Công thức Bernoulli cho các xác suất khác nhau. Tổng quát về lược đồ Bernoulli

Cho n phép thử được thực hiện đối với sự kiện A. Hãy giới thiệu các sự kiện sau: Аk - sự kiện А được thực hiện trong bài kiểm tra thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $. Khi đó $ \ bar (A) _ (k) $ là sự kiện ngược lại (sự kiện A không xảy ra trong lần thử thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $).

Thử nghiệm đồng đẳng và độc lập là gì

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là cùng loại đối với sự kiện A nếu xác suất của các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ là như nhau: $ P (A1) = P (A2) = \ dot = P (An) $ (nghĩa là xác suất xảy ra sự kiện A trong một lần thử là không đổi trong tất cả các lần thử).

Rõ ràng, trong trường hợp này, các xác suất sự kiện ngược lại cũng khớp: $ P (\ bar (A) _ (1)) = P (\ bar (A) _ (2)) = ... = P (\ bar (A) _ (n)) $.

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là độc lập đối với sự kiện A nếu các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ độc lập.

Trong trường hợp này

Trong trường hợp này, quyền bình đẳng được bảo toàn khi bất kỳ sự kiện nào Ak được thay thế bằng $ \ bar (A) _ (k) $.

Giả sử, liên quan đến sự kiện A, một chuỗi n tương tự kiểm tra độc lập. Ta ký hiệu: p - xác suất của biến cố A trong một phép thử; q là xác suất của biến cố ngược lại. Do đó P (Ak) = p, $ P (\ bar (A) _ (k)) = q $ với k bất kỳ và p + q = 1.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử, sự kiện A sẽ xảy ra đúng k lần (0 ≤ k ≤ n) được tính theo công thức:

$ P_ (n) (k) = C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (1)

Đẳng thức (1) được gọi là công thức Bernoulli.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử độc lập của cùng một loại sự kiện A sẽ xảy ra ít nhất k1 lần và nhiều nhất k2 lần được tính bằng công thức:

$ P_ (n) (k_ (1) \ le k \ le k_ (2)) = \ sum \ limit _ (k = k_ (1)) ^ (k_ (2)) C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (2)

Áp dụng công thức Bernoulli cho giá trị lớn n dẫn đến các phép tính rườm rà, vì vậy trong những trường hợp này tốt hơn nên sử dụng các công thức khác - các công thức tiệm cận.

Tổng quát về lược đồ Bernoulli

Hãy xem xét một bản tổng quát của lược đồ Bernoulli. Nếu trong một chuỗi n phép thử độc lập, mỗi phép thử có m kết quả không tương thích từng cặp và có thể có kết quả Ak với xác suất tương ứng Рk = рk (Аk). Khi đó công thức phân phối đa thức là hợp lệ:

ví dụ 1

Xác suất mắc bệnh cúm trong thời kỳ có dịch là 0,4. Tìm xác suất để trong 6 nhân viên của công ty bị ốm.

chính xác là 4 nhân viên;
không quá 4 nhân viên.

Quyết định. 1) Rõ ràng, để giải quyết vấn đề này, công thức Bernoulli có thể áp dụng được, trong đó n = 6; k = 4; p = 0,4; q = 1-p = 0,6. Áp dụng công thức (1), ta nhận được: $ P_ (6) (4) = C_ (6) ^ (4) \ cdot 0,4 ^ (4) \ cdot 0,6 ^ (2) \ khoảng 0,138 $.

Để giải quyết vấn đề này, có thể áp dụng công thức (2), trong đó k1 = 0 và k2 = 4. Chúng ta có:

\ [\ begin (array) (l) (P_ (6) (0 \ le k \ le 4) = \ sum \ limit _ (k = 0) ^ (4) C_ (6) ^ (k) p ^ ( k) q ^ (6-k) = C_ (6) ^ (0) \ cdot 0,4 ^ (0) \ cdot 0,6 ^ (6) + C_ (6) ^ (1) \ cdot 0,4 ^ (1) \ cdot 0,6 ^ (5) + C_ (6) ^ (2) \ cdot 0,4 ^ (2) \ cdot 0,6 ^ (4) +) \\ (+ C_ (6) ^ (3) \ cdot 0,4 ^ (3) \ cdot 0,6 ^ (3) + C_ (6) ^ (4) \ cdot 0,4 ^ (4) \ cdot 0,6 ^ (2) \ khoảng 0,959.) \ end (mảng) \]

Cần lưu ý rằng nhiệm vụ này dễ giải quyết hơn khi sử dụng sự kiện ngược lại - hơn 4 nhân viên bị ốm. Sau đó, tính đến công thức (7) về xác suất của các sự kiện ngược lại, chúng ta thu được:

Trả lời: $ \ 0,959.

Ví dụ 2

Một bình đựng 20 viên bi trắng và 10 bi đen. 4 viên bi được lấy ra, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại vào bình trước khi người tiếp theo được rút ra và các bóng trong bình được trộn lẫn. Tìm xác suất để trong 4 bi rút ra có 2 bi trắng như hình 1.

Bức tranh 1.

Quyết định. Hãy để sự kiện A bao gồm thực tế là - đã Quả bóng trắng. Khi đó các xác suất $ D (A) = \ frac (2) (3), \, \, D (\ overline (A)) = 1- \ frac (2) (3) = \ frac (1) (3) $.

Theo công thức Bernoulli, xác suất bắt buộc là $ D_ (4) (2) = N_ (4) ^ (2) \ left (\ frac (2) (3) \ right) ^ (2) \ left (\ frac (1) (3) \ right) ^ (2) = \ frac (8) (27) $.

