Відносної помилки i го періоду. Абсолютні та відносні помилки вимірювань

Похибка вимірювання- Оцінка відхилення виміряного значення величини від її істинного значення. Похибка виміру є характеристикою (мірою) точності виміру.

Бо з'ясувати з абсолютною точністю справжнє значенняніякої величини неможливо, неможливо і вказати величину відхилення виміряного значення від істинного. (Це відхилення прийнято називати помилкою виміру. У ряді джерел, наприклад, у Великій радянської енциклопедії, терміни помилка виміруі похибка вимірюваннявикористовуються як синоніми, але згідно з РМГ 29-99 термін помилка виміруне рекомендується застосовувати як менш вдалий). Можна лише оцінити величину цього відхилення, наприклад, за допомогою статистичних методів. Насправді замість істинного значення використовують дійсне значення величиних д, тобто значення фізичної величини, отримане експериментальним шляхом і настільки близьке до справжнього значення, що у поставленій вимірювальній задачі може бути використане замість нього. Таке значення, як правило, обчислюється як середньостатистичне значення, отримане при статистичної обробкирезультатів серії вимірів. Це отримане значення перестав бути точним, лише найімовірнішим. Тому у вимірах необхідно вказувати, яка їхня точність. Для цього разом із отриманим результатом вказується похибка вимірів. Наприклад, запис T=2,8±0,1 c. означає, що дійсне значення величини Tлежить в інтервалі від 2,7 с.до 2,9 с.з деякою обумовленою ймовірністю

У 2004 році на міжнародному рівнібув прийнятий новий документ, Який диктує умови проведення вимірювань та встановив нові правила звірення державних стандартів. Поняття «похибка» почало старіти, замість нього було введено поняття «невизначеність вимірів», проте ГОСТ Р 50.2.038-2004 допускає використовувати термін похибкадля документів, які у Росії.

Вирізняють такі види похибок:

· Абсолютна похибка;

· Відносна похибка;

· Наведена похибка;

· Основна похибка;

· Додаткова похибка;

· Систематична похибка;

· Випадкова похибка;

· Інструментальна похибка;

· Методична похибка;

· Особиста похибка;

· Статична похибка;

· Динамічна похибка.

Похибки вимірів класифікуються за такими ознаками.

· За способом математичного вираження похибки поділяються на абсолютні похибки та відносні похибки.

· За взаємодією змін у часі та вхідної величини похибки діляться на статичні похибки та динамічні похибки.

· За характером появи похибки поділяються на систематичні похибки та випадкові похибки.

· За характером залежності похибки від величин похибки, що впливають, діляться на основні і додаткові.

· За характером залежності похибки від вхідної величини похибки поділяються на адитивні та мультиплікативні.

Абсолютна похибка- Це значення, що обчислюється як різницю між значенням величини, отриманим у процесі вимірювань, і справжнім (дійсним) значенням даної величини. Абсолютна похибка обчислюється за такою формулою:

AQ n = Q n / Q 0 де AQ n - абсолютна похибка; Q n- Значення певної величини, отримане в процесі вимірювання; Q 0– значення тієї самої величини, прийняте за основу порівняння (реальне значення).

Абсолютна похибка міри- Це значення, що обчислюється як різницю між числом, що є номінальним значенням міри, і справжнім (дійсним) значенням мірою величини, що відтворюється.

Відносна похибка- Це число, що відображає ступінь точності вимірювання. Відносна похибка обчислюється за такою формулою:

Де ∆Q – абсолютна похибка; Q 0- Справжнє (дійсне) значення вимірюваної величини. Відносна похибка виражається у відсотках.

Наведена похибка- Це значення, що обчислюється як відношення значення абсолютної похибки до значення, що нормує.

Нормуюче значення визначається таким чином:

· Для засобів вимірювань, для яких затверджено номінальне значення, це номінальне значення приймається за нормуюче значення;

· Для засобів вимірювань, у яких нульове значеннярозташовується на краю шкали вимірювання або поза шкалою, що нормує значення приймається рівним кінцевому значенню з діапазону вимірювань. Винятком є ​​засоби вимірювань із суттєво нерівномірною шкалою виміру;

· Для засобів вимірювань, у яких нульова позначка розташовується всередині діапазону вимірювань, нормуюче значення приймається рівною сумі кінцевих чисельних значень діапазону вимірювань;

· Для засобів вимірювання (вимірювальних приладів), у яких шкала нерівномірна, нормуюче значення приймається рівним цілій довжині шкали вимірювання або довжині її частини, яка відповідає діапазону вимірювання. Абсолютна похибка виражається в одиницях довжини.

Похибка вимірювання включає інструментальну похибку, методичну похибку і похибку відрахування. Причому похибка відрахування виникає через неточність визначення часток розподілу шкали виміру.

Інструментальна похибка- це похибка, що виникає через допущені в процесі виготовлення функціональних частин засобів вимірювання помилок.

Методична похибка– це похибка, що виникає з таких причин:

· Неточність побудови моделі фізичного процесу, На якому базується засіб вимірювання;

· Неправильне застосування засобів вимірювань.

Суб'єктивна похибка– це похибка, що виникає через низький рівень кваліфікації оператора засобу вимірювань, а також через похибку зорових органів людини, тобто причиною виникнення суб'єктивної похибки є людський фактор.

Похибки щодо взаємодії змін у часі та вхідної величини поділяються на статичні та динамічні похибки.

Статична похибка– це похибка, що виникає у процесі вимірювання постійної (не змінюється у часі) величини.

