У вигляді математичних формул та. Найкрасивіші фізичні та математичні формули

Математик Анрі Пуанкаре в книзі «Наука і метод» писав: «Якби природа не була прекрасною, вона не коштувала б того, щоб її знати, життя не коштувало б того, щоб її переживати. Я тут говорю, звичайно, не про ту красу, яка впадає у вічі... Я маю на увазі ту глибшу красу, яка відкривається в гармонії частин, яка осягається тільки розумом. Це вона створює грунт, створює каркас для гри видимих ​​фарб, що пестять наші почуття, і без цієї підтримки краса швидкоплинних вражень була б недосконала як усе невиразне і минуще. Навпаки інтелектуальна краса дає задоволення сама по собі».

П.А.М. Дірак писав: "Теоретична фізика має ще один вірний шлях розвитку. Природі властива та фундаментальна особливість, що найголовніші фізичні закониописуються математичною теорією, апарат якої має незвичайну силу і красу. Щоб зрозуміти цю теорію, потрібно мати надзвичайно високу математичну кваліфікацію. Ви можете спитати: чому природа влаштована саме так? На це можна відповісти лише одне: згідно з нашими сучасним знанням, природа влаштована саме так, а чи не інакше".

Сім років тому український фізик (і художник) Наталія Кондратьєва звернулася до низки провідних математиків світу із запитанням: «Які три математичні формули, на ваш погляд, найкрасивіші?»
У розмові про красу математичних формул взяли участь сер Міхаель Атья та Девід Елварсі з Британії, Яків Сінай та Олександр Кирилов зі США, Фрідріх Херцебрух та Юрій Манін з Німеччини, Давид Рюель із Франції, Анатолій Вершик та Роберт Мінлос із Росії та інші математики з різних країн. З українців у дискусії взяли участь академіки НАНУ Володимир Королюк та Анатолій Скороход. Частина отриманих таким чином матеріалів і лягла в основу виданої Наталією Кондратьєвою. наукової роботи«Три найкрасивіші математичні формули».
— Яку мету ви ставили, звертаючись до математиків із питанням про красивих формулах?
— Кожне нове століття дає оновлення наукової парадигми. На початку століття з відчуттям, що ми стоїмо біля порога нової науки, її нової роліу житті людського суспільствая звернулася до математиків з питанням про красу ідей, що стоять за математичними символами, тобто. про красу математичних формул.
Вже зараз можна назвати деякі особливості нової науки. Якщо у науці ХХ століття дуже важливу рольграла «дружба» математики з фізикою, то зараз математика ефективно співпрацює з біологією, генетикою, соціологією, економікою… Отже, наука досліджуватиме відповідності. Математичні структури досліджуватимуть відповідності між взаємодіями елементів різних областейта планів. І багато що раніше ми сприймали на віру як філософські констатації, буде затверджено наукою як конкретне знання.
Цей процес розпочався вже у ХХ столітті. Так Колмогоров математично показав, що випадковості немає, а є дуже велика складність. Фрактальна геометрія підтвердила принцип єдності у різноманітті тощо.
— Які ж формули були названі найкрасивішими?
— Відразу скажу, що мети зробити конкурс формулам не було. У своєму листі до математиків я писала: «Люди, які хочуть зрозуміти, якими законами керується світ, стають на шлях пошуку гармонії світу. Шлях цей йде в нескінченність (бо рух вічний), але люди однаково йдуть їм, т.к. є особлива радість зустріти чергову ідею чи уявлення. З відповідей на запитання про гарні формули, можливо, вдасться синтезувати нову грань краси світу. Крім того, ця робота може виявитися корисною для майбутніх учених як думка про велику гармонію світу та математики як спосіб відшукання цієї краси».
Проте серед формул виявились явні фаворити: формула Піфагора та формула Ейлера.
Слідом за ними розташувалися скоріше фізичні, ніж математичні формули, які в ХХ столітті змінили наше уявлення про світ - Максвелла, Шредінгера, Ейнштейна.
Також до найкрасивіших потрапили формули, які ще перебувають на стадії дискусії, такі, наприклад, як рівняння фізичного вакууму. Називались інші красиві математичні формули.
— Як ви вважаєте, чому на рубежі другого і третього тисячоліть формула Піфагора названа однією з найкрасивіших?
— За часів Піфагора ця формула сприймалася як вираз принципу космічної еволюції: два протилежні початку (два квадрати, що торкаються ортогонально) породжують третє, рівне їх сумі. Можна дати геометрично дуже гарні інтерпретації.
Можливо, існує якась підсвідома, генетична пам'ять тих часів, коли поняття «математика» означало — «наука», й у синтезі вивчалися арифметика, живопис, музика, філософія.
Рафаїл Хасмінський у своєму листі написав, що в школі він був вражений красою формули Піфагора, що багато в чому визначило його долю як математика.
- А що можна сказати про формулу Ейлера?
— Деякі математики звертали увагу, що в ній зібралися всі, тобто. всі чудові математичні числа, і одиниця таїть у собі нескінченності! — це має глибоке філософське значення.
Недаремно цю формулу відкрив Ейлер. Великий математикбагато зробив, щоб ввести красу в науку, він навіть ввів у математику поняття "градус краси". Точніше, він увів це поняття в теорію музики, яку вважав частиною математики.
Ейлер вважав, що естетичне почуття можна розвивати і що це почуття необхідне вченому.
Пошлюся на авторитети… Гротендик: «Розуміння тієї чи іншої речі в математиці настільки досконале, наскільки можна відчути її красу».
Пуанкаре: «У математиці є почуття». Він порівнював естетичне почуття в математиці з фільтром, який з багатьох варіантів рішення вибирає найбільш гармонійний, який, як правило, і є вірним. Краса і гармонія — синоніми, а найвищий прояв гармонії є світовим законом рівноваги. Математика досліджує цей закон на різних планах буття та в різних аспектах. Недарма кожна математична формула містить знак рівності.
Думаю, що найвища людська гармонія є гармонією думки і почуття. Можливо тому Ейнштейн сказав, що письменник Достоєвський дав йому більше, ніж математик Гаусс.
Формулу Достоєвського «Краса врятує світ» я взяла як епіграф до роботи про красу в математиці. І він також обговорювався математиками.
— І вони погодились із цим твердженням?
— Математики не затверджували та не спростовували цього твердження. Вони його уточнили: "Усвідомлення краси врятує світ". Тут одразу згадалася робота Юджина Вігнера про роль свідомості у квантових вимірах, написана ним майже п'ятдесят років тому. У цій роботі Вігнер показав, що людська свідомістьвпливає на навколишнє середовище, тобто, що ми не тільки отримуємо інформацію ззовні, але й посилаємо наші думки та почуття у відповідь. Ця робота досі актуальна і має як своїх прихильників, і противників. Я дуже сподіваюся, що у ХХI столітті наука доведе: усвідомлення краси сприяє гармонізації нашого світу.