Trả lời: $ \ frac (8) (27) $.

Ví dụ 3

Xác định xác suất để một gia đình có 5 người con, có không quá 3 bạn gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Quyết định. Xác suất sinh con gái $ \ part = \ frac (1) (2), \, q = \ frac (1) (2) $ -xác suất sinh con trai. Trong một gia đình có không quá ba bé gái, nghĩa là một hoặc hai hoặc ba bé gái được sinh ra hoặc tất cả các bé trai trong gia đình.

Tìm xác suất để trong gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái: $ D_ (5) (0) = q ^ (5) = \ frac (1) (32) $,

\ \ \

Do đó, xác suất yêu cầu là $ D = D_ (5) (0) + D_ (5) (1) + D_ (5) (2) + D_ (5) (3) = \ frac (13) (16) $ .

Trả lời: $ \ frac (13) (16) $.

Ví dụ 4

Người bắn đầu tiên với một lần bắn có thể bắn trúng tốp 10 với xác suất 0,6, chín với xác suất 0,3 và tốp tám với xác suất 0,1. Xác suất để với 10 lần bắn, anh ta bắn trúng mười sáu lần, chín ba lần và tám lần tám?

Coi như Phân phối nhị thức, tính toán kỳ vọng, phương sai, chế độ toán học của nó. Sử dụng hàm MS EXCEL BINOM.DIST (), chúng ta sẽ vẽ đồ thị hàm phân phối và đồ thị mật độ xác suất. Hãy để chúng tôi ước tính tham số phân phối p, kỳ vọng toán học phân phối và độ lệch chuẩn. Cũng xem xét phân phối Bernoulli.

Sự định nghĩa. Hãy để chúng được giữ N các thử nghiệm, trong mỗi thử nghiệm chỉ có 2 sự kiện có thể xảy ra: sự kiện "thành công" với một xác suất P hoặc sự kiện "thất bại" với xác suất q = 1-p (cái gọi là Đề án Bernoulli,Bernoullithử nghiệm).

Xác suất nhận được chính xác x thành công trong những N các bài kiểm tra tương đương với:

Số lần thành công trong mẫu x là một biến ngẫu nhiên có Phân phối nhị thức(Tiếng Anh) Nhị thứcphân bổ) P và N– là các tham số của phân phối này.

Nhớ lại điều đó để áp dụng Đề án Bernoulli và tương ứng phân phối nhị thức, các điều kiện sau phải được đáp ứng:

mỗi thử nghiệm phải có đúng hai kết quả, có điều kiện gọi là "thành công" và "thất bại".
kết quả của mỗi thử nghiệm không được phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm trước đó (tính độc lập của thử nghiệm).
tỉ lệ thành công P nên không đổi cho tất cả các thử nghiệm.

Phân phối nhị thức trong MS EXCEL

Trong MS EXCEL, bắt đầu từ phiên bản 2010, cho Phân phối nhị thức có một hàm BINOM.DIST (), tên tiêng Anh- BINOM.DIST (), cho phép bạn tính xác suất để mẫu là chính xác X"thành công" (tức là hàm mật độ xác suất p (x), xem công thức ở trên), và hàm phân phối tích phân(xác suất rằng mẫu sẽ có x hoặc ít hơn "thành công", bao gồm cả 0).

Trước MS EXCEL 2010, EXCEL có hàm BINOMDIST (), hàm này cũng cho phép bạn tính toán Chức năng phân phối và mật độ xác suất p (x). BINOMDIST () được để lại trong MS EXCEL 2010 để tương thích.

Tệp ví dụ chứa đồ thị mật độ phân phối xác suất và .

Phân phối nhị thức có chỉ định B(N; P) .

Ghi chú: Đối với tòa nhà hàm phân phối tích phân loại biểu đồ phù hợp hoàn hảo Lịch trình, vì mật độ phân phối – Biểu đồ với nhóm. Để biết thêm thông tin về cách xây dựng biểu đồ, hãy đọc bài viết Các loại biểu đồ chính.

Ghi chú: Để thuận tiện cho việc viết công thức trong tệp ví dụ, Tên cho các tham số đã được tạo Phân phối nhị thức: n và p.

Tệp ví dụ hiển thị các phép tính xác suất khác nhau bằng cách sử dụng các hàm MS EXCEL:

Như đã thấy trong hình trên, người ta giả định rằng:

Tập hợp vô hạn mà từ đó mẫu được tạo ra chứa 10% (hoặc 0,1) phần tử tốt (tham số P, đối số hàm thứ ba = BINOM.DIST ())
Để tính xác suất trong một mẫu có 10 phần tử (tham số N, đối số thứ hai của hàm) sẽ có đúng 5 phần tử hợp lệ (đối số thứ nhất), bạn cần viết công thức: = BINOM.DIST (5, 10, 0,1, FALSE)
Phần tử cuối cùng, thứ tư được đặt = FALSE, tức là giá trị hàm được trả về mật độ phân phối.

Nếu giá trị của đối số thứ tư = TRUE, thì hàm BINOM.DIST () trả về giá trị hàm phân phối tích phân hoặc đơn giản Chức năng phân phối. Trong trường hợp này, chúng ta có thể tính xác suất để số phần tử tốt trong mẫu sẽ là phạm vi nhất định, ví dụ: 2 hoặc ít hơn (bao gồm cả 0).