Динамічна похибка– це похибка, чисельне значення якої обчислюється як різницю між похибкою, що виникає при вимірі непостійної (змінної у часі) величини, та статичної похибкою (похибкою значення вимірюваної величини у певний момент часу).

За характером залежності похибки від величин похибки, що впливають, діляться на основні і додаткові.

Основна похибка- Це похибка, отримана в нормальних умовах експлуатації засобу вимірювань (при нормальних значеннях величин, що впливають).

Додаткова похибка– це похибка, яка виникає в умовах невідповідності значень впливу їх величин нормальним значенням, або якщо впливова величина переходить межі області нормальних значень.

Нормальні умови – це умови, у яких всі значення впливових величин є нормальними або виходять за межі області нормальних значень.

Умови праці– це умови, у яких зміна впливових величин має ширший діапазон (значення впливають не виходять межі робочої області значень).

Робоча область значень впливу величини– це область значень, де проводиться нормування значень додаткової похибки.

За характером залежності похибки від вхідної величини похибки поділяються на адитивні та мультиплікативні.

Адитивна похибка– це похибка, що виникає внаслідок підсумовування чисельних значень і залежна від значення вимірюваної величини, взятого за модулем (абсолютного).

Мультиплікативна похибка – це похибка, що змінюється разом із зміною значень величини, що піддається вимірам.

Слід зауважити, що значення абсолютної адитивної похибки не пов'язане зі значенням вимірюваної величини та чутливістю засобу вимірювання. Абсолютні адитивні похибки незмінні по всьому діапазоні вимірів.

Значення абсолютної адитивної похибки визначає мінімальне значеннявеличини, яка може бути виміряна засобом вимірів.

Значення мультиплікативних похибок змінюються пропорційно до змін значень вимірюваної величини. Значення мультиплікативних похибок також пропорційні чутливості засобу вимірювань. Мультиплікативна похибка виникає через вплив впливу величин на параметричні характеристики елементів приладу.

Похибки, які можуть виникнути у процесі вимірювань, класифікують характером появи. Виділяють:

· Систематичні похибки;

· Випадкові похибки.

У процесі вимірювання можуть з'явитися грубі похибки і промахи.

Систематична похибка– це складова частинавсієї похибки результату виміру, яка не змінюється або змінюється закономірно при багаторазових вимірах однієї й тієї ж величини. Зазвичай систематичну похибку намагаються виключити можливими способами(наприклад, застосуванням методів вимірювання, що знижують ймовірність її виникнення), якщо систематичну похибку неможливо виключити, то її прораховують до початку вимірювань і в результат вимірювання вносяться відповідні поправки. У процесі нормування систематичної похибки визначаються межі її допустимих значень. Систематична похибка визначає правильність вимірів засобів виміру (метрологічна властивість). Систематичні похибкиу ряді випадків можна визначити експериментальним шляхом. Результат вимірювань можна уточнити за допомогою введення поправки.

Способи виключення систематичних похибок поділяються на чотири види:

· Ліквідація причин і джерел похибок до початку проведення вимірювань;

· Усунення похибок у процесі вже розпочатого вимірювання способами заміщення, компенсації похибок за знаком, протиставленням, симетричних спостережень;

· Коригування результатів вимірювання за допомогою внесення поправки (усунення похибки шляхом обчислень);

· Визначення меж систематичної похибки у разі, якщо її не можна усунути.

Ліквідація причин та джерел похибок до початку проведення вимірювань. Цей спосібє самим оптимальним варіантом, оскільки його використання спрощує подальший хідвимірів (немає необхідності виключати похибки у процесі вже розпочатого виміру чи вносити поправки в отриманий результат).

Для усунення систематичних похибок у процесі вже розпочатого виміру застосовуються різні способи

Спосіб запровадження поправокбазується на знанні систематичної похибки та чинних закономірностей її зміни. При використанні даного способу результат вимірювання, отриманий з систематичними похибками, вносять поправки, за величиною рівні цим похибкам, але зворотні по знаку.

Спосіб заміщенняполягає в тому, що вимірювана величина замінюється мірою, поміщеною в ті самі умови, в яких знаходився об'єкт вимірювання. Спосіб заміщення застосовується при вимірі наступних електричних параметрів: опору, ємності та індуктивності.

Спосіб компенсації похибки за знакомполягає в тому, що вимірювання виконуються двічі таким чином, щоб похибка, невідома за величиною, включалася до результатів вимірювань із протилежним знаком.

Спосіб протиставленнясхожий спосіб компенсації по знаку. Даний спосіб полягає в тому, що вимірювання виконують двічі таким чином, щоб джерело похибки при першому вимірі протилежним чином діяв результат другого вимірювання.

Випадкова похибка- Це складова частина похибки результату вимірювання, що змінюється випадково, незакономірно при проведенні повторних вимірювань однієї і тієї ж величини. Поява випадкової похибки не можна передбачити та передбачити. Випадкову похибку неможливо повністю усунути, вона завжди дещо спотворює кінцеві результати вимірювань. Але можна зробити результат виміру більш точним за рахунок проведення повторних вимірів. Причиною випадкової похибки може стати, наприклад, випадкова зміна зовнішніх факторів, що впливають на процес виміру. Випадкова похибка під час проведення багаторазових вимірів з досить великим ступенем точності призводить до розсіювання результатів.

Промахи та грубі похибки- це похибки, що набагато перевищують передбачувані в даних умовах проведення вимірювань систематичні та випадкові похибки. Промахи та грубі похибки можуть з'являтися через грубих помилоку процесі проведення виміру, технічної несправності засобу виміру, несподіваної зміни зовнішніх умов.

