Знайти вектор він перпендикулярний векторам. Знаходження вектора, перпендикулярного даному вектору, приклади та рішення

Інструкція

Якщо вихідний вектор зображений на кресленні у прямокутній двовимірній системі координат і перпендикулярний йому потрібно побудувати там, виходьте з визначення перпендикулярності векторів на площині. Воно говорить, що кут між такою парою спрямованих відрізків повинен дорівнювати 90°. Таких векторів можна побудувати нескінченне. Тому накресліть у будь-якому зручному місціплощині перпендикуляр до вихідного вектора, відкладіть на ньому відрізок, рівний довжинізаданої впорядкованої пари точок і призначте один із його кінців початком перпендикулярного вектора. Зробіть це за допомогою транспортира та лінійки.

Якщо ж вихідний вектор заданий двовимірними координатами = (X₁;Y₁), виходьте з того, що скалярний твірпари перпендикулярних векторів має дорівнювати нулю. Це означає, що вам потрібно підібрати для шуканого вектора ō = (X₂,Y₂) такі координати, при яких виконуватиметься рівність (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Це можна зробити так: виберіть будь-яке ненульове значення для координати X₂, а координату Y₂ розрахуйте за формулою Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Наприклад, для вектора ? = (15; 5) буде вектор?, з абсцисою, рівної одиниці, і ординатою, що дорівнює -(15 * 1) / 5 = -3, тобто. ? = (1; -3).

Для тривимірної та будь-якої іншої ортогональної системи координат вірна та сама необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів - їх скалярне твір має дорівнювати нулю. Тому, якщо вихідний спрямований відрізок заданий координатами ? + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Найпростіше привласнити X₂ і Y₂ одиничні значення, а Z₂ розрахувати з рівності, що спростилася Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y Z₁. Наприклад, для вектора ā = (3,5,4) ця набуде такого вигляду: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Тоді абсцису та ординату перпендикулярного вектора прийміть за одиницю, а в цьому випадку дорівнюватиме -(3+5)/4 = -2.

Джерела:

• знайти вектор якщо він перпендикулярний

Перпендикулярними називаються вектора, Кут між якими становить 90º. Перпендикулярні вектори будуються за допомогою креслярських інструментів. Якщо відомі їхні координати, то перевірити чи знайти перпендикулярність векторів можна аналітичними методами.

Вам знадобиться

• - транспортир;
• - циркуль;
• - Лінійка.

Інструкція

Побудуйте вектор перпендикулярний даному. Для цього в точці, яка початком вектора, відновіть перпендикуляр. Це можна з допомогою транспортира, відклавши кут 90º. Якщо транспортир немає, зробіть це циркулем.

Встановіть його у точку початку вектора. Проведіть коло довільним радіусом. Потім побудуйте дві з центрами в точках, де перше коло перетнуло пряму, на якій лежить вектор. Радіуси цих кіл повинні бути рівні між собою і більше першого побудованого кола. На точках перетину кіл побудуйте пряму, яка буде перпендикулярна вихідному вектору в точці його початку, і відкладіть на ній вектор, перпендикулярний даному.

Одиничний вектор знаходиться: , де - Векторний модуль.

Відповідь:
.

Примітка.Координати одиничного вектора мають бути не більше одиниці.

6.3. Знайти довжину та напрямні косинуси вектора . Порівняйте з відповіддю у попередньому пункті. Зробіть висновки.

Довжина вектора – це його модуль:

А напрямні косинуси ми можемо знайти за формулою одного із способів завдання векторів:

З отриманого бачимо, що напрямні косинуси і є координати одиничного вектора.

Відповідь:
,
,
,
.

6.4. Знайти
.

Необхідно виконати дії множення вектора на число, додавання та модуль.

Почленно перемножуємо координати векторів на число.

Почленно складаємо координати векторів.

Знаходимо модуль вектора.

Відповідь:

6.5. Визначити координати вектора
, колінеарного вектора знаючи, що
і він спрямований у бік, протилежний вектору .

Вектор колінеарен вектор , отже, його одиничний вектор дорівнює одиничному вектору лише зі знаком мінус, т.к. спрямований у протилежний бік.