Để làm điều này, bạn cần viết công thức:
= BINOM.DIST (2, 10, 0,1, TRUE)

Ghi chú: Với giá trị không nguyên của x,. Ví dụ: các công thức sau sẽ trả về cùng một giá trị:
= BINOM.DIST ( 2 ; mười; 0,1; THÀNH THẬT)
= BINOM.DIST ( 2,9 ; mười; 0,1; THÀNH THẬT)

Ghi chú: Trong tệp ví dụ mật độ xác suất và Chức năng phân phối cũng được tính bằng định nghĩa và hàm COMBIN ().

Các chỉ số phân phối

TẠI tập tin ví dụ trên trang tính Ví dụ có các công thức tính một số chỉ tiêu phân phối:

= n * p;
(độ lệch chuẩn bình phương) = n * p * (1-p);
= (n + 1) * p;
= (1-2 * p) * ROOT (n * p * (1-p)).

Chúng tôi suy ra công thức kỳ vọng toán học Phân phối nhị thức sử dụng Đề án Bernoulli.

A-priory giá trị ngẫu nhiên X trong Đề án Bernoulli(Biến ngẫu nhiên Bernoulli) có Chức năng phân phối:

Phân phối này được gọi là Phân phối Bernoulli.

Ghi chú: Phân phối Bernoulli – trương hợp đặc biệt Phân phối nhị thức với tham số n = 1.

Hãy tạo 3 mảng gồm 100 số với xác suất khác nhau thành công: 0,1; 0,5 và 0,9. Để làm điều này, trong cửa sổ Tạo số ngẫu nhiênđặt các tùy chọn sau với mỗi xác suất p:

Ghi chú: Nếu bạn đặt tùy chọn Phân tán ngẫu nhiên (Hạt giống ngẫu nhiên), sau đó bạn có thể chọn một tập hợp ngẫu nhiên số được tạo. Ví dụ: bằng cách đặt tùy chọn này = 25, bạn có thể tạo các bộ số ngẫu nhiên giống nhau trên các máy tính khác nhau (tất nhiên, nếu các tham số phân phối khác giống nhau). Giá trị tùy chọn có thể nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 32,767. Tên tùy chọn Phân tán ngẫu nhiên có thể nhầm lẫn. Sẽ tốt hơn nếu dịch nó thành Đặt số với các số ngẫu nhiên.

Kết quả là ta sẽ có 3 cột gồm 100 số, dựa vào đó chẳng hạn ta có thể ước lượng xác suất thành công P theo công thức: Số lần thành công / 100(cm. trang tệp ví dụ Tạo Bernoulli).

Ghi chú: Vì Bản phân phối của Bernoulli với p = 0,5, bạn có thể sử dụng công thức = RANDBETWEEN (0; 1), tương ứng với.

Sinh số ngẫu nhiên. Phân phối nhị thức

Giả sử có 7 mặt hàng bị lỗi trong mẫu. Điều này có nghĩa là "rất có thể" tỷ lệ sản phẩm bị lỗi đã thay đổi. P, đó là một đặc điểm của quy trình sản xuất của chúng tôi. Mặc dù tình huống này là "rất có thể xảy ra", nhưng có khả năng xảy ra (rủi ro alpha, lỗi loại 1, "báo động sai") P không thay đổi, và số lượng sản phẩm bị lỗi tăng lên là do lấy mẫu ngẫu nhiên.

Như có thể thấy trong hình dưới đây, 7 là số sản phẩm bị lỗi có thể chấp nhận được cho một quá trình với p = 0,21 ở cùng một giá trị Alpha. Điều này minh họa rằng khi vượt quá ngưỡng các mặt hàng bị lỗi trong một mẫu, P"Có thể" tăng lên. Cụm từ "nhiều khả năng" có nghĩa là chỉ có 10% cơ hội (100% -90%) rằng độ lệch của tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trên ngưỡng chỉ là do các nguyên nhân ngẫu nhiên.

Do đó, vượt quá ngưỡng số lượng sản phẩm bị lỗi trong mẫu có thể coi là một tín hiệu cho thấy quá trình đã trở nên khó khăn và bắt đầu tạo ra b Về tỷ lệ sản phẩm bị lỗi cao hơn.

Ghi chú: Trước MS EXCEL 2010, EXCEL có một hàm CRITBINOM (), tương đương với BINOM.INV (). CRITBINOM () vẫn còn trong MS EXCEL 2010 trở lên để tương thích.

Mối quan hệ của phân phối Nhị thức với các phân phối khác

Nếu tham số N Phân phối nhị thức có xu hướng vô cùng và P có xu hướng về 0, thì trong trường hợp này Phân phối nhị thức có thể được gần đúng.
Có thể hình thành các điều kiện khi tính gần đúng Phân phối Poisson hoạt động tốt:

P<0,1 (ít P và hơn thế nữa N, ước tính càng chính xác);
P>0,9 (xem xét điều đó q=1- P, các phép tính trong trường hợp này phải được thực hiện bằng cách sử dụng q(một X cần được thay thế bằng N- x). Do đó, càng ít q và hơn thế nữa N, ước tính càng chính xác).

Tại 0,1<=p<=0,9 и n*p>10 Phân phối nhị thức có thể được gần đúng.

Đến lượt nó, Phân phối nhị thức có thể đóng vai trò là một phép gần đúng tốt khi quy mô dân số là N Phân phối siêu đo lớn hơn nhiều so với cỡ mẫu n (tức là N >> n hoặc n / N<<1).

Bạn có thể đọc thêm về mối quan hệ của các phân phối trên trong bài viết. Các ví dụ về tính gần đúng cũng được đưa ra ở đó, và các điều kiện được giải thích khi nào có thể và với độ chính xác.