Нехай деяка випадкова величина aвимірюється nразів у однакових умовах. Результати вимірів дали набір nрізних чисел

Абсолютна похибка- Розмірна величина. Серед nзначень абсолютних похибок обов'язково зустрічаються як позитивні, і негативні.

За найбільш ймовірне значення величини азазвичай приймають середнє арифметичнезначення результатів вимірів

.

Чим більша кількість вимірів, тим ближче середнє значення до істинного.

Абсолютною похибкоюi

.

Відносною похибкоюi-го виміру називається величина

Відносна похибка – величина безрозмірна. Зазвичай відносна похибка виражається у відсотках, при цьому e iпримножують на 100%. Розмір відносної похибки характеризує точність виміру.

Середня абсолютна похибкавизначається так:

.

Наголосимо на необхідності підсумовування абсолютних значень(модулів) величин D а i.В іншому випадку вийде тотожний нульовий результат.

Середньою відносною похибкоюназивається величина

.

При великому числівимірювань.

Відносну похибку можна як значення похибки, що припадає на одиницю вимірюваної величини.

Про точність вимірів судять виходячи з порівняння похибок результатів вимірів. Тому похибки вимірів виражають у такій формі, щоб для оцінки точності достатньо було зіставити тільки одні похибки результатів, не порівнюючи при цьому розміри об'єктів, що вимірюваються або знаючи ці розміри вельми наближено. З практики відомо, що абсолютна похибка виміру кута залежить від значення кута, а абсолютна похибка вимірювання довжини залежить від значення довжини. Чим більше значеннядовжини, тим при даному методіта умовах вимірювання абсолютна похибка буде більшою. Отже, за абсолютною похибкою результату про точність вимірювання кута можна судити, а про точність вимірювання довжини не можна. Вираз похибки в відносної формидозволяє порівнювати у відомих випадках точність кутових та лінійних вимірювань.

Основні поняття теорії ймовірності. Випадкова похибка.

Випадковою похибкою називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини.

При проведенні з однаковою ретельністю і в однакових умовах повторних вимірювань однієї і тієї ж постійної незмінної величини ми отримуємо результати вимірювань – деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності у результатах вимірів свідчать про наявність у яких випадкових складових похибки.

Випадкова похибка виникає при одночасному впливі багатьох джерел, кожен з яких сам по собі непомітно впливає на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.

Випадкові помилкиє неминучим наслідком будь-яких вимірювань та обумовлені:

а) неточністю відліків за шкалою приладів та інструментів;

б) не ідентичність умов повторних вимірів;

в) безладними змінами зовнішніх умов (температури, тиску, силового поляі т.д.), які неможливо контролювати;

г) усіма іншими впливами на вимірювання, причини яких нам невідомі. Величину випадкової похибки можна звести до мінімуму шляхом багаторазового повторення експерименту та відповідної математичної обробкиодержаних результатів.

Випадкова помилка може набувати різних за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акта вимірювання неможливо. Ця помилка в рівного ступеняможе бути як позитивною, і негативною. Випадкові помилки завжди є в експерименті. За відсутності систематичних помилок вони спричиняють розкид повторних вимірів щодо справжнього значення.

Припустимо, що з допомогою секундоміра вимірюють період коливань маятника, причому вимір багаторазово повторюють. Похибки пуску та зупинки секундоміра, помилка у величині відліку, невелика нерівномірність руху маятника – все це викликає розкид результатів повторних вимірів і тому може бути віднесено до категорії випадкових помилок.

Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші дещо заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстає, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.

Деякі фактори можуть викликати одночасно систематичні та випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску та зупинки годинника щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми щоразу поспішаємо включити секундомір і трохи запізнюємося вимкнути його, це призведе до систематичної помилки.

Випадкові похибки викликаються помилкою паралаксу при відліку поділів шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря тощо.

Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теоріявипадкових явищ дозволяємо зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірів. Нижче буде показано, що для цього необхідно зробити не один, а кілька вимірювань, причому чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірівпотрібно провести.

У зв'язку з тим, що виникнення випадкових похибок неминуче і неусувно, основним завданням будь-якого процесу виміру є доведення похибок до мінімуму.

В основі теорії похибок лежать два основні припущення, що підтверджуються досвідом:

1. При великій кількості вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знаку, тобто похибки у бік збільшення та зменшення результату зустрічаються досить часто.

2. Великі по абсолютній величині похибки зустрічаються рідше, ніж малі, отже, ймовірність виникнення похибки зменшується зі зростанням її величини.

Поведінка випадкових величин описують статистичні закономірності, що є предметом теорії ймовірностей. Статистичним визначеннямймовірності w iподії iє відношення

де n- загальна кількість дослідів, n i- кількість дослідів, у яких подія iсталося. При цьому загальна кількість дослідів має бути дуже великою. n®¥). При великій кількості вимірів випадкові помилки підпорядковуються нормальному розподілу (розподіл Гаусса), основними ознаками якого є:

1. Чим більше відхилення значення виміряної величини від істинного, тим менша ймовірність такого результату.

2. Відхилення обидві сторони від справжнього значення рівноймовірні.

З наведених вище припущень випливає, що зменшення впливу випадкових помилок необхідно зробити вимір цієї величини кілька разів. Припустимо, що вимірюємо деяку величину x. Нехай зроблено nвимірювань: x 1, x 2, ... x n- тим самим методом і з однаковою ретельністю. Очікується, що число dnотриманих результатів, які лежать у деякому досить вузькому інтервалі від xдо x + dx, має бути пропорційно:

Величині взятого інтервалу dx;

Загальній кількості вимірів n.

