Lôgarit 8 đến cơ số 4 bằng nhau. Nhận dạng lôgarit cơ bản

Vì vậy, chúng tôi có quyền hạn của hai. Nếu bạn lấy số ở dòng dưới cùng, thì bạn có thể dễ dàng tìm thấy lũy thừa mà bạn phải nâng lên hai để có được số này. Ví dụ, để có được 16, bạn cần nâng hai lên lũy thừa thứ tư. Và để có được 64, bạn cần nâng hai lên lũy thừa thứ sáu. Điều này có thể được nhìn thấy từ bảng.

Và bây giờ - trên thực tế, định nghĩa của lôgarit:

Lôgarit đến cơ số a của đối số x là lũy thừa mà số a phải được nâng lên để nhận được số x.

Kí hiệu: log a x \ u003d b, trong đó a là cơ số, x là đối số, b thực sự là hàm logarit.

Ví dụ, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarit cơ số 2 của 8 là ba vì 2 3 = 8). Cũng có thể log 2 64 = 6 vì 2 6 = 64.

Phép toán tìm logarit của một số với một cơ số cho trước được gọi là logarit. Vì vậy, hãy thêm một hàng mới vào bảng của chúng ta:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Thật không may, không phải tất cả các logarit đều được xem xét dễ dàng như vậy. Ví dụ, cố gắng tìm nhật ký 2 5. Số 5 không có trong bảng, nhưng logic quy định rằng lôgarit sẽ nằm ở đâu đó trên phân đoạn. Vì 2 2< 5 < 2 3 , а чем nhiều mức độ hai, con số càng lớn sẽ càng lớn.

Những con số như vậy được gọi là vô tỉ: những con số sau dấu thập phân có thể được viết vô hạn và chúng không bao giờ lặp lại. Nếu logarit trở thành vô tỉ, tốt hơn là để nó như sau: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng logarit là một biểu thức có hai biến (cơ số và đối số). Thoạt nghe, nhiều người nhầm lẫn đâu là căn cứ và đâu là luận cứ. Để tránh những hiểu lầm khó chịu, chỉ cần xem hình ảnh:

Trước mắt chúng ta không có gì khác hơn là định nghĩa của lôgarit. Nhớ lại: logarit là lũy thừa, mà bạn cần phải nâng cao cơ sở để có được đối số. Đó là phần đế được nâng lên thành lũy thừa - trong hình nó được tô màu đỏ. Hóa ra chân đế luôn ở dưới cùng! Tôi kể quy tắc tuyệt vời này cho học sinh của tôi ngay từ buổi học đầu tiên - và không có gì nhầm lẫn.

Chúng tôi đã tìm ra định nghĩa - vẫn còn để học cách đếm logarit, tức là thoát khỏi dấu hiệu "log". Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng hai sự kiện quan trọng theo sau từ định nghĩa:

1. Lập luận và lý lẽ phải luôn luôn Trên không. Điều này tuân theo định nghĩa của mức độ chỉ báo hợp lý, theo đó định nghĩa của lôgarit được rút gọn.
2. Cơ sở phải khác với thống nhất, vì một đơn vị đối với bất kỳ quyền lực nào vẫn là một đơn vị. Do đó, câu hỏi “một quyền lực nào phải được nâng lên để có được hai quyền lực” là vô nghĩa. Không có bằng cấp như vậy!

Những hạn chế như vậy được gọi là diện tích giá trị cho phép (ODZ). Hóa ra ODZ của logarit có dạng như sau: log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

Lưu ý rằng không có giới hạn nào đối với số b (giá trị của lôgarit) không được áp đặt. Ví dụ: logarit có thể âm: log 2 0,5 \ u003d -1, bởi vì 0,5 = 2 −1.

Tuy nhiên, hiện tại chúng tôi chỉ đang xem xét biểu thức số, trong đó không bắt buộc phải biết ODZ của lôgarit. Tất cả các hạn chế đã được tính đến bởi các trình biên dịch của các vấn đề. Nhưng khi phương trình logarit và bất phương trình có hiệu lực, các yêu cầu của DHS sẽ trở thành bắt buộc. Thật vậy, trong cơ sở và lập luận có thể có những cấu trúc rất mạnh mẽ, mà không nhất thiết phải tương ứng với những hạn chế ở trên.

