У повних диференціалах. Рівняння у повних диференціалах

Студенти ВНЗ частенько шукають інформацію "Як знайти рішення рівняння в повних диференціалах?". З цього уроку Ви отримаєте повну інструкцію плюс готові рішення. Спочатку коротке ознайомлення - що таке рівняння у повних диференціалах? Як шукати рішення рівняння повний диференціал?
Далі розбір готових прикладів, після якого можливо у Вас не залишиться питань на цю тему.

Рівняння у повних диференціалах

Визначення 1. Рівняння виду M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 називається рівнянням у повних диференціалахякщо залежність перед знаком рівності є повним диференціалом деякої функції двох змінних u(x,y) , тобто справедлива формула
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
Таким чином, початкове рівняння за змістом означає рівність нуля повного диференціала функції
du (x, y) = 0.
Інтегруючи диференціал отримаємо загальний інтегралДК у вигляді
u(x,y)=З. (2)
При обчисленнях, як правило, постійну покладають рівну нулю.
Перед обчисленнями завжди постає питання "Як перевірити, що задане ДК є рівнянням у повних диференціалах?"
На це запитання відповідає наступна умова.

Необхідна та достатня умова повного диференціалу

Необхідною та достатньою умовою повного диференціалу єрівність між собою приватних похідних
(3)
При розв'язанні диференціальних рівнянь його перевіряють насамперед, щоб ідентифікувати чи маємо рівняння у повних диференціалах чи можливо інше.
За змістом ця умова означає, що змішані похідні функції рівні між собою.
У формулах з огляду на залежності
(4)
необхідне та достатня умоваіснування повного диференціалуможемо записати у вигляді

Наведений критерій застосовують при перевірці рівняння на відповідність повному диференціалу, хоча при вивченні цієї теми викладачі не зададуть Вам іншого типу рівнянь.

Алгоритм розв'язання рівняння у повних диференціалах

З позначень (4) приватних похідних повного диференціала функції випливає, що u(x,y) ми можемо знайти інтегруванням

Ці формули дають вибір при обчислення, тому для інтегрування вибирають ту приватну похідну, інтеграл від якої легше знайти на практиці.
Далі другий важливий момент - невизначений інтегралє первісноютобто "+ С", яку слід визначити.
Тому, якщо інтегруємо приватну похідну M(x,y) по "ікс" то стала залежить від y і навпаки - якщо інтегруємо N(x,y) по y стала залежна від "ікс".
Далі, щоб визначити постійну беруть похідну від u(x,y) за іншою змінною ніж та, за якою виробляли інтегрування і прирівнюють до другої часткової похідної.
У формулах це буде виглядати так

Як правило, деякі доданки спрощуються і отримаємо рівняння на похідну постійної. Для першого із рівнянь отримаємо

Остаточно загальний інтеграл після визначення постійної має вигляд

У симетричній формі отримаємо відповідь для іншого рівняння.
Запис тільки на вигляд складний, насправді на практиці все виглядає значно простіше та зрозуміліше. Проаналізуйте такі завдання повні диференціали.

Готові відповіді на рівняння у повних диференціалах

приклад 1.

Рішення: Ліва частина рівняння є повним диференціаломдеякої функції , оскільки виконується умова

Звідси записуємо приватну похідну функції двох зміннихвід "ікс"

та інтегруванням знаходимо її вигляд

Щоб визначити постійну знаходимо приватну похідну функції по"y" і прирівнюємо зі значенням у рівнянні

Подібні доданкиу правій та лівій частині скорочуємо, після чого постійну знаходимо інтегруванням

Тепер маємо всі величини для запису загального рішення диференціального рівняння у вигляді

Як можна переконатися, схема розв'язування рівнянь у повних диференціалахне складна та її під силу вивчити кожному. Важливе значення мають множники при диференціалах, оскільки їх доводиться інтегрувати та диференціювати, щоб знайти рішення.

Приклад 2. (6.18) Знайти інтеграл диференціального рівняння

Рішення: За теорією ліва частина рівняння повинна бути повним диференціалом деякої функції двох змінних u(x,y), при цьому перевіряємо чи виконується умова

Звідси беремо приватну похідну та через інтеграл знаходимо функцію

Обчислюємо приватну похідну функції двох змінних за y і прирівнюємо до правої сторони диференціального рівняння.

Похідна виражається залежністю

З урахуванням постійної отримали у вигляді

На цьому обчислення даного прикладузавершено.