Ймовірність dw(x) того, що деяке значення xлежить в інтервалі від xдо x + dx,визначається так :

(при числі вимірів n ®¥).

Функція f(х) називається функцією розподілу або щільністю ймовірності.

Як постулат теорії помилок приймається, що результати прямих вимірювань та їх випадкові похибки при великій їх кількості підпорядковуються закону нормального розподілу.

Знайдена Гаусом функція розподілу безперервної випадкової величини xмає наступний вигляд:

де mіs - параметри розподілу .

Параметр нормального розподілу дорівнює середньому значенню á xñ випадкової величини, яка при довільній відомої функціїрозподілу визначається інтегралом

.

Таким чином, величина m є найімовірнішим значенням вимірюваної величини x, тобто. її найкращою оцінкою.

Параметр s 2 нормального розподілу дорівнює дисперсії D випадкової величини, яка в загальному випадкувизначається наступним інтегралом

.

Квадратний коріньз дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.

Середнє відхилення (похибка) випадкової величини визначається за допомогою функції розподілу наступним чином

Середня похибка вимірювань ásñ, обчислена за функцією розподілу Гаусса, співвідноситься з величиною середнього квадратичного відхилення s наступним чином:

< s > = 0,8s.

Параметри s і m пов'язані між собою так:

.

Цей вираз дозволяє знаходити середнє квадратичне відхилення s якщо є крива нормального розподілу.

Графік функції Гауса представлений малюнки. Функція f(x) симетрична щодо ординати, проведеної в точці x = m; проходить через максимум у точці x = m і має перегин у точках m±s. Таким чином, дисперсія характеризує ширину функції розподілу або показує, наскільки широко розкидані значення випадкової величини щодо її істинного значення. Чим точніше виміру, тим ближчі один до справжнього значення результати окремих вимірів, тобто. величина s – менше. На малюнку A зображено функцію f(x) для трьох значень s .

Площа фігури, обмеженою кривою f(x) і вертикальними прямими, проведеними з точок x 1 і x 2 (рис.б) , чисельно дорівнює ймовірності потрапляння результату виміру в інтервал D x = x 1 - x 2 яка називається довірчою ймовірністю. Площа під усією кривою f(x) дорівнює ймовірності влучення випадкової величини в інтервал від 0 до ¥, тобто.

,

оскільки можливість достовірного події дорівнює одиниці.

Використовуючи нормальний розподіл, теорія помилок ставить і вирішує дві основні задачі Перша – оцінка точності проведених вимірювань. Друга - оцінка точності середнього арифметичного значеннярезультатів вимірів.5. Довірчий інтервал. Коефіцієнт Ст'юдента.

Теорія ймовірностей дозволяє визначити величину інтервалу, в якому з певною ймовірністю wперебувають результати окремих вимірів. Ця ймовірність називається довірчою ймовірністю, а відповідний інтервал (<x> ± D x)wназивається довірчим інтервалом.Довірча ймовірність також дорівнює відносної частки результатів, що опинилися всередині довірчого інтервалу.

Якщо кількість вимірів nдосить велике, то довірча ймовірність висловлює частку з загальної кількостіnтих вимірів, у яких виміряна величина виявилася не більше довірчого інтервалу. Кожен довірчої ймовірності wвідповідає свій довірчий інтервал.w 2 80%. Чим ширший довірчий інтервал, тим більша ймовірність отримати результат усередині цього інтервалу. Теоретично ймовірностей встановлюється кількісний зв'язок між величиною довірчого інтервалу, довірчою ймовірністю і числом вимірів.

Якщо в якості довірчого інтервалу вибрати інтервал, що відповідає середній похибці, тобто D a =áD аñ, то при досить великій кількості вимірювань він відповідає довірчій ймовірності w 60%. При зменшенні кількості вимірювань довірча ймовірність, що відповідає такому довірчому інтервалу (á аñ ± áD аñ), зменшується.

Таким чином, для оцінки довірчого інтервалу випадкової величини можна користуватися величиною середньої похибки аñ .

Для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа, а саме величину довірчого інтервалу та величину довірчої ймовірності . Вказівка ​​однієї лише величини похибки без відповідної їй довірчої ймовірності значною мірою позбавлена ​​сенсу.

Якщо відома середня похибкавимірювання ásñ, довірчий інтервал, записаний у вигляді (<x> ± ásñ) w, визначений з довірчою ймовірністю w= 0,57.

Якщо відоме середнє квадратичне відхилення s розподілу результатів вимірювань, зазначений інтервал має вигляд (<x>± t w s) w, де t w- Коефіцієнт, що залежить від величини довірчої ймовірності і розраховується за розподілом Гаусса.

Найбільш часто використовувані величини D xнаведено у таблиці 1.

У фізиці та інших науках часто доводиться проводити вимірювання різних величин (наприклад, довжини, маси, часу, температури, електричного опоруі т.д.).

Вимірювання– процес знаходження значення фізичної величини за допомогою спеціальних технічних засобів- Вимірювальних приладів.

Вимірювальним приладом називають пристрій, за допомогою якого здійснюється порівняння вимірюваної величини з фізичною величиною того ж таки роду, прийнятої за одиницю виміру.

Розрізняють прямі та непрямі методи вимірювань.

Прямі методи вимірів – методи, у яких значення визначених величин перебувають безпосереднім порівнянням об'єкта, що вимірюється, з одиницею вимірювання (еталоном). Наприклад, довжина якогось тіла, що вимірюється лінійкою, порівнюється з одиницею довжини - метром, маса тіла, що вимірюється вагами, порівнюється з одиницею маси - кілограмом і т. д. Таким чином, в результаті прямого вимірувизначається величина виходить відразу, безпосередньо.