Одиничний вектор має довжину рівну 1, отже, якщо його помножити на 5, то його довжина дорівнюватиме п'яти.

Знаходимо

Відповідь:

6.6. Обчислити скалярні твори
і
. Чи перпендикулярні вектори і ,і між собою?

Виконаємо скалярний добуток векторів.

Якщо вектори перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Ми бачимо, що в нашому випадку вектор і перпендикулярні.

Відповідь:
,
вектори не перпендикулярні.

Примітка.Геометричний сенс скалярного твору малозастосовний практично, проте існує. Результат такої дії можна зобразити та обчислити геометрично.

6.7. Знайти роботу, здійснену матеріальною точкоюдо якої прикладена сила
, При переміщенні її з точки B в точку С.

Фізичний зміст скалярного твору – це робота. Вектор сили тут , вектор переміщення – це
. А добуток цих векторів і буде шуканою роботою.

Знаходимо роботу

6.8. Знайти внутрішній кут при вершині A та зовнішній кут при вершині C трикутника ABC .

З визначення, скалярного добутку векторів отримаємо формулу знаходження кута: .

У
внутрішній кут шукатимемо як кут між векторами, що виходять з однієї точки.

Для знаходження зовнішнього кута необхідно поєднувати вектора, таким чином, щоб вони виходили з однієї точки. Малюнок це пояснює.

Варто зауважити, що
, Тільки мають різні початкові координати.

Знаходимо необхідні вектори та кути

Відповідь: внутрішній кут при вершині А = , Зовнішній кут при вершині В = .

6.9. Знайти проекції векторів: і

Згадаймо вектор-орти:
,
,
.

Проекція знаходиться також із скалярного твору

-Проекція bна a.

Раніше отримані нами вектори

,
,

Знаходимо проекцію

Знаходимо другу проекцію

Відповідь:
,

Примітка.Знак мінуса при знаходженні проекції означає те, що проекція опускається не так на сам вектор, а протилежний бік, лінію де лежить цей вектор.

6.10. Обчислити
.

Виконаємо векторний добуток векторів

Знайдемо модуль

Синус кута між векторами знайдемо з визначення векторного твору векторів

Відповідь:
,
,
.

6.11. Знайти площу трикутника ABC та довжину висоти, опушеної з точки С.

Геометричний зміст модуля векторного твору у тому, що це площа паралелограма, утвореного цими векторами. А площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма.

Площу трикутника також можна знайти як добуток висоти, на основу, поділену на два, з цього можна вивести формулу знаходження висоти.

Таким чином, знайдемо висоту

Відповідь:
,
.

6.12. Знайти одиничний вектор, перпендикулярний до векторів. і .

Результатом скалярного твору є вектор, перпендикулярний двом вихідним. А одиничний вектор - це вектор, поділений на його довжину.

Раніше нами було знайдено:

,

Відповідь:
.

6.13. Визначити величину та напрямні косинуси моменту сили
, доданої до А щодо точки С.

Фізичний зміст векторного твору – це момент сили. Наведемо ілюстрацію до цього завдання.

Знаходимо момент сили

Відповідь:
.

6.14. Чи лежать вектори ,і в одній площині? Чи можуть ці вектори утворювати базис простору? Чому? Якщо можуть, розкладіть по цьому базису вектор
.

Щоб перевірити, чи лежать вектора в одній площині необхідно виконати змішане твір цих векторів.

Змішане твір не дорівнює нулю, отже, вектора не лежать в одній площині (не компланарні) і можуть утворювати базис. Розкладемо з цього базису.

Розкладемо по базису, розв'язавши рівняння

Відповідь: Вектори ,і не лежать у одній площині.
.

6.15. Знайти
. Чому дорівнює обсяг піраміди з вершинами A, B, C, D та її висота, опущена з точки A на основу BCD.

Г еометричний зміст змішаного твору у цьому, що це обсяг паралелепіпеда утвореного цими векторами.

Об'єм піраміди в шість разів менше обсягу паралелепіпеда.

Об'єм піраміди, ще можна знайти так:

Отримаємо формулу знаходження висоти

Знаходимо висоту

Відповідь: обсяг = 2.5, висота = .

6.16. Обчислити
і
.

-Над цим завданням пропонуємо вам подумати самим.