Bây giờ hãy xem xét sơ đồ chung phép tính logarit. Nó bao gồm ba bước:

1. Biểu thị cơ số a và đối số x dưới dạng lũy ​​thừa với cơ số nhỏ nhất có thể lớn hơn một. Trên đường đi, tốt hơn là loại bỏ các phân số thập phân;
2. Giải phương trình biến b: x = a b;
3. Kết quả số b sẽ là câu trả lời.

Đó là tất cả! Nếu logarit hóa ra là không hợp lý, điều này sẽ được thấy ở bước đầu tiên. Yêu cầu rằng cơ số lớn hơn một là rất phù hợp: điều này làm giảm khả năng sai sót và đơn giản hóa đáng kể các phép tính. Tương tự với phân số thập phân: nếu chuyển ngay sang phân số thường thì sẽ ít sai sót hơn nhiều lần.

Hãy xem cách thức hoạt động của lược đồ này với các ví dụ cụ thể:

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 5 25

1. Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy ​​thừa của năm: 5 = 5 1; 25 = 52;

Hãy lập và giải phương trình:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Đã nhận được câu trả lời: 2.

Một nhiệm vụ. Tính logarit:

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 4 64

1. Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy ​​thừa của hai: 4 = 2 2; 64 = 26;
2. Hãy lập và giải phương trình:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Đã nhận được câu trả lời: 3.

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 16 1

1. Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy ​​thừa của hai: 16 = 2 4; 1 = 20;
2. Hãy lập và giải phương trình:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Đã nhận được phản hồi: 0.

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 7 14

1. Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy ​​thừa của bảy: 7 = 7 1; 14 không được biểu thị như một lũy thừa của bảy, bởi vì 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Từ đoạn trước đó, lôgarit không được xét đến;
3. Câu trả lời là không thay đổi: log 7 14.

Một lưu ý nhỏ cho ví dụ cuối cùng. Làm thế nào để đảm bảo rằng một số không phải là lũy thừa chính xác của một số khác? Rất đơn giản - chỉ cần mở rộng nó thành thừa số nguyên tố. Nếu có ít nhất hai yếu tố phân biệt trong khai triển, thì số đó không phải là lũy thừa chính xác.

Một nhiệm vụ. Tìm xem các lũy thừa chính xác của số là: 8; 48; 81; 35; mười bốn .

8 \ u003d 2 2 2 \ u003d 2 3 - độ chính xác, bởi vì chỉ có một hệ số nhân;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 không phải là lũy thừa chính xác vì có hai thừa số: 3 và 2;
81 \ u003d 9 9 \ u003d 3 3 3 3 \ u003d 3 4 - độ chính xác;
35 = 7 5 - một lần nữa không phải là một mức độ chính xác;
14 \ u003d 7 2 - một lần nữa không phải là một mức độ chính xác;

Chúng tôi cũng lưu ý rằng chúng tôi số nguyên tố luôn luôn là quyền hạn chính xác của chính họ.

Lôgarit thập phân

Một số logarit phổ biến đến mức chúng có tên và cách gọi đặc biệt.

Lôgarit thập phân của đối số x là lôgarit cơ số 10, tức là lũy thừa mà bạn cần nâng số 10 để được số x. Chỉ định: lg x.

Ví dụ, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - v.v.

Từ bây giờ, khi một cụm từ như "Tìm lg 0,01" xuất hiện trong sách giáo khoa, hãy biết rằng đây không phải là lỗi đánh máy. nó lôgarit thập phân. Tuy nhiên, nếu bạn không quen với chỉ định như vậy, bạn luôn có thể viết lại nó:
log x = log 10 x

Mọi thứ đúng với logarit thông thường cũng đúng với số thập phân.

lôgarit tự nhiên

Có một lôgarit khác có ký hiệu riêng của nó. Theo một nghĩa nào đó, nó thậm chí còn quan trọng hơn số thập phân. Đó là về về lôgarit tự nhiên.