KHUYÊN BẢO: Bạn có thể đọc về các bản phân phối khác của MS EXCEL trong bài viết.

Lý thuyết ngắn gọn

Lý thuyết xác suất đề cập đến các thí nghiệm có thể được lặp lại (ít nhất là trên lý thuyết) không giới hạn số lần. Hãy để một số thử nghiệm được lặp lại một lần và kết quả của mỗi lần lặp lại không phụ thuộc vào kết quả của các lần lặp lại trước đó. Các chuỗi lặp lại như vậy được gọi là các thử nghiệm độc lập. Một trường hợp đặc biệt của các bài kiểm tra như vậy là các thử nghiệm Bernoulli độc lập, được đặc trưng bởi hai điều kiện:

1) kết quả của mỗi bài kiểm tra là một trong hai kết quả có thể xảy ra, được gọi tương ứng là "thành công" hoặc "thất bại".

2) xác suất "thành công" trong mỗi thử nghiệm tiếp theo không phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm trước đó và không đổi.

Định lý Bernoulli

Nếu một loạt các thử nghiệm Bernoulli độc lập được thực hiện, trong mỗi thử nghiệm "thành công" xảy ra với xác suất, thì xác suất "thành công" trong các thử nghiệm xảy ra đúng một lần được biểu thị bằng công thức:

xác suất thất bại ở đâu.

- số lượng kết hợp của các phần tử bằng (xem các công thức cơ bản của tổ hợp)

Công thức này được gọi là Công thức Bernoulli.

Công thức Bernoulli cho phép bạn loại bỏ một số lượng lớn các phép tính - cộng và nhân các xác suất - với một số lượng thử nghiệm đủ lớn.

Sơ đồ kiểm tra Bernoulli còn được gọi là sơ đồ nhị thức, và các xác suất tương ứng được gọi là nhị thức, được kết hợp với việc sử dụng các hệ số nhị thức.

Đặc biệt, phân phối theo lược đồ Bernoulli cho phép tìm ra số lần xuất hiện một sự kiện có thể xảy ra nhất.

Nếu số lần thử N tuyệt vời, sau đó tận hưởng:

Ví dụ về giải pháp vấn đề

Nhiệm vụ

Tỷ lệ nảy mầm của hạt của một loại cây nào đó là 70%. Xác suất để trong 10 hạt được gieo: 8, ít nhất 8 hạt; ít nhất 8?

Giải pháp của vấn đề

Hãy sử dụng công thức Bernoulli:

Trong trường hợp của chúng ta

Hãy để sự kiện - cứ 10 hạt thì 8 hạt nảy mầm:

Hãy để sự kiện - tăng ít nhất 8 (nghĩa là 8, 9 hoặc 10)

Hãy để sự kiện tăng ít nhất 8 (nghĩa là 8,9 hoặc 10)

Trả lời

Trung bình chi phí giải quyết công việc kiểm soát là 700 - 1200 rúp (nhưng không dưới 300 rúp cho toàn bộ đơn hàng). Giá cả bị ảnh hưởng mạnh bởi tính khẩn cấp của quyết định (từ vài ngày đến vài giờ). Chi phí trợ giúp trực tuyến trong bài kiểm tra / bài kiểm tra - từ 1000 rúp. cho các giải pháp vé.

Ứng dụng có thể được để trực tiếp trong cuộc trò chuyện, trước đó đã loại bỏ điều kiện của nhiệm vụ và thông báo cho bạn về thời hạn giải quyết nó. Thời gian trả lời là vài phút.

Chúng ta đừng nghĩ về sự cao cả trong một thời gian dài - chúng ta hãy bắt đầu ngay với một định nghĩa.

- đây là khi n thí nghiệm độc lập cùng loại được thực hiện, trong mỗi thí nghiệm có thể xuất hiện một sự kiện A mà chúng ta quan tâm và xác suất của sự kiện này P (A) \ u003d p được biết đến. Yêu cầu xác định xác suất để sự kiện A xảy ra đúng k lần trong n lần thử nghiệm.

Các nhiệm vụ được giải quyết theo sơ đồ Bernoulli vô cùng đa dạng: từ những nhiệm vụ đơn giản (chẳng hạn như “tìm xác suất người bắn trúng 1 lần trong số 10”) đến những nhiệm vụ rất khắc nghiệt (ví dụ: nhiệm vụ tính theo tỷ lệ phần trăm hoặc chơi bài) . Trong thực tế, sơ đồ này thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến kiểm soát chất lượng sản phẩm và độ tin cậy của các cơ chế khác nhau, tất cả các đặc tính của chúng phải được biết trước khi bắt đầu làm việc.

Hãy quay trở lại định nghĩa. Vì chúng ta đang nói về các thử nghiệm độc lập và trong mỗi thử nghiệm, xác suất của sự kiện A là như nhau, nên chỉ có hai kết quả có thể xảy ra:

A là lần xuất hiện biến cố A với xác suất p;
"not A" - sự kiện A không xuất hiện, xảy ra với xác suất q = 1 - p.

Điều kiện quan trọng nhất mà sơ đồ Bernoulli mất đi ý nghĩa của nó là tính không đổi. Bất kể chúng ta tiến hành bao nhiêu thí nghiệm, chúng ta đều quan tâm đến cùng một sự kiện A, xảy ra với cùng một xác suất p.