-виконаємо твір.

Раніше було отримано

Відповідь:
.

6.17. Обчислити

Виконаємо дії частинами

3)

Підсумовуємо отримані значення

Відповідь:
.

6.18. Знайти вектор
знаючи, що він перпендикулярний векторам і , а його проекція на вектор дорівнює 5.

Розіб'ємо це завдання на дві підзадачі

1) Знайдемо вектор, перпендикулярний до векторів і довільної довжини.

Перпендикулярний вектор отримаємо в результаті векторного твору

Раніше нами було знайдено:

Шуканий вектор відрізняється лише довгою, від отриманого

2) Знайдемо через рівняння

6.19. Знайти вектор
, що задовольняє умовам
,
,
.

Розглянемо детальніше дані умови.

Це система лінійних рівнянь. Складемо і вирішимо цю систему.

Відповідь:

6.20. Визначити координати будь-якого вектора
компланарного з векторами і , і перпендикулярного вектору
.

У даному завданні дві умови: компланарність векторів та перпендикулярність, виконаємо спочатку першу умову, а потім другу.

1) Якщо вектори компланарні, значить їхнє змішане твір дорівнює нулю.

Звідси отримаємо деяку залежність координат вектора

Знайдемо вектор .

2) Якщо вектори перпендикулярні, значить їх скалярний добуток дорівнює нулю

Ми отримали другу залежність координат шуканого вектора

Для будь-якого значення вектор задовольнятиме умовам. Підставимо
.

Відповідь:
.

Аналітична геометрія

Ця стаття розкриває зміст перпендикулярності двох векторів на площині у тривимірному просторі та знаходження координат вектора, перпендикулярному одному або цілій парі векторів. Тема застосовна для завдань, пов'язаних із рівняннями прямих та площин.

Ми розглянемо необхідну і достатню умову перпендикулярності двох векторів, вирішимо за методом знаходження вектора, перпендикулярному заданому, торкнемося ситуації з відшукання вектора, який перпендикулярний двом векторам.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необхідна та достатня умова перпендикулярності двох векторів

Застосуємо правило про перпендикулярні вектори на площині і в тривимірному просторі.

Визначення 1

За умови значення кута між двома ненульовими векторами рівним 90° (π 2 радіан) називають перпендикулярними.

Що це означає, і в яких ситуаціях необхідно знати про їхню перпендикулярність?

Встановлення перпендикулярності можливе через креслення. При відкладанні вектора на площині від заданих точокможна геометрично виміряти кут між ними. Перпендикулярність векторів і буде встановлена, то не зовсім точно. Найчастіше ці завдання не дозволяють робити це за допомогою транспортира, тому даний методзастосовується тільки у випадку, коли нічого більше про вектори невідомо.

Більшість випадків доказу перпендикулярності двох ненульових векторів на площині або у просторі провадиться за допомогою необхідної та достатньої умови перпендикулярності двох векторів.

Теорема 1

Скалярне добуток двох ненульових векторів a → і b → рівному нулю до виконання рівності a → , b → = 0 досить їх перпендикулярності.

Доказ 1

Нехай задані вектори a → і b → перпендикулярні, виконаємо доказ рівності a ⇀ , b → = 0 .

З визначення про скалярний добуток векторівми знаємо, що воно дорівнює добутку довжин заданих векторів на косинус кута між ними. За умовою a → і b → перпендикулярні, отже, виходячи з визначення, кут між ними 90 ° . Тоді маємо a → , b → = a → b → cos (a → b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Друга частина доказу

За умови, коли a ⇀ , b → = 0 довести перпендикулярність a → та b → .

По суті, доказ є зворотним попередньому. Відомо, що a → та b → ненульові, отже, з рівності a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ знайдемо косинус. Тоді отримаємо cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → b → = 0 a b b = 0 . Оскільки косинус дорівнює нулю, можемо дійти невтішного висновку, що кут a → , b → ^ векторів a → і b → дорівнює 90 ° . За визначенням це і є необхідна та достатня властивість.

