелінійної ММ в малої околиціопорного режиму Цей факт має суворе математичне обгрунтування як теорем Ляпунова (перший метод) і є теоретичною базою для практичного застосування лінійної теорії управління.