Ngẫu nhiên, không phải tất cả các vấn đề trong lý thuyết xác suất đều có thể được rút gọn thành các điều kiện không đổi. Bất kỳ gia sư có năng lực về toán học cao hơn sẽ cho bạn biết về điều này. Ngay cả một việc đơn giản như lấy những quả bóng màu ra khỏi hộp cũng không phải là một thí nghiệm với các điều kiện không đổi. Họ lấy ra một quả bóng khác - tỷ lệ màu sắc trong hộp đã thay đổi. Do đó, các xác suất cũng đã thay đổi.

Nếu các điều kiện không đổi, người ta có thể xác định chính xác xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong số n có thể. Chúng tôi hình thành dữ kiện này dưới dạng một định lý:

Gọi xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi thí nghiệm là không đổi và bằng p. Khi đó xác suất để trong n lần thử độc lập, sự kiện A xuất hiện đúng k lần được tính theo công thức:

trong đó C n k là số tổ hợp, q = 1 - p.

Công thức này được gọi là: Có một điều thú vị là những vấn đề dưới đây hoàn toàn được giải quyết mà không cần sử dụng công thức này. Ví dụ, bạn có thể áp dụng các công thức cộng xác suất. Tuy nhiên, số lượng tính toán sẽ đơn giản là không thực tế.

Nhiệm vụ. Xác suất để trên máy sản xuất ra một phế phẩm là 0,2. Xác định xác suất để trong một lô gồm mười bộ phận được sản xuất trên một máy đã cho có đúng k không có khuyết tật. Giải bài toán cho k = 0, 1, 10.

Theo giả thiết, chúng ta quan tâm đến trường hợp A phát hành sản phẩm không có khuyết tật, xảy ra mỗi lần với xác suất p = 1 - 0,2 = 0,8. Chúng ta cần xác định xác suất để sự kiện này xảy ra k lần. Sự kiện A đối lập với sự kiện "không phải A", tức là sản xuất một sản phẩm bị lỗi.

Như vậy, ta có: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Vì vậy, chúng tôi tìm xác suất để tất cả các bộ phận trong lô bị lỗi (k = 0), chỉ một bộ phận bị lỗi (k = 1) và không có bộ phận nào bị lỗi (k = 10):

Nhiệm vụ. Đồng xu được tung 6 lần. Việc mất quốc huy và đuôi cũng có thể xảy ra. Tìm xác suất để:

quốc huy sẽ rụng ba lần;

quốc huy sẽ rụng một lần;

quốc huy sẽ xuất hiện ít nhất hai lần.

Vì vậy, chúng tôi quan tâm đến sự kiện A, khi quốc huy rơi ra. Xác suất của biến cố này là p = 0,5. Sự kiện A bị phản lại bởi sự kiện “không phải A”, khi nó xuất hiện các đầu, xảy ra với xác suất q = 1 - 0,5 = 0,5. Cần xác định xác suất để quốc huy rơi ra k lần.

Như vậy, ta có: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Hãy để chúng tôi xác định xác suất để quốc huy rơi ra ba lần, tức là k = 3:

Bây giờ, hãy xác định xác suất để quốc huy chỉ rơi ra một lần, tức là k = 1:

Việc xác định xem quốc huy sẽ rơi ra ít nhất hai lần với xác suất là bao nhiêu. Điều khó khăn chính là trong cụm từ "không kém". Hóa ra là bất kỳ k nào, ngoại trừ 0 và 1, sẽ phù hợp với chúng ta, tức là bạn cần tìm giá trị của tổng X \ u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Lưu ý rằng tổng này cũng bằng (1 - P 6 (0) - P 6 (1)), tức là trong số tất cả các phương án khả thi, nó đủ để “cắt bỏ” những phương án khi quốc huy rơi ra 1 lần (k = 1) hoặc hoàn toàn không rơi ra (k = 0). Vì P 6 (1) chúng ta đã biết nên vẫn phải tìm P 6 (0):

Nhiệm vụ. Xác suất để một TV có các khuyết tật tiềm ẩn là 0,2. Kho nhận được 20 TV. Sự kiện nào có khả năng xảy ra cao hơn: rằng có hai TV bị lỗi ẩn trong lô hoặc ba chiếc này?

Sự kiện quan tâm A là sự hiện diện của một khuyết tật tiềm ẩn. Tổng số TV n = 20, xác suất để khuyết tật p = 0,2. Theo đó, xác suất để được một chiếc TV không bị khuyết tật ẩn là q = 1 - 0,2 = 0,8.

Chúng ta nhận được các điều kiện bắt đầu cho lược đồ Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Hãy tìm xác suất để có được hai TV "bị lỗi" (k = 2) và ba (k = 3):

\ [\ begin (array) (l) (P_ (20)) \ left (2 \ right) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Rõ ràng, P 20 (3)> P 20 (2), tức là xác suất nhận được ba TV có khuyết tật tiềm ẩn nhiều hơn khả năng chỉ nhận được hai TV như vậy. Hơn nữa, sự khác biệt không phải là yếu kém.

Một lưu ý nhỏ về giai thừa. Nhiều người gặp phải cảm giác khó chịu mơ hồ khi nhìn thấy mục nhập "0!" (đọc "giai thừa không"). Vì vậy, 0! = 1 theo định nghĩa.

Tái bút: Và xác suất lớn nhất trong nhiệm vụ cuối cùng là lấy được bốn chiếc TV có khuyết tật ẩn. Làm phép toán và xem cho chính mình.