приклад 3. (6.20)Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення: Ліва частина рівняння буде повним диференціалом деякої функції двох змінних u(x; y) , якщо виконуватиметься умова

Звідси починаємо вирішувати рівняння, а вірніше інтегрування однієї з приватних похідних

Далі знаходимо похідну від отриманої функції змінної y і прирівнюємо до правої сторони диференціальної залежності

Це дозволяє знайти константу як функцію від y . Якщо починати розкривати диференціальну залежність з правого боку, то отримаємо константа залежить від x . при цьому не зміниться і для заданого рівняннямає вигляд

У цьому приклад вирішено. Загальне вирішення диференціального рівнянняможемо записати формулою

Для закріплення тематики просимо самостійно перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах і вирішити їх:
Тут Вам і кореневі функції, тригонометричні, експоненти, логарифми, одним словом - все, що може очікувати Вас на модулях та іспитах.
Після цього Вам стане набагато простіше вирішувати такого рівняння.
З наступної статті Ви ознайомитеся з рівняннями виду
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
які досить подібні до рівняння в повних диференціалах, проте в них не виконується умова рівності приватних похідних. Їх обчислюють пошуком інтегруючого множника, множачи на який наведене рівняння стає рівнянням повних диференціалах.

У цій темі ми розглянемо спосіб відновлення функції за її повним диференціалом, дамо приклади завдань з повним розбором рішення.

Буває так, що диференціальні рівняння (ДК) виду P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 можуть містити в лівих частинах повні диференціали деяких функцій. Тоді ми можемо знайти загальний інтеграл ДК, якщо попередньо відновимо функцію її повного диференціалу.

Приклад 1

Розглянемо рівняння P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 . У записі лівої частини міститься диференціал деякої функції U (x, y) = 0. Для цього має виконуватися умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Повний диференціал функції U (x , y) = 0 має вигляд d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . З урахуванням умови ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x отримуємо:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x , y) ∂ U ∂ y = Q (x , y)

Перетворивши перше рівняння з отриманої системи рівнянь, ми можемо отримати:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Функцію φ (y) ми можемо знайти з другого рівняння отриманої системи:
∂ U (x , y) ∂ y = ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x , y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x , y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Так ми знайшли потрібну функцію U (x , y) = 0 .

Приклад 2

Знайдіть для ДК (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 спільне рішення.

Рішення

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Перевіримо, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Наша умова виконується.

На основі обчислень ми можемо зробити висновок, що ліва частина вихідного дистанційного керування є повним диференціалом деякої функції U (x , y) = 0 . Нам слід знайти цю функцію.

Оскільки (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y є повним диференціалом функції U (x , y) = 0 то

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Інтегруємо по x перше рівняння системи:

U (x , y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Тепер диференціюємо по y отриманий результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Перетворивши друге рівняння системи, отримуємо: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Це означає що
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y "(y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

де С – довільна стала.

Отримуємо: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C . Загальним інтегралом вихідного рівняння є x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Розберемо ще один метод знаходження функції за відомим повним диференціалом. Він передбачає застосування криволінійного інтегралу від фіксованої точки (x 0 , y 0) до точки зі змінними координатами (x , y) :

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

У разі значення інтеграла ніяк залежить від шляху інтегрування. Ми можемо взяти як шлях інтегрування ламану, ланки якої розташовуються паралельно осям координат.

Приклад 3

Знайдіть загальне рішення диференціального рівняння (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Рішення

Проведемо перевірку, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Виходить, що ліва частина диференціального рівняння представлена повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0. Щоб знайти цю функцію, необхідно обчислити криволінійний інтегралвід крапки (1 ; 1) до (x, y). Візьмемо як шлях інтегрування ламану, ділянки якої пройдуть по прямій y = 1від точки (1, 1) до (x, 1), а потім від точки (x, 1) до (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x · 1 - x · 1 2) = x y - x y 2

Ми отримали загальне рішення диференціального рівняння виду x y - x y 2 + C = 0.

Приклад 4

Визначте загальне рішення диференціального рівняння y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Рішення

Перевіримо, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Оскільки ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , то умова виконуватися не буде. Це означає, що ліва частина диференціального рівняння не є повним диференціалом функції. Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, і для його вирішення підходять інші способи розв'язання.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Визначення: Зрівняння виду

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

де ліва частина є повним диференціалом деякої функції двох змінних, називається рівнянням в повних диференціалах.

Позначимо цю функцію двох змінних через F(x, y). Тоді рівняння (9) можна переписати як dF(x,y) = 0, але це рівняння має загальне рішення F(x,y) = C.

Нехай дано рівняння виду (9). Щоб дізнатися, чи є воно рівнянням у повних диференціалах, потрібно перевірити, чи є вираз

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

повним диференціалом деякої функції двох змінних. Для цього необхідно перевірити виконання рівності

Припустимо, що для даного виразу (10) рівність (11) виконується в деякій однозв'язковій області (S) і, отже, вираз (10) є повним диференціалом деякої функції F(x, y) (S).

