Розглянемо рух деякої системи матеріальних томен щодо нерухомої системи координат Коли система невільна, її можна розглядати як вільну, якщо відкинути накладені на систему зв'язку і замінити їх дію відповідними реакціями.

Розіб'ємо всі сили, прикладені до системи, на зовнішні та внутрішні; в ті та інші можуть входити реакції відкинутих

зв'язків. Через і позначимо головний вектор і головний моментзовнішніх сил щодо точки А.

1. Теорема про зміну кількості руху.Якщо - кількість руху системи, то (див.)

т. е. справедлива теорема: похідна за часом кількості руху системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил.

Замінюючи вектор через його вираз де - маса-системи - швидкість центру мас, рівняння (4.1) можна надати іншу форму:

Ця рівність означає, що центр мас системи рухається, як матеріальна точкащ маса якої дорівнює масі системи і до якої прикладена сила, геометрично рівна головному вектору всіх зовнішніх сил системи. Останнє твердження називають теоремою про рух центру мас (центру інерції) системи.

Якщо з (4.1) випливає, що вектор кількості руху постійний за величиною і напрямом. Проектуючи його на осі координат, отримаємо три скалярні перші інтеграли, диференціальні рівняння дзвнзкепня системи:

Ці інтеграли носять назву інтегралів кількості руху. При швидкість центру мас постійна, тобто рухається рівномірно і прямолінійно.

Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на якусь одну вісь, наприклад, на вісь дорівнює нулю, то маємо один перший інтеграл або якщо ж рівні нулю» дві проекції головного вектора, то існує два інтеграли кількості руху.

2. Теорема про зміну кінетичного моменту.Нехай А – деяка довільна точкапростору (яка рухається або нерухома), яка не обов'язково збігається з будь-якою певною матеріальною точкою системи під час руху. Її швидкість у нерухомій спстемі координат позначимо через Теорему про зміну кінетичного моменту матеріальної системищодо точки А має вигляд

Якщо точка А нерухома, то й рівність (4.3) набуває більш простого вигляду:

Ця рівність виражає теорему про пзмепении кінетичного моменту системи щодо нерухомої точки: похідна за часом від кінетичного моменту системи, обчисленого відносно деякої нерухомої точки, дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил щодо цієї точки.

Якщо згідно (4.4) вектор кінетичного моменту постійний за величиною і напрямом. Проектуючи його на осі координат, отримаємо перші скалярні інтеграли диференціальних рівнянь двпжеиия системи:

Ці інтеграли займають назву інтегралів кінетичного моменту або інтегралів площ.

Якщо точка А збігається з центром мас системи, то перше доданок у правій частині рівності (4.3) звертається в нуль і теорема про зміну кінетичного моменту має ту ж форму запису (4.4), що і у разі нерухомої точки А. Зазначимо (див. п. 4 § 3), що в даному випадку абсолютний кінетичний момент системи в лівій частині рівності (4.4) може бути замінений рівний йому кінетичний момент системи в її русі щодо центру мас.

Нехай - деяка незмінна вісь або вісь постійного напрямку, що проходить через центр мас системи, а - кінетичний момент системи щодо цієї осі. З (4.4) випливає, що

де - момент зовнішніх сил щодо осі. Якщо під час руху то маємо перший інтеграл

У роботах С. А. Чаплигіна отримано кілька узагальнень теореми про зміну кінетичного моменту, які потім застосовані при вирішенні низки завдань про кочення куль. Подальші узагальнення теореми про зміну концептуального моменту та їх застосування в завданнях динаміки твердого тіла містяться в роботах. Основні результати цих робіт пов'язані з теоремою про зміну кінетичного моменту щодо рухомої , що постійно проходить через деяку точку А . одиничний вектор, спрямований уздовж цієї осі. Помноживши скалярно на обидві частини рівності (4.3) і додавши до його обох частин доданок одержимо

При виконанні кінематичної умови

з (4.7) випливає рівняння (4.5). І якщо весь час руху і виконується умова (4.8), існує перший інтеграл (4.6).

Якщо зв'язки системи ідеальні і допускають серед віртуальних переміщень обертання системи як твердого тіла навколо осі і, то головний момент реакцій щодо осі і дорівнює нулю , і тоді величина у правій частині рівняння (4.5) являє собою головний момент всіх зовнішніх активних силщодо осі в. Рівність нулю цього моменту та здійсненність співвідношення (4.8) будуть у розглянутому випадку достатніми умовамидля існування інтегралу (4.6).

Якщо напрямок осі і незмінна то умова (4.8) запишеться у вигляді

Ця рівність означає, що проекції швидкості центру мас та швидкості точки А осі та на площину, перпендикулярну до цієї є паралельними. У роботі С. А. Чаплигіна замість (4.9) потрібно виконання менш загальної умовиде X - довільна стала величина.

Зауважимо, що умова (4.8) залежить від вибору точки на . Справді, нехай Р-довільна точка на осі. Тоді

і, отже,

На закінчення відзначимо геометричну інтерпретацію Резалю рівнянь (4.1) та (4.4): вектори абсолютних швидкостейкінців векторів і рівні відповідно до головного вектора і головного моменту всіх зовнішніх сил щодо точки А.

Використання ОЗМС під час вирішення завдань пов'язані з певними труднощами. Тому зазвичай встановлюють додаткові співвідношення між характеристиками руху та сил, які зручніші для практичного застосування. Такими співвідношеннями є загальні теореми динаміки.Вони, будучи наслідками ОЗМС, встановлюють залежності між швидкістю зміни деяких спеціально введених заходів руху та характеристиками зовнішніх сил.

Теорема про зміну кількості руху. Введемо поняття вектора кількості руху (Р. Декарт) матеріальної точки (рис. 3.4):

Я і = т V г (3.9)

Рис. 3.4.