Lôgarit tự nhiên của x là lôgarit cơ số e, tức là lũy thừa mà số e phải được nâng lên để có được số x. Ký hiệu: ln x.

Nhiều người sẽ hỏi: khác số e là gì? nó số vô tỉ, giá trị chính xác của nó không thể được tìm thấy và ghi lại. Đây chỉ là những con số đầu tiên:
e = 2,718281828459 ...

Chúng tôi sẽ không đi sâu vào con số này là gì và tại sao nó lại cần thiết. Chỉ cần nhớ rằng e là cơ số của lôgarit tự nhiên:
ln x = log e x

Như vậy ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - v.v. Mặt khác, ln 2 là một số vô tỉ. Nói chung, logarit tự nhiên của bất kỳ Số hữu tỉ không hợp lý. Tất nhiên, ngoại trừ sự thống nhất: ln 1 = 0.

Vì logarit tự nhiên tất cả các quy tắc đúng cho logarit thông thường đều hợp lệ.

Lôgarit là gì?

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")

Lôgarit là gì? Làm thế nào để giải quyết logarit? Những câu hỏi này khiến nhiều sinh viên tốt nghiệp bối rối. Theo truyền thống, chủ đề về logarit được coi là phức tạp, khó hiểu và đáng sợ. Đặc biệt - phương trình với logarit.

Điều này hoàn toàn không đúng sự thật. Chắc chắn rồi! Không tin? Tốt. Bây giờ, trong khoảng 10 - 20 phút, bạn:

1. Hiểu lôgarit là gì.

2. Học cách giải quyết cả lớp phương trình mũ. Ngay cả khi bạn chưa nghe nói về chúng.

3. Học cách tính logarit đơn giản.

Hơn nữa, đối với điều này, bạn sẽ chỉ cần biết bảng cửu chương và cách một số được nâng lên thành lũy thừa ...

Tôi cảm thấy bạn nghi ngờ ... Chà, hãy giữ thời gian! Đi!

Đầu tiên, hãy giải phương trình sau trong tâm trí của bạn:

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Mũi tên trái \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Hãy giải thích nó dễ dàng hơn. Ví dụ: \ (\ log_ (2) (8) \) bằng mức độ, mà \ (2 \) phải được nâng lên để lấy \ (8 \). Từ đó rõ ràng là \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).

Ví dụ:		\ (\ log_ (5) (25) = 2 \)		tại vì \ (5 ^ (2) = 25 \)
		\ (\ log_ (3) (81) = 4 \)		tại vì \ (3 ^ (4) = 81 \)
		\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \)		tại vì \ (2 ^ (- 5) = \) \ (\ frac (1) (32) \)

Đối số và cơ số của lôgarit

Bất kỳ lôgarit nào đều có "giải phẫu" sau:

Đối số của lôgarit thường được viết ở mức của nó, và cơ số được viết dưới dạng dấu phụ gần với dấu của lôgarit hơn. Và mục nhập này được đọc như sau: "logarit của hai mươi lăm đến cơ số năm."

Làm thế nào để tính toán lôgarit?

Để tính logarit, bạn cần trả lời câu hỏi: phải nâng cơ số lên ở mức độ nào để có đối số?

Ví dụ, tính logarit: a) \ (\ log_ (4) (16) \) b) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) e) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

a) Phải nâng \ (4 \) lên để có \ (16 \) bằng lũy ​​thừa nào? Rõ ràng là thứ hai. Đó là lý do tại sao:

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

c) Quyền lực \ (\ sqrt (5) \) phải được nâng lên đến mức nào để có \ (1 \)? Và mức độ nào làm cho bất kỳ số nào trở thành đơn vị? Tất nhiên là 0!

\ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) = 0 \)

d) Quyền lực \ (\ sqrt (7) \) phải được nâng lên đến mức nào để có được \ (\ sqrt (7) \)? Ở bậc đầu tiên - bất kỳ số nào trong bậc đầu tiên đều bằng chính nó.

\ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) = 1 \)

e) Phải nâng \ (3 \) đến quyền lực nào để có \ (\ sqrt (3) \)? Từ chúng tôi biết những gì là mức độ phân số, nghĩa là Căn bậc hai là độ \ (\ frac (1) (2) \).

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

Thí dụ : Tính logarit \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

Dung dịch :

\ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = x \)		Chúng ta cần tìm giá trị của lôgarit, hãy ký hiệu nó là x. Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định nghĩa của lôgarit: \ (\ log_ (a) (c) = b \) \ (\ Mũi tên trái \) \ (a ^ (b) = c \)
\ ((4 \ sqrt (2)) ^ (x) = 8 \)		Những liên kết \ (4 \ sqrt (2) \) và \ (8 \)? Hai, bởi vì cả hai số đều có thể được biểu thị bằng hai số: \ (4 = 2 ^ (2) \) \ (\ sqrt (2) = 2 ^ (\ frac (1) (2)) \) \ (8 = 2 ^ (3) \)
\ (((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frac (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \)		Ở bên trái, chúng tôi sử dụng thuộc tính độ: \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) và \ ((a ^ (m)) ^ (n) = a ^ (m \ cdot n) \)
\ (2 ^ (\ frac (5) (2) x) = 2 ^ (3) \)		Các cơ sở là bằng nhau, chúng tôi tiến tới sự bình đẳng của các chỉ số
\ (\ frac (5x) (2) \) \ (= 3 \)		Nhân cả hai vế của phương trình với \ (\ frac (2) (5) \)
		Gốc kết quả là giá trị của lôgarit

Câu trả lời : \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1,2 \)

Tại sao lôgarit được phát minh?

Để hiểu điều này, hãy giải phương trình: \ (3 ^ (x) = 9 \). Chỉ cần so khớp \ (x \) để làm cho bình đẳng hoạt động. Tất nhiên, \ (x = 2 \).

Bây giờ giải phương trình: \ (3 ^ (x) = 8 \). bằng x? Đó là điểm.

Người khéo léo nhất sẽ nói: "X nhỏ hơn hai một chút." Làm thế nào chính xác là con số này được viết? Để trả lời câu hỏi này, họ đã tìm ra lôgarit. Nhờ anh ấy, câu trả lời ở đây có thể được viết là \ (x = \ log_ (3) (8) \).

Tôi muốn nhấn mạnh rằng \ (\ log_ (3) (8) \), cũng như bất kỳ lôgarit nào cũng chỉ là một số. Vâng, nó trông không bình thường, nhưng nó ngắn. Bởi vì nếu chúng tôi muốn viết nó dưới dạng phần thập phân, thì nó sẽ giống như thế này: \ (1.892789260714 ..... \)

Thí dụ : Giải phương trình \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

Dung dịch :

\ (4 ^ (5x-4) = 10 \)		\ (4 ^ (5x-4) \) và \ (10 ​​\) không thể giảm về cùng một cơ số. Vì vậy, ở đây bạn không thể làm gì nếu không có logarit. Hãy sử dụng định nghĩa của lôgarit: \ (a ^ (b) = c \) \ (\ Mũi tên trái \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \)		Lật phương trình để x ở bên trái
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \)		Trước chúng tôi. Di chuyển \ (4 \) sang phải. Và đừng sợ logarit, hãy coi nó như một số thông thường.
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \)		Chia phương trình cho 5
\ (x = \) \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)		Đây là gốc của chúng tôi. Vâng, nó trông không bình thường, nhưng câu trả lời không được chọn.

Câu trả lời : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

Logarit thập phân và tự nhiên

Như đã nêu trong định nghĩa của lôgarit, cơ số của nó có thể là bất kỳ số dương, ngoại trừ đơn vị \ ((a> 0, a \ neq1) \). Và trong số tất cả các cơ số có thể xảy ra, có hai điều xảy ra thường xuyên đến mức một ký hiệu ngắn đặc biệt đã được phát minh cho logarit với chúng:

Lôgarit tự nhiên: một lôgarit có cơ số là số Euler \ (e \) (bằng khoảng \ (2,7182818… \)) và lôgarit được viết là \ (\ ln (a) \).