Умови перпендикулярності на координатній площині

Розділ скалярного твору в координатахдемонструє нерівність (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , справедлива для векторів з координатами a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) , на площині та (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторів a → = (a x , a y , a z) та b → = (b x , b y , b z) у просторі. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності двох векторів координатної площинимає вигляд a x · b x + a y · b y = 0 для тривимірного простору a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Застосуємо на практиці та розглянемо на прикладах.

Приклад 1

Перевірити властивість перпендикулярності двох векторів a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4).

Рішення

Для вирішення цього завдання необхідно знайти скалярне твір. Якщо за умовою воно дорівнюватиме нулю, значить, вони перпендикулярні.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Умова виконана, отже, задані вектори перпендикулярні площині.

Відповідь:так, задані вектори a → та b → перпендикулярні.

Приклад 2

Дано координатні вектори i → , j → , k → . Перевірити, чи вектори i → - j → та i → + 2 · j → + 2 · k → бути перпендикулярними.

Рішення

Щоб згадати, як визначаються координати вектора, потрібно прочитати статтю про координати вектора прямокутної системикоординат.Таким чином отримуємо, що задані вектори i → - j → і i → + 2 · j → + 2 · k → є відповідні координати (1 , - 1 , 0) і (1 , 2 , 2) . Підставляємо числові значенняі отримуємо: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (-1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Вираз не дорівнює нулю (i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j →) ≠ 0 , а це означає, що вектори i → - j → та i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярні, оскільки умова не виконалася.

Відповідь:ні, вектори i → - j → та i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярні.

Приклад 3

Дано вектори a → = (1 , 0 , - 2) і b → = (λ , 5 , 1) . Знайти значення λ , у якому дані вектори перпендикулярні.

Рішення

Використовуємо умову перпендикулярності двох векторів у просторі квадратній формітоді отримаємо

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + (-2) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Відповідь:вектори перпендикулярні при значенні = 2 .

Є випадки, коли питання про перпендикулярність неможливе навіть за необхідного і достатню умову. При відомих даних про три сторони трикутника на двох векторах, можливо, знайти кут між векторамита перевірити його.

Приклад 4

Даний трикутник АВС зі сторонами АВ = 8, АС = 6, ВС = 10 см. перевірити на перпендикулярність вектори A B → і A C →.

Рішення

При перпендикулярності векторів A B → та A C → трикутник A B C вважається прямокутним. Тоді застосуємо теорему Піфагора, де ВС – гіпотенуза трикутника. Рівність B C 2 = A B 2 + A C 2 має виконатися. Звідси випливає, що 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Отже, АВ і АС є катетами трикутника АВС, отже, A B → і A C → перпендикулярні.

Важливо навчитися знаходити координати вектора, перпендикулярного заданому. Це можливо як у площині, і у просторі за умови перпендикулярності векторів.

Знаходження вектора, перпендикулярного даному у площині.

Ненульовий вектор a → може мати безліч перпендикулярних векторів на площині. Зобразимо це на координатній прямій.

Вказано ненульовий вектор a → , що лежить на прямій а. Тоді заданий b → , розташований на будь-якій прямій, перпендикулярній до прямої а, стає перпендикулярним і a → . Якщо вектору i → перпендикулярний вектор j → або будь-який із векторів λ · j → при λ дорівнює будь-якому дійсному числукрім нуля, то знаходження координат вектора b → , перпендикулярному a = (a x , a y) , зводиться до нескінченної безлічі рішень. Але необхідно знайти координати вектора, перпендикулярного a = (a x , a y) . Для цього необхідно записати умову перпендикулярності векторів у такій формі a x · b x + a y · b y = 0 . Маємо b x і b y , які є шуканими координатами перпендикулярного вектора. Коли a x ≠ 0 значення b y є ненульовим, а b x обчислимо з нерівності a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . При a x = 0 і a y ≠ 0 присвоюємо b x будь-яке значення крім нуля, а b y знаходимо з виразу b y = - a x · b x a y .

Приклад 5

Даний вектор з координатами a → = (-2, 2). Знайти перпендикулярний даному вектору.

Рішення

Позначимо шуканий вектор як b → (b x , b y). Знайти його координати можна за умови перпендикулярності векторів a → та b → . Тоді отримаємо: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Привласним b y = 1 і підставимо: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Звідси з формули отримаємо b x = - 2 - 2 = 12. Отже вектор b → = (1 2 , 1) є вектором, перпендикулярним a → .