Для системи вводимо поняття головного вектора кількості руху системияк геометричної суми:

Q = Y, m "V r

Відповідно до ОЗМС: Хю,-^=я) , або X

R(E).

З урахуванням того /w, = const отримаємо: -Ym,! R (E) ,

або в остаточному вигляді

дО/ді = А (Е (3.11)

тобто. перша похідна часу головного вектора кількості руху системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил.

Теорема про рух центру мас. Центром мас системиназивають геометричну точку, положення якої залежить від т,і. від розподілу мас /г/, у системі та визначається виразом радіуса-вектора центру мас (рис. 3.5):

де г з -радіус-вектор центру мас.

Рис. 3.5.

Назвемо = т із масою системи.Після множення вираз-

ня (3.12) на знаменник та диференціювання обох частин напів-

цінної рівності матимемо: г с т с = ^т.у. = 0, або 0 = т з У с.

Таким чином, головний вектор кількості руху системи дорівнює творумаси системи та швидкості центру мас. Використовуючи теорему про зміну кількості руху (3.11), отримаємо:

т з дУ з /ді = А (Е) ,або

Формула (3.13) висловлює теорему про рух центру мас: центр мас системи рухається як матеріальна точка, що має масу системи, на яку діє головний вектор зовнішніх сил.

Теорема про зміну моменту кількості руху. Введемо поняття моменту кількості руху матеріальної точки як векторний добуток її радіуса-вектора та кількості руху:

до о, = блх т, У, (3.14)

де до ОІ -момент кількості руху матеріальної точки щодо нерухомої точки Про(Рис. 3.6).

Тепер визначимо момент кількості руху механічної системияк геометричну суму:

К() = X ко, = ЩУ, ? О-15>

Продиференціювавши (3.15), отримаємо:

Ґ сік--- х т і У. + г юх т і

Враховуючи що = У Г У іх т і У і= 0, та формулу (3.2), отримаємо:

сіК а /с1ї - ї 0 .

На підставі другого виразу (3.6) остаточно будемо мати теорему про зміну моменту кількості руху системи:

Перша похідна за часом від моменту кількості руху механічної системи щодо нерухомого центру дорівнює головному моменту зовнішніх сил, що діють на цю систему, щодо того ж центру.

При виведенні співвідношення (3.16) передбачалося, що Про- Нерухлива точка. Однак можна показати, що і в інших випадках вид співвідношення (3.16) не зміниться, зокрема, якщо при плоскому русі моментну точку вибрати в центрі мас, миттєвому центрі швидкостей або прискорень. Крім цього, якщо точка Прозбігається з матеріальною точкою, що рухається, рівність (3.16), записана для цієї точки звернеться в тотожність 0 = 0.

Теорема про зміну кінетичної енергії. При русі механічної системи змінюється як «зовнішня», і внутрішня енергіясистеми. Якщо характеристики внутрішніх сил, головний вектор та головний момент, не позначаються на зміні головного вектора та головного моменту кількості прискорень, то внутрішні сили можуть входити до оцінки процесів енергетичного станусистеми.Тому при розгляді змін енергії системи доводиться розглядати рухи окремих точок, до яких додано також внутрішні сили.

Кінетичну енергію матеріальної точки визначають як величину

Т^туЦг. (3.17)

Кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок системи:

Зауважимо, що Т > 0.

Визначимо потужність сили, як скалярний добуток вектора сили на вектор швидкості:

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРОДОВОЛЬСТВА РЕСПУБЛІКИ БІЛОРУСЬ

Установа освіти «БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ

ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ"

Кафедра теоретичної механіки та теорії механізмів та машин

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

методичного комплексу для студентів групи спеціальностей

74 06 Агроінженери я

У 2-х частинах Частина 1

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7 Т 33

Укладачі:

кандидат фізико-математичних наук, доцентЮ. С. Біза, кандидат технічних наук, ДоцентН. Л. Ракова, старший викладачІ. О. Тарасович

Рецензенти:

кафедра теоретичної механіки Установи освіти «Білоруський національний технічний університет»(завідувач

кафедрою теоретичної механіки БНТУ доктор фізико-математичних наук, професор. В. Чигарьов);

провідний науковий співробітник лабораторії «Віброзахист механічних систем» ДНУ «Об'єднаний інститут машинобудування

НАН Білорусі», кандидат технічних наук, доцент О. М. Гоман

Теоретична механіка. Розділ «Динаміка»: навчально-

Т33 метод. комплекс. У 2-х ч. Ч. 1 / Уклад: Ю. С. Біза, Н. Л. Ракова, І. А. Тарасевич. - Мінськ: БДАТУ, 2013. - 120 с.

ISBN 978-985-519-616-8.

У навчально-методичному комплексіпредставлені матеріали щодо вивчення розділу «Динаміка», частина 1, що входить до складу дисципліни «Теоретична механіка». Включає курс лекцій, основні матеріали щодо виконання практичних занять, завдання та зразки виконання завдань для самостійної роботи та контролю навчальної діяльностістудентів очної та заочної формнавчання.