1. Формула Ейлера. Багато хто бачив у цій формулі символ єдності всієї математики, бо в ній "-1 представляє арифметику, i – алгебру, π – геометрію та e – аналіз".

2. Ця проста рівність показує, що величина 0,999 (і так до нескінченності) еквівалентна одиниці. Багато людей не вірять, що це може бути правдою, хоча є кілька доказів, заснованих на теорії меж. Проте рівність показує принцип нескінченності.


3. Це рівняння було сформульовано Ейнштейном у рамках новаторської загальної теоріївідносності 1915 року. Права частина цього рівняння описує енергію, що міститься у нашому Всесвіті (у тому числі "темну енергію"). Ліва сторонаописує геометрію простору-часу. Рівність відбиває те що, що у загальної теорії відносності Ейнштейна, маса і енергія визначають геометрію, і водночас кривизну, що є проявом гравітації. Ейнштейн говорив, що ліва частина рівнянь тяжіння в загальній теорії відносності, що містить гравітаційне поле, гарна і ніби вирізана з мармуру, тоді як права частинарівнянь, що описує матерію, все ще потворна, ніби зроблена зі звичайного дерева.


4. Ще одна домінуюча теорія фізики — Стандартна модель — описує електромагнітну, слабку та сильну взаємодію всіх елементарних частинок. Деякі фізики вважають, що вона відображає всі процеси, що відбуваються у Всесвіті, крім темної матерії, темної енергіїі не включає гравітацію. У Стандартну модель вписується і невловимий до минулого року бозон Хіггса, хоча не всі фахівці впевнені у його існуванні.


5. Теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Її ми пам'ятаємо ще зі школи та вважаємо, що автор теореми – Піфагор. Насправді цією формулою користувалися ще в Стародавньому Єгиптіпід час будівництва пірамід.