Відповідь: b → = (1 2 , 1) .

Якщо порушується питання тривимірному просторі, завдання вирішується за тим самим принципом. При заданому векторі a → = (a x , a y , a z) існує нескінченна безлічперпендикулярні вектори. Зафіксує це на координатній тривимірної площини. Дано a → , що лежить на прямій a . Перпендикулярну пряму a площину позначаємо α . У цьому випадку будь-який ненульовий вектор b → із площини α перпендикулярний a → .

Необхідно знайти координати b → , перпендикулярного до ненульового вектора a → = (a x , a y , a z) .

Нехай заданий b → з координатами b x , b y b z . Щоб знайти їх, необхідно застосувати визначення умов перпендикулярності двох векторів. Рівність a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 має виконуватися. З умови a → - ненульовий, отже, одна з координат має значення, що не дорівнює нулю. Припустимо, що a x ≠ 0 (a y ≠ 0 або a z ≠ 0). Отже, маємо право розділити на цю координату всю нерівність a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0, отримаємо вираз b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Надає координатам b y і b x будь-яке значення, обчислюємо значення b x , виходячи з формули, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Шуканий перпендикулярний вектор матиме значення a → = (a x , a y , a z) .

Розглянемо підтвердження з прикладу.

Приклад 6

Дано вектор з координатами a → = (1, 2, 3)   . Знайти вектор, перпендикулярний даному.

Рішення

Позначимо шуканий вектор за b → = (b x , b y , b z). Виходячи з умови про перпендикулярність векторів, скалярний твір має дорівнювати нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 · 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = - (2 · b y + 3 · b z)

Якщо значення b y = 1, b z = 1, тоді b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Звідси випливає, що координати вектора b → (- 5, 1, 1). Вектор b → є одним із перпендикулярних векторів заданому.

Відповідь: b → = (- 5, 1, 1).

Знаходження координат вектора, перпендикулярного двом заданим векторам

Потрібно знайти координати вектора у тривимірному просторі. Він перпендикулярний не коллінеаренним векторам a → (a x , a y , a z) і b → = (b x , b y , b z) . За умови колінеарності векторів a → та b → у задачі достатньо буде знайти вектор, перпендикулярний a → або b → .

За рішенням застосовується поняття векторного твору векторів.

Векторні твори векторів a → і b → називають вектор, одночасно перпендикулярний і a → b → . Для розв'язання цієї задачі застосовується векторний добуток a → × b → . Для тривимірного простору має вигляд → → → → → → → → → → →

Розберемо детальніше векторний добуток на прикладі задачі.

Приклад 7

Задані вектори b → = (0, 2, 3) та a → = (2, 1, 0). Знайти координати будь-якого перпендикулярного вектора даним одночасно.

Рішення

Для вирішення необхідно знайти векторне твір векторів. (Необхідно звернутись до пункту обчислення визначника матрицідля знаходження вектора). Отримаємо:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 - k → · 1 · 0 - j → · 2 · 3 - i → · 0 · 2 = 3 · i → + (- 6) · j → + 4 · k →

Відповідь: (3 , - 6 , 4) - координати вектора, одночасно перпендикулярного заданим a → та b → .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У розділі питання знайти вектор, перпендикулярний двом заданим векторамзаданий автором Anna Afanasyevaнайкраща відповідь це Вектор, перпендикулярний двом паралельним векторамзнаходиться як їхній векторний твір ахв, щоб його знайти потрібно скласти визначник, перший рядок якого складатиметься з одиничних векторів I,j,k, друга-з координат вектора а, третя координат вектора в. Вважається визначник розкладанням по першому рядку, у Вашому випадку вийде ахв=20i-10k, або ахв=(20,0,-10).

Відповідь від 22 відповіді[гуру]

Вітання! Ось добірка тем із відповідями на Ваше запитання: знайти вектор, перпендикулярний двом заданим векторам

Відповідь від Простерти[Новичок]
Вектор, перпендикулярний двом не паралельним векторам знаходиться як їхній векторний твір ахв, щоб його знайти потрібно скласти визначник, перший рядок якого складатиметься з одиничних векторів I,j,k, друга-з координат вектора а, третя координат вектора в. Вважається визначник розкладанням по першому рядку, у Вашому випадку вийде ахв=20i-10k, або ахв=(20,0,-10).