Đó là, \ (\ ln (a) \) giống với \ (\ log_ (e) (a) \)

Lôgarit thập phân: Một lôgarit có cơ số là 10 được viết \ (\ lg (a) \).

Đó là, \ (\ lg (a) \) giống với \ (\ log_ (10) (a) \), trong đó \ (a \) là một số.

Nhận dạng lôgarit cơ bản

Logarit có nhiều tính chất. Một trong số chúng được gọi là "Chính nhận dạng logarit'và trông như thế này:

\ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \)

Thuộc tính này theo sau trực tiếp từ định nghĩa. Hãy xem công thức này xuất hiện chính xác như thế nào.

Xin hãy nhớ ghi chú ngắnđịnh nghĩa logarit:

nếu \ (a ^ (b) = c \), thì \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Nghĩa là, \ (b \) giống với \ (\ log_ (a) (c) \). Sau đó, chúng ta có thể viết \ (\ log_ (a) (c) \) thay vì \ (b \) trong công thức \ (a ^ (b) = c \). Hóa ra \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - nhận dạng lôgarit chính.

Bạn có thể tìm thấy phần còn lại của các thuộc tính của logarit. Với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể đơn giản hóa và tính toán các giá trị của biểu thức bằng logarit, rất khó tính trực tiếp.

Thí dụ : Tìm giá trị của biểu thức \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

Dung dịch :

Câu trả lời : \(25\)

Làm thế nào để viết một số dưới dạng logarit?

Như đã đề cập ở trên, bất kỳ lôgarit nào cũng chỉ là một số. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ số nào cũng có thể được viết dưới dạng logarit. Ví dụ, chúng ta biết rằng \ (\ log_ (2) (4) \) bằng hai. Sau đó, bạn có thể viết \ (\ log_ (2) (4) \) thay vì hai.

Nhưng \ (\ log_ (3) (9) \) cũng bằng \ (2 \), vì vậy bạn cũng có thể viết \ (2 = \ log_ (3) (9) \). Tương tự với \ (\ log_ (5) (25) \) và với \ (\ log_ (9) (81) \), v.v. Đó là, nó hóa ra

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ log_ (7) (49) ... \)

Vì vậy, nếu cần, chúng ta có thể viết hai hàm dưới dạng logarit với bất kỳ cơ số nào ở bất kỳ đâu (ngay cả trong một phương trình, thậm chí trong một biểu thức, thậm chí trong một bất đẳng thức) - chúng ta chỉ cần viết cơ số bình phương như một đối số.

Nó tương tự với bộ ba - nó có thể được viết là \ (\ log_ (2) (8) \), hoặc \ (\ log_ (3) (27) \), hoặc \ (\ log_ (4) ( 64) \) ... Ở đây chúng tôi viết cơ sở trong khối lập phương như một đối số:

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ log_ (7) (343) ... \)

Và với bốn:

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ log_ (7) (2401) ... \)

Và trừ một:

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1) ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

Và với một phần ba:

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

Bất kỳ số nào \ (a \) đều có thể được biểu diễn dưới dạng logarit với cơ số \ (b \): \ (a = \ log_ (b) (b ^ (a)) \)

Thí dụ : Tìm giá trị của một biểu thức \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

Dung dịch :

Câu trả lời : \(1\)

Như bạn đã biết, khi nhân biểu thức với lũy thừa, số mũ của chúng luôn cộng lại (a b * a c = a b + c). Định luật toán học này được Archimedes đưa ra, và sau đó, vào thế kỷ thứ 8, nhà toán học Virasen đã tạo ra một bảng các chỉ số nguyên. Chính họ đã phục vụ cho việc khám phá thêm về logarit. Ví dụ về việc sử dụng hàm này có thể được tìm thấy ở hầu hết mọi nơi, nơi yêu cầu đơn giản hóa phép nhân rườm rà thành phép cộng đơn giản. Nếu bạn dành 10 phút để đọc bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích cho bạn logarit là gì và cách làm việc với chúng. Ngôn ngữ đơn giản và dễ tiếp cận.

