• hướng dẫn

Tất cả mọi người ngày tốt. Trong bài viết này, tôi muốn chỉ ra một trong những phương pháp xây dựng đồ họa mô hình toán học cho các hệ thống động lực học, được gọi là đồ thị trái phiếu("bond" - kết nối, "graph" - đồ thị). Trong tài liệu tiếng Nga, tôi chỉ tìm thấy mô tả về phương pháp này trong Hướng dẫn học Tomsky Đại học Bách khoa, A.V. Voronin "MÔ HÌNH HỆ CƠ HỌC" 2008. Đồng thời chỉ ra phương pháp cổ điển thông qua phương trình Lagrange loại 2.

Phương pháp Lagrange

Tôi sẽ không tô vẽ lý thuyết, tôi sẽ chỉ ra các giai đoạn tính toán và kèm theo một vài nhận xét. Cá nhân tôi thấy học từ các ví dụ dễ hơn đọc lý thuyết 10 lần. Đối với tôi, dường như trong văn học Nga, lời giải thích về phương pháp này, và thực tế là toán học hay vật lý, rất phong phú. công thức phức tạp, theo đó đòi hỏi một nền tảng toán học nghiêm túc. Trong thời gian học phương pháp Lagrange (học tại Đại học Bách khoa Turin, Ý), tôi nghiên cứu văn học Nga để so sánh các phương pháp tính toán, và rất khó để tôi theo dõi tiến trình giải theo phương pháp này. Thậm chí nhớ các khóa học người mẫu ở Kharkov viện hàng không”, Đầu ra của các phương pháp như vậy rất cồng kềnh, và không ai bận tâm để cố gắng hiểu vấn đề này. Đây là những gì tôi quyết định viết, sổ tay hướng dẫn xây dựng mô hình chiếu theo Lagrange, vì hóa ra, nó không khó chút nào, chỉ cần biết cách tính đạo hàm thời gian và đạo hàm riêng là đủ. Đối với các mô hình phức tạp hơn, ma trận xoay được thêm vào, nhưng cũng không có gì phức tạp trong chúng.

Đặc điểm của phương pháp mô hình hóa:

• Newton Euler: phương trình vectơ dựa trên cân bằng động lực lượng (lực lượng) và khoảnh khắc
• Lagrange: phương trình vô hướng dựa trên các hàm trạng thái liên quan đến động năng và thế năng năng lượng
• đồ thị trái phiếu: phương pháp dựa trên dòng chảy power (quyền lực) giữa các yếu tố hệ thống

Hãy bắt đầu với một ví dụ đơn giản. Trọng lượng có lò xo và van điều tiết. Chúng ta bỏ qua lực hấp dẫn.

Hình 1. Trọng lượng với lò xo và van điều tiết

Trước hết, chúng tôi xác định:

• hệ thống ban đầu tọa độ(NSK) hoặc sk cố định R0 (i0, j0, k0). Ở đâu? Bạn có thể chọc ngón tay của mình lên bầu trời, nhưng bằng cách giật các đầu của nơ-ron trong não, ý tưởng đặt NSC trên đường chuyển động của cơ thể M1 sẽ trôi qua.
• hệ tọa độ cho mỗi vật thể có khối lượng(chúng tôi có M1 R1 (i1, j1, k1)), định hướng có thể tùy ý, nhưng tại sao lại làm phức tạp cuộc sống của bạn, chúng tôi đặt nó với sự khác biệt tối thiểu so với NSC
• tọa độ tổng quát q_i (số lượng tối thiểu các biến có thể mô tả chuyển động), trong ví dụ này một tọa độ tổng quát, chỉ chuyển động dọc theo trục j

Hình 2. Đưa hệ tọa độ xuống và tọa độ tổng quát

Hình 3. Vị trí và tốc độ của vật M1

Sau khi ta tìm được động năng (C) và thế năng (P) và cơ năng tiêu tán (D) đối với van điều tiết theo công thức:

Hình 4. Công thức đầy đủđộng năng

Trong ví dụ của chúng tôi, không có vòng quay, thành phần thứ hai là 0.