Xem thêm:

Cảm ơn bạn đã đọc và chia sẻ với những người khác

Khi giải quyết các bài toán xác suất, người ta thường gặp các tình huống trong đó cùng một phiên tòa được lặp lại nhiều lần và kết quả của mỗi phiên tòa độc lập với kết quả của những phiên tòa khác. Thí nghiệm này còn được gọi là sơ đồ các bài kiểm tra độc lập lặp đi lặp lại hoặc Đề án Bernoulli.

Ví dụ về kiểm tra lại:

1) chiết nhiều quả bóng ra khỏi bình, với điều kiện quả bóng được lấy ra sau khi đăng ký màu sắc của nó được đưa trở lại vào bình;

2) lặp lại bởi một người bắn các phát bắn vào cùng một mục tiêu, với điều kiện là xác suất trúng đích thành công của mỗi phát bắn là như nhau (vai trò của bắn không được tính đến).

Vì vậy, hãy để kết quả của bài kiểm tra có thể hai kết quả: một sự kiện sẽ xuất hiện NHƯNG, hoặc sự kiện ngược lại của nó. Hãy thực hiện n thử nghiệm Bernoulli. Điều này có nghĩa là tất cả n thử nghiệm là độc lập; xác suất xuất hiện của sự kiện $ A $ trong mỗi phép thử riêng lẻ hoặc đơn lẻ là không đổi và không thay đổi từ thử nghiệm này sang thử nghiệm khác (tức là các thử nghiệm được thực hiện trong cùng các điều kiện). Hãy để chúng tôi biểu thị xác suất xuất hiện của sự kiện $ A $ trong một thử nghiệm đơn lẻ bằng chữ cái $ p $, tức là $ p = P (A) $, và xác suất của sự kiện ngược lại (sự kiện $ A $ không xảy ra) được cho bởi chữ cái $ q = P (\ overline (A)) = 1-p $.

Sau đó, xác suất để sự kiện NHƯNG sẽ xuất hiện trong những N kiểm tra chính xác k lần, bày tỏ Công thức Bernoulli

$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^ (n-k), \ quad q = 1-p. $$

Sự phân bố số lần thành công (lần xuất hiện của một sự kiện) được gọi là phân phối nhị thức.

Máy tính trực tuyến cho công thức Bernoulli

Một số dạng bài toán phổ biến nhất sử dụng công thức Bernoulli được phân tích trong các bài báo và cung cấp một máy tính trực tuyến, bạn có thể truy cập chúng bằng cách sử dụng các liên kết:

Ví dụ về các giải pháp cho các vấn đề về công thức Bernoulli

Ví dụ. Một bình đựng 20 viên bi trắng và 10 bi đen. 4 viên bi được lấy ra, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại vào bình trước khi người tiếp theo được rút ra và các bóng trong bình được trộn lẫn.

Công thức Bernoulli. Giải quyết vấn đề

Tìm xác suất để 2 trong 4 bi rút ra có màu trắng.

Quyết định. Biến cố NHƯNG- có một quả bóng màu trắng. Sau đó, các xác suất
, .
Theo công thức Bernoulli, xác suất yêu cầu là
.

Ví dụ. Xác định xác suất để một gia đình có 5 người con, có không quá 3 bạn gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Quyết định. Xác suất sinh con gái
, sau đó .

Hãy tìm xác suất để trong một gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái:

, ,

, .

Do đó, xác suất mong muốn

Ví dụ. Trong số các bộ phận do công nhân gia công, có trung bình 4% không đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để hai trong số 30 bộ phận được lấy để kiểm tra không đạt tiêu chuẩn.

Quyết định.Ở đây, kinh nghiệm nằm ở việc kiểm tra chất lượng của từng bộ phận trong số 30 bộ phận.

Sự kiện A là “sự xuất hiện của một bộ phận không chuẩn”, khi đó, xác suất của nó là. Từ đây, theo công thức Bernoulli, chúng tôi thấy
.

Ví dụ. Với mỗi lần bắn cá nhân từ súng, xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,9. Tìm xác suất để trong 20 lần bắn thì số lần bắn trúng đích ít nhất là 16 và nhiều nhất là 19.

Quyết định. Chúng tôi tính toán theo công thức Bernoulli:

Ví dụ. Các thử nghiệm độc lập tiếp tục cho đến khi sự kiện NHƯNG sẽ không xảy ra k Một lần. Tìm xác suất để điều đó xảy ra N thử nghiệm (n ³ k), nếu trong mỗi thử nghiệm.

Quyết định. Biến cố TẠI- một cách chính xác N kiểm tra trước k-sự xuất hiện lần thứ của sự kiện NHƯNG là sản phẩm của hai sự kiện sau:

D-in N bài kiểm tra thứ NHƯNGđã xảy ra;

C - đầu tiên (n – 1) bài kiểm tra thứ NHƯNGđã xuất hiện (k-1) Một lần.

Định lý nhân và công thức Bernoulli đưa ra xác suất cần thiết:

Cần lưu ý rằng việc sử dụng luật nhị thức thường đi kèm với những khó khăn về tính toán. Do đó, với giá trị ngày càng tăng N và m nó trở nên thích hợp khi sử dụng các công thức gần đúng (Poisson, Moivre-Laplace), sẽ được thảo luận trong các phần sau.

Video hướng dẫn công thức Bernoulli

Đối với những người dễ hình dung hơn trong phần giải thích video tuần tự, một video dài 15 phút:

Công thức xác suất tổng: Lý thuyết và các ví dụ về giải quyết vấn đề

Công thức xác suất tổng và xác suất có điều kiện của các sự kiện

Công thức xác suất tổng là hệ quả của các quy tắc cơ bản của lý thuyết xác suất - quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Công thức xác suất tổng cho phép bạn tìm xác suất của một sự kiện Một, điều này chỉ có thể xảy ra với mỗi N các sự kiện loại trừ lẫn nhau tạo thành một hệ thống hoàn chỉnh nếu xác suất của chúng được biết, và xác suất có điều kiện sự kiện Mộtđối với mỗi sự kiện của hệ thống đều bằng.