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7

ВСТУП................................................. .........................................
1. НАУКОВО-ТЕОРЕТИЧНИЙ ЗМІСТ НАВЧАЛЬНО-
МЕТОДИЧНОГО КОМПЛЕКСУ................................................ ..
1.1. Глосарій................................................. ................................
1.2. Теми лекцій та їх зміст............................................. ..
Глава 1. Введення у динаміку. Основні поняття
класичної механіки................................................ ....................
Тема 1. Динаміка матеріальної точки...........................................
1.1. Закони динаміки матеріальної точки
(закони Галілея – Ньютона) ............................................ ..........
1.2. Диференціальні рівняння руху
1.3. Дві основні завдання динаміки..........................................
Тема 2. Динаміка відносного руху
матеріальної точки................................................ ..........................
Питання для повторення............................................... .............
Тема 3. Динаміка механічної системи.
3.1. Геометрія мас. Центр мас механічної системи......
3.2. Внутрішні сили................................................ ..................
Питання для повторення............................................... .............
Тема 4. Моменти інерції твердого тіла.
4.1. Моменти інерції твердого тіла
щодо осі та полюса.............................................. .....
4.2. Теорема про моменти інерції твердого тіла
щодо паралельних осей
(теорема Гюйгенса - Штейнера) ............................................ ....
4.3. Відцентрові моменти інерції.......................................
Питання для повторення............................................... ............
Розділ 2. Загальні теоремидинаміки матеріальної точки

Тема 5. Теорема про рух центру мас системи.......................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 6. Кількість руху матеріальної точки
та механічної системи............................................... ...................
6.1. Кількість руху матеріальної точки 43
6.2. Імпульс сили................................................ .......................
6.3. Теорема про зміну кількості руху
матеріальної точки................................................ ....................
6.4. Теорема про зміну головного вектора
кількості руху механічної системи..........................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 7. Момент кількості руху матеріальної точки
та механічної системи щодо центру та осі..................
7.1. Момент кількості руху матеріальної точки
щодо центру та осі.............................................. ...........
7.2. Теорема про зміну моменту кількості руху
матеріальної точки щодо центру та осі......................
7.3. Теорема про зміну кінетичного моменту
механічної системи щодо центру та осі.................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 8. Робота та потужність сил........................................... ............
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 9. Кінетична енергія матеріальної точки
та механічної системи............................................... ...................
9.1. Кінетична енергія матеріальної точки
та механічної системи. Теорема Кеніга...............................
9.2. Кінетична енергія твердого тіла
при різному русі............................................... .............
9.3. Теорема про зміну кінетичної енергії
матеріальної точки................................................ ....................

9.4. Теорема про зміну кінетичної енергії
механічної системи................................................ ................
Питання для повторення............................................... .............
Завдання для самостійного вивчення ....................................
Тема 10. Потенційне силове поле
і потенційна енергія............................................... ..................
Питання для повторення............................................... .............
Тема 11. Динаміка твердого тіла............................................ .......
Питання для повторення............................................... .............
2. МАТЕРІАЛИ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ КОНТРОЛЮ
ПО МОДУЛЮ................................................ ...................................
САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ.........................
4. ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНИХ
РОБОТ ДЛЯ CТУДЕНТІВ ОЧНОЇ ТА ЗАОЧНОЇ
ФОРМ НАВЧАННЯ................................................ ........................
5. ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ
ДО ЕКЗАМЕНУ (ЗАЛІКУ) СТУДЕНТІВ
ОЧНИЙ І ЗАТОВНИЙ ФОРМ НАВЧАННЯ.
6. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.............................................. ............

ВСТУП

Теоретична механіка – наука про загальні закони механічного руху, рівноваги та взаємодії матеріальних тіл.

Це одна з фундаментальних загальнонаукових фізико-математичних дисциплін. Вона є теоретичною основою сучасної техніки.

Вивчення теоретичної механіки, поряд з іншими фізикоматематичними дисциплінами, сприяє розширенню наукового кругозору, формує здібності до конкретного та абстрактного мисленнята сприяє підвищенню загальної технічної культури майбутнього фахівця.

Теоретична механіка, будучи науковою базою всіх технічних дисциплін, сприяє розвитку навичок раціональних рішень інженерних завдань, пов'язаних з експлуатацією, ремонтом та конструюванням сільськогосподарських та меліоративних машин та обладнання.

За характером завдань механіку поділяють на статику, кінематику і динаміку. Динаміка – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл під впливом прикладених сил.

У навчально-методичномукомплексі (УМК) представлені матеріали щодо вивчення розділу «Динаміка», який включає курс лекцій, основні матеріали для проведення практичних робіт, завдання та зразки виконання для самостійних робітта контролю навчальної діяльності студентів очної та заочної форм навчання.

У в результаті вивчення розділу «Динаміка» студент повинен засвоїти теоретичні основидинаміки та оволодіти основними методами вирішення задач динаміки:

Знати методи розв'язання задач динаміки, загальні теореми динаміки, принципи механіки;

Вміти визначати закони руху тіла залежно від сил, що діють на нього; застосовувати закони та теореми механіки для вирішення завдань; визначати статичні та динамічні реакції зв'язків, що обмежують рух тіл.

Навчальною програмою дисципліни "Теоретична механіка" передбачено Загальна кількістьаудиторного годинника – 136, у т. ч. на вивчення розділу «Динаміка» – 36 годин.

1. НАУКОВО-ТЕОРЕТИЧНИЙ ЗМІСТ НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНОГО КОМПЛЕКСУ

1.1. Глосарій

Статика - розділ механіки, в якому викладається загальне вчення про сили, вивчається приведення складних системсил до найпростішого вигляду та встановлюються умови рівноваги різних системсил.

Кінематика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчають рух матеріальних об'єктів незалежно від причин, що викликають цей рух, тобто незалежно від сил, які діють ці об'єкти.

Динаміка – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл (крапок) під впливом прикладених сил.

Матеріальна точка– матеріальне тіло, відмінність у русі точок якого є несуттєвим.

Маса тіла - це скалярна позитивна величина, яка залежить від кількості речовини, що міститься в даному тілі, і визначає його міру інертності при поступальному русі.

Система відліку – система координат, що з тілом, стосовно якого вивчається рух іншого тіла.

Інерційна система- Система, в якій виконуються перший та другий закони динаміки.

Імпульс сили – векторний захід дії сили протягом деякого часу.

Кількість руху матеріальної точки - Векторна міра її руху, рівна добуткумаси точки на вектор швидкості.

Кінетична енергія- Скалярна мірамеханічного руху.