Hình 5. Tính toán động học, năng lượng tiềm năng và chức năng tiêu tán

Phương trình Lagrange có dạng sau:

Hình 6. Phương trình Lagrange và Lagrangian

Delta W_iđây là công việc ảo hoàn thiện bởi các lực và mômen tác dụng. Hãy tìm nó:

Hình 7. Tính toán công việc ảo

Ở đâu delta q_1 di chuyển ảo.

Chúng tôi thay thế mọi thứ vào phương trình Lagrange:

Hình 8. Mô hình khối lượng kết quả với lò xo và van điều tiết

Đây là nơi phương pháp Lagrange kết thúc. Như bạn thấy, nó không quá khó, nhưng đây vẫn là một ví dụ rất đơn giản, mà phương pháp Newton-Euler rất có thể sẽ đơn giản hơn. Đối với các hệ thống phức tạp hơn, trong đó sẽ có một số vật thể được quay tương đối với nhau ở các góc khác nhau, phương pháp Lagrange sẽ dễ dàng hơn.

Phương pháp đồ thị trái phiếu

Tôi sẽ chỉ cho bạn ngay lập tức mô hình trông như thế nào trong đồ thị liên kết để làm ví dụ về khối lượng của một lò xo và một van điều tiết:

Hình 9. Đồ thị liên kết khối lượng với lò xo và van điều tiết

Ở đây chúng ta phải nói một chút lý thuyết, đủ để xây dựng các mô hình đơn giản. Nếu ai quan tâm có thể tìm đọc cuốn sách ( Phương pháp đồ thị trái phiếu) hoặc ( Voronin A.V. Mô hình hóa hệ thống cơ điện tử: hướng dẫn. - Tomsk: Nhà xuất bản Đại học Bách khoa Tomsk, 2008).

Đầu tiên chúng ta hãy xác định rằng hệ thống phức tạp bao gồm một số miền. Ví dụ, một động cơ điện bao gồm các bộ phận hoặc miền điện và cơ khí.

đồ thị trái phiếu dựa trên sự trao đổi quyền lực giữa các miền này, các hệ thống con. Lưu ý rằng trao đổi quyền lực, dưới bất kỳ hình thức nào, luôn được xác định bởi hai biến ( quyền hạn biến đổi) mà chúng ta có thể nghiên cứu sự tương tác các hệ thống con khác nhau như một phần của hệ thống động (xem bảng).

Có thể thấy trong bảng, biểu thức quyền lực hầu như giống nhau ở mọi nơi. Tóm tắt, Quyền lực- Công việc này " dòng chảy - f"trên" nỗ lực - e».

Một nỗ lực(Tiếng Anh) cố gắng) trong miền điện nó là điện áp (e), trong miền cơ học nó là lực (F) hoặc mômen (T), trong thủy lực nó là áp suất (p).

lưu lượng(Tiếng Anh) lưu lượng) trong miền điện nó là dòng điện (i), trong miền cơ học nó là tốc độ (v) hoặc vận tốc góc(omega), trong thủy lực - dòng chảy hoặc dòng chảy của chất lỏng (Q).

Lấy các ký hiệu này, chúng ta nhận được một biểu thức cho quyền lực:

Hình 10. Công thức lũy thừa về biến công suất

Trong ngôn ngữ đồ thị liên kết, một kết nối giữa hai hệ thống con trao đổi quyền lực được biểu diễn bằng một liên kết. liên kết). Đó là lý do tại sao nó được gọi là phương pháp này đồ thị trái phiếu hoặc g kết nối raf, đồ thị được kết nối. Xem xét sơ đồ khối liên kết trong mô hình với động cơ điện (đây chưa phải là đồ thị liên kết):

Hình 11. Sơ đồ khối của dòng điện giữa các miền

Nếu chúng ta có một nguồn điện áp, thì theo đó nó tạo ra điện áp và cung cấp cho động cơ để quấn lại (do đó, mũi tên hướng về phía động cơ), tùy thuộc vào điện trở của cuộn dây, dòng điện xuất hiện theo định luật Ohm (hướng từ động cơ vào nguồn). Theo đó, một biến là đầu vào cho hệ thống con và biến thứ hai phải là cần thiết. lối thoát từ hệ thống con. Đây là điện áp ( cố gắng) - đầu vào hiện tại ( lưu lượng) - lối ra.