6. Теорема Ейлера. Ця теорема заклала фундамент нового розділу математики – топології. Рівняння встановлює зв'язок між числом вершин, ребер та граней для багатогранників, топологічно еквівалентних сфері.


7. Спеціальна теоріявідносності описує рух, закони механіки та просторово-часові відносини при довільних швидкостях руху, менших швидкостісвітла у вакуумі, у тому числі близьких до швидкості світла. Ейнштейн склав формулу, яка описує, що час і простір є абсолютними поняттями, а скоріше є відносними залежно від швидкості спостерігача. Рівняння показує, як розширюється чи уповільнюється час залежно від цього, як і куди рухається людина.


8. Рівняння було отримано у 1750-х роках Ейлером та Лагранжем при вирішенні задачі про ізохрон. Це проблема визначення кривої, через яку важка частка потрапляє у фіксовану точку за фіксований час, незалежно від початкової точки. У загальних словахЯкщо ваша система має симетрію, є відповідний закон збереження симетрії.


9. Рівняння Каллана - Сіманзіка. Воно є диференціальним рівнянням, що описує еволюцію н-кореляційної функціїпри зміні масштабу енергій, при яких теорія визначена і включає бета-функції теорії та аномальні розмірності. Це рівняння допомогло краще зрозуміти квантову фізику.


10. Рівняння мінімальної поверхні. Ця рівність пояснює формування мильних бульбашок.


11. Пряма Ейлера. Теорема Ейлера було доведено 1765 року. Він виявив, що середини сторін трикутника та основи його висот лежать на одному колі.


12. У 1928 році П.А.М. Дірак запропонував свій варіант рівняння Шредінгера – яке відповідало теорії А. Ейнштейна. Вчений світ був приголомшений - Дірак відкрив своє рівняння для електрона шляхом суто математичних маніпуляцій із вищими математичними об'єктами, відомими як спинори. І це було сенсацією – досі всі великі відкриття у фізиці мають стояти на міцній базі експериментальних даних. Але Дірак вважав, що чиста математика, якщо вона досить гарна, є надійним критерієм правильності висновків. «Краса рівнянь важливіша, ніж їхня відповідність експериментальним даним. ... Здається, що якщо прагнеш отримати в рівняннях красу і маєш здорову інтуїцію, то ти на правильному шляху». Саме завдяки його викладкам було відкрито позитрон – антиелектрон, і передбачив наявність у електрона «спина» – обертання елементарної частки.


13. Дж. Максвелл отримав дивовижні рівняння, що об'єднали всі явища електрики, магнетизму та оптики. Чудовий німецький фізик, один із творців статистичної фізикиЛюдвіг Больцман сказав про рівняння Максвелла: «Чи не Бог накреслив ці письмена?».


14. Рівняння Шредінгера.Рівняння, що описує зміну в просторі і в часі чистого стану, що задається хвильовою функцієюу гамільтонових квантових системах. Грає в квантової механікитаку ж важливу роль, як рівняння другого закону Ньютона у класичній механіці.

Голова йде довкола від безлічі математичних формул, які необхідно знати. Зубрежка та шпаргалки - доля слабких. А ось тим, хто хоче стати в математиці сильнішим, ми підкажемо кілька порад, як запам'ятовувати формули з математики так, щоб вони не вивітрилися з голови до контрольної, іспиту чи ЦТ.

Розумій формулу

Якщо ти заучуватимеш лише послідовність змінних, ризикуєш «втратити» всю формулу, коли забудеш символ або знак.

Задіяй усі види пам'яті

Читай формули вголос, прописуй на листку кілька разів, поки не запам'ятаєш. Задіяй всі види пам'яті, спираючись на ведучу. Візуальна та рухова пам'ять разом дають більший ефект. Звісно, ​​потенціал для запам'ятовування у кожного різний. Є спеціальні методики, які допомагають .

Ось ще кілька порад, як запам'ятати формули

Обов'язково роби формули наочними: обводь формулу в рамку, пиши її іншим кольором. Так буде легше знайти у конспекті та запам'ятати. А краще виписуй формули до окремого блокнота, структуруючи їх за темами. Позначай, у яких завданнях та чи інша формула знадобиться, у чому її особливість. Заведи звичку поповнювати список формул. Подібний «щоденник спостережень за формулами» допоможе освіжити у пам'яті важливу інформаціюперед контрольною, екзаменом чи ЦТ з математики.