Розглянемо наступний спосібзнаходження цієї первісної. Необхідно знайти таку функцію F(x,y), щоб

де функцію (у) буде визначено нижче. З формули (12) тоді випливає, що

у всіх точках області (S). Тепер підберемо функцію (у) так, щоб була рівність

Для цього перепишемо потрібну нам рівність (14), підставивши замість F(x,y) її вираз за формулою (12):

Зробимо диференціювання під знаком інтеграла (це можна робити так як P(x,y) і - безперервні функціїдвох змінних):

Так як по (11), то, замінюючи на під знаком інтеграла в (16), маємо:

Проінтегрувавши у, знайдемо саму функцію (у), яка побудована так, що виконується рівність (14). Використовуючи рівність (13) і (14), бачимо, що

в області (S). (18)

Приклад 5. Перевірити, чи це диференціальне рівняння рівнянням у повних диференціалах і вирішити його.

Це диференціальне рівняння у повних диференціалах. Насправді, позначаючи, переконуємось у тому, що

а це є необхідна та достатня умова того, що вираз

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

є повним диференціалом деякої функції U(x, y). При цьому - безперервні R функції.

Отже, щоб інтегрувати дане диференціальне рівняння, потрібно знайти таку функцію, для якої ліва частина диференціального рівняння буде повним диференціалом. Нехай такою функцією буде U(x, y), тоді

Інтегруючи ліву та праву частини по x, отримаємо:

Щоб знайти ц(y), використовуємо той факт, що

Підставляючи знайдене значення ц(y) (*), остаточно отримаємо функцію U(x,y):

Загальний інтеграл вихідного рівняння має вигляд

Основні типи диференціальних рівнянь першого порядку (продовження).

Лінійні диференціальні рівняння

Визначення: Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

y" + P(x)y = f(x), (21)

де P(x) та f(x) - безперервні функції.

Назва рівняння пояснюється тим, що похідна y" - лінійна функціявід у, тобто якщо переписати рівняння (21) як y" = - P(x) +f(x), то права частинамістить тільки в першому ступені.

Якщо f(x) = 0, то рівняння

yґ+ P(x) y = 0 (22)

називається лінійним однорідним рівнянням. Очевидно, що однорідне лінійне рівняння є рівнянням з змінними, що розділяються:

y" +P(x)y = 0; ,

Якщо f(x)? 0, то рівняння

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

називається лінійним неоднорідним рівнянням.

У загальному випадкузмінні у рівнянні (21) не можна розділити.

Рівняння (21) вирішується наступним чином: шукатимемо рішення у вигляді добутку двох функцій U(x) і V(x):

Знайдемо похідну:

y" = U"V + UV" (25)

і підставимо ці вирази до рівняння (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Згрупуємо доданки в лівій частині:

U"V + U = f(x). (26)

Накладемо умову на один із множників (24), а саме, припустимо, що функція V(x) така, що вона звертає в тотожний нуль вираз, що стоїть у квадратних дужкаху (26), тобто. що вона є рішенням диференціального рівняння

V" + P(x)V = 0. (27)

Це рівняння з змінними, що розділяються, знаходимо з нього V(x):

Тепер знайдемо функцію U(x) таку, щоб за вже знайденої функції V(x) твір U V було рішенням рівняння (26). Для цього треба, щоб U(x) була розв'язком рівняння

Це рівняння з змінними, що розділяються, тому

Підставляючи знайдені функції (28) та (30) у формулу (4), отримуємо загальне рішення рівняння (21):

Таким чином, розглянутий метод (спосіб Бернуллі) зводить рішення лінійного рівняння(21) до вирішення двох рівнянь з змінними, що розділяються.

Приклад 6. Знайти загальний інтеграл рівняння.

Це рівняння не є лінійним щодо y та y", але воно виявляється лінійним, якщо вважати шуканою функцією x, а аргументом y. Дійсно, переходячи до, отримуємо

Для вирішення отриманого рівняння скористаємося способом підстановки (Бернуллі). Шукатимемо рішення рівняння у вигляді x(y)=U(y)V(y), тоді. Отримуємо рівняння:

Виберемо функцію V(y) те щоб. Тоді

Ліві частини диференціальних рівнянь виду іноді є повними диференціалами деяких функцій. Якщо відновити функцію її повному диференціалу, буде знайдено загальний інтеграл диференціального рівняння. У цій статті опишемо метод відновлення функції за її повним диференціалом, теоретичний матеріалзабезпечимо прикладами та завданнями з докладним описомрішення.

Ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0 якщо виконується умова .

Оскільки повний диференціал функції U(x, y) = 0 є , то при виконанні умови можна стверджувати, що . Отже, .

З першого рівняння системи маємо . Функцію можна знайти, використовуючи друге рівняння системи:

Так буде знайдено потрібну функцію U(x, y) = 0 .