Nếu bạn sử dụng một nguồn hiện tại, sơ đồ sẽ thay đổi như thế nào? Một cách chính xác. Dòng điện sẽ được dẫn đến động cơ, và điện áp vào nguồn. Sau đó, hiện tại ( lưu lượng) - điện áp đầu vào ( cố gắng) - lối ra.

Hãy xem xét một ví dụ trong cơ học. Lực tác dụng lên một khối lượng.

Hình 12. Lực tác dụng lên khối lượng

Sơ đồ khối sẽ như sau:

Hình 13. sơ đồ khối

Trong ví dụ này, Strength ( cố gắng) là biến đầu vào cho khối lượng. (lực tác dụng lên khối lượng)
Theo định luật thứ hai của Newton:

Khối lượng phản hồi với tốc độ:

Trong ví dụ này, nếu một biến ( sức mạnh - cố gắng) Là cổng vào vào miền cơ học, rồi đến một biến công suất khác ( tốc độ, vận tốc - lưu lượng) - tự động trở thành lối thoát.

Để phân biệt đâu là đầu vào và đâu là đầu ra, một đường thẳng đứng được sử dụng ở cuối mũi tên (kết nối) giữa các phần tử, đường này được gọi là dấu hiệu của quan hệ nhân quả hoặc quan hệ nhân quả (quan hệ nhân quả). Hóa ra: lực tác dụng là nguyên nhân, và tốc độ là hiệu quả. Dấu hiệu này rất quan trọng đối với xây dựng chính xác mô hình hệ thống, vì quan hệ nhân quả là hệ quả hành vi thể chất và trao đổi quyền lực của hai hệ thống con, vì vậy việc lựa chọn vị trí của dấu hiệu nhân quả không thể tùy tiện.

Hình 14. Ký hiệu nhân quả

Đường thẳng đứng này cho biết hệ thống con nào đang nhận lực ( cố gắng) và kết quả là tạo ra một luồng ( lưu lượng). Trong ví dụ hàng loạt, nó sẽ như thế này:

Hình 14. Nhân quả của lực tác dụng lên khối lượng

Theo mũi tên, rõ ràng là đầu vào cho khối lượng - sức mạnh và đầu ra là tốc độ, vận tốc. Điều này được thực hiện để không làm lộn xộn sơ đồ và hệ thống hóa của tòa nhà mô hình bằng các mũi tên.

Tiếp theo tâm điểm. Động lượng tổng quát(số lượng chuyển động) và di chuyển(biến năng lượng).

Bảng công suất và biến năng lượng trong các lĩnh vực khác nhau

Bảng trên giới thiệu hai đại lượng vật lý bổ sung được sử dụng trong phương pháp đồ thị liên kết. Họ đã gọi động lượng tổng quát (R) và sự dịch chuyển tổng quát (q) hoặc các biến năng lượng, và chúng có thể thu được bằng cách tích phân các biến công suất theo thời gian:

Hình 15. Mối quan hệ giữa các biến công suất và năng lượng

Trong lĩnh vực điện :

Theo định luật Faraday, Vônở hai đầu của dây dẫn bằng đạo hàm của từ thông thông qua vật dẫn này.

NHƯNG Sức mạnh hiện tại - số lượng vật lý, bằng tỉ số giữa lượng điện tích Q đã đi qua một thời gian mặt cắt ngang dây dẫn, đến giá trị của khoảng thời gian này.

Miền cơ học:

Từ định luật thứ 2 của Newton, Sức mạnh là đạo hàm theo thời gian của động lượng

Và tương ứng, tốc độ, vận tốc- đạo hàm theo thời gian của độ dời:

Hãy khái quát:

Các yếu tố cơ bản

Tất cả các yếu tố trong hệ thống động lực, có thể được chia thành các thành phần hai cực và bốn cực.
Xem xét thành phần lưỡng cực:

Nguồn
Nguồn là cả nỗ lực và dòng chảy. Tương tự trong miền điện: nguồn nỗ lực – nguồn điện áp, nguồn dòng chảy – nguồn hiện tại. Dấu hiệu nhân quả cho các nguồn chỉ nên như vậy.