Định nghĩa trong toán học

Lôgarit là một biểu thức có dạng sau: log a b = c, nghĩa là, lôgarit của bất kỳ số nào không âm (tức là bất kỳ số dương nào) "b" theo cơ số của nó "a" được coi là lũy thừa của "c ", mà nó là cần thiết để nâng cao cơ sở" a ", để cuối cùng nhận được giá trị" b ". Hãy phân tích logarit bằng cách sử dụng các ví dụ, giả sử có một biểu thức log 2 8. Làm thế nào để tìm câu trả lời? Rất đơn giản, bạn cần tìm một bằng sao cho từ 2 đến bằng yêu cầu bạn đạt 8. ​​Sau khi thực hiện một số phép tính trong đầu, chúng ta nhận được số 3! Và đúng như vậy, bởi vì 2 nhân với lũy thừa của 3 cho số 8 trong câu trả lời.

Các loại logarit

Đối với nhiều học sinh, sinh viên, chủ đề này có vẻ phức tạp và khó hiểu, nhưng thực tế, logarit không đáng sợ như vậy, cái chính là hiểu ý nghĩa tổng quát của chúng và nhớ các tính chất của chúng và một số quy tắc. Có ba một số loại biểu thức logarit:

1. Lôgarit tự nhiên ln a, trong đó cơ số là số Euler (e = 2,7).
2. Số thập phân a, trong đó cơ số là 10.
3. Lôgarit của bất kỳ số b với cơ số a> 1.

Mỗi người trong số họ được quyết định theo một cách tiêu chuẩn, bao gồm đơn giản hóa, rút ​​gọn và sau đó rút gọn thành một logarit bằng cách sử dụng các định lý logarit. Để có được các giá trị chính xác của logarit, người ta nên nhớ các thuộc tính của chúng và thứ tự của các hành động trong các quyết định của chúng.

Quy tắc và một số hạn chế

Trong toán học, có một số quy tắc-giới hạn được chấp nhận như một tiên đề, nghĩa là, chúng không phải là đối tượng của cuộc thảo luận và là đúng. Ví dụ, bạn không thể chia số cho số 0 và cũng không thể trích xuất gốc mức độ đồng đều từ số âm. Logarit cũng có các quy tắc riêng của chúng, sau đó bạn có thể dễ dàng học cách làm việc ngay cả với các biểu thức logarit dài và dung lượng:

• cơ số "a" phải luôn lớn hơn 0, đồng thời không được bằng 1, nếu không biểu thức sẽ mất ý nghĩa, vì "1" và "0" ở bất kỳ mức độ nào luôn bằng giá trị của chúng;
• nếu a> 0, sau đó a b> 0, nó chỉ ra rằng "c" phải lớn hơn không.

Làm thế nào để giải quyết logarit?

Ví dụ, nhiệm vụ được giao là tìm câu trả lời cho phương trình 10 x \ u003d 100. Rất dễ dàng, bạn cần chọn một lũy thừa như vậy, nâng số mười lên mà chúng ta nhận được 100. Tất nhiên, đây là 10 2 \ u003d 100.

Bây giờ hãy biểu diễn biểu thức này dưới dạng logarit. Ta nhận được log 10 100 = 2. Khi giải logarit, tất cả các thao tác thực tế đều hội tụ để tìm mức độ mà cơ số của logarit phải được nhập để có được một số nhất định.

Để xác định chính xác giá trị của bằng cấp chưa biết, bạn phải học cách làm việc với bảng độ. Nó trông như thế này:

Như bạn có thể thấy, một số số mũ có thể được đoán trực quan nếu bạn có tư duy kỹ thuật và kiến ​​thức về bảng cửu chương. Tuy nhiên, đối với giá trị lớn bạn cần một bảng độ. Nó có thể được sử dụng ngay cả bởi những người không hiểu bất cứ điều gì phức tạp chủ đề toán học. Cột bên trái chứa các số (cơ số a), hàng trên cùng là giá trị của lũy thừa c, mà số a được nâng lên. Tại giao điểm trong các ô, giá trị của các số được xác định, đó là đáp số (a c = b). Ví dụ, chúng ta hãy lấy ô đầu tiên có số 10 và bình phương nó, chúng ta nhận được giá trị 100, được chỉ ra ở giao điểm của hai ô của chúng ta. Mọi thứ rất đơn giản và dễ dàng mà ngay cả những người thực tế nhất cũng sẽ hiểu!