Елементарна робота сили- Це нескінченно мала скалярна величина, рівна скалярному творувектор сили на вектор нескінченного малого переміщення точки додатка сили.

Кінетична енергія- Скалярна міра механічного руху.

Кінетична енергія матеріальної точки - скалярна по-

позитивна величина, що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості.

Кінетична енергія механічної системи - арифметика.

тична сума кінетичних енергій усіх матеріальних точок цієї системи.

Сила – міра механічної взаємодії тіл, що характеризує його інтенсивність та спрямованість.

1.2. Теми лекцій та їх зміст

Розділ 1. Введення у динаміку. Основні поняття

класичної механіки

Тема 1. Динаміка матеріальної точки

Закони динаміки матеріальної точки (закони Галілея – Ньютона). Диференціальні рівняння руху матеріальної точки. Два основні завдання динаміки для матеріальної точки. Розв'язання другого завдання динаміки; постійні інтегрування та їх визначення за початковими умовами.

Література:, стор 180-196, , стор 12-26.

Тема 2. Динаміка відносного руху матеріального

Відносний рух матеріальної точки. диференціальні рівняння відносного руху точки; переносна та коріолісова сили інерції. Принцип відносності у класичній механіці. Випадок відносного спокою.

Література: , стор 180-196, , стор 127-155.

Тема 3. Геометрія мас. Центр мас механічної системи

Маса системи. Центр мас системи та її координати.

Література: , стор 86-93, стор 264-265

Тема 4. Моменти інерції твердого тіла

Моменти інерції твердого тіла щодо осі та полюса. Радіус інерції. Теорема про моменти інерції щодо паралельних осей. Осьові моменти інерції деяких тіл.

Відцентрові моменти інерції як характеристика асиметрії тіла.

Література: , стор 265-271, , стор 155-173.

Розділ 2. Загальні теореми динаміки матеріальної точки

та механічної системи

Тема 5. Теорема про рух центру мас системи

Теорема про рух центру мас системи. Наслідки з теореми про рух центру мас системи.

Література: , стор 274-277, , стор 175-192.

Тема 6. Кількість руху матеріальної точки

та механічної системи

Кількість руху матеріальної точки та механічної системи. Елементарний імпульс та імпульс сили за кінцевий проміжокчасу. Теорема про зміну кількості руху точки та системи у диференційній та інтегральній формах. Закон збереження кількості руху.

Література: , стор.280-284, , стор 192-207.

Тема 7. Момент кількості руху матеріальної точки

та механічної системи щодо центру та осі

Момент кількості руху точки щодо центру та осі. Теорема про зміну моменту кількості руху точки. Кінетичний момент механічної системи щодо центру та осі.

Кінетичний момент твердого тіла, що обертається, щодо осі обертання. Теорема про зміну кінетичного моменту системи. Закон збереження кінетичного моменту.

Література: , стор 292-298, , стор 207-258.

Тема 8. Робота та потужність сил

Елементарна робота сили, її аналітичний вираз. Робота сили на кінцевому шляху. Робота сили тяжіння, сили пружності. Рівність нулю суми робіт внутрішніх сил, які у твердому тілі. Робота сил, прикладених до твердого тіла, що обертається довкола нерухомої осі. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.

Література: , стор 208-213, , стор 280-290.

Тема 9. Кінетична енергія матеріальної точки

та механічної системи

Кінетична енергія матеріальної точки та механічної системи. Обчислення кінетичної енергії твердого тіла у випадках його руху. Теорема Кеніга. Теорема про зміну кінетичної енергії точки в диференційній та інтегральній формах. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи у диференційній та інтегральній формах.

Література: , стор 301-310, , стор 290-344.

Тема 10. Потенційне силове поле та потенційна

Концепція силове поле. Потенційне силове поле та силова функція. Робота сили на кінцевому переміщенні точки у потенційному силовому полі. Потенційна енергія.

Література: , стор 317-320, , стор 344-347.

Тема 11. Динаміка твердого тіла

Диференціальні рівняння поступального руху твердого тіла. Диференціальне рівняння обертального рухутвердого тіла довкола нерухомої осі. Фізичний маятник. Диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла.

Література: , стор 323-334, , стор 157-173.

Розділ 1. У ведення в динаміку. Основні поняття

класичної механіки

Динаміка – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл (крапок) під впливом прикладених сил.

Матеріальне тіло- Тіло, що має масу.

Матеріальна точка– матеріальне тіло, відмінність у русі точок якого є несуттєвим. Це може бути як тіло, розмірами якого за його руху можна знехтувати, так і тіло кінцевих розмірів, якщо воно рухається поступально.

Матеріальними точками називають також частинки, куди подумки розбивається тверде тіло щодо деяких його динамічних характеристик. Приклади матеріальних точок (рис. 1): а – рух Землі навколо Сонця. Земля - ​​матеріальна точка; б - поступальний рухтверде тіло. Тверде тіло – матері-

альна точка, т. к. V B = V A; a B = a A; в – обертання тіла навколо осі.

Частка тіла – матеріальна точка.

Інертність – властивість матеріальних тіл швидше чи повільніше змінювати швидкість свого руху під впливом прикладених сил.

Маса тіла - це скалярна позитивна величина, яка залежить від кількості речовини, що міститься в даному тілі, і визначає його міру інертності при поступальному русі. У класичній механіці маса - величина стала.

Сила – кількісний західмеханічної взаємодії між тілами або між тілом (точкою) та полем (електричним, магнітним тощо).

Сила – векторна величина, що характеризується величиною, точкою додатка та напрямком (лінією дії) (рис. 2: А – точка докладання; АВ – лінія дії сили).

Рис. 2

У динаміці поряд з постійними силами мають місце і змінні сили, які можуть залежати від часу t , швидкості , відстані або від сукупності цих величин, тобто.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ);

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ).