Непрямі методи вимірів– методи, у яких значення обумовлених величин обчислюються за результатами прямих вимірів інших величин, із якими пов'язані відомої функціональної залежністю. Наприклад, визначення довжини кола за результатами вимірювання діаметра чи визначення об'єму тіла за результатами вимірювання його лінійних розмірів.

Через недосконалість вимірювальних приладів, наших органів чуття, впливу зовнішніх впливівна вимірювальну апаратуру та об'єкт вимірювання, а також інших факторів всі вимірювання можна проводити тільки з відомим ступенемточності; тому результати вимірів дають не справжнє значення вимірюваної величини, лише наближене. Якщо, наприклад, вага тіла визначена з точністю до 0,1 мг, це означає, що знайдена вага відрізняється від справжньої ваги тіла менш ніж на 0,1 мг.

Точність вимірів - Характеристика якості вимірювань, що відображає близькість результатів вимірювань до справжнього значення вимірюваної величини.

Чим менша похибка вимірювань, тим більша точність вимірювань. Точність вимірювань залежить від використовуваних при вимірюваннях приладів та від загальних методіввимірів. Цілком марно прагнути при вимірах у даних умовах перейти за цю межу точності. Можна звести до мінімуму вплив причин, що зменшують точність вимірювань, але повністю позбутися їх неможливо, тобто при вимірюваннях завжди відбуваються більш менш значні помилки (похибки). Для збільшення точності остаточного результатувсяке фізичний вимірнеобхідно робити не один, а кілька разів за однакових умов досвіду.

У результаті i-го виміру (i – номер виміру) величини "Х", виходить наближене число Х i , що відрізняється від істинного значення Хіст на деяку величину ∆Х i = | Х i - Х |, яка є допущеною помилкою або, іншими словами Справжня похибка нам не відома, тому що ми не знаємо справжнього значення вимірюваної величини.

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

де Х i - значення величини Х, отримане при вимірі (тобто вимірюване значення); ∆Х – абсолютна похибка визначення величини Х.

Абсолютна помилка (похибка) виміру ∆Х – це абсолютна величинарізниці між істинним значенням вимірюваної величини Хіст та результатом виміру X i: ∆Х = | Х іст – X i |.

Відносна помилка (похибка) виміру δ (характеризує точність виміру) чисельно дорівнює відношенню абсолютної похибки виміру ∆Х до справжнього значення вимірюваної величини Х іст (часто виражається у відсотках): δ = (∆Х / Х іст) 100% .

Похибки чи помилки вимірів можна поділити на три класи: систематичні, випадкові та грубі (промахи).

Систематичноїназивають таку похибку, яка залишається постійною чи закономірно (відповідно до певної функціональної залежності) змінюється при повторних вимірах однієї й тієї ж величини. Такі похибки виникають у результаті конструктивних особливостейвимірювальних приладів, недоліків прийнятого методу вимірювань, будь-яких упущень експериментатора, впливу зовнішніх умов або дефекту самого об'єкта вимірювання.

У будь-якому вимірювальному приладі закладено ту чи іншу систематичну похибку, яку неможливо усунути, але порядок якої можна врахувати. p align="justify"> Систематичні похибки або збільшують, або зменшують результати вимірювання, тобто ці похибки характеризуються постійним знаком. Наприклад, якщо при зважуванні одна з гир має масу на 0,01 г більшу, ніж зазначено на ній, то знайдене значення маси тіла буде завищеним на цю величину, хоч би скільки вимірювань вироблялося. Іноді систематичні помилки можна врахувати чи усунути, іноді цього не можна. Наприклад, до непереборних помилок відносяться помилки приладів, про які ми можемо лише сказати, що вони не перевищують певної величини.

Випадковими помилками називають помилки, які непередбачуваним чином змінюють свою величину та знак від досвіду до досвіду. Поява випадкових помилок зумовлено дією багатьох різноманітних та неконтрольованих причин.

Наприклад, при зважуванні вагами цими причинами можуть бути коливання повітря, осілі порошини, різне тертя в лівому і правому підвісі чашок та ін. різних значень: Х1, Х2, Х3,…, Х i ,…, Х n , де Х i – результат i-го виміру. Встановити якусь закономірність між результатами не вдається, тому результат i - го виміру Х вважається випадковою величиною. Випадкові помилки можуть надати певний впливна окремий вимір, але при багаторазових вимірах вони підкоряються статистичним законамта їх вплив на результати вимірів можна врахувати або значно зменшити.

Промахи та грубі похибки- Надмірно великі помилки, що явно спотворюють результат вимірювання. Цей клас похибок викликаний найчастіше неправильними діями експериментатора (наприклад, через неуважність замість показання приладу "212" записується зовсім інше число - "221"). Вимірювання, що містять промахи та грубі похибки, слід відкидати.

Вимірювання можуть бути проведені з точки зору їх точності технічним та лабораторним методами.

При використанні технічних методів вимір проводиться один раз. У цьому випадку задовольняються такою точністю, при якій похибка не перевищує певного певного, заздалегідь заданого значення, що визначається похибкою застосованої вимірювальною апаратурою.

При лабораторних методіввимірювань потрібно точніше вказати значення вимірюваної величини, ніж це допускає її одноразовий вимір технічним методом. У цьому випадку роблять кілька вимірювань і обчислюють середнє арифметичне отриманих значень, яке приймають за достовірне значення величини. Потім проводять оцінку точності результату вимірів (облік випадкових похибок).

З можливості проведення вимірювань двома методами випливає існування двох методів оцінки точності вимірювань: технічного і лабораторного.