Багато школярів ще ось що роблять: коли роздають проштамповані чернетки, ти береш і одразу ж записуєш на них важливі формули, які тобі тяжко даються. За півгодини до ЦТ ці формули зорово запам'ятав, а потім швиденько написав. Це заощаджує час. Особливо такий лайфхак добрий у тригонометрії. Чим більше знаєш формул, тим краще.

Перевіряй себе

Потрібно постійно повертатися до вивченого матеріалу, щоб не забути його. Спробуй метод "Дві картки", він підійде для запам'ятовування формул приведення, скороченого множення, тригонометричних формул. Візьми дві стопки карток різного кольору, на одній напиши ліву частину формули, а на іншій - праву. Розділи таким чином усі формули, що тобі потрібно запам'ятати, потім перемішай обидві стоси. Тягни по порядку картку з лівою частиною формули і підбирай її продовження серед «правих» і навпаки.

Картки хороші і в геометрії

Щоб запам'ятати формули з геометрії, заведи собі картки за темами («Формули площі», «Фомули для трикутника», «Фомули для квадрата» тощо) і записуй інформацію таким чином.

Можна фіксувати формули в окремому блокноті і завжди був під рукою — як тобі зручно

Будь на позитиві

Якщо ти вчиш щось з-під палиці, мозок сам хоче позбавитися від вантажу знань. Сприймай заучування формул як гарна вправадля тренування пам'яті Та й настрій піднімається, коли згадуєш потрібну формулудля вирішення.І звичайно ж, вирішуй як можна більше тестівта завдань для підготовки до контрольної, екзамену чи ЦТ!

ЦТ з математики - це типові завдання: чим більше тестів вирішуєш, тим вищий шанс зустріти щось схоже на ЦТ Неможливо підготуватися до ЦТ за одним завданням. Але коли ти вирішував 100 завдань, то 101 завдання не викликає труднощів.

Дмитро Судник, викладач математики у

Якщо матеріал був тобі корисний, не забудь поставити «мені подобається» у наших соцмережах

На даній сторінці Ви можете подивитися або безкоштовно скачати математичні формули, таблиціа також довідкові матеріали з вищої математики. Усі математичні таблиці складені особисто мною і мають додаткові коментарі. Зроблено це з метою подолання труднощів, із якими часто стикаються студенти-заочники під час вирішення завдань. Я не претендую на всеосяжну повноту матеріалів, але те, що дуже часто зустрічається, Ви знайдете.

Розглянемо, наприклад, таблицю тригонометричних формул. Тригонометричних формул досить багато, вони давно відомі, і немає жодного сенсу переписувати довідники. А ось ті формули, які дуже часто використовуються для вирішення задач курсу вищої математики, зібрані воєдино, і можуть бути дуже корисні при виконанні практичних завдань. При цьому в коментарях я вказую, у якому розділі вищої математики (межі, похідні, інтеграли тощо) практично завжди фігурує та чи інша формула.

Отже, прямо зараз у Вас є безкоштовний доступ до цінних довідкових матеріалів, можливий як онлайн перегляд, так і скачування. Найзручніше відразу роздрукувати математичні таблиці та довідкові матеріали, які Вас зацікавлять. Як показує практика, інформація на екрані монітора засвоюється гірше, ніж на папері, та читати з монітора важче.

Майже всі файли розміщені прямо на сайті, а значить можуть бути отримані в максимально короткий термін, обмежений тільки швидкістю Вашого Інтернет-підключення.

! У разі некоректного відображення PDF використовуйте наступні рекомендації

Рекомендую переглянути всім. Дані формули зустрічаються в ході вирішення задач з вищої математики буквально на кожному кроці. Без знання цих формул – нікуди. З чого розпочати вивчення вищої математики? З цього повторення. Незалежно від рівня Вашої математичної підготовки Наразі, вкрай бажано ВІДРАЗУ БАЧИТИ можливість виконання елементарних дій, застосування найпростіших формул у ході розв'язання меж, інтегралів, диференціальних рівняньі т.д.

У довіднику є коротка інформаціяпро модуль, формули скороченого множення, алгоритм розв'язання квадратного рівняння, правила спрощення багатоповерхових дробів, а також найважливіші властивостіступенів та логарифмів.

Наведені «ходові» тригонометричні формули, які застосовуються в ході вирішення задач з вищої математики Насправді таких формул ТРОХИ, і збирати десятки інших за різними математичними довідниками – марна трата часу. Все (або майже все), що може знадобитися – тут.