	Приклади таких сил наведено на рис. 3: a −										- вага тіла;
			(ϑ) – сила опору повітря; б −		Т =						- Сила тяги

електровоза; в − F = F (r ) – сила відштовхування від центру O або тяжіння до нього.

Система відліку – система координат, що з тілом, стосовно якого вивчається рух іншого тіла.

Інерційна система - система, в якій виконуються перший і другий закони динаміки. Це нерухома система координат або система, що рухається поступово і прямолінійно поступально.

Рух у механіці – це зміна становища тіла у просторі й у часі стосовно іншим тілам.

Простір у класичній механіці тривимірний, що підкоряється евклідовій геометрії.

Час - скалярна величина, що однаково протікає в будь-яких системах рахунку.

Система одиниць – це сукупність одиниць виміру фізичних величин. Для виміру всіх механічних величин достатньо трьох основних одиниць: одиниці довжини, часу, маси чи сили.

Механічна	Розмірність		Позначення	Розмірність	Позначення
величина
				сантиметр
	кілограм-

Решта одиниці виміру механічних величин – похідні від цих. Застосовуються два типи систем одиниць: міжнародна системаодиниць СІ (або дрібніша - СГС) і технічна система одиниць - МКГСС.

Тема1. Динамікаматеріальної точки

1.1. Закони динаміки матеріальної точки (закони Галілея – Ньютона)

Перший закон (законінерції).

Ізольована від зовнішніх впливівматеріальна точка зберігає свій стан спокою або рухається рівномірно і прямолінійно доти, доки прикладені сили не змусять її змінити цей стан.

Рух, що відбувається точкою за відсутності сил чи під дією врівноваженої системи сил, називається рухом за інерцією.

Наприклад, рух тіла по гладкій (сила тертя дорівнює нулю) го-

різонтальної поверхні (рис. 4: G - вага тіла; N - нормальна реакціяплощині).

Оскільки G = − N , то G + N = 0.

При ϑ 0 ≠ 0 тіло рухається з тією самою швидкістю; при ϕ 0 = 0 тіло спочиває (ϑ 0 – початкова швидкість).

Другий закон (основний закон динаміки).

Твір маси точки на прискорення, яке вона отримує під дією даної сили, дорівнює модулю цієї силі, а її напрямок збігається з напрямом прискорення.

а б

Математично цей закон виражається векторною рівністю

При F = const,

a = const – рух точки рівнозмінний. Ес-

чи a ≠ const, α

- Рух уповільнений (рис. 5, а);

a ≠ const,

a –

– рух прискорений (рис. 5, б); m – маса точки;

вектор прискорення;

- Векторні сили; ϑ 0 - Вектор швидкості).

При F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – точка рухається поступово і прямолінійно чи приϑ 0 = 0 – лежить (закон інерції). Другий

закон дозволяє встановити зв'язок між масою m тіла, що знаходиться поблизу земної поверхні, та її вагою G .G = mg , де g –

прискорення вільного падіння.

Третій закон (закон рівності дії та протидії). Дві матеріальні точки діють один на одного з силами, рівними за величиною і спрямованими вздовж прямої, що з'єднує

ці точки, у протилежні сторони.

Так як сили F 1 = − F 2 прикладені до різним точкам, то система сил (F 1, F 2) не є врівноваженою, тобто (F 1, F 2) ≈ 0 (рис. 6).

В свою чергу

m a = m a

- Відношення

мас взаємодіючих точок обернено пропорційно їх прискоренням.

Четвертий закон (закон незалежності дії сил). Прискорення, що отримується точкою при дії на неї одночасно

але кількох сил, одно геометричній сумітих прискорень, які б точка при дії кожної сили окремо.

Пояснення (рис. 7).

т а n

а 1 а кF n

Рівнодійна R сил (F 1 ... F k ... F n ).

Оскільки ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , то

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , тобто четвертий закон еквівалентний

k = 1

правилу складання сил.

1.2. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки

Нехай на матеріальну точку діють одночасно кілька сил, серед яких є як постійні, і змінні.

Запишемо другий закон динаміки у вигляді

= ∑

(t,

k = 1

, ϑ=

r – радіус-вектор, що рухається

точки, то (1.2) містить похідні від r і є диференціальне рівняння руху матеріальної точки у векторній формі або основне рівняння динаміки матеріальної точки.

Проекції векторної рівності (1.2): - наосидекартових координат (рис. 8, а)

max = md
					= ∑ F kx;
					k = 1
may = md
					= ∑ F ky;	(1.3)
					k = 1
maz = m					= ∑ F kz;
					k = 1

Наприродної осі (рис. 8, б)

maτ				= ∑ F k τ ,
				k = 1
				= ∑ F k n;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

Mt oM oa

b on o

Рівняння (1.3) і (1.4) є диференціальними рівняннями руху матеріальної точки відповідно в декартових осях координат та природних осях, тобто природними диференціальними рівняннями, які зазвичай застосовуються при криволінійному русі точки, якщо траєкторія точки та її радіус кривизни відомі.

1.3. Дві основні завдання динаміки для матеріальної точки та їх вирішення

Перше (пряме) завдання.

Знаючи закон руху і масу точки, визначити силу, що діє наточку.

Щоб розв'язати це завдання необхідно знати прискорення точки. У задачах цього типу воно може бути задане безпосередньо або заданий закон руху точки, відповідно до якого воно може бути визначено.