Các sự kiện còn được gọi là giả thuyết, chúng loại trừ lẫn nhau. Do đó, trong tài liệu, bạn cũng có thể tìm thấy tên gọi của chúng không phải bằng chữ cái B, nhưng với một lá thư H(giả thuyết).

Để giải quyết các vấn đề với các điều kiện như vậy, cần phải xem xét 3, 4, 5, hoặc trong trường hợp chung N khả năng xảy ra một sự kiện Một với mọi sự kiện.

Sử dụng các định lý về phép cộng và phép nhân xác suất, chúng ta thu được tổng các tích của xác suất của mỗi sự kiện của hệ bằng xác suất có điều kiện sự kiện Một cho mỗi sự kiện trong hệ thống.

21 Thử nghiệm của Bernoulli. Công thức Bernoulli

Đó là, xác suất của một sự kiện Một có thể được tính bằng công thức

hoặc nói chung

được gọi là công thức tổng xác suất .

Công thức xác suất tổng: các ví dụ về giải quyết vấn đề

ví dụ 1 Có ba lọ trông giống hệt nhau: trong cái thứ nhất có 2 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen, trong chiếc thứ hai có 4 quả bóng màu trắng và một chiếc màu đen, ở chiếc thứ ba có ba quả bóng màu trắng. Ai đó ngẫu nhiên đến gần một trong các lọ và lấy một quả bóng ra khỏi nó. Lợi dụng công thức tổng xác suất, tìm xác suất để quả bóng có màu trắng.

Quyết định. Biến cố Một- sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng. Chúng tôi đưa ra ba giả thuyết:

- bình đầu tiên được chọn;

- bình thứ hai được chọn;

- chiếc bình thứ ba được chọn.

Xác suất sự kiện có điều kiện Một cho mỗi giả thuyết:

, , .

Kết quả là chúng tôi áp dụng công thức xác suất tổng - xác suất bắt buộc:

Ví dụ 2Ở nhà máy thứ nhất, cứ 100 bóng đèn thì có trung bình 90 bóng đèn đạt tiêu chuẩn được sản xuất, ở nhà máy thứ hai - 95, nhà máy thứ ba - 85 và sản phẩm của các nhà máy này chiếm 50%, 30% và 20%, tương ứng của tất cả các bóng điện cung cấp cho các cửa hàng của một khu vực nhất định. Tìm xác suất để mua được một bóng đèn tiêu chuẩn.

Quyết định. Hãy để chúng tôi biểu thị xác suất có được một bóng đèn tiêu chuẩn là Một, và các sự kiện mà bóng đèn đã mua được sản xuất lần lượt tại các nhà máy thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Theo điều kiện, xác suất của những sự kiện này được biết đến:, và xác suất có điều kiện của sự kiện Một liên quan đến từng người trong số họ: , , . Đây là xác suất để có được một bóng đèn tiêu chuẩn, với điều kiện nó được sản xuất tại nhà máy thứ nhất, thứ hai và thứ ba, tương ứng.

Biến cố Một sẽ xảy ra nếu một sự kiện xảy ra hoặc K- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy đầu tiên và là tiêu chuẩn, hoặc một sự kiện L- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy thứ hai và là tiêu chuẩn, hoặc một sự kiện M- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy thứ 3 và đạt tiêu chuẩn.

Các khả năng xảy ra sự kiện khác Một không. Do đó, sự kiện Một là tổng các sự kiện K, L và M không tương thích. Áp dụng định lý cộng xác suất, chúng ta biểu diễn xác suất của một sự kiện Một như

và bằng định lý nhân xác suất, chúng ta nhận được

I E, một trường hợp đặc biệt của công thức xác suất tổng.

Thay xác suất vào vế trái của công thức, chúng ta thu được xác suất của biến cố Một:

Bạn không có thời gian để đi sâu tìm hiểu giải pháp? Bạn có thể đặt hàng một công việc!

Ví dụ 3 Máy bay đang hạ cánh xuống sân bay. Nếu thời tiết cho phép, phi công hạ cánh máy bay, ngoài các dụng cụ, còn có quan sát bằng mắt. Trong trường hợp này, xác suất hạ cánh thành công là. Nếu sân bay u ám với những đám mây thấp, thì phi công sẽ hạ cánh máy bay và chỉ định hướng bằng các thiết bị. Trong trường hợp này, xác suất hạ cánh thành công là; .

Các thiết bị cung cấp hạ cánh mù có độ tin cậy (xác suất hoạt động không xảy ra lỗi) P. Trong điều kiện có mây mù thấp và các thiết bị hạ cánh mù không thành công, xác suất hạ cánh thành công là; . Thống kê cho thấy rằng trong k% đổ bộ, sân bay bị bao phủ bởi những đám mây thấp. Để tìm xác suất đầy đủ của sự kiệnMột- hạ cánh an toàn của máy bay.

Quyết định. Các giả thuyết:

- không có mây thấp;

- Có mây mù che phủ thấp.

Xác suất của các giả thuyết (sự kiện) này:

;

Xác suất có điều kiện.