Відповідь від ЇЙКА[гуру]
Приблизно вирішуй так; Але спочатку сама прочитай все!! !
Обчисліть скалярний добуток векторів d і r, якщо d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Модуль вектора a дорівнює 4, модуль вектора b дорівнює 6. Кут між векторами a і b дорівнює 60 градусів, вектор перпендикулярний векторам a і b.
Точки Е та F лежать відповідно на сторонах AD та BC паралелограма ABCD, причому AE=ED, BF: FC = 4: 3. а) Виразіть вектор EF через вектори m = вектору AB та вектор n = вектору AD. б) Чи може при якомусь значенні x виконуватися рівність вектор EF = x помножити на вектор CD. .

ом. Для цього спочатку запровадимо поняття відрізка.

Визначення 1

Відрізком називатимемо таку частину прямої, яка обмежена точками з двох сторін.

Визначення 2

Кінцями відрізка називатимемо точки, що його обмежують.

Для введення визначення вектора один із кінців відрізка назвемо його початком.

Визначення 3

Вектором (спрямованим відрізком) називатимемо такий відрізок, у якого позначено, яка гранична точка його початок, а яка є його кінцем.

Позначення: \overline(AB) - вектор AB має початок у точці A , а кінець у точці B .

Інакше однією маленькою літерою: \overline(a) (рис. 1).

Визначення 4

Нульовим вектором називатимемо будь-яку точку, яка належить площині.

Позначення: \overline(0) .

Введемо тепер, безпосередньо, визначення колінеарних векторів.

Також введемо визначення скалярного твору, який буде нам необхідний далі.

Визначення 6

Скалярним твором двох даних векторів називатимемо такий скаляр (або число), який дорівнює добутку довжин цих двох векторів з косинусом кута між даними векторами.

Математично це може виглядати так:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Скалярний твір також можна знайти за допомогою векторних координат наступним чином

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Ознака перпендикулярності через пропорційність

Теорема 1

Щоб ненульові вектори були перпендикулярні між собою, необхідно і достатньо, щоб їхній скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю.

Доведення.

Необхідність: Нехай нам дано вектори \overline(α) і \overline(β) , які мають координати (α_1,α_2,α_3) і (β_1,β_2,β_3) відповідно, причому вони перпендикулярні один одному. Тоді нам потрібно довести таку рівність

Оскільки вектори \overline(α) і \overline(β) перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90^0 . Знайдемо скалярний добуток даних векторів за формулою з визначення 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Достатність: Нехай вірна рівність \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Доведемо, що вектори \overline(α) та \overline(β) будуть перпендикулярні один одному.

За визначенням 6, буде вірна рівність

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Отже, вектори \overline(α) і \overline(β) будуть перпендикулярні один одному.

Теорему доведено.

Приклад 1

Довести, що вектори з координатами (1,-5,2) та (2,1,3/2) перпендикулярні.

Доведення.

Знайдемо скалярний добуток для цих векторів через формулу, дану вище

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Отже, теорема 1, ці вектор перпендикулярні.

Знаходження перпендикулярного вектора до двох даних векторів через векторний твір

Введемо спочатку поняття векторного твору.

Визначення 7

Векторним твором двох векторів будемо називати такий вектор, який буде перпендикулярний обом даним векторам, і його довжина дорівнюватиме добутку довжин цих векторів з синусом кута між даними векторами, а також цей вектор з двома початковими мають ту ж орієнтацію, як і декартова системакоординат.

Позначення: \overline(α)х\overline(β) х.

Щоб знайти векторний твір, користуватимемося формулою

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) х

Оскільки вектор векторного твору двох векторів перпендикулярний обом цим векторам, він і буде позовом вектором. Тобто, щоб визначити перпендикулярний для двох векторів вектор, необхідно легко визначити їх векторний твір.

Приклад 2

Знайти вектор, перпендикулярний векторам з координатами \overline(α)=(1,2,3) і \overline(β)=(-1,0,3)

Знайдемо векторний добуток даних векторів.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) х