1. Так, якщо рух точки задано у декартових координатах

x = f 1 (t ) , y = f 2 (t ) і z = f 3 (t ) , то визначаються проекції прискорення

ня на осі координатx =		d 2 x			d 2 y			d 2 z		А потім - проект-
ції F x , F y і F z сили на ці осі:
				,k) = F F z. (1.6) 2. Якщо точка здійснює криволінійний рухі відомий закон руху s = f (t ) , траєкторія точки та її радіус кривизни ρ, то зручно користуватися природними осями, а проекції прискорення на ці осі визначаються за відомими формулами: Що стосується a τ = d ϑ = d 2 2 s – дотичне прискорення; dt dt Головну нормаль ds 2 a n = ϑ 2 = dt – нормальне прискорення. Проекція прискорення на бінормаль дорівнює нулю. Тоді проекції сили природні осі F = m F = m Модуль і напрям сили визначаються за формулами: F = F τ 2 + F n 2; cos ( ; cos( Друге (зворотне) завдання. Знаючи чинні на точку сили, її масу і початкові умовируху, визначити закон руху точки або будь-які інші її кінематичні характеристики. Початкові умови руху точки в декартових осях – це координати точки x 0 , y 0 , z 0 і проекції початкової швидкості 0 на ці осі ϑ 0 x = x 0 , ϑ 0 y = y 0 і ϑ 0 z = z 0 в момент часу, відпо- ний початку руху точки і прийнятий рівним нулю. Розв'язання задач цього типу зводиться до складання диффе- ренціальних рівнянь (або одного рівняння) руху матеріальної точки та їх подальшого вирішення шляхом безпосереднього інтегруваннячи з використанням теорії диференціальних рівнянь. Запитання на повторення 1. Що вивчає динаміка? 2. Який рух називається рухом за інерцією? 3. За якої умови матеріальна точка спочиватиме або рухатиметься рівномірно і прямолінійно? 4. У чому суть першого основного завдання динаміки матеріальної точки? Друге завдання? 5. Запишіть природні диференційне рівняннярухи матеріальної точки. Завдання для самостійного вивчення 1. Точка масою m = 4 кг рухається горизонтальною прямою з прискоренням a = 0,3 t . Визначити модуль сили, що діє на точку у напрямку її руху в момент часу t = 3 c . 2. Деталь масою m = 0,5 кг ковзає вниз по лотку. Під яким кутом до горизонтальній площиніповинен розташовуватися лоток, щоб деталь рухалася з прискоренням a = 2 м/с2? Кут висловити у градусах. 3. Точка масою m = 14 кг рухається по осях з прискоренням a х = 2 t . Визначити модуль сили, що діє на точку у напрямку руху в момент часу t = 5 c .

Загальні теореми динаміки системи тел. Теореми про рух центру мас, про зміну кількості руху, про зміну головного моменту кількості руху, про зміну кінетичної енергії. Принципи Даламбера та можливих переміщень. Загальне рівняння динаміки. Рівняння Лагранжа.

Загальні теореми динаміки твердого тіла та системи тіл

Загальні теореми динаміки- Це теорема про рух центру мас механічної системи, теорема про зміну кількості руху, теорема про зміну головного моменту кількості руху (кінетичного моменту) та теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи.

Теорема про рух центру мас механічної системи

Теорема про рух центру мас.
Добуток маси системи на прискорення її центру мас дорівнює векторній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил:
.

Тут M – маса системи:
;
a C - прискорення центру мас системи:
;
v C - швидкість центру мас системи:
;
r C - радіус вектор (координати) центру мас системи:
;
- координати (щодо нерухомого центру) та маси точок, з яких складається система.

Теорема про зміну кількості руху (імпульсу)

Кількість руху (імпульс) системидорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас або сумі кількості руху (сумі імпульсів) окремих точок або частин, що становлять систему:
.

Теорема про зміну кількості руху у диференційній формі.
Похідна за часом від кількості руху (імпульсу) системи дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему:
.

Теорема про зміну кількості руху в інтегральній формі.
Зміна кількості руху (імпульсу) системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів зовнішніх сил за той самий проміжок часу:
.

Закон збереження кількості руху (імпульсу).
Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійним. Тобто всі його проекції на осі координат зберігатимуть постійні значення.

Якщо сума проекцій зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи з цього вісь буде постійної.

Теорема про зміну головного моменту кількості руху (теорема моментів)

Головним моментом кількості руху системи щодо даного центру O називається величина , що дорівнює векторній сумі моментів кількостей руху всіх точок системи щодо цього центру:
.
Тут квадратні дужкипозначають векторний добуток.

Закріплені системи

Наступна нижче теорема відноситься до випадку, коли механічна система має нерухому точкуабо вісь, яка закріплена щодо інерційної системи відліку. Наприклад, тіло, закріплене сферичним підшипником. Або система тіл, що здійснює рух навколо нерухомого центру. Це також може бути нерухома вісь, навколо якої обертається тіло або система тіл. У цьому випадку під моментами слід розуміти моменти імпульсу і сил щодо закріпленої осі.

Теорема про зміну головного моменту кількості руху (теорема моментів)
Похідна за часом від головного моменту кількості руху системи щодо деякого нерухомого центру O дорівнює сумі моментів всіх зовнішніх сил системи щодо того самого центру.

Закон збереження основного моменту кількості руху (моменту імпульсу).
Якщо сума моментів всіх прикладених до системи зовнішніх сил щодо даного нерухомого центру O дорівнює нулю, то головний момент кількості руху системи щодо цього центру буде постійним. Тобто всі його проекції на осі координат зберігатимуть постійні значення.

Якщо сума моментів зовнішніх сил щодо деякої нерухомої осі дорівнює нулю, момент кількості руху системи щодо цієї осі буде постійним.

Довільні системи

Наступна далі теорема має універсальний характер. Вона застосовна як до закріплених систем, так і до тих, що вільно рухаються. У разі закріплених систем слід враховувати реакції зв'язків у закріплених точках. Вона відрізняється від попередньої теореми тим, що замість закріпленої точки O слід брати центр мас системи C.

Теорема моментів щодо центру мас
Похідна за часом від головного моменту кількості руху системи щодо центру мас C дорівнює сумі моментів усіх зовнішніх сил системи щодо того самого центру.