При виконанні завдань з математики нерідко виникає необхідність зазирнути в тригонометричні таблиці. В данному довідковий матеріалпредставлена ​​таблиця значень тригонометричних функцій (синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу) при значеннях аргументу від нуля до 360 градусів. Тримати у пам'яті цю інформаціюнемає жодного сенсу, але деякі значення тригонометричних функцій добре б знати. Також представлені формули приведення для вищезгаданих тригонометричних функцій, іноді(найчастіше при вирішенні меж) потрібні. На прохання відвідувачів сайту до pdf-файлу додано таблицю значень зворотних тригонометричних функцій та дві формули: формулу переведення градусів у радіани, формулу переведення радіанів у градуси.

Методичний матеріалє огляд графіків основних елементарних функційта їх властивостей. Буде корисний для вивчення практично всіх розділів вищої математики, більше того, довідковий посібник допоможе вам набагато краще та якіснішерозібратися у деяких темах. Також ви зможете дізнатися, які значення функцій слід знати напам'ять, щоб не отримати "два автоматом" при відповіді на найпростіше питанняекзаменатора. Довідка виконана у формі веб-сторінки та містить багато графіків функцій, які також бажано пам'ятати. З розвитком проекту методичка стала грати роль вступного уроку на тему «Функції та графіки».

На практиці у студентів-заочників практично завжди виникає необхідність використовувати перший та другий чудові межі, про які і йде мовау цій довідці. Також розглянуто ще три чудові межі, які зустрічаються значно рідше. Усі чудові межі забезпечені додатковими важливими коментарями. Крім того, файл доповнений інформацією про чудові еквівалентності.

У довідці наведено правила диференціювання та таблицю похідних від основних елементарних функцій. Таблиця має дуже важливі примітки.

Ваш гід за розділом «Функції та графіки». У pdf-ці систематизована та законспектована інформація про основні етапи дослідження функції однієї змінної. Керівництво супроводжується посиланнями, а отже, заощаджує багато часу. Мануал корисний як чайнику, і підготовленому читачеві.

Загалом, майже те саме, що в диференційному обчисленні. Правила інтегрування та таблиця інтегралів із моїми коментарями.

Довідковий матеріал незамінний щодо статечних рядів. У таблиці представлені розкладання статечний ряд наступних функцій: експоненти, синуса, косинуса, логарифму, арктангенсу та арксинусу. Також наведено біномне розкладання та найпоширеніші окремі випадки біномного розкладання. Розкладання функції в ряд є самостійним завданням, використовується для наближених обчислень, наближених обчислень певного інтеграла та деяких інших завданнях.

Основною складністю при вирішенні неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку постійними коефіцієнтамиє правильний підбірприватного рішення на вигляд правої частини. Дана методичка відноситься, перш за все, до уроку Як розв'язати неоднорідне рівняння другого порядку?та допоможе вам легко розібратися у доборі приватного рішення. Довідка не претендує на ґрунтовну наукову повноту, вона написана простою та зрозумілою мовою, однак у 99,99% випадків у ній знайдеться саме той випадок, який ви шукаєте.

Довідка незамінна під час рішення прикладних завдань комплексного аналізу – знаходження приватного рішення ДК операційним методомта знаходження приватного рішення системи ДУ цим же способом. Таблиця відрізняється від аналогів тим, що «заточена» саме під вищезгадані завдання, дана особливістьдозволяє легко освоїти алгоритми розв'язання. Наведено як пряме, так і зворотне перетворенняЛапласа для найпоширеніших функцій. Якщо інформації виявиться недостатньо, рекомендую звернутися до солідного математичного довідника - повна версіямістить понад сотню пунктів.

У довідковому матеріалі наведені формули факторіалу, кількості перестановок, поєднань, розміщень (з повтореннями та без повторень), а також змістовні коментарі до кожної формули, що дозволяють зрозуміти їхню суть. + Правила складання та множення комбінацій. Крім того, у pdf-ці є коротка інформація про біном Ньютона і трикутник Паскаля з прикладами їх практичного використання.

Файл містить перелік формул з короткими коментарями з обох глав тервера – Випадкові подіїі Випадкові величини, у тому числі наведені формули та числові характеристикипоширених дискретних та безперервних розподілів. Довідка систематизує матеріал і дуже зручна для виконання практичних завдань, зазираємо та одразу знаходимо те, що потрібно!

Спеціальні розрахункові програми:

У даному розділіви можете знайти допоміжні програми для вирішення широких та вузькокальних математичних завдань. Вони допоможуть вам швидко виконати розрахунки та оформити рішення.