Xác suất có điều kiện lại được tìm thấy bằng công thức xác suất tổng với các giả thuyết

- thiết bị hạ cánh mù đang hoạt động;

- thiết bị hạ cánh mù không thành công.

Xác suất của các giả thuyết này là:

Theo công thức xác suất tổng

Ví dụ 4 Thiết bị có thể hoạt động ở hai chế độ: bình thường và bất thường. Chế độ bình thường được quan sát thấy trong 80% tất cả các trường hợp hoạt động của thiết bị và bất thường - trong 20% trường hợp. Xác suất hỏng hóc thiết bị trong một thời gian nhất định t bằng 0,1; trong 0,7 bất thường. Để tìm xác suất đầy đủ lỗi thiết bị trong thời gian t.

Quyết định. Chúng tôi lại biểu thị xác suất hỏng hóc thiết bị là Một. Vì vậy, liên quan đến hoạt động của thiết bị trong mỗi chế độ (sự kiện), xác suất được biết theo điều kiện: đối với chế độ bình thường là 80% (), đối với chế độ bất thường - 20% (). Xác suất sự kiện Một(nghĩa là, hỏng hóc của thiết bị) tùy thuộc vào sự kiện đầu tiên (chế độ bình thường) là 0,1 (); tùy thuộc vào sự kiện thứ hai (chế độ bất thường) - 0,7 ( ). Chúng tôi thay thế các giá trị này vào công thức xác suất tổng (nghĩa là tổng các tích của xác suất của từng sự kiện của hệ thống và xác suất có điều kiện của sự kiện Mộtđối với từng sự kiện của hệ thống) và chúng tôi có kết quả cần thiết.

Công thức Bernoulli- một công thức trong lý thuyết xác suất cho phép bạn tìm xác suất của một sự kiện xảy ra A (\ displaystyle A) trong các bài kiểm tra độc lập. Công thức Bernoulli cho phép bạn loại bỏ một số lượng lớn các phép tính - cộng và nhân các xác suất - với một số lượng thử nghiệm đủ lớn. Được đặt theo tên nhà toán học xuất sắc người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli, người đã suy ra công thức này.

YouTube bách khoa

1 / 3

✪ Lý thuyết xác suất. 22. Công thức Bernoulli. Giải quyết vấn đề

✪ Công thức Bernoulli

✪ 20 bài kiểm tra lặp lại Bernoulli Formula

Phụ đề

Văn bản

Định lý. Nếu xác suất p (\ displaystyle p) Sự kiện A (\ displaystyle A) là không đổi trong mỗi thử nghiệm, thì xác suất P k, n (\ displaystyle P_ (k, n)) sự kiện đó A (\ displaystyle A)đến chính xác k (\ displaystyle k) một lần n (\ displaystyle n) các bài kiểm tra độc lập bằng: P k, n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k (\ displaystyle P_ (k, n) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ (k) \ cdot q ^ (n-k)), ở đâu q = 1 - p (\ displaystyle q = 1-p).

Bằng chứng

Hãy để nó được tổ chức n (\ displaystyle n) các bài kiểm tra độc lập và được biết rằng do kết quả của mỗi bài kiểm tra, một sự kiện A (\ displaystyle A)đi kèm với một xác suất P (A) = p (\ displaystyle P \ left (A \ right) = p) và do đó không xảy ra với xác suất P (A ¯) = 1 - p = q (\ displaystyle P \ left ((\ bar (A)) \ right) = 1-p = q). Ngoài ra, trong quá trình kiểm tra xác suất p (\ displaystyle p) và q (\ displaystyle q) vẫn không thay đổi. Xác suất mà kết quả là n (\ displaystyle n) kiểm tra độc lập, sự kiện A (\ displaystyle A)đến chính xác k (\ displaystyle k) Một lần?

Nó chỉ ra rằng có thể tính toán chính xác số lượng kết hợp "thành công" của các kết quả thử nghiệm mà sự kiện A (\ displaystyle A)đến k (\ displaystyle k) một lần n (\ displaystyle n) các thử nghiệm độc lập, chính xác là số lượng kết hợp của n (\ displaystyle n) trên k (\ displaystyle k) :

C n (k) = n! k! (n - k)! (\ displaystyle C_ (n) (k) = (\ frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

Đồng thời, vì tất cả các thử nghiệm đều độc lập và kết quả của chúng không tương thích (sự kiện A (\ displaystyle A) hoặc xảy ra hoặc không), thì xác suất thu được kết hợp "thành công" chính xác là:.

Cuối cùng, để tìm xác suất n (\ displaystyle n) sự kiện thử nghiệm độc lập A (\ displaystyle A)đến chính xác k (\ displaystyle k) lần, bạn cần cộng xác suất nhận được tất cả các kết hợp "thành công". Xác suất nhận được tất cả các kết hợp "thành công" là như nhau và bằng nhau p k ⋅ q n - k (\ displaystyle p ^ (k) \ cdot q ^ (n-k)), số lượng kết hợp "thành công" là C n (k) (\ displaystyle C_ (n) (k)), vì vậy cuối cùng chúng tôi nhận được:

P k, n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 - p) n - k (\ displaystyle P_ (k, n) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ ( k) \ cdot q ^ (n-k) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ (k) \ cdot (1-p) ^ (n-k)).

Biểu thức cuối cùng không có gì khác ngoài công thức Bernoulli. Cũng hữu ích khi lưu ý rằng, do tính đầy đủ của nhóm sự kiện, nó sẽ đúng:

∑ k = 0 n (P k, n) = 1 (\ displaystyle \ sum _ (k = 0) ^ (n) (P_ (k, n)) = 1).