Hình 16. Liên kết nhân quả và chỉ định nguồn

Thành phần R - phần tử tiêu tán

Thành phần I - phần tử quán tính

Thành phần C - phần tử điện dung

Như có thể thấy từ các số liệu, các yếu tố khác nhau của cùng gõ R, C, Iđược mô tả bởi các phương trình tương tự. CHỈ có sự khác biệt đối với điện dung, bạn chỉ cần nhớ nó!

Các thành phần tứ cực:

Hãy xem xét hai thành phần biến áp và con quay hồi chuyển.

muộn nhất thành phần quan trọng các kết nối theo phương pháp đồ thị liên kết. Có hai loại nút:

Đây là phần cuối của các thành phần.

Các bước chính để xác định mối quan hệ nhân quả sau khi xây dựng biểu đồ liên kết:

1. Đặt quan hệ nhân quả lên mọi thứ nguồn
2. Đi qua tất cả các nút và đặt các mối quan hệ nhân quả sau điểm 1
3. Vì thành phần tôi chỉ định một quan hệ nhân quả đầu vào (nỗ lực được bao gồm trong thành phần này), cho thành phần Cấn định quan hệ nhân quả đầu ra (nỗ lực xuất phát từ thành phần này)
4. Lặp lại điểm 2
5. Vẽ các liên kết nhân quả cho R thành phần

Điều này kết thúc khóa học nhỏ về lý thuyết. Bây giờ chúng tôi có mọi thứ chúng tôi cần để xây dựng mô hình.
Hãy giải quyết một vài ví dụ. Hãy bắt đầu với mạch điện, tốt hơn nên hiểu sự tương tự của việc xây dựng đồ thị liên kết.

ví dụ 1

Hãy bắt đầu xây dựng đồ thị liên kết từ nguồn điện áp. Chỉ cần viết Se và đặt một mũi tên.

Bạn thấy mọi thứ thật đơn giản! Chúng ta nhìn xa hơn, R và L được kết nối theo chuỗi, có nghĩa là cùng một dòng điện chạy trong chúng, nếu chúng ta nói về các biến công suất - cùng một dòng. Nút nào có cùng luồng? Câu trả lời đúng là 1 nút. Chúng tôi gắn một nguồn, điện trở (thành phần - R) và điện cảm (thành phần - I) vào nút 1.

Tiếp theo, chúng ta có điện dung và điện trở song song, có nghĩa là chúng có cùng điện áp hoặc lực. Nút 0 sẽ phù hợp như không có nút nào khác. Chúng tôi kết nối điện dung (thành phần C) và điện trở (thành phần R) với nút 0.

Các nút 1 và 0 cũng được kết nối với nhau. Hướng của các mũi tên được chọn tùy ý, hướng của kết nối chỉ ảnh hưởng đến dấu hiệu trong phương trình.

Lấy biểu đồ liên kết sau:

Bây giờ chúng ta cần phải đặt mối quan hệ nhân quả xuống. Theo các hướng dẫn về trình tự dán của chúng, hãy bắt đầu với nguồn.

1. Chúng ta có một nguồn căng thẳng (nỗ lực), một nguồn như vậy chỉ có một lựa chọn quan hệ nhân quả - đầu ra. Chúng ta đặt.
2. Sau đó, có thành phần I, chúng tôi xem xét những gì được khuyến nghị. Chúng ta đặt
3. Chúng tôi đặt xuống cho 1 nút. Có
4. Một nút 0 phải có một đầu vào và tất cả các liên kết nhân quả đầu ra. Chúng tôi có một ngày nghỉ. Chúng tôi đang tìm kiếm các thành phần C hoặc I. Đã tìm thấy. Chúng ta đặt
5. Hiển thị những gì còn lại

Đó là tất cả. Đồ thị trái phiếu được xây dựng. Hoan hô các đồng chí!