Phương trình và bất phương trình

Nó chỉ ra rằng trong những điều kiện nhất định, số mũ là logarit. Do đó, bất kỳ biểu thức số toán học nào cũng có thể được viết dưới dạng phương trình logarit. Ví dụ, 3 4 = 81 có thể được viết dưới dạng logarit của 81 đến cơ số 3, là bốn (log 3 81 = 4). Đối với lũy thừa âm, quy tắc tương tự: 2 -5 = 1/32 ta viết dưới dạng logarit, ta được log 2 (1/32) = -5. Một trong những phần hấp dẫn nhất của toán học là chủ đề "logarit". Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ và nghiệm của phương trình thấp hơn một chút, ngay sau khi nghiên cứu các tính chất của chúng. Bây giờ chúng ta hãy xem các bất đẳng thức trông như thế nào và làm thế nào để phân biệt chúng với các phương trình.

Biểu thức có dạng sau: log 2 (x-1)> 3 - nó là bất đẳng thức logarit, vì giá trị chưa biết "x" nằm dưới dấu của lôgarit. Và trong biểu thức cũng có hai đại lượng được so sánh: logarit của số mong muốn trong cơ số hai lớn hơn số ba.

Sự khác biệt quan trọng nhất giữa phương trình logarit và bất phương trình là các phương trình với logarit (ví dụ: logarit của 2 x = √9) ngụ ý một hoặc nhiều Giá trị kiểu số, trong khi khi giải bất phương trình, cả phạm vi giá trị chấp nhận được và các điểm gián đoạn của hàm số này đều được xác định. Kết quả là, câu trả lời không phải là một tập hợp các số riêng lẻ, như trong câu trả lời của phương trình, mà là một chuỗi hoặc tập hợp số liên tục.

Các định lý cơ bản về logarit

Khi giải các nhiệm vụ cơ bản về tìm giá trị của lôgarit, các tính chất của nó có thể không được biết đến. Tuy nhiên, khi nói đến bất phương trình hay bất phương trình logarit, trước hết cần hiểu rõ và vận dụng vào thực tế một cách rõ ràng. Các tính chất cơ bản logarit. Chúng ta sẽ làm quen với các ví dụ về phương trình ở phần sau, trước tiên chúng ta hãy phân tích từng tính chất một cách chi tiết hơn.

1. Nhận dạng cơ bản trông như thế này: a logaB = B. Nó chỉ áp dụng nếu a lớn hơn 0, không bằng một và B lớn hơn 0.
2. Logarit của tích có thể được biểu diễn theo công thức sau: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Trong trường hợp này, điều kiện tiên quyết là: d, s 1 và s 2> 0; a ≠ 1. Bạn có thể đưa ra một bằng chứng cho công thức này của logarit, với các ví dụ và lời giải. Đặt log a s 1 = f 1 và log a s 2 = f 2, khi đó a f1 = s 1, a f2 = s 2. Ta được s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (tính chất độ ), và xa hơn theo định nghĩa: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, điều này cần được chứng minh.
3. Lôgarit của thương có dạng như sau: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Định lý dưới dạng một công thức có được lần xem tiếp theo: log a q b n = n / q log a b.

Công thức này được gọi là "tính chất của bậc của lôgarit". Nó giống các tính chất của độ bình thường, và không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì tất cả toán học đều dựa trên các định đề thông thường. Hãy xem bằng chứng.