Одним з найбільш важливих питаньу чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла в певному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим у міру того, як проводяться наступні операції. Крайнім випадком є ​​віднімання двох майже рівних чисел: навіть за дуже маленьких помилок обох цих чисел відносна помилка різниці може бути дуже великий. Така відносна помилка буде розповсюджуватись далі при виконанні всіх наступних арифметичних операцій.

Одним із джерел обчислювальних похибок (помилок) є наближене уявлення дійсних чиселв ЕОМ, обумовлене кінцівкою розрядної сітки. Хоча вихідні дані представляються в ЕОМ з великою точністю накопичення похибок округлення в процесі рахунку може призвести до значної результуючої похибки, а деякі алгоритми можуть виявитися зовсім непридатними для реального рахунку на ЕОМ. Докладніше про подання дійсних чисел в ЕОМ можна дізнатися.

Поширення помилок

Як перший крок при розгляді такого питання, як поширення помилок, необхідно знайти висловлювання для абсолютної та відносної помилок результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції величин, що беруть участь в операції, та їх помилок.

Абсолютна помилка

Додавання

Є два наближення і двох величин і , і навіть відповідні абсолютні помилки і . Тоді в результаті складання маємо

.

Помилка суми, яку ми позначимо через , буде рівна

.

Віднімання

Тим самим шляхом отримуємо

.

множення

При множенні ми маємо

.

Оскільки помилки зазвичай набагато менше самих величин, нехтуємо добутком помилок:

.

Помилка твору дорівнюватиме

.

Поділ

.

Перетворюємо цей вираз на вигляд

.

Множник, що стоїть у дужках, можна розкласти в ряд

.

Перемножуючи і нехтуючи всіма членами, які містять твори помилок або ступеня помилок вище за першу, маємо

.

Отже,

.

Необхідно чітко розуміти, що знак помилки буває відомий лише у дуже поодиноких випадках. Не факт, наприклад, що помилка збільшується при додаванні і зменшується при відніманні тому, що у формулі для додавання коштує плюс, а для віднімання - мінус. Якщо, наприклад, помилки двох чисел мають протилежні знаки, то справа буде навпаки, тобто помилка зменшиться при додаванні і збільшиться при відніманні цих чисел.

Відносна помилка

Після того, як ми вивели формули для поширення абсолютних помилок за чотирьох арифметичних дій, досить просто вивести відповідні формули для відносних помилок. Для складання та віднімання формули були перетворені для того, щоб у них входила в явному вигляді відносна помилка кожного вихідного числа.

Додавання

.

Віднімання

.

множення

.

Поділ

.

Ми починаємо арифметичну операцію, маючи у своєму розпорядженні два наближені значення і з відповідними помилками та . Ці помилки можуть бути будь-якого походження. Величини можуть бути експериментальними результатами, що містять помилки; вони можуть бути результатами попереднього обчислення згідно з будь-яким нескінченним процесом і тому можуть містити помилки обмеження; вони можуть бути результатами попередніх арифметичних операцій та можуть містити помилки округлення. Звичайно, вони можуть також містити в різних комбінаціях і всі три види помилок.

Наведені вище формули дають вираз помилки результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції від ; помилка округлення в даному арифметичній діїпри цьому не враховується. Якщо ж надалі необхідно буде підрахувати, як поширюється в наступних арифметичних операціях помилка цього результату, то необхідно до обчисленої по одній із чотирьох формул помилки результату додати окремо помилку округлення.

Графи обчислювальних процесів

Тепер розглянемо зручний спосіб підрахунку поширення помилки у якомусь арифметичному обчисленні. З цією метою ми зображуватимемо послідовність операцій у обчисленні за допомогою графаі писатимемо біля стрілок графа коефіцієнти, які дозволять нам порівняно легко визначити загальну помилку остаточного результату. Метод цей зручний ще й тим, що дозволяє легко визначити вклад будь-якої помилки, що виникла у процесі обчислень, у загальну помилку.

Рис.1. Граф обчислювального процесу

на рис.1зображено граф обчислювального процесу. Граф слід читати знизу вгору, дотримуючись стрілок. Спочатку виконуються операції, розташовані на якомусь горизонтальному рівні, після цього - операції, розташовані на вищому рівні, і т. д. З рис.1, наприклад, ясно, що xі yспочатку складаються, а потім множаться на z. Граф, зображений на рис.1, є лише зображенням самого обчислювального процесу. Для підрахунку загальної помилки результату необхідно доповнити цей граф коефіцієнтами, які пишуться біля стрілок відповідно до таких правил.

Додавання

Нехай дві стрілки, які входять до гуртка додавання, виходять із двох гуртків з величинами і . Ці величини можуть бути як вихідними, так і результатами попередніх обчислень. Тоді стрілка, яка веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт , стрілка ж, що веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт .

Віднімання

Якщо виконується операція, то відповідні стрілки одержують коефіцієнти і.

множення

Обидві стрілки, що входять до гуртка множення, одержують коефіцієнт +1.

Поділ

Якщо виконується розподіл , то стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт +1, а стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт −1.

Сенс всіх цих коефіцієнтів наступний: відносна помилка результату будь-якої операції (кружка) входить у результат наступної операції, множачись на коефіцієнти у стрілки, що з'єднує ці дві операції.

Приклади

Рис.2. Граф обчислювального процесу для складання, причому

Застосуємо тепер методику графів до прикладів і проілюструємо, що означає поширення помилки у практичних обчисленнях.

Приклад 1

Розглянемо завдання додавання чотирьох позитивних чисел:

, .