Розглянемо приклад.

приклад.

Знайти загальне рішення диференціального рівняння .

Рішення.

У цьому прикладі. Умова виконується, оскільки

отже, ліва частина вихідного диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0 . Наше завдання зводиться до пошуку цієї функції.

Так як є повний диференціал функції U(x, y) = 0 то . Інтегруємо по x перше рівняння системи та диференціюємо по y отриманий результат . З іншого боку, з другого рівняння системи маємо . Отже,

де С – довільна стала.

Таким чином, та загальним інтегралом вихідного рівняння є .

Існує інший метод знаходження функції за її повним диференціалом. Він полягає у взятті криволінійного інтегралувід фіксованої точки (x 0 , y 0) до точки зі змінними координатами (x, y) : . І тут значення інтеграла залежить від шляху інтегрування. Зручно брати як шлях інтегрування ламану, ланки якої паралельні осям координат.

Розглянемо з прикладу.

приклад.

Знайдіть загальне рішення диференціального рівняння .

Рішення.

Перевіримо виконання умови:

Таким чином, ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0 . Знайдемо цю функцію, обчисливши криволінійний інтеграл від точки (1; 1) до (x, y). Як шлях інтегрування візьмемо ламану: першу ділянку ламаної пройдемо по прямій y = 1 від точки (1, 1) до (x, 1) , другою ділянкою шляху візьмемо відрізок прямої від точки (x, 1) до (x, y) .

Визначення 8.4.Диференціальне рівняння виду

де
називається рівнянням у повних диференціалах.

Зауважимо, що ліва частина такого рівняння є повним диференціалом деякої функції.
.

У загальному випадку рівняння (8.4) можна подати у вигляді

Замість рівняння (8.5) можна розглядати рівняння

розв'язання якого є загальним інтегралом рівняння (8.4). Таким чином, для вирішення рівняння (8.4) необхідно знайти функцію
. Відповідно до визначення рівняння (8.4), маємо

(8.6)

функцію
будемо знаходити, як функцію, яка задовольняє одну з цих умов (8.6):

де - довільна функція, що не залежить від .

Функція
визначається так, щоб виконувалася друга умова вираження (8.6)

(8.7)

З виразу (8.7) і визначається функція
. Підставляючи її у вираз для
і одержують загальний інтеграл вихідного рівняння.

Завдання 8.3.Проінтегрувати рівняння

Тут
.

Отже, це рівняння відноситься до типу диференціальних рівнянь в повних диференціалах. функцію
будемо шукати у вигляді

З іншого боку,

У ряді випадків умова
може виконуватися.

Тоді такі рівняння до типу, що розглядається, наводяться множенням на так званий інтегруючий множник, який, в загальному випадку, є функцією тільки або .

Якщо у деякого рівняння існує інтегруючий множник, що залежить тільки від , то він визначається за формулою

де ставлення має бути лише функцією .

Аналогічно, що інтегрує множник, що залежить тільки від , Визначається за формулою

де ставлення
має бути лише функцією .

Відсутність у наведених співвідношеннях, у першому випадку змінної , а у другому - змінною є ознакою існування інтегруючого множника для даного рівняння.

Завдання 8.4.Привести це рівняння до рівняння в повних диференціалах.

Розглянемо ставлення:

Тема 8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Визначення 8.5. Диференціальне рівняння
називається лінійним, якщо воно лінійне щодо шуканої функції , її похідною і не містить твору шуканої функції та її похідної.

Загальний вид лінійного диференціального рівняння є наступним співвідношенням:

(8.8)

Якщо у співвідношенні (8.8) права частина
, то таке рівняння називається лінійним однорідним. У випадку, коли права частина
, Таке рівняння називається лінійним неоднорідним.

Покажемо, що рівняння (8.8) інтегрується у квадратурах.

На першому етапі розглянемо лінійне однорідне рівняння.

Таке рівняння є рівнянням з змінними, що розділяються. Справді,

;

Останнє співвідношення та визначає загальне рішення лінійного однорідного рівняння.

Для пошуку загального рішення лінійного неоднорідного рівняння застосовується спосіб варіації похідної постійної. Ідея методу у тому, що загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння у тому вигляді, як і рішення відповідного однорідного рівняння, проте довільна постійна замінюється деякою функцією
, що підлягає визначенню. Отже, маємо:

(8.9)

Підставляючи у співвідношення (8.8) вирази, відповідні
і
, отримаємо

Підставляючи останній вираз у співвідношення (8.9), одержують загальний інтеграл лінійного неоднорідного рівняння.

Таким чином, загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння визначається двома квадратурами: загального рішення лінійного однорідного рівняння та окремого рішення лінійного неоднорідного рівняння.

Завдання 8.5.Проінтегрувати рівняння