Закон збереження моменту імпульсу.
Якщо сума моментів всіх прикладених до системи зовнішніх сил щодо центру мас C дорівнює нулю, то головний момент кількості руху системи щодо цього центру буде постійним. Тобто всі його проекції на осі координат зберігатимуть постійні значення.

Момент інерції тіла

Якщо тіло обертається навколо осі zз кутовий швидкістюω z , то його момент кількості руху (кінетичний момент) щодо осі z визначається за такою формулою:
L z = J z ω z ,
де J z - момент інерції тіла щодо осі z.

Момент інерції тіла щодо осі zвизначається за формулою:
,
де h k - відстань від точки масою m k до осі z.
Для тонкого кільця маси M і радіуса R або циліндра, маса якого розподілена за його ободом,
J z = M R 2 .
Для суцільного однорідного кільця або циліндра,
.

Теорема Штейнера-Гюйгенса.
Нехай Cz – вісь, що проходить через центр мас тіла, Oz – паралельна їй вісь. Тоді моменти інерції тіла щодо цих осей пов'язані співвідношенням:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
де M – маса тіла; a – відстань між осями.

У більш загальному випадку :
,
де – тензор інерції тіла.
Тут - вектор, проведений із центру мас тіла у точку з масою m k .

Теорема про зміну кінетичної енергії

Нехай тіло маси M здійснює поступальний і обертальний рух з кутовою швидкістю навколо деякої осі z . Тоді кінетична енергіятіла визначається за формулою:
,
де v C – швидкість руху центру мас тіла;
J Cz - момент інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно осі обертання. Напрямок осі обертання може змінюватися з часом. Зазначена формуладає миттєве значення кінетичної енергії.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи у диференційній формі.
Диференціал (прирощення) кінетичної енергії системи при деякому її переміщенні дорівнює сумі диференціалів робіт на цьому переміщенні всіх прикладених до системи зовнішніх і внутрішніх сил:
.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи в інтегральній формі.
Зміна кінетичної енергії системи при деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх доданих до системи зовнішніх і внутрішніх сил:
.

Робота, яку здійснює сила, дорівнює скалярному добутку векторів сили та нескінченно малому переміщенню точки її застосування:
,
тобто добутку модулів векторів F і ds на косинус кута між ними.

Робота, яку здійснює момент сил, дорівнює скалярному добутку векторів моменту і нескінченно малого кута повороту:
.

Принцип Даламбера

Суть принципу Даламбер полягає в тому, щоб завдання динаміки звести до завдань статики. Для цього припускають (або це наперед відомо), що тіла системи мають певні (кутові) прискорення. Далі вводять сили інерції та (або) моменти сил інерції, які рівні за величиною і обернені за напрямом сил та моментів сил, які за законами механіки створювали б задані прискорення або кутові прискорення

Розглянемо приклад. Шлях тіло здійснює поступальний рух і на нього діють зовнішні сили. Далі ми припускаємо, що це сили створюють прискорення центру мас системи . По теоремі про рух центру мас, центр мас тіла мав би таке ж прискорення, якби тіло діяла сила . Далі ми запроваджуємо силу інерції:
.
Після цього завдання динаміки:
.
;
.

Для обертального руху надходять аналогічним чином. Нехай тіло обертається навколо осі z і на нього діють зовнішні моменти сил M e zk. Ми припускаємо, що ці моменти створюють кутове прискоренняε z. Далі ми вводимо момент сил інерції M І = - J z z . Після цього завдання динаміки:
.
Перетворюється на завдання статики:
;
.

Принцип можливих переміщень

Принцип можливих переміщень застосовується на вирішення завдань статики. У деяких завданнях він дає більш коротке рішення, ніж складання рівнянь рівноваги. Особливо це стосується систем зі зв'язками (наприклад, системи тіл, з'єднані нитками та блоками), що складаються з безлічі тіл

Принцип можливих переміщень.
Для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на неї, при будь-якому можливе переміщеннясистеми дорівнювала нулю.

Можливе переміщення системи- це мале переміщення, у якому не порушуються зв'язку, накладені систему.

Ідеальні зв'язки- це зв'язки, які виконують роботи під час переміщення системи. Точніше, сума робіт, що здійснюється самими зв'язками при переміщенні системи, дорівнює нулю.

Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера – Лагранжа)

Принцип Даламбера - Лагранжа - це об'єднання принципу Даламбера з принципом можливих переміщень. Тобто, при розв'язанні задачі динаміки, ми вводимо сили інерції та зводимо завдання до завдання статики, яке вирішуємо за допомогою принципу можливих переміщень.

Принцип Даламбера – Лагранжа.
При русі механічної системи з ідеальними зв'язками в кожний момент часу сума елементарних робіт усіх активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:
.
Це рівняння називають загальним рівняннямдинаміки.

Рівняння Лагранжа

Узагальнені координати q 1 , q 2 , ..., q n - це сукупність n величин, що однозначно визначають положення системи.

Число узагальнених координат n збігається з числом ступенів свободи системи.

Узагальнені швидкості- це похідні від узагальнених координат за часом t.

Узагальнені сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Розглянемо можливе переміщення системи, у якому координата q k отримає переміщення δq k . Інші координати залишаються незмінними. Нехай δA k - це робота, що здійснюється зовнішніми силами при такому переміщенні. Тоді
δA k = Q k δq k , або
.

Якщо при можливому переміщенні системи змінюються всі координати, то робота, що здійснюється зовнішніми силами при такому переміщенні, має вигляд:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тоді узагальнені сили є приватними похідними від переміщень:
.

Для потенційних сил з потенціалом Π ,
.

Рівняння Лагранжа- це рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах:

Тут T – кінетична енергія. Вона є функцією від узагальнених координат, швидкостей та, можливо, часу. Тому її приватна похідна також є функцією від узагальнених координат, швидкостей та часу. Далі необхідно враховувати, що координати та швидкості є функціями від часу. Тому для знаходження повної похідної за часом слід застосувати правило диференціювання складної функції:
.

Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курстеоретичної механіки, « вища школа», 2010.

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти

"Кубанський державний технологічний університет"

Теоретична механіка

Частина 2 динаміка

Затверджено Редакційно-видавничим

порадою університету як

навчального посібника

Краснодар

УДК 531.1/3 (075)

Теоретична механіка. Частина 2. Динаміка: Навчальний посібник/Л.І.Драйко; Кубан. держ. технол.ун-т. Краснодар, 2011. 123 с.

ISBN 5-230-06865-5

Викладається в короткій формі теоретичний матеріал, дано приклади вирішення завдань, більшість з яких відображає реальні питання техніки, приділено увагу вибору раціонального способу вирішення.

Призначено для бакалаврів заочної та дистанційної форм навчання будівельних, транспортних та машинобудівних напрямків.

Табл. 1 Ілл. 68 Бібліогр. 20 назв.

Науковий редактор канд. техн. наук, доц. В.Ф.Мельников

Рецензенти: зав. кафедрою теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету проф. Ф.М. Канарьов; доцент кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету М.Є. Мултих

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради Кубанського державного технологічного університету.

Перевидання

ISBN 5-230-06865-5 КубДТУ 1998р.

Передмова

Даний навчальний посібник призначений для студентів заочної форми навчання будівельних, транспортних та машинобудівних спеціальностей, але може бути використаний для вивчення розділу «Динаміка» курсу теоретичної механіки студентами заочниками інших спеціальностей, а також студентами денної форминавчання за самостійної роботи.

Посібник складено відповідно до чинної програми курсу теоретичної механіки, що охоплює всі питання основної частини курсу. Кожен розділ містить короткий теоретичний матеріал, з ілюстраціями та методичними рекомендаціями для його використання при вирішенні завдань. У посібнику розібрано рішення 30 завдань, що відображають реальні питання техніки та відповідних контрольним завданням для самостійного рішення. Для кожного завдання представлена ​​розрахункова схема, що наочно ілюструє рішення. Оформлення рішення відповідає вимогам до оформлення контрольних робіт студентів-заочників.

Автор висловлює глибоку вдячність викладачам кафедри теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету за велика працяз рецензування навчального посібника, а також викладачам кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету за цінні зауваження та поради щодо підготовки навчального посібника до видання.

Всі критичні зауваження та побажання будуть прийняті автором з подякою та надалі.

Вступ

Динаміка є найважливішим розділом теоретичної механіки. Більшість конкретних завдань, які припадає на інженерну практику, належить до динаміці. Використовуючи висновки статики та кінематики, динаміка встановлює загальні закони руху матеріальних тіл під дією доданих сил.

Найпростішим матеріальним об'єктом є матеріальна точка. За матеріальну точку можна прийняти матеріальне тіло будь-якої форми, розмірами якого в розглянутій задачі можна знехтувати. За матеріальну точку можна приймати тіло кінцевих розмірів, якщо відмінність у русі його точок для цього завдання не суттєво. Це буває у разі, коли розміри тіла малі порівняно з відстанями, що проходять точки тіла. Кожну частинку твердого тіла вважатимуться матеріальною точкою.

Сили, прикладені до точки чи матеріальному тілу, у поступовій динаміці оцінюються з їхньої динамічному впливу, т. е. по тому, як змінюють характеристики руху матеріальних об'єктів.

Рух матеріальних об'єктів з часом відбувається у просторі щодо певної системи відліку. У класичній механіці, що спирається на аксіоми Ньютона, простір вважається тривимірним, його властивості не залежать від матеріальних об'єктів, що рухаються в ньому. Положення точки у такому просторі визначається трьома координатами. Час пов'язані з простором і рухом матеріальних об'єктів. Воно вважається однаковим всім систем відліку.

Закони динаміки описують рух матеріальних об'єктів стосовно абсолютним осям координат, умовно прийнятим за нерухомі. Початок абсолютної системи координат приймається у центрі Сонця, а осі прямують на віддалені, умовно не рухливі зірки. При вирішенні багатьох технічних завдань умовно не рухомими вважатимуться координатні осі, що з Землею.

Параметри механічного руху матеріальних об'єктів у поступовій динаміці встановлюються шляхом математичних висновків з основних законів класичної механіки.

Перший закон (закон інерції):

Матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного та прямолінійного рухудоти, доки дія будь-яких сил не виведе її з цього стану.

Рівномірний та прямолінійний рух точки називають рухом за інерцією. Спокій є окремим випадком руху за інерцією, коли швидкість точки дорівнює нулю.

Будь-яка матеріальна точка має інертність, тобто прагне зберегти стан спокою або рівномірного прямолінійного руху. Система відліку, стосовно якої виконується закон інерції, називається інерційною, а рух, що спостерігається стосовно цієї системи, називається абсолютним. Будь-яка система відліку, яка здійснює щодо інерційної системи поступальний прямолінійний та рівномірний рух, буде також інерційною системою.

Другий закон (основний закон динаміки):

Прискорення матеріальної точки щодо інерційної системи відліку пропорційно доданій до точки сили та збігається з силою за напрямом:
.

З основного закону динаміки випливає, що за сили
прискорення
. Маса точки характеризує ступінь опірності точки зміни її швидкості, тобто є мірою інертності матеріальної точки.

Третій закон (закон дії та протидії):

Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони.

Сили, іменовані дією та протидією, додані до різним тіламі тому врівноважену систему не утворюють.

Четвертий закон (закон незалежності дії сил):

При одночасному дії кількох сил прискорення матеріальної точки дорівнює геометричній сумі прискорень, які б точка при дії кожної сили окремо:

, де
,
,…,
.