Граф цього процесу зображено на рис.2. Припустимо, що це вихідні величини задані точно немає помилок, і нехай , і є відносними помилками округлення після кожної наступної операції складання. Послідовне застосування правила для підрахунку повної помилки остаточного результату призводить до формули

.

Скорочуючи суму в першому члені і помножуючи всі вирази на , отримуємо

.

Враховуючи, що помилка округлення дорівнює (у даному випадкупередбачається, що дійсне числов ЕОМ представляється у вигляді десяткового дробуз tзначними цифрами), маємо остаточно

Фізичні величини характеризуються поняттям "точність похибки". Є висловлювання, що шляхом проведення вимірів можна дійти пізнання. Так вдасться дізнатися, якою є висота будинку чи довжина вулиці, як і багато інших.

Вступ

Розберемося у значенні поняття «виміряти величину». Процес виміру полягає в тому, щоб порівняти її з однорідними величинами, які приймають як одиниці.

Для визначення обсягу використовують літри, для обчислення маси застосовуються грами. Щоб було зручніше робити розрахунки, запровадили систему СІ міжнародної класифікації одиниць.

За вимір довжини грузли метри, маси - кілограми, об'єму - кубічні літри, часу – секунди, швидкості – метри за секунду.

При обчисленні фізичних величин не завжди потрібно скористатися традиційним способомдостатньо застосувати обчислення за допомогою формули. Наприклад, для обчислення таких показників, як Середня швидкість, необхідно поділити пройдену відстань на час, проведений у дорозі. Так виробляються обчислення середньої швидкості.

Застосовуючи одиниці виміру, які у десять, сто, тисячу разів перевищують показники прийнятих вимірювальних одиниць, їх називають кратними.

Найменування кожної приставки відповідає своєму числу множника:

1. Дека.
2. Гекто.
3. Кіло.
4. Мега.
5. Гіга.
6. Тера.

У фізичної наукидля запису таких множників використовується рівень числа 10. Наприклад, мільйон позначається як 10 6 .

У простій лінійці довжина має одиницю виміру – сантиметр. Вона у 100 разів менша за метр. 15-сантиметрова лінійка має довжину 0,15 м-коду.

Лінійка є найпростішим видом вимірювальних приладів для вимірювання показників довжини. Більш складні прилади представлені термометром – щоб гігрометром – щоб визначати вологість, амперметром – заміряти рівень сили, з якою поширюється електричний струм.

Наскільки точними будуть показники проведених вимірів?

Візьмемо лінійку та простий олівець. Наше завдання полягає у вимірі довжини цієї канцелярської приналежності.

Спочатку потрібно визначити, яка ціна поділу, вказана на шкалі вимірювального приладу. На двох поділках, які є найближчими штрихами шкали, написано цифри, наприклад, «1» та «2».

Необхідно підрахувати, скільки поділів укладено у проміжку цих цифр. За правильного підрахунку вийде «10». Віднімемо від числа, яке є більшим, число, яке буде меншим, і поділимо на число, яке становлять поділки між цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так визначаємо, що ціною, що визначає розподіл канцелярської власності, є число 0,1 см або 1 мм. Наочно показано, як визначається показник ціни для поділу із застосуванням будь-якого вимірювального приладу.

Вимірюючи олівець із довжиною, яка трохи менше, ніж 10 см, скористаємося отриманими знаннями. За відсутності на лінійці дрібного поділу слід було б висновок, що предмет має довжину 10 см. Це приблизне значення названо вимірювальною похибкою. Вона свідчить про той рівень неточності, що може допускатися під час проведення вимірів.

Визначаючи параметри довжини олівця з більш високим рівнемточності, більшою ціноюрозподілу досягається велика вимірювальна точність, яка забезпечує меншу похибку.

У цьому абсолютно точного виконання вимірів може бути. А показники не повинні перевищувати розмірів ціни поділу.

Встановлено, що розміри вимірювальної похибки становлять ½ ціни, яка вказана на поділах приладу, що застосовується для визначення розмірів.

Після виконання вимірів олівця 9,7 см визначимо показники його похибки. Це проміжок 9,65 – 9,85 см.

Формулою, що вимірює таку похибку, є обчислення:

А = а ± D (а)

А - як величини для вимірювальних процесів;

а – значення результату вимірів;

D – позначення абсолютної похибки.

При відніманні чи складання величин з похибкою результат буде дорівнює суміпоказників похибки, що становить кожна окрема величина.

Знайомство з поняттям

Якщо розглядати в залежності від способу її вираження, можна виділити такі різновиди:

• Абсолютну.
• Відносну.
• Наведену.

Абсолютна похибка вимірювань позначається буквою «Дельта» великою. Це поняття визначається у вигляді різниці між виміряними та дійсними значеннями тієї фізичної величини, яка вимірюється.

Виразом абсолютної похибки вимірів є одиниці тієї величини, яку необхідно виміряти.

При вимірі маси вона виражатиметься, наприклад, у кілограмах. Це не зразок точності вимірювань.

Як розрахувати похибку прямих вимірів?

Є способи зображення та їх обчислення. Для цього важливо вміти визначати фізичну величинуз необхідною точністю знати, що таке абсолютна похибка вимірювань, що її ніхто ніколи не зможе знайти. Можна обчислити лише її граничне значення.

Навіть якщо умовно вживається цей термін, він вказує на граничні дані. Абсолютна та відносна похибка вимірів позначаються однаковими літерами, різниця в їх написанні.

При вимірі довжини абсолютна похибка вимірюватиметься у тих одиницях, у яких обчислюватиметься довжина. А відносна похибка обчислюється без розмірів, оскільки є відношенням абсолютної похибки до результату виміру. Таку величину часто виражають у відсотках чи частках.