Đặt log a b \ u003d t, thì ra a t \ u003d b. Nếu nâng cả hai phần lên lũy thừa m thì: a tn = b n;

nhưng vì a tn = (a q) nt / q = b n, do đó log a q b n = (n * t) / t, sau đó log a q b n = n / q log a b. Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ về các vấn đề và bất bình đẳng

Các dạng bài toán logarit phổ biến nhất là các ví dụ về phương trình và bất phương trình. Chúng được tìm thấy trong hầu hết các sách giải toán, và cũng được đưa vào phần bắt buộc của các kỳ thi môn toán. Để được nhận vào trường đại học hoặc đậu kiểm tra đầu vào trong toán học, bạn cần phải biết làm thế nào để giải quyết các vấn đề đó một cách chính xác.

Thật không may, một kế hoạch hoặc kế hoạch duy nhất để giải quyết và xác định giá trị không xác định không có logarit, tuy nhiên, một số quy tắc nhất định có thể được áp dụng cho mỗi bất đẳng thức toán học hoặc phương trình logarit. Trước hết, bạn nên tìm hiểu xem biểu thức có thể được đơn giản hóa hoặc rút gọn thành nhìn chung. Đơn giản hóa dài biểu thức logarit Bạn có thể, nếu bạn sử dụng các thuộc tính của chúng một cách chính xác. Hãy làm quen với chúng ngay sau đây.

Khi quyết định phương trình logarit, cần phải xác định loại logarit trước chúng ta: ví dụ về một biểu thức có thể chứa một logarit tự nhiên hoặc một số thập phân.

Dưới đây là các ví dụ ln100, ln1026. Giải pháp của họ rút ra được thực tế là bạn cần xác định mức độ mà cơ số 10 sẽ tương ứng bằng 100 và 1026. Đối với các giải pháp của lôgarit tự nhiên, người ta phải áp dụng đồng nhất lôgarit hoặc các tính chất của chúng. Chúng ta hãy xem giải pháp với các ví dụ. vấn đề logarit loại khác.

Cách sử dụng công thức lôgarit: Với các ví dụ và giải pháp

Vì vậy, chúng ta hãy xem xét các ví dụ về việc sử dụng các định lý chính về logarit.

1. Thuộc tính lôgarit của sản phẩm có thể được sử dụng trong các nhiệm vụ cần mở rộng tầm quan trọng lớn số b nhiều hơn thừa số nguyên tố. Ví dụ, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Câu trả lời là 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - như bạn có thể thấy, bằng cách sử dụng tính chất bậc 4 của bậc của logarit, chúng ta đã giải được sơ bộ một biểu thức phức tạp và không giải được. Nó chỉ cần thiết để phân tích cơ số và sau đó lấy các giá trị lũy thừa ra khỏi dấu của lôgarit.

Nhiệm vụ từ kỳ thi

Logarit thường được tìm thấy trong kỳ thi tuyển sinh, đặc biệt là rất nhiều bài toán về lôgarit trong đề thi ( Kỳ thi quốc dành cho tất cả học sinh tốt nghiệp trung học phổ thông). Thông thường, những nhiệm vụ này không chỉ xuất hiện trong phần A (phần dễ nhất phần kiểm tra), mà còn trong phần C (các nhiệm vụ khó và đồ sộ nhất). Đề thi bao hàm kiến ​​thức chính xác và hoàn thiện về chủ đề "Lôgarit tự nhiên".

Các ví dụ và giải pháp vấn đề được lấy từ chính thức SỬ DỤNG tùy chọn. Hãy xem các nhiệm vụ như vậy được giải quyết như thế nào.

Cho log 2 (2x-1) = 4. Lời giải:
Hãy viết lại biểu thức, đơn giản hóa nó một chút log 2 (2x-1) = 2 2, theo định nghĩa của logarit, chúng ta nhận được rằng 2x-1 = 2 4, do đó 2x = 17; x = 8,5.

• Tốt nhất là tất cả các logarit được giảm về cùng một cơ số để giải pháp không rườm rà và khó hiểu.
• Tất cả các biểu thức dưới dấu của lôgarit được chỉ ra là dương, do đó, khi lấy số mũ của biểu thức, dưới dấu của lôgarit và là cơ số của nó, biểu thức còn lại dưới dấu lôgarit phải là số dương.