Việc duy nhất cần làm là viết các phương trình mô tả hệ thống của chúng ta. Để làm điều này, chúng tôi sẽ tạo một bảng với 3 cột. Đầu tiên sẽ chứa tất cả các thành phần của hệ thống, thứ hai sẽ chứa biến đầu vào cho mỗi phần tử và thứ ba sẽ chứa biến đầu ra cho cùng một thành phần. Chúng ta đã xác định lối vào và lối ra theo quan hệ nhân quả. Vì vậy, sẽ không có bất kỳ vấn đề.

Hãy để chúng tôi đánh số mỗi kết nối để thuận tiện cho việc viết các phương trình. Chúng tôi lấy phương trình cho mỗi phần tử từ danh sách các thành phần C, R, I.

Sau khi biên dịch bảng, chúng tôi xác định các biến trạng thái, trong ví dụ này có 2, p3 và q5. Tiếp theo, bạn cần viết các phương trình trạng thái:

Đó là tất cả những gì mô hình đã sẵn sàng.

Ví dụ 2. Mình chỉ xin lỗi về chất lượng ảnh, cái chính là các bạn đón đọc

Hãy giải quyết một ví dụ khác cho hệ thống cơ khí, giống như một bài toán mà chúng tôi đã giải quyết bằng phương pháp Lagrange. Tôi sẽ hiển thị các giải pháp mà không có ý kiến. Hãy kiểm tra xem phương pháp nào đơn giản hơn, dễ dàng hơn.

Trong matball, cả hai mô hình mat được biên dịch với các thông số giống nhau, thu được bằng phương pháp Lagrange và đồ thị liên kết. Kết quả bên dưới: Thêm nhãn

PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE

Phương pháp truyền dạng bậc hai tổng các bình phương, được chỉ ra vào năm 1759 bởi J. Lagrange. Hãy để nó được đưa ra

từ các biến x 0 , x 1 , ..., x n. với các hệ số từ trường kĐặc điểm Cần phải đưa biểu mẫu này về dạng chuẩn. tâm trí

với sự giúp đỡ của không thoái hóa Chuyển đổi tuyến tính biến. L. m. Bao gồm những điều sau đây. Chúng ta có thể giả định rằng không phải tất cả các hệ số của dạng (1) đều bằng không. Do đó, có thể xảy ra hai trường hợp.

1) Đối với một số g,đường chéo Sau đó

trong đó dạng f 1 (x) không chứa biến x g. 2) Nếu tất cả nhưng sau đó

trong đó dạng f 2 (x) không chứa hai biến xg và x h. Các dạng dưới dấu vuông trong (4) là độc lập tuyến tính. Bằng cách áp dụng các phép biến đổi dạng (3) và (4) dạng (1) sau số giới hạn các bước được giảm xuống tổng bình phương của các dạng tuyến tính độc lập tuyến tính. Sử dụng đạo hàm riêng, công thức (3) và (4) có thể được viết dưới dạng

Lít: G a n t m a h e r F. R., Lý thuyết Ma trận, xuất bản lần thứ 2, Moscow, 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11 ed., M., 1975; Alexandrov P.S., Bài giảng Hình học Giải tích ..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Từ điển bách khoa toán học. - M.: Bách khoa toàn thư Liên Xô. I. M. Vinogradov. Năm 1977-1985.

Xem "PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE" là gì trong các từ điển khác:

Phương pháp Lagrange- Phương pháp Lagrange - một phương pháp để giải một số loại bài toán lập trình toán học bằng cách tìm điểm yên ngựa (x *, λ *) của hàm Lagrange., đạt được bằng cách cho bằng không các đạo hàm riêng của hàm này đối với ... ... Từ điển Kinh tế và Toán học

Phương pháp Lagrange- Một phương pháp giải một số loại bài toán lập trình toán học bằng cách tìm điểm yên (x *,? *) Của hàm Lagrange, đạt được bằng cách cho bằng không các đạo hàm riêng của hàm này đối với xi và? I . Xem Lagrangian. )