Абсолютна та відносна похибка вимірювань мають декілька різних способівобчислення в залежності від того, які фізичні величини.

Поняття прямого виміру

Абсолютна та відносна похибка прямих вимірювань залежить від класу точності приладу та вміння визначати похибку зважування.

Перш ніж говорити, як обчислюється похибка, необхідно уточнити визначення. Прямим називається вимір, у якому відбувається безпосереднє зчитування результату з приладової шкали.

Коли ми користуємося термометром, лінійкою, вольтметром або амперметром, то завжди проводимо саме прямі виміри, оскільки застосовуємо прилад безпосередньо зі шкалою.

Є два фактори, які впливають на результативність показань:

• Похибка приладів.
• Похибка системи відліку.

Кордон абсолютної похибки при прямих вимірах дорівнюватиме сумі похибки, яку показує прилад, і похибки, що відбувається в процесі відліку.

D = D (пр.) + D (відс.)

Приклад із медичним термометром

Показники похибки вказані на приладі. На медичному термометрі прописано похибку 0,1 градусів за Цельсієм. Похибка відліку становить половину ціни поділу.

D відс. = С/2

Якщо ціна розподілу 0,1 градуса, то для медичного термометра можна зробити обчислення:

D = 0,1 o З + 0,1 o З / 2 = 0,15 o З

На тильній стороні шкали іншого термометра є ТУ і зазначено, що для правильності вимірювань необхідно занурювати термометр тильною частиною. Точність виміру не вказана. Залишається лише похибка відліку.

Якщо ціна поділу шкали цього термометра дорівнює 2 o С, то можна вимірювати температуру з точністю до 1 o С. Такі межі абсолютної похибки вимірювань, що допускається, і обчислення абсолютної похибки вимірювань.

Особливу систему обчислення точності використовують у електровимірювальних приладах.

Точність електровимірювальних приладів

Щоб задати точність таких пристроїв, використовується величина, яка називається класом точності. Для її позначення застосовують букву Гамма. Щоб точно визначити визначення абсолютної та відносної похибки вимірювань, потрібно знати клас точності приладу, який вказаний на шкалі.

Візьмемо, наприклад, амперметр. На його шкалі вказано клас точності, що вказує число 0,5. Він придатний для вимірювань на постійному та змінному струмі, відноситься до пристроїв електромагнітної системи

Це досить точний прилад. Якщо порівняти його зі шкільним вольтметром, видно, що він має клас точності - 4. Цю величину обов'язково знати для подальших обчислень.

Застосування знань

Таким чином, D c = c (max) Х γ /100

Цією формулою і будемо користуватися для конкретних прикладів. Скористаємося вольтметром та знайдемо похибку вимірювання напруги, яку дає батарейка.

Підключимо батарейку безпосередньо до вольтметра, попередньо перевіривши, чи стрілка стоїть на нулі. При підключенні приладу стрілка відхилилася на 4,2 розподілу. Цей стан можна охарактеризувати так:

1. Видно, що максимальне значення U для даного предметаодно 6.
2. Клас точності -(?) = 4.
3. U(о) = 4,2 Ст.
4. С=0,2

Користуючись цими даними формули, абсолютна та відносна похибка вимірювань обчислюється так:

DU = DU (пр.) + С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Це похибка приладу.

Розрахунок абсолютної похибки вимірювань у разі буде виконано так:

D U = 0,24 + 0,1 В = 0,34 В

За розглянутою формулою легко можна дізнатися, як розрахувати абсолютну похибкувимірів.

Існує правило округлення похибок. Воно дозволяє знайти середній показникміж кордоном абсолютної похибки та відносною.

Вчимося визначати похибку зважування

Це один із прикладів прямих вимірів. на особливому місцістоїть зважування. Адже важельні ваги не мають шкали. Навчимося визначати похибку такого процесу. На точність вимірювання маси впливає точність гир та досконалість самих ваг.

Ми користуємося важелями з набором гирь, які необхідно класти саме на праву чашу терезів. Для зважування візьмемо лінійку.

Перед початком досвіду потрібно врівноважити ваги. Лінійку кладемо на ліву чашу.

Маса дорівнюватиме сумі встановлених гир. Визначимо похибку виміру цієї величини.

D m = D m (ваг) + D m (гір)

Похибка вимірювання маси складається з двох доданків, пов'язаних з вагами та гирями. Щоб дізнатися кожну з цих величин, на заводах з випуску ваг та гирь продукція забезпечується спеціальними документами, які дозволяють обчислити точність.

Застосування таблиць

Скористайтеся стандартною таблицею. Похибка терезів залежить від того, яку масу поклали на ваги. Чим вона більша, тим, відповідно, більша і похибка.

Навіть якщо покласти дуже легке тіло, буде похибка. Цей пов'язаний із процесом тертя, що відбувається в осях.

Друга таблиця відноситься до набору гирь. На ній зазначено, кожна з них має свою похибку маси. 10-грамова має похибку 1 мг, як і 20-грамова. Прорахуємо суму похибок кожної з цих гирек, взятої з таблиці.

Зручно писати масу та похибку маси у двох рядках, які розташовані одна під одною. Чим менше гирі, тим точніше вимір.

Підсумки

У результаті розглянутого матеріалу встановлено, що визначити абсолютну похибку неможливо. Можна лише встановити її граничні показники. Для цього використовуються формули, описані вище у обчисленнях. Цей матеріалзапропонований для вивчення у школі для учнів 8-9 класів. На основі отриманих знань можна вирішувати задачі на визначення абсолютної та відносної похибки.