Універсальний калькуляторреалізований у робочій книзі MS Excel, що містить три аркуші. Програма може замінити звичайний калькулятор із безліччю функцій. Будь-які ступеня, коріння, логарифми, тригонометричні функції, арки – без проблем! Крім того, калькулятор в автоматичному режимі виконує основні дії з матрицями , вважає визначники (до визначника 5 на 5 включно), миттєво знаходить мінори і алгебраїчні доповненняматриць. За лічені секунди можна вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці та за формулами Крамера, переглянути основні етапи рішення. Все це дуже зручно для самоперевірки. Просто введіть свої числа та отримайте готовий результат!

Дана напівавтоматична програмавідноситься до уроку Формула трапецій, формула Сімпсонаі допомагає розрахувати наближене значення певного інтеграла на 2, 4, 8, 10 та 20 відрізках розбиття. Додається відеоурок роботи з калькулятором. Обчисліть ваш визначений інтегралза лічені хвилини, і навіть секунди!

На даний момент поки що все.

Розділ поступово поповнюється додатковими матеріаламита корисними програмами. Кожен довідковий посібник неодноразово редагувався та покращувався, в тому числі, з урахуванням ваших побажань та зауважень! Якщо Ви вважаєте, що втрачено щось важливе, знайшли якісь неточності, а можливо, щось роз'яснено недостатньо зрозуміло, обов'язково пишіть !

З повагою, Ємелін Олександр

Освіта - те, що залишається після того, як забуто все, чого навчали у школі.

Ігор Хмелінський, новосибірський вчений, що нині працює в Португалії, доводить, що без прямого запам'ятовування текстів та формул розвиток абстрактної пам'яті у дітей важко. Наведу витяг з його статті "Уроки освітніх реформу Європі та країнах колишнього СРСР"

Заучування напам'ять та довготривала пам'ять

Незнання таблиці множення має більш серйозні наслідки, ніж нездатність виявити помилки у розрахунках на калькуляторі. Наша довготривала пам'ять працює за принципом асоціативної бази даних, тобто одні елементи інформації при запам'ятовуванні виявляються пов'язаними з іншими на основі асоціацій, встановлених в момент знайомства з ними. Тому, щоб у голові утворилася база знань у будь-якій предметної області, наприклад, в арифметиці, потрібно спочатку вивчити хоч щось напам'ять. Далі, інформація, що знову надходить, потрапить з короткочасної пам'ятіу довготривалу, якщо протягом короткого проміжку часу (кілька днів) ми зіткнемося з нею багаторазово, і, бажано, за різних обставин (що сприяє створенню корисних асоціацій). Однак за відсутності в постійній пам'яті знань з арифметики, елементи інформації, що знову надходять, пов'язуються з елементами, які до арифметики жодного відношення не мають – наприклад, особистістю викладача, погодою на вулиці тощо. Очевидно, таке запам'ятовування ніякої реальної користі учню не принесе – оскільки асоціації виводять із даної предметної галузі, то ніяких знань, що стосуються арифметики, учень згадати не зможе, крім невиразних ідей про те, що він начебто щось колись про це мав чути. Для таких учнів роль асоціацій, що бракують, зазвичай виконують різного родупідказки – списати у колеги, скористатися питаннями, що наводять, у самій контрольній, формулами зі списку формул, яким користуватися дозволено, тощо. У реального життя, без підказок, така людина виявляється абсолютно безпорадною і нездатною застосувати знання, що є у неї в голові.

Формування математичного апарату, при якому формули не заучуються, відбувається повільніше, ніж інакше. Чому? По-перше, нові властивості, теореми, взаємозв'язки між математичними об'єктами майже завжди використовують якісь особливості раніше вивчених формул та понять. Концентрувати увагу учня на новому матеріалі буде складніше, якщо ці особливості не зможуть отримувати з пам'яті за короткий проміжок часу. По-друге, незнання формул напам'ять перешкоджає пошуку вирішення змістовних завдань з великою кількістюдрібних операцій, у яких потрібно як провести певні перетворення, а й виявити послідовність цих ходів, аналізуючи застосування кількох формул на два-три кроки вперед.

Практика показує, що інтелектуальне та математичний розвитокдитини, формування її бази знань та навичок, відбувається значно швидше, якщо більша частинавикористовуваної інформації (властивості та формули) бути в голові. І чим міцніше і довше вона там утримується, тим краще.